statisticni modeliˇ - regresija -agri.bf.uni-lj.si/.../html/biomrac/gradivo/07a.regresija.pdf ·...

Statisti cni modeli- regresija -

Milena Kovac

23. november 2007

Biometrija 2007/08 1

Linearna regresija

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka:

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Odvisna spremenljivka:

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna spremenljivka,N-porazdelitev)

Model:

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna spremenljivka,N-porazdelitev)

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Regresijski koeficient:

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna spremenljivka,N-porazdelitev)

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Regresijski koeficient: b = 0 to ck / leto

Ekvivalentni model:

Biometrija 2007/08 2

Sestavimo model!

Neodvisna spremenljivka: leto preizkušnje(x, kvantitativna in diskretna spremenljivka,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna spremenljivka,N-porazdelitev)

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Regresijski koeficient: b = 0 to ck / leto

Ekvivalentni model: yi = µ + ei

Biometrija 2007/08 3

Vzporedno z x-osjo?

Biometrija 2007/08 4

Linearna regresija

Biometrija 2007/08 5

Linearna regresija

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient:

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model:

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Obrazložitev povezave:

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Obrazložitev povezave:Indeks PV naraš ca za 3.7 to ck na leto. V 10 letih se jetako indeks PV pove cal za 37 to ck.

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Obrazložitev povezave:Indeks PV naraš ca za 3.7 to ck na leto. V 10 letih se jetako indeks PV pove cal za 37 to ck.

Popravek? Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?

Biometrija 2007/08 6

Odgovorite

Regresijski koeficient: (142−105)(94−84)

.= 3.7to cke / leto

Model: yi = µ + b (xi − 80) + ei

Obrazložitev povezave:Indeks PV naraš ca za 3.7 to ck na leto. V 10 letih se jetako indeks PV pove cal za 37 to ck.

Popravek? Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?Povezava je dokaj dobro opisana, a lahko bi bilobolje ...

Biometrija 2007/08 7

Polinom druge stopnje

Biometrija 2007/08 7

Polinom druge stopnje

yi = µ + bI (xi − 80) + bII (xi − 80)2 + ei

Biometrija 2007/08 8

Polinom tretje stopnje

Napišimo ena cbo modela!

Biometrija 2007/08 9

Polinom tretje stopnje

yi =µ+bI (xi − 80)+bII (xi − 80)2+bIII (xi − 80)3+ei

Linearni clen · · · + bI (xi − 80)1 +

Biometrija 2007/08 9

Polinom tretje stopnje

yi =µ+bI (xi − 80)+bII (xi − 80)2+bIII (xi − 80)3+ei

Linearni clen · · · + bI (xi − 80)1 +

Kvadratni clen + bII (xi − 80)2 +

Biometrija 2007/08 9

Polinom tretje stopnje

yi =µ+bI (xi − 80)+bII (xi − 80)2+bIII (xi − 80)3+ei

Linearni clen · · · + bI (xi − 80)1 +

Kvadratni clen + bII (xi − 80)2 +

Kubni clen + bIII (xi − 80)3 + · · ·

Biometrija 2007/08 10

Zamol cana resnica o podatkih

Na grafu prikazujemo indeks PV pri treh pasmah!

Biometrija 2007/08 11

Vgnezdene regresijske ena cbe

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke:

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka:

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)

Model:

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)

Model: yij = µ + Pi + bi (xij − 80) + eij

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)

Model: yij = µ + Pi + bi (xij − 80) + eij

Ekvivalentni model:

Biometrija 2007/08 12

Sestavimo model!

Neodvisne spremenljivke: pasma ( kvalitativna s.)leto preizkušnje (x, kvantitativna in diskretna s.,regresija)

Odvisna spremenljivka: indeks plemenske vrednosti(y, kvantitativna in zvezna s., normalna porazdelitev)

Model: yij = µ + Pi + bi (xij − 80) + eij

Ekvivalentni model: yij = µi + bi (xij − 80) + eij

Pomnimo: regresija je vgnezdena znotraj vpliva pasmevsaka pasma ima svojo regresijsko premico

Biometrija 2007/08 13

Vgnezdene premice: ocene

µ1 = 78.5 to ck b1 = 4.6 to ck / leto

µ2 = 94.4 to ck b2 = 3.1 to ck / leto

µ3 = 109.5 to ck b3 = 2.5 to ck / leto

Preseciš ca z y-osjo so izvrednotena za leto 1980!

Ekstrapolacija ni dovoljena!

Biometrija 2007/08 14

... še nekaj ocen ...

yij = µi + bi (xij − 80) + eij

A B CP xij yij P xij yij P xij yij

1 80 2 80 3 801 85 2 85 3 851 90 2 90 3 901 100 2 100 3 100

(Letom bi morali prišteti 1900, vendar pa smo rajeostali pri manjših vrednostih!)

Biometrija 2007/08 15

... še nekaj ocen ...

yij = µi + bi (xij − 80)

Biometrija 2007/08 15

... še nekaj ocen ...

yij = µi + bi (xij − 80)

A B CP xij yij P xij yij P xij yij

1 80 78.5 2 80 94.4 3 80 109.51 85 101.5 2 85 109.9 3 85 122.01 90 124.5 2 90 125.4 3 90 134.51 100 170.5 2 100 156.4 3 100 159.5

Biometrija 2007/08 15

... še nekaj ocen ...

yij = µi + bi (xij − 80)

A B CP xij yij P xij yij P xij yij

1 80 78.5 2 80 94.4 3 80 109.51 85 101.5 2 85 109.9 3 85 122.01 90 124.5 2 90 125.4 3 90 134.51 100 170.5 2 100 156.4 3 100 159.5

Ekstrapolacija ni dovoljena!

Biometrija 2007/08 16

Vgnezdeni polinomi

Krivulje rišemo samo na intervalu, na katerem imamopodatke.

Biometrija 2007/08 17

Vgnezdeni polinomi: ocene

yij = µ + Pi + bIi (xij − 80) + bIIi (xij − 80)2 +bIIIi (xij − 80)3 + eij

Enote to ck / leto to ck / leto 2 to ck / leto 3

bI1 = 1357.4 bII1 = −15.41 bIII1 = 0.0584

bI2 = 1022.1 bII2 = −11.74 bIII2 = 0.0450

bI3 = 888.0 bII3 = −10.22 bIII3 = 0.0392

Biometrija 2007/08 18

Dogovor pri polinomih!

• regresijske koeficiente ozna cujemo z malo crko b

• neodvisno spremenljivko ozna cimo z x

• pri polin. višje stopnje dodamo indeks za stopnjopolin.

• praviloma rimsko, izjemoma arabsko številko

• potenca pri neodvisni spremenljivki je enakaindeksu pri regresijskem koeficientu

• pri dolo canju stopnje polinoma pomagamo si lahkotudi z grafom

Biometrija 2007/08 19

Dnevni poraba krme in subjektivna ocena

(podatki so simulirani in ne prikazujejo dejanske povezave!)

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi:

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.:

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.:

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.: subjektivna ocena

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.: subjektivna ocena (y, N-porazd.)

Model:

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.: subjektivna ocena (y, N-porazd.)

Model: yij = µ + Si + bixij + eij

Ekvivalentni model:

Biometrija 2007/08 20

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),dnevna poraba krme (x, kvantit. vpliv, 3 premice)

Neodvisna sprem.: dnevna poraba krme ( regresija)

Odvisna sprem.: subjektivna ocena (y, N-porazd.)

Model: yij = µ + Si + bixij + eij

Ekvivalentni model: yij = µi + bixij + eij

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti:

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo:

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo: S1, S2, S3 ali µ1, µ2, µ3

Parametri:

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo: S1, S2, S3 ali µ1, µ2, µ3

Parametri: µ, S1, S2, S3, b1, b2, b3

Število parametrov:

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo: S1, S2, S3 ali µ1, µ2, µ3

Parametri: µ, S1, S2, S3, b1, b2, b3

Število parametrov: 1 + 3 + 3 = 7

Število stopinj prostosti:

Biometrija 2007/08 21

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo: S1, S2, S3 ali µ1, µ2, µ3

Parametri: µ, S1, S2, S3, b1, b2, b3

Število parametrov: 1 + 3 + 3 = 7

Število stopinj prostosti: 1 + (3− 1) + 3 = 6

Komentar:

Biometrija 2007/08 22

Dnevni poraba krme in subjektivna ocena

Biometrija 2007/08 23

Komentar

Subjektivne ocene (SO) so odvisne od dnevne porabekrme (DPK). Ko DPK naraš ca, se v modri in crniskupini tudi SO pove cujejo. V crni skupini sovrednosti na opazovanem intervalu nižje kot v modriskupini, se pa pove cujejo hitreje. SO v rde ci skupinipa z naraš canjem DPK padajo. ... dodamo diskusijo,primerjavo z literaturo, zakaj odstopanja ...

Ali smo povezavo dovolj dobro opisali?

Biometrija 2007/08 23

Komentar

Subjektivne ocene (SO) so odvisne od dnevne porabekrme (DPK). Ko DPK naraš ca, se v modri in crniskupini tudi SO pove cujejo. V crni skupini sovrednosti na opazovanem intervalu nižje kot v modriskupini, se pa pove cujejo hitreje. SO v rde ci skupinipa z naraš canjem DPK padajo. ... dodamo diskusijo,primerjavo z literaturo, zakaj odstopanja ...

Ali smo povezavo dovolj dobro opisali? Da.

Biometrija 2007/08 24

Subjektivne ocene

• subjektivne ocene imajo praviloma le nekaj ocen

• skala 1 - 3, samo celo vrednosti• skala 1 - 10, samo cele vrednosti• skala 1 - 5, dovoljene tudi vmesne ocene (korak 0.5)• porazdelitev ni zvezna, zato ni normalna• ce je razporeditev ocen simetri cna in v skladu z

normalno porazdelitvijo, lahko pri obdelavipredostavimo normalno porazdelitev

• kondicijo smo ocenjevali zvezno (izjema), podatkesmo simulirali s pomo cjo normalne porazdelitve,zato lahko privzamemo, da je porazdelitev normalna

Biometrija 2007/08 25

Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ:

Biometrija 2007/08 25

Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1:

Biometrija 2007/08 25

Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2:

Biometrija 2007/08 25

Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S3:

Biometrija 2007/08 25

Stopinje prostosti

• število ocenljivih parametrov

• koliko parametrov moram oceniti, da vem vse ovplivu?

• parameter µ: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter S3: izra cunamo, ne ocenjujemo iz

podatkov, 0 s.p.

µ = 13 (S1 + S2 + S3) ⇒ S3 = 3µ− (S1 + S2)

Biometrija 2007/08 26

Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1:

Biometrija 2007/08 26

Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2:

Biometrija 2007/08 26

Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b3:

Biometrija 2007/08 26

Stopinje prostosti

• regresija

• parameter b1: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b2: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.• parameter b3: ocenimo iz podatkov, 1 s.p.

• oceniti moramo vsak regresijski koeficient, skupaj 3

• tako imamo 3 stopinje prostosti

Biometrija 2007/08 27

Stopinje prostosti - povzetek

Parameter Številopa-ram.

Število sto-pinj prosto-sti

Pojasnilo

µ 1 1Glavni vpliviz nivoji p p− 1 µ = 1

p

∑Si

Regresije p p

Vgnezdenivplivi

∑pi qi

∑(qi − 1) Ai =

∑qij Bij

Interakcije∑

pq∑

(p− 1) (q − 1)Ai =

∑qj ABij

Biometrija 2007/08 28

Rojstna masa in prirast

(podatki so simulirani in ne prikazujejo dejanske povezave!)

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi:

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka:

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)

Odvisna spremenljivka:

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)

Odvisna spremenljivka: prirast

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)

Odvisna spremenljivka: prirast (y, N-porazdelitev)

Model:

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)

Odvisna spremenljivka: prirast (y, N-porazdelitev)

Model: yij = µ + Si + bixij + eij

Ekvivalentni model:

Biometrija 2007/08 29

Sestavimo model!

Vplivi: skupina ( kvalitativni v., z nivoji, Si),rojstna masa (x, kvantitativni vpliv)

Neodvisna spremenljivka: rojstna masa (3 premice)

Odvisna spremenljivka: prirast (y, N-porazdelitev)

Model: yij = µ + Si + bixij + eij

Ekvivalentni model: yij = µi + bixij + eij

Biometrija 2007/08 30

Parametri

Regresijski koeficienti:

Biometrija 2007/08 30

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo:

Biometrija 2007/08 30

Parametri

Regresijski koeficienti: b1, b2, b3

Preseciš ca z y-osjo: S1= S2= S3 ali µ1= µ2= µ3vse tri premice imajo isto prese ciš ce z y-osjo

Biometrija 2007/08 31

Sestavimo model! (nadalj.)

Primeren model:

Biometrija 2007/08 31

Sestavimo model! (nadalj.)

Primeren model: yij = µ + bixij + eij

Komentar: ... poskusimo, ceprav so zaklju ckineuporabni ...

Biometrija 2007/08 31

Sestavimo model! (nadalj.)

Primeren model: yij = µ + bixij + eij

Komentar: ... poskusimo, ceprav so zaklju ckineuporabni ... Primer prikazuje izjemo, ko smemoizpustiti vpliv, ki ima vgnezdeno regresijo ...

Ali smo povezavo dobro opisali?

Biometrija 2007/08 31

Sestavimo model! (nadalj.)

Primeren model: yij = µ + bixij + eij

Komentar: ... poskusimo, ceprav so zaklju ckineuporabni ... Primer prikazuje izjemo, ko smemoizpustiti vpliv, ki ima vgnezdeno regresijo ...

Ali smo povezavo dobro opisali? Da.

Dolo cite število parametrov v vseh treh modelih!

Dolo cite število stopinj prostosti!

Dolo cite število opazovanj v vseh treh modelih!(Število živali v skupinah je razli cno.)

Biometrija 2007/08 32

Primerjava modelov

Število opazovanj v poskusu: n = n1 + n2 + n3

yij = µ + Si + bixij + eij µ Si bi model ostanekŠtevilo parametrov 1 3 3 7 —Število stopinj prostosti 1 2 3 6 n− 6yij = µi + bixij + eij µi bi model ostanekŠtevilo parametrov 3 3 6 —Število stopinj prostosti 3 3 6 n− 6yij = µ + bixij + eij µ bi model ostanekŠtevilo parametrov 1 3 4 —Število stopinj prostosti 1 3 4 n− 4

Biometrija 2007/08 33

Ekvivalentni modeliModeli so ekvivalentni:

• ce imajo isto število ocenljivih parametrov

• ce ocenljivi parametri zagotavljajo iste zaklju cke

• opisujejo podatke precej podobno (isti vplivi, samodruga oblika)

Prva dva modela na zadnji tabeli sta ekvivalentna:

• v prvem modelu parameter S3 ni ocenljiv,

• v drugem nismo vklju cili skupne srednje vrednosti(µ), ampak srednje vrednosti za posamezne skupine(µi)

Biometrija 2007/08 34

Debelina hrbtne slanine

✔ DHS se pri praši cih z maso med 90 in 110 kgpove cuje za nekako 0.10 mm/kg. Ce vemo, da se jemasa spremenila za 10 kg, pri cakujemo lahko za1 mm debelejšo DHS. Pri 100 kg je npr. povpre cnaDHS 13 mm.

1. Odvisna spremenljivka:

2. Neodvisna spremenljivka:

3. Regresijski koeficient:

4. Narišimo graf!

Biometrija 2007/08 35

Debelina hrbtne slanine

✔ DHS se pri praši cih z maso med 90 in 110 kgpove cuje za nekako 0.10 mm/kg. Ce vemo, da se jemasa spremenila za 10 kg, pri cakujemo lahko za1 mm debelejšo DHS. Pri 100 kg je npr. povpre cnaDHS 13 mm.

1. Odvisna spremenljivka: Debelina hrbtne slanine

2. Neodvisna spremenljivka: maso

3. Regresijski koeficient: 0.10 mm/kg

4. Narišimo graf!

Biometrija 2007/08 36

Ocene debeline hrbtne slanine

• Napišimo ena cbo za oceno DHS od 90 do 100 kg!

yi = b0 + b1(xi − 100) =

Biometrija 2007/08 36

Ocene debeline hrbtne slanine

• Napišimo ena cbo za oceno DHS od 90 do 100 kg!

yi = b0 + b1(xi − 100) = 13.0 + 0.10 ∗ (xi − 100)

• Parametra b0 in b1 sta ocenjeni z ocenama b0 in b1

• Izracunajmo nekaj to ck (za premico najmanj dve!)

Masa (kg) 90 94 98 100 102 106 110DHS (mm) 12.0 12.4 12.8 13.0 13.2 13.6 14.0

Biometrija 2007/08 36

Ocene debeline hrbtne slanine

• Napišimo ena cbo za oceno DHS od 90 do 100 kg!

yi = b0 + b1(xi − 100) = 13.0 + 0.10 ∗ (xi − 100)

• Parametra b0 in b1 sta ocenjeni z ocenama b0 in b1

• Izracunajmo nekaj to ck (za premico najmanj dve!)

Masa (kg) 90 94 98 100 102 106 110DHS (mm) 12.0 12.4 12.8 13.0 13.2 13.6 14.0

Kadar se mudi, zadostujeta za premico samo dve to cki!

• Sedaj pa še narišimo graf!

Biometrija 2007/08 37

Graf za debelino hrbtne slanine

Biometrija 2007/08 38

Pomni!

1. Regresijski koeficient ima vedno sestavljeno enoto:v števcu od odvisne spremenljivke, v imenovalcu paod neodvisne spremenljivke (npr. mm/kg, to ck/leto)

2. Za ponazoritev uporabimo GRAF S CRTAMI.Neodvisno spremenljivko nanesemo na os X,odvisno na os Y.

3. Kvantitativne vplive praviloma opišemo z regresijo.Izjeme so izredno redke.

4. Porazdelitev neodvisne sprem. prilagodimoposkusu!

Biometrija 2007/08 39

5. Pri regresiji s pomo cjo neodvisne (pojasnjevalne)spremenljivke ocenimo, pojasnimo odvisnospremenljivko

Biometrija 2007/08 40

Nacrt poskusa pri kvantitativnih vplivih

1. Neodvisna spremenljivka - dolo cimo interval

2. Opazovanja enakomerno pozazdelimo na intervalu

3. Vec opazovanj naredimo lahko

(a) pri ekstremnih vrednosti neodvisne spremenljivke(b) kjer pri cakujemo zavoje

4. Neodvisna spremenljivka ima lahko

(a) samo nekatere vrednosti (npr. 90, 94, 98, 100 kg...)(b) vse vrednosti na intervalu(c) porazdelitev NI POMEMBNA!