partie 2 : théorie des modules effectifs - approximations de voigt et reuss
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S. DRAPIER 1
Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________
Partie 2 : Théorie des modules Théorie des modules effectifs -effectifs -
Approximations de Voigt et ReussApproximations de Voigt et Reuss•1. Théorie des modules effectifs• 1.1 Localisation• 1.2 Définition directe des tenseurs effectifs• 1.3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles
•2. Approximations de Voigt et Reuss• 2.1 Approximation de Voigt• 2.2 Approximation de Reuss• 2.3 Bornes de Voigt et Reuss• 2.4 Exemple
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S. DRAPIER 2
Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________
Les matériaux qui nous intéressent
xx
Prop
riét
és
x
Prop
riét
és
x
Prop
riét
és
l x
Prop
riét
és
l
Macrohétérogène, microhomogène Microhétérogène, macrohomogène Macrohétérogène, microhétérogène
Thermoélasticité linéaire
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S. DRAPIER 3
Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________
1. Théorie des modules effectifsMatériau homogène à l’échelle macroscopique
Matériau hétérogène à une échelle plus fine
tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle des hétérogénéités.
tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle macroscopique.
Méthodes d’homogénéisation
Notre cadre : élasticité linéaire et déformations infinitésimales
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S. DRAPIER 4
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Rappel : relation entre les tenseurs des contraintes et des déformations aux échelles locale et macroscopique :
<ij> = ij = 1
|
ij(r)d
<ij> = Eij = 1
|
ij(r)d
V ou est le VER (volume élémentaire représentatif) Ces moyennes ( ) sont valables en
l’absence de cavités, fissures, inclusions <ij> = Eij
h, <ij> = ij
h
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S. DRAPIER 5
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Analyse mécanique Équations du problème
Non unicité de la solution Non unicité de la solution (sollicitation)
maispas complètement défini
divx((x)) = 0 , x
x = L(x) : (u(x)) , x <> = h ou <> = h, x
Conditions aux limites : homogène au contourConditions aux limites : homogène au contour
1.1 LocalisationPourou E connu :Quels sont les champs locaux qui en résultent
dans ?
Équilibre intérieur
Condition de moyenne
Loi de comportement
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Sollicitation homogène au contourFormulation d’un problème avec conditions sur la
frontière
Résultats démontrés
<ij> = 1
|
ij(r)d = ijh
<ij> = 1
|
ij(r)d = Eijh
<ij> = ij = 1
|
ij(r)d
<ij> = Eij = 1
|
ij(r)d
Déformations homogènes imposées
ui - Eijhxj = 0
Contraintes homogènes imposées
(ijh
- ij) nj=0
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S. DRAPIER 7
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Condition de contraintes homogènes au bord
• Problème local à d donné:
• Problème local à Ed donnée :
ij
ij ) nj = 0, x
divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x x d) nx = 0 , x
divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x x ) nx = 0 , x , <u>=Ed
PCH
P’CH
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S. DRAPIER 8
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Condition de déformations homogènes au bord
• Problème local à d donnée:
• Problème local à d donné :
ui
ij xj = 0, x
divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x ux d x = 0 , x
divx((x)) = 0 , x = L(x) (u(x)) , x
ux (u) x = 0 , x , <>=d P’DH
PDH
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S. DRAPIER 9
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Remarques sur les conditions de contraintes et déformations homogènes
Si on impose des contraintes homogènes sur
Déformations inhomogènes sur
ui - Eijh xj 0
ij-ij
d) nj =0
<d
mais
VER
ijd
pas équivalent
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ij(x) Aijkl
x (x) Ekl
Tenseur de localisation et de concentration : Propriétés en élasticité linéaire HPP - fonctionnelles
linéairesAx : Tenseur de localisation des déformations
Aijklx (x) = Ajikl
x (x) = Aijlkx (x), <Ax> = I
Symétrie des déformations (E,)
Bx : Tenseur de concentration des contraintes
ij(x) ijklx (x) kl
Bijklx (x) = Bjikl
x (x) = Bijlkx (x), <Bx> = I
Symétrie des contraintes ()
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S. DRAPIER 11
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1.2 Définition DIRECTE des tenseurs effectifs
Tenseur des modules effectifs :
Tenseur des souplesses effectives :
= <LE : <(u)> = LE : Eh
= <(u)>M : <> = M
: h
PCH
PDH
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S. DRAPIER 12
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Propriétés des tenseurs effectifs :LE = <L : A> M
= <M : B>
LijklE = Ljikl
E = LijlkE et Mijkl
= Mjikl
= Mijlk
1/ La loi des mélanges correspondrait àA = I et B = IRemarques :
2/ Seule la connaissance moyenne par phase de A et B est nécessaireL
= <L : A> = r fr Lr : Ar
M = <M : B> = r fr M
r : BrAr=<A>Vr B
r= <B>Vr
et fr = VrV
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S. DRAPIER 13
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Cas particulier : matériau biphasé
L1(M1)
LE = LM + f1 A1 (L1- LM)
M = MM + f1 B
1 (M1-MM)
LM (MM)
A1=<A>V1 B1= <B>V1
et f1=V1V
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Lemme de Hill
1.3.1 Caractérisation ENERGETIQUE : • Suite des propriétés des tenseurs effectifs : Lemme de Hill
< ij* ij' (u’) > = <ij*> <ij' (u’)> ijh Eij
h
LijklE = < Lpqrs Arskl Apqij>
Lpqrs = Lrspq LijklE = Lklij
E
• Relations de comportement inverses(Mijkl
)-1=L'ijkl
= < Lpqrs Arskl
Apqij
>
(Lijkl
)-1=M'ijkl
= < Lpqrs Brskl
Bpqij
>
ij = Aijkl
<ij>)
ij = Bijkl
<ij>)
1
<: M : > = hh<: L : > = E hLh2 démo
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S. DRAPIER 15
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1.3.2 Propriétés variationnelles :Utilisation des Principes de Minimum
C.A. ={u(x)=ud, x u
u F =
u F =
fud
u
S.A. = {(x).n=Fd, x F, div(=0, x
Fd
F
• Principe du minimum en déplacements : Énergie PotentielleP(v) =
12
(v):L:(v) d
f.v d -
F
Fd.v d (v C.A.)
P(v) =W(v) - L(v)
Parmi tous les champs de déplacement v(x) C.A, la solution u(x) minimise l’EPP(u) P(v)
Énergie de déformationTravail des efforts donnés
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S. DRAPIER 16
Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________
P*() = - 12
:M: d
u
:d(ud) d ( S.A.)
P*() = W*() + L*()
• Principe du minimum en contraintes : Énergie Potentielle Complémentaire
Parmi tous les champs de contraintes (x) S.A, la solution (x) maximise l’EPC
P*() P*()
Énergie de déformation complémentaireTravail des contraintes dans les déplacements donnés
• Formules de Clapeyron : si (u,) solution
W(u) = W*() = L(u) + L*()
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Énergies de déformation moyennesW(u) = < w(u)>
Lemme de Hill
W(u) = ||2 < > : Eh• En déformations homogènes au contour
W*() = ||2 < > =
||2 h : M
: h
• En contraintes homogènes au contour
W(u) = ||2 Eh : LE: Ehsi (u(x), ) solution
si (u(x), ) solution
<X> = 1
|
Xj(r)d
= ||2 < (u):L:(u) > =
||2 < > : <(u)>
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Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss_______________________________________________________________________________________________________________________________
Encadrement des tenseurs effectifs
W(u) = ||2 Eh : LE: EhW(v)=
||2 < (v):L:(v) >
• Énergie Potentielleu(x) sol.
h
Eh
(L(u)=0)
W(v) – L(v) = ||2 < (v):L:(v) > - || h:<(v)>
u(x) sol.
Clapeyron= -
||2 h : M
: h
• Énergie Pot. Complémentaire
sol.h
(L*()=0)
Eh
sol.
Clapeyron
W*() – L*() = ||2 < :M: > - || <>: Eh
= ||2 h : M
: hW*() =
||2 < :M: >
= - ||2 Eh : LE: Eh
f(x) = 0 (forces de volume)
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Encadrement des tenseurs effectifs
12 < (v):L:(v) >
12 < (v):L:(v) > - h:<(v)>-
12 h : M
: h
h
Eh
<>: Eh - 12 < :M: >
- 12 < :M: >
12 Eh : LE: Eh
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1.3.3 Influence des conditions de contourExemple : composite AL/Sic à fibres longues
Module d’Young(GPa)
Coefficient de Poisson
Matrice Al 70 0.3
Renforts Sic 420 0.2
• fibres circulaires, régulièrement réparties• fraction volumique : Vf=0,385
• composite supposé à symétrie carrée (symétries de l’arrangement)
2 3
1t , L, Et,EL,t, L
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Résolution numérique de PCH et P’DH
• déformation ou contrainte homogène au contour• contrainte moyenne imposée• influence du maillage : 5 VER : V, Vm avec m=2,4,6,8 contenant mm fibres
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Résultats : modules de cisaillement transverse (t) et de compressibilité latérale (K) (Hashin,1966)
Rappel : ij = pp ij + 2 ij = k pp ij + 2
ij -13pp ij =
k-23
pp ij + 2 ij
tDH = L66
E ; tCH = L66'
et KDH =
L11E + L12
E
2 ; KCH = L11'
+ L12 '
2# = homogénéisation périodique
1,5%
>10%
1,25%0,2%
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S. DRAPIER 23
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Déformation équivalente
x d) nx = 0 , x
ux (u) x = 0 , x ,
<>=d
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Influence des conditions de contour : Conclusions
• Suquet (1982)
limm +
Lm E= = lim
m + Lm '
= L#
• Hill-MandelM:LE = I + O(d3/l3)
Si l>>d : (M’)=LE et (L’)= M
M-1H=LH et L-1H= MH
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2. Approximations de Voigt et Reuss : Bornes du premier ordre2.1 Approximation de Voigt (1887):• Déformations uniformes dans :
LV = <L>LH =<L:A>
A=I, on lève la nécessité de connaître les Ar=<A>Vr
(u(x)) = Eh x et u(x) C.A.
• Encadrement (Hill, 1952)
Eh : LH : Eh Eh : LV : Eh
Le tenseur des rigidités de Voigt est une estimation par excès
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2.2 Approximation de Reuss (1929):• Contraintes uniformes dans :
B=IMH =<M:B>
• Encadrement (Hill, 1952)h : MH : h h : MR : h
Le tenseur des souplesses de Reuss est une estimation par excès
MR = <M>
= h x et (x) S.A.
Remarques• la connaissance de Lr et Mr suffisent• pas a priori de connaissance des symétries du MHE (->21 coeffs)• illustration sur un exemple isotrope macroscopiquement et dans les phases
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2.3 Bornes de Voigt et ReussMatériaux composites isotropes et à phases isotropes :
r=0
n
fr
Kr
-1
Kr=0
n( )frKr
r=0
n
fr
r
-1
r=0
n( )fr
r
• Encadrement valable pour k et intervenant de manière découplée (partie hydrostatique et déviatorique) : plus valide pour E et
< >1E
-1
?
1
3 < > -1
+ 19 < >k
-1 -1
Encadrement des modules de compressibilité et de cisaillement
( )MR -1 LHLVau sens quadratique
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Module d’Young(GPa)
Coefficient de Poisson
Matrice Al 70 0.3
Renforts Sic 420 0.2
2.4 ExempleDeux phases isotropes du composite Al/SiCp:
1/ Calcul des bornes de Voigt et Reuss2/ Montrer la relation précédente pour E
A faire
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0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Fraction volumique de fibres
t c
ompo
site
/ t m
atric
e
Voigt
Reuss
3,12
Module de cisaillement pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp
1,48
0,385
#t=1,56
Fuseaux de Hill
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S. DRAPIER 30
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0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fraction volumique de fibres
com
posi
te /
K m
atric
e Voigt
Reuss
Module de compressibilité latérale pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp
2,28
1,42
0,385
#=1,52
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