proizvodnaya funkcii
Post on 31-May-2015
82 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Производная функции
Определение производнойГеометрический смысл производнойСвязь между непрерывностью и дифференцируемостьюПроизводные основных элементарных функцийПравила дифференцированияПроизводная сложной функцииПроизводная неявно заданной функцииЛогарифмическое дифференцирование
Определение производнойПусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение :x
y
0 хх
f(x )
x+Δx
f(x+ Δx )
Найдем соответствующее приращение функции:
)()( xfxxfy
yx
);( baxx
Если существует пределx
yx
0
lim
то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
dx
dyxfy );(;
Определение производнойИтак, по определению:
x
xfxxfy
x
)()(lim
0
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
0);();( 00 x
yxfxy
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
Геометрический смысл производнойВозьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
y
0 хх
f(x )
x+Δx
y
x
М
М1f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
φ
x
xfxxfx
ytg
)()(
При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
0x y
0
limx
tgtgx 0lim
y
0 хх
f(x )
α
М
Геометрический смысл производной
ktgx
xfxxfx
)()(lim
0
y
y
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
)x-x( 00 кyy
)(' 0xf
)x-x)((' 000 xfyy Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
)('
11
0xfkk
кас
норм )()('
10
0
0 xxxf
yy
Уравнение касательнойУравнение
нормали
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой
точке х, следовательно существует предел:
Доказательство:
)(lim0
xfx
yx
где
)()( xxfx
y
0)( x при 0x По теореме о связи функции, ее предела и
бесконечно малой функции
xxxxfy )()( 0lim0
yx
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
Производные основных элементарных функций1
Формула бинома Ньютона:
Znxy n Степенная функция:
Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:
x
nn xxxy
nkkn
nnnn
bbak
knnn
bann
bnaaba
!
)1()1(!2
)1( 221
K – факториал
kk 321!
Производные основных элементарных функцийПо формуле бинома Ньютона имеем:
nnnnn
nn
xxxxnn
xnxx
xxxy
)!2
)1(( 221
Тогда:121
!2
)1(
nnn xxx
nnnx
x
y
121
00 !2
)1(limlim nnn
xxxxx
nnnx
x
y
1 nnx 1' nn nxx
Производные основных элементарных функций2 Логарифмическая функция:
xxxy lnln
xy ln
x
xxln
xxx
x
yxx
1lnlimlim
00
x
x1ln
xxx
x
0
lim
0x
~1ln
при
x
x
x
x
xxx
11lim
0
x
x1
'ln
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.
Правила дифференцированияПусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
vuvu )(
vuvuvu )( uCuC )(
2v
vuvu
v
u
wvuwvuwvuwvu )(
2v
vC
v
C
0)( C
Производная сложной функцииПусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:
xuuy
xy
xux uyy
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
)))((()();();( xgfyxgvvuufy
xvux vuyy
ПримерВычислить производную функции
xx
xy
ln
sin13
xx
xy
ln
sin13
23
33
ln
)ln()sin1()ln()sin1(
xx
xxxxxx
23
333
ln
))(lnln)(()sin1()ln())(sin1(
xx
xxxxxxxx
23
323
ln
)1
ln3()sin1(lncos
xxx
xxxxxxx
2x
ПримерВычислить производную функции )cos(ln12 xy
Данную функцию можно представить следующим образом:
xvvuuy ln;;cos 12
xvux vuyy xvuyu
1212 lnsinsinsin
xvu 1111 ln1212
xv
1
xxxy
1ln12lnsin 1112
Коротко:
))(cos(ln12 xy )(ln)sin(ln 1212 xx
)(lnln12)sin(ln 1112 xxx
Производная неявно заданной функцииЕсли функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.
0);( yxFДля нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:
0333 xyyx 0)(3)()( 33 xyyx
0)(333 22 yxyxyyx
022 yxyyyx xy
xyy
2
2
Логарифмическое дифференцированиеВ ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
5
4 32
52
)1(
x
exxy
x
5
4 32
52
)1(lnln
x
exxy
x
)52ln(5)1ln(4
3ln2ln xxxxy
52
)52(51
1
)1(
4
32
x
x
x
x
xy
y
52
101
44
32
xxxy
yy y
5
4 32
52
)1(
x
exx x
Логарифмическое дифференцирование
Функция называется степенно – показательной.
)()( xvxuy
12
sinlnln xxy
x
xxxx
y
y
sin
cos)1()ln(sin2 2
y y
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.
12
sin x
xy
xxy sinln)1(ln 2
)sin(ln)1(sinln)1( 22
xxxxy
y
12
sin xx
top related