prosiding seminar nasional matematika dan terapannya … filerepresentation of boolean function with...
Post on 05-Feb-2018
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016
p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
REPRSENTASI FUNGSI BOOLE PADA GRAF KUBUS
Wulan Cahyani
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Jenderal Soedirman
wulanchy@yahoo.com
Siti Rahmah Nurshiami
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Jenderal Soedirman
Ari Wardayani
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This research discussed about range of simplification Boole functions
with 2, 3, 4 and 5 variables in a graph Cube. Two vertices of the cube graph is
connected if and only if their binary representations differ in a single digit.
Representation of Boolean function with two variable are lines with two vertices
adjacent have one bits in the same position. Representation of Boolean functions
with 3 variable are line and square, with two vertices adjacent have two bits in
the same position and square with four vertices adjacent have a 1 bit in the same
position, respectively. Representation of Boolean function with 4 variable are
line, square, and cube, with two vertices adjacent have 3 bits at the same position,
four vertices adjacent have two bits in the same position, 8 vertices adjacent have
one bit in the same position, respectively. Representation of Boolean function with
5 variable are line, square, cube, tesseract, with two vertices adjacent having 4
bits in the same position, four vertices adjacent have 3 bits at the same position, 8
vertices adjacent have two bits in the same position and 16 vertices adjacent have
one bit in the same position.
Keywords: Boole function, graph Cube, Gray code, K-Map
ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji representasi fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan
5 variabel pada graf Kubus. Dua simpul pada graf kubus terhubung jika dan hanya
jika bit pada string yang direpresentasikan berbeda tepat satu bit. Representasi
fungsi Boole dengan 2 variabel berbentuk garis apabila 2 simpul bertetangga
memiliki 2 bit dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 3
variabel berbentuk garis apabila 2 simpul yang bertetangga memiliki 2 bit dengan
posisi yang sama, berbentuk persegi apabila 4 simpul bertetangga memiliki 1 bit
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 25
Purwokerto, 3 Desember 2016
dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 4 variabel masing-
masing berbentuk garis, atau persegi, atau, kubus dengan 2 simpul bertetangga
memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, atau 4 simpul bertetangga memiliki 2 bit
dengan posisi yang sama, atau kubus dengan 8 simpul bertetangga memiliki 1 bit
dengan posisi yang sama. Representasi fungsi Boole dengan 5 variabel masing-
masing berbentuk garis, atau persegi, atau kubus, atau bangun 4 dimensi dengan 2
simpul bertetangga memiliki 4 bit dengan posisi yang sama, 4 simpul bertetangga
memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, 8 simpul bertetangga memiliki 2 bit
dengan posisi yang sama, 16 simpul bertetangga memiliki 1 bit dengan posisi
yang sama.
Kata Kunci: fungsi Boole, graf kubus, K-Map, Kode gray
1. PENDAHULUAN
Aljabar Boole pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan
Inggris, George Boole pada tahun 1854. Dalam buku The Laws of Thought, Boole
memaparkan aturan-aturan dasar logika yang kemudian dikenal sebagai logika
Boole. Aturan dasar logika ini membentuk sistem matematika yang disebut
Aljabar Boole. Pada tahun 1938, Claude Shannon memperlihatkan penggunaan
Aljabar Boole untuk merancang rangkaian sirkuit yaitu rangkaian pengalihan
telepon. Rangkaian pengalihan telepon bekerja dengan mode operasi biner.
Aljabar Boole telah menjadi dasar teknologi komputer digital karena rangkaian
elektronik didalam komputer juga bekerja dengan mode operasi biner. Saat ini
Aljabar Boole digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian pensaklaran,
rangkaian digital.
Pada Aljabar Boole terdapat variabel-variabel yang membentuk fungsi
Boole. Fungsi Boole dapat disajikan dalam bentuk Sum of Product (SOP) dan
Product of Sum (POS). Fungsi-fungsi Boole tersebut dapat diimplementasikan
menjadi rangkaian digital. Penyederhanaan fungsi Boole bertujuan untuk
mendapatkan rangkaian yang lebih sederhana, karena jumlah gerbang yang
terbentuk lebih sedikit. Beberapa metode untuk menyederhanakan fungsi Boole,
yaitu secara aljabar menggunakan aksioma Aljabar Boole, metode Peta Karnaugh
(K-Map), metode Tabulasi (Quine-McCluskey) dan metode Map Entered
Variables (MEV).
26 W. Cahyani d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Dalam penelitian ini akan digunakan metode Peta Karnaugh, yaitu metode
grafis untuk menyederhanakan fungsi Boole. Banyaknya variabel pada fungsi
Boole berpengaruh pada banyaknya kotak yang terbentuk pada K-Map. Semakin
banyak variabel yang digunakan maka semakin banyak pula kotak yang terbentuk
pada K-Map. Pada K-Map kotak-kotak bernilai 1 dapat dikelompokan sehingga
memudahkan untuk penyederhanaan fungsi Boole. Kode gray pada K-Map dapat
diinterpretasikan kedalam graf kubus ( nQ ), yaitu graf yang simpulnya
merepresentasikan string sebanyak 2n bit. Penulis tertarik untuk menentukan hasil
penyederhanaan fungsi Boole pada graf kubus. Adapun tujuan dari penelitian ini
yaitu mengkaji bentuk graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan 5
variabel dan representasi fungsi boole pada graf kubus.
2. HASIL PENELITIAN
Bagian ini membahas mengenai penyederhanaan fungsi Boole, bentuk graf
kubus serta representasi fungsi Boole dengan 2, 3, 4 dan 5 variabel pada graf
kubus.
2.1 Representasi Fungsi Boole dengan 2 Variabel pada Graf Kubus
Kode gray pada K-Map 2 variabel yaitu 00, 01, 11 dan 10 dapat
direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada
graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2 variabel yang dinotasikan 2Q .
Gambar 1 Representasi fungsi Boole pada graf 2Q
Diberikan fungsi Boole ( , ) 'f a b a b ab . Dengan menggunakan K-Map
diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole ( , ) 'f a b a b ab adalah .b Berikut
representasi fungsi Boole ( , ) 'f a b a b ab pada 2.Q
00
10
01
11
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 27
Purwokerto, 3 Desember 2016
Gambar 2 Representasi fungsi Boole ( , ) 'f a b a b ab pada 2Q
Diperoleh representasi fungsi Boole ( , ) 'f a b a b ab berbentuk garis. Dengan
cara yang sama diperoleh representasi 3 fungsi Boole dengan 2 variabel yang
memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.
2.2 Representasi Fungsi Boole dengan 3 Variabel pada Graf Kubus
Kode gray pada K-Map 3 variabel, yaitu 000, 001, 011, 010, 110, 111,
101, dan 100 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi
fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 3 variabel yang
dinotasikan 3Q .
Gambar 3 Representasi fungsi pada graf 3Q
Diberikan fungsi Boole ( , , ) ' ' ' 'f a b c a b c a bc abc ab c . Dengan
menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole
( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc 'abc ab c adalah c . Berikut representasi fungsi Boole
( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc 'abc ab c pada graf kubus 3.Q
00
10
01
11
b
000
010
001
011
101
111
100
110
28 W. Cahyani d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Gambar 4 Representasi fungsi Boole
( , , ) ' ' ' 'f a b c a b c a bc abc ab c pada 3Q
Diperoleh representasi fungsi Boole ( , , ) ' ' ' 'f a b c a b c a bc abc ab c
berbentuk bidang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 5 fungsi Boole
dengan tiga variabel yang memiliki 4 minterm juga berbentuk bidang.
Kemudian diberikan fungsi Boole ( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc . Dengan
menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole
( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc adalah 'a c . Berikut representasi fungsi Boole
( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc pada graf 3.Q
Gambar 5 Representasi fungsi Boole ( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc pada 3Q
Diperoleh representasi fungsi Boole ( , , ) ' ' 'f a b c a b c a bc berbentuk garis.
Dengan cara yang sama diperoleh representasi 11 fungsi Boole dengan tiga
variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.
000
010
001
011
101
111
100
110
c
000
010
001
011
101
111
100
110
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 29
Purwokerto, 3 Desember 2016
2.3 Representasi Fungsi Boole dengan 4 Variabel pada Graf Kubus
Kode gray pada K-Map 4 variabel, yaitu 0000, 0001, 0011, 0010, 0110,
0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001, dan 1000 dapat
direpresentasikan ke dalam graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada
graf 4Q .
0000 1000
11000100
0010 1010
11100110
0111 1111
11011001
0001
00111011
0101
Gambar 6 Representasi fungsi Boole pada graf 4Q
Diberikan fungsi Boole ( , , , ) (0,1,4,5,8,9,12,13)f a b c d . Dengan mengguna
kan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole ( , , , ) (0,1,4,5,f a b c d
8,9,12,13) adalah '.c Berikut representasi fungsi Boole ( , , , ) (0,1,4,5,f a b c d
8,9,12,13) pada graf 4Q .
Gambar 7 Representasi fungsi Boole
( , , , ) (0,1,4,5,8,9,12,13)f a b c d pada graf 4Q
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , ) (0,1,4,5,8,9,f a b c d
12,13) berbentuk ruang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 7 fungsi
Boole dengan 4 variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang.
30 W. Cahyani d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Kemudian diberikan fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d
' ' ' ' 'abc d ab c d . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan
fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d ' ' ' ' 'abc d ab c d adalah ' '.c d
Berikut representasi fungsi Boole ( , , , )f a b c d ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c d a bc d abc d
' ' 'ab c d pada graf 4Q .
Gambar 8 Representasi fungsi Boole
( , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d abc d ab c d pada graf 4Q
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' 'f a b c d a b c d
' ' ' ' ' ' ' 'a bc d abc d ab c d berbentuk bidang. Dengan cara yang sama diperoleh
26 representasi fungsi Boole dengan 4 variabel yang memiliki 4 minterm juga
berbentuk bidang .
Selanjutnya, diberikan fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d .
Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole
( , , , ) ' ' ' 'f a b c d a b c d ' ' 'a bc d adalah ' ' 'a c d . Berikut representasi fungsi
Boole ( , , , )f a b c d ' ' ' 'a b c d ' ' 'a bc d pada 4Q .
Gambar 9 Representasi fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 31
Purwokerto, 3 Desember 2016
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , ) ' ' ' ' ' ' 'f a b c d a b c d a bc d
berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 32 fungsi Boole
dengan 4 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.
2.4 Representasi Fungsi Boole dengan 5 Variabel pada Graf Kubus
Kode gray pada K-Map 5 variabel yaitu 00000, 00001, 00010, 00011,
00100, 00101, 00110, 00111, 01000, 01001, 01010, 01011, 01100, 01101, 01110,
01111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000, 11001,
11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111 dapat di representasikan ke dalam
graf kubus. Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole
dengan 5 variabel yang dinotasikan dengan 5Q .
Gambar 10 Representasi fungsi Boole pada graf 5Q
Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, ( , , , , ) (8,9,10,11,12,f a b c d e
13,14,15,24,25,26,27,28,29,30,31) . Dengan menggunakan K-Map diperoleh
penyederhanaan fungsi Boole ( , , , , )f a b c d e (8,9,10,11,12,13,14,15,24,25,
26,27,28,29,30,31) adalah b . Berikut representasi fungsi Boole ( , , , , )f a b c d e
(8,9,10,11,12,13,14,15,2425,26,27,28,29,30,31) pada graf 5Q .
32 W. Cahyani d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Gambar 11 Representasi fungsi Boole
( , , , , ) (8,9,10,11,12,13,14,15,24,25,26,27,28,29,30,31)f a b c d e pada 5Q
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , , ) (8,9,10,11,f a b c d e
12,13,14,15,24,25,26,27,28,29,30,31) berbentuk ruang 4 dimensi. Dengan cara
yang sama diperoleh representasi 9 fungsi Boole dengan 5 variabel yang
memiliki 16 minterm juga berbentuk ruang 4 dimensi.
Kemudian diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu,
( , , , , ) (8,9,10,25,f a b c d e 26,27) . Dengan menggunakan K-Map diperoleh
hasil penyederhanaan fungsi Boole ( , , , , ) (8,9,10,11,24,25,26,27)f a b c d e
adalah '.bc Berikut representasi fungsi Boole ( , , , , ) (8,9,10,11,24,f a b c d e
25,26,27) pada 5.Q
Gambar 12 Representasi fungsi Boole
( , , , , ) (8,9,10,11,24,25,26,27)f a b c d e pada 5Q
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , , ) (8,9,10,11,24,f a b c d e
25,26,27) berbentuk ruang. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 36
fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang.
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 33
Purwokerto, 3 Desember 2016
Selanjutnya diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu,
( , , , , ) ' ' ' ' 'f a b c d e a b c d e ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c d e ab c d e ab c d e . Dengan menggu
nakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole
( , , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' 'f a b c d e a b c d e a b c d e ' ' ' ' ' ' 'ab c d e ab c d e adalah ' ' 'b c d
Berikut representasi fungsi Boole ( , , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' 'f a b c d e a b c d e a b c d e
' ' ' ' ' ' 'ab c d e ab c d e pada 5.Q
Gambar 13 Representasi fungsi Boole
( , , , , ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'f a b c d e a b c d e a b c d e ab c d e ab c d e pada graf 5Q
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , , ) ' ' ' ' 'f a b c d e a b c d e
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'a b c d e ab c d e ab c d e berbentuk bidang. Dengan cara yang sama
diperoleh representasi 80 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 4
minterm juga berbentuk bidang.
Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, ( , , , , ) ' 'f a b c d e ab c de
' ' 'ab c de . Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi
Boole ( , , , , ) ' ' ' ' 'f a b c d e ab c de ab c de adalah ' ' .ab c d Berikut representasi
fungsi Boole ( , , , , ) ' 'f a b c d e ab c de ' ' 'ab c de pada 5.Q
.
Gambar 14 Representasi fungsi Boole
( , , , , ) ' ' ' ' 'f a b c d e ab c de ab c de pada 5.Q
34 W. Cahyani d.k.k.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole ( , , , , ) ' 'f a b c d e ab c de
' ' 'ab c de berbentuk garis. Dengan cara yang sama diperoleh representasi 80
fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis.
3. KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan pada bagian Hasil dan Pembahasan, diperoleh bahwa :
1. Graf 2Q terdiri atas 4 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf 2Q
berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang
sama.
2. Graf 3Q terdiri atas 8 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf 3Q
berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang
sama dan berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 1 bit dengan
posisi yang sama.
3. Graf 4Q terdiri atas 16 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf 4Q
berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi yang
sama, berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi
yang sama dan berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 1 bit dengan
posisi yang sama.
4. Graf 5Q terdiri atas 32 simpul. Representasi fungsi Boole pada graf 5Q
berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 4 bit dengan posisi yang
sama, berbentuk bidang dengan 4 simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi
yang sama, berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 2 bit dengan
posisi yang sama dan berbentuk ruang 4 dimensi dengan 16 simpul yang
memiliki 1 bit dengan posisi yang sama
3.2 Saran
Dalam skripsi ini, penulis membatasi masalah penyederhanaan fungsi Boole yaitu
sampai dengan 5 variabel, dalam bentuk Sum of Product (SOP). Penulis
menyarankan agar dilakukan pengkajian lebih lanjut untuk melakukan penentuan
Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 35
Purwokerto, 3 Desember 2016
daerah hasil penyederhanaan fungsi Boole untuk 6 atau lebih variabel, baik dalam
bentuk Sum of Product (SOP) maupun Product of Sum (POS).
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, A., Aljabar Linier, ITB, Bandung, 2000.
Berge, C., Graphs, Elsevier Science, North Holland, 1991.
Munir, R., Matematika Diskrit, Informatika, Bandung, 2012.
Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, FMIPA UNY, Yogyakarta, 2000.
Whitesitt, J. E., Boolean Algebra and its Application, Addison-Wesley, London,
1961.
top related