presentasi 2 isi: solusi persamaan diferensial pada ... · solusi persamaan diferensial pada...

Presentasi 2

Isi:Isi:Solusi Persamaan Diferensial pada Saluran Transmisi

Representasi sinyal dalam bentuk phasorRepresentasi sinyal dalam bentuk phasor

Pemikiran DasarSinyal harmonis mudah untuk diturunkan dan diintegralkan

Semua sinyal fungsi waktu bisa direpresentasikan dengan bantuansinyal harmonis melalui deret Fourier dan transformasi Fourier

( )tjeIti ω⋅= Re2)( ( )eIti ⋅= Re2)(

( )tjeVtv ω⋅= Re2)(

I dan V adalah phasor dari i(t) dan v(t)

Pada I dan V tidak terdapat lagi informasi tentang waktu, tetapi masihterdapat informasi tentang posisi, atau I dan V merupakan fungsi dari z.

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 2Presentasi 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

⋅+⋅−=∂ iLiRv '' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

⋅+⋅−=∂ vCvGi ''

Dengan memasukkan bentuk phasor dari arus dan tegangan ke persamaan di atas

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂ tz

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂ tz

didapatkan

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

⋅+⋅−=⎟⎞

⎜⎛ ∂ eILIeReV tj

tjtjω

ωω ''Re2Re2 ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

⋅+⋅=⎟⎠

⎜⎝ ∂ t

ILIeRez

Re2Re2

( )tjtjtj ejILIeReV ωωω ω⋅⋅+⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂ ''ReRe

( ) ( )ILjRILjIRdzdV '''' ωω +−=⋅+⋅−=

( )jz

ω⎟⎠

⎜⎝ ∂

ee

dz

( ) ( )VCjGVCjVGdzdI '''' ωω +−=⋅+⋅−=

Persamaan diferensial dengan sinyal harmonis

dz

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 3Presentasi 2

Step 1: persamaan pertama diturunkan terhadap z

Proses pencarian solusi

( )ddILjR

dVd ''2

2

ω+−=

Step 2: dan menggantikan term dI/dz yang muncul dengan persamaan kedua, 

( )dz

jdz2

dIVd 2

Step 3: sehingga menjadi

( ) ( ) ( ){ }VCjGLjRdzdILjR

dzVd ''''''2

2

ωωω +−+−=+−=

( ) ( ) VCjGLjRdz

Vd⋅+⋅+= ''''2

2

ωω

dIStep 4: dengan

menjadi

( ) ( )''''2 CjGLjR ωωγ +⋅+=( )VCjG

dzdI '' ω+−=

menjadi

Vdz

Vd⋅= 2

2

2

γ

Persamaan ini dinamakan persamaan gelombang.

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 4Presentasi 2

Solusi dari adalahVdz

Vd⋅= 2

2

2

γ

zeVV γ−= 1 dan zeVV γ+= 2

Solusi umum: zz eVeVV γγ +− += 21

V1 dan V2 adalah konstanta yang muncul dalam setiap pengintegralan,V1 dan V2 adalah konstanta yang muncul dalam setiap pengintegralan,yang masih harus dicari nilainya.

(Seperti halnya pengintegralan pada kalkulus, sebuah integrasi akan menghasilkanb h k t tsebuah konstanta,

dua integrasi atau integrasi dua lipat akan menghasilkan dua buah konstanta)

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 5Presentasi 2

Dengan ( ) ( ) dzdV

LjRIILjR

dzdV

''1''ω

ω+

−=⇒+−=

Arus sepanjang saluran transmisi

( ) dzLjRdz ω+

( ) ( ) ( )zzzz eVeVLjR

eVeVdzd

LjRI γγγγ

ωγ

ω+−+− −

+=+

+−= 2121

1''''

1

Dengan modifikasi

( )zz eVeVZ

I γγ +− −= 211

CjG 1''=

+=

ωγDengan modifikasi

ZLjRLjR ''''=

+=

+ ωω

'' LjR ω+

γ dinamakan konstanta perambatan dan

'' CjGLjRZ

ωω

++

=

γ dinamakan konstanta perambatan dan Z impedansi gelombang

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 6Presentasi 2

We get the solution:

zz eVeVV γγ +− += 21

( )zz eVeVI γγ +− −= 211 ( )VVZ 21

Dengan ( ) ( )'''' CjGLjR ωωγ +⋅+=

dan''''

CjGLjRZ

ωω

++

=

V1 dan V2 ditentukan dengan bantuan syarat batas (boundary conditions)1 2

yang diberikan pada awal dan/atau akhir dari kawat saluran transmisi tersebut.

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 7Presentasi 2

1. Solusi lengkap, jika tegangan dan arus di awal saluran transmisi diberikan

aVzV == )0( danaIzI == )0(

Gunakan persamaan tegangan dan arus:

00 VVeVeVV +=+= +−2121 VVeVeVVa +=+=

( ) ( ) 21210

20

111 VVZIVVZ

eVeVZ

I aa −=⇒−=−= +−

Solusi dan21

aa IZVV ⋅+= 22

aa IZVV ⋅−=

2 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 8Presentasi 2

2. Solusi lengkap, jika tegangan dan arus di akhir saluran transmisi diberikang p j g g

eVLzV == )( daneILzI == )(

Gunakan persamaan tegangan dan arus:

LL eVeVV γγ ⋅+⋅= −e eVeVV += 21

( )LLe eVeV

ZI γγ ⋅−⋅= −

211

Konstanta integrasi menjadi

1 ( ) Lee eIZVV γ⋅⋅+=

21

1

( ) LIZVV γ−1

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 9Presentasi 2

( ) Lee eIZVV γ⋅⋅−=

22

Perambatan Gelombang

Konstanta perambatan secara umum besaran bernilai kompleks. Besaran ini bisa dituliskan dengan bagian riil dan bagian imajinernya

( ) ( ) βαωωγ jCjGLjR +=+⋅+= ''''

α adalah konstanta peredaman dan β d l h k t t hβ adalah konstanta phasa. 

ditentukan oleh sifat karakteristik dari tipe dan ukuran dari saluran transmisi dan bukan merupakan fungsi dari sinyal yang ditransmisikan.p g y y g

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 10Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 11Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 12Presentasi 2

Amplitudo mengecil denganbertambahnya nilai z

Amplitudo mengecil denganberkurangnya nilai zbertambahnya nilai z berkurangnya nilai z

Karena α selalu positifKarena α selalu positif.

Sekarang kita perhatikan tegangan‐tegangan bagian di atasSekarang kita perhatikan tegangan tegangan bagian di atassatu per‐satu

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 13Presentasi 2

Waves1.m

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 14Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 15Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 16Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 17Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 18Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 19Presentasi 2

Waves2.m

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 20Presentasi 2

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 21Presentasi 2