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Álgebra dos Espaços Lineares

2 Definição 1: Chama-se de espaço linear a um conjunto L , não vazio, de elementos , , ,…x y z que satisfaz as seguintes condições:

• , |∀ ∈ → ∈ ∧ = +x y z z z x yL L (2.1.1)

• + = +x y y x (Comutatividade) (2.1.2)

• ( ) ( )+ + = + +x y z x y z (Associatividade) (2.1.3)

• | ,∃ ∈ + = ∀ ∈0 x 0 x xL L (Existência do Zero) (2.1.4)

• ∀ ∈ ∧∀ ∈ →∃ ∈ℝa ax xL L (2.1.5)

• ( ) ( )=a b abx x (2.1.6)

• 1 =x x (Elemento Neutro) (2.1.7)

• ( )+ = +a b a bx x x (Distributiva) (2.1.8)

• ( )+ = +a a ax y x y (2.1.9)

3 • ( )| 0∀ ∈ →∃− − ∈ ∧ + − =x x x x xL L (2.1.10)

Por exemplo, seja F o conjunto de todas as funções do tipo : →ℝ ℝf .

Note que funções dos tipos:

( )( ) ( )

2 7= − +

pertencem a F , pois estão definidas para todos os x ; por outro lado, funções do tipo

( ) ( )

4 não pertencem a F , pois não estão definidas para todos os x .

Pode-se verificar que se tomando duas funções quaisquer de F , pode-se definir uma função soma das primeiras, assim,

( ) ( )1 2 1 2 1 2,+ = + ∴ ∈f f f f f fx x F (2.1.11)

Além disso, define-se a multiplicação de uma função por um escalar qualquer:

( )( ) ( ). .=c f x c f x (2.1.12)

5 Com as operações acima, é um espaço linear, pois satisfaz a todos os axiomas definidos na “definição 1” (relações (2.1.1) a (2.1.10)).

6 Isomorfismo de Espaços Lineares

Definição 1: Dois espaços lineares ou vetoriais L e *L são ditos isomorfos quando se pode estabelecer entre seus elementos uma correspondência biunívoca compatível com as operações neles definidos. Isto significa que se

( ) ( )

* * *, ,

↔ ∧ ↔ ∴ ∈ ∧ ∈

+ ↔ + ∧ ↔e o a antã

* *x x y y x y x y

x y x* y * x x*

L L (2.2.1)

são as duas condições de isomorfismo, com a, um número arbitrário.

7 Isto significa que, se L e *L são isomorfos, então o número de elementos linearmente independentes em cada espaço é o mesmo,

isto é, L e *L têm a mesma dimensão.

Teorema 1: Quaisquer dois espaços lineares reais n-dimensionais são isomorfos.

Corolário 1: Espaços lineares de dimensão finita com dimensões distintas, não são isomorfos.

8 Teorema 2: Um espaço linear complexo nC de dimensão n pode ser

mapeado um-a-um para um espaço linear real 2nR , de dimensão 2n, tal que a condição:

( )* * *+ = +x y x y (2.2.2)

permanece válida, e para fatores λ, a segunda condição

( )* *λ λ=x x (2.2.3)

também permanece válida.

9 Subespaços. Dependência Linear

Definição 1: Sejam , , , ,…1 2 ny x x x , elementos quaisquer de um

espaço linear L . Se y puder ser escrito como:

= + + +a b n1 2 ny x x … x (2.2.4)

diz-se que é uma combinação linear (CL) de , , ,…1 2 nx x x , onde a, b, c,

d,..., n são escalares.

Definição 2: Um conjunto de elementos , , ,…1 2 nx x x de um

espaço linear L qualquer é dito ser linearmente dependente, (LD) quando existirem números a, b, c , d ,..., n, não todos iguais a zero, tal que:

10 0+ + + =a b n1 2 nx x … x (2.2.5)

Definição 3: Um conjunto de elementos de um espaço

linear qualquer é dito ser linearmente independente (LI), quando a equação abaixo for verdadeira:

0+ + + =a b n1 2 nx x … x (2.2.6)

se e somente se 0= = = = =⋯a b c n .

, , ,1 2 nx x x…

11 Definição 4: Um conjunto infinito de elementos de um espaço L

se chama linearmente independente, quando todo subconjunto finito seu é linearmente independente.

Se em um espaço linear L se puder encontrar n elementos LI, e quaisquer 1+n elementos deste espaço forem LD então se diz que L é um espaço de dimensão finita n. No entanto, se em L , pudermos indicar um conjunto composto por um número finito qualquer de elementos LI, diz-se que é de dimensão infinita. L

12 Definição 5: Um conjunto qualquer de elementos de

um espaço linear L qualquer, linearmente independente (LI), é dito

base de um espaço de n-dimensões.

Teorema 1: Se L tem uma base contendo elementos, então quaisquer ou mais elementos de L são linearmente dependentes.

Corolário 1: Se L tem uma base contendo elementos, então toda base de L tem elementos.

n , , ,1 2 nx x x…

13 Definição 6: Um subconjunto não vazio X de um espaço linear

L é dito ser subespaço de L em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em se:

,⊂ ⇔ ∈ ⇒ + ∈a bx y x yX L X X (2.2.7)

quaisquer que sejam os escalares ae b.

Em todo espaço linear L , existe um subespaço formado somente pelo elemento zero, o subespaço nulo. Um subespaço de L , que contenha

pelo menos um elemento não nulo é dito subespaço próprio.

Teorema 2: Se é um subespaço de um espaço linear L de n dimensões, então a dimensão de é menor ou igual a n.

14 Exemplos:

1. O conjunto de elementos { }∴ ∈ax x L e tomando todos os

valores numéricos, forma evidentemente um espaço unidimensional;

2. Em um espaço n2-dimensional de matrizes quadradas ×n n, o

conjunto de matrizes simétricas ika , tal que =ik kia a , é um

subespaço;

3. O conjunto de polinômios [ ],a bP definidos sobre o espaço das

funções contínuas [ ],a bC .

15 4. O conjunto [ ]1 ,a bC de todas as funções que possuem derivada

contínua em todo intervalo [ ],a b ; isto é, a chamada função

continuamente diferenciável em [ ],a b . Como uma função

diferenciável é contínua, cada função em [ ]1 ,a bC também

pertence a . É evidente que é fechado com relação à

adição de funções e multiplicação por escalar, portanto subespaço

de . Em geral, se [ ],n a bC denota o conjunto de todas as

funções n vezes continuamente diferenciáveis em[ ],a b , então

é um subespaço de , sempre que ≥m n.

[ ]1 ,a bC [ ]1 ,a bC

[ ]1 ,a bC

[ ]1 ,a bC [ ]1 ,a bC

16 Clausura Linear

Definição 7: Sejam 1 2 nx ,x ,…,x uma coleção de elementos de

certo espaço linear . Denomina-se “clausura linear” dos elementos

1 2 nx ,x ,…,x à coleção de todas as combinações lineares destes

elementos, isto é, o conjunto dos elementos:

α β η+ + +1 2 nx x … x

com ∈1 2 nx ,x ,…,x L e , , ,α β η∈… ℝ .

Uma clausura linear dos elementos é simbolizada por

( )1 2 nx ,x ,…,xL . Assim toda clausura linear ( )1 2 nx ,x ,…,xL de

elementos é um subespaço de e é o menor subespaço de

L contendo os elementos .

1 2 nx , x ,…, x

1 2 nx ,x ,…,x ∈L L

1 2 nx , x ,…, x

17 Exemplo:

A clausura linear dos elementos , , , ,…2 n1 t t t do espaço linear

de todas as funções ( )=x x t definidas e contínuas no

intervalo fechado ≤ ≤a bt é um exemplo de clausura linear.

[ ]1 ,a bC

18 Sejam ,1 2L L dois subespaços lineares arbitrários de um mesmo espaço

linear R , isto é, ( ) ( )⊂ ∧ ⊂1 2L R L R então,

Definição 8: A coleção de todos os elementos x tal que

( ) ( )∈ ∧ ∈x x1 2L L , formam um subespaço de R chamado de

subespaço interseção de .

Definição 9: A coleção de todos os elementos x + y onde

( ) ( )∈ ∧ ∈x y1 2L L forma um subespaço de chamado subespaço

soma ou subespaço união de .

Teorema 3: A soma das dimensões dos subespaços lineares arbitrários 1 2,L L de um espaço linear de dimensão finita é igual à

,1 2L L

19 soma da dimensão dos espaços “interseção” e “união” desses subespaços.

Subespaços Gerados

Um subespaço de [ ],n a bC além de ser subespaço de [ ],n a bC é

também complexo. Isto também vale para os reais.

Definição 1: O conjunto de todos os elementos ou combinações

lineares do conjunto de elementos { }, , ,= …1 2 qG a a a de é um

subespaço chamado de espaço gerado por G ou span1 {G}:

1 A palavra em inglês span significa espaço, como substantivo, ou cobrir, abarcar, como verbo. Ela representa aqui o mesmo que

“espaço gerado por”.

[ ],n a bC

{ } { } { }1,...,

, , , | α=

= = ∈ = ∴ ∈ ∑…

i i i i qi

span span z zn1 2 qG a a a C a a C

Se os { }, , ,…1 2 qa a a são linearmente independentes, cada elemento de

span {G} admite uma única expressão como combinação linear de

{ }, , ,…1 2 qa a a . O conjunto G é chamado de base do subespaço gerado

e denotado por span {G}.

21 Um subespaço muito importante na análise numérica é o Subspaço de Krylov.

Definição 2: Sejam uma matriz ×∈ℂn nA não singular e um vetor

≠ ∈ℂny 0 . Dizemos que um subespaço é subespaço de Krylov de

dimensão 1>m , e denotado por ( ),m A yK , se ele for gerado pelo

conjunto { }2 1, , , , −…

my Ay A y A y , isto é

( ) { }

0,1,...,0

, , , , ,

= ∈ = ∴ ∈ ∑

mn i i n

i i mi

A y y Ay A y A y

C A y A y C

(2.2.8)

Pode-se verificar que 1 2 1−⊂ ⊂ ⊂ ⊂⋯ m mK K K K . Faça essa

demonstração como exercício.

22 Espaços Compactos

Definição 1: O conjunto Σ de subconjuntos de um conjunto X cuja união é o próprio X é denominado de cobertura do conjunto X .

Definição 2: Se X é um espaço linear na definição 1 acima, a cobertura é dita cobertura aberta se cada um dos elementos de Σ é também um subconjunto aberto de X .

Definição 3: Um conjunto Σ de subconjuntos de um conjunto Xé dito ter a propredade de interseção finita, se cada subconjunto de Σ ou um subconjunto finito de Σ tenha interseção não vazia.

23 Definição 4: Um espaço linear X é dito ser um espaço compacto se e somente se ele possuir uma ou mais das seguintes propriedades:

i. Toda cobertura aberta de X contém uma cobertura finita;

ii. Se um conjunto Σ de subcoonjuntos fechados de X tem a propriedade de interseção finita, e assim a interseção dos subconjuntos de Σ não é vazia.

iii. Toda família direta de pontos de X tem um ponto limite em X .

Definição 5: Um subconjunto A de um espaço linear X é dito ser um subconjunto compacto se a somente se X for compacto. O subconjunto A é dito ser relativamente compacto em X se e somente

se sua clausura [ ]A for compacta.

24 Definição 6: Um espaço linear X é dito ser um um espaço

separado (ou espaço de Hausdorff) se, para quaisquer dois pontos distintos , ∈x y X , existe uma vizinhança de x e uma vizinhança de yque são disjuntas.

Definição 7: Um espaço linear X é dito ser um um espaço

normal se, para quaisquer dois conjuntos fechados distintos , ⊂A B X ,

existir vizinhanças que são disjuntas.

Lema 1: Subconjuntos de ( )n nR C são compactos se eles forem

limitados e fechados.

25 Lema 2: Se X é um espaço compacto, Y um espaço linear, e f

uma função contínua de X em Y , então ( )f X é um subconjunto

compacto de Y . Se, além disso, f for injetora e Y um espaço

separado, então f é um homeomofismo de X para ( )f X .

Lema 3: Qualquer espaço X compacto e separado é um espaço normal.

Teorema: (Tychonoff). O produto (no sentido topológico) de qualquer família de espaços compactos tembém é compacto.

26 Definição 8: Um espaço linear X é dito ser um espaço

localmente compacto se e somente se cada ponto de X tiver no mínimo uma vizinhança campacta.

Assim, qualquer espaço compacto tembém é localmente compacto; qualquer espaço discreto é localmente compacto; qualquer subespaço fechado de um espaço localmente compacto é localmente compacto.

Definição 9: Um espaço linear X é dito ser um um espaço

regular se, para cada ponto ∈x X , a vizinhança fechada de x forma uma base da vizinhança de x .

27 Espaços Métricos

Definição 1: Um conjunto M de elementos , , ,…x y z de

natureza arbitrária se denomina Espaço Métrico, se todo par de elementos , ∈x y M se corresponde a um número real não negativo

( ),ρ x y de modo que:

( ), 0ρ = ⇔ =x y x y (axioma da identidade) (2.3.1)

( ) ( ), ,ρ ρ=x y y x (axioma da simetria) (2.3.2)

( ) ( ) ( ), , ,ρ ρ ρ+ ≥x y y z x z (axioma triangular) (2.3.3)

O número leva o nome de distância entre os elementos x e y ou

métrica e muitas vezes também é denotado pelo símbolo ,x y .

( ),ρ x y

28 Exemplos:

1. Espaço de pontos isolados com ( ), 0ρ = ⇔ =x y x y ou

( ), 1ρ = ⇔ ≠x y x y .

2. O conjunto dos números reais com distância ( ),ρ = −x y x y

formando o espaço métrico 1R .

3. O conjunto de grupos ordenados de n números reais

( )1 2, , ,= … nx x xx com distância definida por

, ( )ρ=

= −∑ k k

y xx y que se denomina espaço aritmético

euclidiano de n-dimensões nR . Vê-se que nR satisfaz os axiomas (1) (2.3.1) e (2) (2.3.2) da definição 1 acima.

Definição 2: O conjunto de grupos ordenados de n números

reais ( )1 2, , ,= … nx x xx com distância definida por:

, | |ρ=

= −∑ k k

x yx y (2.3.4)

é conhecido por 1nR .

30 Definição 3: O conjunto de grupos ordenados de n números

reais ( )1 2, , ,= … nx x xx com distância definida por:

( ) ( ), max , 1ρ = − ∀ ≤ ≤k ky x k nx y

é conhecido por 0nR .

Exemplo:

O conjunto [ ],C a b de todas as funções contínuas sobre o segmento

[ ],a b e distância definida por:

( ) ( ) ( ) ( ), max ,ρ = − ∀ ≤ ≤f g g t f t a t b (2.3.5)

31 Definição 4: Denomina-se espaço 2L , o espaço vetorial cujos

pontos são todas as seqüências ( )1 2, , , ,= … …nx x xx de números reais

que satisfaçam a condição 2

<∞∑ kk

x e cuja distância é definida por:

, ( )ρ=

= −∑ k k

y xx y (2.3.6)

32 Definição 5: O conjunto de todas as funções contínuas no

segmento [ ],a b , definindo distância por:

2( , ) [ ( ) ( )]ρ = ∫

adtx t y tx y (2.3.7)

é o espaço métrico conhecido por [ ]2 ,C a b e é chamado de espaço das

funções contínuas com métrica quadrada.

33 Definição 6: O conjunto de todos os grupos ordenados

( )1 2, , , ,= … …nx x xx de n números reais com distância ou métrica igual

= − ∑n pp

p k kk

y xx y (2.3.8)

onde p é um número fixo arbitrário ≥ 1, é o espaço métrico denotado

por npR .

Em (2.3.8) se 2=p , a desigualdade de Hölder é igual à desigualdade

de Cauchy - Buniakovski (já vista anteriormente).

34 Definição 7: Uma semimétrica sobre um conjunto M é uma

função : +× →d M M R que satisfaz as seguintes propriedades:

i. ( ), 0≥d x y

ii. ( ), 0= ⇔ =d x y x y

iii. ( ) ( ), ,=d dx y y x

A diferença entre semimétrica de uma métrica (veja definição 1) é a de que as semimétricas não precisam atender à desigualdade triangular (veja expressão (2.3.3)).

Definição 8: Um conjunto M de elementos , , ,…x y z de

natureza arbitrária se denomina Espaço Semimétrico, se todo par de elementos , ∈x y M se corresponde a um número real não negativo

( ),d x y que atenda aos axiomas da definição 7 acima.

35 Aplicações Contínuas de Espaços Métricos. Isomorfismo.

Sejam X e Y dois espaços métricos e f uma aplicação do espaço X

em Y : : →f X Y (leia-se f aplica em ). Portanto, a cada

elemento ∈x X se põe em correspondência um elemento

( )= ∈fy x Y .

Sendo , diz-se que é o domínio de . O conjunto de todos os para ∈x X é denominado de imagem de , e é designado

por ( )fL .

:f →X Y X f

( )f= ∈y x Y f

36 Definição 1: A aplicação como exposta acima é dita uma aplicação contínua no ponto 0 ∈x X se para cada 0ε> existir um

0δ> tal que, para todos os que satisfizer a desigualdade

( )0,ρ δ<x x , se verifica a desigualdade ( ) ( )( )1 0,ρ ε<f x f x , onde ρ e

1ρ são as distâncias (ou métricas) em e Y respectivamente. Se a

aplicação é contínua em todos os pontos de , diz-se que ela é

contínua em .

∈x X

37 Homomorfismo

Definição 2: Sendo uma aplicação biunívoca de em Y,

existe a aplicação inversa ( )1−=x f y de Y em . Se tanto como 1−f forem aplicações contínuas, diz-se que é uma aplicação

homomorfa, ou homomorfismo, e e Y sobre os quais se podem

estabelecer uma aplicação homomorfa, são denominados espaços

homomorfos.

38 Isomorfismo

Definição 3: Dois espaços métricos são ditos espaços isomorfos, quando se pode estabelecer entre seus elementos uma aplicação bijetiva, tal que

( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2, ,ρ ρ=x x f x f x (2.4.1)

Assim é dita uma aplicação isomorfa e os espaços e Y são

isométricos.

39 Definição 4: Dada uma aplicação , supondo que exista uma constante c > 0 (chamada constante de Lipschitz) tal que:

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, ,ρ ρ= ⋅f x f x c x x (2.4.2)

quaisquer que sejam ,1 2x x pertencentes a , diz-se então que é

uma aplicação Lipschitziana.

Definição 5: Dada uma aplicação , designa-se por ( )N f

ao conjunto de todos os elementos tais que ( ) 0=f x . O conjunto

( )N f é um subespaço de e é denominado de núcleo da aplicação .

:f →X Y

∈x X

40 Definição 6: Dada duas métricas 1ρ e 2ρ num conjunto ⊂A X ,

escreve-se ( )1 1,ρ=A A e ( )2 2,ρ=A A . Diz-se que as métricas e

são uniformemente equivalentes quando a aplicação 1 2→A A for um

homomorfismo uniforme. Assim se 1ρ e

2ρ forem métricas

uniformemente equivalentes em A , então todas as aplicações

definidas em A são as mesmas, quer se use a métrica 1ρ ou a métrica

1ρ 2ρ

41 Exemplos

1. Considere o exemplo abaixo onde o espaço dos vetores linha com duas colunas e o espaço dos vetores coluna com duas linhas. Esses dois espaços são os mesmos, aos quais associamos os vetores que têm os mesmos componentes, isto é.

então esta correspondência preserva as operações de adição

( ) ( ) ( )1 3 4

1 2 3 4 4 62 4 6

+ = ↔ + =

42 e a multiplicação por escalar

( ) ( )1 4

4 1 2 4 8 42 8

⋅ = ↔ ⋅ =

2. Outros dois espaços: o espaço 2P , dos polinômios quadráticos,

e o ℝ3 são os “mesmos”. Aqui a correspondência natural é:

0 1 2 1

+ + ↔

a a x a x a

A estrutura é preservada com a operação de adição, assim:

20 1 2

0 0 0 02

0 0 1 1 2 2 1 1 1 1

2 2 2 2

____________

( ) ( ) ( )

+ + + + + + ↔ + = + +

a a x a x

b b x b x

a b a b

a b a b x a b x a b a b

a b a b

e com a operação de multiplicação por escalar:

0 02 2

0 1 2 0 1 2 1 1

+ + = + + ↔ =

k a a x a x ka ka x ka x k a ka

44 Muitas vezes se está interessado em um tipo de isomorfismo em particular, no qual o espaço é isomorfo a si mesmo, isto é, o automorfismo.

Automorfismo

Definição 7: O isomorfismo no qual o espaço métrico é isomorfo a si mesmo é um mapeamento chamado de automorfismo.

45 Considere o espaço 5P de polinômios de grau menor ou igual a 5, e um

mapeamento que envia um polinômio ( )p x para outro ( )1−p x . Por

exemplo, sob esse mapeamento tem-se:

33 3 2

2 1 3 5 3

→ − = − −

+ → − = − + −

x x x x

x x x x x x

Isto é um automorfismo. Geometricamente, a substituição de x por 1−x em qualquer função, desloca seu gráfico para a direita por uma

unidade. Assim um automorfismo f para 5P mostra que esse espaço

tem certa homogeneidade horizontal – o aspecto do espaço é o mesmo tanto próximo de 1=x quanto de 0=x .

Definição 8: Um mapa de dilatação : →kd 2 2R R transforma

todos os vetores em novos vetores iguais aos anteriores multiplicados

por um escalar k (Figura 2.2) é um automorfismo de 2R .

d ( u ) v

d ( v )

FIGURA 2.2 DILATAÇÃO VETORIAL

47 Definição 9: Um mapa de rotação :θ →t 2 2R R transforma os vetores

por uma rotação, relativa a um ângulo θ (Figura 2.3). Isso também é um automorfismo.

FIGURA 2.3 ROTAÇÃO VETORIAL

48 Um outro tipo de automorfismo em 2ℝ é o mapeamento 1 : →ℝ ℝf 2 2

que reflete todos os vetores sobre uma linha l que passa pela origem (Figura 2.4).

FIGURA 2.4 REFLEXÃO VETORIAL

49 Exemplos:

1. O mapa de projeção 3:π → 2R R π

homomorfismo. Ele preserva a adição

1 2 1 2 1 2

1 21 2 1 2 1 2

π π π π

+ + + = + = = + + +

x x x x x xx x

y y y y y yy y

z z z z z z

e preserva a multiplicação por escalar:

π π π

⋅ = = = ⋅

x rx xrx

r y ry r yry

z rz z

50 Note que este mapeamento não é um isomorfismo. Uma vez que ele

não é biunívoco ou bijetor, pois tanto ( )0,0,0 e ( )0,0, z em ℝ3 são

mapeados apenas para ( )0,0 em ℝ2.

2. O mapeamento 3: →ℝ ℝf dado por ( ), , 3 2 4→ + +x y z x y z é

linear e é um homomorfismo.

Em contraste, o mapeamento 3: →ℝ ℝg dado por

( ), , 3 2 2 1→ + + +x y z x y z não é linear.

O que distingue os homomorfismos é que as funções coordenadas são combinações lineares dos argumentos.

51 Lema 1: Um isomorfismo mapeia o elemento zero de um espaço sempre ao elemento zero do outro espaço ou do mesmo espaço.

Demonstração: Quando : →f X Y é um isomorfismo, qualquer ∈x X corresponde a um

elemento ∈y Y e como um elemento fixo 0 ∈x X sofre, pela definição 3, a

seguinte transformação:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

, , ,ρ ρ ρ ρ ρ= = = =

⇒ = =

x 0 x 0 x 0 y y

Em outras palavras 0x→0y.

52 A definição de isomorfismo requer que a soma de dois elementos se correspondam bem como a multiplicação de um escalar por um elemento, logo, pode-se estender o conceito de isomorfismo a todas as combinações lineares dos elementos de um espaço vetorial.

53 Lema 2: Para qualquer mapeamento entre elementos dos espaços considerados preservam suas estruturas: Assim, se

∈1 2x ,x X e ∈ℝc então:

(1): ( ) ( ) ( )+ = +f f f1 2 1 2x x x x e

( ) ( )= ⋅f c c fx x

(2): preserva a combinação linear de dois elementos quaisquer:

( ) ( ) ( )1 2 1 2+ = +f c c f c f c1 2 1 2x x x x

(3): preserva a combinação linear de qualquer número finito de

elementos: ( ) ( ) ( )1 1+ + = + +… …n n n nf c c f c f c1 1x x x x

:f →X Y

54 Demonstração: Veja no livro Análise e Métodos Nuuméricos Aplicados a Engnharia, do autor.

Lema 3: Se espaços são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão.

Demonstração: Veja no livro Análise e Métodos Nuuméricos Aplicados a Engnharia, do autor.

55 Lema 4: As condições necessárias e suficientes para que sejam um homomorfismo são, para qualquer 1 2, ∈ℝc c e :

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2+ = +f c c c f c fx x x x

E para quaisquer 1, , ∈… ℝnc c e , ∈… n1x , x X ,

( ) ( ) ( )1 1 1 1+ + = + +⋯ ⋯n n n nf c c c f c fx x x x

Este lema simplifica a verificação de que uma função linear poder preservar a sua estrutura com relação à adição e a multiplicação por escalar.

:f →X Y

∈1 2x , x X

56 Exemplo

O mapeamento : →f R R2 4 dado por:

satisfaz a seguinte verificação:

1 1 2 2 1 2

1 21 1 1 2 2 2 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2

( / 2) ( / 2) / 2 / 2

( ) ( )

(3 ) (3 ) 3 3

+ = + + + + + + +

r x r x x x

r rr x y r x y x x x y

r y r y y y

e é um homomorfismo.

57 Alguns dos resultados que se tem visto para isomorfismos falham quando aplicados a homomorfismos; em geral um isomorfismo entre espaços estabelece uma correspondência entre suas bases, mas um homomorfismo não necessariamente. A diferença entre homomorfismo e isomorfismo é que enquanto ambos os mapeamentos preservam a estrutura, o homomorfismo não necessariamente precisa ser uma bijeção.

58 Teorema 1: Um homomorfismo é determinado por sua ação sobre

uma base. Isto é, se { } { }1, ,= … nB β βX é uma base no espaço e

, ,…1 ny y são (não necessariamente distintos) elementos do espaço

então existe um homomorfismo de para mandando 1β para 1y ... ,

nβ para ny , e este homomorfismo é único.

Demonstração: Veja no livro Análise e Métodos Numéricos Aplicados a Engnharia, do autor.

Definição 7: Um mapeamento linear de um espaço nele mesmo : →f X X é uma transformação linear.

59 Exemplo

O mapeamento de derivadas : →d

dx n nP P

10 1 1 22 −+ + + → → + + +⋯ ⋯

n nn n

da a x a x a a x na x

é uma transformação linear, pois preserva sua estrutura com relação à soma e a multiplicação por escalar.

60 Lema 5: Para espaços , o conjunto de todas as funções lineares de →X Y é por si mesmo um espaço; um subespaço do

espaço de todas as funções de →X Y e é denotado por ( ),L X Y .

61 Convergência. Conjuntos Abertos e Fechados.

Definição 1: Uma bola aberta, denotado por ( ),B r0x , num

espaço métrico é o conjunto de todos os pontos ∈x X que satisfaçam à condição:

( ),ρ < r0x x (2.5.1)

onde o ponto fixo 0x é o centro e r o raio da bola.

62 Definição 2: Uma bola fechada, denotada por [ ],B r0x , num

espaço métrico é o conjunto de todos os pontos que satisfaçam à condição:

( ),ρ ≤ r0x x

onde o ponto fixo é o centro e o raio da bola.

Definição 3: Uma bola aberta de raio ε e centro em se

denominará ε-vizinhança do ponto e é denotado por ( )εV 0x .

Definição 4: O conjunto de pontos de uma bola fechada [ ],B r0x

qualquer, que satisfaça a igualdade ( ),ρ = r0x x é denominado de

esfera de centro e raio , e é denotada por ( )rS 0x .

X ∈x X

63 Ponto de Aderência

Definição 5: Um ponto é dito ponto de aderência do conjunto ⊂A X se qualquer vizinhança sua contém pelo menos um ponto de A . Ou ainda x é ponto de aderência de A se x for o limite de uma seqüência de pontos ∈nx X .

Assim todo ponto é de aderência, pois basta tomar uma seqüência de pontos =nx x . Mas pode-se ter um ponto a aderente a sem que

ele pertença a , como por exemplo, se ( )0,= +∞X , então 0∉X ,

mas 0é aderente a pois é o limite da seqüência 1 n

com 1∈

para todo ∈ℝn + .

∈x X

64 A totalidade dos pontos de aderência ao conjunto é denotada por

[ ]A e é chamado de aderência do conjunto .

Teorema 1: A operação de aderência tem as seguintes propriedades:

1. [ ]⊂A A (2.5.2)

2. [ ] [ ] = A A (2.5.3)

3. se ∪1 2A A então [ ] [ ]1 2∪A A (2.5.4)

4. [ ] [ ] [ ]∪ = ∪1 2 1 2A A A A (2.5.5)

66 Ponto de Acumulação

Definição 6: Um ponto é dito ponto de acumulação do conjunto , quando em toda vizinhança sua existe um número infinito de pontos de . O ponto de acumulação pode pertencer ou não a .

Por exemplo, se é o conjunto dos números racionais do segmento [0,1], todo ponto dele é um ponto de acumulação de .

Definição 7: Um ponto é dito ponto isolado do conjunto ,

quando uma vizinhança sua ( )εV x suficientemente pequena não

contém outros pontos de , distintos de x.

∈x X

⊂A X

∈x X A

67 Definição 8: Seja , , , ,… …1 2 nx x x uma seqüência de elementos

de um espaço métrico . Diz-se que esta seqüência converge para um

elemento x, quando toda vizinhança ( )εV x do elemento x , contém nx ,

a partir de algum elemento, isto é, quando a cada número 0ε> corresponde um número εN tal que contenha todos os elementos

nx para >n N . Ao elemento , denomina-se de limite da seqüência

{ }nx .

Uma outra maneira de se definir convergência é: lim ( ) 0ρ→∞

nx,x .

Desta definição concluímos que:

• Nenhuma seqüência pode ter dois limites distintos; e

( )Vε x

68 • Se a seqüência converge ao elemento , toda seqüência parcial contido nela, também converge para o mesmo elemento .

Teorema 2: Para que o elemento seja um ponto de aderência

ao conjunto é necessário e suficiente que exista uma seqüência { }nx

de elementos de que convirja para .

Definição 9: Sejam e Bdois conjuntos de um espaço métrico

. O conjunto é dito denso em B , quando [ ]⊃A B . Em particular,

é sempre denso, no espaço métrico , quando a aderência [ ]A

coincide todo o espaço .

∈x X

69 Exemplo: O conjunto dos números racionais é sempre denso na reta numérica.

70 Definição 10: Um conjunto ( , espaço métrico) é dito

conjunto fechado quando coincide com a sua aderência: [ ]=A A , isto

é, se ele contém todos os seus pontos de acumulação.

Exemplos: Uma bola fechada representa um conjunto fechado. Em particular, o

conjunto das funções f do espaço [ ],C a b que satisfaçam a condição

( ) ≤f t k , é fechado;

Em qualquer que seja o espaço métrico o conjunto vazio, ∅, e todo o espaço, , são fechados.

⊂A X X

71 Proposição 1: Sejam ,X Y espaços métricos. Para que uma

aplicação seja contínua, é necessário e suficiente que a sua

imagem inversa ( )1−f A de todo subconjunto fechado ⊂A Y seja um

subconjunto fechado de .

Teorema 3: A união de um número finito e a interseção de um número qualquer (finito ou infinito) de conjuntos fechados é fechada.

:f →X Y

72 Ponto Interior

Definição 11: Um ponto é dito ponto interior do conjunto , quando existe uma vizinhança deste ponto que pertence

integralmente a . Um conjunto no qual todos os pontos são interiores se denomina conjunto aberto.

Exemplos: O espaço inteiro e o conjunto vazio são abertos; Uma bola aberta em qualquer espaço métrico X é um conjunto

aberto. Um ponto é um conjunto aberto em X se, e somente se, é um ponto isolado, pois só sendo o próprio x uma bola é que pode conter uma bola. Um espaço métrico é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos são abertos.

∈x X A

( )Vε x

( ),B r0x

∈x X

Teorema 4: Para que o conjunto ⊂A X seja um conjunto aberto é necessário e suficiente que seu complemento \ AX ao espaço seja fechado.

Demonstração: Se é aberto, então em cada ponto de existe uma vizinhança que pertence integralmente a , isto é, não tem nenhum ponto em comum com . Por conseguinte, nenhum ponto de pode ser um ponto de aderência de , isto é, é fechado. Ao contrário, se é fechado, qualquer ponto de x de A possui uma vizinhança que pertence integralmente a , isto é, é

aberto. Está demonstrado o teorema.

A \ AX

\ AX \ AX

( )Vε x A A

74 Teorema 5: A união de um número qualquer (finito ou infinito) de conjuntos e a interseção de um número finito de conjuntos abertos são abertas. (Demonstrar como exercício).

Proposição 2: Sejam e Y espaços métricos. Para que uma aplicação seja contínua, é necessário e suficiente que a sua imagem inversa de todo subconjunto aberto ⊂A Y seja um

subconjunto aberto de .

OBS.: Fechado não é contrário de aberto. Quando um conjunto não é aberto, não se pode concluir que ele seja fechado, ou vice versa. Por exemplo, o conjunto Q dos números racionais não é nem fechado nem aberto nos reais ℝ . Há casos de conjuntos que são abertos e fechados ao mesmo tempo, como o conjunto vazio e o espaço inteiro.

:f →X Y

( )1f − A

75 Definição 12: Seja uma seqüência de elementos

{ } { }1 2, ,= …kx x x de elementos de um espaço euclidiano . Dizemos

que { }kx converge para o elemento se, e somente se,

lim 0→∞

− =kk

Outra maneira de definir convergência no espaço euclidiano é

semelhante à definição 8. Assim, afirma-se que { }kx converge para x

se, e somente se, para cada número real 0ε> pode-se encontrar um

inteiro ( )εN tal que:

( ),ε ε− ≤ ∀ >k k Nx x

∈x X

76 Lema 1: Se { }lim→∞

x x e { }lim→∞

x y então =x y .

Definição 13: Diz-se que uma seqüência de funções : → ℝnf X

converge ponto a ponto para uma função : → ℝf X , quando para

cada a seqüência de números:

( ) ( ) ( ){ }1 2, , , ,… …nf f fx x x

converge para o número ( )nf x . Ou seja, ∀ ∈x X fixado, tem-se

( ) ( )lim→∞

f fx x

∈x X

77 Definição 14: Diz-se que uma seqüência de funções : → ℝnf X

converge uniformemente para uma função : → ℝf X , quando a

assertiva abaixo é verdadeira:

( ) ( )0 00 dado, | ,ε ε∀ > ∃ ∈ ∀ > ∃ − < ∀ ∈ℕ nn n n f fx x x X (2.5.6)

Definição 15: Diz-se que uma seqüência de funções pertencente a : → ℝnf X é normalmente

convergente quando existe uma seqüência de constantes 0≥na tais

que ∀ na converge e ( ) ≤n nf ax para ( ) ( )∀ ∈ ∧ ∀ ∈ℕn x X .

( ) ( ) ( ){ }1 2, , , ,nf f fx x x… …

78 Definição 16: Indica-se por ( ),ℝB X o conjunto de funções

limitadas : → ℝf X . Se ( ), ,∈ ℝf g B X e são arbitrárias, então:

( ) ( ) ( ), supρ ∈= −f g f x gx xX (2.5.7)

Esta métrica é chamada de métrica da convergência uniforme.

79 Espaços Métricos Completos

Uma seqüência de pontos de um espaço métrico se chamará

seqüência fundamental, quando verifica o critério de Cauchy, isto é, quando para qualquer 0ε> existe um número tal que

( ),ρ ε<m nx x para qualquer ( )ε>n N e ( )ε>m N . Toda subseqüência

de uma seqüência de Cauchy também é de Cauchy.

Definição 1: Um espaço métrico é dito espaço métrico

completo quando toda seqüência fundamental de converge, isto é,

para cada 0ε> dado, existe ( )ε ∈ℕN tal que implica que

( ),ρ ε+ <n n px x qualquer que seja ∈ℕp .

{ }kx X

( )N ε

( )n N ε>

80 Definição 2: Uma seqüência de funções chama-se uma

seqüência de Cauchy (ou fundamental) quando 0ε∀ > , dado arbitrariamente, for possível obter 0 ∈ℕn tal que

( ) ( )0, ,ε> ⇒ − < ∀ ∈m nm n n f fx x x X .

Critério de Cauchy para convergência uniforme

Teorema 1: (Critério de Cauchy para convergência uniforme). Uma seqüência de funções : → ℝnf X é dita uniformemente convergente

se, e somente se, é uma seqüência de Cauchy.

:nf → RX

81 Corolário: Se as funções [ ]: → ℝnf X são contínuas e { }nf

converge uniformemente em , então a seqüência { }nf converge

uniformemente em [ ]X .

A soma =∑ nf f de uma série é um caso particular de um limite de

uma seqüência

1 2lim→∞

= ∴ = + + +⋯n n nn

f s s f f f

Por definição, a série ∑ nf converge uniformemente num conjunto

se, e somente se, a seqüência de suas reduzidas ns também convergir

uniformemente para f em . Assim, dizer que ∑ nf converge

82 uniformemente para f em , significa que , existe tal que o

resto ( )nR x , definido por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2= + + + +⋯ n nf f f f Rx x x x x

cumpre a condição:

( ) ( ) ( )0,ε< ∀ > ∧ ∀ ∈nR n nx x X

Lema 1: Toda aplicação uniformemente contínua transforma seqüências de Cauchy em seqüências de Cauchy.

X 0ε∀ >0n ∈ℕ

83 Corolário: Seja : → ℝf X um homomorfismo uniforme. Uma

seqüência de pontos { }∈kx X é de Cauchy se, e somente se, for de

Cauchy em ℝ .

84 Exemplo: Uma aplicação apenas contínua não pode transformar seqüência de Cauchy em seqüência de Cauchy. Por exemplo:

a função contínua : (0,1]→ ℝf , ( ) 1=f x

x que transforma a

seqüência de Cauchy 1 n

na seqüência { }11,2,3,

= …f

xque não é

de Cauchy;

ou a função ( ) ( ) 1: 0,1 , cos

→ = ℝf f x

x que transforma a seqüência

de Cauchy 1

n na seqüência { }1,1, 1,1,− − … que não é de Cauchy.

85 Teorema 2: (Teste de Weierstrass). Se é normalmente

convergente, então ∑ nf e são uniformemente convergentes.

Teorema 3: Se uma seqüência de funções integráveis [ ]: , → ℝnf a b

converge uniformemente para [ ]: , → ℝf a b , então f é integrável e

( ) ( )lim→∞

=∫ ∫b b

f x dx f x dx (2.6.1)

nf∑nf∑

86 Lema 2: Se, para cada n, a série ∑ knk

x for convergente e se,

definido as funções : →ℕnf R por ( )1 2

= + + +⋯kn n n nf k x x x , a série

converge uniformemente em ℝ , então são convergentes e iguais

as somas repetidas:

= ∑ ∑ ∑ ∑k kn n

n k k n

x x (2.6.2)

Exemplos:

1 - O espaço nR . Seja ( ){ }px uma seqüência fundamental de pontos de

nR ; isto significa que existe um ( )ε≥n N tal que:

( ) ( )( )2

, ,ε=

− ≤ ∀ >∑n

p qk k

p q nx x

Aqui ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 2, , ,= …p p p p

nx x x x . Neste caso, para todo 1,2, ,= …k n

obtém-se a desigualdade correspondente à coordenada ( )pkx :

( ) ( )ε− ≤p q

k kx x

sempre que , >p q n; por conseguinte é uma seqüência

fundamental.

0ε∀ >

( ){ }px

88 Sejam ( )lim→∞

pkx x e { } { }1 2, , ,= … nx x x x , então é claro que

( )lim→∞

px x .

2 - O espaço [ ],C a b . Seja ( ){ }n tx uma seqüência fundamental de

[ ],C a b . Isso significa que, para dado, for possível obter tal

( ) ( ) [ ]( ) ( )0, , ,ε− < ∀ ∈ ∧ ∀ >n mt t t a b m n nx x

Como ≤ ≤a t a, se deduz que a seqüência converge

continuamente. Fazendo →∞m na desigualdade acima, obtém-se:

( ) ( ) [ ]( ) ( )0, ,ε− < ∀ ∈ ∧ ∀ >n t t t a b n nx x

e isto significa, precisamente que converge para ( )tx no sentido

da métrica do espaço de .

0ε∀ > 0n ∈ℕ

( ){ }n tx

[ ],C a b

89 3 - O espaço 2l é o espaço métrico cujos pontos são todas as

seqüências de números reais { } { }1 2, , , ,= … …nx x x x que verificam a

condição 2

<∞∑n

x e em que a distância é dada por:

( , ) ( )ρ∞

= −∑k

x y y kk x

90 Teorema 4: Para que um espaço métrico seja completo é necessário e suficiente que qualquer seqüência de bolas fechadas deste espaço encaixadas uma nas outras e cujos raios tendam a zero, tenham uma interseção não vazia.

91 Teorema 5: Seja a um ponto de acumulação de um espaço métrico . Se a seqüência de funções : →nf RX converge uniformemente

para : →f RX e, para cada ∈ℕn existe ( )lim→

=n nx a

F f x , logo:

1 - Existe lim→∞

2 - Têm-se ( )lim→∞

Isto é, l ( )( ) ( )( )lim lim lim lim→∞ → → →∞

=n nn x a x a n

f fx x , desde que existam os dois

limites indicados dentro dos parênteses, sendo o segundo deles uniforme.

92 Corolário: Seja um ponto de acumulação de um espaço métrico

. Se a série ∑ nn

f converge uniformemente para f em e, para

cada existe , então ∑ nF é uma série convergente e

( )lim→∞

=∑ n nn

F f x . Isto é:

( )( ) ( )( )lim lim→∞ →∞

=∑ ∑n nn n

f fx x

desde que seja uniformemente convergente.

Definição 3: Se diz que um conjunto M é nunca denso em R

quando cada bola ⊂B R contém outra bola *B que não tem com nenhum ponto em comum.

n∈ℕ ( )limn nx a

F f x→

93 Teorema 6: (Teorema de Baire) Um espaço métrico completo não pode ser representado como a união de um número numerável de conjuntos nunca densos.

Lema 3: Um subespaço fechado de um espaço métrico completo é completo. Reciprocamente, um subespaço completo de qualquer espaço métrico é fechado.

94 Lema 4: O produto cartesiano ×X Y é completo se, e somente se e Y forem completos.

Corolário: O produto 1 2× × ×⋯ nX X X é completo se, e somente

se 1 2, , ,⋯ nX X X forem completos.

Teorema 7: Todo subconjunto infinito limitado ⊂RX possui um ponto de acumulação.

95 Princípio das Aplicações Contraídas

Definição 1: Seja um espaço métrico . A aplicação f do

espaço nele mesmo ( : →f X X ) se chama aplicação contraída

quando existe um número α tal que, para qualquer dois pontos , ∈1 2x x X , se verifica a desigualdade (condição de contração):

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2, ,ρ ρ≤f fx x x x (2.7.1)

Toda aplicação contraída é contínua.

96 Teorema 1: (Princípio de aplicações contraídas). Toda aplicação contraída definida em um espaço métrico complete , tem um ponto

fixo e só um (isto é, a equação ( )=f x x tem uma única solução).

Considere-se a aplicação de um espaço n-dimensional em si mesmo definido pelo sistema de equações lineares:

; 1,2, ,=

= + ∀ =∑ …n

i ij j ij

y a x b i n

Se é uma aplicação contraída, podemos aplicar o método das aproximações sucessivas para resolver a equação =y Ax .

Sob que condição a aplicação será contraída? A resposta depende de como se escolha a métrica no espaço. Sejam três variantes:

97 Exemplos:

1. O espaço n0R , isto é, ( )

1, max ;ρ

≤ ≤= −i i

i nx yx y

( ) ( )

1 1 11 1

, max max

max max max

≤ ≤ ≤ ≤=

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤= =

≤ ≤=

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= − = − ≤ ′ ′′ ′ ′′≤ ⋅ − ≤ ⋅ − = ′ ′′= ⋅

∑ ∑

i i ij i ii n i n

ij i i ij i ii n i n i n

y y a x x

a x x a x x

da condição de contração (2.7.1) temos:

1; 1,2, ,α=

≤ < ∀ =∑ …n

a i n (2.7.2)

2. O espaço n1R , isto é,

( , )ρ≤ ≤

= −∑ i i

x y x y ; Fazendo operações

semelhantes a que se fez no èxemplo 1 acima, encontramos a seguinte condição de contração:

1; 1,2, ,α=

≤ < ∀ =∑ …n

a j n (2.7.3)

3. O espaço nR , isto é, ( )21=

−∑n

x y . Aplicando a desigualdade de

Cauchy - Buniakovski encontra-se a seguinte condição de contração:

1;α= =

≤ <∑∑n n

a (2.7.4)

b. Por conseguinte, si se verifica pelo menos uma das condições (2.7.2), (2.7.3) ou (2.7.4), existe um ponto e somente um

( )1 2, , ,= … nx x xx tal que:

; 1,2, ,=

= + ∀ =∑ …n

i ij j ij

y a x b i n (2.7.5)

d. além disso, as aproximações sucessivas desta solução têm a forma:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0 0 01 2

1 1 1 11 2

n n n nn

(2.7.6)

f. Donde ( ) ( )10

= +∑n

k ki j i

x a x b e ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01 2, , ,= … nx x xx pode

ser um ponto qualquer de nR .

4. Cada uma das condições (2.7.2), (2.7.3) ou (2.7.4) é suficiente para que a aplicação =y Ax seja contraída. Com relação à condição

101 (2.7.2) pode-se demonstrar também que é necessária para que a aplicação =y Ax seja contraída, no sentido da métrica usada.

5. Nenhuma das condições (2.7.2), (2.7.3) ou (2.7.4) é necessária para que se possa aplicar o método das aproximações sucessivas.

Se 1≤ija n, se cumpre as três condições e é aplicável o método

das aproximações sucessivas e se 1≤ija n, caso em que as

condições (2.7.2), (2.7.3) e (2.7.4) têm soma igual a 1, o método das aproximações sucessivas não é aplicável

102 Abaixo, dar-se-á alguns exemplos de uso do princípio das “aplicações contraídas”:

Exemplos de Aplicações Contraídas

1. Seja a equação diferencial ( ),′ =y f x y com condição inicial

( )=y 0 0x y , sendo a função definida e contínua em um espaço

que contenha o ponto ( ),0 0x y e verifica a condição de contração

em relação a y :

( ) ( )1 2 1 2: , ,ρ α ρ≤ ⋅y f f y y

isto é,

103 ( ) ( )2 2, , α− ≤ −f f1 1x y x y y y

conhecido também por condição de Lipschitz. Demonstrar-se-á

que existe em um segmento − ≤ d0x x uma solução, e somente

uma, ( )ϕ=y x da equação diferencial dada, que verifica a

condição inicial dada (Teorema de Picard):

A equação diferencial junto com a sua condição inicial é equivalente a equação integral

( ) ( )( )0

0 ,ϕ ϕ= +∫x

f t t dtx y

104 Devido a continuidade de temos que ( ), α≤f x y para um

conjunto ⊂ ×A X Y que contenha o ponto ( )0 , 0x y . Seja 0>d de

maneira que se cumpram as condições:

1) ( ), ∈x y A , sempre que , , α≤ ⇒ ≤d d0 0x x y y

2) 1α <d

Seja então o espaço [ ],C 0x x das funções contínuas ϕ definidas no

segmento [ ], 0x x e tais que ( )ϕ α− ≤ d0x y com métrica

( ) ( ) ( )1 2 2, maxρ ϕ ϕ ϕ ϕ= −x

O espaço é completo e fechado.

[ ],C 0x x

105 Seja a aplicação ψ ϕ=L definida por:

( ) ( )( ),ψ ϕ= +∫ f t t dt0

− ≤ d0x x

Esta aplicação transforma o espaço completo em si mesmo

e é contraído nele, pois satisfaz à condição de contração ou

condição de Lipschistz. Em efeito, seja [ ],ϕ∈C 0x x e 0− < dx x .

Nesse caso

[ ],C 0x x

( ) ( )( ),ψ ϕ α− = ≤∫ f t t dt d0

e, por conseguinte [ ]( ) [ ], ,⊂C C0 0x x x xL . Além disso

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , maxψ ψ ϕ ϕ α ϕ ϕ− ≤ − ≤ ⋅ −∫ xf t t f t t dt d

x x x x

Posto que 1α <d , a aplicação L é contraída.

2. Seja a equação integral linear não homogênea de Fredholm de 2ª espécie

( ) ( ) ( ) ( ).λ ϕ= +∫b

f K f dyx x y y x

onde K (chamado de núcleo da equação integral) e ϕ são

funções dadas, f a função incógnita e λ um parâmetro arbitrário

suficientemente pequeno. Sejam ( ),K x y e ( )ϕ x , por hipótese,

contínuas em ( ) ( )≤ ≤ ∧ ≤ ≤a b a bx y , e por conseqüência

( ), α≤K x y . Seja a aplicação =g fL do espaço completo [ ],C a b

em si mesma definida por

( ) ( ) ( ) ( ).λ ϕ= +∫b

g K f dyx x y y x

108 Temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, max maxρ λ α= − ≤ ⋅ − ⋅ −g g g g b a f fx x x x ,

por conseguinte, a aplicação L é contraída se ( )

<−b a

Do princípio das aplicações contraídas, deduz-se que para todo ,

tal que ( )

<−b a

, a equação de Fredholm tem uma única

solução. As aproximações sucessivas

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 2, , , , ,… …nf f f fx x x x desta solução têm a forma:

( ) ( ) ( ) ( )1. ϕ−= +∫b

f K f dyx x x y y x

109 onde ( )0 ,f x é uma função contínua qualquer.

110 Funcionais Lineares. Conceitos Básicos

Definição 1: Uma função numérica f , definida sobre um espaço

linear , se chama funcional. Em outras palavras, um funcional é um mapeamento de um espaço vetorial sobre um campo de escalares.

Um funcional é dito funcional aditivo quando:

( ) ( ) ( )+ = +f f fx y x y

(2.8.1)

e é denominado funcional homogêneo quando:

( ) ( )=f a afx x (2.8.2)

111 para quaisquer x e y pertencentes a e a escalar, pertencente a um

corpo qualquer.

Definição 2: Um funcional f é dito funcional linear quando ele

for aditivo e homogêneo.

Exemplos de funcionais:

1. Seja nR o espaço aritmético n-dimensional, composto por

elementos ( )1 2, , ,= … nx x xx e seja ( )1 2, , ,= … na a aa um elemento

determinado de ℝn . Então ( )1=

f x ax é um funcional linear

em nR .

2. As integrais ( ) ( )= ∫b

I x x t dt

3. As integrais ( ) ( ) ( )= ∫b

F x x t y t dt onde ( )0y t é uma função

definida sobre [ ],a b e ( )x t uma função sobre [ ],a bC .

4. No mesmo espaço [ ],a bC do exemplo anterior, o funcional

00( ) ( )δ =t x x t , isto é, faz igual o valor do funcional

0δt para a função

xao valor da função no ponto fixo 0t : 0 0( ) ( ) ( )δ δ= −∫

x x t t t dt;

entendendo por delta δ a função que é igual a zero em todos os

113 pontos, exceto no ponto 0=t t e que cuja integral é igual a

unidade (função de Dirac). ●

Definição 3: Seja L um espaço linear real e sejam x e y

pertencentes a L . Chama-se segmento fechado em L , denotado por

[ ],x yL , ao conjunto de todos os elementos do tipo +a bx y onde

( ) ( ) ( )0 0 1≥ ∧ ≥ ∧ + =a b a b .

Definição 4: Ao segmento definido à semelhança da definição anterior, porém sem os pontos extremos e , se chama segmento

aberto, e é denotado por .

[ ],x yL

114 Definição 5: Um conjunto ⊂M L se chama conjunto convexo quando junto com dois pontos quaisquer , ∈x y M contém também

todos os pontos do segmento que os une, isto é, [ ], ⊂x y M onde

[ ] ( ){ }, 1 ; 0 1= − + ≤ ≤t t tx y x y .

Definição 6: Denomina-se de núcleo de um conjunto arbitrário

ao conjunto dos elementos x , denotado por ( )I M , tais que para

todo ∈y L , existe um número ( ) 0ε ε= >y , tal que

( ) , ε+ ∈ ∀ <t tx y L .

Teorema 1: Se um conjunto é convexo, seu núcleo ( )I M

também é convexo.

Demonstração:

⊂M L

115 Veja no livro Análise e Métodos Nuuméricos Aplicados a Engnharia, do autor.

Teorema 2: A interseção de qualquer número finito de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Demonstração:

Seja =∩ iM M onde todos os iM são conjuntos convexos. Sejam também

, ∈x y M . Neste caso, o segmento que une x a y pertence a cada e, por

conseguinte, a M . Portanto, M é efetivamente convexo. iM

116 A menor dimensão de um plano contendo um dado conjunto convexo é chamada de dimensão

do conjunto. A clausura de um conjunto convexo, resultante da adição ao conjunto convexo todos os pontos de seu contorno (seus pontos de aderência) produz um conjunto convexo de mesma dimensão, muitas vezes denominado hull

convexo ou fecho covexo (Figura 2.5). O objetivo principal do estudo dos conjuntos convexos é o estudo dos corpos convexos que são conjuntos convexos finitos (limitados) de dimensão n. Assim um fecho

convexo deve ser compreendido como um conjunto H de pontos de

2 A palavra inglesa “hull” significa casco no sentido de “que abarca”, “que contorna”, “que enclausura”. Muitas vezes se traduz

essa expressão por “fecho” face a forma como é conhecida no meio científico.

FIGURA 2.5 FECHO CONVEXO

117 um espaço vetorial real que é o menor conjunto convexo que o contém. Note que H pode ser a união de qualquer conjunto de objetos feito de pontos.

Os corpos convexos são homeomórficos a uma bola fechada.

118 Funcional Convexo Definição 7: Um funcional não negativo f , definido sobre um

espaço linear real L , se chama funcional convexo se:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( )

1 1 , , 0,1

+ ≤ + ∀ ∈

= ∀ ≥ ∈

+ − ≤ + − ∀ ∈ ∧ ∈

∴ = ∀ ≥ ∈

f a af a

f t t tf t f t

f a af a

x y x y x y

(2.8.3)

FIGURA 2.6 FUNCIONAIS CONVEXOS

119 Se o sinal da desigualdade (2.8.3) se inverter, o funcional f é dito

côncavo. Operações de soma ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2+ = +f f x f x f x e

miltiplicação por um número positivo, transformam funcionais convexos em outro funcional convexo.

Definição 8: Um funcional linear , definido sobre um espaço linear L se chama “funcional prolongado” ou “extensão” de um funcional 0f definido em 0 ⊂L L quando satisfaz a relação:

( ) ( )0 0,= ∀ ∈ ⊂f fx x x L L

120 Teorema de Hahn-Banach

Teorema 3: (Hahn-Banach). Seja um funcional convexo finito definido sobre um espaço linear real L e seja 0L um subespaço de L .

Se 0f é um funcional sobre 0L , que satisfaça sobre 0L a condição

( ) ( )0≥f fx x , o funcional pode ser prolongado (estendido) a um

funcional sobre L que satisfaça em L , a mesma condição acima.

121 Corolário: Seja um espaço linear real L e sejam A um conjunto convexo aberto em , e Bum conjunto convexo em , e mais ∩ =∅A B . Então existe um funcional (ou forma linear) 0≠f sobre

e um número real ∈a R tal que

( ) ( ),< ≥f a f aA B

(essas inequações podem ser revezadas trocando f por − f ).

Corolário: Seja um espaço linear real localmente convexo L e sejam A um conjunto convexo aberto em , e K um conjunto convexo

compacto em , e mais ∩ =∅A K . Então existe um funcional (ou forma linear) 0≠f sobre e um número real ∈a R tal que

( ) ( ),< >f a f aA K

122 (essas inequações podem ser revezadas).

Corolário: Seja um espaço linear real localmente convexo L e sejam A um conjunto convexo fechado em , e 0x um ponto em mas

não emA . Então existe um funcional (ou forma linear) contínuo 0≠f

sobre tal que

( ) ( )0 >f x Sup f A ;

Em particular, A é a interseção de todos os meio-espaços fechados em que o contém.

123 Corolário: Seja um espaço linear real (ou complexo) L e sejam A um conjunto convexo fechado de , e 0x um ponto em mas não em

A . Então existe um funcional (ou forma linear) contínuo 0≠f sobre

tal que

( ) ( )0 >f x Sup f A ;

Definição 9: Um funcional linear é dito funcional limitado se

existe uma constante real α tal que ( ) α≤f x x para todo x

pertencente a um espaço linear.

Teorema 4: Um funcional linear é denominado funcional contínuo se e somente se ele for limitado.

Demonstração:

Definição 10: Seja f um funcional definido sobre ⊂ nRX . Então

0 ∈x X é um mínimo local de f se existir um 0ε> tal que

( ) ( ) ( )0 0, ,ε ε≤ ∀ ∈ ∩f f Vx x x x X . Se

( ) ( ) ( )0 0, ,ε ε< ∀ ∈ ∩f f Vx x x x X com 0 ≠x x , então 0x é um mínimo

local forte de f .

Definição 11: Seja f um funcional definido sobre ⊂ nRX . Então

0 ∈x X é um mínimo global de f se existir um 0ε> tal que

( ) ( )0 ,≤ ∀ ∈f fx x x X . Se ( ) ( )

0 ,< ∀ ∈f fx x x X com 0 ≠x x ,

então 0x é um mínimo global forte de f .

125 Examinando agora o comportamento do funcional na vizinhança de um mínimo local 0x . A principal ferramenta para esta análise é a expansão

de f em serie de Taylor em torno de 0x . Para isso, deve-se definir

gradiente de f e matriz Hessiniana num conjunto kC 3 de funcionais.

3 Lembre-se que kC é o conjunto de todos os funcionais que são continuamente diferenciáveis até ordem k e são contínuos

em X .

126 Definição 12: Seja ( )1∈f C X então o gradiente de f em ∈x X

é o vetor definido da seguinte maneira:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = ∂ ∂ ∂ ∂

⋮ ⋮

x xf f

127 Definição 13: Seja ( )2∈f C X então o Hessiano de f em ∈x X é

a matriz simétrica definida da seguinte maneira:

∂ = = ∴ = ∂ ∂n

ij iji ji j

x xH x H

O desenvolvimento em serie de Taylor do funcional f em ∈x X é

convenientemente expressado em termos do gradiente e do Hessiano.

Mas especificamente, se ( )1∈f C X então para qualquer ∈x X se

( ) ( ) ( ) ( )+ = +∇ +Tf f Ox h x x h h (2.8.4)

Ou ainda, se ( )2∈f C X então para qualquer ∈x X se tem:

128 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212+ = +∇ + +Tf f H OTx h x x h h x h h (2.8.5)

Definição 14: Seja ( )1∈f C X . O funcional f é estacionário

em 0 ∈x X (ou de forma equivalente 0 ∈x X é um ponto estacionário

de f ) se ( )∇ =0x 0.

Teorema 5: Seja ( )1∈f C X . Se 0 ∈x X é um mínimo local de f ,

então f é estacionário em 0 ∈x X .

129 A condição de f é estacionária em 0 ∈x X é uma condição necessária,

porem não suficiente para que o ponto 0 ∈x X seja um mínimo local. A

condição de suficiência é dada pelo seguinte teorema:

Teorema 6: Seja ( )2∈f C X e mais f seja estacionário em 0 ∈x X .

Então 0 ∈x X é um mínimo local forte de f se a matriz Hessiana ( )0H x

for positivo-definida.

130 A condição para o caso de máximo local de f é inteiramente análoga

ao que se apresentou acima. Se 0 ∈x X é um máximo local, então 0x

precisa ser um ponto estacionário, e se a matriz Hessiana ( )0H x for

negativo-definida, então 0x é um máximo local forte. Além do mais é

fácil demonstrar que se 0x é um ponto estacionário, então,

Não existe nem mínimo local e nem máximo local se ( )0H x tiver tanto

autovalores positivos e negativos;

Pode ou não existir um mínimo (máximo) local se ( )0H x for positivo

(negativo) e semi-definida.

131 Definição 15: Sejam ( ),∈ ∈ ⊆ nmf C x RX X e ∈ ny R , onde

1=y . A m-ésima derivada direcional de f em x na direção y é dado

( )( ) ( )

x yx y (2.8.6)

A derivada direcional pode ser calculada através do uso da “regra da cadeia” da diferenciação. Assim, por exemplo, se

( )1 ,∈ ∈ ⊆ nf C x RX X , se tem:

( )( ) ( )

( ) ( )

τ ττ =

= + + =

∂= =∇

∂∑

n ii i

dff x y x y

fx x y

x y (2.8.7)

Se, por outro lado se tiver ( )2 ,∈ ∈ ⊆ nf C x RX X , se tem:

( )( ) ( )2 ; = Tf x y y H x y (2.8.8)

Dessa definição, da definição 14 e dos teoremas 7 e 8, podem-se enunciar os seguintes teoremas:

133 Teorema 7: Seja ( )1 ,∈ ∈ ⊆ nf C xX X R . Se 0 ∈x X for um mínimo

local de f , então ( )( )1 ; 0=f 0x y em todas as direções y .

Teorema 8: Seja ( )2 ,∈ ∈ ⊆ nf C xX X R e seja 0 ∈x X um ponto

onde ( )( )1 ; 0=f 0x y em todas as direções y ; então 0 ∈x X é um

mínimo local forte de f se ( )( )2

0; 0>f x y em todas as direções y .

134 Espaços Lineares Normados. Espaços de Banach.

Definição 1: Uma norma em um espaço linear ou vetorial X é um funcional convexo finito definido sobre X , que satisfaz as seguintes condições (além das de convexidade):

1 - 0;≥ ∀ ∈x x X ; (2.9.1)

2 - . , ,λ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈ℝx x x X ; (2.9.2)

3 - ;≤ + ∀ ∈x + y x y x,y X ; (2.9.3)

4 - 0= ⇔ ≡ ∈x x 0 X . (2.9.4)

135 Espaço Normado

Definição 2: Um espaço linear no qual se tenha introduzido uma norma se chama espaço normado.

Todo espaço normado se transforma em espaço métrico se para

quaisquer elementos , ∈x y X se toma ( ),ρ = −x y x y , isto é, a

métrica do espaço será igual a sua norma.

Logo, nos espaços normados subsistem todos os conceitos e resultados relativos aos espaços métricos.

Espaço de Banach

Definição 3: Todo espaço normado e completo chama-se espaço de

Banach.

136 Exemplos de espaços normados:

1 - A reta numérica 1R se converte em um espaço normado, si se

toma =x x para todo ∈ 1x R .

2 - Se no espaço real nR de n dimensões com elementos fizermos

= ∑n

( )1 2, , , nx x x=x …

137 ou ainda se introduzimos nele a norma:

xx , ou ainda a

norma 0 1

max≤ ≤

= kk n

x x . (Demonstre que o espaço com estas

métricas cumpre os axiomas de norma).

3 - O espaço [ ],C a b de funções contínuas sobre o segmento [ ],a b

com norma definida por ( )1max≤ ≤

= kk n

f f t .

138 Definição 5: Duas normas x e *

x em um espaço linear normado

se chamam normas equivalentes, se existem constantes 0α> e 0β>

tais que, para qualquer ∈x X se verifica a desigualdade:

α β≤ ≤x x x

Teorema 1: Em um espaço linear normado de dimensão finita todas as normas são equivalentes.

Variedade Linear

Definição 6: O conjunto A não fechado de elementos que contém junto com os elementos , ∈x y A todos os elementos

provenientes da combinação linear α β+x y , é denominado de

variedade linear.

139 Definição 7: Dados os espaços vetoriais normados e Y ,

indica-se por ( );L X Y o conjunto de todas as aplicações lineares

contínuas .

( );L X Y é um espaço linear (vetorial), com norma

( ){ }sup ; , 1= ∈ =f f x x xX . Para toda ( );∈f L X Y e todo

vale ( ) ≤ ⋅f fx x .

Lema 1: Se o espaço normado é completo, então o espaço vetorial normado é completo.

:f →X Y

∈x X

( );L X Y

140 Definição 8: Define-se uma função , com e espaços de Banach, como funções quadrado-integráveis, quando existem as integrais:

∫∫

e, além disso, sua norma é definida por:

( )2− = −∫f g f g dx

onde f e g são quadrado-integráveis.

:f →X Y X Y

141 Espaço L2

Definição 9: O espaço de todas as funções quadrado-integráveis é um espaço linear completo normalmente denotado por 2L (chamado

também de espaço de Lebesgue), e por ser normado também é um espaço de Banach.

São propriedades de 2L :

i. O produto de duas funções quadrado-integráveis de 2L é uma

função integrável pertencente a 2L , uma vez que 2 21

2. ≤ + f g f g ;

ii. A soma de duas funções quadrado-integráveis de 2L é uma função

integrável de 2L , uma vez que ( )2 2 22 .+ ≤ + +f g f f g g e mais,

142 pela propriedade 1 acima, todas as parcelas do lado direito da desigualdade são integráveis;

iii. Se 2∈f L e para qualquer α∈ℝ , então 2α ∈f L .

Teorema 2: (Hahn - Banach para espaços normados). Seja 0f um

funcional linear limitado definido sobre um espaço normado ⊂L X . Este funcional pode ser prolongado para um funcional linear f ,

definido sobre todo X , sem aumentar a norma, isto é, de maneira que:

0 =f fXL

143 Proposição: Para cada espaço normado X existe um número suficientemente grande de funcionais lineares contínuos.

Teorema 3: Se { }nf é uma seqüência debilmente convergente de

funcionais lineares sobre um espaço de Banach B , existe um número constante K tal que,

, 1,2,≤ ∀ = …nf K n

Em outras palavras, toda seqüência debilmente convergente de

elementos de um espaço dual de Banach, é limitada com relação à sua norma.

144 Espaços Euclidianos

Definição 1: Se denomina produto escalar em um espaço linear

real R a uma função real, denotada por ( ),x y ou por ,x y , definida

para cada par de elementos , ∈x y R , que satisfaz as seguintes

condições:

( ) ( )=x,y y,x (comutatividade) (2.10.1)

( ) ( ) ( ); , ,= + ∀ ∈x,y + z x,y x,z x y z R (distributividade) (2.10.2)

( ) ( ), , ; ,λ λ λ= ∀ ∈ ∧ ∈ℝx y x y x y R (associatividade a escalar) (2.10.3)

( ) 0≥x,x (positividade) (2.10.4)

( ) 0= ⇔ ≡x,x x 0. (2.10.5)

145 Espaço Euclidiano

Definição 2: Um espaço linear R com produto escalar definido nele é chamado de espaço euclidiano.

Num espaço euclidiano se introduz uma norma mediante a fórmula:

( ),ρ=x x x (2.10.6)

( )2,=x x x (2.10.7)

146 Desta, pode-se deduzir, a partir da desigualdade triangular, a desigualdade de Cauchy - Buniakovski (demonstrar como exercício):

( ), .≤x y x y (2.10.8)

A existência de produto escalar, ( ) ( )=x,y y,x , em um espaço

euclidiano R permite definir nele não só a norma de um vetor representando seu comprimento, como também o ângulo entre dois elementos quaisquer, que é dado por:

( ) ( ),cos ϕ =

⋅x y

147 Se ( ), 0

πϕ= → =x y , os vetores ,x y são chamados vetores

ortogonais.

Lema: Se ,x y são elementos quaisquer de um espaço euclidiano R ,

então é verdadeira a expressão:

+ ≤ +x y x y

148 Definição 3: Um conjunto de vetores { }∈kx R , diferentes de

zero, chama-se de sistema ortogonal quando para quaisquer dois elementos deste conjunto, cumpre-se a igualdade:

( ), 0,= ∀ ≠i j i jx x (2.10.9)

isto é, quando o conjunto é linearmente independente.

Teorema 1: Dois elementos quaisquer num espaço euclidiano R são ortogonais, se, e somente se:

+ = +x y x y

149 Definição 4: Um sistema ortogonal { }∈kx R completo (isto é,

tal que o menor subespaço fechado que o contém é todo R ) se chama base ortogonal. Se, além disso, a norma de cada elemento é igual à unidade, o sistema é dito sistema ortonormal:

( ) 0,,

∀ ≠= = ∀ =i j ij

i jx x (2.10.10)

onde δij é denominado de delta de Kronecker.

150 Definição 5: Diz-se que as funções 1 2, , , ,ϕ ϕ ϕ… …n são

ortonormais em um intervalo [ ],a b se:

( ),ϕ ϕ ϕϕ δ= =∫b

i j i j ij

dx (2.10.11)

151 Exemplos:

1. O espaço de coordenadas nR de n dimensões, cujos elementos

são os sistemas de números reais ( )1 2, , ,= … nx x xx com as

operações habituais de adição e multiplicação e com produto

interno definido por: ( )1

x yx y .

2. O espaço 2L com os elementos ( )1 2, , , ,= … …nx x xx donde

<∞∑ ii

x e com produto escalar definido por ( )1

=∑ i ii

x yx y .

3. O espaço [ ]2 ,C a b composto por funções contínuas reais sobre o

segmento [ ],a b com produto escalar definido por:

( ) ( ) ( ), = ∫b

f g f t g t dt

Neste espaço, entre diferentes bases ortogonais que se pode achar, o sistema trigonométrico é de fundamental importância. Esse sistema é composto pelas funções:

; cos ; sin ; 1,2, , ,2

π π ∀ = − −… …

n t n tn n

b a b a

(prove a ortogonalidade do sistema formado pelas equações acima).

Teorema 2: (Sobre a Ortogonalização). Seja { } { }1 2, , , ,= … …nf f f f um

sistema linearmente independente de elementos em um espaço

153 euclidiano R, no qual existe um sistema de elementos

{ } { }1 2, , , ,= … …nφ φ φ φ que satisfaz as seguintes condições:

• o sistema { }φ é ortogonal e normal;

• todo elemento nφ é uma combinação linear dos elementos de { }f :

1 1 2 2α α α= + + +…n n n nn nφ f f f ;

• todo elemento nf se representa na forma: 1 1 2 2β β β= + + +…n n n nn nf φ φ φ

Então todo elemento de { }φ é determinado pelas condições 1., 2., e 3.

acima de maneira unívoca, a menos de um fator < 1.

Proposição 1: Introduzindo em um espaço euclidiano R uma base

ortonormal { } { }, , ,= …1 2 ne e e e , todo vetor ∈x R pode ser

representado na forma:

154 ( )

, ,α α=

= ∴ =∑n

k k k kk

xx x e (2.10.12)

Seja o desenvolvimento da representação de qualquer no caso de um espaço euclidiano infinito.

Assim, seja um sistema ortonormal em um espaço

euclidiano R e seja f um elemento arbitrário de R . Colocando-se em correspondência a todo elemento ∈f R a seqüência de números

( ), , 1,2, ,β = ∀ = …k k k nf φ que se denominam coeficientes de Fourier

do elemento f segundo o sistema { }φ e a série β∑ k kφ que se

denomina série de Fourier do elemento segundo o sistema

ortonormal { }φ .

∈x R

{ } { }1 2, , , ,n=φ φ φ φ… …

155 Surge, evidentemente, perguntas como: a série de Fourier converge? e se converge, coincide sua soma com o elemento inicial ?

Seja então o seguinte problema, para que se possa responder a estas perguntas: para um dado número n, é possível escolher os coeficientes

βk , ( )1, 2, ,= …k n de maneira que a distância entre e a soma

β=∑n k kS φ seja mínima.

Como { }φ é ortonormal, temos:

( )( ) ( ) ( )

, 2 , ,

β β β

α β α

− = − − =

= − + =

= − + −

∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

n k k k k

k k k k k k

f S f φ f φ

f f f φ φ φ

É claro que a expressão acima alcança seu mínimo quando o último termo for igual à zero, isto é, , 1,2, ,α β= ∀ = …k k k n. Neste caso

− = −∑n

157 Assim, demonstramos que para um n dado, entre todas as somas do

tipo 1

n k kk

S φ , a de menor desvio de f é a soma parcial da série de

Fourier do elemento f . Posto que sempre

− ≥ ⇒ − ≥

→ ≥

∑∑

ou de outra forma: 22α ≤∑ k f . Aqui n é arbitrário e o membro da

direita independe de n, logo a serie 2α∑ kk

converge quando →∞k ,

isto é,

≤∑ kk

f (2.10.13)

A desigualdade acima se chama de desigualdade de Bessel, e dela tira-se a seguinte definição:

Definição 6: Um sistema ortonormal { }φ se chama sistema

ortonormal fechado quando para qualquer ∈f R , se cumpre a igualdade de Parseval:

=∑ kk

f (2.10.14)

159 Teorema 3: Para que um espaço normado R seja euclidiano é necessário e suficiente que para quaisquer dois elementos , ∈f g R a

igualdade a seguir se cumpra:

( )2 2 2 22+ + − = +f g f g f g (2.10.15)

160 Teorema 4: (Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt): Seja um conjunto (finito ou infinito) de elementos

linearmente independentes num espaço euclidiano R . Então existe um conjunto ortogonal , , , ,… …1 2 ne e e em R tal que, para cada inteiro n,

( ) ( )=k kspan spane x , isto é, o espaço gerado por é igual ao

espaço gerado por 1 2, , , ,… …nx x x . Além disso, os elementos ke podem

ser escolhidos de acordo com a regra:

( )( )

1 1 1 1

1, , 1,2, ,.

= − − −

∴ = ∀ =

n n n n

e x e e

(2.10.16)

( )1 2, , , ,nx x x=x … …

, , , ,1 2 ne e e… …

161 Teorema 5: Seja ⊂RX um subespaço de dimensão finita de um espaço euclidiano de dimensão finita. Seja r um elemento de R . Então r pode ser decomposto exatamente de um modo assim: = +r x d onde x é um elemento de X e d um elemento de R tal que

( ), 0=id e para qualquer base , , ,…1 2 ne e e do subespaço .

162 Espaço de Hilbert

Definição 7: Um espaço métrico infinito com um produto interno definido sobre ele e completo com relação a uma norma definida pelo produto escalar, é chamado de Espaço de Hilbert.

Definição 8: Se H é um espaço de Hilbert e ⊂S H é um subconjunto linear que é fechado sobre H (Lembramos que ⊂S H

ser linear implica que ( ), ,α α∈ ∈ ⇒ + ∈u v R u vS S ) Então S é

chamado de subespaço de Hilbert.

163 Teorema 6: (Teorema de Riesz - Fischer). Seja, , um espaço de

Hilbert (um espaço euclidiano completo e de dimensão infinita). Seja a seqüência de números reais: 1 2, , ∈…c c R , Seja , ,…1 2e e uma seqüência

infinita ortonormal arbitrária de . Se existe

lim→∞

então existe um elemento ∈v H tal que

( )2 2

lim→∞

v (2.10.17)

Demonstração:

Espaço de Hilbert Separável

Definição 9: Um espaço de Hilbert que tem um conjunto ortonormal completo é dito Espaço de Hilbert Separável.

Seja { } { }1 2, , , ,= … …nφ φ φ φ um conjunto ortonormal completo em um

dado espaço de Hilbert e seja ∈f H um elemento arbitrário dele.

Então ( ),α =i iφ f é definido pela relação de completude

= <∞∑ ii

onde 1 2, ,α α ∈… ℝ é uma seqüência infinita. Reciprocamente, seja

uma seqüência infinita de número tais que:

1 2, ,α α ∈… ℝ

<∞∑ ii

Então 1

αϕ∞

=∑n i ii

f é uma seqüência de Cauchy, pois

− =∑n m ii

f f tende a zero quando n e m aproximam-se do

infinito. Por conseguinte o espaço de Hilbert é completo, e { }if tem

um limite forte f e ( ),α ϕ=i if .

166 Teorema 7: (Teorema da Projeção). Se h é um elemento de um dado espaço de Hilbert e G é um subespaço de ( ⊂G H), então existe um único elemento ∈g G , chamado de projeção de sobre G , e um

único elemento f ortogonal a todo elemento em , tal que = +h g f ,

com ( ), 0=u f para todos ∈u G .

Teorema 8: Se é um funcional linear contínuo definido sobre um espaço de Hilbert , então existe um único elemento x em tal que

( ) ( ),=f h x h .

167 Definição 10: Uma seqüência de elementos pertencentes a um

espaço de Hilbert é dita ter um limite fraco se ( ) ( )lim , ,→∞

h f h f para

todo Em um espaço de Hilbert separável, este limite é chamado .

de convergência modo componente por causa da existência de uma base ortonormal. Ou seja, sendo um conjunto

ortonormal completo, então ( ) ( )lim , ,→∞

=k i ki

φ f φ f para qualquer k . Isto

demonstra que o k-ésimo componente de if converge para o k-ésimo

componente de f . Então para todo tem-se:

( ) ( ) ( ), , , 0− = − ≤ ⋅ − →i i ih f h f h f f h f f

quando →∞i .

{ }ifH

∈h H

{ } { }1 2, , , ,n=φ φ φ φ… …

∈h H

168 Convergência forte implica em convergência fraca, mas não o inverso. Portanto, seja uma seqüência com um limite forte . Então para

cada tem-se:

( ) ( ) ( ), , , 0− = − ≤ ⋅ − →i i ih f h f h f f h f f

quando i → ∞

Para mostrar que a convergência fraca não implica em convergência

forte, seja a seqüência de elementos ortonormais { }kφ em . Seja h

um elemento arbitrário de . Então pela desigualdade de Bessel tem-se:

≤ <∞∑ kk

h φ h

{ }if f

∈h H

169 Por outro lado,

( ) ( )lim , 0 ,→∞

h φ h 0

o que demonstra que tem um limite fraco em 0. Entretanto, por

hipótese inicial é ortonormal e logo 1,= ∀k kφ , logo a seqüência

não pode ter limite forte em 0.

Teorema 9: As normas de uma seqüência convergente fraca são uniformemente limitadas; isto é, se converge fracamente, então

existe um ∈ℕK tal que ≤n Kf para todo i.

{ }kφ

Teorema 10: Um espaço de Hilbert é fracamente completo,

isto é, quando ( ), 0− →n mh f f para ;→∞ →∞n m , para todo ,

então a seqüência de elementos de H tem um limite fraco.

Definição 11: O conjunto de todos os funcionais lineares contínuos definidos sobre um espaço euclidiano X forma um espaço

linear chamado dual, denotado por *X .

∈h H

171 Lema: Para funcionais lineares contínuos f definidos sobre um

espaço normado qualquer, a norma que induz convergência forte é:

0limξ

Teorema 11: Seja um espaço de Hilbert. Para todo funcional f contínuo em existe um único elemento 0 ∈x H tal que

( ) ( )0, ,= ∈f x x x x H . E mais, resulta que 0=f x . Vice versa, se

a formula acima define um funcional linear contínuo f tal que

0=f x . Disto se conclui que e seu espaço dual são isomorfos.

0 ∈x H

172 Teorema 12: O espaço dual *X de um espaço normado é completo.

173 Operadores Lineares

Definição 1: Sejam e Y dois espaços lineares. Chama-se operador linear aquele que atua de X em Y , a toda aplicação =y Ax , onde e ∈y Y , e que verifica a condição:

( )1 2 1 2α β α β+ = +A x x Ax Ax (2.11.1)

Onde o operador A é a representação matricial de uma aplicação linear.

∈x X

174 Variedade Linear

Definição 2: Ao conjunto DA de todos os para os quais está

definida a aplicação linear ,,,, denomina-se de campo de definição do

operador ; em geral ≡DA X , no entanto, sempre admitir-se-á que

é uma variedade linear.

Definição 3: Um operador linear é dito operador linear

contínuo no ponto 0 ∈DAx quando para qualquer vizinhança εV do

ponto 0 0=y Ax existe uma vizinhança εU do ponto 0x tal que ε∈VAx

sempre que ( )ε∈ ∩D UAx . Assim, o operador é dito contínuo se para

qualquer 0ε> existe um 0δ> tal que da desigualdade 1 2 δ− <x x , se

deduza que 1 2 ε− <Ax Ax .

∈x X

175 Exemplos

Seja um operador linear que transforma um espaço de

dimensão finita nR n-dimensional em outro espaço mR m-

dimensional. Seja ( ), , ,…1 2 ne e e base de nR e ( ), , ,… m1 2f f f

base de mR . Se x é um elemento arbitrário de nR , temos:

=∑ i ixx e e devido à linearidade de , temos:

=∑ i ixAx Ae . Assim estará definido si se conhece como

se transforma os elementos { }ie da base. Seja o

desenvolvimento do vetor iAe segundo a base :

=∑i ij jaAe f . Daí se vê que é definido pela matriz dos

coeficientes ija . Observe que em um espaço finito todo

operador linear é contínuo.

( ), , , m1 2f f f…

176 O operador linear que transforma cada elemento de um espaço linear nele mesmo é o operador unitário: ,= ∀ ∈Ax x x X .

Demonstrar que o operador dado por ( ) ( ) ( ), ϕ= ∫b

t K s t s dsφ

sobre [ ],C a b é contínuo com norma ( )max= tφ φ .

177 Definição 4: Um operador se chama operador limitado ou

acotado se transforma toda bola em um conjunto acotado, isto é, quando existe uma constante α tal que para todo x do espaço

normado em consideração temos α≤Ax x . Ao menor dos números

α∈ℝ que satisfaz a desigualdade dada, se chama de norma do

operador linear , e se denota por A .

Entre limitação e continuidade de um operador linear existe uma relação estreita, e têm lugar as seguintes proposições:

• Todo operador contínuo é limitado;

• Se um operador linear é limitado, e se o espaço onde atua for normado, o operador é contínuo e ele é equivalente à sua limitação;

178 O operador linear é limitado quando existe uma constante K tal

que, para todo ∈f X , tem-se ≤KAf f (definição 4).

Teorema 1: Para qualquer operador limitado que atua de um espaço normado para outro, se tem:

sup≠

(2.11.2)

179 Definição 5: Sejam e B dois operadores lineares que atuam de em , dois espaços normados. A soma A + B deles é outro operador C que põe em correspondência o elemento ao

elemento ( )= + ∈y Ax Bx Y Se os operadores e B forem acotados, .

então vale a seguinte desigualdade: ≤ +C A B .

Definição 6: Se um operador linear atua de em (: →A X Y ), e outro operador atua de em Z ( : →B Y Z ), então

o produto BA dos operadores e , forma um operador que põe

em correspondência o elemento ao elemento ( )= ∈z B Ax Z . Se

, e Z forem normados e e forem acotados, o operador

C = AB também é acotado e, além disso, vale a relação: ≤ ⋅C A B

∈x X

X Y A B

180 Operador positivo definido

Definição 7: Um operador se chama operador positivo

definido, se e somente se existe 0α> tal que:

( ) 2,α≥ ∀ ≠Ax,x x x 0 (2.11.3)

chama-se operador positivo semi-definido se

( ) 0,≥ ∀ ≠Ax,x x 0 (2.11.4)

Definição 8: Um operador de em se chama operador

inversível, quando para qualquer ∈y Y a equação y = Ax tem solução

única.

181 Teorema 2: Um operador -1A , é dito operador inverso do operador linear , e também é linear.

Teorema 3: (Teorema de Banach sobre operadores inversos). Seja um operador linear limitado que efetua uma transformação biunívoca do espaço de Banach 1B sobre o espaço de Banach 2B . Então, o

operador inverso -1A é limitado.

182 Lema: Seja L um conjunto sempre denso de um espaço de Banach B . Então todo elemento de B não nulo ∈f Be 0≠f pode ser desenvolvido em série:

1 2= + + + +⋯ ⋯nf f f f

Donde ∈kf L e 3

2≤k k

Teorema 4: Se é um operador linear, positivo definido e limitado, então o operador linear limitado existe

183 Operador Conjugado

Definição 9: Seja um operador linear contínuo que aplica um espaço sobre outro do mesmo tipo. Seja f uma funcional linear

contínua definida sobre . Então o operador *A , que obedece a

relação ( ) ( ), ,=f f*Ax A x é dito ser um operador conjugado ou

adjunto.

Uma de suas propriedades é que ele se define mediante a matriz transposta da matriz do operador . As seguintes propriedades seguem da definição de operadores conjugados:

1. O operador *A é linear;

2. ( ) = +* * *A + B A B ;

184 3. Se k é um número complexo ( )* =k k *A A ;

Teorema 5: O operador conjugado a um operador linear limitado (acotado) que aplica um espaço de Banach em um outro espaço

de Banach 2B , também é limitado (acotado) e =*A A .

Teorema 6: Se existirem dois operadores e C sobre um espaço de

HilbertH tal que ( ) ( )=Ah,g h,Cg para quaisquer ∈h,g H , então e

C são limitados e *C = A .

185 Definição 10: Um operador linear limitado que atua em um espaço euclidiano R , se chama operador autoconjugado ou

autoadjunto quando =*A A , isto é, quando:

( ) ( )=Ax,y x,Ay (2.11.5)

para todos os ∈x,y R .

Definição 11: Um operador linear definido sobre um espaço de Hilbert é dito completamente contínuo se ela mapeia seqüências fracamente convergentes em seqüências fortemente convergentes;

isto é, se tem um limite fraco f , então { }kAf tem limite forte Af .

186 Definição 12: Seja um operador linear em um espaço n-

dimensional nX . O número λ se chama valor próprio ou autovalor do operador , quando a equação:

λ=Ax x

têm soluções não nulas.

Definição 13: O conjunto de todos os autovalores se denomina espectro do operador .

Teorema 7: Se é um operador completamente contínuo e

autoadjunto, então ou A ou − A é um autovalor.

187 Aplicação Bilinear

Definição 14: Sejam , e espaços vetoriais. A aplicação : × →f X Y Z é uma aplicação bilinear e é caracterizada pelas

condições:

(1). ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1, , ,+ = +f f fx x y x y x y

(2). ( ) ( )1 1 1 1, ,α α=f fx y x y

(3). ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 2, , ,+ = +f f fx y y x y x y

(4). ( ) ( )1 1 1 1, ,α α=f fx y x y

onde 1 2, ∈x x X e 1 2, ∈y y Y e α∈ℝ . Além disso, as afirmações abaixo

são equivalentes:

188 (5). f é contínua;

(6) f é contínua no ponto ( ), ∈ ×0 0 X Y ;

(7) existe 0>c tal que ( ), ≤ ⋅ ⋅f cx y x y para quaisquer ∈x X e

∈y Y ;

(8) f é lipschitziana em cada parte limitada de ×X Y .

189 Definição 15: Uma forma bilinear ( ),• •A sobre um espaço linear

ou vetorial normado é dito ser limitada (ou contínua) se existe uma constante C ,∃ <∞C , tal que

( ) ,≤ ⋅ ⋅ ∀ ∈CA v,w v w v,wH H

e coerciva sobre ⊂V H se 0α∃ > tal que

( ) 2,α≥ ⋅ ∀ ∈ ⊂A v,v v v V

Proposição: Sejam , e espaços vetoriais. Toda aplicação bilinear é contínua.

:f × →X Y Z

190 Teorema 8: Seja um operador auto-adjunto completamente contínuo definido sobre um espaço de Hilbert . Seja = +H G F , onde F é o espaço nulo do operador (x em F implica em 0=Ax ) e G é ortogonal a . Se não é o espaço todo, então G contém autovetores de ,

( )1 2 3 1 2 3, , , | , ,λ δ= = → ≥ ≥ ≥… ⋯i i i i j ijy y y Ay y y y y y y

e os autovetores 1 2 3, , ,…y y y são completos em . Se não é de

dimensão finita, então lim 0λ→∞

191 Teorema 9: Seja um operador auto-adjunto completamente contínuo definido sobre um espaço de Hilbert . Seja o espaço nulo do operador contendo unicamente o vetor zero. Então se 0λ≠ e λ não for igual a um autovalor de , a equação:

λ− =Ax x g

tem uma única solução dada por

1 λ λ

=−∑ i

onde λi são autovalores de correspondentes aos autovetores iy e

( ),=i ig y g . Se for igual a um autovalor λi então não existe solução a

192 menos que g seja ortogonal a todo autovetor correspondente a este

autovalor. Neste último caso, existe uma solução única dada por:

1 λ λ

= +−∑ i

ii i ki k

gx y h

onde hé uma combinação linear arbitrária dos autovetores correspondentes a λk .

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