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Prof. Guido Franchini
INDICE TEORIA • Campo di esistenza • Intersezione con gli assi • Segno (positività e negatività) • Limiti • Asintoti • Derivata prima (crescenza e decrescenza) • Derivata seconda (concavità e convessità) • Punti di stazionarietà (massimi, minimi e flessi) ESERCIZI • Studio di funzione e rappresentazione grafica • Studio di funzione parametrica e rappresentazione grafica
Studio di funzioneScaricabile su: http://lezioni.jimdo.com/
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PROCEDURA PER LO STUDIO DI FUNZIONE Per studiare e rappresentare graficamente ogni funzione del tipo
"")( xlacontenenteeespressionxf = bisogna svolgere i seguenti punti:
1. Campo di esistenza (o dominio) Per determinare il campo di esistenza (o dominio), cioè i valori delle x per i quali la funzione esiste, bisogna mettere a sistema una nuova condizione ogni volta che si trova nella funzione: • denominatore contenente l’incognita:
Condizione: tutto l’asse reale con però il denominatore posto diverso da zero
• radice pari, cioè alla seconda, alla quarta, alla sesta, ecc…: Condizione: porre il termine sotto radice maggiore o uguale a zero
• logaritmo: Condizione: porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero
Se né denominatori, né radici pari, né logaritmi sono presenti nella funzione, il campo di esistenza e' tutto l'asse reale. Tutti i punti delle estremità del campo di esistenza così trovato sono i punti di discontinuità della funzione e vanno segnati sul grafico con un pallino vuoto (o bianco)
2. Intersezioni con gli assi Il possibile punto di inteserzione con l’asse y si trova mettendo a sistema la funzione con l’equazione x = 0. Se il sistema dà risultato impossibile la funzione non interseca l’asse y. I possibili punti di intersezione con l’asse x si trovano mettendo a sistema la funzione col l’equazione y = 0. Se il sistema dà risultato impossibile la funzione non interseca l’asse x. Notare che ogni funzione può avere solo una intersezione con l’asse y, ma più di una con l’asse x. I punti così ottenuti vanno segnati sul grafico con un pallino pieno (o nero).
3. Segno (positività e negatività) Serve per individuare in quali parti del piano passera' il grafico della funzione. Si deve porre la funzione maggiore di zero e trovare per quali valori di x e' verificata: per tali valori il grafico sara' sopra l'asse delle x e quindi si “cancella” la parte sotto l’asse delle x, mentre per valori diversi sara' sotto e quindi si “cancella” la parte sopra.
TEORIA
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4. Limiti Per vedere come la funzione si comporta si calcola il limite della funzione con x che tende a: • - ∞ , ma solo se è un valore compreso nel dominio
• tutti gli eventuali punti di discontinuità (cioè gli estremi degli intervalli del dominio)
• + ∞ , ma solo se è un valore compreso nel dominio Graficamente, per ogni limite i risultati ottenuti si indicano con delle linette nel piano cartesiano come se fossero dei punti: la coordinata x è il valore a cui tende la x nel limite, mentre la coordinata y è il risultato del limite. Tali linette rappresentano la funzione in quella zona del piano cartesiano.
5. Asintoti
Esistono 3 tipologie di asintoti: Orizzontale: esistono se il calcolo del limite con la x che tende a - ∞ o + ∞ aveva dato un “valore
finito” (cioè un numero). Corrispondono alla retta orizzontale del tipo y = “valore finito” e possono essere al massimo 2: uno riferito al limite con la x che tende a - ∞, l’altro a + ∞.
Obliquo: possono esistere se il calcolo del limite con la x che tende a - ∞ o + ∞ aveva dato un
“valore infinito”. Corrispondono alla retta obliqua del tipo y =m*x+q, dove m e q sono numeri da definire secondo il procedimento illustrato nell’esercizio [1] e possono essere al massimo 2: uno riferito al limite con la x che tende a - ∞, l’altro a + ∞.
Verticale: esistono se il calcolo del limite con la x che tende ad un punto di discontinuità aveva
dato un “valore infinito” (cioè + ∞ o - ∞). Corrispondono alla retta verticale del tipo x = “punto di discontinuità” e possono essere tanti quanti sono i punti di discontinuità.
Graficamente, sono delle rette tratteggiate a cui la funzione si avvicina sempre di più nella zona relativa al limite associato.
Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Studio di funzione su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra avete trovato una parte del capitolo"Teoria"
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Data la funzione
si chiede di determinare
a) Il dominio , dove è continua , i limiti agli estremi del campo di definizione , eventuali asintoti;
b) Dove la funzione è derivabile , la sua derivata ed eventuali punti angolosi e cuspidi;
c) Gli intervalli di monotonia , massimi e minimi relativi e assoluti , estremo superiore ed
inferiore;
d) Un grafico qualitativo della funzione .
Svolgimento :
1.
2. Intersezioni Assi
=
ℜ∈∀/⇒
=
=⇒
=−
= ++
00
0
0
2
13
2
13
y
x
y
e
y
xx
ey
x
x
3. Segno della Funzione
2,0020)( 2 ><⇒>−> xxxxxf
2,0:.. ≠≠ℜ∈∀⇒ xxxEC
( )xx
exf
x
22
13
−=
+
Es. 3
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4. Limiti
+∞=⇒
∞+∞+
=−
⇒
∞+∞+
=−
=−
+∞=−
−∞=−
−∞=−
+∞=−
+++
+
++
++
+∞→+∞→+∞→
−∞→
+→−→
+→−→
2
9
22
3
2
02
2,
2
2,
2
1313
2
13
2
13
2
13
2
13
2
13
2
13
limlimlim
lim
2lim
2lim
0lim
0lim
xxx
x
xx
xx
eH
x
eH
xx
e
xx
e
xx
e
xx
e
xx
e
xx
e
xxx
x
xx
xx
5. Asintoti
asintoti verticale , asintoto orizzontale
Verifica dell’esistenza dell’asintoto obliquo , qmxy += , per +∞→x
+∞=⇒
∞+∞+
=−
⇒
∞+∞+
=−
∞+∞+
=−
⇒
∞+∞+
=⋅−
+++
++
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→=
6
27
46
9
43
3
2
1
2
1313
2
13
23
13
2
13
limlimlim
limlim
xxx
xx
eH
x
eH
xx
eH
xx
e
xxx
e
xxx
xxm
non esiste quindi l’asintoto obliquo.
0=y2,0 == xx
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6. Derivata 1^
( ) ( )( )
( )( )
( )( )22
213
22
213
22
13213
2
283
2
2263
2
2223)('
xx
xxe
xx
xxxe
xx
xexxexf
xxxx
−
+−=
−
+−−=
−
−−−=
++++
3
104,
3
10402830)(' 2 +
>−
<⇒>+−⇒> xxxxxf
La ( )xf assume minimo relativo in 3
104 +=x e massimo relativo in
3
104 −=x .
Il grafico :
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Riassumendo :
La ( )xf risulta continua in : ] [ ] [ ] [∞+∞−∈ ,22,00, UUx ; ( )xf risulta derivabile in :
] [ ] [ ] [∞+∞−∈ ,22,00, UUx .
La ( )xf risulta monotòna crescente in : ] [
∞+
+
−∞−∈ ,
3
104
3
104,00, UUx ;
monotòna decrescente in :
+
−∈
3
104,22,
3
104Ux .
La ( )xf assume minimo relativo in 3
104 +=x ; massimo relativo in
3
104 −=x .
La ( )xf ha come estremo superiore ( )+∞=fsup ; come estremo inferiore ( )−∞=finf .
Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Studio di funzione su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra trovate solo uno dei 55 esercizi svolti presenti nel capitolo "Esercizi"
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Esercizio 691
Studio della funzione:
ln2 xf (x) = − lnx (82)
2
Soluzione Insieme di definizione La funzione e definita in X = (0,+∞). Intersezioni con gli assi
ln2 xf (x) = 0 − lnx = 0 (83) ⇐⇒
2
Per risolvere tale equazione poniamo:
t = ln x (84)
Quindi:
t2 (t
)
2 − t = 0 ⇐⇒ t
2 − 1 = 0 ⇐⇒ t = 0, t = 2 (85)
Ripristinando la variabile x:
43
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t = 0 = ln x = 0 = x = 1⇒ ⇒2t = 2 = ln x = 2 = x = e⇒ ⇒
Percio:
A (1, 0) , B(e2 , 0
)∈ γ ∩ x (86)
Inoltre:
0 = x 6∈ X = ⇒ ∄P ∈ γ ∩ yStudio del segno
ln2 xf (x) > 0 − lnx > 0 (87) ⇐⇒
2
Eseguendo nuovamente il cambio (84):
t2
2 − t > 0 t < 0, t > 2⇐⇒
che corrispondono a
lnx < 0 x ∈ (0, 1) (88) ⇐⇒lnx > 2 x ∈ (2,+∞) ,⇐⇒
cio implica:
f (x) > 0 x ∈ (0, 1) ∪ (2,+∞)⇐⇒per cui il grafico giace nel semipiano y > 0 per x ∈ (0, 1) ∪ (2,+∞), e nel semipiano y < 0 per x ∈ (1, 2). Comportamento agli estremi Abbiamo:
(ln2 x
)
xlim f (x) =
xlim
2 − lnx = ∞−∞ (89)
0+ 0+→ →
Poniamo: t = ln x
(t2
) (1 1
)
lim f (x) = lim = lim t2 = x→0+ t→−∞ 2
− tt→−∞ 2
−t
+∞,
quindi l’asse y e asintoto verticale.
(t2
)
lim f (x) = lim 2 − t +∞,=
x t→+∞ →+∞
Esaminiamo la presenza di eventuali asintoti obliqui:
44
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( )
f (x) (
ln2 x lnx)
m = lim = lim x→+∞ x x→+∞ 2x
− x
ln2 x lnx= lim lim ,
x→+∞ 2x−
x→+∞ x
ln2 x H lnx H 1 lim =
∞= lim =
∞= lim = 0
x→+∞ 2x ∞ x→+∞ x ∞ x→+∞ x
percio:
m = 0 = ∄ asintoti obliqui ⇒Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge:
f ′ (x) =lnx− 1
(90) x
f ′′ (x) =2 −
2
lnx
x
Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Calcoliamo gli zeri di f ′ (x):
f ′ (x) = 0 lnx = 1 x = e⇐⇒ ⇐⇒pertanto x = e e un punto estremale. Studiamo il segno di f ′ (x):
f ′ (x) > 0 ln x− 1
> 0 x ∈ (e,+∞) ,⇐⇒ x
⇐⇒
per cui la funzione e strettamente crescente in (e,+∞) ed e strettamente decrescente in (0, e). Quindi x = e e punto di minimo relativo per f . Ed e anche punto di minimo assoluto:
1 m e,−
2
Studio della derivata seconda Determiniamo gli zeri di f ′′ (x):
f ′′ (x) = 0 lnx = 2 x = e2 ⇐⇒ ⇐⇒Il segno della derivata seconda:
f ′′ (x) > 0 lnx < 2 x ∈ (0, e2
),⇐⇒ ⇐⇒
per cui γ e concavo verso l’alto in (0, e2) e concavo verso il basso in (e2 ,+∞). Percio x = e2
e punto di flesso. Notiamo che tale punto e uno zero di f (x), quindi il flesso e il punto B(eq. 86).Il grafico completo e riportato in figura (25).
45
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y
1 x=e x=e2x
1
2
3
4
Figure 25: Grafico della funzione f (x) = ln2
2 x − ln x
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