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Sistemas Numéricos

Sistemas numéricos

• Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.

• Se caracteriza por su base: número de símbolos distintos que utiliza.

• Sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base 16.

Características

• Los sistemas numéricos actuales son posicionales, donde el valor de cada símbolo depende de su posición en el número y está íntimamente ligado al valor de la base.

Sistema Decimal

• Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes.

• Posiblemente adoptado por la habilidad humana de contar hasta 10 con los dedos de las manos.

• Sistema posicional, donde el valor de los símbolos depende de su posición relativa al punto decimal, el cual de no existir se asume implícitamente puesto a la derecha.

Posiciones de Cifras

Deducir Expresión

• Sintetizar un número decimal en base a los siguientes elementos:

– base=10– i=posición respecto a la coma– d= número de dígitos a la derecha de la coma– n=número de elementos a la izquierda de la coma– dígito= cada uno de los que componen el número

Teorema Fundamental de la Numeración

El Teorema

• Relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

Permite expresar un número en otra base como número en base decimal.

binario decimal

0000 0

0001 1

0010 2

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111 7

1000 8

1001 9

1010 10

1011 11

1100 12

1101 13

1110 14

1111 15

Comprobar con TFN

Ejercicios

Represente los siguientes números en base decimal (la base está como subindice), usando el Teorema Fundamental de la Numeración.

•201.1 3

•516 7

•0.111 2

•455532 6

El Sistema Binario

• Sistema de numeración interno utilizado por circuitos digitales contenido en computadores actuales.

• La base es 2 por tanto tenemos dos símbolos: 1 y 0• Cada cifra o dígito binario de un número binario se le

denomina bit (binary digit)

• Las distintas cantidades de datos contenidas en cadenas binarias utilizan una momenclatura basada en múltiplos de bits

– Nibble o cuarteto: cuatro bits (ej. 1001)– Byte u octeto: ocho bits (ej. 01101010)– Kilobyte: 1024 bytes– Megabyte: 1024 Kilobytes– Gigabyte: 1024 Megabytes– Terabyte: 1024 Gigabytes

Utilizando el TFN, determine que número decimal representa el número binario 1001.1

Sistema Octal

• Sistema de numeración de base 8, es decir utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades, estos símbolos son:

– 0 1 2 3 4 5 6 7 – También es un sistema posicional.

Sistema Hexadecimal

• Al igual que los anteriores es un sistema posicional. Este es de base 16, esto implica que los símbolos utilizados son:

– 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

• Ejercicio en clases:– Escriba una tabla de equivalencia de los primeros 16 dígitos

decimales, binarios, octales y hexadecimales.

Conversiones entre Sistemas de Numeración

Conversión Decimal-binario•Divisiones sucesivas entre 2: permite convertir números enteros decimales a enteros binarios.

•Consiste en ir dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. •La unión de todos restos obtenidos escritos en orden inverso es el número binario.

=11011001

Ejercicios

• Convertir el 1010 a binario

• Convertir el 1510 a binario

Conversión de números no enteros

Multiplicaciones sucesivas por 2•Se utiliza para convertir una fracción decimal a su equivalente fracción en binario. •Consiste en multiplicar la fracción por 2 , obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción buscada, el proceso se repite, con la parte fraccionaria del dígito anterior, hasta que desaparezca la parte fraccionaria…

Convertir la fracción decimal 0.828125 en fracciones binarias

=0.110101

Ejercicios

• Convertir la fracción decimal 0,75 en fracción binaria

• Convertir 0,828125 en fracción binaria• Convertir 350.765625 a fracción binaria• Convertir el 1497.828125 a fracción binaria

Ejercicios en Clases

Inferir la técnica.

Conversión Decimal-Octal

• Divisiones Sucesivas por 8:– Utilizado para convertir números decimales enteros a

octal.

• Multiplicaciones Sucesivas por 8:– Para pasar una fracción a octal a una fracción decimal.

Ejercicios

• Convertir el decimal 500 a octal• Convertir el decimal 1994 a octal• Convertir el decimal 0.140625 a octal

Usando el mismo razonamiento, realice los siguientes ejercicios

• Convierta el número decimal 1000 a hexadecimal

Conversión Hex-binario

• Convertir el número 2BC16 a binario

• ¿Cómo lo haría?

Conversión rápida

• Verifique a que números hexadecimales corresponden cada dígito hexadecimal con 4 dígitos.

• 2=0010• B=1011• C=1100

• 2BC16=001010111100

Conversión rápida

• Ejemplo: convertir a base 2 el número hexadecimal

– 7BA3.BC

¿y de Binario a Hexadecimal?

• Convierta el número binario 100101100 a base 16• Convierta el número 1100101001000.10110110 a

base hexadecimal.

Conversión Octal-Binario

• Revise sus tablas y busque correspondencias…

• Ej 12748= 10101111002

Ejercicios. Binario-octal

• Convertir 10101111002 a octal

• Convertir 1100101001000.10110112 a octal.

Conversión Octal-Hexadecimal

• Realice conversiones utilizando como paso intermedio el paso al sistema binario.

• Realice esta actividad y vice-versa con los siguientes ejemplos:

• Transforme el número Octal 144 en hexadecimal• Transforme el número hexadecimal 1F4 a octal.