pso – aplicação em problemas multiobjective, constrained e minimax carlos carlim
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PSO – Aplicação em Problemas Multiobjective, Constrained e Minimax
Carlos Carlim
Introdução
• Aplicação de PSO e suas variações em três diferentes tipos de problemas de otimização:
a) Multiobjectivob) Constrainedc) Minimax
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Aplicação em Otimização Multiobjectivo
• Otimização Multiobjectivo (MO)– Busca resolver problemas com diferentes
objetivos– Os objetivos precisam ser tratados
simultaneamente.– Pareto ótimo • análogo ao ótimo global para funções com um único
objetivo• Conjunto de soluções ótimas
Pareto ótimo
Fonte: http://www-cdr.stanford.edu/ProcessLink/papers/pareto.html
Os círculos representam objetivos, os quais são satisfeitos quando a área do círculo é maximizada. As restrições são que os círculos não podem se sobrepor e que limitados pelos lados do triângulo.
Se impor como função objetivo global – a soma das áreas. Apenas “c” é um ótimo global.
Ex.:
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Conceitos Fundamentais
• Fazendo um espaço de busca n-dimensional e , i = 1, 2, ...,k. Sendo k funções objetivos definidas sobre A.
• f(x) será um vetor de funções definido como:
Conceitos Fundamentais
Seja m restrições diferentes. As funções objetivo, fi (x), pode estar em conflito uns com os outros, assim, a detecção de um mínimo global único para todos é impossível. Então o conceito de otimização para problemas MO precisa ser redefinido.Assim,
Dois vetores de dimensão k.
Conceitos Fundamentais
Definição 1• O vetor u domina o vetor v, se e somente se:
– , para todo i = 1, 2, ..., k. E– , para pelo menos uma componente i.
• Esta propriedade é conhecida como Dominância de Pareto
Conceitos Fundamentais
Definição 2• A solução , de um problema MO é dita um ótimo
de Pareto, se e somente se não existir nenhuma outra solução, , tal que f(y) domina f(x).
• Dizemos que x é não dominado com relação a A.• O conjunto de todas as soluções ótimas de
Pareto é chamado de Conjunto Ótimo de Pareto.• E será denominado por .
Conceitos Fundamentais
Definição 3• O conjunto dos valores das funções de vetores
de todas as soluções ótimas de Pareto é denominado Pareto front.– PF* = {f(x): x ∈ P*}
Conceitos FundamentaisPareto front• Convexo
– Se e somente se, para todo u, v ∈ PF*, e todo λ (0,1),∈ existe um vetor w ∈ PF*, tal que:
– λ ||u|| + (1-λ) ||v|| ≥ ||w||• Côncavo
– Se somente se– λ ||u|| + (1-λ) ||v|| ≤ ||w||
• Pode ser parcialmente convexo e/ou côncavo e também descontínuo.
Conceitos Fundamentais
• O objetivo principal de MO é detectar todas as soluções ótimas de Pareto.– x* = (x1*, x2*,…,x*), de f(x).
• Contudo o conjunto de soluções ótimas de Pareto pode ser infinito.
• Neste caso o objetivo principal é reduzido para detectar o maior número possível de soluções ótimas de Pareto, com menor desvio de PF e menor espalhamento.
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Importantes Questões sobre Aplicações
• MO PSO pode ser dividido em duas categorias:– PSO que considera cada função objetivo
separadamente.– PSO que calcula todas as funções objetivos de
cada partícula.
Importantes Questões sobre Aplicações
PSO considerando cada função objetivo separadamente.– Nesta abordagem cada partícula é calculada apenas com
uma função objetivo de cada vez, e as melhores posições são determinadas seguindo o PSO padrão.
– O desafio nesta abordagem é manipular adequadamente a função objetivo guiando a partícula em direção ao ótimo de Pareto.
Importantes Questões sobre Aplicações
PSO considerando todas as funções objetivos de cada partícula.– Baseado no conceito de ótimo de Pareto– Produz leaders – os não dominados na melhor posição.– Os leaders guiam a partícula.– O desafio nesta abordagem é determinar os leaders, já que
estes tem que ser selecionados dentre diversas soluções não dominadas na vizinhança da partícula.
Importantes Questões sobre Aplicações
• Em ambas as abordagens uma grande quantidade de soluções ótimas de Pareto podem ser produzidas em apenas uma rodada do algoritmo.
• Então, como armazenar estas soluções?– Armazenar apenas as soluções não dominadas nas
melhores posições.• Não é valido nos casos em que PF excede o tamanho do
enxame.• A seleção de uma dentre duas igualmente boas soluções não
dominadas, dependeria de definir um critério de seleção.
Importantes Questões sobre Aplicações
• Não é valido nos casos em que PF excede o tamanho do enxame.– Utilizar um arquivo externo para armazenar as soluções não
dominadas encontradas. – Um procedimento de atualização será realizada a cada iteração do
algoritmo. Durante este procedimento, o arquivo é verificado e novas soluções são introduzidas, enquanto os dominados são removidos para que seu tamanho se mantenha fixo as restrições de armazenamento.
• A seleção de uma dentre duas igualmente boas soluções não dominadas, dependeria de definir um critério de seleção.– Este caso está relacionado as particularidades de cada problema e
deve ser analisada caso a caso.
Importantes Questões sobre Aplicações
• Pseudo código do MO PSOBegin
Initialize swarm, velocities and best positions.Set an empty set as the external archive.While (stopping criteria not satisfied) Do
For each particle of the swarmSelect a leader from the external archive (if applicable).Update particle velocity and position.Evaluate new particle position.Update best position and external archive.
End ForEnd While
End
Importantes Questões sobre Aplicações
• Pseudo código do MO PSOBegin
Initialize swarm, velocities and best positions.Set an empty set as the external archive.While (stopping criteria not satisfied) Do
For each particle of the swarmSelect a leader from the external archive (if applicable).Update particle velocity and position.Evaluate new particle position.Update best position and external archive.
End ForEnd While
End
O “pulo do gato”, está em realizar estas duas etapas de maneira “ótima”
Importantes Questões sobre Aplicações
• Select a leader from the external archive1. Determinar medidas de qualidade para cada
membro do arquivo.1. nearest neighbor density estimator (Deb et al., 2002)2. kernel density estimator(Deb & Goldberg, 1989)Ambos são capazes de estimar a quantidade e a distância dos vizinhos dado um ponto.
Importantes Questões sobre Aplicações
• Update best position and external archive.
– Se a nova solução for não dominada por todos os membros • incluir no arquivo.• Se algum membro do arquivo for dominado pela nova
solução – Retirar membro
Importantes Questões sobre Aplicações
• Update best position and external archive.
– IMPORTANTE– Deve-se atentar ao tamanho dos arquivos– Os arquivos crescem rapidamente– Os testes de dominância são computacionalmente
custosos– Considerar sempre o tamanho do arquivo para
evitar longas esperas em cada iteração do algoritmo
Importantes Questões sobre Aplicações
• Update best position and external archive.
– Depende de qual variação do algoritmo PSO está sendo utilizada.• MO PSO – cada função objetivo é calculada separadamente• MO PSO – abordagem de Pareto
Importantes Questões sobre Aplicações
• Update best position and external archive.
• MO PSO – cada função objetivo é calculada separadamente
– Nesta situação a atualização é realizada da mesma forma que o PSO padrão.
Importantes Questões sobre Aplicações
• Update best position and external archive.
• MO PSO – abordagem de Pareto• Se a nova posição domina a posição atual
– Substituir melhor posição• Se a nova solução for não dominada
– Substituir melhor posição• Este ultimo passo gera diversidade no enxame
Importantes Questões sobre Aplicações
• Considerações– Até o momento não existe evidencia experimental
de qual variação e topologia do PSO é a melhor para resolver os problemas MO.
Estado da Arte
• Neste momento serão abordados o estados da arte das duas variações dos MOPSO
• PSO por cada função objetivo separada• PSO pela abordagem de Pareto
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Combina todas as funções objetivo em uma, ou• Considera separadamente cada uma das funções• Atualização das partículas e da melhor posição é realizada
pelo método do PSO padrão• Arquivos externos são utilizados para armazenar soluções não
dominadas• Sua principal desvantagem é a dificuldade de definir um
algoritmo para manipular adequadamente as funções objetivo para que estas convirjam parao Pareto front (Jin et al., 2001).
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Nesta categoria encontram-se:
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação da função objetivo3. Abordagem Não-Pareto
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Agregação de Peso
– Esta abordagem combina todas as funções objetivo agregando um peso a cada uma delas.
– Então, o problema MO foi transformado em um problema com apenas uma função objetivo e pode-se realizar um PSO padrão.
Peso não negativo
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Agregação de Peso– Caso o peso mantenha-se constante durante a execução denomina-se
• conventional weighted aggregation (CWA)• Possui muitas deficiências devido sua simplicidade• Ex.: O algoritmo tem que ser aplicado várias vezes, mudando
apenas o valor do peso, para alcançar um número razoável de soluções não dominadas. Já que uma única solução é calculada por rodada.
• Não consegue detectar soluções em regiões côncavas de Pareto Front (Jin et al., 2001).
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Agregação de Peso– Ajuste dinâmico do Peso
• bang-bang weighted aggregation (BWA)– Ex: Para problemas bi-objetivo o peso se adapta segundo (Jin et al.,
2001):
– Onde a é a frequência de adaptação definida pelo usuário, e t o número de iterações.
– sign – 1 para x >0 ; -1 para x < 0 e 0 para x = 0
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Agregação de Peso– Ajuste dinâmico do Peso
• dynamic weighted aggregation (DWA)– Ex: Para problemas bi-objetivo o peso se adapta segundo:
– Onde a é a frequência de adaptação definida pelo usuário, e t o número de iterações.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Agregação de Peso– Ajuste dinâmico do Peso
» Em ambas as abordagens a variação do peso força o algoritmo mover-se na direção do Pareto front.
» Claro que as mudanças são mais acentuadas em BWA, do que em DWA
» Experimentos com GA revelaram superioridade do DWA em Pareto fronts convexo
» No caso de Pareto fronts côncavo os resultados foram os mesmos.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b) propuseram um MO PSO utilizando abordagem de agregação de peso.
• Estudaram a performance do algoritmo em problemas bi-objetivo
• Utilizando CWA, BWA e DWA.
Definições dos problemas
Definições dos problemas
Definições dos problemas
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Parâmetros
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para CWA
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para CWA
Apenas dois pontos foram detectados
Apenas a parte convexa foi detectada
Como já mencionado, CWA não é capaz de detectar regiões côncavas.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
Resultados - Parsopoulos and Vrahatis (2002a, 2002b) para BWA e DWA
Ambas abordagens foram capaz de detectar o Pareto front.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b)• Considerações– CWA detecta apenas um ótimo de Pareto por rodada.
• PSO é repetido 20 vezes para • PSO é repetido 40 vezes para
– BWA e DWA são utilizadas técnicas de arquivamento descrita em Jin et al.(2001)
– Não foram realizados testes para problemas MO com mais de duas funções objetivo.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Baumgartner et al. (2004)• Propôs uma abordagem similar com a apresentada
anteriormente.• Cada swarm é dividido em subswarms, cada um utilizando
ajuste específico de peso.• A melhor partícula de cada subswarm é indicada como líder
do conjunto.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Baumgartner et al. (2004)• Uma preliminar decisão de Pareto é definida para investigar
soluções candidatas ótimas de Pareto. Para cada partícula, x, tem-se:
– t = número de iterações– Se a relação é verdadeira x, pode ser um ótimo de Pareto– Então é calculado o gradiente das funções objetivo fi, i = 1, 2,…, k, no
ponto x + Δx.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Baumgartner et al. (2004)– t = número de iterações– Se a relação é verdadeira x, pode ser um ótimo de Pareto– Então é calculado o gradiente das funções objetivo fi, i = 1, 2,…, k, no
ponto x + Δx.– Se a função objetivo não melhora seu resultado– Então x é um ótimo de Pareto e é removido do swarm
• Apesar de apresentar bons resultados em test problems, o algoritmo não foi completamente calculado e comparado com outras abordagens de PSO
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Mahfouf et al. (2004)– Propôs uma abordagem dinâmica de peso
modificada.– O decrescimento linear do peso foi modificado
pela incorporação operador de mutação para aliviar a estagnação do enxame.
– Transformando a atualização da velocidade em:
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Mahfouf et al. (2004)– Transformando a atualização da velocidade em:
– Onde a é a aceleraçãoDependente do número atual da iteração.
Entre 0.5 e 1.0
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Mahfouf et al. (2004)– Após computar a nova posição da partícula– Ambas posições, nova e antiga, são inseridas em uma lista.– É aplicada à lista o non-dominated sorting technique (Li,
2003)• Seleciona as partículas não dominadas.
– Estas partículas sofrem uma mutação e formam o próximo enxame na próxima iteração do algoritmo.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Mahfouf et al. (2004)– Aplicado em um problema da indústria de aço– Apresentou resultados promissores– Seu desempenho competitivo pode ser atribuído
• Operador de mutação, que preserva a diversidade do enxame.• A técnica de seleção das partículas, que permite uma abordagem
direta dos pontos próximos ao Pareto front
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Ordenação– Classificam as funções objetivo de acordo com sua importância.– A minimização ocorre para cada função separadamente, a partir do
mais importante.– Hu and Eberhart (2002) propuseram um esquema de ordenação.
• O algoritmo mantém a função objetivo mais simples fixa e minimiza as demais.
• Utilizou-se uma variação do PSO com um vizinho mais próximo dinâmico.• As soluções não dominadas são armazenadas como melhores posições das
partículas• Não é necessário utilizar arquivo externo.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem por Ordenação– Bons resultados para problemas com duas funções objetivo.– Hu et al. (2003a) – adicionou um arquivo externo
» Armazenar as soluções não dominadas e reduzir o custo computacional.
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem Não-Pareto– Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b)– VEPSO – cap. 4
» Um enxame por função objetivo» As melhores posições são utilizadas para atualizar as velocidades
de outra função objetivo que corresponda a outro enxame.
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem Não-Pareto– Parsopoulos e Vrahatis (2002a, 2002b)
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem Não-Pareto– Chow and Tsui (2004) – Multi-species PSO– Conjunto de subswarms, cada calculado com uma função objetivo– A informação da melhor partícula é informada aos vizinhos do
subswarm, para a atualização da velocidade.– A velocidade da i-ésima partícula e do k-ésimo swarm é atualizado
por:
Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
• Abordagem Não-Pareto– Chow and Tsui (2004)
» = número de swarms que se comunicam com o k-ésimo» = melhor posição do l-ésimo swarm, l = 1, 2, ...,
– Competitivo comparado as outras abordagens de MO PSO
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
• Determina os leaders para guiar o enxame durante a busca.
• Durante a busca devem ser considerados:– Diversidade do enxame.– Espalhamento do Pareto front.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Coello Coello et al., 2004• Uma das primeiras abordagens baseadas em Pareto• As soluções não dominadas são armazenadas em um
arquivo – repositório• O espaço de busca é dividido em hipercubos.• Para cada hipercubo é determinado um valor de
capacidade, inversamente proporcional ao número de partículas que contém.
• O hipercubo e seu leader é selecionado utilizando o método roullette wheel selection.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Coello Coello et al., 2004• A velocidade da i-ésima partícula é atualizada
peso Melhor posição
Leader selecionado do arquivo
A melhor posição é atualizada a cada iteração, caso ela seja dominada pela nova posição.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Coello Coello et al., 2004• retention criterion – determina o limite do
repositório– Permite que novas soluções sejam inseridas,
mesmo que o repositório esteja lotado.– Soluções localizadas em áreas menos populosas do
espaço objetivo, tem prioridade sobre as demais.– Mostrou-se competitivo quando comparado com o
NSGA-II e PAES.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Fieldsend et al., 2003• árvore dominada (dominated tree)– Estrutura em árvore– Trunca os limites dos arquivos– Mantendo sem restrições o processo de
arquivamento– Craziness – insere uma mutação na velocidade,
preservando a diversidade do enxame– Competitivo com o PAES
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Bartz-Beielstein et al. (2003)• DOPS – método de arquivamento elitista• Fsel – mede a influência da partícula no Pareto
front. A melhor posição é selecionada por uma roulette wheel selection.
• Fdel – deleta um membro do arquivo, quando o tamanho máximo é alcançado.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Mostaghim and Teich (2003a, 2003b,2004)• MOPSO com novos métodos de seleção e
atualização da posição da partícula.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Mostaghim and Teich (2003a)• MOPSO combinado com método sigma• Atribuí um valor numérico a cada partícula e
membro do arquivo.• Superou o algoritmo SPEA2 para funções bi-
objetivo.• Funções com 3 objetivos o SPEA2 obteve
resultados melhores.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Mostaghim and Teich (2003b)• Combinou MOPSO com conceitos de
ε-dominance• Foco – metodologia de arquivamento• Resultados promissores quando comparado
com abordagens baseadas em clusterização.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Mostaghim and Teich (2004)• Converge para o Pareto front usando sub-
enxames e arquivo externo ilimitado.• Os resultados superaram o Hybrid-MOEA• Bom desempenho para problemas com vária
funções objetivo.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Toscano Pulido e Coello Coello(2004)• AMOPSO – another MOPSO• O espaço de busca é divido em sub-enxames.• Cada sub-enxame possuí um grupo de líderes,
formado por um grande número de soluções não dominadas.
• O líder é selecionado aleatoriamente do grupo e servirá como guia do sub-enxame.
• Não utiliza arquivo externo.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Reyes-Sierra e Coello Coello(2005)• OMOPSO – Utiliza dois arquivos externos– Em um armazena a melhor posição da iteração atual.– Em outro as soluções não dominadas.– Metodologia eficiente de remoção de líderes,
quando o limite é ultrapassado.– Desempenho superior comparado com MOPSO,
NSGA-II e SPEA2.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Raquel e Naval (2005)• MOPSO-CD – crowding distance– Selecionar a melhor partícula global– Deletar soluções não dominadas do arquivo externo
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Raquel e Naval (2005)• MOPSO-CD – Para cada solução não dominada é calculada CD– f1, f2, ...,fk – funções objetivos– AR – arquivo externo– As soluções não dominadas no AR com maior CD, são
definidas como líderes do enxame.– Resultados superiores quando comparado com MOPSO
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Alvarez-Benitez et al. (2005)• Rounds, Random e Prob– Selecionar líderes do arquivo externo– Rounds – Determina como guia global a solução não
dominada, que domina um conjunto de soluções do enxame.
– Random – Seleciona probabilisticamente a solução não dominada que servirá como guia.
– Prob - Favorece a escolha da solução que domina um pequeno número de partículas.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Salazar Lechuga e Rowe (2005)• MOPSO-fs – A cada partícula, pi é atribuído um valor de fitness:
Distância definida pelo usuário
Distância entre as soluções não dominadas pi e pj.Os líderes são selecionados de acordo com seu
valor de fitness, através de roulette wheel selection
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Salazar Lechuga e Rowe (2005)• MOPSO-fs – A cada partícula, pi é atribuído um valor de fitness:
Competitivo quando comparado com, MOPSO, NSGA-II e PAES.
Variantes Baseadas no Domínio de Pareto
Reyes-Sierra e Coello Coello (2006b)• Estudaram a adaptação online dos parâmetros do
MOPSO• w – peso inercial• c1 e c2 – coeficientes de aceleração• Ps – método de seleção probabilístico (dominance ou
crowding).• Valores elevados de w, Ps e c2 obtiveram melhores
resultados.• c1 – afeta regularmente o desempenho do algoritmo
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Aplicações em otimização Constrained
• Definido no capítulo 1 (CO)
• capítulo 5– Aplicando funções de penalidades, isto é, penalidades são
adicionadas conforme as restrições vão sendo violadas.
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Problemas CO
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Função original
penalidade
Fator de penalidade
Função multi-estágio
Max{0,Ci(x)}
Potencia da penalidade
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
• Conclusões– “O peso inercial produz soluções com soma de restrições menores do
que os coeficientes de restrição.”– Somente em dois casos esta conclusão pode ser observada.
Aplicações em otimização Constrained
Parsopoulos e Vrahatis (2002c)• PSO[co] – coeficiente de restrição• PSO[in] – peso inercial• Problemas TPCO-1 ao TPCO-6 (anexo A)
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Aplicações em otimização Minimax
• Problemas minimax:
Aplicações em otimização Minimax
Bandler & Charalambous (1974)• Pode ser abordado como problema CO
Pode ser reescrito implicitamente na forma minimax:
Para Cj ≤ 0 e aj muito grande.O ótimo do problema minimax, irá coincidir com o ótimo do problema CO.
Aplicações em otimização Minimax
• Algoritmos clássicos de otimização• Todas as funções são combinadas em uma única
função de penalidades.• Pode ser resolvido por gradiente.• Exponential penalty function ou aggregation
function.• Xu (2001) – propôs uma abordagem utilizando
programação quadrática e gradiente. – SQP –Sequential Quadratic Programming
Aplicações em otimização Minimax
Laskari et al. (2002)• Comparou o desempenho entre SQP, PSO[co] e PSO[in]
• TPMX-1 ao TPMX-6
Problemas minimax
Problemas minimax
Aplicações em otimização Minimax
Laskari et al. (2002)• Comparou o desempenho entre SQP, PSO[co] e PSO[in]
• TPMX-1 ao TPMX-6
Aplicações em otimização Minimax
Laskari et al. (2002)• PSO detectou o mínimo global é
praticamente todos os experimentos• PSO[co] superou PSO[in]
• SQP – resultados completamente imprevisível. Vai do melhor desempenho até a falha total.
• Demonstra dependência do tipo de problema e das condições iniciais.
• As funções de penalidade, muitas vezes viola as restrições implícitas dos problemas minimax. Prejudicando seu desempenho.
• PSO é uma alternativa promissora para a resolução de problemas minimax.
Agenda1. Aplicação em Otimização Multiobjectivo
1. Conceitos fundamentais2. Importantes questões sobre aplicações3. Variantes de PSO que exploram cada função objetivo separadamente
1. Abordagem agregação de Peso2. Abordagem ordenação3. Abordagem Não-Pareto
4. Variantes baseadas no domínio de Pareto2. Aplicações em otimização Constrained3. Aplicações em otimização Minimax4. Conclusões5. Referências
Conclusões
• Problemas multiobjetivo– Na abordagem com funções objetivo separadas,
para as três abordagens, mostrou-se no mínimo competitivo em comparação com outras técnicas.
– Na abordagem de pareto, os resultados não demonstraram superioridade, apenas que as técnicas tem bom potencial para a resolução dos problemas, mas ainda precisa mais estudos
Conclusões
• Problemas CO• Os resultados foram semelhantes quando
comparados com outras técnicas de PSO.• Eficiência na resolução deste tipo de
problema.
Conclusões
• Problemas minimax• Os resultados foram superiores quando
comparados com a técnica SQP.• Boa alternativa na resolução destes
problemas.
Referências
• Konstantinos E. parsopoulos & Michael N. Vrahatis – Particle Swarm Optimization and Intelligence
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