sannsynlighet uit

Oppsummering sannsynlighetsregning 1

Sannsynlighetsregning Utfallsrom, enkeltutfall og hendelse Uniform sannsynlighetsmodell Relativ frekvens, sannsynlighet (frekventistisk) Sannsynlighetsmodell, diskret utfallsrom Union, snitt og komplement Disjunkte (gjensidig ekskluderende) hendelser Sannsynlighetslover for hendelser Betinget sannsynlighet Bayes’ regel Uavhengige hendelser Urnemodell: Trekning med ordna eller uordna rekkefølge, med og uten tilbakelegging Kombinatorikk, telleregler Potensregel, ordningsregel, kombinasjonsregel

Oppsummering sannsynlighetsregning 2

Utfallsrom, enkeltutfall og hendelse (definisjon) Utfallsrommet er samlingen av alle mulige forskjellige (distinkte) utfall av et eksperiment. Hvert av disse utfallene skal vi kalle enkeltutfall. Vi benytter symbolet S for utfallsrommet, og symbolene e1,…,en for enkeltutfallene i S. En hendelse er en samling av enkeltutfall og utgjør et delområde av utfallsrommet S. Det er vanlig å benytte de første store bokstavene i alfabetet: A, B, C,… for å betegne hendelser. Vi sier at en hendelse A inntreffer når ett eller flere av enkeltutfallene i A inntreffer.

Oppsummering sannsynlighetsregning 3

Uniform sannsynlighetsmodell (definisjon) Utfallsrom med k like sannsynlige enkeltutfall {e1,…,ek} Hendelse A som består av m av disse k enkeltutfallene. Uniform sannsynligtesmodell:

(2.1) P(A) = m/k

Når et eksperiment innrettes slik at sannsynligheten for hvert enkeltutfall er like stor, kan vi anvende en uniform sannsynlighetsmodell.

Oppsummering sannsynlighetsregning 4Terningkast med rettferdig terning. Eksperiment: Antall øyne i ett tilfeldig kast. Utfallsrom S = { e1, e2, e3, e4, e5, e6 } Enkeltutfall: e1: 1 øye e2: 2 øyne e3: 3 øyne

e4: 4 øyne e5: 5 øyne e6: 6 øyne

P(e1) = P(e2) = … = P(e6) = 1/6

A = «antall øyne er et like tall», dvs. A = { e2, e4, e6 } ⇒ P(A) = P(e2) + P(e4) + P(e6) = 3/6 = 1/2 Siden vi her kan legge en uniform sannsynlighetsmodell til grunn, hadde det vært tilstrekkelig å telle opp det antall enkeltutfall som A består av (her: m = 3), og dele på totalt antall enkeltutfall i utfallsrommet (her: k = 6): P(A) = m/k = 3/6 = 1/2.

Oppsummering sannsynlighetsregning 5

Relativ frekvens, rN(A) (definisjon) Relativ frekvens av en hendelse A i N forsøk («trials»), rN(A), er definert som følger: (2.2)

Antall ganger inntreffer i løpet av forsøk( )Antall forsøk NA Nr A

N=

rN

A = «Sekser»(A)

N = antall kast

1/6,1

,3

,2

00

1200900600300

Oppsummering sannsynlighetsregning 6

Sannsynlighet, P(A) (definisjon) Vi bruker betegnelsen P(A) for å betegne sannsynligheten for en hendelse A, og vi skal benytte følgende definisjon:

( ) lim ( )NNP A r

→∞= A

dvs. P(A) er lik den grenseverdien som relativ frekvens rN(A) går mot når antall eksperimenter N går mot uendelig. Det er her forutsatt at grenseverdien konvergerer mot en fast verdi.

Oppsummering sannsynlighetsregning 7

Sannsynlighetsmodell, diskrete utfallsrom Sannsynlighet er en funksjon, definert for hendelser, som tilfredsstiller følgende betingelser: i) For alle hendelser, A, gjelder at 0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A) = 0 : A kan helt sikkert ikke inntreffe P(A) = 1: A vil helt sikkert inntreffe.

ii) P(A) er summen av sannsynlighetene for

enkeltutfallene som tilhører A: ( )( )

i

ie A

P A P∈

= Σ e

iii) P(S): sum av sannsynlighetene til alle enkeltutfall: ( )( )

i

ie S

P S P∈

= Σ e = 1

Oppsummering sannsynlighetsregning 8

Union, snitt og komplement Hendelsene A, B og C består av enkeltutfallene: A = { e5, e6, e7 } (bare en student liker surstrømming) B = { e1, e2, e3, e5 } (første student liker surstrømming) C = { e7, e8 } (verken 1. eller 2. student liker surstr.)

e1

e2 e3

e4

e5

e6 e7 e8

A

B

C

Venn-diagram

S

Union, snitt og komplement Unionen av 2 hendelser A og B betegnes A∪B og er mengden av alle enkeltutfall som er med i A, eller i B, eller i både A og B. Snittet mellom 2 hendelser A og B betegnes A∩B, eller kortere, AB, og er mengden av alle enkeltutfall som er med i både A og B. Komplementet til en hendelse A betegnes med AC og er mengden av alle enkeltutfall som ikke er med i A.

Oppsummering sannsynlighetsregning 9

AB

AB

AB

Union A∪Β Snitt AΒ Komplement AC Sannsynlighetslover for hendelser P(AC) = 1 − P(A) (komplementærloven) P( A B∪ ) = P(A) + P(B) − P(AB) (addisjonsloven) Som et spesialtilfelle av siste lov ovenfor får vi addisjonsloven for unionen av gjensidig ekskluderende hendelser: P( A B∪ ) = P(A) + P(B) når A og B er gjensidig ekskluderende hendelser (AB = Ø).

Oppsummering sannsynlighetsregning 10

Betinget sannsynlighet Sannsynligheten for en hendelse må ofte modifiseres dersom en får oppgitt informasjon om en annen hendelse. Eks: Tilfeldig telefonnummer i Nord-Norge-katalogen(e). F: Abonnenten er fisker G: Abonnenten bor i Gryllefjord

F

GFG

S Fisker

Gryllefjord

Fisker iGryllefjord

Utfallsrom: N-Norge-abonnenter

Oppsummering sannsynlighetsregning 11

Betinget sannsynlighet Sannsynligheten for en hendelse A under betingelsen at en hendelse B har inntruffet: P(A | B) som leses: «Sannsynligheten for A gitt B» Betingelsen står på høyre side av loddrett strek Hendelse vi skal finne sannsynligheten til, står på venstre side. Viktige regler for betinget sannsynlighet: (1) P(AB) = P(A)⋅P(B | A) = P(A | B) ⋅P(B)

(2) ( ) ( ) ( )( )

||

P B A P AP A B

P B⋅

= (Bayes’ regel)

Oppsummering sannsynlighetsregning 12Uavhengige hendelser Uavhengige hendelser To hendelser A og B er uavhengige hvis og bare hvis P (A | B) = P (A) Dersom P(B) ≠ 0, er betingelsen ovenfor ekvivalent med at P (AB ) = P(A )⋅P(B ) NB! To hendelser, A og B, som er gjensidig ekskluderende (AB = Ø), er aldri uavhengige.

Oppsummering sannsynlighetsregning 13

Gjensidig ekskluderende hendelser og betinget sannsynlighet Anta hendelse B utgjør hele utfallsrommet (P(B) = 1), og at B er inndelt i n gjensidig ekskluderende delhendelser: B1,…,Bn. Dette kalles også en partisjon av S, og medfører at P(B1∪B2∪ … ∪Bn) = P(B1) + … + P(Bn) = 1. Eksempel: n = 3: P(A) = P(A|B1) ⋅ P(B1) + P(A|B2) ⋅ P(B2)

+ P(A|B3) ⋅ P(B3)

AB1

AB2

AB3

A

B1 B2 B3

Eksempel: n = 2: P(A) = P(A|B1) ⋅ P(B1) + P(A|B2) ⋅ P(B2) Her må B2 være lik 1B og vi får:

1 11 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A P A B P B P A B P B= ⋅ + ⋅

Oppsummering sannsynlighetsregning 14Ek se m pe l p å hend elsestre

K ritis kd rift

Nei 0.999

Ja 0.001

Nei 0 .95

Ja 0 .05

Nei 0.90

Ja 0 .10

Nei 0.55

Ja 0.45

Nei 0.55

Ja 0.45

Dødsfall

Ikk edødsfa ll

→

T idsakseUtb låsning ?Eksplosjon? Bra nn? M islykk ets lok king ?

Mis lykk ete vak uer ing?

Oppsummering sannsynlighetsregning 15Kombinatorikk, telleregler Produktregelen Et forsøk utføres i k etapper. I første etappe er det m1 mulige utfall, i andre etapper er det m2 mulige utfall, osv. Totalt antall utfall for hele forsøket er lik m1⋅m2⋅⋅⋅mk. Eks: Hestespill V75, 7 løp, m1 = 12 hester i 1. løp, m2 = 14 hester i 2. løp og 11, 10, 15, 12 og 13 hester i de påfølgende løpene. Antall mulige vinnerrekker blir da: n = 12⋅14⋅11⋅10⋅15⋅12⋅13 = 43243200

Oppsummering sannsynlighetsregning 16

Urnemodell Vi tenker oss en urne som inneholder n «merkete lapper». Ved utvalg på k tilfeldige trekninger fra urna skal vi skille mellom:

• Trekning uten tilbakelegging, der vi aldri kan trekke én og samme lapp mer enn én gang, og trekning med tilbakelegging, der vi kan trekke samme lapp flere ganger.

• Ordnede utvalg, der rekkefølgen av trekningene er vesentlig, og uordnede utvalg, der rekkefølgen er uvesentlig.

Kan her anvende uniform sannsynlighetsmodell La oss belyse urnemodellen ved følgende eksempler:

Oppsummering sannsynlighetsregning 17 • tilfeldig utfylling av tipperekke med 12 kamper (med, ordnet) • antall seksere etter 5 terningkast (med, uordnet) • tilfeldig gjetting på de 3 første lagene i eliteserien i fotball

(uten, ordnet) • tilfeldig utfylling av Lotto-kupong (uten, uordnet) Merk at urnemodellen tilsvarer at vi kan anvende en uniform sannsynlighetsmodell fordi vi antar at ethvert element i urnen trekkes med like stor sannsynlighet.

Oppsummering sannsynlighetsregning 18

Potensregelen Vi trekker k ganger med tilbakelegging fra en urne med n ulike lapper. Vi får dat at nk = totalt antall mulige ordnede utfall. Tippekupong. Tippekupong med 12 kamper. En tilfeldig tipperekke kan for eksempel være {HUHBHUHUBBHH}. Oppgave Hva er sannsynligheten for 12 rette dersom du fyller ut en rekke tilfeldig? Løsningsforslag Her er k = 12 og m = 3 og vi får totalt mk = 312 = 531441 like sannsynlige rekkers. P(12 rette) = 1/(312) = 1,9⋅10−6.

Oppsummering sannsynlighetsregning 19

Ordningsregelen (antall permutasjoner) Antall mulige måter vi kan ordne (stokke) k elementer av totalt n elementer på har betegnelsen Pn,k som kan leses som «antall mulige ordninger (permutasjoner) av k av n elementer». Dette tilsvarer en (uten, ordna) situasjon. Matematisk får vi: Pn,k = n⋅(n-1)⋅(n-2) ⋅ ⋅ ⋅(n-k+1) Resultatliste. 15 syklister deltar i en motorsykkelkonkurranse. På hvor mange måter kan, teoretisk, øverste delen av resultatlista bestående av nr. 1, 2 og 3 se ut? Løsningsforslag Vi innser at n = 15, k = 3 og får P15,3 = 15⋅14⋅13 = 2730 muligheter.

Oppsummering sannsynlighetsregning 20n fakultet: n! Et spesialtilfelle av ordningsregelen får vi når k = n. I dette tilfellet får vi Pn,n = n⋅(n-1) ⋅ ⋅ ⋅3⋅2⋅1 = n! n! er en spesiell skrivemåte for Pn,n og uttales ”n fakultet”. Kø. 6 personer står etter hverandre i kø. I hvor mange forskjellige rekkefølger kan de 6 personene stå? Løsningsforslag Her er n = 6 og vi får 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720 kombinasjoner.

Oppsummering sannsynlighetsregning 21

Kombinasjonsregelen Cn,k = ( som leses: «antall kombinasjoner for k av n elementer». Dette tilsvarer en (uten, uordna) situasjon. Matematisk får vi at

)nk

( ) ( )

( ),

,1 1 !

! 1 2 !n k

n k

n P n n n r nCk k k k

⋅ − − +⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⋅ −⎝ ⎠ !n k

=

Binomialformelen har blant annet følgende egenskaper:

, 1,0 1

n n n n nn

k n k n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Oppsummering sannsynlighetsregning 22

Formler (1) ( ) 1 ( )P A P= − A (2) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −∪ ∩

(3) ( | ) ( )( | )( )

P B A P AP A BP B

⋅= (Bayes formel)

(4) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P AB P A B P B P B A P A= ⋅ = ⋅ (5) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P A P A B P B P A B P B= ⋅ + ⋅ (6) Uavhengige hendelser:

( | ) ( ), ( ) ( ) ( )P A B P A P AB P A P B= = ⋅

n

(7) Pn,k = n⋅(n-1)⋅(n-2) ⋅ ⋅ ⋅(n-k+1) (ordningsregel, uten

tilbakelegging, ordna rekkefølge) (8) (n fakultet) ! 1 2n = ⋅

(9) ( ) ,, !

n n kn k k

PC

k= = (kombinasjonsregel, uten tilbakelegging,

uordna rekkefølge) (10) ( ) ( ) ( ) ( )1 0, 1, 1n n n n

k n k−= = =