respuesta forzada a una seÑal compleja
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3.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-1]
RESPUESTA FORZADA A UNA SEÑAL COMPLEJA
• Señal exponencial compleja → ( ) stx t e s j= → = σ+ ω
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t h x t d h e d e h e d H s e∞ ∞ ∞
−τ − τ
−∞ −∞ −∞
= τ − τ τ = τ τ= τ τ =∫ ∫ ∫
• H(s) → función de transferencia del sistema LIT → evaluar RF
( ) ( ) stH s h t e dt∞
−
−∞
≡ ∫
• Respuesta permanente senoidal → ( )s j H j= ω → ω → TFTC
TRANSFORMADA BILATERAL
• Sistemas no causales → existen para todo valor de t
{ }( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt s RC∞
−
−∞
= ≡ → ∈∫L
• Variable de Laplace → s = σ + j ω
• Región de convergencia → valores que garantizan existencia de F(s)
• Transformada inversa → integral de inversión
{ }1
1
1( ) ( ) ( )j
st
j
f t F s F s e dsσ + ∞
−
σ − ∞
= ≡ ∫L
• Notación simbólica → f(t) ↔ F(s)
TRANSFORMADA UNILATERAL
• Sistemas causales → solo existen para t ≥ 0
0
( ) ( ) stF s f t e dt s RC+
∞−≡ → ∈∫
límite inferior → 0+ → posible discontinuidad de f(t) en t = 0
• Discontinuidad en t=t0 → integral inversión → 0 00
( ) ( )( )
2
f t f tf t
− ++=
3.2EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-2]
TRANSFORMADA DE SEÑALES ELEMENTALES
• Señal impulso unitario → x(t) = δ(t)
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1,stX s t e dt t dt t s∞ ∞
−
−∞ −∞
= δ = δ = δ ↔ ∀∫ ∫
• Señal escalón unitario → x(t) = u(t)
0
0
1 1 1( ) ( ) ( ) , { } 0st st stX s u t e dt e dt e u t s
s s s+
∞ ∞∞− − −
−∞
= = = − = ↔ >∫ ∫ Re
• Señal rampa unitaria → x(t) = r(t) = tu(t)
2 2 20 0
1 1( ) ( ) ( 1) ( ) , { } 0
stst st e
X s tu t e dt te dt st r t ss s s+
∞∞ ∞ −− −
−∞
= = = − − = ↔ >∫ ∫ Re
• Señal exponencial causal → ( ) ( )atx t e u t−= → a complejo o real
( )
0
1 1( ) ( ) , { } 0at st s a t atX s e u t e dt e dt e s a
s a s a+
∞ ∞− − − + −
−∞
= = = ↔ + >+ +∫ ∫ Re
• Señal senoidal causal → x(t) = sen(ω0 t) u(t)
0 0
0 002 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1( ) ( ) , { } 0
2 2
j t j t atx t e u t e u t ej j s a
X s sen t sj s j j s j s s
ω − ω −= − → ↔+
ω ω= − = ω ↔ >
− ω + ω +ω +ωRe
SEÑALES CAUSALES, ANTICAUSALES Y NO CAUSALES
• Señales causales → TUL ≡ TBL
• RC → establece diferencia entre causalidad
• Señal no causal = señal causal + señal anticausal
EJEMPLO 3.1: Transformada de Laplace de señal causal, anticausal y no causal. RC
3.2EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-3]
REGIÓN DE CONVERGENCIA
• Factor de convergencia de la TL: te−σ
( ) ( ) t j tX s x t e e dt∞
−σ − ω
−∞
⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
• Función de orden exponencial α → ( ) t
tx t e M−α
→∞<
• Condiciones suficientes para existencia de la TLU
0 < t < T → x(t) absolutamente integrable 0
( )T
x t dt→ <∞∫
t > T → x(t) → orden exponencial α → ( ) tx t e M−α <
Integral de TL converge absoluta y uniformemente → Re{s}>α
• Diferencia en TL de señales causales y anticausales:
- cambio de signo → ( ) ( )A CX s X s= − ← ejemplo 3.1
- RC identifica tipo de causalidad → describe completamente la TL
• Forma general de la RC:
σ1
j ω
σ
Causal
σ1
j ω
σ
Anticausal
σ2
j ω
σ
No causal
σ1
t1
x(t)
t
T
3.2EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-4]
TABLA DE PARES DE TRANSFORMADAS Tabla 3.1 – Pares de transformadas fundamentales
No. ( ), 0x t t > ( )X s RC T1 ( )tδ 1 ∀s
T2 ( )u t 1s
{ } 0s >Re
T3 t 2
1s
{ } 0s >Re
T4 nt 1
!n
ns + { } 0s >Re
T5 ate− 1
s a+ { }s a> −Re
T6 0( )sen tω 02 2
0sω+ω
{ } 0s >Re
T7 0( )cos tω 2 20
ss +ω
{ } 0s >Re
T8 0( )ate sen t− ω 02 2
0( )s aω
+ +ω { }s a> −Re
T9 0( )ate cos t− ω 2 20( )
s as a
++ +ω
{ }s a> −Re
MATEMÁTICA SIMBÓLICA DE MATLAB PARA TL
• Señales causales
• Declarar variables simbólicas → syms t s
• Funciones especiales internas
- señal escalón unitario u(t) → ut = sym('Heaviside(t)')
- señal impulso unitario δ(t) → dt = sym('Dirac(t)')
• Evaluar transformada de Laplace → Xs = laplace(xt)
• Simplificar y mejorar presentación simplify(Xs), simple(Xs), factor(Xs), pretty(Xs)
3.2EVALUACIÓNN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-5]
EJEMPLO 3.2: TL usando matemática simbólica. Verificar T2, T5, T6 y T9.
EDU» ut=sym('Heaviside(t)'); EDU» Us=laplace(ut) Us = 1/s
EDU» syms a t wo EDU» x1t=exp(-a*t); EDU» X1s=laplace(x1t) X1s = 1/(s+a) EDU» pretty(X1s) 1 ----- s + a
EDU» x2t=sin(wo*t); EDU» X2s=laplace(x2t) X2s = wo/(s^2+wo^2)
EDU» pretty(X2s) wo -------- 2 2 s + wo
EDU» x3t=exp(-a*t)*cos(wo*t); EDU» X3s=laplace(x3t) X3s = (s+a)/((s+a)^2+wo^2)
EDU» pretty(X3s)
s + a -------------- 2 2 (s + a) + wo
Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.2.1 a 5.2.3 y 5.3.1
Resolver problemas 5.1 y 5.2
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-6]
PROPÓSITO → facilitar evaluación de X(s) → señales complejas
P1: Linealidad
a. Producto por una constante ( ) ( ) ( ) ( )y t K x t Y s K X s RCy RCx= → = → =
b. Combinación lineal
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t a x t a x t Y s a X s a X s RCy RCx RCx= + → = + → = ∩
P2: Desplazamiento real → 0 0( ) ( ) ( )y t x t t u t t= − −
00 0 0 0
0 00
0,( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ),st t t
Y s x t t u t t e dt x t t u t tx t t t t+
∞− <⎧
= − − → − − = ⎨ − >⎩∫
0
0 0 0( ) ( ) , , 0st
t
Y s x t t e dt t t dt d t t+
∞−= − → − = τ = τ = → τ =∫
0 0 0( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( )s t st stY s x e dt e x e dt e X s∞ ∞
− +τ − −τ −= τ = τ =∫ ∫
00 0( ) ( ) ( )stx t t u t t e X s RCy RCx−− − ↔ → =
Cuatro situaciones diferentes → ( ) ( )x t sen t= ω
t0
t0
1
sen(ωt) u(t)
t
(a) −1
1
sen[ω(t− t0)] u(t)
t
(b) −1
1
sen(ωt) u(t− t0)
t
(c) −1
t0
1
sen[ω(t− t0)] u(t− t0)
t
(d) −1
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-7]
a. 2 2( ) ( ) ( ) ( )y t sen t u t Y ssω
= ω → =+ω
→ T6
b. 0 0 0( ) [( ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )y t sen t t u t sen t cos t cos t sen t u t= ω − = ω ω − ω ω
0 00 02 2 2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
s cos t s sen tY s cos t sen t
s s sω ω ω − ω
= ω − ω =+ω +ω +ω
c. 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st
t
y t sen t u t t Y s sen t e dt∞
−= ω − → = ω∫
0 0
0
( ) ( )( ) ( )1 1
( )2 2
s j t s j ts j t s j t
t
e eY s e e dt
j j s j s j
∞ − + ω − − ω− + ω − − ω ⎡ ⎤
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ − ω + ω⎣ ⎦∫
0 0 02 2
( ) ( )( ) st cos t s sen t
Y s es
− ω ω + ω⎡ ⎤= ⎢ ⎥+ω⎣ ⎦
d. 00 0 2 2( ) [ ( )] ( ) ( ) sty t sen t t u t t Y s e
s− ω⎡ ⎤= ω − − → = ⎢ ⎥+ω⎣ ⎦
← demostrado
P3: Desplazamiento complejo → ( ) ( )aty t e x t−=
( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( )at st s a tY s e x t e dt x t e dt X s a+ +
∞ ∞− − − += = = +∫ ∫
( ) ( )ate x t X s a RCy RCx a− ↔ + → = −
EJEMPLO 3.3: Propiedades de linealidad y desplazamiento complejo para evaluar TL.
Verificación usando matemática simbólica de MATLAB
EDU» syms s t EDU» ut=sym('Heaviside(t)'); y1t=2*ut; EDU» Y1s=laplace(y1t) Y1s = 2/s
EDU» y2t=t*exp(-t); EDU» Y2s=laplace(y2t) Y2s = 1/(1+s)^2
EDU» Ys=Y1s+Y2s Ys = 2/s+1/(1+s)^2
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-8]
EDU» Ys=simplify(Ys) Ys = (2+5*s+2*s^2)/s/(1+s)^2
EDU» Ys=factor(Ys); pretty(Ys) (s + 2) (2 s + 1) ----------------- 2 s (1 + s)
EJEMPLO 3.4: Propiedad de desplazamiento real. Caso especial
EJEMPLO 3.5: Propiedad de desplazamiento real. Transformada de un pulso senoidal.
Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.5.1 a 5.5.3 (Soliman)
Resolver ejemplo 3.4 usando matemática simbólica.
P4: Escalamiento en el dominio-t → ( ) ( )y t x at=
( / )
0 0
1 1( ) ( ) / ( ) ( ) ( / )st s aY s x at e dt t a Y s x e d X s a
a a+ +
∞ ∞− − τ= → = τ → = τ τ =∫ ∫
1( ) ( / )x at X s a RCy RCx a
a↔ → = ×
P5: Multiplicación por t → ( ) ( )y t t x t=
[ ]0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )st st std dX s x t e dt x t e dt tx t e dt
ds ds s+ + +
∞ ∞ ∞− − −∂ ⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦∂∫ ∫ ∫
( ) ( )d
t x t X s RCy RCxds
↔ − → = → derivada en dominio-s
P6: Derivada en dominio-t
a. Primera derivada → ( )( ) '( )
dx ty t x t
dt= =
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-9]
0
( ) '( ) stY s x t e dt+
∞−= ∫ → integrando por partes →
'( )
stu e
dv x t dt
−⎧ =⎨
=⎩
0
0
( )( ) ( ) ( )
( )
stst stdu s e dt
X s x t e s x t e dtv x t +
+
∞−∞− −⎧ = −
→ = +⎨=⎩
∫
0
( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (0 )st
t
existencia TL
Y s lim x t e x sX s sX s x− + +
→∞
=
= − + = −
( )( ) (0 )
dx tsX s x RCy RCx
dt+↔ − → ∈
b. Segunda derivada en dominio-t → 2
22
( )( ) (0 ) '(0 )
d x ts X s sx x
dt+ +↔ − −
c. Derivada de orden-N → ( 1)
1
( )( ) (0 )
N NN N k k
Nk
d x ts X s s x
dt− − +
=
↔ −∑
Aplicación → solución de ED
EJEMPLO 3.6: Respuesta impulso utilizando TL. Ejemplo 2.9.
P7: Integral definida → 0
( ) ( )t
y t x d+
= τ τ∫
6
( )'( ) ( ), (0) 0 ( ) ( ) ( )
P a
X sy t x t y sY s X s Y s
s= = → = → =
0
1( ) ( ) { } 0
t
x d X s RCy RCx ss+
τ τ ↔ → = ∩ >∫ Re
P8: Convolución → y(t) = h(t) ∗ x(t)
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )st stY s h x t d e dt h x t e dt d+ + + +
∞ ∞ ∞ ∞− −
τ
⎡ ⎤⎡ ⎤= τ − τ τ = τ − τ τ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
( )
0 0 0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s
X s
t Y s h x e d d h e d x e d+ + + +
∞ ∞ ∞ ∞− λ+τ − τ − λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
λ = − τ → = τ λ λ τ = τ τ λ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-10]
( ) ( ) ( ) ( )h t x t H s X s ROCy ROCh ROCx∗ ↔ ⋅ → = ∩
Nota: Pueden existir resultados diferentes en la ROC de convolución.
P9: Teorema del valor inicial → 0
(0 ) ( )t
x lim x t+
+
→=
P6a → 0
'( ) ( ) (0 )stx t e dt sX s x+
∞− += −∫ → evaluando para s → ∞
0
0
'( ) ( ) (0 ) ( ) (0 )st
s s slim x t e dt lim sX s x lim sX s x
+
∞− + +
→∞ →∞ →∞
=
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦∫
0
(0 ) ( ) ( )st
x lim x t lim sX s+
+
→∞→= =
Condición: que exista el límite
P10: Teorema del valor final → ( ) ( )t
x lim x t→∞
∞ =
P6a → 0
'( ) ( ) (0 )stx t e dt sX s x+
∞− += −∫ → evaluando para s → 0
0
0 0 0
'( ) '( ) '( ) ( ) (0 )t
st
s t tLI lim x t e dt x t dt lim x t dt lim x t x
+ + +
∞ ∞− +
→ →∞ →∞→ = = = −∫ ∫ ∫
0
( ) (0 )s
LD lim sX s x +
→→ −
0
( ) ( ) ( )t s
x lim x t lim sX s→∞ →
∞ = =
Condición → que exista el límite y s X(s) sea analítica
s X(s) analítica → Re{raíces denominador sX(s)} < 0
EJEMPLO 3.7: Teorema del valor inicial y final. Concepto de función analítica.
• Función especial de MATLAB → evaluar x(0) y x(∞) a partir de X(s) [x0,xinf]=viyvf(nXs,dXs)
3.3 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TL
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-11]
TRANSFORMADA DE SEÑALES PERIÓDICAS 1 2 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )px t x t x t x t x t x t T u t T x t T u t T= + + + = + − − + − − +
21 1
1( ) ( )[1 ] ( ) ( )
1sT sT
p p sTX s X s e e X s X se
− −−= + + + → =
−
EJEMPLO 3.8: TL de señal periódica. Onda senoidal rectificada de media onda.
TABLA DE PROPIEDADES Y TEOREMAS
Tabla 3.2 – Propiedades de la transformada de Laplace No. ( )y t ( )Y s RCy
P1 1 1 2 2( ) ( )a x t a x t+ 1 1 2 2( ) ( )a X s a X s+ 1 2RCx RCx∩
P2 0 0( ) ( )x t t u t t− − 0 ( )ste X s− RCx
P3 ( )ate x t− ( )X s a+ RCx − a
P4 ( )x at 1( / )X s a
a RCx × a
P5 ( )t x t ( )d
X sds
− RCx
P6a ( )dx tdt
( ) (0 )sX s x +− ∈ RCx
P6b 2
2
( )d x tdt
2 ( ) (0 ) '(0 )s X s sx x+ +− − ∈ RCx
P7 0
( )t
x d+
τ τ∫ 1( )X s
s { } 0RCx s∩ >Re
P8 ( ) ( )h t x t∗ ( ) ( )H s X s⋅ RCh ∩ RCx
P9 0
(0 ) ( )t
x lim x t+
+
→= ( )
slim sX s→∞
P10 ( ) ( )t
x lim x t→∞
∞ = 0
( )slim sX s→
sX(s) analítica
Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.5.1 a 5.5.7, 5.5.9, 5.5.15, 5.5.16
Resolver problemas 5.4 y 5.10
3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-12]
MÉTODOS PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA
• Función racional compleja → ( )( )
( )N s polinomio orden m
Y sD s polinomio orden n
−= →
−
- fracción impropia → m ≥ n
- fracción propia → m < n
- fracción impropia → dividir → 0
( ) ( )m n
ki p kY s Y s C s
−
= +∑
• Polos y ceros de fraccional racional
- ceros de Y(s) → valores de s para Y(s)=0 → raíces de N(s) = 0
- polos de Y(s) → valores de s para Y(s)=∞ → raíces de D(s) = 0
• Métodos:
1. Tablas de pares de transformadas y propiedades
2. Fracciones parciales → polos reales o complejos simples
3. Sustitución → polos reales múltiples y polos complejos conjugados
EJEMPLO 3.9: Tabla de pares de transformadas para evaluar TIL. Fracción causal impropia
• Método de fracciones parciales → FP propia y normalizada
1
1 1 01
1 1 0
( )( ) 1,
( )
m mm m
nn nn
N s b s b s b s bX s a m n
D s s a s a s a
−−
−−
+ + + += = → = <
+ + + +
Caso 1: Polos reales simples → teorema de expansión de Heaviside
n
n
n psk
psk
psk
pspspssN
sDsN
sX−
++−
+−
=−−−
==2
2
1
1
21 )())(()(
)()(
)(
1
2 1 11 1 1 1
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )n
n s p
N s k s p k s p N ss p k s p k
D s s p s p D s =
− −− = + + + → − =
− −
( )i ik residuo del polo p de X s→ ips
ii sDsN
psk=
−=)()(
)(
3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-13]
Expresión alterna:
[ ][ ]
/ ( ) ( )( ) ( ) 0( ) 0 / ( )i i
iii is p s p
d ds s p N ss p N sk lim k lim
D s d ds D s→ →
−−= = → =
Factor típico → 1 21 2
5
1( )i np t p t p t p t
i i ni
T
k k e x t k e k e k es p
↔ ⋅ → = ⋅ + ⋅ + + ⋅−
¿solución estable? → 0ip exponencial decreciente< →
EJEMPLO 3.10: Método de FP. Caso 1: polos reales simples (diferentes)
EDU» syms s t EDU» yt=3/4-(1/3)*exp(-t)-(5/12)*exp(-4*t) EDU» Ys=factor(laplace(yt))
Ys = (2*s+3)/s/(1+s)/(s+4)
Caso 2: Polos complejos conjugados simples: *o op j p j= α + ω → = α − ω
*
11
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( *) ( ) *o
o o o o
X s
N s N s k kX s X s
D s s p s p D s s p s p= = = + +
− − − −
Forma típica → 2 2( )( ) ( )s j s j s−α − ω −α + ω = −α +ω → T8 o T9
caso 1 → 1 1 1
( ) ( ) ( )( *) ( ) ( *) ( ) 2 ( )
o
o o
o o o o os p
N s N p N pk C jD
s p D s p p D p j D p=
= = = = +− − ω
- solución expandida: ( ) ( )o oX s x t↔
( )* * ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2o op t p t j t j t tox t ke k e C jD e C jD e e C cos t D sen tα+ ω α− ω α= + = + + − = ⋅ ω − ⋅ ω
- solución agrupada → ( )2 2 ( )C cos t D sen t Asen t⋅ ω − ⋅ ω = ω + θ
( )'( )
i
i
s p
N sk
D s =
=
3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-14]
Problema: construir solución → ( ) ( )tox t Ae sen tα= ω + θ → calcular A y θ
1
( / 2) ( )( / 2) 2 ( ) 2 2
oC A sen N p A A
k C jD sen j cosD A cos j D po
= ⋅ θ ⎫→ = = + = θ− θ⎬= − ⋅ θ ω⎭
( )1
( )2
( ) 2 2oN p A A
j sen j cos A cos jsen AD po
⎛ ⎞= θ− θ = θ+ θ = θ⎜ ⎟ω ⎝ ⎠
- ¿solución estable? → { } 0op oscilación amortiguadaα < →=Re
EJEMPLO 3.11: Método de FP. Casos 1 y 2: polos reales y polos complejos conjugados.
Solución agrupada y solución expandida.
Caso 3. Polos reales múltiples → polo po se repite k-veces
1 2 112 1
1
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k
k k ko o o o o
X s k términoso
N s N s A A A AX s X s
D s s p D s s p s p s p s p−
−
−
= = = + + + + +− − − − −
1 21 2 1 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )k k k k
o o o k o k o
N ss p A s p A s p A s p A s p X s
D s− −
−− = − + − + + − + + −
1
( ) ( )( )
( ) ( )o o
kk o
s p s p
N s N sA s p
D s D s= =
= − =
2 31 2 1
1 '1 1
( )( ) ( 1)( ) ( 2)( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k ko o o k
k ko o
d N ss p A k s p A k s p A
ds D s
k s p X s s p X s
− −−
−
⎡ ⎤− = − − + − − + + +⎢ ⎥
⎣ ⎦+ − + −
11
( ) ( )( )
( ) ( )o o
kk o
s p s p
d N s d N sA s p
ds D s ds D s−= =
= −
1
1 ( )( )
os p
N sA
D s=
θ =ω
3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-15]
Generalizando:
Factor típico en xo(t) → T4 → 1
( ) ( 1)!ok p tk k
ko
A At e
s p k−↔
− −
EJEMPLO 3.12: Método de FP con polos reales simples y múltiples.
• Método de sustitución: polos reales múltiples y complejos conjugados
- evaluar X(s) para (m−1) valores numéricos de is p≠ .
- resolver (m−1) ecuaciones lineales simultáneas.
EJEMPLO 3.13: Método de sustitución. Polos reales múltiples y complejos conjugados.
• Dos casos poco comunes:
- X(s) no es fracción propia → efectuar la división
- X(s) incluye factor de la forma 0ste− → atraso t0 en x(t) → P2
EJEMPLO 3.14: Transformada inversa de casos poco comunes. Tarea.
TRANSFORMADA INVERSA USANDO MATLAB
• Función para descomposición en FP → [R,p,C] = residue(nYs,dYs)
num,den → orden descendente de potencias positivas de s
R → arreglo con los residuos de cada polo
p → arreglo con los polos de X(s)
C → arreglo que solo existe cuando X(s) no es propia → m ≥ n
1
1 ( )1, 2, ,
( )! ( )o
k i
i r is p
d N sA i k
k i ds D s
−
−=
= =−
…
3.4 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-16]
Interpretación de resultados:
)()()(
)()( 2
1
2
2
1
1 sCps
R
ps
R
psR
psR
sDsN
sXj
j
j
j ++−
+−
++−
+−
== +
knm
kk sCsC ∑
−
==
0)( ← polinomio en s
• Función para reconstruir X(s) → [nYs,denYs] = residue(R,p,C)
EJEMPLO 3.15: FP usando MATLAB. Ejemplo 3.10.
EDU» nYs=[2 3]; dYs=[1 5 4 0]; EDU» format rat EDU» [R,p,C]=residue(nYs,dYs), format
R = -5/12 p = -4 C = [] -1/3 -1 3/4 0
• Función de matemática simbólica para FP → YsFP = diff(int(Ys))
• Función de matemática simbólica para TIL → xt = ilaplace(Xs)
EJEMPLO 3.16: FP y TIL usando matemática simbólica de MATLAB. Ejemplo 3.10.
EDU» syms t s EDU» Ys=(2*s+3)/(s^3+5*s^2+4*s) EDU» YsFP=diff(int(Ys)); pretty(YsFP)
1 1 3/4 1/s - 5/12 ----- - 1/3 ----- s + 4 s + 1 EDU» yt=ilaplace(Ys)
yt = 3/4-5/12*exp(-4*t)-1/3*exp(-t) Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.6.1 a 5.6.4
Estudiar apéndice D y sus ejemplos
Resolver problema 5.11
3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-17]
PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER LA ED
• Modelo fundamental de un sistema LIT → relación E ⇔ S
)()()()()(
011
1
1 txtyadt
tdya
dttyd
adt
tydn
n
nn
n=++++ −
−
−
• Solución de ED → evaluar respuesta dinámica del sistema
• Procedimiento general:
1. Normalizar la ED → an=1
2. Transformar ED al dominio-s → P6 → ecuación algebraica
3. Resolver la ecuación algebraica → Y(s)
4. Obtener la TIL de Y(s) → y(t) → tablas, FP o sustitución
EJEMPLO 3.17: Solución completa y componentes de una ED usando T.L. Ejemplo 2.4.
COMPONENTES DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO TL
• Respuesta natural y respuesta forzada → y(t) = yRN(t) + yRF(t)
- respuesta natural → solo c.i. → x(t) = 0
- respuesta forzada → solo x(t) c.i.= 0
• Respuesta transitoria y respuesta permanente → y(t)=yRT(t)+yRP(t)
- respuesta transitoria → polos del sistema en Y(s)
- respuesta permanente → polos de la entrada en Y(s)
EJEMPLO 3.18: Componentes de la solución de una ED de orden-2. Ejemplo 3.17.
SISTEMA LIT
x(t) y(t)
3.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-18]
SOLUCIÓN DE UNA ED USANDO MATLAB
• Solución simbólica → función dsolve()
- símbolos para indicar derivadas → Dy, D2y, D3y, ...
- una sola cadena con las condiciones iniciales → y(0), Dy(0), ...
EJEMPLO 3.19: Solución de una ED de orden-2 usando matemática simbólica. Ejemplo 3.16.
Solución completa y(t):
EDU» y=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=10,y(0)=-1, Dy(0)=2')
y = 5/2+3/2*exp(-2*t)-5*exp(-t)
Respuesta natural yRN(t):
EDU» yRN=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=0,y(0)=-1, Dy(0)=2')
yRN = -exp(-2*t)
Respuesta forzada yRF(t):
EDU» yRF=dsolve('2*D2y+6*Dy+4*y=10,y(0)=0, Dy(0)=0')
yRF = 5/2+5/2*exp(-2*t)-5*exp(-t)
Sugerencias: Estudiar ejemplo 5.8.1
Resolver problema 5.20
Resolver problema 5.20 usando matemática simbólica
3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-19]
RESPUESTA IMPULSO
• Modelo del sistema LIT en el dominio-t → reposo → RF
( ) ( ) ( )y t h t x t= ∗
• Resolver ED para c.i.=0 → x(t)=δ(t) → X(s)=1
EJEMPLO 3.20: Respuesta impulso usando TL. Ejemplo 2.10.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
• Modelo del sistema LIT en el dominio-s
• Fundamento: P8 → tabla 3.2 → ( ) ( ) ( ) ( )h t x t H s X s∗ ↔ ⋅
( ) ( ) ( )Y s H s X s= ⋅
• Definición de función de transferencia: H(s)
( )( ) ( ) ( )
( ) reposo
Y sH s H s h t
X s≡ → ↔
EJEMPLO 3.21: FT a partir de la ED. Respuesta forzada escalón. Ejemplo 2.9.
SISTEMA LIT (reposo)
δ(t) h(t) h(t)
x(t) y(t)
h(t) x(t) y(t)
H(s) X(s) Y(s)
Relación entre la TL de la salida y la TL de la entrada, asumiendo
que el sistema se encuentra en reposo ( c.i.=0 ).
La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso.
3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-20]
• Propiedades de la FT:
P1. La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso
P2. Es posible reconstruir la ED a partir de la FT
)()()()()()(
)()(
)( sXsNsYsDsDsN
sXsY
sH ⋅=⋅→==
P3. Componentes del sistema → modelados por una FT → bloques
EJEMPLO 3.22: ED a partir de la función de transferencia. Descomposición directa.
• Limitaciones del modelo de FT:
1. Sistemas en reposo → respuesta forzada
2. Sistemas con una entrada y una salida → SISO
3. Sistemas lineales
ANÁLISIS DE CIRCUITOS USANDO FT
• FT → circuito en reposo → c.i.=0 → respuesta forzada
• Componentes del circuito RLC en el dominio-s → diagrama transformado
- fuentes de voltaje → v(t)
- fuente de corriente → i(t)
- resistencia → R → ohms
( ) ( ) ( ) ( )v t R i t V s R I s= ⋅ ↔ = ⋅
+
i(t) v(t)
−
+
I(s) V(s)
−
↔
v(t)
i(t) +
−
+
V(s)
I(s)
−
↔
v(t)
R i(t)
+ − V(s)
R I(s)
+ −
3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-21]
- inductancia → L → henrios
1 (0 )( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( )
di iv t L V s L sI s i I s V s
dt sL s
++⎡ ⎤= ⋅ ↔ = − → = +⎣ ⎦
- capacitancia → C → faradios
1 (0 )( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( )
dv vi t C I s sCV s Cv V s I s
dt sC s
++= ↔ = − → = +
- anulando fuentes de c.i. → respuesta forzada
EJEMPLO 3.23: Respuesta de un circuito RLC usando Laplace.
EJEMPLO 3.24: FT de un circuito T (cuadripolo). Modelo para respuesta forzada.
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
• Sistema de control de lazo cerrado → realimentación (feedback)
−
+ R(s) M(s) Y(s) E(s) Gc(s) Gp(s)
H(s)
v(t)
L i(t)
+ −
v(t)
C i(t)
+ −
V(s)
sL
I(s)
+ − i(0+)/s
+ −
V(s)
1/ sC I(s)
−+
(0 ) /v s+
+ −
V(s)
I(s) Cv(0+)
1/ sC
V(s)
sL I(s)
+ −−
Li(0+)
+
3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-22]
• Componentes del sistema de control → representados por su FT
- proceso o planta: Gp(s)
- controlador: Gc(s)
- bloque de realimentación: H(s) → transmisor-medidor
• Señales del sistema de control
- variable controlada: y(t) → propósito del sistema de control
- señal de referencia: r(t) → valor deseado de la v.c. → set point
- señal de error: e(t) → exactitud del sistema de control
- señal de control: m(t) → acción de control
• Función de transferencia de lazo cerrado (FTLC) → T(s)
- definición → ( )( )
( )Y s
T sR s
≡
- expresión de T(s) → [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s E s G s R s H s Y s= ⋅ = ⋅ − ⋅
Agrupando términos de Y(s)
[ ] ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )G s
G s H s Y s G s R s T sG s H s
+ ⋅ = ⋅ → =+
EJEMPLO 3.25: FT de lazo cerrado unitario de sistema de control. Respuesta escalón.
ESTABILIDAD Y CAUSALIDAD EN EL DOMINIO-s
• En el dominio-t → ( )h t dt∞
−∞
< ∞∫
• Estabilidad en el dominio-s → caso de polos simples
- sistema causal → polos de H(s) en el SPI → { } 0kp <Re
1 1
( ) ( ) ( ) , { } ( { })k
n np t k
k kk k k
Ch t C e u t H s s max p
s p= =
= ↔ = >−∑ ∑ Re Re
3.6 ANÁLISIS DE SISTEMAS Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE [L3-23]
- sistema anticausal → polos de H(s) en el SPD → { } 0kp >Re
1 1
( ) ( ) ( ) , { } ( { })k
n np t k
k kk k k
Ch t C e u t H s s min p
s p= =
= − ↔ = − <−∑ ∑ Re Re
- sistema no causal → componente causal y componente anticausal
• Estabilidad y RC
- RC no puede incluir polos
- RC debe incluir el eje-jω
- polo en el extremo de la RC
Nota: Se obtiene el mismo resultado para polos múltiples.
EJEMPLO 3.26: Identificar causalidad y evaluar causalidad a partir de FT y RC.
Sugerencias: Estudiar ejemplos 5.8.2 a 5.8.4.
Resolver problema 5.22 a 5.29
j ω
σ
Causal-estable
j ω
σ
Anticausal-estable
Un sistema causal estable tiene todos sus polos en el semi-plano izquierdo. Un sistema anticausal estable tiene todos sus polos en el semi-plano derecho.
Para que un sistema sea estable la RC debe incluir el eje-jω
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