prezenta c i jalo gika
Post on 07-Jul-2018
234 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
1/52
ŠKOLA MATEMATIKETautologije kao principi zaključivanja
Nermin Okičić
PMF Tuzla , odsjek: Matematika
26.01.2015.
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
2/52
ŠKOLA MATEMATIKE
Šta je matematika
Šta je matematika?
Citat iz knjige ”Šta je matematika?” R. Courant, H. Robbinson
Matematika kao izraz ljudskog uma reektuje aktivnu volju,kontenplativno rasudivanje i želju za estetičkim savršenstvom.Njeni osnovni elementi su logika i intuicija, analiza i konstrukcija,opštost i posebnost. Mada različite tradicije često ističu različitastanovǐsta, samo medusobno djelovanje ovih suprotnih sila i borbaza njihovu sintezu čini život, korisnost i najvišu vrijednostmatematičke nauke.
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
3/52
ŠKOLA MATEMATIKE
Šta je logika
Šta je logika?
Logika je nauka o logosu , pri čemu se pod logosom podrazumijevagovor, riječ, smisao izražen riječima, pojam duha ili misao.Najuobičajenije shvatanje logike je da je to nauka o mišljenju, o
poretku misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ilipodrazumijeva da se razum ponaša po nekim pravilima, a tapravila su upravo logička pravila.Za logiku kažu da je lozofska disciplina koja se bavi oblicimavaljane misli (G. Petrović) ili da je to disciplina koja se bavi
načelima dosljednog zaključivanja. Pri tome dosljednost uzaključivanju ne treba da zavisi samo o značenju rečenica i riječi,koje mogu čak biti i nepoznate. Logička dosljednost je neštosasvim apstraktno i treba da se tiče same forme i oblika. Zbogtoga je logika formalna nauka.
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
4/52
ŠKOLA MATEMATIKE
Šta je logika
Šta je logika?
Logika je nauka o logosu , pri čemu se pod logosom podrazumijevagovor, riječ, smisao izražen riječima, pojam duha ili misao.Najuobičajenije shvatanje logike je da je to nauka o mišljenju, o
poretku misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ilipodrazumijeva da se razum ponaša po nekim pravilima, a tapravila su upravo logička pravila.Za logiku kažu da je lozofska disciplina koja se bavi oblicimavaljane misli (G. Petrović) ili da je to disciplina koja se bavi
načelima dosljednog zaključivanja. Pri tome dosljednost uzaključivanju ne treba da zavisi samo o značenju rečenica i riječi,koje mogu čak biti i nepoznate. Logička dosljednost je neštosasvim apstraktno i treba da se tiče same forme i oblika. Zbogtoga je logika formalna nauka.
ˇ
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
5/52
ŠKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
U izgradnji neke matematičke teorije iz aksioma i denicijalogičkim rasudivanjem izvodimo teoreme.Teorem (tvrdnja, poučak, stav) je matematička izjava čija seistinitost utvrduje dokazom. Obično se misli na istinitu izjavu, iakonije isključeno da je izjava lažna.Tako je poznati matematičar Fermat iskazao tvrdenje da su svibrojevi oblika 22
n
(n∈N∪{0}) prosti brojevi, što je pogrešno jer
kako je pokazao Euler, već za n = 5 to nije tačno.
ˇ
http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
6/52
SKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (uslov,hipoteza) P i tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) Q. Pretpostavka je jedna ili vǐse izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je
izjava koju treba dokazati.Ponekad učenici imaju poteškoća s odredivanjem šta jepretpostavka, a šta tvrdnja teorema, a samim tim imaju probleme ipri dokazivanju takvog teorema. Stoga treba pri obradi teoremauložiti dodatni napor pri rasvjetljavanju tih bitnih dijelova teorema,razlažući ga, pa čak i preformulirajući ga.
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
7/52
SKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
Teoreme uobičajeno imaju oblik implikacije P ⇒Q, što čitamo kao
P implicira Q,
ŠKOLA MATEMATIKE
http://goforward/http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
8/52
SKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
Teoreme uobičajeno imaju oblik implikacije P ⇒Q, što čitamo kao
P implicira Q,ako P onda Q,
ŠKOLA MATEMATIKE
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
9/52
SKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
Teoreme uobičajeno imaju oblik implikacije P ⇒Q, što čitamo kao
P implicira Q,ako P onda Q,P je dovoljan za Q,
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
10/52
ŠKOLA MATEMATIKE
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
11/52
SKOLA MATEMATIKE
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremDijagonale romba su okomite.
P : ˇCetvorougao je romb.Q: Dijagonale su mu okomite.
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
12/52
S O
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremProizvod dva uzastopna prirodna broja je paran broj.
P : Brojevi su uzastopni prirodni brojevi.Q: Proizvod im je paran broj.
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
13/52
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremU svakom trouglu naspram podudarnih stranica leže podudarni uglovi.
P : U trouglu dvije stranice su podudarne.Q: Uglovi naspram tih stranica su podudarni.
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
14/52
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremZbir uglova u trouglu je 180◦ .
P : Poligon je trougao.Q: Zbir uglova mu je 180◦ .
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
15/52
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
16/52
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
P : x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
17/52
Odnosi medu iskazima
Primjeri:
U narednom primjeru istaknimo šta je pretpostavka ( P ), a štatvrdnja teorema ( Q):
TeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
P : x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .Q: Kvadratni trinom ax 2 + bx + c se može napisati u oblikua(x −x1 )(x −x2 ).
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
18/52
Odnosi medu iskazima
Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredašnjem primjeru
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
19/52
Odnosi medu iskazima
Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredǎsnjem primjeru 1 imali
TeoremAko je četvorougao romb onda su mu dijagonale okomite.
ŠKOLA MATEMATIKE
http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
20/52
Odnosi medu iskazima
Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredǎsnjem primjeru 2 imali
TeoremAko su prirodni brojevi uzastopni onda je njihov proizvod paranbroj.
ŠKOLA MATEMATIKE
Od i d i k i
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
21/52
Odnosi medu iskazima
Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredǎsnjem primjeru 3 imali
TeoremAko su u trouglu dvije stranice podudarne onda su njihovi naspramni uglovi podudarni.
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
22/52
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
23/52
Odnosi medu iskazima
Strukturu teorema je najlakše prepoznati ako je u formi ”Ako je ...onda je ...”. Tako bi u malopredašnjem primjeru 5 imali
TeoremAko su x1 i x2 su rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0onda se kvadratni trinom ax 2 + bx + c se može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ).
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
24/52
Odnosi medu iskazima
Obrat teorema
Uz svaki teorem oblika P ⇒Q vezujemo izjavu oblika Q⇒P ,koju nazivamo obrat teorema . Treba napomenuti da obratistinitog teorema ne mora biti istinita tvrdnja.Ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dvateorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P ⇔Q i čitamo:
P je ekvivalentno Q,
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
25/52
Odnosi medu iskazima
Obrat teorema
Uz svaki teorem oblika P ⇒Q vezujemo izjavu oblika Q⇒P ,koju nazivamo obrat teorema . Treba napomenuti da obratistinitog teorema ne mora biti istinita tvrdnja.Ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dvateorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P ⇔Q i čitamo:
P je ekvivalentno Q,
P je ako i samo ako Q,
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
26/52
Odnosi medu iskazima
Obrat teorema
Uz svaki teorem oblika P ⇒Q vezujemo izjavu oblika Q⇒P ,koju nazivamo obrat teorema . Treba napomenuti da obratistinitog teorema ne mora biti istinita tvrdnja.Ako je i obrat teorema teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dvateorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika P ⇔Q i čitamo:
P je ekvivalentno Q,
P je ako i samo ako Q,P je potreban i dovoljan za Q,
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
27/52
Obrat teorema je
TeoremAko su dijagonale četvorougla okomite onda je on romb.
Naravno da je ova tvrdnja neistinita jer deltoid je četvorougao saokomitim dijagonalama, a nije romb.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
28/52
Obrat teorema je
Teorem
Ako je proizvod dva prirodna broja paran onda su ti brojevi uzastopni.
Naravno i ova tvrdnja je neistinita jer proizvod bilo koja dva parnaprirodna broja je paran broj.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
29/52
Obrat teorema je
TeoremAko su dva ugla u trouglu podudarna onda naspram njih leže
podudarne stranice.Ovo je tačna tvrdnja, pa bi smo obje tvrdnje iskazali u obliku,
TeoremDvije stranice u trouglu su podudarne ako i samo ako naspram njihleže podudarni uglovi.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
30/52
Obrat teorema je
TeoremAko je zbir uglova u poligonu 180◦ onda je taj poligon trougao.
I ovo je tačna tvrdnja.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
31/52
Obrat teorema je
TeoremAko se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ) onda su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
32/52
Kontrapozicija teorema
Izraz
¬Q
⇒¬P nazivamo kontrapozicija tvrdenja P
⇒Q. Ova
dva iskaza su medusobno logički ekvivalentni i predstavljajupoznatu tautologiju zakon kontrapozicije
(P ⇒Q) ⇔ (¬Q⇒¬P ) .
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
33/52
Kontrapozicija teorema
TeoremDijagonale romba su okomite.
je
TeoremAko dijagonale četverougla nisu okomite, tada on nije romb.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
34/52
Kontrapozicija teorema
TeoremProizvod dva uzastopna prirodna broja je paran broj.
je
TeoremAko proizvod dva prirodna broja nije paran, tada ti brojevi nisu
uzastopni prirodni brojevi.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
35/52
Kontrapozicija teorema
TeoremU svakom trouglu naspram podudarnih stranica leže podudarni uglovi.
je
TeoremAko dva ugla u trouglu nisu podudarna onda ni stranice naspramnjih nisu podudarne.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
36/52
Kontrapozicija teorema
TeoremZbir uglova u trouglu je 180◦ .
je
TeoremAko zbir uglova u trouglu nije 180◦ onda taj poligon nije trougao.
ŠKOLA MATEMATIKEOdnosi medu iskazima
http://goforward/http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
37/52
Kontrapozicija teoremaTeoremSvaki se kvadratni trinom ax 2 + bx + c može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ), gdje su x1 i x2 rješenja kvadratne jednačine ax
2
+ bx + c = 0 . je
TeoremAko se kvadratni trinom ax 2 + bx + c ne može napisati u obliku a(x −x1 )(x −x2 ) onda x1 i x2 nisu rješenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 .
ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
38/52
O dokazima
Dokaz tvrdenja P ⇒Q u nekoj teoriji je konačan niz tvrdenjaQ1 , Q 2 ,...,Q n te teorije, u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili jedobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom praviluzaključivanja, a posljednja tvrdnja tog niza je tvrdnja Q.
ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
39/52
O dokazima
Dokazivanje tvrdenja ima svoje izuzetno mjesto u nastavimatematike. Naime, učeći dokazivati tvrdnje, kandidat učirasudivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike.Kandidat koji se u daljnjem životu i neće baviti matematikom kaonaukom, mora znati rasudivati u svakodnevnom životu.
ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
40/52
O dokazima
U principu razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni dokaz iindirektni dokaz .
ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
Direktni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
41/52
Kod direktnog dokaza neke tvrdnje Q polazimo od pretpostavke P ,
koristeći aksiome, denicije i već dokazane tvrdnje, zaključujući podedukciji , dolazimo do tvrdnje Q.
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Direktni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
42/52
Dedukcija kao pravilo zaključivanja je zasnovana na tautologiji kojase naziva Modus ponens i koja glasi
p ∧ ( p ⇒ q ) ⇒ q .
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Direktni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
43/52
Teorem (AG nejednakost)
Za proizvoljne pozitivne realne brojeve x i y vrijedi
√ xy ≤ x + y
2 .
Dokaz : Neka su x, y
∈R proizvoljni. Kako je kvadrat bilo kog
realnog broja nenegativan, to će vriijediti (x −y)2
≥0.Dakle, vrijedi x2 −2xy + y2
≥0. Dodajući i lijevoj i desnoj straniizraz 4xy, dalje vrijedi x2 + 2 xy + y2 ≥4xy.Posljednje je ekvivalentno sa (x + y)2 ≥4xy. Korjenujući i lijevu idesnu stranu, imajući na umu da su obje strane nenegativne,dobijamo x + y ≥2√ xy. Djeleći ovu nejednakost sa 2 slijedi
x + y2 ≥√ xy ,
što je i trebalo dokazati.
♣ ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Direktni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
44/52
Teorem (Obrat Pitagorine teoreme)Ako u trouglu △ABC vrijedi c
2 = a2 + b2 tada je to pravougli trougao sa pravim uglom u tjemenu C .
Dokaz : Neka je dat trougao
△ABC za koga vrijedi c2 = a2 + b2 .
Posmatrajmo △A′ B ′ C ′ kod koga je a ′ = a i b′ = b i koji ima prav
ugao u tjemenu C ′ . Za njega prema Pitagorinoj teoremi vrijedic′ 2 = a ′ 2 + b′ 2 = a2 + b2 = c2 , iz čega zaključujemo da je c′ = c.Dakle, △ABC i △A
′ B ′ C ′ imaju podudarne sve tri stranice te suprema pravilu SSS ova dva trougla podudarna. Dakle, imajupodudarne odgovarajuće uglove, a to znači da je ugao u tjemenu C trougla △ABC prav ugao. ♣
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Indirektni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
45/52
Od indirektnih dokaza dva su najčešće primjenjivana:Dokaz po kontrapoziciji i Svodenje na protivuriječnost .
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Indirektni dokaz
http://find/http://goback/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
46/52
Dokaz po kontrapoziciji se zasniva na tautologiji Zakonkontrapozicije
( p ⇒ q ) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) .
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
47/52
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Indirektni dokaz
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
48/52
Teorem (Obrat Pitagorine teoreme)
Ako u trouglu
△ABC vrijedi c2 = a2 + b2 tada je to pravougli
trougao sa pravim uglom u tjemenu C .
Dokaz : Pretpostavimo da ∠C nije prav. Razmotrimo dvijemogućnosti:(I) Neka je ∠C oštar. Tada visina ha iz tjemena A na stranicu BC ima podnožje D ∈BC i označimo sa x = DC . Posmatrajmotrouglove △ADC i △ADB . To su pravougli trouglovi pa vrijediPitagorina teorema h2a = b2 −x
2 i h2a = c2 −(a −x)2 . Kako su
ovo iste veličine, tj. b2 −x2 = c2 −(a −x)
2 , dobijamo
c2
= a2
+ b2
−2ax = a2
+ b2
,što je negirana pretpostavka naše teoreme. Dakle, dokazali smo daiz ¬Q slijedi ¬P , što je prema zakonu kontrapozicije ekvivalentnoda smo dokazali da iz P slijedi Q.(II) Ako je ∠C oštar dokaz je sličan prethodnom.
♣ ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Indirektni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
49/52
Dokaz svodenjem na protivuriječnost zasniva se na tautologijiReductio ad absurdum
p ⇒ (q ∧¬q ) ⇒ ¬ p .
ˇSKOLA MATEMATIKE
Dokazi
Indirektni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
50/52
TeoremSkup prostih brojeva je beskonačan.
Dokaz : Pretpostavimo tvrdnju P , da prostih brojeva ima konačnomnogo. Dakle, skup prostih brojeva P = {2, 3, 5, 7,...,p} jekonačan. Posmatrajmo broj
n = (2 ·3 ·5 ·t ·... · p) + 1 .Broj n je veći od broja p pa dakle n /∈P tojest, n je složen broj(tvrdnja Q).S druge strane broj n nije djeljiv ni sa jednim brojem skupa P
(ostatak je uvijek 1) pa je on prost broj (tvrdnja ¬Q).Dakle, ako pretpostavimo P iz njega slijedi Q∧¬Q, te prematautologiji reductio ad absurdum zaključujemo da nije P , a ovoznači da prostih brojeva nema konačno mnogo ili prostih brojevaima beskonačno mnogo.
♣ ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
Indirektni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
51/52
Teorem (AG nejednakost)
Za proizvoljne pozitivne realne brojeve x i y vrijedi
√ xy ≤ x + y
2 .
Dokaz : Neka su x, y pozitivni realni brojevi i neka vrijedi
√ xy > x + y2
.
Odavde onda dobijamo da vrijedi
x
−2√ xy + y < 0 ,
što je ekvivalentno sa
(√ x −√ y)2 < 0 .
Posljednje je netačno jer kvadrat proizvoljnog broja je nenegativan.
♣ ŠKOLA MATEMATIKEDokazi
Indirektni dokaz
http://find/
-
8/18/2019 Prezenta c i Jalo Gika
52/52
Posljednji primjer koristi modikaciju tautologije reductio adabsurdum koja glasi
(( p ∧ q ) ⇒ ⊥) ⇒ ( p ⇒ ¬q ) .
http://find/
top related