resnick, halliday. physics. volume i
Post on 02-Apr-2018
499 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 1/30
J . M a r t n e z T a r r a z o
R e s o l u c i o n d e p r o b l e m a s
R e s n i c k , H a l l i d a y . P h y s i c s . W i l e y , 1 9 6 6
A p r i l 2 , 2 0 1 3
S p r i n g e r
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 2/30
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 3/30
C o n t e n t s
1 P a r t i c l e D y n a m i c s I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 W o r k a n d E n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 4/30
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 5/30
1
P a r t i c l e D y n a m i c s I I
P r o b l e m s
1 . 1 . A b l o c k o f m a s s m s l i d e s i n a n i n c l i n e d r i g h t - a n g l e d t r o u g h a s i n F i g . 1 . 1 . I f
t h e c o e c i e n t o f k i n e t i c f r i c t i o n b e t w e e n t h e b l o c k a n d t h e m a t e r i a l c o m p o s i n g
t h e t r o u g h i s "
k
, n d t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e b l o c k .
F i g . 1 . 1 .
1 . 2 . A s m a l l c o i n i s p l a c e d o n a a t , h o r i z o n t a l t u r n t a b l e . T h e t u r n t a b l e i s
o b s e r v e d t o m a k e t h r e e r e v o l u t i o n s i n 3 . 1 4 s e c . ( a ) W h a t i s t h e s p e e d o f t h e
c o i n w h e n i t r i d e s w i t h o u t s l i p p i n g a t a d i s t a n c e o f 5 . 0 c m f r o m t h e c e n t e r o f
t h e t u r n t a b l e ? ( b ) W h a t i s t h e a c c e l e r a t i o n ( m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ) o f t h e
c o i n i n p a r t ( a ) ? ( c ) W h a t i s t h e f r i c t i o n a l - f o r c e a c t i n g o n t h e c o i n i n p a r t ( a )
i f t h e c o i n h a s a m a s s m ? ( d ) W h a t i s t h e c o e c i e n t o f s t a t i c f r i c t i o n b e t w e e n
t h e c o i n a n d t h e t u r n t a b l e i f t h e c o i n i s o b s e r v e d t o s l i d e o t h e t u r n t a b l e
w h e n i t i s g r e a t e r t h a n 1 0 c m f r o m t h e c e n t e r o f t h e t u r n t a b l e ?
1 . 3 . A v e r y s m a l l c u b e o f m a s s m i s p l a c e d i n t h e i n s i d e o f a f u n n e l ( F i g . 1 . 2 )
r o t a t i n g a b o u t a v e r t i c a l a x i s a t a c o n s t a n t r a t e o f # r e v / s e c . T h e w a l l o f t h e
f u n n e l m a k e s a n a n g l e w i t h t h e h o r i z o n t a l . I f t h e c o e c i e n t o f s t a t i c f r i c t i o n
b e t w e e n t h e c u b e a n d t h e f u n n e l i s " a n d t h e c e n t e r o f t h e c u b e i s a d i s t a n c e
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 6/30
2 1 P a r t i c l e D y n a m i c s I I
r f r o m t h e a x i s o f r o t a t i o n , w h a t a r e t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t v a l u e s o f # f o r
w h i c h t h e b l o c k w i l l n o t m o v e w i t h r e s p e c t t o t h e f u n n e l ?
F i g . 1 . 2 .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 7/30
2
W o r k a n d E n e r g y
P r o b l e m s
2 . 1 . A 1 0 0 - l b b l o c k o f i c e s l i d e s d o w n a n i n c l i n e 5 . 0 f t l o n g a n d 3 . 0 f t h i g h .
A m a n p u s h s e s u p o n t h e i c e p a r a l l e l t o t h e i n c l i n e s o t h a t i t s l i d e s d o w n a t
c o n s t a n t s p e e d . T h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n b e t w e e n t h e i c e a n d t h e i n c l i n e i s
0 . 1 0 . F i n d ( a ) t h e f o r c e e x e r t e d b y t h e m a n , ( b ) t h e w o r k d o n e b y t h e m a n
o n t h e b l o c k , ( c ) t h e w o r k d o n e b y g r a v i t y o n t h e b l o c k , ( d ) t h e w o r k d o n e
b y t h e s u r f a c e o f t h e i n c l i n e o n t h e b l o c k , ( e ) t h e w o r k d o n e b y t h e r e s u l t a n t
f o r c e o n t h e b l o c k , a n d ( f ) t h e c h a n g e i n k i n e t i c e n e r g y o f t h e b l o c k .
2 . 2 . A m a n p u s h e s a 6 0 - l b b l o c k 3 0 f t a l o n g a l e v e l o o r a t c o n s t a n t s p e e d
w i t h a f o r c e d i r e c t e d 4 5
b e l o w t h e h o r i z o n t a l . I f t h e c o e f f i c i e n t o f k i n e t i c
f r i c t i o n i s 0 . 2 0 , h o w m u c h w o r k d o e s t h e m a n o n t h e b l o c k ?
2 . 3 . A c r a t e w e i g h i n g 5 0 0 l b i s s u s p e n d e d f r o m t h e e n d o f a r o p e 4 0 f t l o n g .
T h e c r a t e i s t h e n p u s h e d a s i d e 4 . 0 f t f r o m t h e v e r t i c a l a n d h e l d t h e r e . ( a )
W h a t i s t h e f o r c e n e e d e d t o k e e p t h e c r a t e i n t h i s p o s i t i o n ? ( b ) I s w o r k b e i n g
d o n e i n h o l d i n g i t t h e r e ? ( c ) W a s w o r k d o n e i n m o v i n g i t a s i d e ? I f s o , h o w
m u c h ? ( d ) D o e s t h e t e n s i o n i n t h e r o p e p e r f o r m a n y w o r k o n t h e c r a t e ?
2 . 4 . A c o r d i s u s e d t o l o w e r v e r t i c a l l y a b l o c k o f m a s s w a d i s t a n c e a t a
c o n s t a n t d o w n w a r d a c c e l e r a t i o n o f a 4 . F i n d t h e w o r k d o n e b y t h e c o r d o n
t h e b l o c k .
2 . 5 . A b l o c k o f m a s s m = 3 X 5 7 k g i s d r a w n a t c o n s t a n t s p e e d a d i s t a n c e
= 4 X 0 6 m e t e r s a l o n g a h o r i z o n t a l o o r b y a r o p e e x e r t i n g a c o n s t a n t f o r c e
o f m a g n i t u d e p = 7 X 6 8 n t m a k i n g a n a n g l e = 1 5 X 0
w i t h t h e h o r i z o n t a l .
C o m p u t e ( a ) t h e t o t a l w o r k d o n e o n t h e b l o c k ; ( b ) t h e w o r k d o n e b y t h e r o p e
o n t h e b l o c k ; ( c ) t h e w o r k d o n e b y f r i c t i o n o n t h e b l o c k ; ( d ) t h e c o e f f i c i e n t o f
k i n e t i c f r i c t i o n b e t w e e n b l o c k a n d o o r .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 8/30
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 9/30
3
T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y
P r o b l e m s
3 . 1 . S h o w t h a t f o r t h e s a m e i n i t i a l s p e e d
0
, t h e s p e e d o f a p r o j e c t i l e w i l l
b e t h e s a m e a t a l l p o i n t s a t t h e s a m e e l e v a t i o n , r e g a r d l e s s o f t h e a n g l e o f
p r o j e c t i o n .
3 . 2 . T h e s t r i n g i n F i g . 3 . 1 h a s l e n g t h l = 4 X 0 f t . W h e n t h e b a l l i s r e l e a s e d , i t
w i l l s w i n g d o w n t h e d o t t e d a r c . H o w f a s t w i l l i t b e g o i n g w h e n i t r e a c h e s t h e
l o w e s t p o i n t i n i t s s w i n g ?
F i g . 3 . 1 .
3 . 3 . T h e n a i l i n F i g . 3 . 1 i s l o c a t e d a d i s t a n c e b e l o w t h e p o i n t o f s u s p e n s i o n ,
S h o w t h a t m u s t b e a t l e a s t 0 X 6 l i f t h e b a l l i s t o s w i n g c o m p l e t e l y a r o u n d i n
a c i r c l e c e n t e r e d o n t h e n a i l .
3 . 4 . S u p p o s e t h a t t h e s t r i n g o f F i g . 3 . 1 i s v e r y e l a s t i c , m a d e o f r u b b e r , s a y ,
a n d t h a t t h e s t r i n g i s u n e x t e n d e d a t l e n g t h l w h e n t h e b a l l i s r e l e a s e d . ( a )
E x p l a i n w h y y o u w o u l d e x p e c t t h e b a l l t o r e a c h a l o w p o i n t g r e a t e r t h a n a
d i s t a n c e l b e l o w t h e p o i n t o f s u s p e n s i o n . ( b ) S h o w , u s i n g d y n a m i s a n d e n e r g y
c o n s i d e r a t i o n s , t h a t i f ¡ l i s s m a l l c o m p a r e d t o l t h e s t r i n g w i l l s t r e t c h b y
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 10/30
6 3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y
a n a m o u n t ¡ l = 3 m a k , w h e r e k i s t h e a s s u m e d f o r c e c o n s t a n t o f t h e s t r i n g .
N o t i c e t h a t t h e l a r g e r k i s , t h e s m a l l e r ¡ l i s , a n d t h e b e t t e r t h e a p p r o x i m a t i o n
¡ l ( l . ( c ) S h o w , u n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s , t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t
t h e b o t t o m i s =
p
2 ( l 3 m a 2 k ) , l e s s t h a n i t w o u l d b e f o r a n i n e l a s t i c
s t r i n g ( k =
I ) . G i v e n a p h y s i c a l e x p l a n a t i o n f o r t h i s r e s u l t u s i n g e n e r g y
c o n s i d e r a t i o n s .
3 . 5 . ( a ) A l i g h t r i g i d r o d o f l e n g t h l h a s a m a s s m a t t a c h e d t o i t s e n d , f o r m i n g
a s i m p l e p e n d u l u m . I t i s i n v e r t e d a n d t h e n r e l e a s e d . W h a t i s i t s s p e e d a t
t h e l o w e s t p o i n t a n d w h a t i s t h e t e n s i o n i n t h e s u s p e n s i o n a t t h a t i n s t a n t ?
( b ) T h e s a m e p e n d u l u m i s n e x t p u t i n a h o r i z o n t a l p o s i t i o n a n d r e l e a s e d f r o m
r e s t . A t w h a t a n g l e f r o m t h e v e r t i c a l w i l l t h e t e n s i o n i n t h e s u s p e n s i o n e q u a l
t h e w e i g h t i n m a g n i t u d e ?
3 . 6 . A s i m p l e p e n d u l u m o f l e n g t h l , t h e m a s s o f w h o s e b o b i s m , i s o b s e r v e d
t o h a v e a s p e e d
0
w h e n t h e c o r d m a k e s t h e a n g l e
0
w i t h t h e v e r t i c a l ( 0 ̀
0
` % a 2 ) , a s i n F i g . 3 . 2 . I n t e r m s o f a n d t h e f o r e g o i n g g i v e n q u a n t i t i e s ,
d e t e r m i n e ( a ) t h e t o t a l m e c h a n i c a l e n e r g y o f t h e s y s t e m ; ( b ) t h e s p e e d
1
o f
t h e b o b w h e n i t i s a t i t s l o w e s t p o s i t i o n ; ( c ) t h e l e a s t v a l u e
2
t h a t
0
c o u l d
h a v e i f t h e c o r d i s t o a c h i e v e a h o r i z o n t a l p o s i t i o n d u r i n g t h e m o t i o n ; ( d ) t h e
s p e e d
3
s u c h t h a t i f
0
b
3
t h e p e n d u l u m w i l l n o t o s c i l a t e b u t r a t h e r w i l l
c o n t i n u e t o m o v e a r o u n d i n a v e r t i c a l c i r c l e .
F i g . 3 . 2 .
3 . 7 . A n o b j e c t i s a t t a c h e d t o a v e r t i c a l s p r i n g a n d s l o w l y l o w e r e d t o i t s e q u i -
l i b r i u m p o s i t i o n . T h i s s t r e t c h e s t h e s p r i n g b y a n a m o u n t . I f t h e s a m e o b j e c t
i s a t t a c h e d t o t h e s a m e v e r t i c a l s p r i n g b u t p e r m i t t e d t o f a l l i n s t e a d , t h r o u g h
w h a t d i s t a n c e d o e s i t s t r e t c h t h e s p r i n g ?
3 . 8 . A 2 . 0 - k g b l o c k i s d r o p p e d f r o m a h e i g h t o f 0 . 4 0 m e t e r o n t o a s p r i n g o f
f o r c e c o n s t a n t k = 1 9 6 0 n t / m e t e r . F i n d t h e m a x i m u m d i s t a n c e t h e s p r i n g w i l l
b e c o m p r e s s e d ( n e g l e c t f r i c t i o n ) .
3 . 9 . A f r i c t i o n l e s s r o l l e r c o a s t e r o f m a s s m s t a r t s a t p o i n t e w i t h s p e e d
0
a s
i n F i g . 3 . 3 . A s s u m e t h a t t h e r o l l e r c o a s t e r c a n b e c o n s i d e r e d a s a p o i n t p a r t i c l e
a n d t h a t i t a l w a y s r e m a i n s o n t h e t r a c k . ( a ) W h a t w i l l b e t h e s p e e d o f t h e
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 11/30
3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y 7
r o l l e r c o a s t e r a t p o i n t s f a n d g ? ( b ) W h a t c o n s t a n t d e c e l e r a t i o n i s r e q u i r e d
t o s t o p i t a t p o i n t i i f t h e b r a k e s a r e a p p l i e d a t p o i n t h ? ( c ) S u p p o s e
0
= 0 ;
h o w l o n g w i l l i t t a k e t h e r o l l e r c o a s t e r t o r e a c h p o i n t f ?
F i g . 3 . 3 .
3 . 1 0 . A s m a l l b l o c k o f m a s s m s l i d e s a l o n g t h e f r i c t i o n l e s s l o o p - a - l o o p t r a c k
s h o w n i n F i g . 3 . 4 . ( a ) I f i t s t a r t s f r o m r e s t a t , w h a t i s t h e r e s u l t a n t f o r c e
a c t i n g o n i t a t ? ( b ) A t w h a t h e i g h t a b o v e t h e b o t t o m o f t h e l o o p s h o u l d
t h e b l o c k b e r e l e a s e d s o t h a t t h e f o r c e i t e x e r t s a g a i n s t t h e t r a c k a t t h e t o p
o f t h e l o o p i s e q u a l t o i t s w e i g h t ?
F i g . 3 . 4 .
3 . 1 1 . T h e p a r t i c l e m i n F i g . 3 . 5 i s m o v i n g i n a v e r t i c a l c i r c l e o f r a d i u s
i n s i d e a t r a c k . T h e r e i s n o f r i c t i o n . W h e n m i s a t i t s l o w e s t p o s i t i o n , i t s s p e e d
i s
0
. ( a ) W h a t i s t h e m i n i m u m v a l u e
m
o f
0
f o r w h i c h m w i l l g o c o m p l e t e l y
a r o u n d t h e c i r c l e w i t h o u t l o s i n g c o n t a c t w i t h t h e t r a c k ? ( b ) S u p p o s e
0
i s
0 X 7 7 5
m
. T h e p a r t i c l e w i l l m o v e u p t h e t r a c k t o s o m e p o i n t a t a t w h i c h
i t l o s e c o n t a c t w i t h t h e t r a c k a n d t r a v e l a l o n g a p a t h s h o w n r o u g h l y b y t h e
d a s h e d l i n e . F i n d t h e a n g u l a r p o s i t i o n o f p o i n t .
3 . 1 2 . A p o i n t o f m a s s m s t a r t s f r o m r e s t a n d s l i d e s d o w n t h e s u r f a c e o f a
f r i c t i o n l e s s s o l i d s p h e r e o f r a d i u s r a s i n F i g . 3 . 6 . M e a s u r e a n g l e s f r o m t h e
v e r t i c a l a n d p o t e n t i a l e n e r g y f r o m t h e t o p . F i n d ( a ) t h e c h a n g e i n p o t e n t i a l
e n e r g y o f t h e m a s s w i t h a n g l e ; ( b ) t h e k i n e t i c e n e r g y a s a f u n c t i o n o f a n g l e ;
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 12/30
8 3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y
F i g . 3 . 5 .
( c ) t h e r a d i a l a n d t a n g e n t i a l a c c e l e r a t i o n s a s a f u n c t i o n o f a n g l e ; ( d ) t h e a n g l e
a t w h i c h t h e m a s s i e s o t h e s p h e r e . ( e ) I f t h e r e i s f r i c t i o n b e t w e e n t h e m a s s
a n d t h e s p h e r e , d o e s t h e m a s s y o a t a g r e a t e r o r l e s s e r a n g l e t h a n i n p a r t
( d ) ?
F i g . 3 . 6 .
3 . 1 3 . A n i d e a l m a s s l e s s s p r i n g c a n b e c o m p r e s s e d 1 . 0 m e t e r b y a f o r c e o f
1 0 0 n t . T h i s s a m e s p r i n g i s p l a c e d a t t h e b o t t o m o f a f r i c t i o n l e s s i n c l i n e d
p l a n e w h i c h m a k e s a n a n g l e o f = 3 0
w i t h t h e h o r i z o n t a l ( s e e F i g . 3 . 7 ) . A
1 0 - k g m a s s w i s r e l e a s e d f r o m r e s t a t t h e t o p o f t h e i n c l i n e a n d i s b r o u g h t t o
r e s t m o m e n t a r i l y a f t e r c o m p r e s s i n g t h e s p r i n g 2 . 0 m e t e r s . ( a ) T h r o u g h w h a t
d i s t a n c e d o e s t h e m a s s s l i d e b e f o r e c o m i n g t o r e s t ? ( b ) W h a t i s t h e s p e e d o f
t h e m a s s j u s t b e f o r e i t r e a c h e s t h e s p r i n g ?
F i g . 3 . 7 .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 13/30
3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y 9
3 . 1 4 . A b o d y m o v i n g a l o n g t h e - a x i s i s s u b j e c t t o a f o r c e r e p e l l i n g i t f r o m
t h e o r i g i n , g i v e n b y p = k . ( a ) F i n d t h e p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n ( ) f o r
t h e m o t i o n a n d w r i t e d o w n t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y c o n d i t i o n . ( b ) D e s c r i b e
t h e m o t i o n o f t h e s y s t e m a n d s h o w t h a t t h i s i s t h e k i n d o f m o t i o n w e w o u l d
e x p e c t n e a r a p o i n t o f u n s t a b l e e q u i l i b r i u m .
3 . 1 5 . I f t h e m a g n i t u d e o f t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n b e t w e e n a p a r t i c l e o f m a s s
m
1
a n d o n e o f m a s s m
2
i s g i v e n b y
p = k
m
1
m
2
2
w h e r e k i s a c o n s t a n t a n d i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p a r t i c l e s , n d ( a ) t h e
p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n a n d ( b ) t h e w o r k r e q u i r e d t o i n c r e a s e t h e s e p a r a t i o n
o f t h e m a s s e s f r o m =
1
t o =
1
+ .
3 . 1 6 . T h e m a g n i t u d e o f t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n b e t w e e n t h e p o s i t i v e l y c h a r g e d
n u c l e u s a n d t h e n e g a t i v e l y c h a r g e d e l e c t r o n i n t h e h y d r o g e n a t o m i s g i v e n b y
p = k
2
r
2
w h e r e i s t h e c h a r g e o f t h e e l e c t r o n , k i s a c o n s t a n t , a n d r i s t h e s e p a r a t i o n
b e t w e e n e l e c t r o n a n d n u c l e u s . A s s u m e t h a t t h e n u c l e u s i s x e d . T h e e l e c t r o n ,
i n i t i a l l y m o v i n g i n a c i r c l e o f r a d i u s
1
a b o u t t h e n u c l e u s , j u m p s s u d d e n l y
i n t o a c i r c u l a r o r b i t o f s m a l l e r r a d i u s
2
. ( a ) C a l c u l a t e t h e c h a n g e i n k i n e t i c
e n e r g y o f t h e e l e c t r o n , u s i n g N e w t o n ' s s e c o n d l a w . ( b ) U s i n g t h e r e l a t i o n
b e t w e e n f o r c e a n d p o t e n t i a l e n e r g y , c a l c u l a t e t h e c h a n g e o f p o t e n t i a l e n e r g y
o f t h e a t o m . ( c ) S h o w b y h o w m u c h t h e t o t a l e n e r g y o f t h e a t o m h a s c h a n g e d
i n t h i s p r o c e s s . ( T h e t o t a l e n e r g y w i l l p r o v e t o h a v e d e c r e a s e d ; t h i s e n e r g y i s
g i v e n o i n t h e f o r m o f r a d i a t i o n . )
3 . 1 7 . T h e p o t e n t i a l e n e r g y c o r r e s p o n d i n g t o a c e r t a i n t w o - d i m e n s i o n a l f o r c e
e l d i s g i v e n b y ( Y y ) =
1
2
k (
2
+ y
2
) . ( a ) D e r i v e p
x
a n d p
y
a n d d e s c r i b e
t h e v e c t o r f o r c e a t e a c h p o i n t i n t e r m s o f i t s C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a n d y .
( b ) D e r i v e p
r
a n d p
a n d d e s c r i b e t h e v e c t o r f o r c e a t e a c h p o i n t i n t e r m s o f
t h e p o l a r c o o r d i n a t e s r a n d o f t h e p o i n t . ( c ) C a n y o u t h i n k o f a p h y s i c a l
m o d e l o f s u c h a f o r c e ?
3 . 1 8 . T h e s o - c a l l e d Y u k a w a p o t e n t i a l
( r ) =
r
0
r
0
r = r
0
g i v e s a f a i r l y a c c u r a t e d e s c r i p t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n n u c l e o n s ( t h a t
i s , n e u t r o n s a n d p r o t o n s , t h e c o n s t i t u e n t s o f t h e n u c l e u s ) . T h e c o n s t a n t r
0
i s a b o u t 1 X 5
¢ 1 0
1 5
m e t e r a n d t h e c o n s t a n t
0
i s a b o u t 5 0 M e v . ( a ) F i n d
t h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n f o r t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n . ( b ) T o s h o w t h e s h o r t
r a n g e o f t h i s f o r c e , c o m p u t e t h e r a t i o o f t h e f o r c e a t r = 2 r
0
, 4 r
0
, a n d 1 0 r
0
t o t h e f o r c e a t r = r
0
.
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 14/30
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 15/30
S o l u t i o n s
P r o b l e m s o f C h a p t e r 1
1 . 1
mg
1 2
F i g . 3 . 8 .
D e l a F i g . 3 . 8 , l a s e c u a c i o n e s d e l m o v i m i e n t o s o n :
m c o s =
p
2 x
m = m s i n 2 "
k
x
A
d e d o n d e = ( s i n
p
2 "
k
c o s ) .
1 . 2 L a s s o l u c i o n e s s o n : ( a ) = 2 % ¡
3
3 : 1 4
¡ 5 = 3 0 . 0 2 c m / s e c . ( b ) =
v
2
r
=
1 8 0 . 1 8 c m / s e c
2
. ( c )
r
=
m v
2
r
= 1 8 0 . 1 8 m d i n a s . ( d )
r
e s m a x i m a , p o r t a n t o
p
r
= " x = " m , d e d o n d e " =
1
9 8 0
2 % ¡
3
3 : 1 4
¡
2
¡ 1 0 = 0 X 3 6 7 7 .
E s t e p r o b l e m a t i e n e i n t e r e s p o r q u e e s u n c a s o p a r t i c u l a r d e l p r o b l e m a
s i g u i e n t e .
2 D e b e m o s d e d i s t i n g u i r d o s c a s o s , a s a b e r :
C u a n d o l a f r e c u e n c i a e s m n i m a , #
m n
, l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o a d q u i e r e
s u m a x i m o v a l o r d i r i g i d a h a c i a a r r i b a F i g . 3 . 9 ( a ) .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 16/30
1 2 S o l u t i o n s
C u a n d o l a f r e c u e n c i a e s m a x i m a , #
m a x
, l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o a d q u i e r e
s u m a x i m o v a l o r d i r i g i d a h a c i a a b a j o F i g . 3 . 9 ( b ) .
θ
N
f s
mg
( a )
m n
θ
N
f s
mg
( b )
m a x
F i g . 3 . 9 .
D e l a F i g . 3 . 9 ( a ) , t e n e m o s q u e l a s c o m p o n e n t e s h o r i z o n t a l y v e r t i c a l d e l a
e c u a c i o n d e l m o v i m i e n t o c o n d u c e n a l s i s t e m a :
x s i n
s
c o s = 4 %
2
m #
2
m n
r
x c o s +
s
s i n = m
A
L a f u e r z a d e r o z a m i e n t o t o m a s u m a x i m o v a l o r ,
s
= " x , d i v i d i e n d o l a
p r i m e r a e c u a c i o n e n t r e l a s e g u n d a y d e s p e j a n d o #
m n
, o b t e n e m o s :
#
m n
=
1
2 %
s
r
¡
s i n
" c o s
c o s + " s i n
D e l a F i g . 3 . 9 ( b ) p o r u n p r o c e s o c o m p l e t a m e n t e a n a l o g o , o b t e n e m o s :
#
m a x
=
1
2 %
s
r
¡
s i n + " c o s
c o s
" s i n
P o r t a n t o , s i q u e r e m o s m a n t e n e r s i n d e s l i z a r ( n i a b a j o n i a r r i b a ) a l a
p a r t c u l a , l a f r e c u e n c i a d e b e m a n t e n e r s e e n t r e l o s v a l o r e s e x t r e m o s h a l l a d o s :
1
2 %
s
r
¡
s i n " c o s
c o s + " s i n
#
1
2 %
s
r
¡
s i n + " c o s
c o s " s i n
E s o p o r t u n o s e ~ n a l a r q u e c u a n d o = 0
s e r e d u c e a l p r o b l e m a a n t e r i o r ,
q u e p o d r a m o s d e n o m i n a r e l p r o b l e m a d e l T o c a d i s c o s y c u a n d o = 9 0
a l
p r o b l e m a T h e R o t o r e x p u e s t o e n e l l i b r o .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 17/30
S o l u t i o n s 1 3
P r o b l e m s o f C h a p t e r 2
2 . 1
θ
θ
N
mg
F
f
F i g . 3 . 1 0 .
D e l a F i g . 3 . 1 0 , t e n e m o s :
p + m s i n = 0
x m c o s = 0
= " x
W
b
a
b
Y
( a ) D e l s i s t e m a , t e n e m o s p = m ( s i n
" c o s ) = 1 0 0 ( 0 X 6
0 X 1 0
¢ 0 X 8 ) =
5 2 l b . ( b )
F
= 5 2 ¢ 5 ¢ c o s 1 8 0
= 2 6 0 f t - l b . ( c )
g
= 1 0 0 ¢ 0 X 6 ¢ 5 =
3 0 0 f t - l b . ( d )
s u r f a c e
=
N
+
f
= 0 + 0 X 1 0 ¢ 1 0 0 ¢ 0 X 8 ¢ 5 ¢ c o s 1 8 0
=
4 0 f t - l b . ( e ) 0 . ( f ) 0 .
2 . 2
N
Fmg
f
θ
F i g . 3 . 1 1 .
D e l a F i g . 3 . 1 1 , t e n e m o s :
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 18/30
1 4 S o l u t i o n s
p c o s = 0
x
m
p s i n = 0
= "
k
x
W
b
a
b
Y
D e l s i s t e m a t e n e m o s p =
k
m g
c o s
k
s i n
, d e d o n d e = p c o s
¡ =
k
1
k
t a n
¢ m =
0 : 2
1 0 : 2 0 t a n 4 5
¢ 6 0 ¢ 3 0 f t - l b = 4 5 0 f t - l b .
2 . 3
l θ
θ0
d
T
Fmg
F i g . 3 . 1 2 .
D e l a F i g . 3 . 1 2 , t e n e m o s :
p s i n = 0
c o s m = 0
A
( a ) p = m t a n
0
= m
d
p
l
2
d
2
=
m g
q
(
l
d
)
2
1
=
5 0 0
p
9 9
l b % 5 0 X 2 5 l b . ( b )
N o , e l d e s p l a z a m i e n t o e s n u l o . ( c ) S , =
0
0
p l c o s = m l
0
0
s i n =
m l ( 1 c o s
0
) = m l
1
p
l
2
d
2
l
= m l
1
q
1
d
l
¡
2
= 5 0 0 ¢ 4 0 ¢
1
p
0 X 9 9
¡
% 1 0 0 X 2 5 f t - l b . N o , l a f u e r z a e s n o r m a l a l d e s p l a z a m i e n t o .
2 . 4 w = w
g
4
¡
, d e d o n d e =
3
4
w . E l t r a b a j o e s =
3
4
w ( ) =
3 M g d
4
.
2 . 5
D e l a F i g . 3 . 1 3 , t e n e m o s :
p c o s
= 0
x + p s i n m = 0
= "
k
x
W
b
a
b
Y
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 19/30
S o l u t i o n s 1 5
θ
FN
f
mg
F i g . 3 . 1 3 .
( a ) 0 , p u e s l a r e s u l t a n t e e s n u l a ( v e l o c i d a d c o n s t a n t e ) . ( b )
F
= p c o s ¢
= 7 X 6 8 c o s 1 5
¢ 4 X 0 6 J % 3 0 X 1 2 J . ( c )
f
=
F
% 3 0 X 1 2 J , p u e s
N
=
g
= 0 . ( d ) D e l s i s t e m a t e n e m o s "
k
=
F c o s
m g F s i n
=
7 : 6 8 c o s 1 5
3 : 5 7 ¢ 9 : 8 7 : 6 8 s i n 1 5
%
0 X 2 2 4 8 .
P r o b l e m s o f C h a p t e r 3
3 . 1 E s o b v i o p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a m e c a n i c a . P r o b e m o s l o d i r e c -
t a m e n t e , t e n e m o s e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s :
=
0
c o s ¡ t
y =
0
s i n ¡ t
1
2
t
2
x
=
0
c o s
y
=
0
s i n
t
W
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
Y
T o m e m o s l a a l t u r a y = , d e l a s e g u n d a e c u a c i o n :
=
0
s i n ¡ t
1
2
t
2
,
e q u i v a l e n t e a
t
2
2
0
s i n
¡ t +
2
= 0 ,
r e s o l v i e n d o p a r a t e n c o n t r a m o s l o s t i e m p o s d e v u e l o e n q u e e l p r o y e c t i l a l c a n z a
l a a l t u r a , l o s t i e m p o s s o n :
t =
0
s i n
¦
s
2
0
s i n
2
2
2
.
S u s t i t u y e n d o e n l a c u a r t a e c u a c i o n d e l s i s t e m a , e n c o n t r a m o s :
y
=
0
s i n
H
d
0
s i n
¦
s
2
0
s i n
2
2
2
I
e
= ¦
q
2
0
s i n
2
2 .
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 20/30
1 6 S o l u t i o n s
P o r t a n t o :
=
q
2
x
+
2
y
=
q
2
0
c o s
2
+
0
s i n
2
2 =
q
2
0
2 .
Q u e n o d e p e n d e d e l a n g u l o d e p r o y e c c i o n .
3 . 2 T o m a n d o c o m o r e f e r e n c i a p a r a l a e n e r g a p o t e n c i a l l a h o r i z o n t a l q u e p a s a
p o r e l c e n t r o d e r o t a c i o n , t e n e m o s :
0 =
1
2
m
2
m l , d e d o n d e =
p
2 l =
p
2 ¡ 3 2 ¡ 4 f t / s e c = 1 6 f t / s e c .
3 . 3
l
d
T
mg
A
F i g . 3 . 1 4 .
S i l a p a r t c u l a h a d e r i z a r e l r i z o , t i e n e q u e l l e g a r a l p u n t o e d e l a F i g . 3 . 1 4
c o n u n a v e l o c i d a d
A
a c o t a d a i n f e r i o r m e n t e y c u y a m a x i m a c o t a i n f e r i o r
h e m o s d e d e t e r m i n a r . D e l a e c u a c i o n p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a e n e l
p u n t o e , t e n e m o s :
m + =
m
2
A
l
,
l a v e l o c i d a d e n e v i e n e c o n d i c i o n a d a p o r l a l i g a d u r a
! 0 , q u e c o n d u c e a :
2
A
! ( l
) .
T o m a n d o l a m i s m a r e f e r e n c i a p a r a l a e n e r g a p o t e n c i a l q u e e n e l p r o b l e m a
a n t e r i o r , t e n e m o s q u e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a c o n d u c e a :
m
l 2 ( l )
¡
+
1
2
m
2
A
= 0 d e d o n d e
2
A
= 2 ( 2 l ) ,
s u s t i t u y e n d o e n l a d e s i g u a l d a d a n t e r i o r y c a n c e l a n d o e l f a c t o r , t e n e m o s :
2 ( 2
l )
! l
d e d o n d e
!
3 l
5
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 21/30
S o l u t i o n s 1 7
3 . 4 L a e n e r g a p o t e n c i a l , a l d e j a r c a e r l a b o l a , u n a p a r t e d e e l l a d e b e t r a n s -
f o r m a r s e e n e n e r g a p o t e n c i a l e l a s t i c a q u e , s i ¡ l e s p e q u e ~ n o , s e d e b e s u s t r a e r
a l a e n e r g a c i n e t i c a . D e a h , c a b e e s p e r a r s e u n a d i s m i n u c i o n d e l a v e l o c i d a d
r e s p e c t o d e l a s i t u a c i o n n o e l a s t i c a . L a s e c u a c i o n e s d i n a m i c a y d e l a c o n s e r -
v a c i o n d e l a e n e r g a s o n :
k ¡ l m =
m
2
l + ¡ l
0 =
1
2
m
2
m ( l + ¡ l ) +
1
2
k ( ¡ l )
2
W
b
b
a
b
b
Y
s i e n d o l a p r i m e r a e c u a c i o n u n a a p r o x i m a c i o n d e l a e c u a c i o n d e l m o v i m i e n t o ,
m u c h o m a s c o m p l e j a . S i p o n e m o s ¡ l ( l , e l a n t e r i o r s i s t e m a s e r e d u c e a :
k ¡ l m =
m
2
l
0 =
1
2
m
2
m l +
1
2
k ( ¡ l )
2
W
b
a
b
Y
S u s t i t u y e n d o e l v a l o r d e m
2
d e l a p r i m e r a e n l a s e g u n d a :
0 =
1
2
( k l ¡ l m l ) m l +
1
2
k ( ¡ l )
2
,
t e n e m o s l a e c u a c i o n d e s e g u n d o g r a d o e n ¡ l :
( ¡ l )
2
+ l ¡ l
3 m l
k
= 0 ,
t o m a n d o l a s o l u c i o n p o s i t i v a :
¡ l =
l +
q
l
2
+
1 2 m g l
k
2
=
l
2
2
r
1 +
1 2 m
k l
1
3
%
l
2
1 +
1
2
¡
1 2 m
k l
1
=
3 m
k
.
D o n d e s e h a s u p u e s t o m ( k l y s e h a u s a d o l a a p r o x i m a c i o n
p
1 + % 1 +
1
2
p o r m e d i o d e l t e o r e m a d e l b i n o m i o g e n e r a l i z a d o y s u p o n i e n d o
j
j ̀ 1 y
( 1 .
P a r a o b t e n e r l a v e l o c i d a d , i n t r o d u c i m o s l a a n t e r i o r a p r o x i m a c i o n e n l a
s e g u n d a e c u a c i o n d e l s i s t e m a o r i g i n a l ( l a u n i c a e x a c t a ) , o b t e n i e n d o :
0 =
1
2
m
2
m
¡
3 m
k
+
1
2
k
¡
9 m
2
2
k
2
,
d e d o n d e :
=
r
2 l + 2 ¡
3 m
k
9 m
2
k
=
s
2
l
3 m
2 k
.
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 22/30
1 8 S o l u t i o n s
3 . 5 ( a ) T o m a n d o l a r e f e r e n c i a d e e n e r g a p o t e n c i a l e n l a h o r i z o n t a l q u e p a s a
p o r e l p u n t o d e s u s p e n s i o n , t e n e m o s :
m l =
1
2
m
2
m l ,
d e d o n d e = 2
p
l . D e l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a :
m =
m
2
l
,
t e n e m o s = m +
4 m g l
l
= 5 m . ( b ) D e l a F i g . 3 . 1 5 t e n e m o s e l s i s t e m a :
θ
θmg
T
l
F i g . 3 . 1 5 .
m c o s =
m
2
l
0 =
1
2
m
2
m l c o s
= m
W
b
b
b
b
a
b
b
b
b
Y
d e d o n d e :
c o s =
1
3
i . e . % 7 0
3 1
H
4 4
H H
.
3 . 6 ( a ) T o m a n d o c o m o r e f e r e n c i a d e e n e r g a p o t e n c i a l l a h o r i z o n t a l q u e p a s a
p o r e l p u n t o d e s u s p e n s i o n , l a e n e r g a m e c a n i c a t o t a l e s
1
2
m
2
0
m l c o s
0
;
( b ) d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a ,
1
2
m
2
1
m l =
1
2
m
2
0
m l c o s
0
, d e
d o n d e ,
1
=
p
2
0
+ 2 l ( 1 c o s
0
) ; ( c ) d e b e m o s t e n e r
1
2
m
2
0
m l c o s
0
! 0 ,
p o r t a n t o
0
!
p
2 l c o s
0
, i . e .
2
=
p
2 l c o s
0
; ( d ) p a r a c o m p l e t a r l a
c i r c u n f e r e n c i a s e d e b e m a n t e n e r t e n s a l a c u e r d a l o q u e e x i g e q u e l a v e l o c i d a d
d e l a p a r t c u l a e n s u p o s i c i o n m a s a l t a n o s e a n u l a , e s d e c i r
m v
2
l
= m + , c o n
b 0 , i . e . b
p
l , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a
1
2
m
2
0
m l c o s
0
=
1
2
m
2
+ m l b
1
2
m l + m l , d e d o n d e
0
b
p
l ( 3 l + 2 c o s
0
) , i . e .
3
=
p
l ( 3 l + 2 c o s
0
) .
3 . 7 E n e l q u i l i b r i o , m = k , d e d o n d e k = m a . S i t o m a m o s e l o r i g e n
d e e n e r g a p o t e n c i a l y d e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s v e r t i c a l e n l a p o s i c i o n d e
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 23/30
S o l u t i o n s 1 9
e q u i l i b r i o d e l m u e l l e s i n c a r g a , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a , 0 =
1
2
m
2
+
m y +
m g
2 d
y
2
, e n l a p o s i c i o n d e m a x i m o e s t i r a m i e n t o d e l m u e l l e = 0 , d e
d o n d e y = 2 . E s d e c i r e l m u e l l e s e e s t i r a u n a l o n g i t u d 2 .
3 . 8 S i e s l a d i s t a n c i a a l a q u e s e c o m p r i m e e l m u e l l e , m = 1 a 2 k
2
, d e
d o n d e =
q
2 m g h
k
=
q
2 ¢ 2 : 0 ¢ 9 : 8 ¢ 0 : 4 0
1 9 6 0
% 0 X 0 8 9 4 m e t e r .
3 . 9 ( a ) P o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a :
m +
1
2
m
2
B
= m +
1
2
m
2
0
d e d o n d e
B
=
0
,
m
2
+
1
2
m
2
C
= m +
1
2
m
2
0
d e d o n d e
C
=
q
2
0
+ .
( b ) L a v e l o c i d a d e n h e s :
1
2
m
2
D
= m +
1
2
m
2
0
d e d o n d e
D
=
q
2
0
+ 2 ,
l a d e s a c e l e r a c i o n , d e 0 =
2
D
2 v , s e o b t i e n e =
v
2
0
+ 2 g h
2 L
. ( c ) P a r a u n p u n t o
d e l a t r a y e c t o r i a e n t r e e y f , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a :
1
2
m
2
+ m y = m d e d o n d e =
p
2 (
y ) .
E s d e c i r :
s
t
2
+
y
t
2
=
p
2 ( y ) ,
d e s p e j a n d o t :
t =
t
0
t =
a
0
s
1 + ( y
H
( ) )
2
2 ( y ( ) )
e l n u m e r a d o r e s m a y o r o i g u a l q u e 1 y e l d e n o m i n a d o r t i e n d e a c e r o e n l o s
l m i t e s d e i n t e g r a c i o n , c a b e e s p e r a r q u e l a i n t e g r a l e s d i v e r g e n t e .
3 . 1 0 ( a ) m
¡ 5 = m +
1
2
m
2
, d e d o n d e
2
= 8 y l a t e n s i o n =
m v
2
R
=
8 m . S i p e s l a r e s u l t a n t e , p =
p
6 4 m
2
2
+ m
2
2
=
p
6 5 m , e l a n g u l o , , q u e
f o r m a c o n l a h o r i z o n t a l h a c i a d e n t r o d e l c r c u l o , t a n =
1
8
, o s e a , % 7
7
H
3 0
H H
.
( b ) P o r l a t e r c e r a l e y = m y d e m + =
m v
2
R
, d e d o n d e
2
= 2 . S i
e s l a a l t u r a b u s c a d a , m = m ¡ 2 +
1
2
m ¡ 2 , s e o b t i e n e = 2 + = 3 .
3 . 1 1 ( a ) E n l a p a r t e m a s a l t a d e l c r c u l o t e n d r a m o s m + =
m v
2
R
, l a
m e n o r v e l o c i d a d e n e s t e p u n t o ( = 0 ) e s =
p
. P o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a
e n e r g a
1
2
m
2
m
=
1
2
m ¡ + m ¡ 2 , d e d o n d e
m
=
p
5 . ( b ) E n e l p u n t o ,
t e n e m o s
m v
2
P
R
= + m s i n , c o m o = 0 , s e d e s p r e n d e
P
=
p
s i n . P o r
l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a
1
2
m ¡ s i n + m ¡ ( 1 + s i n ) =
1
2
¡ 0 X 7 7 5
2
¡ 5 ,
d e d o n d e =
5 ¡ 0 : 7 7 5
2
2
3
, e l a n g u l o e s = 1 9
2 8
H
1 6
H H
.
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 24/30
2 0 S o l u t i o n s
θ
r mg
N
F i g . 3 . 1 6 .
3 . 1 2
D e l a F i g . 3 . 1 6 , t e n e m o s ( a ) = ¡ =
m r ( 1
c o s ) ; ( b ) D e l a
c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a m e c a n i c a ¡ u + ¡ = 0 , s e d e s p r e n d e u = ¡ u =
m r ( 1 c o s ) ; ( c ) c o m o
R
=
v
2
r
y u =
1
2
m
2
= m r ( 1 c o s ) , t e n e m o s
R
= 2 ( 1 c o s ) , p a r a l a a c e l e r a c i o n t a n g e n c i a l , d e m
T
= m s i n , t e n e m o s
T
= s i n ; ( d ) d e l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a
m
R
=
m
2
r
= m c o s x
p a r a q u e e l b l o q u e s e d e s p r e n d a d e l a e s f e r a , l a f u e r z a n o r m a l d e b e a n u l a r s e ,
x = 0 , s u s t i t u y e n d o l a e x p r e s i o n d e
R
e n f u n c i o n d e l a n g u l o , l l e g a m o s a q u e
e l a n g u l o
1
, e n q u e e l b l o q u e s e s e p a r a d e l a e s f e r a , c u m p l e l a e c u a c i o n :
2 ( 1 c o s
1
) = c o s
1
Y c o s
1
=
2
3
Y
1
% 4 8
1 1
H
2 3
H H
.
( e ) D e l t e o r e m a t r a b a j o - e n e r g a , t e n e m o s :
f
= ¡ u + ¡
d o n d e
f
e s e l t r a b a j o d e b i d o a l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o q u e e s n e g a t i v o , p u e s
l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o s e o p o n e a l m o v i m i e n t o , i . e .
f
̀ 0 Y d e d o n d e ¡ u ̀ ¡ Y e s d e c i r ,
1
2
m
2
` m r ( 1 c o s )
c o n s e c u e n t e m e n t e
m
2
r
̀ 2 m ( 1 c o s )
D e l a e c u a c i o n d e l m o v i e n t o p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a r e s u l t a l a d e s i g u a l -
d a d :
m c o s x ̀ 2 m ( 1 c o s )
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 25/30
S o l u t i o n s 2 1
e l a n g u l o d e s e p a r a c i o n ,
2
, s e o b t i e n e e x i g i e n d o x = 0 , l o q u e i m p l i c a :
m c o s
2
̀ 2 m ( 1 c o s
2
) Y d e d o n d e , c o s
2
̀
2
3
Y e s d e c i r ,
2
b
1
,
l a s e p a r a c i o n t i e n e l u g a r p a r a u n a n g u l o m a y o r q u e e l a n t e r i o r .
3 . 1 3 ( a ) L l a m a r e m o s s a l a d i s t a n c i a q u e s e d e s l i z a l a m a s a j u s t o a n t e s d e
a l c a n z a r e l m u e l l e , = 2 m , l a d i s t a n c i a q u e s e c o m p r i m e e l m u e l l e y a l a
a l t u r a d e l p l a n o i n c l i n a d o . T e n e m o s e l s i s t e m a :
= ( s + ) s i n
m =
1
2
k
2
W
a
Y
L a d i s t a c i a t o t a l , s + , q u e r e c o r r e l a m a s a e s
s + =
k
2
2 m s i n
% 4 X 0 8 m
( b ) D e
1
2
m
2
+ m s i n = m , t e n e m o s =
p
2 s s i n % 4 X 5 2 m / s .
3 . 1 4 ( a ) ( ) =
x
0
k + ( 0 ) =
1
2
k
2
, d o n d e s e h a t o m a d o ( 0 ) = 0 .
L a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a e s
1
2
m
2
1
2
k
2
= i .
L a g r a c a d e l a e n e r g a p o t e n c i a l e s
( )
( b ) L a d e s c r i p c i o n d e l m o v i m i e n t o d e p e n d e d e l s i g n o d e i .
i ̀ 0 . E n e s t e c a s o e l m o v i m i e n t o s e e n c u e n t r a c o n n a d o a u n a d e d o s
s e m i r r e c t a s y h a y d o s p u n t o s d e r e t o r n o , v e a m o s , d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a
e n e r g a t e n e m o s
2
=
2 E
m
+
k x
2
m
, c o m o
2
! 0 , e n n u e s t r o c a s o
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 26/30
2 2 S o l u t i o n s
2 j i j
m
+
k
2
m
! 0 @ A j j !
r
2 j i j
k
l o q u e n o s p r o p o r c i o n a l a s s e m i r r e c t a s d o n d e s e e n c u e n t r a c o n n a d o e l
m o v i m i e n t o y l o s p u n t o s d e r e t o r n o . S u p o n g a m o s
0
b
q
2 j E j
k
y
0
̀ 0
p a r a t
0
= 0 . D e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a o b t e n e m o s
q
k x
2
m
2 j E j
m
= t s i 0 t t
1
d o n d e ( t
1
) = 0
i n t e g r a n d o
x
x
0
q
k x
2
m
2 j E j
m
=
t
0
t
n o s p r o p o r c i o n a l a s o l u c i o n
a r g c o s h
2
s
k
2
j i
j
3
a r g c o s h
2
s
k
2
j i
j
0
3
=
r
k
m
t
d e s p u e s d e a l g u n o s c a l c u l o s t e n e m o s
( t ) =
r
2
j i
j
k
c o s h
2
r
k
m
t a r g c o s h
2
s
k
2
j i
j
0
3 3
s i 0 t t
1
.
D e r i v a n d o
( t ) =
r
2 j i j
m
s i n h
2
r
k
m
t a r g c o s h
2
s
k
2 j i j
0
3 3
d e l a c o n d i c i o n ( t
1
) = 0 o b t e n e m o s t
1
=
p
m
k
a r g c o s h
q
k
2 j E j
0
, d o n d e
a l c a n z a e l p u n t o d e r e t o r n o ( t
1
) =
q
2 j E j
k
.
P a r a t
! t
1
l a v e l o c i d a d c a m b i a d e s i g n o y l a e c u a c i o n d e l a c o n s e r v a c i o n
d e l a e n e r g a e s
q
k x
2
m
2 j E j
m
= t s i t
! t
1
d o n d e ( t
1
) = 0
i n t e g r a n d o
x
q
2 j E j
k
q
k x
2
m
2 j E j
m
=
t
p
m
k
a r g c o s h
q
k
2 j E j
x
0
t
l a s o l u c i o n e s
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 27/30
S o l u t i o n s 2 3
a r g c o s h
2
s
k
2 j i j
3
a r g c o s h 1 =
r
k
m
2
t
r
m
k
a r g c o s h
2
s
k
2 j i j
0
3 3
c o m o a r g c o s h 1 = 0 o b t e n e m o s p a r a ( t ) l a m i s m a f o r m u l a q u e a n t e s .
C u y a g r a c a c o n j u n t a e s
t
( t )
p
m
k
a r g c o s h
q
k
2 j E j
0
q
2 j E j
k
0
P a r a
0
! 0 e l t r a t a m i e n t o e s a n a l o g o . L o m i s m o s i
0
̀
q
2 j E j
k
.
i = 0 . S i s u p o n e m o s
0
b 0 l a d e s c r i p c i o n e s m u y d i s t i n t a s i s u p o n e m o s
0
̀ 0 o
0
! 0 .
{
0
̀ 0 . S u p o n e m o s , a p a r t i r d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a , q u e
= k s i 0 ` t ` t
1
d o n d e ( t
1
) = 0
i . e .
x
x
0
= k
t
0
t
c u y a s o l u c i o n e s
( t ) =
0
e x p ( k t )
c u y a g r a c a e s
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 28/30
2 4 S o l u t i o n s
t
( t )
0
d e l o q u e s e d e d u c e t
1
= I .
{
0
b 0 . O b t e n e m o s
( t ) =
0
e x p ( k t )
c u y a g r a c a o b v i a m e n t e e s
t
( t )
0
{ i b 0 . S i s u p o n e m o s
0
b 0 y
0
̀ 0 . P o r u n p r o c e d i m i e n t o a n a l o g o
a l p r i m e r c a s o , o b t e n e m o s
( t ) =
r
2 i
k
s i n h
2
r
k
m
t a r g s i n h
2
r
k
2 i
0
3 3
c u y a g r a c a e s
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 29/30
S o l u t i o n s 2 5
t
( t )
0
S i i = 0 . = 0 e s u n p u n t o d e e q u i l i b r i o p e r o a p o c o q u e s e a p a r t e d e e s t e
l o h a c e e x p o n e n c i a l m e n t e c o m o m u e s t r a e l s e g u n d o s u b c a s o d e l s e g u n d o c a s o
( i = 0 Y
0
b 0 ) .
3 . 1 5 ( a ) P o r s e r l a f u e r z a a t r a c t i v a
p = k
m
1
m
2
2
l a e n e r g a p o t e n c i a l e s
( I ) ( ) =
I
x
k
m
1
m
2
2
= k
m
1
m
2
t o m a n d o ( I ) = 0 t e n e m o s ( ) = k
m
1
m
2
x
. ( b ) L a f u e r z a q u e h a c e e l
t r a b a j o d e b e s e r o p u e s t a a p i . e . p
H
( ) = k
m
1
m
2
x
2
. E l t r a b a j o e s
=
x
1
+ d
x
1
k
m
1
m
2
2
= k m
1
m
2
1
1
+
1
1
=
k m
1
m
2
1
(
1
+ )
.
3 . 1 6 ( a ) S e t i e n e
m
e
2
2
2
= k
2
2
2
m
e
2
1
1
= k
2
2
1
W
b
b
a
b
b
Y
= A ¡ u = u
2
u
1
=
1
2
m
e
2
2
2
1
¡
=
k
2
(
2
1
)
2
1
2
( b )
¡ =
2
1
=
R
2
R
1
k
2
r
2
r =
k
2
(
2
1
)
1
2
( c )
7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-physics-volume-i 30/30
2 6 S o l u t i o n s
¡ i = ¡ u + ¡ =
k
2
(
2
1
)
2
1
2
+
k
2
(
2
1
)
1
2
=
3 k
2
(
2
1
)
2
1
2
̀ 0
p u e s
2
`
1
.
3 . 1 7 ( a )
F = r ( Y y ) =
d
d
i
d
d y
j = k i k y j = k r X
( b )
p = k r = k r e
r
i . e . p
r
= k r Y p
= 0 X
( c ) O s c i l a d o r s i m p l e b i d i m e n s i o n a l , m u e l l e c o n l i b e r t a d e n e l p l a n o s i g u i e n d o
l a l e y d e H o o k e c o n l a m i s m a c o n s t a n t e p a r a c a d a d i m e n s i o n .
3 . 1 8 ( a )
F ( r ) =
d
d r
e
r
=
d
d r
r
0
r
0
r = r
0
e
r
=
r
0
r
2
0
r = r
0
1
r
0
r = r
0
e
r
=
r
0
r
+ 1
1
r
0
r = r
0
e
r
X
( b )
p ( r
0
) =
2
r
0
0
1
p ( 2 r
0
) =
3
4 r
0
0
2
p ( 4 r
0
) =
5
1 6 r
0
0
4
p ( 1 0 r
0
) =
1 1
1 0 0 r
0
0
1 0
W
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Y
= A
p ( 2 r
0
)
p ( r
0
)
=
3
8
1
% 0 X 1 3 8 0
p ( 4 r
0
)
p ( r
0
)
=
5
3 2
3
% 0 X 0 0 7 8
p ( 1 0 r
0
)
p ( r
0
)
=
1 1
2 0 0
9
% 6 X 7 8 7 5
¢ 1 0
6
top related