pemrograman linier (1) -...

Pemrograman Linier (1)Bentuk umum dan solusi dengan metode grafis

Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma, Indonesia

1

2

Pemrograman Linier (1)

Komponen pada Pemrograman Linier (PL)

Model PL memiliki tiga komponen dasar:

Variabel keputusan yang akan dicari nilainya

Objektif yang akan dicari nilai optimalnya (maksimal atauminimal)

Kendala yang dihadapi dalam mencapai objektif optimal.

3

Pemrograman Linier (1)

Data yang dibutuhkan untuk model LP: pengalokasian sumberdayauntuk berbagai aktivitas

Penggunaan sumberdayaper unit aktivitas Banyaknya

Sumber Aktivitas sumber dayadaya 1 2 . . . n tersedia

1 a11 a12 . . . a1n b12 a21 a22 . . . a2n b2... . . . . . . . . . . . .

...m am1 am2 . . . amn bm

Kontribusi pada Zc1 c2 . . . cnper unit aktivitas

4

Pemrograman Linier (1)

Bentuk umum model PL

Bentuk umum model PL maksimum

Maks Z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

Dengan kendala:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ b2

......

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ bm

xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . n.

5

Pemrograman Linier (1)

Bentuk umum model PL

Bentuk umum model PL minimum

Min Z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

Dengan kendala:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≥ b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≥ b2

......

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≥ bm

xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . n.

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

6

Pemrograman Linier (1)

Istilah-istilah terkait solusi dari model

Solusi layak: solusi di mana semua kendala terpenuhi

Solusi tidak layak: solusi di mana paling sedikit sebuahkendala dilanggar

Daerah solusi layak: kumpulan dari semua solusi layak

Solusi optimal: solusi layak yang memiliki nilai objektifterbaik (yaitu nilai terbesar untuk problem maksimisasi, dannilai terkecil untuk problem minimisasi).

Solusi optimal berganda: terdapat tak-hingga kemungkinansolusi yang memberikan fungsi objektif bernilai sama.

Tidak ada solusi optimal: terjadi jika (1) tidak terdapatsolusi layak, atau (2) nilai fungsi objektif selalu dapatdiperbesar tanpa melanggar kendala (kasus kedua ini disebutunbounded objective function).

7

Pemrograman Linier (1)

Metode penyelesaian PL

Terdapat dua metode untuk penyelesaian model PL:

1 Metode grafik (untuk model dengan dua variabel)

2 Metode simpleks (untuk model dengan dua variabel ataulebih)

8

Pemrograman Linier (1)

Metode grafik

Penyelesaian model PL dengan metode grafik mencakup dualangkah:

1 Menentukan daerah solusi layak (feasible solution region)

2 Menentukan solusi optimal dari semua titik layak (feasiblepoints) pada daerah solusi layak.

9

Pemrograman Linier (1)

Karakteristik dari solusi optimal

Solusi optimal dari sebuah model PL selalu diasosiasikan sebagaisebuah titik sudut pada daerah solusi (yaitu titik di mana dua garisberpotongan).

Jika terdapat dua titik sudut yang memberikan solusi optimal,maka seluruh titik pada ruas garis yang menghubungkan keduatitik tersebut juga memberikan solusi optimal.

9

Pemrograman Linier (1)

Karakteristik dari solusi optimal

Solusi optimal dari sebuah model PL selalu diasosiasikan sebagaisebuah titik sudut pada daerah solusi (yaitu titik di mana dua garisberpotongan).

Jika terdapat dua titik sudut yang memberikan solusi optimal,maka seluruh titik pada ruas garis yang menghubungkan keduatitik tersebut juga memberikan solusi optimal.

10

Pemrograman Linier (1)

Contoh

Chocolatier Burie, sebuah rumah produksi coklat Belgia, memiliki 2jenis produksi coklat: coklat hand-made dan coklat machine-made.Pengalokasian sumber daya untuk setiap produk diberikan oleh databerikut:

Penggunaan sumberdayaper unit adonan (jam) Ketersediaan

Sumber Adonan sumber dayadaya Coklat mesin Coklat hand-mande (jam)

(M) (H)Manusia 4 18 1296

Mesin 12 6 1824Keuntungan

55 89per unit adonan

(Euro)

Perusahaan ingin menentukan berapa unit adonan coklat mesin dancoklat hand-made yang harus diproses agar diperoleh keuntungansemaksimal mungkin. Buatlah model PL-nya dan tentukan solusioptimalnya!

11

Pemrograman Linier (1)

Model PL untuk problem Chocolatier Burie:

Maks Z = 55M + 89H

Dengan kendala:

4M + 18H ≤ 129612M + 6H ≤ 1824M,H ≥ 0

12

Pemrograman Linier (1)

Daerah solusi dari model tersebut

13

Pemrograman Linier (1)

Berdasarkan daerah solusi layak, kemungkinan solusi optimaldiberikan oleh 4 titik sudut: (0 , 0), (0 , 72), (130.5 , 43) dan(152 , 0). Berikut nilai Z = 55M + 89H untuk setiap titik sudut:

(M,H) Z = 55M + 89H(0, 0) 0(0, 72) 6408

(130.5, 43) 11004.5 (maksimum)

(152, 0) 8360

Diperoleh solusi optimal Z = 11004.5, dengan M = 130.5 danH = 43.

14

Pemrograman Linier (1)

Contoh

Redi Mix memproduksi cat interior dan eksterior dari dua bahanmentah: M1 dan M2. Tabel berikut memberikan data dasar:

Kebutuhan bahan mentah untuk per ton dari Ketersediaan maksimumCat eksterior (ton) Cat interior (ton) harian (ton)

M1 6 4 24M2 1 2 6

Keuntungan5 4

per ton (juta)

Survey pemasaran menunjukkan bahwa permintaan harian untukcat interior maksimal 1 ton lebih banyak dari yang untuk eksterior.Juga, permintaan harian maksimum untuk cat interior adalah 2ton. Redi Miks ingin menentukan berapa ton cat interior daneksterior harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntunganharian. Buatlah model PL-nya dan tentukan solusi optimalnya!

15

Pemrograman Linier (1)

Contoh

Sebuah bakery akan membuat roti daging secara tradisionaldengan menggunakan kombinasi daging sapi dan domba. Dagingsapi terdiri dari 80% daging dan 20% lemak. Biaya penjualan rotiRp. 8.000 per kg. Daging domba terdiri dari 68% daging dan 32%lemak. Biaya penjualan roti Rp. 6.000 per kg.

Seberapa banyak dari setiap macam daging yang akan digunakanpada setiap pin roti daging bila diinginkan untuk meminimumkanbiaya dan dengan mempertahankan isi lemak dari roti dagingtersebut tidak melebihi 25%?