series divergentes en matemática y física

Series divergentes enmatematica y fısica

Pedro Morales-Almazan

Department of MathematicsThe University of Texas at Austin

pmorales@math.utexas.edu

Puebla, Mexico, 5 de marzo de 2014

Pedro Morales-Almazan Math Department

Series Divergentes

“Las series divergentes son la invencion del demonio, y es unaverguenza basar cualquien demonstracion en ellas.”

N. H. Abel

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Series Divergentes

Un numero infinito de . . .

Un numero infinito de matematicos, que entran a un bar. Elprimero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. Eltercero pide un cuarto de cerveza . . .A lo que responde el camarero: ¡¡ idiotas !!Les pone dos cervezasSe retira y piensa: No saben sus lımites.

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Series Divergentes

Zenon

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Series Divergentes

Series convergentes

1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 1

∞∑n=0

(1

2

)n

= 1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 2

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Series Divergentes

Series geometricas

Suma de una serie geometrica∞∑n=0

rn =1

1− r, |r | < 1

∞∑n=0

(1

2

)n

=1

1− 12

= 2

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Series Divergentes

¿Series geometricas?

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =? r = 2

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · =? r = −1

Radio de convergencia

∞∑n=0

rn =1

1− r, para |r | < 1

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Series Divergentes

• Las series divergen (no tienden a un numero)

• Los valores de r estan fuera de la region de convergencia(ilegal)

• ¿ Y ahora, quien podra ayudarnos?

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Series Divergentes

Regularizacion

Tomar otro punto de vista

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Series Divergentes

Ver el significado, no el lımite

El valor de una serie es el valor de la expresion algebraica de lacual proviene.

Valor de una serie divergente

“.. la nueva definicion de la palabra suma coincide con elsignificado usual cuando la serie converge; y puesto que las seriesdivergentes no dan una suma en el sentido propio de la palabra, noexiste ninguna ambiguedad con esta terminologıa.”

Leonhard Euler

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Series Divergentes

¡Series geometricas!

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =∞∑n=0

2n =1

1− 2= −1

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · =∞∑n=0

(−1)n =1

1− (−1)=

1

2

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Series Divergentes

Metodos de regularizacion

• Continuacion analıtica

• Sumas de Cesaro (Promedios de Nørlund )

• Promedios de Abel (Metodo del nucleo de calor)

• Promedios de funciones enteras

• Metodos de momentos

• Sumas de Ramanujan

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Series Divergentes

Energıa del vacıo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = − 1

12

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Series Divergentes

Energıa del vacıo

E ∼ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . .

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Series Divergentes

Energıa del vacıo

Funcion zeta de Riemann

ζ(s) = 1 +1

2s+

1

3s+

1

4s+ . . .

Converge para <s > 1

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Series Divergentes

Energıa del vacıo

Continuacion analıtica de ζ(s)

E ∼ ζ(−1)= − 1

12

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Series Divergentes

Aproximacion semiclasica de sistemas cuanticos

• Aproximar un sistema cuantico por medio de un sistemaclasico

• Considerar correcciones cuanticas

• Γ[φ] = S [φ] + Γ(1)[φ]

Determinante funcional

Γ(1)[φ] ∼ e−ζ′(0)

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Series Divergentes

Aproximacion semiclasica de sistemas cuanticos

e−ζ′(0) = 1 · 2 · 3 · 4 · · · =

√2π

Formula de Stirling

n! ∼√

2π

(nn+1/2

en

)para n→∞

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Series Divergentes

Ecuaciones diferenciales

1− 1 + 2− 6 + 24− 120 + 720− . . .

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Series Divergentes

Ecuaciones diferenciales

x2y ′ + y = x

Metodo de Frobenius

y(x) =

∫ ∞0

e−t/x

1 + tdt

∞∑n=0

(−1)nn! = y(−1) = eE1(1) ∼ 0.596347 . . .

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Series Divergentes

Propabilidad de ser primo

1− 1

2− 1

3+

0

4− 1

5+

1

6− 1

7+ . . .

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Probabilidad de ser primo

Principio de Inclusion-Exclusion

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

p

− 1

2 · 3− 1

3 · 5− · · · − 1

2 · p

+1

2 · 3 · 5+

1

3 · 5 · 7. . .

. . .

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Series Divergentes

Probabilidad de ser primo

Funcion µ de Mobius

µ(n) =

{0 n es divisible por un cuadrado

(−1)k k es el numero de factores primos distintos en n

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Series Divergentes

Probabilidad de ser primo

p∑n=1

µ(n)

n

1

ζ(s)=∞∑n=1

µ(n)

nspara <s > 1.

Densidad de primos

∞∑n=1

µ(n)

n=

1

ζ(1)= 0

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Preguntas

@p3d40

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