separata 4
Post on 06-Mar-2016
242 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 1/14
1
SEPARATA
CARRERA PROFESIONAL:
INGENIERIA CIVIL
Asignatura : Estadística General
Tema : Medidas de Posición
2015
Docente: Jose Rafael Ocupa Ruiz
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 2/14
2
Contenido
MEDIDAS DE POSICIÓN 3
1.1 Cuartiles 3
1.2 Deciles 7
1.3 Percentiles o Centiles 10
Cuestionario y ejercicios propuestos 14
Medidas de Posición
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 3/14
3
En el Capitulo anterior, vimos lo referente a las medidas de tendencia central, las
cuales, a su vez, son también medidas de posición ya que, de todas maneras
ocupan un lugar dentro de la información.
Nos ocuparemos ahora de ciertos parámetros posicionales muy útiles en la
interpretación porcentual de la información que dividen a una distribución defrecuencia en cuatro, diez o cien partes iguales.
1.1 CUARTILES: Qr
Los Cuartiles son estadígrafos de posición que dividen al total de las
observaciones, debidamente ordenados o tabulados, en cuatro partes de igual
tamaño. Esto significa que entre dos cuartiles consecutivos se encuentran no más
del 25% del total de las “n” observaciones.
Gráficamente:
Q1 Q2=Me Q3
0% 25% 50% 75% 100%
O También:
Información
25%
50%
75%
100%
TOTAL 100%
Si se estudia el 25% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 1
Q1 que se interpreta como el límite máximo del 25% de las observaciones
inferiores; o como el límite mínimo del 75% de las observaciones superiores.
Q1
Q2
Q3
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 4/14
4
Si se estudia el 50% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 2
Q2 que se interpreta como límite máximo del 50% de las observaciones inferiores; o
como el límite mínimo del 50% de las observaciones superiores (Q2 = Me).
Si se estudia el 75% de las observaciones se dice que está analizando el Cuartil 3Q3 que se interpreta como límite máximo del 75% de las observaciones inferiores; o
como el límite mínimo del 25% de las observaciones superiores.
7.1.2 FORMAS DE CÁLCULO
a) Para datos no agrupadosEl procedimiento que se emplea para calcular los cuartiles es similar seguido por la
mediana, con la diferencia que en vez de considerar se reemplaza por:
para el Q1
para el Q3
Ejemplo 7.1:
Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa de servicios conventas a crédito, el auditor toma una muestra de 11 facturas no canceladas. Las
suman que se adeudan a la empresa en soles son:
1200
2500
900
1500
2000
1800
1000
1700
1000
800
1900
Calcule e intérprete Q1, Q2, Q3
Solución
Ordenando los datos en forma ascendente
800
900
1000
1000
1200
1500
1700
1800
1900
2000
2500
Ubicando el lugar en donde se encuentra el Q1, Q2, Q3
Para Q1
=
= 3
Para Q2
=
= 6
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 5/14
5
Para Q3
=
= 9
Entonces:
Q1 = 1000 Q2 = 1500 Q3 = 1900
Interpretación:
Q1: El 25% de las facturas tienen una deuda máxima de S/. 1000
Q2: El 50% de las facturas tienen una deuda máxima de S/. 1500
Q3: El 75% de las facturas tienen una deuda máxima de S/. 1900
b) Para datos agrupadosPara calcular los cuartiles cuando la variable esta agrupada en una tabla de
frecuencia se utiliza la formula siguiente:
Cuart i l infer ior Q 1 n = Número total de datos
N j = Frecuencia acumulada superior a
Q1 = Li + Ci(
) N j-1= Frecuencia acumulada anterior o igual a
Li = Limite inferior del intervalo en donde se
encuentra el Q1 Ci = Amplitud del intervalo en donde se encuentra
el Q1
IQ1 = Intervalo Q1, que corresponde a N j
Cuart il su per ior Q 3 n = Número total de datos
N j= Frecuencia acumulada superior a
Q3 = Li + Ci N j-1= Frecuencia acumulada anterior o igual a
Li = Limite inferior del intervalo en donde se
encuentra el Q3
Ci = Amplitud del intervalo en donde se encuentra
el Q3
IQ3 = Intervalo Q3, que corresponde a N j
Ejemplo 1.2:
Calcular e interpretar el Q1 y Q3 de los datos de la tabla Nº08
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 6/14
6
Gasto semanal en dólares
(L i – L s ]
Nº de Tu ris tas
f i = n i
Nº Acum ulad o de
Turistas
F i =N i
400 – 520 2 2
520 – 640 3 5
640 – 760 8 13760 – 880 4 17
880 - 1000 3 20
Total 20 -
Calculo de Q 1
1º) Calcular y determinar los valores de N j y N j-1
Tenemos que n = 20 = 5 N j = 13 y N j-1= 5
2º) Ubicar el intervalo cuartil-uno (IQ1)
Es el intervalo que corresponde a N j = 13, es decir IQ1= (640 – 760)
Por lo tanto Li = 640 y C = 120
3º) Reemplazando los valores en la formula de Q1
Q1 = Li + C( ) Q1 = 640 + 120
Q1 = 640 dólares
Interpretación:
Significa que el 25% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzo gastaron
semanalmente como máximo 640 dólares, y los restantes es decir el 75%, sus
gastos fueron superiores a 640 dólares.
Calculo de Q 3
1º) Calcular y determinar los valores de N j y N j-1
Tenemos que n = 20 = 15 N j = 17 y N j-1= 13
2º) Ubicar el intervalo cuartil-tres (IQ3)Es el intervalo que corresponde a N j = 17, es decir IQ1= (760 – 880)
Por lo tanto Li = 760 y C = 120
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 7/14
7
3º) Reemplazando los valores en la formula de Q1
Q1 = Li + Ci
Q1 = 760 + 120
Q1 = 820 dólares
Interpretación:
Significa que el 75% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzo gastaron
semanalmente como máximo 820 dólares, y los restantes es decir el 25%, sus
gastos fueron superiores a 820 dolares.
1.2 DECILES: Dr Los Deciles son estadígrafos de Posición que dividen al total de las observaciones
en 10 partes iguales, cada uno de ellos incluye el 10% del total de observaciones.
Si se estudia el 10% de las observaciones inferiores, se dice que está
analizando el Decil 1(D1)
Si se estudia el 20% de las observaciones inferiores, se dice que está
analizando el Decil 2 (D2); y así sucesivamente se puede estudiar hasta el 90%
de las observaciones inferiores y se estaría analizando el Decil 9 (D9).
D1 se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones inferiores
o como el límite mínimo del 90% de las observaciones superiores.
D2 se interpreta como el límite máximo del 20% de las observaciones inferiores
o como el límite mínimo del 80% de las observaciones superiores.
D9 se interpreta como el límite máximo del 90% de las observaciones inferiores
o como el límite mínimo del 10% de las observaciones.
En total hay nueves deciles: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9
Gráficamente:
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 8/14
8
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Información
10%
D1
10%
D2
10%
..
.
10%
D9
10%
TOTAL 100%
1.2.1 FORMAS DE CÁLCULO
a) Para datos no agrupadosSe ordenan los datos en forma ascendente o descendente y se localiza la posición
del valor correspondiente
de las observaciones ordenadas.
Si
es exacta; entonces Dr = * +
Si
no es exacta, Dr se obtendrá interpolando linealmente entre los dos
valores correspondientes a las dos observaciones entre las cuales se encuentra la
fracción.
Ejemplo 1.3:
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 9/14
9
Se tiene la serie de datos siguiente:
25 28 19 30 25 35 31 33 28 29 20 36 21 29 18 27
Calcule e interprete el D2, D7
Solución
Ordenando los datos en forma ascendente
18 19 20 21 25 25 27 28 28 29 29 30 31 33 35 36
Ubicando el lugar en donde se encuentra el D1, D5, D7
Para D2
=
= 3.4
Para D7
=
= 11.9
Interpolando:
= D2 = 20.4 D7 = 29.9
b) Para datos agrupados
Para calcular los cuartiles cuando la variable esta agrupada en una tabla defrecuencia se utiliza la formula siguiente:
Dr = Li + Ci(
) Con r = ̅
Ejemplo:
Calcular e interpretar el D6 de los datos de la Tabla N03
Calculo de D 6
1º) Calcular y determinar los valores de N j y N j-1
Tenemos que n = 20
= 12 N j = 13 y N j-1= 5
2º) Ubicar el intervalo Decil-uno (ID6)
Es el intervalo que corresponde a N j = 13, es decir ID6= (640 – 760)Por lo tanto L3 = 640 y C3 = 120
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 10/14
10
3º) Reemplazando los valores en la formula de D6
D6 = L3 + C3( ) D6 = 640 + 120
D6 = 745 dólares
Interpretación:
Significa que el 60% de los turistas que arribaron a la ciudad del Cuzco gastaron
semanalmente como máximo 745 dólares, y los restantes es decir el 40%, sus
gastos fueron superiores a 745 dólares.
1.3 PERCENTILES O CENTILES: Pr
Los Percentiles son estadígrafos de posición que dividen a la totalidad de la
distribución en 100 partes iguales, donde cada uno de ellos incluye el 1% de las
observaciones. Los percentiles se aplican cuando existen numerosos valores de la
variable con una alta frecuencia total.
Si se estudia el 1% de las observaciones inferiores, se dice que se está analizando
el Percentil 1 (P1)
Si se estudia el 2% de las observaciones inferiores, se dice que se está analizandoel Percentil 2 (P2); y así sucesivamente se puede estudiar hasta el 99% de las
observaciones inferiores donde se dice que está analizando el Percentil 99 (P99).
P1 se interpreta como el límite máximo del 1% de las observaciones inferiores o
como el límite mínimo del 99% de las observaciones superiores.
P15 se interpreta como el límite máximo del 15% de las observaciones inferiores; o
como el límite mínimo del 85% de las observaciones superiores.
P99 se interpreta como el límite máximo del 99% de las observaciones inferiores; ocomo el límite mínimo del 1% de las observaciones superiores.
Gráficamente se tiene:
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 11/14
11
Información
1%
P1
1%P2
1%
.
.
.
.
.
1%
P99
1%
TOTAL 100%
Existen 99 percentiles, cuyo cálculo se realiza de igual manera que la mediana,
cuartiles, quintiles o deciles, etc.
La fórmula de cálculo es la siguiente:
Pr = Li + Ci(
)
Se debe cumplir la siguiente relación:
N j-1 ≤ < N j
“j” Determina el intervalo en donde se
encuentra el Pr
Ejemplo 1.4:Calcular e interpretar el P25 para la población del Departamento de Lambayeque
según grupos de edades para el año 2007.
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 12/14
12
TABLA N° 01
POBLACIÓN DEL DEPARTAMENTO DE LAMBAYEQUESEGÚN GRUPOS DE EDAD, 2007
Grupos deEdades
Poblaciónf i = n i
Población
AcumuladaF i = N i
0 – 4 110 026 110 026
5 – 9 107 494 217 520
10 – 14 122 775 340 295
15 – 19 114 907 455 202
20 – 24 99 394 554 596
25 – 29 86 715 641 311
30 – 34 81 145 722 456
35 – 39 74 977 797 433
40 – 44 66 793 864 226
45 – 49 57 748 921 974
50 – 54 49 441 971 415
55 – 59 37 163 1 008 578
60 – 64 30 686 1 039 264
65 – 69 23 243 1 062 507
70 – 74 19 288 1 081 795
75 – 79 14 267 1 096 06280 y más 16 806 1 112 868
TOTAL 1 112 868 ---
Fuente: INEI, Censo de Población y Vivienda 2007
Solución:
P25=
=
=278217
Entonces: N j-1 = N2 = 217520
N j = N3 = 340295
j = 3, el P25 se encuentra en el 3º intervalo
Reemplazando los valores en la formula:
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 13/14
13
Pr = Li + Ci(
) P25 = 10 + 5
P25 = 12.47 años
Interpretación:La cuarta parte de la población del Departamento de Lambayeque es menor que 13
años o también el 25% de la población del Departamento de Lambayeque tiene como
máximo 12.47 años; mientras que el restante es decir el 75% supera los 12.47 años.
CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS
7/21/2019 SEPARATA 4
http://slidepdf.com/reader/full/separata-4-56dc1c5fd9e9a 14/14
14
1. ¿Para qué se utilizan los percentiles?
2. ¿En cuántas partes se divide la información con:
2.1 Los cuartiles
2.2 Los quintiles
2.3 Los deciles
2.4 Los percentiles
3. La siguiente tabla corresponde a las calificaciones de 30 alumnos en el curso de
Muestreo Complejo.
Cali f icaciones Nº de alumno sf i
[05 – 08) 3
[08 – 11) 6
[11 – 14) 12
[14 – 17) 6
[17 – 20) 3
Total 30
Se pide:a) Calcular e interpretar la media, la mediana y la moda
b) Calcular e interpretar Q1, Q2, y Q3
4. Se conoce la siguiente distribución en base a las calificaciones de 50 niños:
Calificaciones f i
[7 ; 9> 4
[9;11> 5
[11;13> 11[13;15> 20
[15;17> 6
[17;19> 4
Encuentre las medidas de tendencia central y D1, D5 y D7
top related