raices de funciones
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RAÍCES DE UNA FUNCIÓNCésar Guerra
PUCP
Interpolación Inversa• Dados el conjunto de datos {xi , yi=fi(x)}/ i={1,n} se busca el
valor de x* para un valor dado de y*.
• No siempre es posible intercambiar los roles de x e y en la tabla de entrada. Esto es posible sólo en casos en que f(x) sea suave y monótonamente creciente o decreciente.
• Buscar el valor de x tal que f(x)=c es equivalente a encontrar la raíz de la función f(x) - c, pues buscamos resolver
• En algunos casos particulares la interpolación inversa nos da una solución aceptable. Sin embargo, en general su uso es limitado.
( ) 0f x c
Una primera aproximación …Sea la ecuación
2( ) sin( ) 2 0y x x x x
Primera aproximación Hacer un gráfico
Casos que un gráfico puede revelar
El método de Bisección
Sea la ecuación f(x)=0 y supongamos que posee una raíz en el intervalo [a,b].
Supongamos que en particular se cumple que: f(a)<0 y f(b)>0
Luego, evaluamos f(xm) en el punto medio xm=(a+b)/2
Si f(xm0) < 0, el cero se encuentra en [xm,b] y este se toma como nuevo intervalo.
Si f(xm) > 0, el cero se encuentra en [a,xm] y este se toma como nuevo intervalo.
Se repite iterativamente este procedimiento para cada nuevo intervalo, hasta que este sea suficientemente pequeño.
Diagrama de flujo: Bisección2
1
( )
( )
fmid f x
f f x
* 0f fmid
0f sino
no
2
1 2
rt x
dx x x
1
2 1
rt x
dx x x
0.5
( )
dx dx
xmid rt dx
fmid f xmid
0fmid
rt xmid
0
dx acc
fmid
si
no no
R
si
R
R
Si después de n iteraciones la raíz se encuentra en un intervalo de tamaño en, después del siguiente paso el tamaño será
1 / 2n ne e
El número de pasos necesarios para llegar a un intervalo de tamañoe está dado por
0log( / )n e e
1 2( ) / 2M x x
Convergencia del método
El error que se puede lograr se puede tomar como:
Métodos de la Secante y de Falsa Posición
Usados para funciones suaves cerca de la raíz. Estos métodos convergen más rápido que el método de biseccíon.
En ambos casos se asume que la función es aproximadamente lineal en la región de interés.
Las sucesivas aproximaciones de la raíz se calculan usando polinomios de interpolación de grado uno.
El método de la secante retiene la última estimación de la raíz.
El método de falsa posición retiene las estimaciones que mantienen encerrada a la raíz
Fórmulas de aproximación a la raíz
2 11 2
2 1 2 1
x x x xy y y
x x x x
Sean los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y
2 11 2
2 1 2 1
y y y yx x x
y y y y
Interpolación Lineal Interpolación Lineal Inversa
Resolviendo cualquiera de los dos ecuaciones:
1 21 1
1 2
x xx x y
y y
2 12 2
1 2
x xx x y
y y
Método de la secante Método de falsa posición
Ilustración de los algoritmos
Diagrama de flujo: Falsa posición1
2
( )
( )
fl f x
fh f x
* 0fl fh
0fl sino
no
2
1
xl x
xh x
fl fh
1
2
xl x
xh x
R
* /( )
( )
rt xl dx fl fl fh
f func rt
del xh rt
xh rt
fh f
del xl rt
xl rt
fl f
dx xh xl | |
0
del acc
f
dx xh xl
R
R
0f
En este caso a ambos métodos les tomaría muchos pasos llegara la raíz.
El algoritmo de bisección se comporta mejor.
Observación
Una función para la cual la interpolación lineal converge muy lentamente.
Método de Van Wijngaarden–Dekker–Brent
Combina la convergencia superlineal de la interpolación con la seguridad del algoritmo de bisección.
Para realizar la interpolación inversa se usa un polinomio cuadrático, cuyo valor en y = 0 da una estimación de la siguiente raíz.
Si se tienen 3 puntos: ( , ( )), ( , ( )), ( , ( )),a f a b f b c f c
( ( ))( ( )) ( ( ))( ( )) ( ( ))( ( ))
( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
y f a y f b c y f b y f c a y f c y f a bx
f c f a f c f b f a f b f a f c f b f c f b f a
El polinomio de interpolación inversa correspondiente es
Haciendo y = 0, obtenemos la estimación de la raíz:
/x b P Q
donde en términos de:
( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )R f b f c S f b f a T f a f c
se han definido:
( ( )( ) (1 )( ))
( 1)( 1)( 1)
P S T R T c b R b a
Q T R S
Método de Van Wijngaarden–Dekker–Brent
En la práctica b es la mejor nueva estimación de la raíz y la razónP/Q es una pequeña corrección.
Interpolación .NE. Interpolación Inversa
Interpolación cuadrática
Interpolación cuadrática inversa
1 0 1 2 3 4 5x
1
0.5
0
0.5
1
y
Notas sobre el algoritmo de Brent
El algoritmo de Brent mantiene siempre a la raíz acotada entre dos estimaciones anteriores.
Cuando la corrección P/Q no cae dentro de los límites que acotan la raíz, o cuando los límites no están acercándose suficientemente rápido, el algoritmo realiza un paso del algoritmo de bisección.
Este algoritmo se recomienda para determinar las raíces de un función unidimensional usando sólo evaluaciones de la función.
El método de Newton-Rhapson
Sea la ecuación
( ) 0f x Cerca de la raíz realizamos una expansión de Taylor alrededor deun valor estimado xm
( ) ( ) ( )m
m mx x
dff x f x x x
dx
Una mejor estimación puede ser obtenida teniendo en cuenta quesi xm+1 es la raíz entonces
1 1( ) ( ) ( ) 0m
m m m mx x
dff x f x x x
dx
De la última ecuación se deduce:
1
( )
m
mm m df
dx x x
f xx x
El procedimiento se repite hasta que el segundo término sea menor que un pequeño valor predeterminado.
El método de Newton converge más rápido que cualquiera de los métodos anteriores. Cerca de la raíz, el número de cifras significativas es con muy buena aproximación el doble en cada paso.
A partir de la serie de Taylor:
El método de Newton-Rhapson
2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2!i
i i i i
x xf x f x x x f x f x
Convergencia del método de Newton
Considerando dos términos e igualamos la función a cero:
1 ( ) / ( )i i i ix x f x f x
Obteniendo:
1 ( ) / ( )i i i if x f x i ix x
Si x es la raíz
De la serie de Taylor, se tiene a segundo orden
2( ) ( ) ( ) / 2i i i i if x f x f x
Reemplazando en la ecuación anterior se ve que la convergencia es cuadrática con el error:
2
1
( )
2 ( )i i
ii
f x
f x
Ilustración del método de Newton-Rhapson
Método de Newton-Rhapson Multidimensional
Consideremos la solución simultánea de N ecuaciones no linealesen N variables:
1 2( , , , ) 0 1,2, ,i Nf x x x i N
Expandiendo en serie de Taylor alrededor de
2
1
( ) ( ) ( )N
ii i j
j j
ff f x O
x
x x x x
1 2( , , , )Nx x x x
y usando notación vectorial tenemos
2( ) ( ) ( )( ) O f x x f x J x x x
iij
j
fJ
x
donde se definio el Jacobiano J con componentes
Método de Newton-Rhapson Multidimensional
Despreciando términos de segundo orden y mayores y haciendo
( ) 0 f x x
( ) - ( )J x x = f x
obtenemos un conjunto de ecuaciones lineales para los despla-zamientos que mueven cada función cerca de cero: x
( ) ( )(i+1) (i) -1 (i)x = x - fJ x x
Esta ecuación se puede resolver matricialmente e iterar hasta laconvergencia
Búsqueda en dos dimensiones
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