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Stahlbau Grundlagen

Das elastische Biegetorsionsproblem 2. Ordnung dünnwandiger Stäbe

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Leitbauwerk Halle

Hallenrahmen als Haupttragsystem mit Lasten Ein möglicher Grenzzustand ist das Biegedrillknicken

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau

3 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau

Einführender Versuch

Der Träger weicht plötzlich aus und verdreht sich unter vertikaler Biegung: Er „drillknickt“.

Daran beteiligt ist die sogenannte „Wölbkrafttorsion“.

Normalkraft

Biegung um z-Achse

Biegung um y-Achse

Wölbkrafttorsion

Illustration der Wölbkrafttorsion

Verdrehung und Verwölbung

yxx ⋅+⋅−⋅+=σ

Schnittgrößenkombination und Normalspannungen

Normalspannung:

Kinematik der Faser Geometrie und Bezeichnung an einem allgemeinen dünnwandigen Querschnitt

M – Schubmittelpunkt

S – Schwerpunkt

dA – infiniteseminales Flächenenelement

u – Verschiebung des Flächenelements in x-Richtung

v – Verschiebung des Flächenelements in y-Richtung

w – Verschiebung des Flächenelements in z-Richtung

ϑ – Verdrehung um den Schubmittelpunkt

Gleichgewicht am verformten Stab

Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in y - Richtung

Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in z - Richtung

Abtriebskräfte an der Faser um den Schubmittelpunkt

( ) ( )( )[ ]

''vdAdp

'dv'vdAd'dvdAdp

dp'dv'vdAd'vdA0F

⋅⋅σ=

+⋅⋅σ+⋅⋅σ=

−+⋅⋅σ+σ+⋅⋅σ−==∑

( ) ( )( )[ ]

''wdAdp

'dw'wdAd'dwdAdp

dp'dw'wdAd'wdA0F

⋅⋅σ=

+⋅⋅σ+⋅⋅σ=

−+⋅⋅σ+σ+⋅⋅σ−==∑

( ) ( )( ) ( )[ ]MM

elTMMx

yy''wzz''vdAdm

dmyy''wdAzz''vdA0M

−⋅−−⋅⋅⋅σ−=

−−⋅⋅⋅σ+−⋅⋅⋅σ−==∑

( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )( ) dA]''yyzz

yywzzv[

dAyy''wzz''vdmm

⋅ϑ⋅−+−−

−⋅−−⋅⋅σ=

⋅−⋅−−⋅⋅σ=−=

∫∫∫

( )[ ]∫∫∫

⋅ϑ⋅−−⋅σ=

⋅σ⋅==

dA''zzv

dA''vdpp

Abtriebskräfte am Querschnitt Integration der elastischen Abtriebskräfte:

( )[ ]∫∫∫

⋅ϑ⋅−−⋅σ=

⋅σ⋅==

dA''yyw

dA''wdpp

( )( ) ''yyw''w

''zzv''v

ϑ⋅−+=

ϑ⋅−−=

Ersetzen von σ durch Schnittgrößen und Integration über den Querschnitt liefert die elastischen Abtriebskräfte:

mit folgenden Querschnittswerten:

yxx ⋅+⋅−⋅+=σ

( )[ ] ( )( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

Wyz MWMzMy2M

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNm

M'ywNp

M'zvNp

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=−

ϑ⋅+ϑ⋅−⋅−=−

ϑ⋅+ϑ⋅+⋅−=−

( ) ( )

dArwI1r dArz

I1r dAry

zyidArA1i

Wzy ∫ ⋅⋅⋅=∫ ⋅⋅⋅=∫ ⋅⋅⋅=

++=∫ ⋅⋅=

−+−=

∫ ⋅=∫ ⋅=

∫ ⋅=∫=

dAwI dAzI

dAyI dAA

Klein!

Zusätzliche Abtriebskräfte am verformten Stab aus äußeren Lasten:

Klein!

Gleichgewicht am verformten Stab Zusätzliche Komponentenmomente

infolge Verdrehung:

ϑ⋅−ϑ⋅

ϑ⋅−=

ϑ⋅+=

ϑ⋅⋅−ϑ⋅⋅−= Mpz

MpyT zpypm

Einarbeitung des elastischen Stoffgesetzes für den Stab unter Biegung und Torsion:

Biegung in y-Richtung:

Biegung in z-Richtung:

Torsion:

( )[ ] ( ) ''y

'' ''My

ϑ⋅−ϑ⋅+⋅+=

( )[ ] ( ) ''z

'' ''Mz

ϑ⋅−ϑ⋅−⋅+=

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ϑ⋅⋅−ϑ⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅=

+=ϑ⋅−ϑ⋅

pzpyMWMzMy2M

'' ''W

zpyprMrMrMiN'

wMvMwyNvzN

mmGIEI

DGL-System des elast. Biegetorsionsproblems 2. Ordn.

Kann man mit Hilfe der FE-Methode „diskretisieren“ (approximieren) . Man erhält so für allg. Stabsysteme mit beliebigen Querschnitten Näherungslösungen. Wir besprechen hier einige für die Praxis wichtige Fälle, die sich „analytisch“ herleiten lassen.

( ) ( )[ ] ' 'M

'' ''Myy zvNMvEIp ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅=

( ) ( )[ ] ' 'M

'' ''Mzz ywNMwEIp ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅=

( ) ( )( ) ( )

( )[ ]Wyz MWMzMy

pzpy''

'' ''WT

rMrMrMiN'

zpypwMvM

wyNvzNGIEIm

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+⋅+⋅+

⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅=

Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes

Doppelt symmetrische Querschnitte unter konstanter Normalkraft Beispiel: I – Profil und Winkelkreuz

Einfach symmetrischer Querschnitt unter konstanter Normalkraft Beispiel: Normalkraft im Schubmittelpunkt, Normalkraft im Schwerpunkt für gleichschenkligen Winkel und T- Profil

3. Beliebiger Querschnitt unter konstanter Normalkraft Beispiel: ungleichschenkliger Winkel

( ) ( )[ ] z' '

'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅

( ) ( )[ ] y' '

'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

MWMzMy2M

'' ''W

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNGIEI

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅

1) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt :

0mpp 0M0M .konstN

======

Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme

- Lösungen sind die elementaren Eulerlasten

1) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt :

0mpp 0M0M .konstN

======

[ ] 0GIrNEI

0wNwEI

0vNvEI

2'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅

=⋅+⋅

=⋅+⋅entkoppelt:

yy,cr lEIN π

⋅= 2

zz,cr lEIN π

π⋅⋅=ϑ T2

w2,cr GIl

( ) ( )[ ] y' '

( ) ( )[ ] z' '

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

MwMzMy2M

'' ''w

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNGIEI

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

0mpp 0M0M .konstN

======

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

Häufig maßgebend

0mpp 0M0M .konstN

======

[ ] 0GIrNEI

0wNwEI

0vNvEI

2'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅

=⋅+⋅

entkoppelt:

yy,cr lEIN π

⋅= 2

zz,cr lEIN π

π⋅⋅=ϑ T2

w2,cr GIl

( ) ( )[ ] y' '

( ) ( )[ ] z' '

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

MwMzMy2M

'' ''w

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNGIEI

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:

0mpp 0M0M .konstN

======

Resultat: - alle Gleichungen homogen - eine Gleichung ist entkoppelt, daher reines

Biegeknicken um y-Achse - gekoppeltes Drillknicken um x- und z-Achse

2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:

→Lösungen über Determinate und Randbedingungen (siehe Knicken)

0mpp 0M0M .konstN

======

[ ] 0zNGIrNEI

0wNwEI

0zNvNvEI

2'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅

=⋅+⋅

=ϑ⋅⋅+⋅+⋅entkoppelt:

Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:

3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

0mpp .konstbNM.konstaNM .konstN

====⋅−==⋅==

↵== zb und ya MM

( ) 0zbNvNvEI ''M

'' ''Mz =ϑ⋅−⋅−⋅+⋅

( ) 0yaNwNwEI ''M

'' ''My =ϑ⋅−⋅+⋅+⋅

( )[ ]( ) ( ) 0wyaNvzbN

GIrarbiNEI''MM

'' ''w yz

=⋅−⋅+⋅−⋅−

ϑ⋅+⋅+⋅+⋅−−ϑ⋅

Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:

3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:

====⋅−==⋅==

↵== zb und ya MM

[ ] 0GIrNEI

0wNwEI

0vNvEI

2'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅

=⋅+⋅

=⋅+⋅entkoppelt:

yy,cr lEIN π

⋅= 2

zz,cr lEIN π

π⋅⋅=ϑ T2

w2,cr GIl

( ) 0zbNvNvEI ''M

'' ''Mz =ϑ⋅−⋅−⋅+⋅

( ) 0yaNwNwEI ''M

'' ''My =ϑ⋅−⋅+⋅+⋅

( )[ ]( ) ( ) 0wyaNvzbN

GIrarbiNEI''MM

'' ''w yz

=⋅−⋅+⋅−⋅−

ϑ⋅+⋅+⋅+⋅−−ϑ⋅

3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:

====⋅−==⋅==

0ba ==

Resultat: - vollständige Kopplung - homogenes Problem

3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:

====⋅−==⋅==

0ba ==

0zNvNvEI ''M

'' ''Mz =ϑ⋅⋅+⋅+⋅

0yNwNwEI ''M

'' ''My =ϑ⋅⋅−⋅+⋅

[ ] 0wyNvzNGIiNEI ''MM

'' ''w =⋅⋅−⋅⋅+ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅

Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes 4.

5. 6. 7.

Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konstantem My Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My Doppelt symmetrischer Querschnitt mit oben bzw. unten angreifender Last Doppelt symmetrischer Querschnitt ohne Gabellagerung

Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konstantem My mit Drehbettung

9. Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konstantem N

( ) ( )[ ] y' '

( ) ( )[ ] z' '

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

MwMzMy2M

'' ''w

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNGIEI

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅

4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My:

Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes

0mpp .konstM0M 0 N

======

Kritisches Moment (früher Kippmoment genannt):

4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My:

0mpp .konstM0M 0 N

======

0rMvMGIEI

'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

z=ϑ⋅⋅−⋅+ϑ⋅−ϑ⋅

=ϑ⋅+⋅entkoppelt:

lGIIc mit π⋅

π⋅= 2

cr,y c2

EIM zz

5) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My:

0mpp linearM0M 0 N

======

0rMvMGIEI

'' ''w

'' ''My

'' ''Mz

z=ϑ⋅⋅−⋅+ϑ⋅−ϑ⋅

=ϑ⋅+⋅

entkoppelt:

1cr EIIGL

⋅⋅+⋅

π⋅⋅=

6) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit oben bzw. unten angreifender Last:

( ) ( )

⋅−⋅+

⋅⋅+⋅

π⋅⋅= g2

1cr zCzCEI

7) Doppelt symmetrischer Querschnitt ohne Gabellagerung:

Der Faktor k bezieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er entspricht dem Verhältnis der Knicklänge zur Systemlänge eines Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1,0 angenommen werden, außer wenn ein Wert kleiner als 1,0 gerechtfertigt werden kann. Der Faktor kw

bezieht sich auf die Verwölbung der Trägerenden. Sind keine Vorkehrungen zur Verhinderung der Verwölbung getroffen worden, ist kw

mit 1,0 anzusetzen.

( ) ( ) ( )

⋅−⋅+

⋅⋅⋅+⋅

π⋅⋅= g2

1cr zCzCEI

IGLkII

LkEICM

DGL-System für einfachsymmetrischen Querschnitt

8) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My mit Drehbettung (z.B. Trapezblech):

0mpp .konstM0M 0 N

======

0cvMGIEI

'' ''W

'' ''My

'' ''Mz

=ϑ⋅+⋅+ϑ⋅−ϑ⋅

=ϑ⋅+⋅

cr,y IG

LcIEGLI

⋅π⋅+⋅

⋅π⋅

π⋅⋅ζ=

( ) ( )[ ] y' '

( ) ( )[ ] z' '

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

MWMzMy2M

'' ''W

rMrMrMiN'

wMvMwyNvzNGIEI

=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+

⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅

9) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N:

0MMmppyLxMM

LxMMM :linearM

yaybyay

======

⋅∆+

⋅−+=

Gl. 1 und Gl.3 liefern inhomogenes DGL- System 2. Ordnung → Biegung, Torsion und Knicken um die y- Achse gekoppelt → Biegedrillknickproblem Gl. 2: Knicken um die z- Achse entkoppelt: Eulerlast

0MMmppyLxMM M

zWTzyM

======

⋅∆+=

( ) ( )[ ] Teil ogenerhomin

'' ''Mz L

xMzvNMvEI )1

ϑ⋅⋅∆−=ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅

0wNwEI )2 ''M

'' ''My =⋅−⋅

zz,cr lEIN π

( ) ( )[ ] ( )''''My

'''Mya

''''w v

LxMMiNvMvzNGIEI )3 ϑ+⋅⋅∆−=+⋅⋅ϑ−⋅+⋅⋅−ϑ⋅+ϑ⋅

Lösung des gekoppelten Biegedrillknickproblems über Reihenansätze (z.B. Taylorreihe). Darstellung in Diagramm für die Praxis:

0,1MMM

Ed,zEd,zzz

Rk,yLT

Ed,yEd,yzy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

0,1MMM

Ed,zEd,zyz

Rk,yLT

Ed,yEd,yyy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1

1. Der Nachweis wird als Interaktion geführt:

und Zweiachsige Biegung und Normalkraft

0,1MMM

Ed,zEd,zzz

Rk,yLT

Ed,yEd,yzy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

0,1MMM

Ed,zEd,zyz

Rk,yLT

Ed,yEd,yyy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

und Zweiachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung und Normalkraft

0,1MMM

Ed,zEd,zzz

Rk,yLT

Ed,yEd,yzy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

0,1MMM

Ed,zEd,zyz

Rk,yLT

Ed,yEd,yyy

Ed ≤

∆+⋅+

γ⋅χ

∆+⋅+

γ⋅χ

und Zweiachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung

2. Momente aus Verschiebung der Querschnittsachsen ∆My,Ed und ∆Mz,Ed:

Muss nur für Klasse 4 Querschnitte ermittelt werden!

Verschiebung der maßgebenden Hauptachse unter reiner Druckbeanspruchung nach 6.2.2.5(4)

3. Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken χLT :

EdzNEdz

EdyNEdy

NeMNeM

λβ−Φ+Φ=χ

λ≤χ

≤χaber

yyLT M

fW ⋅=λ

( )( )2LT0,LTLTLTLT 15,0 λβ+λ−λα+=Φ

E Elastizitätsmodul (E = 210.000 N/mm2) G Schubmodul (G = 80.770 N/mm2) Iz Trägheitsmoment um die schwache Achse

IT Torsionsträgheitsmoment

Iw Wölbwiderstandsmoment

L Trägerlänge zwischen seitlicher Stützung

k, kw Knicklängenbeiwerte

zg Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt

C1, C2 Koeffizienten

Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment:

( ) ( ) ( )

⋅−⋅+

π⋅⋅⋅⋅

⋅π⋅

⋅= g22

1cr zCzCEI

IGLkII

LkEICM

ζ Momentenbeiwert

Ncr ideale Verzweigungslast:

E Elastizitätsmodul (E = 210.000 N/mm2)

Iz Trägheitsmoment um die schwache Achse

IT Torsionsträgheitsmoment

Iw Wölbwiderstandsmoment

c Drehradius des Querschnitts:

L Abstand der Gabellager

zg Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt

Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei Gabellagerung:

(nach Kahlmeyer, Stahlbau nach EC 3)

Momentenbeiwert ς (Korrekturbeiwert kc)

Der Faktor ς ist ein von der Belastungssituation und den Lagerungsbedingungen abhängiger Faktor und kann als ς = kc

-2 angenommen werden

(DIN EN 1993-1-1, Tab. 6.6)

Ermittlung von zg:

zg ist der Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt

zg ist positiv, wenn die Lasten von ihrem Angriffspunkt in Richtung Schubmittelpunkt wirken und somit eine rückdrehende Wirkung haben

Komponenten von Mcr:

Wölbwiderstandsmoment Iw (Näherung bei doppeltsymmetr. Querschnitt) :

h Querschnittshöhe tf Flanschdicke

−⋅=

Knicklängenbeiwerte k und kw:

Der Faktor k bezieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er entspricht dem Verhältnis der Knicklänge zur Systemlänge eines Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1,0 angenommen werden, außer wenn ein Wert kleiner als 1,0 gerechtfertigt werden kann. Der Faktor kw

bezieht sich auf die Verwölbung der Trägerenden. Sind keine Vorkehrungen zur Verhinderung der Verwölbung getroffen worden, ist kw

mit 1,0 anzusetzen.

• Das allgemeine Biegetorsionsdifferentialgleichungssystem nach Theorie II. Ordnung ist in seiner allgemeinen Form komplex:

• i.A. drei gekoppelte DGL

• außerdem haben zunächst alle drei DGLs nicht konstante Koeffizienten, was die Lösung des Systems weiter erschwert

• Schon bei einfachen baupraktischen Systemen treten mehrere Schnittgrößen auf, dadurch ist innerhalb des DGL-Systems eine Interaktion zu berücksichtigen

• Für die Praxis wichtige Fälle • es treten nur entkoppelte Gleichungen auf, wenn die Normalkraft im Schubmittelpunkt angreift und

keine weitere Biegung vorliegt.

• In den entkoppelten Gleichungen fallen dann die elementaren EULERlasten ab

• Normatives Ersatzstabverfahren • Relativ „handliches“ Nachweisformat

• Bei Schnittgrößeninteraktionen ist das Nachweisformat auf den ersten Blick entkoppelt, was die Handhabung erleichtert. Die Kopplung ist jedoch über die Beiwerte erfaßt.

• Im Hinblick auf den Nachweis liegt die wesentliche Hürde in der Ermittlung der kritischen Lasten Mcr => analog zum Biegeknicken

Zusammenfassung

[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983 [2] DIN EN 1993-1-1 Beuth Verlag [3] Petersen – Stahlbau Vieweg, 3. Auflage, 2001 [4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982 [5] Kahlmeyer – Stahlbau nach EC 3 Werner Verlag, 6. Auflage, 2012

Schrifttum

Anhang - Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1

Koeffizienten C1, C2:

C1 und C2

sind Koeffizienten, die von der Belastung und von den Lagerungsbedingungen an den Enden abhängen.

1. reine Endmomentenbelastung:

2. Bauteil mit Querbelastung:

3. Bauteil mit Endmomenten und Querbelastung:

Parameter:

ψ Verhältnis der Momentenverteilung

µ Verhältnis des Momentes infolge Querlast zum maximalen Endmoment Fall a) Endmomente mit einer gleichmäßig verteilten Last Fall b) Endmomente mit einer Last in Feldmitte Vorzeichenregelung von µ: µ >0 wenn M und die Querlast (q oder F), jeweils für sich betrachtet, den

Träger in die gleiche Richtung biegen µ <0 ansonsten

M8Lq 2

⋅⋅

µ > 0

Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C1

µ < 0

µ > 0

µ < 0

µ > 0

Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C1

µ < 0

µ > 0

µ < 0

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