programación lineal entera-mixta - feis.unesp.br · algoritmo de cortes de gomory • paso 3...

PPrrooggrraammaacciióónn lliinneeaall eenntteerraa--mmiixxttaa

José Manuel Arroyo Sánchez

ÁÁrreeaa ddee IInnggeenniieerrííaa EEllééccttrriiccaa UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCaassttiillllaa –– LLaa MMaanncchhaa

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA BIBLIOGRAFÍA

• G. L. NEMHAUSER, L. A. WOLSEY. “INTEGER AND COMBINATORIAL OPTIMIZATION”. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK. 1988.

• S. P. BRADLEY, A. C. HAX, T. L. MAGNANTI. “APPLIED MATHEMATICAL

PROGRAMMING”. ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. READING, MASSACHUSETTS. 1977.

• E. CASTILLO, A. J. CONEJO, P. PEDREGAL, R. GARCÍA, N. ALGUACIL.

“BUILDING AND SOLVING MATHEMATICAL PROGRAMMING MODELS IN ENGINEERING AND SCIENCE”. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK. 2002.

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS

• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

INTRODUCCIÓN ¿QUÉ ES UN PROBLEMA DE PLEM?

• PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN • FUNCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES LINEALES • VARIABLES ENTERAS Y CONTINUAS • SI TODAS LAS VARIABLES SON ENTERAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL

ENTERA ESTRICTA • SI LAS VARIABLES ENTERAS SON BINARIAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL

ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ ¡¡¡INTERÉS PRÁCTICO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA!!!

INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PLEM

1jjjxcz MINIMIZAR

SUJETO A:

m1i;bxa i

1jjij K==∑

n1j;0x j K=≥

n1j ALGÚN PARA;Ix j K=∈

{ }K 2 ,1 ,0I =

INTRODUCCIÓN CONJUNTO DE SOLUCIONES FACTIBLES

INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM

21 x8x5z MAXIMIZAR +=

SUJETO A:

0x1 ≥

0x2 ≥

6xx 21 ≤+

45x9x5 21 ≤+

Ix,x 21 ∈

INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. REGIÓN FACTIBLE

INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. SOLUCIÓN

PROBLEMA LINEAL RELAJADO

ÓPTIMO

REDONDEO

SOLUCIÓN ENTERA MÁS PRÓXIMA

ÓPTIMO

INFACTIBLE

LA SOLUCIÓN FACTIBLE MÁS PRÓXIMA A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LINEAL RELAJADO NO ES LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DE PLEM NECESIDAD DE TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN

INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)

• SÓLO PUEDEN TOMAR LOS VALORES 0 Ó 1 ⇒ ↑↑ COMPLEJIDAD PROBLEMA

LINEAL POR FALTA DE CONTINUIDAD • ÚTILES EN PROBLEMAS EN LOS QUE LAS VARIABLES SÓLO PUEDEN TOMAR

2 VALORES:

LUGAR TIENE NO SITUACIÓN LA

LUGAR TIENE SITUACIÓN LA

⎪⎩

⎪⎨

INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)

• TAMBIÉN ÚTILES PARA MODELAR NO LINEALIDADES:

CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES

RESTRICCIONES CONDICIONALES

FUNCIONES DISCONTINUAS

FUNCIONES LINEALES A TRAMOS Y NO CONVEXAS • EJEMPLOS: PROBLEMA DE LA MOCHILA, PROBLEMA DEL VIAJERO,

PROGRAMACIÓN HORARIA (ARRANQUE Y PARADA DE GRUPOS GENERADORES)

INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

• BRANCH & BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN) • CORTES DE GOMORY • BRANCH & CUT (RAMIFICACIÓN Y CORTES)

INTRODUCCIÓN VENTAJAS DE LA PLEM

• CONVERGENCIA AL ÓPTIMO EN UN TIEMPO FINITO • CONOCIMIENTO DE PROXIMIDAD AL ÓPTIMO (DIFERENCIA DE COTAS) • DESARROLLO DE SOFTWARE DE CÁLCULO (CPLEX, XPRESS)

BRANCH & BOUND • RESOLUCIÓN DE SECUENCIA ORDENADA DE PROBLEMAS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL:

RELAJACIÓN DE RESTRICCIONES DE INTEGRALIDAD

RESTRICCIONES ADICIONALES CUYO NÚMERO CRECE A MEDIDA QUE PROGRESA EL PROCEDIMIENTO ⇒ PROBLEMA CADA VEZ MÁS RESTRINGIDO

CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO

BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE:

COTA SUPERIOR (z) ⇒ CUALQUIER SOLUCIÓN FACTIBLE DE PLEM 0/1

COTA INFERIOR (z) ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA PROBLEMA LINEAL RELAJADO

zzz * ≤≤

• PROCEDIMIENTOS DE RAMIFICACIÓN ⇒ ↓ COTA SUPERIOR, ↑ COTA INFERIOR

• DIFERENCIA ENTRE COTAS ⇒ MEDIDA DE CERCANÍA AL ÓPTIMO

ELEMENTOS DEL ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE COTAS

• RAMIFICACIÓN

• RESOLUCIÓN DE PL CADA VEZ MÁS RESTRINGIDOS • ACTUALIZACIÓN DE COTAS

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 1 (INICIACIÓN):

+∞=z

−∞=z

RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR):

− INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN

− FACTIBLE:

SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN

SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ Rzz = ⇒ IR A PASO 2

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 2 (RAMIFICACIÓN):

SE ELIGE xk QUE NO CUMPLE INTEGRALIDAD EN PLR ( b.axk = )

GENERACIÓN DE 2 PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS:

INCLUSIÓN DE LOS NUEVOS PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS EN LA LISTA DE PROBLEMAS A RESOLVER ⇒ RESOLUCIÓN SECUENCIAL O PARALELA ⇒ PASO 3

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 3 (RESOLUCIÓN):

SE RESUELVE EL PRÓXIMO PROBLEMA EN LA LISTA ( )⇒ ALGORITMO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE ⇒ IR A PASO 4

• PASO 4 (ACTUALIZACIÓN DE COTAS):

FACTIBLE, SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*

R ≤ ⇒ *Rzz = ⇒ SOLUCIÓN

CANDIDATA A MINIMIZADOR ⇒ IR A PASO 5

FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zzz *R ≤≤ ⇒

− RAMIFICACIÓN E INCLUSIÓN DE NUEVOS PROBLEMAS RELAJADOS EN LA LISTA ⇒ IR A PASO 2

FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*

R ≥ ⇒ IR A PASO 5

INFACTIBLE ⇒ IR A PASO 5 20

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 5 (PODA):

PODA POR INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 6

PODA POR COTAS ⇒ IR A PASO 6

PODA POR INFACTIBILIDAD ⇒ IR A PASO 6 • PASO 6 (OPTIMALIDAD):

LISTA DE PROBLEMAS NO VACÍA ⇒ IR A PASO 3

LISTA DE PROBLEMAS VACÍA ⇒ FIN

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND ESTRATEGIAS DE RAMIFICACIÓN Y PROCESAMIENTO

ELECCIÓN ADECUADA DE LA VARIABLE CANDIDATA PARA LA RAMIFICACIÓN ⇒ DEPENDE DE LA ESTRUCTURA DEL PROBLEMA

• ESTRATEGIAS EN ANCHURA ⇒ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SIMILARES ⇒

VENTAJAS COMPUTACIONALES

• ESTRATEGIAS EN PROFUNDIDAD ⇒ PRODUCE RÁPIDAMENTE zzz *R ≤≤ Y

zzz *R ≤≤ Y PODAS POR INFACTIBILIDAD

• ESTRATEGIAS MIXTAS

BÚSQUEDA EN ANCHURA BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD

ALGORITMO DE BRANCH & BOUND

• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA ⇒ PUEDE SER NECESARIO

RAMIFICAR TODAS LAS VARIABLES DEL PROBLEMA

• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ RAMIFICACIÓN DE VARIABLES 0/1 IMPLICA FIJAR LAS VARIABLES BINARIAS A 0 Ó 1

EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA

21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:

0x1 ≤−

1x2x2 21 ≤−

9x2 2 ≤

Ix,x 21 ∈

EJEMPLO I REGIÓN FACTIBLE

EJEMPLO II PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA

21 x2x3z MINIMIZAR +=

SUJETO A:

5.2xx2x 321 =+−

5.1xxx2 421 =++

0x,x,x,x 4321 ≥

Ix,x 32 ∈

CORTES DE GOMORY • RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ORIGINAL RELAJADO (PLR) INCLUYENDO

RESTRICCIONES ADICIONALES LLAMADAS CORTES DE GOMORY • PROCESO ITERATIVO ⇒ 1 CORTE DE GOMORY ADICIONAL POR ITERACIÓN

• SE REDUCE PROGRESIVAMENTE LA REGIÓN FACTIBLE SIN EXCLUIR SOLUCIONES ÓPTIMAS

• CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO

CORTES DE GOMORY

GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY REGIÓN FACTIBLE:

bAx = 0x ≥

EMPLEANDO NOTACIÓN ESTÁNDAR DEL MÉTODO SIMPLEX:

bNxBx NB =+

bBNxBx 1N

−− =+

b~Uxx NB =+ PARA UNA VARIABLE BÁSICA IxBi ∈ QUE NO ES ENTERA EN PLR:

ijBi b~xux =+∑

DONDE Ib~i ∉

GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY SI SE EXPRESAN uij Y COMO SUMA DE UNA PARTE ENTERA Y UNA PARTE DECIMAL:

ijijij fiu +=

i i i f~i~b~ +=

DONDE Y 0fij ≥ 0f~i > POR LO TANTO:

( ) i i j

NjijijBi f~i~xfix +=++∑

∑∑ −=−+j

Njiji i j

NjijBi xff~i~xix

GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY POR LO TANTO DEBE SER: ∑−

jNjiji xff~

ENTERO, YA QUE i

jNjijBi i~xix −+∑ ES ENTERO

MENOR QUE , QUE ES UNA FRACCIÓN POSITIVA MENOR QUE 1, YA QUE

Njij ≥∑

CONCLUSIÓN: SE DEFINE EL CORTE DE GOMORY ASOCIADO A LA VARIABLE BÁSICA : Bix

jNjiji ≤−∑

O IGUALMENTE,

0f~xf i j

Njij ≥−∑

ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 1 (INICIACIÓN): RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR)

INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN

FACTIBLE ⇒ IR A PASO 2 • PASO 2 (CONTROL DE OPTIMALIDAD):

SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN

SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 3

ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 3 (GENERACIÓN DE CORTE): SE EMPLEA UNA VARIABLE BÁSICA QUE

HA DE SER ENTERA Y NO LO ES, Y SE GENERA EL CORTE DE GOMORY • PASO 4 (RESOLUCIÓN):

SE AÑADE EL CORTE Y SE RESUELVE EL NUEVO PLR ⇒ IR A PASO 2

MÉTODO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE

EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA

21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:

0x1 ≤−

1x2x2 21 ≤−

9x2 2 ≤

Ix,x 21 ∈

BRANCH & CUT • COMBINACIÓN DE BRANCH & BOUND Y DE GENERACIÓN DE CORTES • USO DE HEURÍSTICOS QUE REDUCEN LA REGIÓN FACTIBLE • REDUCCIÓN ESPECTACULAR DE TIEMPO DE CÁLCULO ⇒ CPLEX, XPRESS

RESTRICCIONES LÓGICAS FACTIBILIDAD DE UNA RESTRICCIÓN

¿CUÁNDO SE CUMPLE LA RESTRICCIÓN ( ) bx,,x,xf n21 ≤K ? MODELO PLEM 0/1: ( ) bByx,,x,xf n21 ≤−K

CUMPLE SE NO NRESTRICCIÓ LA

CUMPLE SE NRESTRICCIÓ LA

⎪⎩

⎪⎨

⎧= (2)

DONDE B ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE TAL QUE CUANDO LA RESTRICCIÓN NO SE CUMPLE, 1y = , (1) NO SE ACTIVA ADECUADA ELECCIÓN DE B ⇒ EVITAR PROBLEMAS NUMÉRICOS

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I

SE DEBE CUMPLIR AL MENOS UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K

( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I

MODELO PLEM 0/1: ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K

( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K

1yy 21 ≤+

{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II

SE DEBE CUMPLIR SÓLO UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K

( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K

MODELO PLEM 0/1 (I): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K

( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K

1yy 21 =+

{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II

MODELO PLEM 0/1 (II): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K

( ) ( ) 212n212 by1Bx,,x,xf ≤−−K

{ }1,0y1∈ (3) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES AHORRO DE 1 VARIABLE BINARIA ⇒ ↓↓↓ COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL (ÁRBOL DE BÚSQUEDA DEL BRANCH & BOUND REDUCIDO)

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS III

SE DEBEN CUMPLIR AL MENOS k DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) jn21j bx,,x,xf ≤K , p1j K=

MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) jjjn21j by1Bx,,x,xf ≤−−K , p1j K=

1jj ≥∑

CUMPLE SE NO j NRESTRICCIÓ LA

CUMPLE SE j NRESTRICCIÓ LA

⎪⎩

⎪⎨

⎧= , p1j K=

DONDE Bj SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES

RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS

REGIÓN FACTIBLE DEFINIDA POR CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES (NO NECESARIAMENTE DISJUNTOS):

RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS

MODELO PLEM 0/1: ( ) 111211 byBx,xf ≤− (1)

( ) 212212 byBx,xf ≤− (2)

( ) 323213 byBx,xf ≤− (3)

( ) 424214 byBx,xf ≤− (4)

( ) 535215 byBx,xf ≤− (5)

( ) 636216 byBx,xf ≤− (6)

( ) 737217 byBx,xf ≤− (7)

2yyy 321 ≤++ (8)

0x,x 21 ≥ (9)

{ }1,0y,y,y 321 ∈ (10)

DONDE B1 - B7 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES

RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES CONDICIONALES

( ) 1n211 bx,,x,xf >K IMPLICA QUE ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K (CONDICIÓN IF ... THEN)

EQUIVALENTE A RESTRICCIONES ALTERNATIVAS (AL MENOS UNA SE DEBE CUMPLIR): ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K Y/O ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K

MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD

( )Bx0 SI

⎪⎩

⎪⎨

EJEMPLO PRÁCTICO: COSTES FIJO (K) Y VARIABLE (c) DE UNA CENTRAL ELÉCTRICA

MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD

MODELO PLEM 0/1: ( ) cxKyxf +=

Byx ≤

0x ≥

{ }1,0y∈ (4) DONDE: B ≡ VALOR MÁXIMO DE x (POTENCIA MÁXIMA NOMINAL) y ≡ VARIABLE 0/1 IGUAL A 0 SI x = 0 (NO SE INCURRE EN EL COSTE FIJO), E IGUAL A 1 EN OTRO CASO (SÍ SE INCURRE EN EL COSTE FIJO) ¡¡¡OJO, SÓLO FUNCIONA SI SE MINIMIZA f(x) Y K > 0!!!

MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

≤≤

−γ+−β+α

−β+α

DONDE:

γ<α<β<0

cba0 <<<

MODELO PLEM 0/1: ( ) 321 xxxxf γ+β+α=

321 xxxx ++=

axay 11 ≤≤

( ) ( ) 122 yabxyab −≤≤−

( ) 23 ybcx0 −≤≤

{ }1,0y,y 21 ∈

OJO, (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN 0y1 = , 1y2 = ⇒ 3 COMBINACIONES POSIBLES

xj ≡ TROZO j DE x

CASO OTRO EN

⎪⎩

⎪⎨

CASO OTRO EN

⎪⎩

⎪⎨

PARA EL CASO GENERAL LA RESTRICCIÓN PARA EL TROZO j ES:

1jjjjj yLxyL −≤≤ DONDE Lj REPRESENTA LA LONGITUD DEL TRAMO j SI LA FUNCIÓN ES CONVEXA Y EL PROBLEMA ES DE MINIMIZACIÓN LAS VARIABLES 0/1 NO SON NECESARIAS

MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON

DISCONTINUIDAD INICIAL

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

≤≤

−γ+−β+−α+

−β+−α+

−α+=

cxbcabf

DONDE:

γ<α<β<0

cba0 <<<

DISCONTINUIDAD INICIAL

DISCONTINUIDAD INICIAL MODELO PLEM 0/1: ( ) 3210 xxxvfxf γ+β+α+=

321 xxxvax +++=

( ) ( )vabxyab 11 −≤≤−

( ) ( ) 122 ybcxybc −≤≤−

( ) 23 ycdx0 −≤≤

{ }1,0y,y,v 21 ∈

OJO, (3) IMPIDE Y (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN vyj > 0y1 = , 1y2 = ⇒ 4 COMBINACIONES POSIBLES

MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES APROXIMACIÓN LINEAL A TROZOS

iU u i

Puntos de mejor eficiencia local

Linealización cóncava a trozos

NO CONCAVIDAD ⇒ VARIABLES BINARIAS ↑↑ PRECISIÓN ⇒ ↑↑ TRAMOS LINEALES

MODELADO DEL PRODUCTO DE VARIABLES BINARIAS

1iixz , { }1,0xi ∈

MODELO PLEM 0/1:

0z ≥

ixz ≤ , n,,1i K=

1ii +−≥ ∑

{ }1,0xi ∈ (4) (3) SÓLO SE ACTIVA CUANDO TODOS LOS xi SON IGUALES A 1

MODELADO DEL PRODUCTO DE UNA VARIABLE BINARIA Y UNA VARIABLE CONTINUA

xpz = , { }1,0x∈ , [ ]maxmin p,pp∈

MODELO PLEM 0/1:

rpz −=

maxmin xpzxp ≤≤

( ) ( ) maxmin px1rpx1 −≤≤−

{ }1,0x∈ (4)

[ ]maxmin p,pr ∈ (5) DONDE r ES UNA VARIABLE CONTINUA AUXILIAR

MODELADO DEL PRODUCTO DE LAS CONDICIONES DE COMPLEMENTARIEDAD

0f =π , 0≥π , 0f ≥

MODELO PLEM 0/1 (EXPRESIÓN DE FORTUNY-AMAT):

My≤π

0≥π (2)

( )y1Mf −≤

0f ≥

{ }1,0y∈

DONDE M ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE

OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA

• LÍMITES MÁXIMO Y MÍNIMO DE PRODUCCIÓN • TIEMPOS MÍNIMOS DE FUNCIONAMIENTO Y DE PARADA • RAMPAS: SUBIDA, BAJADA, ARRANQUE Y PARADA • RESERVA RODANTE • COSTES: DE PRODUCCIÓN (FIJOS Y VARIABLES), DE ARRANQUE Y DE

PARADA

OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA MODELO BASADO EN LA DEFINICIÓN DE 3 VARIABLES BINARIAS: • v(k): VARIABLE DE ACOPLAMIENTO/DESACOPLAMIENTO EN EL PERIODO k • y(k): VARIABLE DE ARRANQUE AL COMIENZO DEL PERIODO k • z(k): VARIABLE DE PARADA AL COMIENZO DEL PERIODO k

Power(MW)

Time (h)01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 v(k) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 y(k) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 z(k) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( )1kvkvkzky −−=−

¡¡OJO!! ( ) [ ]1,0kz ∈ ⇒ VENTAJAS COMPUTACIONALES

v(k-1)

MINIMIZACIÓN DE

COSTES

LÍMITES DE PRODUCCIÓN

POTENCIA MÁXIMA NOMINAL Y MÍNIMO TÉCNICO:

( ) ACOPLADA ESTÁ CENTRAL LA SI

ADESACOPLAD ESTÁ CENTRAL LA SI

⎪⎩

⎪⎨

≤≤

MODELO PLEM 0/1:

( ) ( ) ( )kvPkpkvP ≤≤

TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE MANTENERSE ACOPLADA UNA VEZ PUESTA EN FUNCIONAMIENTO MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0kv1kv UT1kx ≥−−−−

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]kv1 1kz1 1kxkv 1ky1 1kxkx −−−−++−−=

UT: TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO (h) x(k): NÚMERO DE HORAS QUE LA CENTRAL LLEVA

ACOPLADA/DESACOPLADA (+/-) AL FINAL DEL PERÍODO k

TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO MODELO PLEM 0/1:

( )[ ] 0kv1L

=−∑=

( ) ( )kyUTiv 1UTk

≥∑−+

1UTT1Lk +−+= K (2)

( ) ( )[ ] 0kyivT

≥−∑=

T2UTTk K+−= (3)

( ) ( )[ ]0V UUT,TMinL 0−=

T: NÚMERO DE HORAS DEL HORIZONTE TEMPORAL

0U : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE ACOPLADA (h)

( )0V : ESTADO INICIAL DE ACOPLAMIENTO

TIEMPO MÍNIMO DE PARADA NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE ESTAR PARADA UNA VEZ QUE SE DESACOPLA MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01kvkv DT1kx ≤−−+−

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]kv1 1kz1 1kxkv 1ky1 1kxkx −−−−++−−=

DT: TIEMPO MÍNIMO DE PARADA (h)

TIEMPO MÍNIMO DE PARADA MODELO PLEM 0/1:

( ) 0kvF

( )[ ] ( )kzDTiv1 1DTk

≥−∑−+

1DTT1Fk +−+= K (2)

( ) ( )[ ] 0kziv1T

≥−−∑=

T2DTTk K+−= (3)

( )[ ] ( )[ ]{ } 0V1 0SDT,T MinF −−=

( )0S : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE DESACOPLADA (h)

EXPRESIONES ANÁLOGAS A LAS DEL TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO

RAMPAS MÁXIMA VARIACIÓN DE PRODUCCIÓN ENTRE DOS HORAS CONSECUTIVAS • RAMPA DE SUBIDA (RU)

( ) ( )[ ] ( ) RU1kpky1 kp ≤−−− • RAMPA DE BAJADA (RD)

( ) ( )[ ] ( ) RDkpkz1 1kp ≤−−− • RAMPA DE ARRANQUE (SU)

( ) ( ) ( )[ ]ky1P kSUykp −+≤ • RAMPA DE PARADA (SD)

( ) ( ) ( )[ ]kz1P kSDz1kp −+≤−

RAMPAS MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) ( )[ ] ( )SD 1kz1kzkvPkp +++−≤

( ) ( ) ( ) ( )kySU1kvUR1kpkp +−+−≤

( ) ( ) ( ) ( )kSDzkvDRkp1kp +≤−−

RAMPAS

( )1kv −

( )1kv + Restricciones (1)-(3)

( ) SD kp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DRkp1kp ≤−−

( ) Pkp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DRkp1kp ≤−−

( ) SD kp ≤ ( ) SU kp ≤ ( ) SDDRkp +≤−

( ) Pkp ≤ ( ) SU kp ≤ ( ) DRkp ≤−

RAMPAS

( )1kv −

( )1kv + Restricciones (1)-(3)

( ) 0 kp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DSkp1kp ≤−−

( ) 0 kp ≤ ( ) 0kp ≤ ( ) 0kp ≤−

RESERVA RODANTE POTENCIA SINCRONIZADA DISPONIBLE RÁPIDAMENTE EN CASO DE EMERGENCIA CONCEPTO ÚTIL: POTENCIA MÁXIMA DISPONIBLE ( ( )kp ):

( ) ( ) ( )kpkpkRR −= DONDE:

( ) ( ) ( )[ ]{ ( ) ( ) ( ) ( ) } SU ky1kRUv1kp,SD 1kz1kzkvP Minkp +−+−+++−=

RESERVA RODANTE

( )1kv −

( )1kv +

( ){ } RU1kp,SDMin +−

( ){ } RU1kp,PMin +−

{ } SU,SDMin

1 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

0 0 1 0

SIMPLIFICACIÓN TRADICIONAL:

( ) ( )kvPkp =

RESERVA RODANTE MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) ( )[ ] ( )SD 1kz1kzkvPkp +++−≤

( ) ( ) ( ) ( )kySU1kvUR1kpkp +−+−≤

( ) ( )kpkp ≤

( ) ( ) ( )kpkpkRR −= (4) MODELO EQUIVALENTE SI SE MINIMIZA EL COSTE O SI SE MAXIMIZA EL INGRESO POR RESERVA RODANTE

COSTES DE PRODUCCIÓN

FUNCIÓN NO LINEAL, NO CONVEXA Y NO DIFERENCIABLE DE LA POTENCIA DE SALIDA

P p(k)

COSTES DE PRODUCCIÓN SIMPLIFICACIÓN TRADICIONALMENTE USADA: APROXIMACIÓN CUADRÁTICA

jP p(k)

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )kvkpckbpakd 2++=

COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS

T2 T1 jP

δ1(k) δ2(k)

δ3(k) A

A: TÉRMINO QUE INCLUYE EL COSTE FIJO Y EL COSTE A MÍNIMO TÉCNICO

lF : PENDIENTE DEL BLOQUE DE POTENCIA l

δl(k): POTENCIA PRODUCIDA EN LA HORA k Y EN EL BLOQUE l

COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS

( ) ( ) ( )∑

δ+=NL

k FkAvkdl

( ) ( ) ( )kvPkkpNL

+δ= ∑=l

( ) ( ) ( )kkt PT 111 δ≤−

( ) ( ) ( )kv PTk 11 −≤δ

( ) ( ) ( )kkt TT 1 llll δ≤− − 1NL2 −= Kl

( ) ( ) ( )kt TTk 11 −−−≤δ llll 1NL2 −= Kl

( ) 0kNL ≥δ

( ) ( ) ( )kt TPk 1NL1NLNL −−−≤δ

( ) { }1,0kt ∈l 1NL1 −= Kl

COSTE DE ARRANQUE

FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA

s(k-1)

CF + CC

( )( )

( )kyCFe1 CCkb1-ks -

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS

DISCRETIZACIÓN HORARIA ⇒ COSTE DE ARRANQUE DISCRETO APROXIMACIÓN ASINTÓTICAMENTE CONVERGENTE

ue Exponencial

Lineal a tramos

Tiempo parada (h)

SE NECESITA MODELAR UN CONTADOR DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA RESTRICCIÓN CONDICIONAL: • SI ( ) 0kv = ⇒ ( ) ( ) 11ksks +−=

• SI ( ) 1kv = ⇒ ( ) 0ks =

MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) 11ksks +−≤

( ) ( ) ( ) ( ) 11kskv 1Sks +−≥++

( ) ( )[ ] 0kv1Sks ≤−−

( ) 0ks ≥

DONDE S ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE (E.G. EL NÚMERO MÁXIMO DE HORAS QUE LA CENTRAL PUEDE ESTAR DESACOPLADA)

MODELO PLEM 0/1:

( ) ( )kw Kkb~ iND

( ) ( )kykwND

i =∑=

( ) ( ) ( )1kskmkw i 1ND

i −=+∑−

( ) ( ) ( )[ ] 1kykwSkm ND +−≤

( ) ( )kw NDkm ND≥ (5)

( ) { }1,0kwi ∈ (6)

ND: NÚMERO DE TRAMOS DE LA DISCRETIZACIÓN

COSTE DE PARADA

TÍPICAMENTE CONSTANTE:

( ) ( )kCzkc =

¿DÓNDE NECESITAMOS ESTOS MODELOS?

• PROGRAMACIÓN HORARIA (UNIT COMMITMENT) ⇒ MARCO CENTRALIZADO

• DESPACHO ECONÓMICO DINÁMICO

• PROCEDIMIENTOS DE CIERRE DE MERCADO (CON O SIN RED) ⇒ MARCO

COMPETITIVO

• AUTO-PLANIFICACIÓN DE PRODUCTORES (MERCADO DIARIO Y/O DE

SERVICIOS COMPLEMENTARIOS, CON O SIN PODER DE MERCADO) ⇒ ESTRATEGIAS DE OFERTA

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA

DETERMINACIÓN, PARA CADA HORA DE UN DÍA O UNA SEMANA, DEL PLAN DE ACOPLAMIENTO Y DE LAS PRODUCCIONES DE LOS GRUPOS TÉRMICOS, DE FORMA QUE: • EL COSTE DE EXPLOTACIÓN SEA MÍNIMO • SE CUMPLAN LAS RESTRICCIONES TÉCNICAS DE LOS GRUPOS TÉRMICOS

(LÍMITES DE PRODUCCIÓN, RAMPAS, TIEMPOS MÍNIMOS) • SE SUMINISTRE LA DEMANDA DE ENERGÍA • HAYA POTENCIA DE RESERVA SUFICIENTE

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. FORMULACIÓN MATEMÁTICA

( ) ( ) ( )kckbkd MINIMIZAR iiIi Kk

i ++∑∑∈ ∈

SUJETO A:

iip Π∈ Ii∈∀

( ) ( )kDkpIi

i =∑∈

Kk∈∀

( ) ( ) ( ) ( )kRRkDkpkpIi

ii +≥−∑∈

Kk∈∀

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD

COMPUTACIONAL

# RESTRICCIONES

# VARIABLES 0/1

# VARIABLES CONTINUAS

( ) T2NL216TNJ ×+×+××

( )NDNL1TNJ ++××

( )NL5TNJ +××

NJ: NÚMERO DE CENTRALES TÉRMICAS T: NÚMERO DE INTERVALOS DEL HORIZONTE TEMPORAL NL: NÚMERO DE TRAMOS DE LA APROXIMACIÓN LINEAL DEL COSTE DE

PRODUCCIÓN ND: NÚMERO DE INTERVALOS DISCRETOS DEL COSTE DE ARRANQUE

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD

COMPUTACIONAL NJ: 60 T: 24 NL: 3 ND: 3

# RESTRICCIONES

# VARIABLES 0/1

# VARIABLES CONTINUAS

EJEMPLO NUMÉRICO

(MW/h)

(€/h)

(€/MWh)

C (€)

140 40 100 100 100 100 12 0.150 05 1.0

1 2 3 DEMANDA (MW) 150 500 400

RESERVA RODANTE (MW) 015 050 040 INICIALMENTE, TODOS LOS GRUPOS DESACOPLADOS

EJEMPLO NUMÉRICO SOLUCIÓN ÓPTIMA

( )kpi (MW) ( )kpi (MW)

HORAS HORAS

000 100 140

COSTE: 189.8 €

EJEMPLO NUMÉRICO SI LAS RAMPAS DE ARRANQUE Y PARADA SE DESACTIVAN (IGUALES A P):

SOLUCIÓN ÓPTIMA:

( )kpi (MW) ( )kpi (MW) HORAS HORAS

000 000 000

COSTE: 177.75 €

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO

Centrales térmicas

Centrales nucleares

Sistemas hidráulicos

Demanda residencial Otros

consumos

Demanda industrial

Intercambios internacionales

productores: eólica, solar,

cogeneración, etc.

Red de transporte y

redes de distribución

Demanda comercial

ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO MERCADO BASADO EN UN “POOL” O BOLSA DE ENERGÍA

Operador del mercadoAlgoritmo de cierre de

mercado

Productor 1 Productor i Productor n Estrategia de oferta Estrategia de oferta Estrategia de oferta

Plan de generación y

consumo

Precios de cierre de mercado

Estrategia de ofertaConsumidor 1

Estrategia de oferta Estrategia de oferta Consumidor j

··· ···

Consumidor m

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO

• LOS PRODUCTORES ENVÍAN OFERTAS DE VENTA ENERGÍA/PRECIO (EN

GENERAL, MONÓTONAMENTE CRECIENTE) • LOS CONSUMIDORES ENVÍAN OFERTAS DE COMPRA ENERGÍA/PRECIO (EN

GENERAL, MONÓTONAMENTE DECRECIENTE) • EL OPERADOR DEL MERCADO USA UN ALGORITMO DE CIERRE DE

MERCADO (SUBASTA) PARA DETERMINAR:

PRECIO DE CIERRE DE MERCADO

OFERTAS DE VENTA ACEPTADAS

OFERTAS DE COMPRA ACEPTADAS

DE FORMA QUE EL BENEFICIO SOCIAL NETO SEA MÁXIMO

ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL

MAXIMIZAR BENEFICIO SOCIAL NETO SUJETO A:

LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN

LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO

FACTIBILIDAD DE GENERADORES (RAMPAS, LÍMITES DE PRODUCCIÓN, TIEMPOS MÍNIMOS, ETC.) ⇒ RESTRICCIONES IDÉNTICAS A LAS DE LA PROGRAMACIÓN HORARIA

FACTIBILIDAD DE CONSUMIDORES

BALANCE DE POTENCIA

Consumers’ surplus

Ofertas aceptadas

Precio de cierre de mercado

Energía

Precio

Producers’ surplus

p p SWIi

1mmi Gmi G

1nnj Dnj D

∑∑∑∑∈ =∈ =

λ−λ=

nj Dλ : PRECIO DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j

mi Gλ : PRECIO DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i

p nj D : POTENCIA CONSUMIDA DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j

p mi G : POTENCIA GENERADA DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i

jNQ : NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DE LA DEMANDA j

i : NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DEL GENERADOR i NL

• LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN:

1mmi Gi pp

Ii∈∀

Pp0 mi GmiG ≤≤

iMmI,i ∈∀∈∀

i1Gi PP =

Ii∈∀

• LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO:

Pp0 nj Dnj D ≤≤ jNnJ,j ∈∀∈∀

• BALANCE DE POTENCIA:

∑ ∑∑∈ ∈ =

=Ii Jj

1nnj Di p p

• DEFINICIÓN DEL PRECIO DE CIERRE DE MERCADO:

VARIABLE DUAL ASOCIADA AL BALANCE DE POTENCIA

PRECIO DE LA OFERTA DE VENTA ACEPTADA MÁS CARA

APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 TIPOS DE ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO

• MULTIPERIODO VERSUS MONOPERIODO • CON RED VERSUS NUDO ÚNICO • MODELANDO PÉRDIDAS VERSUS SIN PÉRDIDAS

ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS

CON RESTRICCIONES

SIN RESTRICCIONES

CASO (# GRUPOS)

SOLUCIÓN ÓPTIMA ($)

TIEMPO CPU (s)

SOLUCIÓN ÓPTIMA ($)

TIEMPO CPU (s)

A (20)

0 320072.65

0321328.02

B (40)

0 640320.02

0642823.60

C (60)

0960549.09

0964314.46

D (80)

1280683.28

1285704.28

E (100)

1600914.95

1607183.90

ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS

0 5 10 15 20 250

TIME (h)

ET CLEA

ICE ($/M

DEMAND

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