rangkuman materi vektor - · pdf file13.7 besaran vektor ... karena biasanya mengubah skala...
Post on 01-Feb-2018
412 Views
Preview:
TRANSCRIPT
RANGKUMAN MATERI VEKTOR
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”
Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
Oleh
Abdul Hayyih (147785010)
Kelas D
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Universitas Negeri Surabaya
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………………. i
DAFTAR ISI …………………………………………………………………………… ii
BAB XIII VEKTOR …………………………………………………………………………… 1
13.1 Translasi dari Sebuah Bidang …………………………………………… 1
13.2 Vektor Aljabar ……………………………...………………………….. 3
13.3 Vektor Satuan Dasar …………………………………………………… 6
13.4 Vektor Posisi …………………………………………………………… 7
13.5 Aljabar dengan Vektor Posisi …..………………………………………… 9
13.6 Vektor dalam Dimensi Tiga …..………………………………………… 9
13.7 Besaran Vektor ….…………..…………………………………………… 15
13.8 Produk Skalar ……………….…………………………………………… 15
13.9 Produk Skalar dalam Bentuk Komponen ..……………………………… 18
13.10 Aturan Distributif (p + q).r = p.r + q.r ………………………………… 21
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 24
Chapter 13_Vektor_2014 1
BAB XIII
VEKTOR
Bab ini memperkenalkan gagasan vektor sebagai sebuah cara untuk mengerjakan
geometri dalam dua atau tiga dimensi. Ketika anda telah selesai, anda harus:
Memahami gagasan terjemahan, dan bagaimana ia dapat diungkapkan baik
dalam bentuk kolom atau dalam hal unit dasar vektor
Tahu dan dapat menggunakan aturan vector aljabar
Memahami gagasan perpindahan dan posisi vektor, dan menggunakannya
untuk membuktikan geometris hasil
Menghargai persamaan dan perbedaan antara geometri dalam dua dan tiga
dimensi
Tahu ,definisi di setiap scalar produk, dan ekspresi dalam istilah
komponen
Dapat menggunakan aturan vector aljabar yang melibatkan scalar produk
Dapat menggunakan scalar produk untuk memecahkan masalah dalam dua
bentuk geometris dan tiga dimensi, menggunakan vector aljabar umum
atau komponen.
13.1. Translasi dari sebuah bidang
Dalam Bagian 3.6 Anda melihat bahwa jika Anda menerjemahkan grafik y = ax2 -
bx melalui jarak c ke arah-y persamaan barunya adalah y = ax2 + bx + c. Secara
umum, jika Anda menerjemahkan grafik y = f (x) dengan jarak c satuan ke arah y,
persamaannya menjadi y = f (x) + c. Sebuah cara praktis untuk melakukan hal ini
adalah dengan menggambar grafik pada lembar transparan ditempatkan di atas
koordinat grid, dan kemudian memindahkan lembar ini diatas grid hingga c
satuan.
Fitur penting dari translasi adalah bahwa lembaran bergerak melebihi grid tanpa
berputar. Sebuah translasi umum akan memindahkan lembaran melampaui k
satuan dan l satuan diatas grid. Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.1, di mana
Chapter 13_Vektor_2014 2
beberapa titik bergerak dalam arah yang sama melalui jarak yang sama. Translasi
seperti ini disebut vektor, dan ditulis .
Misalnya, translasi dari y = f (x) yang dijelaskan di atas akan dilakukan oleh
vektor ; sama halnya vektor melakukan translasi dari k satuan ke arah x.
Dalam prakteknya, menggambar beberapa panah, seperti pada Gambar. 13.1,
bukanlah cara yang nyaman untuk mewakili vektor. Hal ini biasanya hanya
digambarkan dengan panah tunggal, seperti pada Gambar. 13.2. Tapi Anda harus
memahami bahwa posisi anak panah di bidang-(x, y) adalah tidak penting. Panah
ini hanyalah salah satu dari tak terhingga banyaknya yang
dapat ditarik untuk mewakili vektor.
Anda mungkin menemukan penggunaan vektor dalam konteks lain. Misalnya,
mekanik menggunakan vektor kecepatan, vektor percepatan, vektor gaya, dan
sebagainya. Bila Anda ingin membuat perbedaan, vektor yang dijelaskan di sini
disebut vektor translasi. Ini adalah satu-satunya vektor yang digunakan dalam
buku ini.
Chapter 13_Vektor_2014 3
13.2 Vektor aljabar
Sering digunakan satu huruf untuk memisalkan vektor. Dalam cetakan huruf tebal
digunakan untuk membedakan vektor-vektor dari bilangan. Misalnya, dalam
풑 = , p adalah vektor tapi k dan l adalah angka, yang disebut komponen
vektor p dalam arah-x dan arah-y.
Dalam tulisan tangan vektor ditandai dengan garis bergelombang di bawah huruf: 풑~ = . Penting untuk membiasakan menulis vektor dengan cara ini, sehingga
cukup jelas dalam pekerjaan Anda tulisan yang mana yang memisalkan vektor dan
yang memisalkan bilangan.
Jika s adalah sebarang bilangan dan p adalah sembarang vektor, maka sp adalah
vektor lain. Jika s > 0, vektor sp merupakan translasi dengan arah yang sama
dengan p tapi s kali lebih besar; jika s < 0 translasi itu dalam arah yang
berlawanan dan | s | kali lebih besar. Bilangan seperti s sering disebut skalar,
karena biasanya mengubah skala vektor.
Segitiga yang sama pada Gambar. 13.3 menunjukkan bahwa 푠풑 = . Secara
khusus, (−1)풑 = , yang merupakan translasi yang sama besarnya dengan p
tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini dilambangkan dengan −풑.
Vektor ditambahkan dengan melakukan transformasi satu demi satu. Dalam
Gambar. 13.4, p dan q adalah dua vektor. Untuk membentuk jumlah, misalkan
vektor tersebut sebagai sepasang anak panah yang dapat menggambarkan jalur
titik tertentu dari perpindahan lembar melalui dua panah tersebut. Dalam Gambar.
Chapter 13_Vektor_2014 4
13.5, p ditunjukkan oleh panah dari U ke V, dan q oleh panah dari V ke W.
Kemudian ketika translasi digabungkan, titik dari lembar yang semula di U akan
bergerak duluan ke V dan kemudian ke W. Jadi jumlah p + q diwakili oleh panah
dari U ke W.
Gambar. 13.5 juga menunjukkan bahwa:
Jika 풑 = dan 풒 = , maka 풑 + 풒 =
Untuk membentuk penjumlahan q + p translasi dilakukan dalam urutan terbalik.
Dalam Gambar. 13.6, q diwakili oleh panah dari U ke Z; dan karena UVWZ adalah
jajargenjang, p diwakili oleh panah dari Z ke W. Hal ini menunjukkan bahwa
p + q = q + p.
Ini disebut aturan komutatif untuk penambahan vektor.
contoh 13.2.1
Jika 풑 = , 풒 = dan 풓 = , tunjukkan bahwa ada bilangan s sedemikian
rupa sehingga p + sq = r.
Anda dapat menulis p + sq = r dalam bentuk vektor kolom sebagai
2−3 + 푠
12 =
2−3 +
푠2푠 =
2 + 푠−3 + 2푠
Jika vwktor kolom ini sama dengan r, maka baik komponen-x dan komponen-y
dari dua vektor harus sama. Hal ini memberikan dua persamaan
2 + s = 5 dan -3 + 2s = 3.
Chapter 13_Vektor_2014 5
Kedua persamaan ini dipenuhi oleh s = 3, sehingga p + 3q = r.
Ide penambahan dapat diperpanjang untuk tiga atau lebih vektor. Tetapi ketika
Anda menulis p + q + r tidaklah jelas apakah Anda menambahkan p dan q
terlebih dahulu dan kemudian menambahkan r untuk hasilnya, atau apakah Anda
menambahkan p ke hasil penambahan q dan r. Gambar. 13.7 menunjukkan bahwa
tidaklah masalah, karena hasilnya adalah sama bagaimanapun caranya. Artinya,
(p + q) + r = p + (q + r).
Ini disebut aturan asosiatif untuk penambahan vektor.
Untuk melengkapi aljabar vektor penjumlahan, simbol 0 dibutuhkan untuk vektor
nol, translasi ‘tetap-tinggal’, yang memiliki sifat-sifat yang ; untuk setiap vektor
p,
0 + p = 0, p + 0 = p, dan p + (-p) = 0.
Vector penjumlahan dan perkalian dengan skalar dapat dikombinasikan sesuai
dengan dua aturan distributif untuk vektor:
s(p + q) = sp + sq (dari segitiga yang sama pada Gambar. 13,8)
dan (s + t)p = sp + tp (lihat Gambar, 13.9)
Chapter 13_Vektor_2014 6
Pengurangan vektor didefinisikan oleh
p + x = q ⇔ x = q - p
Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 13.10. Perhatikan bahwa untuk menunjukkan
q – p, p dan q dimisalkan dengan panah yang berawal dari titik yang sama; ini
berbeda dari penambahan, panah q berawal di mana panah p berakhir.
Membandingkan Gambar. 13.10 dengan Gambar. 13.11 menunjukkan bahwa
q - p = q + (-p).
Singkatnya, aturan vektor penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan skalar
terlihat sangat mirip dengan aturan penambahan bilangan, pengurangan dan
perkalian. Namun diagram-diagram menunjukkan bahwa aturan untuk vektor
diinterpretasikan secara berbeda dari aturan untuk bilangan.
13.3 Vektor satuan dasar
Jika Anda menerapkan aturan vektor aljabar untuk vektor dalam bentuk kolom,
Anda bisa. melihat bahwa
Chapter 13_Vektor_2014 7
풑 =푘푙 =
푘 + 00 + 푙 =
푘0 +
0푙 = 푘
10 + 푙
01
Vektor dan yang muncul dalam ekspresi terakhir ini disebut vektor
satuan dasar dalam arah-x dan arah-y. Dilambangkan dengan huruf i dan j,
sehingga
p = ki + lj.
Hal ini diilustrasikan oleh Gambar. 13.12. Persamaan ini menunjukkan bahwa
setiap vektor dalam bidang dapat dibangun sebagai jumlah kelipatan dari dua
vektor dasar i dan j.
Vektor ki dan lj disebut vektor komponen p dalam arah-x dan arah-y;
Terdapat dua notasi alternatif untuk mengerjakan aljabar dengan vektor. Misalnya,
jika Anda ingin mencari 3p - 2q, dimana p adalah dan q adalah , Anda
dapat menulis :
325 − 2
1−3 =
615 −
2−6 =
6 − 215 − (−6) =
421
atau 3(2i 5j) - 2(i - 3j) = (6i + 15j) - (2i - 6j) = 6i + 15j - 2i + 6j = 4i + 21j.
Anda akan menemukan bahwa kadang-kadang salah satu dari bentuk ini lebih
mudah daripada yang lain, tetapi biasanya tidak ada bedanya mana yang Anda
gunakan.
13.4 Vektor posisi
Jika E dan F adalah dua titik pada grid, ada translasi yang unik yang akan
membawa Anda dari E ke F. Translasi ini dapat diwakili oleh panah yang dimulai
dari E dan berakhir di F, dan dilambangkan dengan simbol 퐸퐹⃗.
Beberapa buku menggunakan EF dalam huruf tebal daripada 퐸퐹⃗ untuk
menekankan bahwa itu adalah vektor.
Chapter 13_Vektor_2014 8
Namun, meskipun translasi ini unik, namanya tidak. Jika G dan H adalah dua titik
lainnya di grid sehingga garis EF dan GH paralel dan sama panjang (sehingga
EFGH adalah jajar genjang, lihat Gambar. 13.13), maka translasi 퐸퐹⃗ juga
membawa Anda dari G ke H, sehingga bisa juga dilambangkan oleh 퐺퐻⃗. Dalam
persamaan vektor 퐸퐹⃗ bisa digantikan oleh 퐺퐻⃗ tanpa mempengaruhi kebenaran
pernyataan tersebut.
Vektor yang ditulis seperti ini kadang-kadang disebut vektor perpindahan. Tapi
vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda, hanya vector translasinya
ditulis dengan cara yang berbeda.
Namun ada, satu vektor perpindahan yang sangat penting. Vektor perpindahan ini
adalah translasi yang dimulai pada titik asal O dan berakhir pada titik A (푂퐴⃗ pada
Gambar. 13.13), sehingga 푂퐴⃗ = 퐸퐹⃗ = 퐺퐻⃗. Translasi dari O sampai A disebut
vektor posisi A.
Ada hubungan erat antara koordinat A dan komponen-komponen vektor posisinya.
Jika A memiliki koordinat (u,v), kemudian untuk mendapatkan dari O ke A Anda
harus memindahkan u dalam arah-x dan unit v dalam arah-y, sehingga vektor 푂퐴⃗
memiliki komponen u dan v.
Vektor posisi dari titik A dengan koordinat (u,v) adalah
푂퐴⃗ =푢푣 = 푢풊 + 푣풋.
Sebuah konvensi yang berguna adalah dengan menggunakan tulisan yang sama
untuk titik dan vektor posisinya. Misalnya, vektor posisi titik A dapat
Chapter 13_Vektor_2014 9
dilambangkan dengan a. 'alfabet-konvensi' ini akan digunakan dalam buku ini. Ini
memiliki keuntungan yang ekonomis pada huruf abjad dan menghindari
kebutuhan untuk definisi berulang.
13.5 Aljabar dengan vektor posisi
Perkalian dengan skalar memiliki interpretasi sederhana dalam hal vektor posisi.
Jika vektor sa adalah vektor posisi titik D, maka:
• Jika s > 0, D terletak pada arah garis OA (diproduksi jika perlu) sehingga OD =
sOA.
• Jika s < 0, D terletak pada arah garis AO diproduksi sedemikian rupa sehingga
OD = | s |OA.
Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.14 untuk 푠 = dan 푠 = − .
Untuk mengidentifikasi titik dengan vektor posisi a + b tidak begitu mudah,
karena anak panah dari O ke A dan dari O ke B tidak berhubungan dengan cara
yang dibutuhkan untuk penambahan (lihat Gambar. 13.5). Oleh karena itu
diperlukan untuk menyelesaikan jajar genjang OACB, seperti pada Gambar. 13.15.
kemudian
Chapter 13_Vektor_2014 10
a + b = 푂퐴⃗ + 푂퐵⃗ = 푂퐴⃗ + 퐴퐶⃗ = 푂퐶⃗
Ini disebut aturan jajar genjang penjumlahan untuk vektor posisi.
Pengurangan dapat ditampilkan dalam salah satu dari dua cara. Jika Anda
membandingkan Gambar. 13.16 dengan Gambar. 13.10, Anda akan melihat
bahwa b - a adalah vektor perpindahan 퐴퐵⃗. Untuk menafsirkan ini sebagai vektor
posisi, tarik garis OE sama dan sejajar dengan AB, sehingga 푂퐸⃗ = 퐴퐵⃗. Kemudian
E adalah titik dengan vektor posisi b - a.
Atau, Anda dapat menulis b - a sebagai b + (-a), dan kemudian terapkan aturan
jajar genjang penjumlahan ke titik-titik dengan vektor posisi b dan -a. Dengan
membandingkan Gambar. 13.16 dan 13.17 Anda dapat melihat bahwa ini
mengarah ke titik yang sama E.
Contoh 13.5.1
Titik A dan B memiliki vektor posisi a dan b. Cari vektor posisi dari
(a) titik tengah M dari AB,
(b) titik tiga bagian T sehingga 퐴푇 = 퐴퐵.
(a) Metode 1. Perpindahan vector 퐴퐵⃗ = 퐛 − 퐚, jadi 퐴푀⃗ = (풃 − 풂).
Oleh karena itu
퐦 = 푂푀⃗ = 푂퐴⃗ + 퐴푀⃗ = 풂+ (풃 − 풂) = 풂+ 풃.
Chapter 13_Vektor_2014 11
Metode 2 Jika jajar genjang OACB diselesaikan (lihat Gambar. 13.15)
maka c = a + b. Karena Diagonal OACB membagi dua sama lain, titik
tengah M dari AB juga merupakan titik tengah dari OC. Oleh karena itu
퐦 =12 풄 =
12
(풂 + 풃) =12풂+
12풃.
(b) Metode pertama dari (a) dapat dimodifikasi. Vektor perpindahan
퐴푇⃗ = 퐴퐵⃗ = (풃 − 풂), sehingga
풕 = 푂퐴⃗ + 퐴푇⃗ = 풂 + (풃 − 풂) = 풂+ 풃.
Hasil contoh ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema penting
tentang segitiga.
Contoh 13.5.2
Dalam segitiga ABC pertengahan titik dari BC, CA dan AB adalah D, E dan F.
Buktikan bahwa garis AD, BE, dan CF (disebut median) bertemu pada titik G,
yang merupakan titik tiga bagian dari masing-masing median (lihat Gambar.
13.18).
Dari contoh 13.5.1, 풅 = 풃 + 풄, dan titik tiga bagian pada median AD dekat ke
D memiliki vektor posisi
13풂+
23풅 =
13풂 +
23
12풃+
12 풄
Chapter 13_Vektor_2014 12
=13풂 +
13풃 +
13 풄
Ekspresi terakhir ini simetris dalam a, b dan c. Oleh karena itu juga merupakan
titik tiga bagian pada median BE dekat dengan E, dan titik tiga bagian pada CF
dekat dengan F.
Oleh karena itu tiga median saling bertemu pada suatu titik G, dengan vektor
posisi 품 = (풂 + 풃 + 풄). Titik ini disebut pusat massa segitiga.
13.6 Vektor dalam dimensi tiga
Kekuatan metode vektor paling dihargai ketika mereka digunakan untuk
mengerjakan geometri dalam tiga dimensi. Hal ini memerlukan pengaturan sumbu
dalam tiga arah, seperti pada Gambar. 13.19. Konvensi biasa adalah untuk
menentukan sumbu-x dan sumbu-y pada bidang horizontal (yang diarsir), dan
menambahkan sumbu-z menunjuk vertikal ke atas.
Sumbu ini dikatakan 'tangan kanan': jika jari telunjuk terentang, tangan kanan
Anda menunjuk ke arah-x, dan Anda membungkukkan jari tengah Anda untuk
menunjuk dalam arah y, maka ibu jari Anda secara alami dapat menunjuk sampai
di arah-z.
Posisi titik diberikan oleh tiga koordinat (x, y, z).
Sebuah vektor p dalam dimensi tiga adalah terjemahan dari seluruh ruang relatif
terhadap koordinat kerangka tetap. (Anda bisa bayangkan Gambar. 13.1 sebagai
hujan badai, dengan panah yang menunjukkan .suatu translasi tetesan individu.)
Hal ini ditulis sebagai , yang merupakan translasi dari l, m dan n satuan dalam
arah-x ,arah-y dan arah-z. Hal ini juga dapat ditulis dalam bentuk li + mj + nk,
dimana 풊 = , 퐣 = ,퐤 = adalah vektor-vektor dasar dalam arah-x, arah-y
dan arah-z.
Chapter 13_Vektor_2014 13
Hampir segala sesuatu yang Anda tahu tentang koordinat dalam dimensi dua
dibawa lebih ke dalam dimensi tiga dengan cara yang jelas, tetapi Anda harus
melihat beberapa perbedaan:
• Sumbu dapat diambil dalam pasangan-pasangan untuk menentukan koordinat
bidang. Misalnya, sumbu-x dan sumbu-y mrupakan bidang horizontal, yang
disebut bidang-xy. Semua titik dalam bidang ini memiliki koordinat-z nol,
sehingga persamaan bidangnya adalah z = 0. Demikian pula bidang-xz dan
bidang-yz memiliki persamaan y = 0 dan x = 0; kedua merupakan bidang vertikal.
• Ide gradien garis tidak terbawa ke dalam dimensi tiga. Namun, Anda masih
dapat menggunakan vektor untuk menggambarkan arah garis. Ini adalah salah satu
alasan utama mengapa vektor berguna dalam tiga dimensi.
• Dalam dimensi tiga garis yang tidak sejajar mungkin atau mungkin tidak
bertemu. Garis Non-paralel yang tidak memenuhi dikatakan condong.
contoh 13.6.1
Poin A dan B memiliki koordinat (-5,3,4) dan (-2,9,1). Selidiki apakah titik C
dengan koordinat (-4,5,2) terletak pada garis yang melewati A dan B.
Perpindahan vektor 퐴퐵⃗ adalah
풃 − 풂 =−291
−−534
=36−3
= 312−1
Vektor perpindahan 퐴퐶⃗ adalah
풄 − 풂 =−452
−−534
=12−2
Chapter 13_Vektor_2014 14
c - a adalah bukan kelipatan dari b - a, tidak sejajar dengan b - a. Titik B
dan C tidak dalam arah yang sama (atau berlawanan arah) dari A, sehingga
C tidak terletak pada garis yang melewati A dan B.
Perhatikan bahwa jika Anda mengubah C pada koordinat-z ke 3, maka C akan
terletak pada garis AB.
Contoh 13.6.2
Titik P, Q dan R memiliki koordinat (1,3,2); (3, l; 4) dan (4,1, -5) masing-masing
(a) Tentukan vektor perpindahan 푃푄⃗ dan 푄푅⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar
i, j dan k.
(b) Cari 2푃푄⃗ − 푃푅⃗ + 푄푅⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar i, j dan k, dan
koordinat titik tercapai jika Anda mulai di R dan melakukan teranslasi 2푃푄⃗ −
푃푅⃗ + 푄푅⃗.
(a) 푃푄⃗ = q - p = (3i + j + 4k) - (i + 3j + 2k) = 2i - 2j + 2k.
푄푅⃗ = r - q = (4i + j - 5k) - (3i + j + 4k) = i - 9k.
(b) Catatan pertama bahwa 푃푅⃗ = r - p = (4i + j - 5k) - (i + 3j + 2k) = 3i - 2j - 7k.
Then 2푃푄⃗ − 푃푅⃗ + 푄푅⃗ = 2 (2i - 2j + 2k) − (3i - 2j - 7k) + (i - 9k)
= 4i - 4j + 4k - i + j + k + i - k
= 3i - 3j + 3k.
Jika Anda mulai dari R, maka titik yang telah dicapai memiliki vektor posisi
r + (3i - 3j + k) = (4i + j - 5k) + (3i - 3j + 3k) = 7i - 2j - 2k.
Oleh karena itu titiknya adalah (7, -2, -2).
Chapter 13_Vektor_2014 15
13.7 Besaran vektor
Setiap translasi dapat dijelaskan dengan memberikan besar dan arah. Notasi yang
digunakan untuk besarnya vektor p, mengabaikan arahnya, adalah | p | .
Jika Anda memiliki dua vektor p dan q yang tidak sama, tetapi memiliki besaran
yang sama, maka Anda dapat menulis | p | = | Q |.
Jika s merupakan kelipatan skalar dari p, maka berikut dari definisi sp (lihat
Bagian 13.2) yang | sp | = | s || p |. Hal ini berlaku meskipun s positif atau negatif
(atau nol).
Simbol untuk besarnya vektor sama dengan simbol untuk modulus bilangan real,
karena konsepnya serupa. Bahkan, bilangan real x berperilaku seperti vektor xi
dalam dimensi satu, di mana i adalah vektor satuan dasar. Vektor xi merupakan
perpindahan pada garis bilangan, dan modulus | x | mengukur besarnya
perpindahan, apakah itu dalam positif atau arah negatif.
Sebuah vektor besarnya 1 disebut vektor satuan. Vektor satuan dasar i, j, k
adalah contoh dari vektor satuan, tetapi ada yang lain: ada vektor satuan di setiap
arah.
Vektor satuan kadang-kadang dibedakan dengan Accenta sirkumfleksa ^ diatas
huruf. Sebagai contoh, sebuah vektor satuan dalam arah r dapat dinotasikan
dengan 푟̂. Notasi ini terutama sering digunakan pada mekanika, tetapi tidak akan
digunakan dalam bab ini.
13.8 Produk skalar
Sejauh ini vektor telah ditambahkan, dikurangi dan dikalikan dengan skalar, tetapi
belum dikalikan bersama-sama. Langkah berikutnya adalah untuk menentukan
produk dari dua vektor:
Produk skalar, atau dot produk, dari vektor p dan q adalah jumlah (atau skalar)
| p || q | cos θ, di mana θ adalah sudut antara arah p dan q. Hal ini ditulis p.q dan
diucapkan 'p dot q'.
Chapter 13_Vektor_2014 16
Sudut θ mungkin lancip atau tumpul, tetapi penting bahwa sudut itu adalah sudut
antara p dan q, dan bukanlah (misalnya) sudut antara p dan -q. Cara terbaik untuk
menunjukkan θ dalam diagram di mana vektor-vektor diwakili oleh panah dengan
ekornya pada titik yang sama, seperti pada Gambar. 13.20.
Alasan untuk menyebutnya 'produk skalar', bukan hanya produk, adalah bahwa
matematikawan juga menggunakan produk lain, yang disebut 'vector produk'.
Tetapi penting untuk membedakan produk skalar dari 'perkalian dengan skalar'.
Untuk menghindari kebingungan, banyak orang lebih suka menggunakan nama
alternatif 'dot product'.
Untuk alasan yang sama, Anda harus selalu memasukkan 'titik' antara p dan q
untuk produk skalar, tetapi Anda tidak harus menyisipkan titik antara s dan p
ketika mengalikan dengan skalar.
Misalnya, Anda tidak dapat memiliki produk skalar dari tiga vektor, p .q .r.
Lihatlah dalam Bagian 13.2 bahwa jumlah ketiga vektor tersebut dapat dianggap
sebagai (p + q) + r atau sebagai p + (q + r), dan ungkapan-ungkapan ini adalah
sama. Tapi (p.q).r tidak ada artinya: p.q adalah skalar, dan Anda tidak dapat
membentuk produk titik dari sebuah skalar dengan vektor r. Demikian pula,
p.(q.r) tidak ada artinya.
Namun, s(p.q), dimana s adalah skalar, tidak memiliki arti; seperti yang Anda
harapkan,
s(p.q) = (sp) .q
Buktinya tergantung pada ‘apakah s positif (lihat Gambar. 13.21) atau negatif
(lihat Gambar. 13.22)’.
Chapter 13_Vektor_2014 17
Jika s > 0, maka sudut antara sp dan q adalah θ, sehingga
(sp).q = | sp || q | cos θ = | s || p | q | cos θ = | s | (| p || q | cos θ) = s(p.q).
Jika s < 0, maka sudut antara sp dan q adalah π - θ, dan s = -| s |, sehingga
(sp).q = | spl || q | cos (π - θ) = | s || p || q | (-cos θ) = - | s | (| p || q | cos θ) =
s(p.q)
Properti lain dari produk skalar adalah bahwa p.q = q.p, yang langsung mengikuti
definisi. Ini disebut aturan komutatif untuk produk skalar.
Ada dua kasus khusus yang sangat penting, yang Anda dapatkan dengan
mengambil θ = 0 dan menempatkan p = q , dan mengambil θ = π, dalam definisi
produk skalar.
p•p = | p |2 (p•p kadang-kadang ditulis sebagai p2).
Jika p atau q bukan vektor nol,
p.q = 0 jika dan hanya jika p dan q dalam arah tegak lurus.
Properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan vektor untuk menemukan
panjang dan untuk mengidentifikasi sudut yang benar.
Chapter 13_Vektor_2014 18
13.9 Produk skalar dalam bentuk komponen
Aturan di bagian terakhir menunjukkan bahwa aljabar dengan produk skalar lebih
seperti aljabar biasa, kecuali untuk beberapa ekspresi (seperti produk skalar dari
tiga vektor) tidak memiliki makna. Anda perlu satu aturan yang lebih untuk dapat
menggunakan vektor-vektor untuk mendapatkan hasil geometris. Ini adalah
aturan distributif untuk mengalikan kurung:
(p + q).r = p.r + q.i
Untuk saat ini, ini akan dianggap benar.
Dalam kasus-kasus khusus pada akhir Bagian 13.8, ambil p dan q menjadi vektor
satuan dasar. Anda kemudian mendapatkan:
Untuk vektor satuan dasar i, j, k,
i.i = j.j = k.k = 1 dan j.k = k.i = i.j = 0
Oleh karena itu, jika vektor p dan q ditulis dalam bentuk komponen sebagai p = li
+ mj + nk dan q = ui + vj + wk, maka
p.q = (li + mj + nk). (ui + vj + wk)
= lui.i + lvi.j + lwi.k + muj.i + mvj.j + mwj.k + nuk.i + nvk.j + nwk.k
(menggunakan aturan distributif)
= lu x 1 + lv x 0 + lw x 0 + mu x 0 + mv x 1 + mw x 0 + nu x 0 + nv x 0 + nw
x 1
= lu + mv + nw.
Dalam bentuk komponen, produk scalar adalah
Chapter 13_Vektor_2014 19
푙푚푛
∙푢푣푤
= (li + mj + nk). (ui + vj + wk) = lu + mv + nw.
Hasil ini memiliki banyak aplikasi. Secara khusus, p.p = l2 + m2 + n2, memberikan
panjang p:
| p | = √푙 + 푚 + 푛 .
Dalam dimensi dua, jika p = li + mj dan q = ui + vj, maka
p.q = lu + mv
Jadi dalam bentuk komponen
푙푚 .
푢푣 = 푙푢 + 푚푣
Contoh 13.9.1
Tunjukkan bahwa vektor dan tegak lurus.
Menulis p = dan q = , dan gunakan p.q = lu + mv
p.q = . = 3 x (- 2) + 2 x 3 = -6 + 6 = 0,
Karena baik p maupun q adalah vektor nol dan p.q = 0, maka vektor ini tegak
lurus.
Contoh 13.9.2
Cari sudut antara vektor p = 2i - 2j + k dan q = 12i + 4j - 3k, berikan jawaban
benar Anda untuk kesepuluh derajat terdekat.
Besaran p dan q diberikan oleh
|풑| = 2 + (−2) + 1 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3
dan
|풒| = 12 + 4 + (−3) = √144 + 16 + 9 = √169 = 1
Chapter 13_Vektor_2014 20
Menggunakan p.q = | p || q | cos θ = lu + mv + nw, di mana θ° adalah sudut antara
p and q,
3 x l3 x cos θ° = 2 x l2 + (-2) x 4 + l x (-3) = 24 – 8 - 3 = 13,
memberikan
cos θ° = = , dan θ = 70.5
Sudut yang dibutuhkan adalah 70.5 °.
Vektor dapat memberikan metode yang baik untuk menemukan sudut antara dua
garis lurus, di mana hal itu mungkin tidak mudah atau tidak mungkin untuk
menggambar segitiga yang berisi dua baris.
Contoh 13.9.3
Sebuah gudang (Gambar. 13.23) memiliki lantai persegi panjang ABCD dari
dimensi 6 m dengan 12 m. Tepi AP, BQ, CR dan DS masing-masing vertikal dan
tinggi 5 m. Punggungan UV simetris ditempatkan di atas PQRS, dan tinggi 7 m di
atas ABCD. Hitung kesepuluh derajat sudut terdekat antara garis AS dan UR.
Ambil vektor satuan i, j dan k dalam arah BC, BA dan BQ.
Misalkan 퐴푆⃗ = e dan 푈푅⃗ = f.
Kemudian
e = 12i + 5k dan f = 12i - 3j - 2k,
Chapter 13_Vektor_2014 21
jadi | e | = √12 + 0 + 5 = √169 = 13
dan | f | = 12 + (−3) + (−2) = √157.
Menunjukkan sudut antara garis dengan θ°.
Kemudian 13 x √157 cosθ° = 12 x l2 + 0 x (-3) + 5 x (-2) = 134, memberikan θ =
34.6, benar untuk tempat desimal 1.
Jadi sudut antara AS dan UR adalah 34.6°.
Dalam contoh ini AS dan UR adalah garis miring. Karena AS sejajar dengan BR,
sudut antara AS dan UR sama dengan sudut antara AS dan BR.
13.10* Aturan distributif (p + q).r = p.r + q.r
Bukti ini membutuhkan hasil awal. Gambar. 13.24 menunjukkan arah garis l dan
dua titik A dan B (dalam dimensi tiga). Jika garis AD dan BE ditarik tegak lurus
terhadap l, arah panjang DE disebut proyeksi vektor perpindahan 퐴퐵⃗ pada l.
Berikut kata 'diarahkan' berarti bahwa arah positif dipilih pada l, dan itu (dalam
diagram ini) DE positif dan ED negatif.
Teorema Jika p adalah vektor perpindahan 퐴퐵⃗, dan u adalah vektor satuan dalam
arah l, maka proyeksi 퐴퐵⃗ ke l adalah p.u.
Chapter 13_Vektor_2014 22
Bukti Anda mungkin akan menemukan bukti paling mudah untuk diikuti jika
saya ditarik garis vertikal, seperti pada Gambar. 13.25. Ingat bahwa AD dan BE
tegak lurus terhadap l, dan juga horisontal. Bayangan segitiga ADM dan NEB
terletak pada bidang horisontal melalui D dan E. Titik N adalah sedemikian rupa
sehingga AN sejajar dengan l dan tegak lurus terhadap NB.
Kemudian DE = AN, dan u adalah vektor satuan dalam arah AN. Jika sudut BAN
dilambangkan dengan θ, maka
p.u = | p | x 1 x cosθ = AB cosθ = AN = DE,
• - yang merupakan proyeksi 퐴퐵⃗ pada l.
Perhatikan bahwa, jika B berada di bawah A, maka sudut antara p dan u akan
tumpul, sehingga p.u akan negatif. Pada l, E akan berada di bawah D, sehingga
panjang arah DE juga akan negatif.
Teorema Untuk setiap vektor p, q dan r, (p + q) .r = p.r + p.q;
Bukti Dalam Gambar. 13.26 perpindahan vektor 퐴퐵⃗, 퐵퐶⃗ dan 퐴퐶⃗
merepresentasikan p, q dan p + q. Garis l dalam arah r; menunjukkan garis
vertikal. Bidang-bidang horisontal melalui A, B dan C memotong l di D, E dan F
masing-masing, sehingga AD, BE dan CF tegak lurus terhadap l. Misalkan u
adalah vektor satuan dalam arah r, dan dinotasikan | r | oleh s, sehingga r = su.
Chapter 13_Vektor_2014 23
Kemudian
p.r = p.(su) = s(p.u) = s x DE,
dan juga q.r = s x EF dan (p + q).r = s x DF.
Karena DE, EF dan DF arah panjang, maka selalu benar bahwa DE + EF = DF,
apapun urutan titik D, E dan F pada l.
Oleh karena itu
(p + q).r = s x DF = s x (DE + EF) = s x DE + s x EF = p.r + q.r.
Chapter 13_Vektor_2014 24
DAFTAR PUSTAKA
Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.
top related