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Matemáticas II SOLUCIONARIO
UNIDAD 12: Integrales indefinidas CUESTIONES INICIALES-PÁG. 300 1. Encuentra, en cada apartado, dos funciones cuyas derivadas sean las siguientes: a) f(x) = 3x2 b) f(x) = cos x b) f(x) = ex Un ejemplo de las funciones pedidas son: a) F(x) = x3 + 5 ; F(x) = x3 – 2/5
b) F(x) = sen x +12
; F(x) = sen x + π
c) F(x) = ex – 3; F(x) = ex + 2 2. Una función F(x) es primitiva de una función f(x) siempre que la derivada de F(x) sea f(x). Comprueba, en cada uno de los siguientes apartados, que la función F(x) es primitiva de f(x).
a) F(x) = arcsen 2x + 1 21 2
xx
−+
; f(x) = ( )
421 2 1 4
x
x x+ −
b) F(x) = ln(1 – cosx) – ln(1 + cos x) + 38
; f(x) = 2
sen x
Se deriva la función F(x) y se obtiene f(x). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 315 1. Número irracional. Demuestra que 3 es un número irracional. La solución queda: Supongamos que 3 no es irracional, por tanto 3 será racional, con lo que se puede poner en forma de fracción de este modo:
3ab
= , con a, b ∈ Z y primos entre sí.
De esta igualdad obtenemos: 3a b= . Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a2 = 3b2. De aquí deducimos que a2 es múltiplo de 3. Si a2 es múltiplo de 3 entonces a también lo es. Podemos escribir a = 3m con m ∈ Z y sustituyendo en la igualdad a2 = 3b2 obtenemos: (3m)2 = 3b2 ⇒ 9m2 = 3b2 ⇒ 3m2 = b2 Como b2 es múltiplo de 3 y, por tanto, b también los es.
355
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplos de 3. Este resultado contradice el hecho de que a y b son primos entre si. Por tanto, hemos llegado a una contradicción o absurdo, por lo que concluimos afirmando que 3 no es un número racional, es decir, es un número irracional. 2. Implicación lógica. Demuestra que si P ⇒ Q, entonces no Q ⇒ no P. Tiene que ser no P, pues si fuera P entonces sería Q, y como dice no Q, no puede ser P. Veamos que las tablas de verdad de ambas proposiciones coinciden:
P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V
Es una ley lógica ( ) ( )P Q no Q no P⇒ ⇔ ⇒ , denominada “contraposición”. NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 317 1. Resuelve las siguientes integrales indefinidas:
a) ( ) ( )3 1 ln 2x x dx− +∫ b) 3
1 3dx
x∫+
c) 22 3 2
2 7 10
x xdx
x x
+ −∫
− +
Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos la solución de cada una de estas integrales indefinidas que vemos en las imágenes siguientes: 2. Halla las siguientes integrales definidas:
a) 3 13
1 2x
dxx x
−∫
+ b) 1 (5 4) ·0
xx e dx−+∫ c) 5
0sen x dx
π
∫
P Q no Q no P no Q ⇒ no P V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V
356
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos el resultado de cada una de estas integrales definidas que vemos en la imagen siguiente: 3. Calcula el área del recinto, del primer cuadrante, limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x2 - 6; g(x) = x y el eje OX. De la misma forma que hemos hecho en la actividad desarrollada resolvemos esta nueva actividad como vemos en la siguiente imagen:
357
Matemáticas II SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 320 1. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de integrales inmediatas:
a) ( )26 5 7x x dx− +∫ i) ( )43 2
4
xdx
x
−∫ q) 2
54 16
dxx+∫
b) 32
24x dx
x − ∫ j)
2
3
42 5
xdx
x +∫ r) 2
6
9 2dx
x−∫
c) 43
282x
dxx
+ −
∫ k) 2
12 34 2 3
xdx
x x−
− +∫ s) 4· cos 23 2
xdx
sen x−∫
d) 2 35 7 9x x
dxx
− − ∫ l) 3xe dx∫ t)
( )52
3
7
xdx
x +∫
e) ( )23 2 5x x dx+∫ m) 25·7 xx dx∫ u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫
f) ( )31 4x dx−∫ n) 3· 6sen x dx∫ w) 2
3 lndx
x x∫
g) ( )826 5 ·x x dx−∫ o) cos4x
dx ∫ y)
2
5 ·
7 4cos
senxdx
x−∫
h) 2 37 2x x dx+∫ p) 2
22 3
5cos
x xe dx
x−
+ ∫ z) ( )26 · 3x tg x dx+∫
Las funciones primitivas son:
a) ( )26 5 7x x dx− +∫ = 3 252 7
2x x x C− + +
b) 32
24x dx
x − ∫ = 4 2
x Cx
+ +
c) 43
282x
dxx
+ −
∫ =
5
3 240x
x x C+ − +
d) 2 35 7 9x x
dxx
− − ∫ =
325 14
9·ln2 3
xx x C+ − +
e) ( )23 2 5x x dx+∫ = 4 3 2753 20
2x x x C+ + +
f) ( )31 4x dx−∫ = ( )41 4
16x
C−
− +
358
Matemáticas II SOLUCIONARIO
g) ( )826 5 ·x x dx−∫ = ( )926 5
108
xC
−+
h) 2 37 2x x dx+∫ = ( )3314 2
9
xC
++
i) ( )43 2
4
xdx
x
−∫ =
( )53 2
30
xC
−+
j) 2
3
42 5
xdx
x +∫ = 32ln 2 5
3x C+ +
k) 2
12 34 2 3
xdx
x x−
− +∫ = 23ln 4 2 3
2x x C− + +
l) 3xe dx∫ = 313
xe C+
m) 2 25 51
·7 · 710 · ln 7
x xx dx C= +∫
n) 3· 6sen x dx∫ = 1cos 6
2x C− +
o) cos4x
dx ∫ = 4
4x
sen C +
p) 2
22 3
5cos
x xe dx
x−
+ ∫ = 2 31 5
·2 3
xe tg x C−− + +
q) 2
54 16
dxx+∫ = ( )5
28
arctg x C+
r) 2
6
9 2dx
x−∫ = 2
3 2 ·3
xarcsen C
+
s) 4· cos 23 2
xdx
sen x−∫ = 2 · ln 3 2sen x C− − +
t) ( )52
3
7
xdx
x +∫ =
( )42
3
8 · 7C
x
−+
+
u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫ = ( )31cos 3
9x C− +
359
Matemáticas II SOLUCIONARIO
w) 2
3 lndx
x x∫ = 2
ln ln3
x C+
y) 2
5 · 2 cos52 77 4cos
senx xdx arcsen C
x
= − + −
∫
z) ( )26 · 3x tg x dx+∫ = ( )23 ·ln cos 3x C− + +
2. Halla una función f(x) de la que sabemos que f (1) = f ´ (1) = 1 y f ´´ (x) = x. Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos:
F ´ (x) = 2
2x
x dx C= +∫ ⇒ f(x) = 2 3
2 6x x
C dx Cx D
+ = + + ∫
Como f (1) = 1 ⇒1 = 16
+ C + D y como f ´ (1) = 1 ⇒1 = 12
+ C.
De estas dos igualdades obtenemos C = 12
; D = 13
y la función buscada es f(x) = 3 1
6 2 3x x
+ +
3. Halla dos primitivas de cada una de estas funciones:
a) 2
24
x
x
edx
e−∫ b) 2(2 3)x
dxx−
∫ c) 2
4 51 9
xdx
x−
+∫
Las primitivas pedidas pueden ser:
a) F(x) = 2
24
x
x
edx
e−∫ = 21ln 4 1
2xe− − + ; F(x) =
2
24
x
x
edx
e−∫ = 21ln 4
2xe− −
b) F(x) = 2(2 3)x
dxx−
∫ = 22 12 9 ln 6x x x− + + ;
F(x) = 2(2 3)x
dxx−
∫ = 2 72 12 9 ln
3x x x− + +
c) F(x) = 2
4 51 9
xdx
x−
+∫ = ( ) ( )22 5ln 1 9 3 2
9 3x arctg x+ − −
F(x) = 2
4 51 9
xdx
x−
+∫ = ( ) ( )2 42 5ln 1 9 3 3
9 3x arctg x+ − −
4. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: a) 3 · xx e dx−∫ d) 2 ·cosxe x dx∫ g) 2arctg x dx∫
360
Matemáticas II SOLUCIONARIO
b) ( )2 5 · 2x sen x dx−∫ e) 24 ·lnx x dx∫ h) 32 · 3x sen x dx∫
c) 2 214 ·7 xx dx∫ f) 5 lnx dx∫ i) 2·lnx x dx∫
En cada una de las siguientes integrales utilizamos la fórmula de la integración por partes:
· · ·u dv u v v du= −∫ ∫
a) 3 · xx e dx−∫ = 3 · 3 3 · 3·x x x xx e e dx x e e C− − − −− − − =− − +∫
b) ( )2 5 · 2x sen x dx−∫ 2 5 5 2 5 5
· cos2 cos2 cos 2 22 2 2 4
x xx x dx x sen x C
− −= − − =− − +∫
c) 2 214 ·7 xx dx∫ = 2 2
27 ·7 7·7
ln7 ln7
xxx
x dx− =∫22 2 2
2 3
7·77 ·7 7 ·7ln7 ln 7 2·ln 7
xx xx xC− + +
d) Esta es una integral cíclica, pues al aplicar dos veces la integración por partes vuelve a salir la misma integral:
2 ·cosxe x dx∫ = e2x · sen x - 22 ·xe sen x dx∫ = e2x · sen x + 2e2x · cos x - 24 ·cosxe x dx∫
Llamando I a la integral inicial obtenemos: I = e2x · sen x + 2e2x · cos x – 4 I. De modo que despejando I:
2 ·cosxe x dx∫ = 2 2· 2 ·cos
5
x xe senx e xC
++
e) 24 ·lnx x dx∫ = 2 2 2 2 2 222 ·ln · 2 2 · ln 2x x x dx x x x C
x− = − +∫
f) 5 lnx dx∫ = 5x · ln x – 5x + C
g) 2arctg x dx∫ = 2
2· 2
1 4x
x arctg x dxx
− =+∫ ( )21
· 2 ln 1 44
x arctg x x C− + +
h) 32 · 3x sen x dx∫ = 3 31· 2 · cos3 2 · ln2 · cos3
3x xx x dx− + ∫ =
33 3 21 1·2 · cos 3 ·2 ·ln2 · 3 2 · ln 2 · 3
3 3Xx xx sen x sen x dx− + −∫
Llamando I a la integral inicial y despejando I:
32 · 3x sen x dx∫ = ( )33
2
2 · cos3 2 ·ln2 · 33 · 1 ln 2
xx x sen xC
− ++
+
361
Matemáticas II SOLUCIONARIO
i) 2· lnx x dx∫ = 2
2·ln ·ln2x
x x x dx− =∫2 2
2 21·ln · ln
2 2 4x x
x x x C− + +
5. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de funciones racionales:
a) 2
3 14 3
xdx
x x+
− +∫ d) 2
3 2
2 13 123 4
x xdx
x x+ ++ −∫ g)
2
2
2 102
xdx
x x−
− −∫
b) ( )( )
2
2
2 3 82 1
x xdx
x x+ +
+ +∫ e) 3
2
2 8 44
x xdx
x+ −+∫ h)
3
2
64
xdx
x+−∫
c) 2 5 6dx
x x− +∫ f) 2
3 2
2 7 54 4 1
x xdx
x x x+ −+ + +∫ i)
4
2 9x
dxx +∫
a) 2
3 14 3
xdx
x x+
− +∫ = 2 5
2ln 1 5ln 31 3
dx dx x x Cx x−
+ = − − + − +− −∫ ∫
b) ( )( )
2
2
2 3 82 1
x xdx
x x+ +
+ +∫ = 2
2 32ln 2 3
2 1dx dx x arctg x C
x x+ = + + +
+ +∫ ∫
c) 2 5 6dx
x x− +∫ = 1 1
ln 2 ln 32 3
dx dx x x Cx x−
+ = − − + − +− −∫ ∫
d) 2
3 2
2 13 123 4
x xdx
x x+ ++ −∫ =
( )2
3 2 1 23ln 1 ln 2
1 2 22dx dx dx x x C
x x xx−
= + + = − − − + +− + ++∫ ∫ ∫
e) 3
2
2 8 44
x xdx
x+ −+∫ = 2
2
42 2
4 2x
x dx dx x arctg Cx− + = − + + ∫ ∫
f) 2
3 2
2 7 54 4 1
x xdx
x x x+ −+ + +∫ =
= 2
2 3 41 4 1
xdx dx
x x− +
+ =+ +∫ ∫ 2 2
3 42 ln 1
4 1 4 1x
x dx dxx x
− + + + =+ +∫ ∫
= ( )232 ln 1 ln 4 1 2 (2 )
8x x arctg x C− + + + + +
g) ( )22
2 2 2
2 2 2 6 2 62 102
2 2 2
x x x xxdx dx dx dx
x x x x x x
− − + − −−= = + =
− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫
362
Matemáticas II SOLUCIONARIO
= 8 2 8 23 32 2 ln 1 ln 2
1 2 3 3x dx dx x x x C
x x
−+ + = + + − − +
+ −∫ ∫
h) 3
2
64
xdx
x+−∫ =
( )2
2 2
4 4 6 4 64 4
x x x xdx x dx dx
x x
− + + += + =
− −∫ ∫ ∫
= 2
7 12 2
2 2 2x
dx dxx x
+ + =− +∫ ∫
2 7 1ln 2 ln 2
2 2 2x
x x C+ − + + +
i) 4
2 9x
dxx +∫ =
( ) ( ) ( )2 2
22 2
9 9 81 819
9 9
x xdx x dx dx
x x
− + += − + =
+ +∫ ∫ ∫
= 3
9 27 ·3 3x x
x arctg C − + +
ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 321 ■ 6. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable con el cambio que se indica en cada caso:
a) 3 2
4
5 2
xdx
x +∫ (5x2 + 2 = t3) d)
1x
dxx+∫ (x = t2)
b) ( )2
23 ln
dxx x+∫ (ln x = t) e) 3sen x dx∫ (cos x = t)
c) 2 4
x
x
edx
e +∫ (ex = t) f) 3
2
4 22
xdx
x++∫ (x2 = t)
a) Mediante el cambio dado (5x2+2=t3) obtenemos: 3 2
4
5 2
xdx
x +∫ =
( )2
2 32 2 3 5 24 3 3·
10 5 5
xx t tdt C
t x
+= = +∫
b) Mediante el cambio dado (ln x = t) obtenemos: ( )2
23 ln
dxx x+∫ =
( )2
2 2 2·
3 3 ln3x dt C
t xx t− −
= = ++ ++∫
363
Matemáticas II SOLUCIONARIO
c) Mediante el cambio dado (ex = t) obtenemos: 2 4
x
x
edx
e +∫ =
2 2
1 1·
4 4 2 2 2 2
x x
x
e dt dt t earctg arctg C
t e t = = = + + +
∫ ∫
d) Mediante el cambio dado (x = t2) obtenemos: 1
xdx
x+∫ =
( ) ( )22 3 1 · 2 2 2 22· 2
1 1 1
t t tt tt dt dt dt
t t t
+ − + −= = = =
+ + +∫ ∫ ∫
( )3
2 22 22 2 2 2 2ln 1
1 3t
t t dt dt t t tt
= − + − = − + − + =+∫ ∫
32
2 2ln 13x
x x x C= − + − + +
e) Mediante el cambio dado (cos x = t) obtenemos:
( )33
2 2 cos1 (1 ) cos
3 3xdt dt t
sen x t sen x t t x Csen x sen x
− = − − = − + = − + +−∫ ∫
f) Mediante el cambio dado (x2 = t) obtenemos: 3
2
4 22
xdx
x++∫ =
3
2 2
4 22 2
xdx
x x= + =
+ +∫ ∫ 2
4 · 1·
2 21
2
x t dtdx
t x x+ =
+ +
∫ ∫
( )2 ( 2 4
22 2
t xdx arctg
t+ − = + = + ∫ 2 4ln 2 2
2x
t t arctg − + + =
= 2 22 4ln 2 22
xx x arctg C − + + +
7. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable:
a) 2
3 2dx
x+ −∫ d) 4
1x
dxx+∫ g) 2
ln 8(ln 4ln )
xdx
x x x++∫
b) 34 ln
2x
dxx
+∫ e) 3 2cos ·x sen x dx∫ h) 2
41
x
x
edx
e −∫
c) 2 5
3
x
x
edx
e+−∫ f)
12
xdx
x−−∫ i) 2
21
arctg xdx
x +∫
7. a) Mediante el cambio (x - 2 = t2) obtenemos:
364
Matemáticas II SOLUCIONARIO
2 2
· 233 2
dx t dttx
= =++ −∫ ∫
( )4 3 1244 12ln 3 4 2 12ln 3 2
3 3tt
dx dt t t x x Ct t
+ −= = = − + = − − + − +
+ +∫ ∫
b) Mediante el cambio (ln x = t ) obtenemos:
34 ln2
xdx
x+
∫ =34
·2
tx dt
x+
=∫4 41 1 ln
2 2ln2 4 2 4
t xt x C+ = + +
c) Mediante el cambio (ex = t) obtenemos:2 6
3
x
x
edx
e+−∫ =
2 63
t dtt t+−∫ = esta es una integral racional y
queda: 2 4
3dt dt
t t−
+ =−∫ ∫ 2 ln 4 ln 3 2 4 ln 3xt t x e C− + − = − + − +
d) Mediante el cambio (x = t2) obtenemos: 24 4 8
21 11
x t tdx tdt dt
t tx= = =
+ ++∫ ∫ ∫ esta es una integral
racional y queda:
( ) ( )2
218( 1)( 1) 88 8ln 1 4 1 8ln 1
1 2tt t
dt t x x Ct
−− + += + + = − + + +
+∫
e) Mediante el cambio (sen x = t) obtenemos:
( )3 2 2 2 2 2cos · cos · 1 · cos · (1 ) ·cos
dtx sen x dx x sen x sen x dx x t t
x= − = − =∫ ∫ ∫
3 5 3 5
3 5 3 5t t sen x sen x
C= − = − +
f) Mediante el cambio (x-1 = t2) obtenemos: 1
2x
dxx−−∫ =
2
2 2
22
1 1t t
t dt dtt t
= =− −∫ ∫
= 2
2
2( 1) 22 ln 1 ln 1
1t
dt t t tt− +
= + − + + =−∫
1 12 1 ln
1 1x
x Cx
− −− + + − +
g) Mediante el cambio (ln x = t ) obtenemos: 2
ln 8(ln 4ln )
xdx
x x x++∫ = 2
8( 4 )t
x dtx t t
+=
+∫
= 2 12ln ln 4
4dt dt t t
t t−
+ = − + =+∫ ∫ 2ln ln ln ln 4x x C− + +
h) Mediante el cambio (ex = t) obtenemos: 2
41
x
x
edx
e −∫ = 2
41
t dtt t
=−∫
2 21 1
dt dtt t
−+ =
− +∫ ∫
= 1
2ln 1 2ln 1 2ln1
x
x
et t C
e−
− − + = ++
i) Mediante el cambio (arc tg x = t) obtenemos: 2
21
arctg xdx
x +∫ = ( )2 22
21
1t
x dt tx
+ = =+∫
365
Matemáticas II SOLUCIONARIO
= (arc tgx)2 + C 8. Resuelve las siguientes integrales por el método que creas más adecuado:
a) 2ln ( 4)x dx−∫ i) 2
ln(ln 1)
xdx
x x −∫ q) ( )2 2· 1xe x dx− +∫
b) 2
5 42 1
xdx
x x−+ −∫ j)
( )
2
2
3 6 102
x xdx
x+ +
+∫ r) 2
21x dx
e −∫
c) ( )22 1x
dxx
+∫ k)
2 1xdx
x−
∫ s) ( )
2
4 12 5
x xdx
x x+
− +∫
d) 25 cos3 3x sen x dx∫ l) ( )3 1 lnx x dx+∫ t) ( )
.2 1
dxx x+ +∫
e) 2
2
8 2 54 5
x xdx
x+ ++∫ m)
4 3
2
3dx
x x+∫ u) 2
23 cos
sen xdx
x+∫
f) 2 28 · ·xx e dx∫ n) (2 1).arctg .x x dx−∫ w) · cos2xe x dx−∫
g) 2
36 18
dxx x+ +∫ o) ( )2
6· ln ln
dxx x x+∫ x)
2
2
sec
4
xdx
tg x−∫
h) 2
2 3
3 3 2x xdx
x x+ −
+∫ p) 2
5 12
5 4
xdx
x x
−
+ −∫ y)
5
4 1x
dxx −∫
a) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
2ln( 4)x dx−∫ = 2ln 4 2 2ln 2 2ln 2x x x x x C− − − − + + +
b) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
2
5 42 1
xdx
x x−+ −∫ = ln 2 1 3ln 1x x C− − + +
c) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
( )22 1xdx
x
+∫ =
5 38 82
5 3x x
x C+ + +
d) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:
25 cos3 3x sen x dx∫ = 353
9sen x C+
e) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
366
Matemáticas II SOLUCIONARIO
2
2
8 2 54 5
x xdx
x+ ++∫ = ( )21 5 2
2 ln 4 54 2 5
xx x arctg C + + − +
f) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
2 28 · ·xx e dx∫ = 4x2 e2x - 4x e2x + 2e2x + C
g) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:
2
36 18
dxx x+ +∫ =
33
xarctg C
+ +
h) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
2
2 3
3 3 2x xdx
x x+ −
+∫ = 3
2 ln 1x Cx
− − + +
i) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
2
ln(ln 1)
xdx
x x −∫ = 21ln ln 1
2x C− +
j) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
( )
2
2
3 6 102
x xdx
x+ +
+∫ = 103 6 ln 2
2x x C
x− − + +
+
k) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
22 21
1 1x
dx x arctg x Cx−
= − − − +∫
l) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
( )3 1 lnx x dx+∫ = 4 4
ln4 16x x
x x x C
+ − − +
m) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
4 3
2
3dx
x x+∫ = 4 48 24ln 3x x C− + +
n) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
(2 1).arctg .x x dx−∫ = (x2 – x + 1) arc tg x –x + ln 2 1x + + C
o) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
367
Matemáticas II SOLUCIONARIO
( )2
6· ln ln
dxx x x+∫ =
ln6 ln
1 lnx
Cx+
+
p) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:
( )2 2
5 12 5 12
5 4 9 2
x xdx dx
x x x
− −= =
+ − − −∫ ∫ ( )2 2
5· 9 2 23
xx arcsen C
− − − − − +
q) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
( )2 2· 1xe x dx− +∫ = 2 21 32 2
xx x e C−− + + +
r) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
( )( )2
22 ln 1 1
1x x
x dx x e e Ce
= − + − + +−∫
s) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
( )22
4 ( 1) 14 6 ln 2 5 4
2 5 2x x x
dx x x x arctg Cx x
+ − = + − + − + − + ∫
t) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:
( )2 1dx
x x+ +∫ = 2 1arctg x C+ +
u) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:
2
23 cos
sen xdx
x+∫ = - ln (3 + cos2 x) + C
w) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:
· cos2xe x dx−∫ = 2 2 cos2
5
x xe sen x e xC
− −−+
x) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas o por el método de cambio de variable y obtenemos:
2
2
sec
4
xdx
tg x−∫ =
2tg x
arcsen C +
y) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:
( )( )( )
5 2
4 2
1 11ln
1 2 4 1
x xx xdx C
x x− +
= + +− +∫
368
Matemáticas II SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES ACCESO UNIVERSIDAD-PÁG. 322
1. Halla la primitiva de f(x) = 2
2
24 3x
x x+ + que valga 1 para x = 0
Las primitivas de la función dada se hallan mediante la integral de la misma y son:
F(x) = 2
2
24 3x
dxx x
=+ +∫ 2 9ln 3 ln 1x x x C− + + + +
Como sabemos que F(0) = 1 sustituyendo obtenemos: C = 1 + 9 ln 3. La primitiva que pide el problema es: 2 9ln 3 ln 1 1 9ln3x x x− + + + + + 2. Halla una función f(x) real de variable real de la que se sabe que f ´´ (x) = 3x2 - 4x + 3 y que su gráfica
presenta un mínimo relativo en al punto 11
1,12
.
f ´ (x) = 2(3 4 3)x x dx− + =∫ x3 – 2x2 + 3x + C;
F (x) = 3 2( 2 3 )x x x C dx− + + =∫4 3 2
2 34 3 2x x x
Cx K− + + +
Como tiene un mínimo relativo en el punto 11
1,12
se debe verificar:
211(1)
12 11´(1) 0 6
Cf
Kf
= − = ⇒ = =
por lo que f(x) = 4 3 2 11
2 3 24 3 2 6x x x
x− + − +
3. Halla dos primitivas de la función f(x) = 2
1 xe−.
Todas las primitivas de la función dada se hallan mediante la integral de la misma y son:
F(x) = 2
1 x dxe
=−∫ 2 2 ln 1 xx e C− − +
4. ¿Alguna de las funciones F(x) = 1
4cos
senxx
−+ ; G(x) =
15
1senxsenx
−−
+ son primitivas de
F (x) = 1
1 senx−+
?
Ambas son primitivas de f(x) puesto que:
1 14
cos 1senx
Dx senx
− −+ = +
y 1 15
1 1senx
Dsenx senx
− −− = + +
369
Matemáticas II SOLUCIONARIO
5. Sea f(x) = 2
2 121
xx x
−− +
. Halla · ( )x f x dx∫
· ( )x f x dx∫ = 2
2 12·
1x
x dxx x
−− +∫ =
2
2
2 121
x xdx
x x−
=− +∫ 2
10 22
1x
dxx x− −
+ =− +∫
= 2 14 3 2 12 5 ln 1
3 3x
x x x arctg C−
− − + − +
6. La curva que limita un determinado fractal viene dada por la función f (t) = 2t · cos 2t
. Calcula
( )f t dt∫ .
( )f t dt =∫ 2 · cos2t
t dt = ∫ 4 · 8·cos
2 2t t
t sen C + +
7. Halla 2 41 4
x x
x dx++∫
2 41 4
x x
x dx++∫ = ( )1 1
· 2 ·ln 1 4ln2 ln4
x xarctg C+ + +
8. Halla una función f: R → R si se sabe que f (1) = 1; f ´(1) = 2; f ´´ (1) = 8 y f ´´´ (x) = 24x - 6. f ´´ (x) = (24 6)x dx− =∫ 12x2 – 6x + C;
f ´ (x) = 2(12 6 )x x C dx− + =∫ 4x3 – 3x2 + Cx + D
f (x) = 3 2(4 3 )x x Cx D dx− + + =∫2
4 3
2x
x x C Dx K− + + +
Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos: (1) 1 2´(1) 2 1´´(1) 8 1
f Cf Df K
= = = ⇒ = − = =
por lo que
f(x) = 4 3 2 1x x x x− + − + 9. Calcula, integrando por partes, ( )·cos lnx x dx∫ y comprueba el resultado por derivación.
En primer lugar hacemos un cambio de variable (ln x = t) y después resolvemos la integral por el método de integración por partes:
( )·cos lnx x dx∫ = ( )2 ·coste t dt= =∫22 2 cos
5
tte sent e t+=
( ) ( )22 ln 2 cos ln5
x sen x x xC
++
Comprobamos derivando esta última función:
370
Matemáticas II SOLUCIONARIO
( ) ( )22 ln 2 cos ln
5x sen x x x
D C +
+ =
x · cos (ln x)
10. Resuelve la siguiente integral indefinida con un cambio de variable adecuado: 2
cossen x
dxx∫
Resolvemos la integral con el cambio de variable (sen x = t):
2
cossen x
dxx∫ =
2
21t
dtt
= =−∫ 2
1 1 1 1 11 ln ln
1 2 1 2 1t senx
dt t senx Ct t senx
+ +− + = − + = − + + − − −
∫
11. Halla una función cuya derivada sea la función f(x) = arcsen x. Todas las funciones cuya derivada es la dada se hallan mediante la integral:
2· 1arcsen x dx x arcsen x x C= + − +∫
Una de estas funciones es 2( ) · 1 2F x x arcsen x x= − − + 12. Halla las siguientes integrales trigonométricas: a) 5cos x dx∫ b) 2cos x dx∫ c) 22cos ·x sen x dx∫
a) 5cos x dx∫ = ( )22cos · 1x sen x dx−∫ =
( )2 4cos 1 2x sen x sen x dx− + =∫3 52
3 5sen x sen x
senx C− + +
b) 2cos x dx∫ = 1 cos2 2
2 2 4x x sen x
dx C+
= + +∫
c) 2
22 2cos ·
4sen x
x sen x dx dx= =∫ ∫1 cos 4 4
2 2 8x sen xx
dx C−
= − +∫
13. Demuestra la siguiente igualdad: 1 1 cos
lnx
dx Csen x sen x
−= +
∫
1 cos 1
lnx
D Csen x senx
−+ =
14. Halla una función polinómica de segundo grado cuya derivada es la función g(x) = 4x – 3 y tiene una tangente en la recta y = x + 2. La función es f(x) = ( ) 24 3 2 3x dx x x C− = − +∫
Si la recta dada es tangente a la gráfica de la función se verifica que g (x) = 4x – 3 = 1; por lo que x = 1 e y = 3. El punto de tangencia es (1, 3).
371
Matemáticas II SOLUCIONARIO
La función polinómica f(x) pasa por este punto, de modo que la función es: f (x) = 2x2 – 3x + 4 15. Halla una función real de variable real f(x) que pasa por el origen de coordenadas y de la que se sabe que f ´ (x) = x · ln (x2 +1).
La función es: f (x) = ( )2·ln 1x x dx+∫ = ( )2 3
22·ln 1
2 1x x
x dxx
+ − =+∫
= ( )2 2
21·ln 1
2 2x x
x C+
+ − +
Para que pase por el origen de coordenadas se debe verificar que f(0) = 0. Por lo que C = 0 y la función buscada es:
f(x) = ( )2 2
21·ln 1
2 2x x
x+
+ −
16. Halla la primitiva de la función f(x) = (x2 + 1) · cos x que vale π para x = π. Todas las primitivas se hallan mediante la siguiente integral:
( )2 1 · cosx x dx+ =∫ ( )2 1 2 ·x sen x x sen x dx+ − =∫
= ( )2 1 2 ·cos 2x sen x x x senx C+ + − +
La primitiva que pasa por el punto (π, π) es: F(x) = ( )2 1 2 ·cos 2 3x sen x x x senx π+ + − +
372
Matemáticas II SOLUCIONARIO
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN-PÁG. 323 Razones de áreas Queremos investigar posibles patrones que aparecen si se halla la razón de las áreas que se forman cuando las funciones y = xn (n ∈ Z, n ∈Q) se representan entre dos valores arbitrarios a y b, con a < b. 1. Sea la función y = x2. Consideramos: - La región B delimitada por y = x2, x = 0, x = 1 y el eje OX. - La región A delimitada por y = x2, y = 0, y = 1 y el eje OY.
Halla la razón: .Área AÁrea B
2. Calcula la razón de las áreas para otras funciones del tipo y = xn, n ∈ Z+, entre x = 0 y x = 1. 3. Estudia qué ocurre para áreas comprendidas entre x = 0 y x = 2, entre x = 1 y x = 2, etc. 4. Analiza el caso general, con y = xn entre a y b, tal que a < b, y para las regiones: - La región A delimitada por y = xn, y = an, y = bn y el eje OY. - La región B delimitada por y = xn, x = a, x = b y el eje OX. 5. Los resultados que obtienes, ¿se mantienen para funciones del tipo y = xn, n Z −∈ , entre x = 0 y x = 1; entre x = 0 y x = 2; entre x = 1 y x = 2, etc.? ¿Y para funciones del tipo y = xn, n Q∈ , en los mismos intervalos? 1. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:
131 2
00
10,33
3 3x
B x dx
= = = =
∫
1 2
1 1 0,673 3
A B= − = − = =
La razón de las áreas es:
23 2.13
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. 2. Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:
373
Matemáticas II SOLUCIONARIO
141 3
00
10,25
4 4x
B x dx
= = = =
∫
1 3
1 1 0,754 4
A B= − = − = =
La razón de las áreas es:
34 3.14
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:
111
00
11 1
nn x
B x dxn n
+ = = = + + ∫
1
1 11 1
nA B
n n= − = − =
+ +
La razón de las áreas es: 1
.1
1
nÁrea A n
Razón nÁrea B
n
+= = =
+
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. 3. Estudiamos las áreas comprendidas entre x = 0 y x = 2. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:
232 2
00
82,67
3 3x
B x dx
= = = =
∫
8 16
8 8 5,333 3
A B= − = − = =
La razón de las áreas es:
163 2.83
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos.
374
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:
242 3
00
164
4 4x
B x dx
= = = =
∫
16 16 4 12A B= − = − =
La razón de las áreas es: 12
3.4
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:
111
00
11 1
nn x
B x dxn n
+ = = = + + ∫
1
122 · 2 · 2
1 1
nnn n
An n
++= − =
+ +
La razón de las áreas es:
1
1
· 21
.1 · 2
1
n
n
nÁrea A n
Razón nÁrea B
n
+
+
+= = =
+
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. Estudiamos las áreas comprendidas entre x = 1 y x = 2. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:
232 2
11
8 1 72,33
3 3 3 3x
B x dx
= = = − = =
∫
7 14
8 1 7 4,673 3
A B= − − = − = =
La razón de las áreas es:
143 2.73
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:
375
Matemáticas II SOLUCIONARIO
242 3
11
16 1 153,75
4 4 4 4x
B x dx
= = = − = =
∫
15 45
16 1 15 11,254 4
A B= − − = − = =
La razón de las áreas es:
454 3.
154
Área ARazón
Área B= = =
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:
2 11 12
11
2 12 11 1 1 1
nn nn x
B x dxn n n n
++ + −= = = − = + + + + ∫
1
12 12 · 2 1 · (2 1)
1 1
nnn n
An n
++−
= − − = −+ +
La razón de las áreas es:
1
1
· (2 1)1
.1 ·(2 1)
1
n
n
nÁrea A n
Razón nÁrea B
n
+
+
−+
= = =−
+
En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. 4. Analizamos el caso general, con y = xn entre a y b, tal que a < b, y para las regiones: - La región A delimitada por y = xn, y = an, y = bn y el eje OY. - La región B delimitada por y = xn, x = a, x = b y el eje OX. El área de la Región B es:
2 1 11
11 1
n nnb n
a
b axB x dx
n n
+ ++ −= = = + + ∫
El área de la Región A es:
( )1 1
1 1· ·1 1
n nn nn n b a n
A b b a a b an n
+ ++ +−
= − − = −+ +
La razón de las áreas es:
376
Matemáticas II SOLUCIONARIO
( )
( )
1 1
1 1
11
1
n n
n n
n b aÁrea A n
Razón nÁrea B b a
n
+ +
+ +
−+
= = =−
+
5. Estudiamos las funciones y = xn, n Z −∈ .
Comenzamos con 1 1y x
x−= = .
● Entre 0 y 1:
El área de la región B es: [ ]1
1
0 0
1ln ln 1 ln 0 0 ( )B dx x
x= = = − = − − ∞ = + ∞∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
[ ]1
1
1ln ln ( ) ln 1 0A dy y
y
+ ∞+ ∞
= = = + ∞ − = + ∞ − = + ∞∫
● Entre 0 y a, con a > 0, se obtienen los mismos resultados, es decir, las áreas de las regiones A y B son infinitas. ● Entre 1 y 2:
[ ]2
2
1 1
1ln ln 2 ln 1 ln 2 0,6931B dx x
x= = = − = =∫
[ ]1
1
12 1
2
1 1ln ln 1 ln 0 ( ln 2) ln 2 0,6931
2A dy y
y = = = − = − − = = ∫
El valor de la razón es: ln 2
1ln 2
Área ARazón
Área B= = =
● Entre a y b:
377
Matemáticas II SOLUCIONARIO
[ ]1ln ln ln ln
bb
a a
bB dx x b a
x a= = = − =∫
[ ]1
1
11
1 1 1ln ln ln ln ( ln ) ln ln ln
aa
bb
bA dy y a b b a
y a b a = = = − = − − − = − = ∫
El valor de la razón es: ln
1ln
bÁrea A aRazón
bÁrea Ba
= = =
Consideramos 22
1y x
x−= = .
● Entre 0 y 1:
El área de la región B es: 1
1 2
00
1 11 1
0B x dx
x− = = − = − − − = − + ∞ = + ∞ ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
11
12 2A dy y
y
+ ∞+ ∞
= = = + ∞ − = + ∞ ∫
378
Matemáticas II SOLUCIONARIO
● Entre 0 y a, con a > 0, se obtienen los mismos resultados, es decir, las áreas de las regiones A y B son infinitas. ● Entre 1 y 2:
( )2
2 2
11
1 1 1 11 1
2 2 2B x dx
x− = = − = − − − = − = ∫
1
1
14 1
4
1 12 2 2 · 2 1 1
4A dy y
y = = = − = − = ∫
El valor de la razón es: 1
212
Área ARazón
Área B= = =
● Entre 1 y 3:
( )3
3 2
11
1 1 1 21 1
3 3 3B x dx
x− = = − = − − − = − = ∫
1
1
19 1
9
1 1 2 42 2 2 · 2
3 39A dy y
y = = = − = − = ∫
El valor de la razón es:
43 223
Área ARazón
Área B= = =
379
Matemáticas II SOLUCIONARIO
● Entre a y b:
2 1 1 1 1 1bb
aa
B x dxx b a a b
− = = − = − − − = − ∫
2
2
22
11
2 2 2 211
1 2 2 1 12 2
aa
bb
A dy ya b a by
= = = − = − ∫
El valor de la razón es: 2 2
2 2
1 122
1 1Área A a bRazónÁrea B
a b
− = = = −
Consideramos 1n
ny xx
−= = .
● Entre a y b:
1 1 11 1
1 1 1 1 1 11 1 1 1
bb n n n n
n naa
B x dx x b an n n n a b
− − + − + − +− −
= = = − = − − + − + − + − ∫
2
1 1111 1
11
1 11 1 1
nn
nn
n nn a n n
a n nn n
bb
n n nA y dy y
n n a n b
− −−
− = = = − = − − − ∫
1 1
1 11 n n
nn a b− −
= − −
El valor de la razón es: 1 1
1 1
1 11
1 1 11
n n
n n
nÁrea A n a b
Razón nÁrea B
n a b
− −
− −
− − = = = − −
380
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Estudiamos las funciones ,pq p
y x Qq
+= ∈ . Comenzamos con 12y x x= = .
● Entre 0 y 1:
El área de la región B es: 111 32
00
2 2 20
3 3 3B x dx x = = = − = ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
12 3
10
1 1 10
3 3 3A y dy y
+ ∞ = = = − = ∫
El valor de la razón es:
113
2 23
Área ARazón
Área B= = =
● Entre a y b:
El área de la región B es: ( )1
3 3 3 3 32 2 2 2 23 3 3 3
bb
aa
B x dx x b a b a = = = − = − ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
381
Matemáticas II SOLUCIONARIO
( )2 3 3 3 3 31 1 1 13 3 3 3
bb
aa
A y dy y b a b a = = = − = − ∫
El valor de la razón es: ( )( )
3 3
3 3
1 113 3
2 2 23 3
b aÁrea ARazón
Área B b a
−= = = =
−
Consideramos la función ,pq p
y x Qq
+= ∈ entre a y b.
El área de la región B es:
b q qp q p q p qpb p q p qq p q q
aa
q q q qB x dx x b a b a
p q p q p q p q
+ + ++ +
= = = − = − + + + + ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
pq
pq
ppqq
p q p qbp q p q p qq p pp pb p p q q q q
a a
p p pA y dy y b a b a
p q p q p q
+ ++ + +
= = = − = − + + + ∫
El valor de la razón es:
p q p qq q
p q p qq q
p b ap qÁrea A p
RazónÁrea B qq b a
p q
+ +
+ +
−
+ = = =
− +
382
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Estudiamos las funciones ,pq p
y x Qq
−= ∈ . Comenzamos con 12 1
y xx
−= = .
● Entre 0 y 1:
El área de la región B es: 111
20 0
2 2 1 2 0 2B x dx x−
= = = − = ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
( )211
1 1 11 0 1 1A dy
y y
+ ∞+ ∞
= = − = − − − = + = + ∞ ∫
El valor de la razón es: 1 12 2
Área ARazón
Área B= = =
● Entre 1 y 2:
El área de la región B es: ( )212
21 1
2 2 2 2 1 2 2 1B x dx x−
= = = − = − ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
11
2112
2
1 1 11 2 1
12
A dyy y
= = − = − − − = −
∫
383
Matemáticas II SOLUCIONARIO
El valor de la razón es: ( )
2 1 122 2 1
Área ARazón
Área B−
= = =−
● Entre a y b:
El área de la región B es: ( )12 2 2 2 2
bb
a aB x dx x b a b a
− = = = − = − ∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
11
211
2
1 1 1 11 1
aa
b
A dy b ay y
a b
= = − = − − − = −
∫
El valor de la razón es: ( )
122
Área A b aRazón
Área B b a
−= = =
−
384
Matemáticas II SOLUCIONARIO
Podemos comprobar con otras funciones del mismo tipo, por ejemplo:
13
3
1y x
x
−= = ,
23
3 2
1y x
x
−= = ,
32
3
1y x
x
−= = , …
que se obtienen resultados análogos al anterior.
Para finalizar, hacemos, los cálculos para la función 1p
y xp
−= = entre a y b.
El área de la región B es:
bq p q p q p q p q ppb q q q q q q
aa
q q q qB x dx x b a b a
q p q p q p q p
− − − − −−
= = = − = − − − − −
∫
Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:
11
11
1 1...
pp qq
pq
pq
p q p qp pp pq q q
apa
b
b
p p pA y dy
p q p q a p q b
− −
− = = = − = = − − − ∫
q p q p
q qpb a
q p
− − = −
−
El valor de la razón es:
q p q pq q
q p q pq q
p b aq pÁrea A p
RazónÁrea B qq b a
q p
− −
− −
−
− = = =
− −
385
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