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Matemáticas Financieras Sesión 2
Fundamentos Matemáticos
Contextualización de la Sesión 2
Para concluir con la unidad introductoria a las matemáticas
financieras, en la que estamos revisando los fundamentos
matemáticos, repasaremos en esta sesión el cálculo de
logaritmos y las progresiones. Analizaremos cómo ambos
temas se relacionan con las matemáticas financieras. Si
deseas activar tus conocimientos previos, te invitamos a
revisar el material de la asignatura de Álgebra, en donde se
analizaron dichos conceptos.
Introducción al Tema de la Sesión 2
El logaritmo de un número, para una base dada, es la potencia a
la que se debe elevarse la base para obtener ese número. Hay
logaritmos de casi cualquier base aunque los logaritmos de base
10 que son las formas equivalentes a las potencias 10, son los
que sirven para calcular los logaritmos de otras bases.
Introducción al Tema de la Sesión 2
Progresiones aritméticas, es una sucesión de términos, cada uno de los cuales es igual al que le precede, mas un número llamado razón o diferencia común o diferencia común. Progresiones geométricas, Es una sucesión finita de números llamados términos.
Explicación: Cálculo de logaritmos
Igual que en el caso de los exponentes, los logaritmos corresponden a la forma y operación inversa de la ecuación potencial Y = ax; en este caso, el logaritmo se define como la operación que permite calcular el valor del exponente x al cual se está elevando la base a, de tal manera que su resultado sea Y.
La forma matemática en la cual se puede escribir la operación logarítmica es: X = log a Y; que se lee “X” es igual al logaritmo base “a” de “Y”. La forma potencial y la forma logarítmica son las dos operaciones inversas; en términos matemáticos, tienen una definición y sentido específico.
Explicación: Calculo de logaritmos
Habrá ocasiones que en operaciones de interés
compuesto cuya expresión matemática es m = c (1+r)n, y
en anualidades (las fórmulas a utilizar varían
dependiendo del tipo de anualidad) se quiera determinar
el número de periodos o pagos “n”, necesarios para
cubrir el precio o monto total de, por ejemplo, una casa
comprada a crédito.
Explicación: Calculo de logaritmos
En matemáticas financieras los logaritmos se aplican
utilizando las propiedades logarítmicas para los
despejes, éstas propiedades se enlistan a continuación:
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
En una progresión aritmética hay una diferencia entre cada término que se obtiene restando los términos consecutivos entre sí; mientras que en las progresiones geométricas el número llamado razón se obtiene dividiendo cada término entre su anterior.
Progresiones aritméticas
Para resolver progresiones aritméticas utilizamos las siguientes fórmulas:
El significado de las literales es el siguiente:
a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la
serie numérica.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica y como se mencionó anteriormente, se obtiene restando los términos.
S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.
n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Progresiones geométricas
Las progresiones geométricas se relacionan estréchamente con el comportamiento de sumas de dinero invertidas a interés compuesto y que tienen como característica distintiva que crecen o decrecen de manera acelerada.
Es posible calcular la suma de la progresión, el número de elementos que tiene una progresión y el dato o número que corresponde a una serie y un lugar en particular. Las ecuaciones con las cuales se trabajan éstas series son:
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Las literales que aparecen son las mismas con excepción de la letra r. A continuación se menciona la explicación de cada una:
a: se refiere al término, y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie numérica.
d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica
S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.
n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión.
r: que significa razón de cambio de la progresión numérica y se obtiene dividiendo cada término entre su anterior.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Realicemos una aplicación de progresiones geométricas en un caso de finanzas. Supongamos que una empresa ofrece a una persona un sueldo de $35,000 y que éste aumentará durante los próximos 6 meses un 4% mensual. ¿Cuál será su salario para el quinto mes?
En este caso empezaremos por identificar los datos que nos proporciona el planteamiento:
a1 = 35,000
n = 5
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
La incógnita r es el valor que tendremos que determinar. Sin
embargo, recordemos que debemos tener por lo menos 2 términos
así que tendremos que determinar el segundo. Para ello, realicemos
lo siguiente:
Pago primer mes = 35,000 pesos
Pago segundo mes = 35,000 + incremento del 4% sobre los 35,000
[es decir: 0.04 35,000 = 1,400] = 36,400
Dividimos el segundo dato 36,400 entre el primero 35,000 y obtendrá
el valor de la razón 36,400/35,000 = 1.04 y éste el valor de la razón.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Ahora se busca el valor del dato número 5 con la primera
expresión:
a5 = 35,000 (1.04)5–1
Tras resolver la operación se obtiene: S5 = $40,945.04, es
decir, lo que se pagará en el quinto mes.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Progresiones infinitas
Hablamos de progresiones finitas
cuando contienen un número
limitado de términos, es decir que
tienen un último número. Cuando
existen progresiones que no tienen
un número último, nos referimos
entonces a las sucesiones infinitas.
Explicación: Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
Conclusión
Los logaritmos son importantes para las matemáticas financieras así como para las organizaciones ya que nos ayudan a la simplificación de operaciones, así como son de gran ayuda cuando no tenemos una calculadora cerca.
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada número es igual al anterior multiplicado por una constante. La progresión geométrica crece más rápidamente que la aritmética.
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