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Revisao para a terceira provaAula 30

Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo

Sao Carlos SP, Brazil

22 de Maio de 2014

Primeiro Semestre de 2014

Turma 2014106 - Engenharia Mecanica

Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I

O Teorema do Valor Medio e suas Consequencias

O Teorema do Valor Medio e um dos Teoremas mais importantesdo Calculo. A sua demonstracao e feita mostrando primeiramenteo caso particular f (a) = f (b) conhecido como Teorema de Role.

Teorema (do Valor Medio - TVM)

Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e diferenciavelem (a, b). Entao existe c ∈ (a, b) tal que

f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a) ,

ou seja

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Teorema (De Cauchy)

Se f e g sao contınuas em [a, b] e diferenciaveis em (a, b), existec ∈ (a, b) tal que

[f (b)− f (a)]g ′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).

Prova: Considere h(x) = [f (b)− f (a)]g(x) − [g(b)− g(a)]f (x) eaplique o Teorema de Role.

Regras de L’Hospital

As regras de L’Hospital se aplicam a calculos de limites queapresentam as seguintes indeterminacoes

∞∞ .

Teorema (Regra de L’Hospital)

Sejam f e g funcoes differenciaveis em x com g ′(x) 6= 0 em(p − r , p + r)\{p} para algum r > 0. Se

limx→p

f (x) = 0 = limx→p

e limx→p

f ′(x)

g ′(x)= ℓ ∈ R (ou ℓ = ±∞), entao lim

g(x)= ℓ

Prova: Como os valores de f (p) e g(p) nao influem no calculo dolimite, podemos assumir que f (p) = g(p) = 0. Assim, do Teoremade Cauchy, para cada x ∈ (p − r , p + r)\{p} existe c entre x e p(distinto de ambos) tal que

= limx→p

f (x)− f (p)

g(x) − g(p)= lim

f ′(c)

g ′(c)= lim

f ′(x)

g ′(x).

Observacao: A regra de L’Hospital ainda sera valida se, em lugarde x → p , tivermos x → p+ , x → p− , x → +∞ ou x → −∞ .

2a¯Regra de L’Hospital: Sejam f e g funcoes derivaveis em

(p − r , p + r)\{p} , r > 0 , com g ′(x) 6= 0 para 0 < |x − p| < r .Se

limx→p

f (x) = +∞ = limx→p

e o limite limx→p

f ′(x)

g ′(x)existir (ou divergir para ± infinito), entao o

limite limx→p

g(x)tambem existira (ou divergira para ± infinito) e

teremos

limx→p

g(x)= lim

f ′(x)

g ′(x).

Observacao: A 2a¯ regra de L’Hospital ainda sera valida se, emlugar de x → p , tivermos x → p+ , x → p− , x → +∞ oux → −∞ . Esta regra tambem permanecera valida caso tenhamos−∞ em lugar de +∞ em um ou ambos os limites.

Observacao: As Regras de L’Hospital se aplicam a

indeterminacoes da forma0

0e∞∞ . As outras formas de

indeterminacao, 0 ·∞, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞, podem ser reduzidas aestas.

Monotonicidade

Agora vamos obter informacao do comportamento de uma funcaoa partir de suas derivadas (usando o Teorema do Valor Medio).

Corolario (Teste de Monotonicidade)

Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel nointervalo (a, b).

◮ Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera estritamentecrescente em [a, b].

◮ Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entao f sera estritamentedecrescente em [a, b].

E facil ver que, se f for diferenciavel e crescente (resp.decrescente) em (a, b), entao f ′(x) ≥ 0 (resp. f ′(x) ≤ 0), paratodo x ∈ (a, b). A recıproca tambem e verdadeira.

CorolarioSeja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel nointervalo (a, b).

◮ Se f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera crescente em[a, b].

◮ Se f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entao f sera decrescente em[a, b].

Maximos e Mınimos

Definicao

Um ponto crıtico de uma funcao f e um ponto c onde ouf ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe.

Proposicao

Seja I um intervalo aberto e f : I → R uma funcao diferenciavel.Se c ∈ I for um ponto extremo (maximo ou mınimo) de f , entaof ′(c) = 0.

Observacao: Todo ponto extremo de uma funcao diferenciavel emnum intervalo aberto e um ponto crıtico e que nem todo pontocrıtico e um ponto extremo. Logo, se f estiver definida em umintervalo aberto, procuramos os pontos extremos entre os pontoscrıticos.

Observacoes:

◮ Se I nao for um intervalo aberto podemos ter pontos crıticospara os quais a derivada nao e zero.

◮ Um ponto crıtico nao precisa ser um ponto extremo.

◮ x = 0 e um ponto de mınimo para f (x) = |x | (f ′(0) 6 ∃).

O Teorema de Weierstrass afirma que uma funcao contınua em umintervalo fechado tem um valor maximo e um mınimo global, masnao diz como encontrar esses valores extremos.

Notemos que o valor extremo de uma funcao contınua definidanum intervalo fechado ou ocorre num ponto crıtico ou ocorre emum extremo do intervalo.

Para encontrar os valores maximos e mınimos globais de umafuncao contınua f num intervalo fechado [a, b] :

1. Encontre os valores de f nos pontos crıticos de f em (a, b).

2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.

3. O maior valor das etapas 1 e 2 e o valor maximo global e omenor desses valores e o mınimo global.

A proposicao seguinte segue dos corolarios do TVM.

Proposicao (Criterio da derivada primeira)

Seja f uma funcao contınua e c um ponto crıtico de f .

(i) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c , entaof tem um maximo local em c .

(ii) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c , entaof tem um mınimo local em c .

TeoremaSejam f : [a, b] → R derivavel em (a, b) e p ∈ [a, b]. Valem asafirmacoes:

(i) Se f ′(p) = 0 e f ′ for crescente em (a, b), entao p sera pontode mınimo local de f .

(ii) Se f ′(p) = 0 f ′ for decrescente em (a, b), entao p sera pontode maximo local de f .

Proposicao (Criterio da derivada segunda)

Suponhamos que f : [a, b] → R admita derivadas ate segundaordem contınuas em (a, b) e seja p ∈ (a, b). Valem as afirmacoes:

(i) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) > 0, entao p sera ponto de mınimolocal de f .

(ii) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) < 0, entao p sera ponto de maximolocal de f .

Concavidade

Sejam f : (a, b) → R uma funcao diferenciavel e p ∈ (a, b). A retatangente ao grafico de f no ponto (p, f (p)) e o grafico de

Tp(x) = f (p) + f ′(p)(x − p).

Definicao

Seja f derivavel em (a, b) . Diremos que

◮ f tem concavidade para cima em (a, b) se, para quaisquerx , p ∈ (a, b), com x 6= p, tivermos

f (x) > Tp(x).

◮ f tem concavidade para baixo em (a, b) se, para quaisquerx , p ∈ (a, b), com x 6= p, tivermos

f (x) < Tp(x).

O proximo teorema estabelece condicoes suficientes para que umafuncao f tenha concavidade para cima ou para baixo.

Teorema (Criterio para determinar concavidade-I)

Seja f uma funcao derivavel em (a, b). Valem as afirmacoes

(i) Se f ′ for estritamente crescente em (a, b), entao f temconcavidade para cima em (a, b).

(ii) Se f ′ for estritamente decrescente em (a, b), entao f temconcavidade para baixo em (a, b).

Corolario (Criterio para determinar concavidade-II)

Seja f uma funcao derivavel ate segunda ordem em (a, b) . Valemas afirmacoes

(i) Se f ′′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entao f tem concavidadepara cima (a, b).

(ii) Se f ′′(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entao f tem concavidadepara baixo em (a, b) .

Pontos de Inflexao

Definicao

Seja f uma funcao contınua em p ∈ Df . Diremos que p e ponto

de inflexao de f se a concavidade de f muda em p.

Definicao

Se f for uma funcao diferenciavel em p ∈ (a, b) e p for um pontode inflexao de f , diremos que p e um ponto de inflexao

horizontal, se f ′(p) = 0 (ponto crıtico). Caso contrario diremosque p e um ponto de inflexao oblıquo.

CorolarioSe f for duas vezes diferenciavel em (a, b) e p ∈ (a, b) for umponto de inflexao de f , entao f ′′(p) = 0.

TeoremaSeja f tres vezes diferenciavel em (a, b) com derivada terceiracontınua. Se p ∈ (a, b) for tal que f ′′(p) = 0 e f ′′′(p) 6= 0, entao psera um ponto de inflexao de f .

Polinonios de Taylor

O polinomio

Pn(x)= f (p)+f ′(p)(x−p)+f ′′(p)

2(x−p)2+ ...+

f (n)(p)

n!(x−p)n,

e chamado de polinomio de Taylor de ordem n de f (x) ao

redor de p.

O teorema a seguir nos fornece uma formula para o erro.

Teorema (Formula de Taylor com resto de Lagrange)

Suponhamos que a funcao f (x) seja (n + 1) vezes diferenciavel noao redor do ponto p. Entao

Rn(x) =f n+1(x)

(n + 1)!(x − p)n+1

para algum x entre x e p.

Assıntotas Verticais, Horizontais e Oblıquas

Definicao (Assıntota Vertical)

A reta x = p e uma assıntota vertical ao grafico de f se

limx→p

f (x) = +∞ ou limx→p−

f(x) = +∞ ou limx→p+

f(x) = +∞

limx→p

f (x) = −∞ ou limx→p−

f(x) = −∞ ou limx→p+

f(x) = −∞.

Definicao (Assıntota Horizontal)

A reta y = L e uma assıntota horizontal ao grafico de f se

limx→+∞

f (x) = L ou limx→−∞

f (x) = L

Exemplo

A reta y = 1 e assıntota horizontal de f (x) =x2 − 1

x2 + 1.

Definicao (Assıntota Oblıqua)

Seja f uma funcao. Se existir uma reta de equacao y = mx + ntal que

limx→+∞

[f (x)− (mx + n)] = 0

x→−∞[f (x)− (mx + n)] = 0 ,

entao tal reta sera dita uma assıntota para f . Se m = 0, teremosuma assıntota horizontal e, se m 6= 0, teremos uma assıntota

oblıqua.

Procedimento para determinar assıntotas: Primeiro determinem, caso exista, atraves do limite

m = limx→±∞

Em seguida, calcule

n = limx→±∞

[f (x)−mx ].

Se n for finito entao y = mx + n sera assıntota para x → ±∞.

Esboco de Graficos de Funcoes

A lista de informacoes necessarias para fazer um esboco do graficode uma funcao.

1. Explicite o domınio da funcao.2. Calcule os limites laterais de f nos pontos onde f nao e

contınua ou nao estiver definida.3. Calcule os limites de f para x → +∞ e x → −∞.

4. Determine as assıntotas.5. Localize as raızes de f .6. Encontre os pontos crıticos e determine os intervalos de

crescimento e de decrescimento.7. Determine os pontos de maximo e mınimo e calcule os valores

da funcao nestes pontos.8. Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexao.9. Esboce a curva utilizando todas as informacoes anteriores.

Anti-derivadas ou Primitivas

Sabemos que a derivada de uma funcao constante e zero.Entretanto, uma funcao pode ter derivada zero em todos os pontos

de seu domınio e nao ser constante; por exemplo f (x) =x

|x | e tal

que f ′(x) = 0 em todo ponto de seu domınio, mas nao e constante.

No entanto vale o seguinte resultado

CorolarioSe f for contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b) e f ′(x) = 0para todo x ∈ (a, b), entao f sera constante.

CorolarioDuas funcoes f , g : (a, b) → R tais que f ′(x) = g ′(x) para todox ∈ (a, b) diferem por uma constante.

Definicao

Uma primitiva ou anti-derivada de f definida em um intervalo I euma funcao derivavel F definida em I tal que

F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I .

Observacao: Se F for uma primitiva de f , entao F sera contınua,pois F e derivavel. Duas primitivas de uma funcao definida em umintervalo diferem por uma constante.

Segue que as primitivas de f sao da forma F (x) + k , com kconstante. Denotamos por

f (x) dx = F (x) + k , k constante

a famılia de primitivas ou integral indefinida de f .

Das formulas de derivacao ja vistas seguem as seguintes primitivas

c dx = cx + k ; (b)

ex dx = ex + k ;

xα dx =xα+1

α+ 1, α 6= −1; (d)

cos x dx = sen x + k ;

xdx = ln x + k , x > 0; (f )

xdx = ln(−x) + k , x < 0;

sen x dx = − cos x + k ; (h)

sec2 x dx = tg x + k ;

sec x tg x dx = sec x + k ; (j)

1 + x2dx = arctg x + k ;

sec xdx=ln |sec x+tg x |+ k ; (l)

tg x dx = − ln | cos x |+ k ;

1√1−x2

dx=arcsen x+k .

Mudanca de Variavel ou Regra da Substituicao

Sejam f e g tais que Im(g) ⊂ Df . Suponhamos que F seja umaprimitiva de f .

Entao F (g(x)) e uma primitiva de f (g(x))g ′(x), de fato, pelaRegra da Cadeia,

[F (g(x))]′ = F ′(g(x))g ′(x) = f (g(x))g ′(x).

Portanto,∫

f (g(x))g ′(x) dx = F (g(x)) + k ,

onde k e uma constante arbitraria.

Integracao por Partes

Sejam f , g : [a, b] → R diferenciaveis em (a, b). Entao, para cadax ∈ (a, b), vale

[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x),

ou seja,f (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) .

f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x) −∫

f ′(x)g(x) dx . (1)

A integral de Darboux

Vamos dar uma nocao (devido a Darboux) equivalente a nocao deintegral de Riemann que apresenta algumas vantagens na obtencaode criterios de integrabilidade. Seja f : [a, b] → R uma funcaolimitada e

P : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xnP = b,

uma particao de [a, b]. Sejam

Mi = supx∈[xi−1,xi ]

f (x) e mi = infx∈[xi−1,xi ]

f (x), 1 6 i 6 n.

Defina a soma superior Sp (inferior sP) de f relativamente aparticao P por

Mi∆xi

mi∆xi

Seja P uma particao e Q uma particao obitida de P adicionandoum ponto x . E imediato que SQ ≤ SP e que sQ ≥ sP . Maisgeralmente, se P ⊂ Q temos que SQ ≤ SP e que sQ ≥ sP .

Dadas duas particoes P e Q denotamos por P ∪ Q a particaoformada pelos pontos de P e de Q.

Segue que, dadas duas particoes P e Q quaisquer

infx∈[a,b]

f (x)(b − a) ≤ sP ≤ sP∪Q ≤ SP∪Q ≤ SQ ≤ supx∈[a,b]

f (x)(b − a)

Definicao

Se P denota o conjunto de todas as particoes do intervalo [a, b] ef : [a, b] → R e uma funcao limitada a integral superior (inferior)de f e definida por∫ b

f (x)dx = inf {SP : P ∈ P}(

f (x)dx = sup {sP : P ∈ P})

Definicao

Uma funcao limitada f : [a, b] → R e Darboux integravel se, esomente se,

f (x)dx =

f (x)dx

e neste caso o valor comum e denotado por D

f (x)dx

Criterio de Integrabilidade para integrais de Darboux

TeoremaUma funcao limitada f : [a, b] → R e Darboux integravel se, esomente se, dado ǫ > 0 existe particao P ∈ P tal que

SP − sP < ǫ.

Recorde que, se R ,Q ∈ P entao,

SR ≥ SR∪Q ≥∫ b

f (x)dx ≥∫ b

f (x)dx ≥ sR∪Q ≥ sQ .

TeoremaUma funcao limitada f : [a, b] → R e Riemann integravel se, esomente se, e Darboux integravel e em qualquer caso

f (x)dx =

f (x)dx .

Criterio de Integrabilidade

Proposicao

Se f for contınua em [a, b] entao,

◮ f e uniformemente contınua; isto e, dado ǫ > 0 existe δ > 0(que depende somente de ǫ) tal que, se x , y ∈ [a, b] e|x − y | < δ entao, |f (x)− f (y)| < ǫ.

◮ f e Darboux integravel em [a, b].

Definicao

Se existir a integral

f (x) dx , entao definiremos

f (x) dx = −∫ b

f (x) dx .

Propriedades da Integral

Sejam f , g : [a, b] → R funcoes integraveis. Entao

◮ Para todo k ∈ R, a funcao f + kg e integravel e∫ b

(f + kg)(x) dx =

f (x) dx + k

g(x) dx .

◮ Se a ≤ c < d ≤ b, entao f e integravel em [c , d ].

◮ Se f (x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], entao∫ b

af (x) dx ≥ 0. Em

particular, se g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b], entao∫ b

g(x) dx ≤∫ b

f (x) dx .

◮ Se existirem as integrais∫ c

af (x) dx e

cf (x) dx , com

c ∈ [a, b], entao existira a integral∫ b

af (x) dx e

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx .

O Teorema Fundamental do Calculo

Teorema (Teorema Fundamental do Calculo)

Se f : [a, b] → R e contınua entao, a funcao g definida por

g(x) =

f (t) dt, a ≤ x ≤ b

e diferenciavel em [a, b] e g ′(x) = f (x).

Calculo de Integrais Definidas

Do Teorema Fundamental do Calculo, se f : [a, b] → R e contınuaentao

F (x) =

f (t)dt

e uma primitiva de f . Se G e outra primitiva de f , temos queexiste uma constante k ∈ R tal que F (x) = G (x) + k . ComoF (a) = 0 temos que G (a) = −k e

F (x) =

f (t)dt = G (x)− G (a).

Em particular∫ b

f (t)dt = G (b)− G (a).

Calculo de areas

Entao A e o conjunto dos pontos (x , y) ∈ R2 limitado pelas retas

x = a, x = b e pelos graficos das funcoes f e g , onde f (x) ≥ g(x),para todo x ∈ [a, b]. Segue que

area A =

[f (x)− g(x)] dx =

f (x)dx −∫ b

g(x)dx

Deslocamento e Espaco Percorrido

Consideremos uma partıcula que se desloca sobre o eixo x comequacao de posicao x = x(t) e com velocidade v = v(t) contınua

em [a, b]. Sabemos quedx

dt(t) = v(t), ou seja, x(t) e uma

primitiva de v(t). Portanto, pelo Teorema Fundamental doCalculo, temos

v(t) dt = x(b)− x(a) (2)

que e o deslocamento da partıcula entre os instantes a e b.

Para calcular a distancia percorrida durante o intervalo de tempo,teremos que considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 e tambemquando v(t) ≤ 0. Portanto, definimos por

| v(t)| dt (3)

o espaco percorrido pela partıcula entre os instantes a e b .

Observacao: Se v(t) ≥ 0, para todo t ∈ [a, b], entao (2) e (3)implicam que o espaco percorrido pela partıcula e o seudeslocamento coincidem entre os instantes a e b e sao iguais a

v(t) dt

que determina a area do conjunto limitado pelas retas t = a, t = b,pelo eixo 0t e pelo grafico de v = v(t). Veja a figura abaixo.

v = v(t)

Observacao: Seja c ∈ [a, b] e suponha que v(t) ≥ 0 em [0, c] ev(t) ≤ 0 em [c , b] conforme a figura.

v = v(t)v(t)

Entao o deslocamento da partıcula e dado por (2) acima, ou seja,

x(b)− x(a) =

v(t) dt = A1 − A2 ,

mas a distancia percorrida entre os instantes a e b e dada por(3), ou seja,

| v(t)| dt =∫ c

v(t) dt −∫ b

v(t) dt = A1 + A2 .

Logo, neste caso, a distancia percorrida percorrida nao coincidem.

Trabalho

Nesta secao, vamos definir trabalho realizado por uma forca quevaria com a posicao. No caso de uma forca constante F , otrabalho realizado e definido pelo produto da forca pela distancia dque o objeto se move:

τ = Fd , trabalho = forca × distancia.

Vamos considerar agora uma forca F que atua sobre uma partıculaque se desloca sobre o eixo x . Suponhamos que esta forca sejaparalela ao deslocamento e variavel com a funcao de posicao x .Entao escrevemos

~F (x) = f (x)~i ,

onde f (x) e a componente de ~F (x) na direcao do deslocamento(isto e, na direcao de ~i).

Com isto

Definicao

O trabalho τ realizado por uma forca ~F (x) = f (x)~i sobre umapartıcula no deslocamento de x = a ate x = b e dado por

τ = lim∆P→0

f (ci )∆xi =

f (x) dx .

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