prof. rafael olivieri neto

CAPÍTULO 1.

TEORIA DOS CONJUNTOS 11. Conceitos 12. Inclusão de conjuntos 13. Igualdade 14. Conjunto Vazio 25. Conjunto das partes 26. Operações de Conjuntos 3Exercícios de aplicação 1, 2, 3, 4 e 5

CAPÍTULO 2.

CONJUNTOS NUMÉRICOS 151. Conjunto dos Números naturais 152. Conjunto dos Números Inteiros. 153. Conjunto dos Números Racionais 164. Conjunto dos Números Irracionais 195. Conjunto dos Números Reais 206. Intervalos 21Exercícios de aplicação 6, 7 e 8

CAPÍTULO 3.

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 28

Exercícios de aplicação 9 e 10

CAPÍTULO 4.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 34

1. Operações 342. Produtos notáveis 36Exercícios de aplicação 11,12,13,14,15 e 16

CAPÍTULO 5.

FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 42

Exercícios de aplicação 17, 18, 19, 20, 21 e 22

CAPÍTULO 6.

MAXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 49

Exercícios de aplicação 23

CAPÍTULO 7. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU, INEQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU E SISTEMAS DE PRIMEIRO GRAU 51

1. Equações de primeiro grau 512. Inequações de primeiro grau 543. Sistemas de Equações de primeiro grau 55

Exercícios de aplicação 24, 25 e 26

CAPÍTULO 8.

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL OU MÓDULO 60

Exercícios de aplicação 27

CAPÍTULO 9.

RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS 64

1. Razões e Proporções 642. Regra de três 693. Porcentagem 71Exercícios de aplicação 28, 29 , 30, 31, 32 e 33

CAPÍTULO 10.

PRODUTO CARTESIANO E DISTÂNCIA 73

1. Produto cartesiano 732. Relação binária 743. Domínio, imagem 764. Conjunto plano 765. Distância 77

Exercícios de aplicação 34

CAPÍTULO 11.

FUNÇÕES 80

1. Conceito de função 802. Função constante 85

CAPÍTULO 12.

FUNÇÃO AFIM (FUNÇÃO DE 1° GRAU) 87Exercícios de aplicação 35, 36 e 37

CAPÍTULO 13.

FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO TRINÔMIO DO 2° GRAU 100

Exercícios de aplicação 38 e 39

CAPÍTULO 14. APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA ADMINISTRAÇÃO E NA ECONOMIA 115

1. Lei da demanda 1162. Lei da oferta 1213. Equilíbrio de mercado 126Exercícios de aplicação 40 e 41

CAPÍTULO 15. RECEITA, CUSTO, LUCRO E PREJUÍZO 131

1. Receita Total 1312. Custo Total 1343. Ponto Crítico 1354. Lucro e Prejuízo 136Exercícios de aplicação 42

CAPÍTULO 16.

FUNÇÃO RAIZ QUADRADA E FUNÇÃO RECÍPROCA OU HIPÉRBOLE EQUILÁTERA 144

Exercícios de aplicação 43 e 44

CAPÍTULO 17. FUNÇÃO EXPONENCIAL 156

Exercícios de aplicação 45, 46, 47 e 48

CAPÍTULO 18.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA 171

Exercícios de aplicação 49, 50, 51 e 52

CAPÍTULO 19.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 178

Exercícios de aplicação 53 e 54

CAPÍTULO 20.

MATRIZES, DETERMINANTES 183

Exercícios de aplicação 55, 56, 57, 58, 59, 60

CAPÍTULO 21. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 206

Exercícios de aplicação 61, 62, 63, 64

CAPÍTULO 22. FUNÇÕES COMPOSTAS, PARES, ÍMPARES, INJETORAS, SOBREJETORAS, BIJETORAS E INVERSAS 217

1. Função para e ímpar 2172. Função composta 2183. Função crescente e decrescente 2254. Função injetora 2265. Função sobrejetora 2276. Função bijetora 2277. Função inversa 228Exercícios de aplicação 65,66, 67, 68

CAPÍTULO 1.

TEORIA DOS CONJUNTOS 1

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 9

1. CONCEITO DE CONJUNTOS

A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor (1845-1918). Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos:

CONJUNTO, ELEMENTO E A RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA.Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando uma

propriedade característica dos mesmos.Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos seus

elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados elementos.

Exemplo 1:Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0, 2, 4, 6, 8...} e

representamos pelo diagrama de Venn (John Venn, (1834 – 1923), matemático e lógico inglês), como:

Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos a ∊ A (leia: a pertence a A) caso contrário a ∉ A (leia: a não pertence a A).

Exemplo 2:Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se: 2 ∊ A (2 pertence a A) 0 ∉ A (não pertence a A)

2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição 01:Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo ele-

mento de A é também um elemento de B.

Notação: A⊂B (A é subconjunto de B), caso contrário A⊄B.

Exemplo 3:a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A⊂Bb) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então A⊂B

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 0

3. IGUALDADE

Definição 02: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.Simbolicamente: A = B ↔ A⊂B e B⊂A.

Exemplo 4:Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B, pois, A⊂B e B⊂A.

Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 1 1

4. CONJUNTO VAZIO

Definição 03: Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento.O Símbolo usual para conjunto vazio é

Exemplo 5: O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio.

Simbolicamente{x | 0.x=3} = ∅

5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definição 04: Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de todos os

subconjuntos do conjunto A.

Exemplo 6:Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:

P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}. Nesse caso o número de elementos de P(A) é 8 = 23 (2 elevado ao número de elementos de A).

Exemplo 7:Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:a) A= ∅b) A={a}c) A= {a, b}d) A= {a, b, c}

Resolução:(a) A = ∅, P(A) ={∅} , logo n(P(A)) = 1 = 2°(b) A = {a}, P(A)= {∅, {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹(c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, ∅}. logo n(P(A)) = 4 = 2²(d) A= {a,b,c}, P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, ∅}, logo n(P(A))=8 =2³.

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 2

Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = 0, então n(P(A)) = 2° = 1Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8.........................................................................Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,...})

Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é só escrever: n(P(A)) = 2n(A)

6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOSNa teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre na

teoria dos conjuntos.

6.1. União (∪)

Definição 05:Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto B, ao conjunto

de todos os elementos de A ou de B.

Em símbolos: A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplo 8:Sejam A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 4, 6}, então A∪B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}

6.2. Intersecção (∩)

Definição 06:Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto forma-

do pelos elementos que estão em A e estão em B.

Em símbolos: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 1 3

Exemplo 9:Sejam A = {a, b, c, d} e B = {b, c, d, e}, então A∩B = {b, c, d}

PROPRIEDADESAceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem demonstração.

Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região definida pela propriedade.

P1 ∪ Se A⊂B, então A∩B = A e A∪B = B

A∩B = A A∪B = B

P2 ∪ A∩A = A e A∪A = A

P3 ∪ A∩∅ = ∅ e A∪∅ = A

P4 ∪ A∩B = B∩A e A∪B = B∪A

P5 ∪ (A∩B) ∩ C = A∩B∩C) e (A∪B)∪ C = A∪(B∪C)

P6 ∪ A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) e A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 4

6.3. Diferença (-)

Definição 07: Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B, ao con-

junto dos elementos B que não são elementos de A.

Em símbolos: B - A = {x | x ∈ B e x ∉ A}

Exemplo 10:1) Sejam A = {a, b, c, d} e B = {b, c, d, e}, então A-B = {a}2) Sejam A = {a, b, c, d} e B = {c, d}, então A-B = {a, b}3) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3}, então A-B = {4}

6.4. COMPLEMENTAR (A)

Definição 08:Se A⊂B, chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos elementos

de B que não são elementos de A.

Em símbolos: A = A1 = B - A = {x |x ∈ B e x ∉ A}

Exemplo 11:Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então B - A={4, 5}

Agora, após termos adquirido as informações sobre a teoria dos conjuntos, podemos resolver a situação-problema 01.

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 1 5

Situação-problema 01: Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis (C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados.

Cursos A B C A e B A e C B e C A e B e CPreferência 90 130 170 20 40 30 10

Determinar:a) Quantos alunos consultados preferem só o Curso de Administração (A)?b) Quantas alunos consultados preferem só dois Cursos?c) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) ou Direito (D) ?d) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)?

Resolução:

Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos com suas preferências.

Portanto,a) Os alunos consultados que preferem só o Curso de Administração são 40.b) Os alunos consultados que preferem só dois Cursos são 60.c) Os alunos consultados que preferem Administração (A) ou Biologia (B) são 200.d) Os alunos consultados que preferem Administração (A) e não Contábeis (C) são 50.

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 1 7

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 8

3) Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.

Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e CConsumidores 100 140 180 20 40 30 10

Determinar:a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A?b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos?c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B?d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C?

4) De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo.

Cidades \ Sexos Homens Mulheres Total

RIO PRETO 4 3

RIO CLARO a b

RIO PARDO a b

RIO BRANCO 8 b

TOTAL 2b 17

5) O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S).

Entretenimentos C T S C,T C,S T,S C,T,SParticipantes (%) 80 15 6 6 4 3 2

Verifique se esta pesquisa é consistente.

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 1 9

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 0

Jornais A B C A,B A,C B,C A,B,CLeitores 100 90 110 15 20 30 5

Nestas condições podemos dizer que lêem

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 2 1

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 2 3

Exercício de aplicação 4 n2

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 4

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 2 5

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 6

Exercício de aplicação 4 n10

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 2 7

C a p í t u l o 1 : T e o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 8

P r o f e s s o r R a f a e l O l i v i e r i N e t o ∙ 2 9

Tales de Mileto 624 - 558 a.C

A palavra matemática deriva do grego mathēmatikós que signi-fica a ciência da aprendizagem.

A matemática rudimentar pode ter surgido por volta de 35.000 a.C. onde achados arqueológicos sugerem que na Era Paleolítica o homem de neandertal já utilizava a operação básica simples como a adição.

Em 1960 na região do Con-go foi escavado o Osso de Lebombo, o qual é conside-rado o artefato matemático mais antigo da história. Se-gundo arqueólogos neste osso de fíbula de babuíno foram talhados vinte e nove traços que simulam uma contagem rudimentar.

Com o processo evolutivo e desenvolvimento da cogni-ção, o ser humano foi capaz de desenvolver o raciocínio lógico e a abstração. Foi en-tão, que a matemática surgiu como ciência por volta do sé-culo VI a.C. na Grécia Antiga.

No primórdio a civilização grega utilizava a matemática de forma pratica nas ativida-des diárias. A partir da fun-dação de escolas filosóficas: a

Escola Jônica e a Escola de Pi-tágoras, a ciência matemática se desenvolveu, dando início a fórmulas e postulados.

A Escola Jônica foi fundada por Tales de Mileto (624 - 558 a.C.) que elaborou o Teorema de Tales, uma teoria fundamental para a geometria, cuja formula:

2α + 2β = 1800 → α + β = 900

prova que a soma dos ângulos internos de um triangulo é de 180º e que os dois ângulos da base de um triangulo isósce-les são iguais.

A escola filosófica de Pitágo-ras foi responsável por inú-meras contribuições para o desenvolvimento da ciência matemática. Pitágoras é con-siderado o pai da matemá-tica, porque foi o primeiro a cunhar o nome desta ciência, concebendo deste modo um sistema de pensamento com provas dedutivas.

O filosofo grego descobriu os números irracionais e elabo-rou o Teorema de Pitágoras cujo símbolo c² + b² = a² onde provou que o quadrado da hi-potenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

A Escola de Pitágoras durou cerca de mil anos e formou inúmeros matemáticos e fi-lósofos que desenvolveram conceitos vastos e ampliados da ciência.

É atribuída a Escola Pitagóri-ca as seguintes descobertas: a classificação aritmética dos números pares, impares e primos, a criação e definição de teoremas, provas, axiomas e o intervalo matemático en-tre as notas musicais.

Por volta do ano de 300 a.C. o grego Euclides escreveu Os elementos que se tornou o primeiro tratado matemático o qual se tem conhecimento. Com a invenção da prensa de Gutemberg no século XV, o tratado de Euclides se tornou o livro de matemática mais antigo e bem sucedido do mundo, contando com mais de mil edições.

Origem e Curiosidades“A matemática é o alfabeto pelo qual Deus escreveu o universo” - Galileu Galilei

Matemática IProf. Rafael Olivieri Neto