spazio dei giunti e spazio operativo lo spazio dei giunti (o spazio delle configurazioni) è lo...
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Spazio dei giunti e spazio operativo
Lo spazio dei giunti (o spazio delle configurazioni) è lo spazio in cui è definito il vettore q delle variabili di giunto. La sua dimensione è indicata con N.Lo Spazio operativo (o spazio Cartesiano) è lo spazio in cui è definito il vettore x = (p, )T. La sua dimensione è indicata con M.
p è il vettore delle coordinate cartesiane della posizione dell’organo terminale. In generale ha dimensione 3x1 (coordinate x,y,z).
è il vettore rappresentante l’orientamento dell’organo terminale. In generale ha dimensione 3x1.
Le dimensioni effettive dei vettori p e dipendono dallo spazio di lavoro e dal compito che il robot deve eseguire.
Il problema cinematico inverso riguarda la determinazione delle variabili di giunto una volta assegnati posizione e orientamento dell’organo terminale.
Il problema cinematico inverso
Le equazioni da risolvere sono in generale non lineari• Non è sempre possibile trovare una soluzione analitica (in forma chiusa)• Si possono avere soluzioni multiple.• Si possono avere infinite soluzioni (manipolatori ridondanti).• In funzione della struttura cinematica del braccio, possono non esistere soluzioni ammissibili.
L’esistenza di una soluzione è sempre garantita se la posizione e l’orientamento desiderati appartengono allo spazio di lavoro destro del manipolatore.
Il problema delle soluzioni multiple è legato non solo al numero di gradi di libertà ma anche al numero di parametri di D-H nulli.
Il problema cinematico inverso
Nei casi in cui non sia facile o non esistano soluzioni analitiche si ricorre a tecniche numeriche di soluzione
Nel caso di manipolatore a sei gradi di libertà l’esistenza di una soluzione analitica è sempre garantita se ricorre almeno una delle seguenti condizioni:
A) tre assi di giunti rotoidali adiacenti si intersecano (polso sferico);
B) tre assi di giunti rotoidali adiacenti sono paralleli
Nel caso A, si può scindere il problema in due sottoproblemi disaccoppiando la soluzione per la posizione da quella per l’orientamento.
Il problema cinematico inverso
Determinazione della relazione tra le velocità dei giunti e le corrispondenti velocità angolari e lineari dell’organo terminale. Tali legami sono descritti da una matrice di trasformazione dipendente dalla configurazione del manipolatore.
Cinematica differenziale
Matrice Jacobiana e cinematica Matrice Jacobiana e cinematica differenzialedifferenzialeSi consideri una funzione vettoriale g(x) di dimensioni (m x 1), i cui elementi gi siano dotati di derivata rispetto al vettore x di dimensioni (n x 1).Si definisce matrice Jacobiana (o Jacobiano) la matrice (m x n)
x
xg
x
xgx
xg
x
xgxJ
m
g
2
1
Se x(t) è una funzione derivabile rispetto a t, si ha
xxJxx
gtxg
dt
dxg g
Jacobiano geometrico = matrice di trasformazione dipendente dalla configurazione corrente del braccio
Jacobiano analitico = matrice delle derivate parziali della funzione di cinematica diretta rispetto alle variabili di giunto
Cinematica differenziale
qqJp
v
q
qkqJ
qqJp
x
A
A
Importanza del calcolo dello Jacobiano del braccio:
• individuazione delle singolarità• analisi della ridondanza• algoritmi per l’inversione cinematica• individuazione del legame tra forze applicate all’organo terminale e coppie sviluppate ai giunti (statica)• derivazione equazioni di moto e sintesi degli schemi di controllo
Cinematica differenziale e statica
Singolarità cinematicheSingolarità cinematiche
Le configurazioni che causano una diminuzione di rango della matrice Jacobiana J sono dette singolarità cinematiche.
In corrispondenza delle singolarità:a) si ha una perdita di mobilità della strutturab) possono esistere infinite soluzioni al problema
cinematico inversoc) velocità ridotte nello spazio operativo possono
causare velocità molto elevate nello spazio dei giunti
Per manipolatori a polso sferico, il problema dell’individuazione delle singolarità può essere disaccoppiato:
• singolarità di polso, caratterizzate nello spazio dei giunti e difficilmente gestibili
det(J22)=0• singolarità di struttura portante, caratterizzate nello spazio operativo (cartesiano) e facilmente evitabili.
det(J11)=0
Singolarità cinematicheSingolarità cinematiche
)det()det()det( 2211
2221
11 0
JJJ
JJ
JJ
Obiettivo della cinematica differenziale è quello di determinare la relazione tra la velocità ai giunti e la velocità dell’organo terminale.
P = Jp(q)q w = Jo(q)q
V = = J(q) q J è lo Jacobiano geometrico del manipolatore
p
w
Cinematica differenziale e statica
Determinare le velocità ai giunti data la velocità nello spazio operativo
V = = J(q) q
q = J-1(q)
Metodi di integrazione numerica consentono di ricavare il vettore q dal vettore delle velocità ai giunti
p
w
p
wJ-1 è l’inversa dello Jacobiano
Cinematica differenziale e statica
StaticaStatica
Lo Jacobiano J lega anche le forze esplicate dall’organo terminale e le coppie applicate ai giunti:
è il vettore delle coppie ai giunti è il vettore delle forze all’organo terminale
qJ T
Pianificazione di traiettoriePianificazione di traiettorie
OBIETTIVO: generare gli ingressi di riferimento per il sistema di controllo del moto:xstart --> xgoal
PERCORSO: luogo dei punti dello spazio dei giunti o dello spazio operativo che il manipolatore deve descrivere nell’esecuzione del movimento assegnatoTRAIETTORIA: percorso su cui è specificata la legge oraria di moto (velocità ed accelerazione in ogni punto)
Pianificazione di traiettoriePianificazione di traiettorie
DATI IN INPUT:definizione del percorsovincoli del percorsovincoli dovuti alla dinamica del manipolatoreDATI IN OUTPUT:nello spazio dei giunti: traiettorie dei vari giuntinello spazio operativo: traiettoria dell’organo terminale
Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti
L’algoritmo di pianificazione genera una funzione q(t) che interpola i valori assegnati per le variabili di giunto nel rispetto dei vincoli imposti.
In generale l’utente individua la posizione e l’orientamento desiderati per l’organo terminale (spazio operativo). Generare una traiettoria nello spazio dei giunti richiede un’inversione cinematica che fornisca i valori di riferimento per le variabili di giunto.
Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti
L’algoritmo di pianificazione deve in generale soddisfare i seguenti requisiti:•Le traiettorie generate devono essere poco onerose dal punto di vista computazionale•Le posizioni e le velocità dei giunti siano funzioni continue del tempo•Siano minimizzati effetti indesiderati (e.g. traiettorie a curvatura non regolare)
Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti
Moto punto-punto: il manipolatore deve muoversi da una configurazione iniziale delle variabili di giunto ad una finale in un intervallo di tempo fissato tf.
Per imporre la legge di moto su un giunto si possono scegliere funzioni polinomiali.
Polinomio cubico: consente di imporre i valori iniziale qi e finale qf delle variabili di giunto e le velocità iniziale e finale (generalmente nulle).
Polinomio di quinto grado: consente di imporre i valori iniziale qi e finale qf delle variabili di giunto, le velocità iniziale e finale e il valore dell’accelerazione iniziale e finale.
Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti
Polinomio cubico:
(velocità parabolica)
(accelerazione lineare)
23
122
3
012
23
3
26
23
atatq
atatatq
atatatatq
I coefficienti del polinomio sono determinati imponendo le 4 condizioni iniziali su posizione e velocità:
fff
ffff
i
i
qatata
qatatata
qa
qa
122
3
012
23
3
1
0
23
Profilo di velocità trapezoidaleProfilo di velocità trapezoidale
Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti Profilo di velocità trapezoidale
Il profilo di velocità trapezoidale è utilizzato in ambito industriale.
Presenta una accelerazione costante nella fase di partenza, una velocità di crociera e una deceleraione costante nella fase di arrivo. La traiettoria corrispondente è di tipo polinomiale misto: un tratto lineare raccordato con due tratti parabolici nell’intorno delle posizioni iniziale e finale.
Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo
L’algoritmo di pianificazione di traiettoria nello spazio operativo genera la legge di moto dell’organo terminale, secondo un percorso di caratteristiche geometriche definite nello spazio operativo.
Per esprimere analiticamente il moto dell’organo terminale si fa riferimento a primitive di percorso.
Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo
Siano p un vettore 3x1 e f() una funzione vettoriale continua nell’intervallo [i, f],
p= f() definisce la rappresentazione parametrica della curva e viene detto parametro.
Si chiama ascissa curvilinea s del punto p la lunghezza d’arco di di estremi p e pi se p segue pi, l’opposto di tale lunghezza se p precede pi.
La relazione p= f(s) fornisce una nuova rappresentazione parametrica di
Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo
In corrispondenza del punto p sono definiti 3 versori caratteristici della curva:
versore tangente
versore normale
versore binormale
ntb
ds
pd
dspd
n
ds
dpt
2
2
2
2
1
Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo
Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativoSegmento nello spazio:Il segmento congiungente il punto pi con il punto pf ha rappresentazione parametrica
La legge oraria lungo il percorso è descritta dalla funzione s(t)
0
1
2
2
ds
pd
ppppds
dp
pppp
spsp
if
if
if
if
i
Controllo del motoControllo del moto
In generale, il problema del controllo di un manipolatore consiste nel determinare l’andamento delle forze o coppie che gli attuatori devono applicare ai giunti in modo da garantire l’esecuzione di operazioni comandate
Il controllo del moto può essere realizzato nello spazio dei giunti o nello spazio Cartesiano.
Controllo nello spazio dei giuntiControllo nello spazio dei giunti
Il problema del controllo nello spazio dei giunti richiede la risoluzione di due problemi:
1) Inversione cinematica per convertire le specifiche di moto espresse nello spazio operativo in specifiche di moto nello spazio dei giunti
2) Sistema di controllo nello spazio dei giunti in grado di garantire l’inseguimento dei riferimenti ottenuti al punto 1)
Controllo nello spazio dei giuntiControllo nello spazio dei giunti
Controllo nello spazio operativoControllo nello spazio operativo
Percezione del robot
Sensori per la percezione dello stato interno del robot (sensori per la misura della posizione dei giunti del braccio, ad es. encoder) utilizzati per il controllo del moto del manipolatore
Sensori per la percezione dello stato esterno del manipolatore (sensori di prossimità, contatto e distanza, ad es. visione) utilizzati per la pianificazione dei comportamenti del robot
Encoder incrementaleEncoder incrementale
Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti
Sistema di controllo PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo):
dt
dee
qqe
dtteKeKeKV
pp
dp
qiqdqp
Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti
Kd
Kp
+
+
+
SistAttuazione
VRobot+/-qd
+/-qd
ep
ep
q
qKi∫
Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti
In ogni istante di campionamento devo passare da q(t) = qact a q(t+dt) = qnext
qact -> qnext : impostare una tensione al motore per far compiere al giuntoqnext – qact gradi
Controllo del motoControllo del moto
Un sistema di controllo fornisce un comando in tensione o in corrente agli attuatori (motori) dei giunti.
La potenza di controllo Pc associata al segnale di controllo deve essere trasformata in potenza utile Pu adatta ad attuare il movimento dei giunti
Controllo del motoControllo del moto
Un sistema di attuazione è costituito da:•una sorgente di alimentazione•un amplificatore di potenza•un servomotore•un organo di trasmissione
Algoritmo del controlloAlgoritmo del controllo
q = 0; p=pi; q=qi;While t<tf
J(q)q(t) = q(t-dt) + q(t-dt)dtq(t) = J-1(q(t-dt)) v(t-dt)t=t+dt
End while
Struttura geometrica del DexterStruttura geometrica del Dexter
8
7
6
5
4
3
2
1
x8
z8 z7
x6 x7
z6
z5
z4
x4x5
x2x3
z3
z2
x0z1
x1
z0
Architettura hardware del Architettura hardware del DexterDexter
Driver di Potenza Dexter
(Attuatori e Encoder)
Schede Controllo
Assi
Convertitore AD/DA
CPUControllo
Tensioni per i
motori
Segnali Encoder
PC
Tensioni di
riferimento
Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore
Il modello dinamico di un manipolatore descrive le relazioni esistenti tra le coppie di attuazione ai giunti e il moto della struttura.
La conoscenza del modello dinamico è fondamentale nei problemi di simulazione del moto, di analisi di strutture di manipolazione e di determinazione degli algoritmi di controllo.
Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore
Per un manipolatore a link rigidi, il modello dinamico nello spazio dei giunti è espresso come:
hqJqgqFqFqqqCqqB Tsv sgn,
Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore
La matrice B è di dimensioni nxn e tiene conto dei momenti di inerzia di ogni link.
Il vettore è di dimensioni nx1 e tiene conto dell’effetto centrifugo e dell’effetto di Coriolis indotto a ciascun giunto
e rappresentano i vettori delle coppie di attrito viscoso e di attrito statico coulombiano
g(q) è il vettore di coppie gravitazionali
è il vettore nx1 delle coppie ai giunti
è il vettore di coppie corrispondenti alle forze esterne h agenti sull’organo terminale
qC
qFv qFs sgn
hJ T
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