podobni triagalnici
Post on 14-Jul-2015
117 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Задача: Ако са дадени два подобни триъгълника, в които са
построени:
а) ъглополовящи на съответни ъгли;
б) медиани към съответни страни;
в) височини към съответни страни.
Да се докаже подобност на така получени триъгълници.
A
C
BM L H A1 B1
C1
M1 L1 H1
А
В
С
А1 В1
С1
L
L1
а)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СL и С1L1 са
ъглополовящи. Разглеждаме ∆АСL и ∆А1С1L1.
111111
111 LCAACLLACCAL
LCААСL∆∆⇒
∠=∠∠=∠
~
1111 CA
AC
LC
CL =
А В
С
А1 В1
С1
М
М1
б)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СМ и С1М1 са медиани. Разглеждаме
∆АСМ и ∆А1С1М1. Но АВ=2АМ и А1В1=2А1М1
1111 CA
AC
MА
АМ =
111
1111
111
CMAAMCMA
AM
CA
ACMACСАМ
∆∆⇒
=
∠=∠~
1111 CA
AC
MC
CМ =
А В
С
А1В1
С1
НН1
в)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини.
Разглеждаме ∆АНС и ∆А1Н1С1.
111
111
0111 90
CHAAHCHACCAH
CНААНС∆∆⇒
∠=∠=∠=∠
~
1111 CA
AC
НC
CН =
Теорема1. Отсечки в подобни триъгълници
Ако два триъгълника са подобни, то:
съответните височини
съответните ъглополовящи
съответните медиани
се отнасят тъй както съответните страни.
ka
a
m
m
l
l
h
h ====1111
Теорема 2. Радиуси на окръжности в подобни триъгълници Ако два триъгълника са подобни, то: отношението на радиусите на описаните окръжности; отношението на радиусите на вписаните окръжности; е равно на отношението на съответните страни.
А В
С
А1 В1
С1
kc
c
r
r
R
R ===111
Задача 2. В равнобедрен триъгълник АВС(АС=ВС) допирателната към вписаната окръжност, успоредна на АВ, пресича АС и ВС съответно в точки M и N. Да се намери височената към основата, ако радиусите на окръжностите, вписани в ∆АВС и ∆MNC са съответно 3cm и 1cm.
А В
С
М N
r
r1
H
P
Решение:
Разглеждаме ∆АВС и ∆МNС. Нека r и r1 са радиусите на вписаните окръжности, а височината СН – h .
( )( ) ABCMNC
ABIIMNCABCMN
общACBMCN∆∆⇒
∠=∠∠=∠
~
От свойствата на височините и радиусите в подобни триъгълници получаваме:
h
rh
r
r
CH
CP
r
rABCMNC
211 −=⇒=⇒∆∆ ~
Откъдето . Следователно височината е 9 cm.92
182
1
2
==⇒−
= hrr
rh
Задача 3. В триъгълника АВС точките А1,В1,С1 са среди на страните ВС,СА и АВ. Да се изрази лицето на ∆А1В1С1 чрез лицето S на ∆АВС.
А В
С
А1В1
С1
Решение:
Знаем, че ∆А1В1С1 ~ ∆АВС и 2
111 ==AB
BAk
Следователно SSkS CBA 4
12
111==
Теорема 3. Лица на подобни триъгълници Ако два триъгълника са подобни, то отношението на лицата им е равно на квадрата на коефициента на подобност.
АВ
С
А1 В1
С1
Н
Н1
Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини и АВ: A1B1=k
kBA
AB
HC
CH ==1111
Тогава
И следователно АВ=kA1B1, CH=kC1H1
2
1111
1111
11111
.2
1
.21
.2
1
.2
1
111
kHCBA
HkCBkA
HCBA
CHAB
S
S
S
S
СВА
ABC
==
===
Задача 4: Ако лицата на два подобни триъгълника са 9 cm2 и16 cm2, то
какъв е коефициентът на подобност? / Устно/
S=9cm2 S=16 cm2
A B
C
A1 B1
C1
Практическа задача:
Височината на рекламното пано в момента е 1/6 от височината на
сградата. За да се вижда по-добре, то трябва да се уголеми.
Колко материал е необходим за новата реклама, ако за изработване
на старата са изразходвани 3 кв. м.?
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА
Задача 2. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1. ВС:B1C1=1:3. Намерете радиуса на описаната около ∆A1B1C1 окръжност, ако радиуса на описаната окръжност ∆АВС около е 6 cm.
Задача 3. Дадени са два подобни триъгълника. Периметърът на единия е два пъти по-голям от периметъра на другия, а сборът от квадратите на дължините на две съответни ъглополовящи е 125. Намерете тези ъглополовящи.
Задача 4. Две съответни страни в подобни триъгълници са 8 и 12, а сборът от лицата им е 52. Намерете лицата на подобните триъгълници.
Задача 1. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1. Периметърът на триъгълника АВС е пет пъти по-голям от периметъра на A1B1C1. Намерете медианата през върха А на ∆АВС, ако медианата през върха A1на ∆A1B1C1 е 10 cm.
top related