sin título de diapositiva - unizar.eses expresar, en términos probabilísticos, la incertidumbre...

ESTIMACIONESTIMACION

P M

ESTIMACIONESTIMACION

INFERENCIA ESTADISTICA

Desde nuestro punto de vista, el objetivoes expresar, en términos probabilísticos,la incertidumbre de una información re-lativa a la población obtenida mediantela información directa de una muestra(conjunto parcial) de la misma.

ESTIMACIONESTIMACION

INFERENCIA ESTADISTICA

La finalidad de la Inferencia Estadística esobtener información de una población através de una muestra

ESTIMACIONESTIMACION

P M

X

ESTIMACIONESTIMACION

INFERENCIA ESTADISTICALos problemas admiten los siguientes planteamiento:

¿ Puede afirmarse que dicho valor coincide con el parámetrode la población ?

¿ Puede decirse que el parámetro poblacional estará en unintervalo de dicho estimador?

ESTIMACION ESTADISTICA

ESTIMACIONESTIMACION

P M

X

µ

ESTIMACIONESTIMACION

P M

),(supinf

LímLim

µ

ESTIMACIONESTIMACION

INFERENCIA ESTADISTICA

¿ la discrepancia entre ambos podemos considerarlacomo debida al azar o es significativa estadísticamente ?

CONTRASTE DE HIPOTESIS

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Esquema General

±Estimador Coeficiente de confiabilidad Error Estándar×

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Coeficiente de confiabilidad (z o t)

Indica entre ± cuantos errores estándar del estimadoresta 1-α del área de la distribución muestral delestadístico.

La probabilidad, de que los valores obtenidos a travésdel estimador por medio de un intervalo contenga elverdadero valor del parámetro que se pretende estimarde la población, es 1-α.

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Coeficiente de confiabilidad (z o t)

La probabilidad de estimar de la población (1-α),se llama también “Coeficiente de Confianza”o “Probabilidad de acertar”.

Los Coeficientes de Confianza más utilizados son:0’90, 0’95 y 0’99

A α “Probabilidad de equivocarse”.

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Coeficiente de confiabilidad (z o t)

La probabilidad de equivocarmos (α) lo dividimosen dos áreas en los extremos.

Valores del coeficiente de confiabilidad si n>30 (z)

Zα/2 = ± 2’58Para 1- α = 99% α = 1%=0’01

Zα/2 = ± 1’96Para 1- α = 95% α = 5%=0’05

Zα/2 = ± 1’64Para 1- α = 90% α = 10%=0’10

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Coeficiente de confiabilidad (z o t)

La probabilidad de equivocarmos (α) lo dividimosen dos áreas en los extremos.

Valores del coeficiente de confiabilidad si n<30 (t)

tα/2;g.l.

Para unamedia n-1

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Error Estándar

nσ

Para una media

VarianzaPoblacionalConocida

VarianzaPoblacionalDesconocida 1n

s−

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANZA BILATERAL

Error Estándar

nq̂p̂

Para una proporción

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Ejemplo)Tenemos una muestra formada por 64 hombres que padecen cáncer de pulmóncuya edad media al comienzo de la enfermedad fue de 50 años. La desviacióntípica de la edad de contraer éste tipo de cáncer en la población es de 4 años.¿Cuál es el intervalo de confianza para la edad media en la aparición del cáncerde pulmón en la población, con un error del 5% ?

n z x 2σ×±

α 644 '961 05 ×± '980 05 ±

(49’02; 50’98)

ESTIMACIONESTIMACIOND IS T R IB U C IO N N O R M A L T IP IF IC A D A

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 .0 0 . 5 0 0 0 0 4 9 6 0 1 4 9 2 0 2 4 8 8 0 3 4 8 4 0 5 4 8 0 0 6 4 7 6 0 8 4 7 2 1 0 4 6 8 1 2 4 6 4 1 40 .1 4 6 0 1 7 4 5 6 2 0 4 5 2 2 4 4 4 8 2 8 4 4 4 3 3 4 4 0 3 8 4 3 6 4 4 4 3 2 5 1 4 2 8 5 8 4 2 4 6 50 .2 4 2 0 7 4 4 1 6 8 3 4 1 2 9 4 4 0 9 0 5 4 0 5 1 7 4 0 1 2 9 3 9 7 4 3 3 9 3 5 8 3 8 9 7 4 3 8 5 9 10 3 3 8 2 0 9 3 7 8 2 8 3 7 4 4 8 3 7 0 7 0 3 6 6 9 3 3 6 3 1 7 3 5 9 4 2 3 5 5 6 9 3 5 1 9 7 3 4 8 2 70 .4 3 4 4 5 8 3 4 0 9 0 3 3 7 2 4 3 3 3 6 0 3 2 9 9 7 3 2 6 3 6 3 2 2 7 6 3 1 9 1 8 3 1 5 6 1 3 1 2 0 7

0 .5 3 0 8 5 4 3 0 5 0 3 3 0 1 5 3 2 9 8 0 6 2 9 4 6 0 2 9 1 1 6 2 8 7 7 4 2 8 4 3 4 2 8 0 9 6 2 7 7 6 00 .6 2 7 4 2 5 2 7 0 9 3 2 6 7 6 3 2 6 4 3 5 2 6 1 0 9 2 5 7 8 5 2 5 4 6 3 2 5 1 4 3 2 4 8 2 5 2 4 5 1 00 .7 2 4 1 9 6 2 3 8 8 5 2 3 5 7 6 2 3 2 7 0 2 2 9 6 5 2 2 6 6 3 2 2 3 6 3 2 2 0 6 5 2 1 7 7 0 2 1 4 7 60 .8 2 1 1 8 6 2 0 8 9 7 2 0 6 1 1 2 0 3 2 7 2 0 0 4 5 1 9 7 6 6 1 9 4 8 9 1 9 2 1 5 1 8 9 4 3 1 8 6 7 30 .9 1 8 4 0 6 1 8 1 4 1 1 7 8 7 9 1 7 6 1 9 1 7 3 6 1 1 7 1 0 6 1 6 8 5 3 1 6 6 0 2 1 6 3 5 4 1 6 1 0 9

1 .0 1 5 8 6 6 1 5 6 2 5 1 5 3 8 6 1 5 1 5 1 1 4 9 1 7 1 4 6 8 6 1 4 4 5 7 1 4 2 3 1 1 4 0 0 7 1 3 7 8 61 .1 1 3 5 6 7 1 3 3 5 0 1 3 1 3 6 1 2 9 2 4 1 2 7 1 4 1 2 5 0 7 1 2 3 0 2 1 2 1 0 0 1 1 9 0 0 1 1 7 0 21 .2 1 1 5 0 7 1 1 3 1 4 1 1 1 2 3 1 0 9 3 5 1 0 7 4 9 1 0 5 6 5 1 0 3 8 3 1 0 2 0 4 1 0 0 2 7 9 8 5 2 51 .3 0 .0 9 6 8 0 0 9 5 0 9 8 9 3 4 1 8 9 1 7 5 9 9 0 1 2 3 8 8 5 0 8 8 6 9 1 5 8 5 3 4 3 8 3 7 9 3 8 2 2 6 41 .4 8 0 7 5 7 7 9 2 7 0 7 7 8 0 4 7 6 3 5 9 7 4 9 3 4 7 3 5 2 9 7 2 1 4 5 7 0 7 8 1 6 9 4 3 7 6 8 1 1 2

1 .5 6 6 8 0 7 6 5 5 2 2 6 4 2 5 5 6 3 0 0 8 6 1 7 8 0 6 0 5 7 1 5 9 3 8 0 5 8 2 0 8 5 7 0 5 3 5 5 9 1 71 .6 5 4 7 9 9 5 3 6 9 9 5 2 6 1 6 5 1 5 5 1 5 0 5 0 3 4 9 4 7 1 4 8 4 5 7 4 7 4 6 0 4 6 4 7 9 4 5 5 1 41 .7 4 4 5 6 5 4 3 6 3 3 4 2 7 1 6 4 1 8 1 5 4 0 9 3 0 4 0 0 5 9 3 9 2 0 4 3 8 3 6 4 3 7 5 3 8 3 6 7 2 71 .8 3 5 9 3 0 3 5 1 4 8 3 4 3 8 0 3 3 6 2 5 3 2 8 8 4 3 2 1 5 7 3 1 4 4 3 3 0 7 4 2 3 0 0 5 4 2 9 3 7 91 '9 2 8 7 1 7 2 8 0 6 7 2 7 4 2 9 2 6 8 0 3 2 6 1 9 0 2 5 5 8 8 2 4 9 9 8 2 4 4 1 9 2 3 8 5 2 2 3 2 9 5

2 .0 2 2 7 5 0 2 2 2 1 6 2 1 6 9 2 2 1 1 7 8 2 0 6 7 5 2 0 1 8 2 1 9 6 9 9 1 9 2 2 6 1 8 7 6 3 1 8 3 0 92 .1 1 7 8 6 4 1 7 4 2 9 1 7 0 0 3 1 6 5 8 6 1 6 1 7 7 1 5 7 7 8 1 5 3 8 6 1 5 0 0 3 1 4 6 2 9 1 4 2 6 22 .2 1 3 9 0 3 1 3 5 5 3 1 3 2 0 9 1 2 8 7 4 1 2 5 4 5 1 2 2 2 4 1 1 9 1 1 1 1 6 0 4 1 1 3 0 4 1 1 0 1 12 .3 1 0 7 2 4 1 0 4 4 4 1 0 1 7 0 9 9 0 3 1 9 6 4 1 9 9 3 8 6 7 9 1 3 7 5 8 8 9 4 0 8 6 5 6 3 8 4 2 4 22 .4 0 .0 2 8 1 9 7 5 7 9 7 6 3 7 7 6 0 3 7 5 4 9 4 7 3 4 3 6 7 1 4 2 8 6 9 4 6 9 6 7 5 5 7 6 5 6 9 1 6 3 8 7 2

1’96

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Ejemplo)

En un experimento diseñado para estimar el número promedio de latidos porminuto del corazón para cierta población, en las condiciones del experimento,se encontró que el número promedio de latidos por minuto para 29 personasera de 90 con una desviación típica de 10. Suponiendo que esos 29 pacientes constituyen una muestra aleatoria y que la población está distribuidanormalmente, determinar los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99%para la media de la población.

Para la media

1nst x gl,2 −

± ×α

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Ejemplo)

Para la media701'1t t 28;05'0gl,2 ==

αα = 0’10

2810 '7011 09 ×± (86’79; 93’21)'213 09 ±

048'2t t 28;025'0gl,2 ==αα = 0’05

2810 '0482 09 ×± (86’13; 93’87)'873 09 ±

763'2t t 28;005'0gl,2 ==αα = 0’01

2810 '7011 09 ×± (84’78; 95’22)'225 09 ±

ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.70727 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.69028 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.67429 1.311 1.698 2.045 2.462 2.756 3.396 3.65930 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.55160 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.70727 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.69028 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.67429 1.311 1.698 2.045 2.462 2.756 3.396 3.65930 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.55160 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.70727 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.69028 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.67429 1.311 1.698 2.045 2.462 2.756 3.396 3.65930 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.55160 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Ejemplo)Deseamos conocer el porcentaje de individuos de una zona geográfica muydesarrollada que viven en condiciones de extrema pobreza, para ello tomamosuna muestra de 1.000 personas y observamos que el 5% de ellos se encuentraen esta situación

nq̂p̂zp̂ 2/α± p̂1q̂ −=

100095'005'096'105'0 ×

± 013'005'0 ±

( 0’037, 0’063 ) (3’7%, 6’3% )

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 24)

Tenemos una muestra formada por 40 mujeres que padecen cáncer de vejiga,la edad media al comienzo de la enfermedad es de 48 años. La desviación típicade la edad de contraer éste tipo de cáncer en la población es de 4 años. ¿Cuáles el intervalo de confianza para la media de edad en la aparición del cáncer devejiga con un error del 5%?

n z x 2σ×±

α 404 '961 84 ×± '241 84 ±

(46’76; 49’24)

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 25)

Se ha tomado una muestra de 30 diámetros máximos de eritrocitos normales,obteniéndose una media de 8.7 micras y una desviación típica de 0.9 micras.Para un margen de error del 5% ¿entre que valores puede esperarse que estéla media de los diámetros máximos de eritrocitos normales?.

1n z x s2 −×± α 29

9'0 '961 '78 ×± '330 '78 ±

(8’37; 9’03)

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 26)De 500 accidentes de tráfico elegidos al azar, hemos hallado que hubo un 20%

de víctimas mortales. Deseamos conocer con un margen de error del 5% entre

que valores se encuentra el porcentaje de fallecimientos en la totalidad de los

accidentes de tráfico.

nq̂p̂zp̂ 2/α± p̂1q̂ −=

50080'020'096'120'0 ×

± 035'020'0 ±

( 0’165, 0’235 ) (16’5%, 23’5% )

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 27)

Se encontró que el nivel indirecto medio de bilirrubinas en el suero de 16 niños

de cuatro días de nacidos era de 5.98 mgs/100cc. Suponiendo que los niveles de

bilirrubinas en los niños de cuatro días de nacidos presentan una distribución

aproximadamente normal con una desviación típica de 3.5 mgrs/100cc. Hallar

el intervalo de confianza del 90, 95, y 99% para µ.

Para la media

nt x gl,2

σ± ×α

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 27)

Para la media

753'1t t 15;05'0gl,2 ==αα = 0’10

165'3 '7531 '985 ×± (4’45;7’51)'531 '985 ±

131'2t t 15;025'0gl,2 ==αα = 0’05

165'3 '1312 '985 ×± (4’12; 7’84)'861 '985 ±

947'2t t 15;005'0gl,2 ==αα = 0’01

165'3 '9472 '985 ×± (3’4; 8’56)'582 '985 ±

ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.9597 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.4088 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.0419 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.43712 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.31813 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.22114 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.14015 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

. . . . . . . .

. . . . . . .

ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.9597 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.4088 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.0419 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.43712 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.31813 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.22114 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.14015 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

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ESTIMACIONESTIMACIONDISTRIBUCION t DE STUDENT

α = 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

n = 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.310 636.6202 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 31.5983 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 12.9244 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.9597 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.4088 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.0419 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.43712 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.31813 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.22114 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.14015 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

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ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 28)

En un experimento diseñado para estimar el número promediode latidos por minuto del corazón para cierta población, en lascondiciones del experimento, se encontró que el número prome-dio de latidos por minuto para 49 personas era de 90.

Si resulta lógico suponer que esos 49 pacientes constituyen unamuestra aleatoria y que la población está distribuida normal-mente, con una desviación típica de 10, determine los intervalosde confianza del 90%, 95% y 99%.

n z x 2σ×±

α

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 28)

Para la media

α = 0’10

4910 '641 09 ×± (87’66; 92’34)'342 09 ±

α = 0’05

4910 '961 09 ×± (87’20; 92’80)'82 09 ±

α = 0’01

4910 '582 09 ×± (86’31; 93’69)'693 09 ±

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 29)Una encuesta, que condujo a una muestra aleatoria de 150 familias en cierta

comunidad urbana, reveló que, en el 87% de los casos, al menos uno de los

miembros de la familia tenía alguna forma de seguro relacionado con la salud.

Construya los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99%.

nq̂p̂zp̂ 2/α± p̂1q̂ −=

α = 0’10

15013'087'064'187'0 ×

± 045'087'0 ±

( 0’825, 0’915) (82’5%, 91’5% )

ESTIMACIONESTIMACION

ESTIMACION POR INTERVALO (Problema 29)α = 0’05

15013'087'096'187'0 ×

± 054'087'0 ±

( 0’816, 0’924 ) (81’6%, 92’4% )

α = 0’01

15013'087'058'287'0 ×

± 070'087'0 ±

( 0’80, 0’94 ) (80%, 94% )