subgroups and quotient groups of solvable groups are solvable _ project crazy project

Subgroups and quotient groups of solvable groups are solvable

Prove that subgroups and quotient groups of solvable groups are solvable.

We prove some lemmas first.

Lemma 1: Let   be a group and let   with   normal in  . Then  is normal in  . Proof: Let  . Then 

 because   and  . 

Lemma 2: Let  ,  , and   be groups with   normal in  . Then   is normal

in   and there is an injective homomorphism  .

Proof: Let   be the natural projection. Certainly  ,

and if  , we have  , and so  . By the First Isomorphism

Theorem, the induced homomorphism   is injective. 

Lemma 3: Let   be a group and   such that   is normal in   and 

 is normal, and  . Then   is normal. Proof:

Let  . Then  . 

Let   be a solvable group. Then there exists a subnormal series 

 such that   is abelian for all 

.

Let   be a subgroup. By Lemma 1 we have 

. Moreover, by

Lemma 2 we have   abelian. Thus   issolvable.

Let   be a normal subgroup. Now   is normal byLemma 3, so that 

. Moreover, 

 is abelian by the Third Isomorphism

Theorem. Hence   is solvable.

What is this?

On these pages you will find aslowly growing (and poorlyorganized) list of proofs andexamples in abstract algebra.

No doubt these pages are riddledwith typos and errors in logic,and in many cases alternatestrategies abound. When youfind an error, or if anything isunclear, let me know and I will fixit.

Contact

Send email to "project (dot) crazy(dot) project (at) gmail (dot)com".

Navigation

Mega IndexColophonFAQ

Search PCP

  Search

Categories

Exercises (1,576)AA:DF (1,320)IS:P (43)TAN:PD (213)

Incomplete (11)Meta (7)

Crazy Page Views

3,940,434

Tag Cloud

abelian group algebraicinteger ring alternatinggroup basis center (group)commutative ring complexnumbers

computation

Project Crazy Projectunnecessary lemmas. very sloppy. handwriting needs improvement.

Like

One blogger likes this.

Related

Classify groups of order Classification of groups Bounds on the index of

neal On July 11, 2011 at 11:09 pm Permalink | Reply

nbloomf On July 11, 2011 at 11:41 pm Permalink | Reply

neal On July 12, 2011 at 12:01 am Permalink | Reply

nbloomf On July 18, 2011 at 1:16 pm Permalink | Reply

neal On October 1, 2011 at 7:07 pm Permalink | Reply

nbloomf On October 1, 2011 at 7:55 pm Permalink | Reply

1111 On November 27, 2011 at 12:59 am Permalink | Reply

« Finite abelian groups have subgroups of every order dividing the order ofthe group

Every finite group has a composition series »

By nbloomf, on April 11, 2010 at 11:00 am, under AA:DF, Incomplete. Tags: quotient group, solvablegroup, subgroup. 13 Comments

Post a comment or leave a trackback: Trackback URL.

Comments

why is N(K/N) = N again, thanks

I think you’re talking about Lemma 3.   is not true, and I’m notseeing it here. Where is that step?

By the way, with the benefit of hindsight I can see that Lemma 3 is just part ofthe Lattice Isomorphism Theorem.

in lemma 3 where it says a(N(K/N)) = a(N/K), I’m just beginning to understand theidea of a coset

Eh… looking more closely, this solution is messed up. I’m going to have torewrite it later when I have more time. For now I’ll mark it ‘incomplete’.

So sorry for the inconvenience!

hey so is that operation well defined the one where aN K/N = aK/N,

i know aN is a coset of N and K/N is the set of all cosets ( can’t assume it has agroup structure since N is not assumed to be normal), so how do you multiplythem. thanks

I haven’t gotten around to fixing this one yet. It the (implicit, now explicit)assumption that  , then   is in fact normal in  , and , so it works.

The ‘mod  ‘ notation is a little misleading here.   really means a set ofequivalence classes in   with respect to the relation   if and only if 

.

Again, this will eventually be rewritten.

the indices are wrong, H_i is a subgroup of H_{i+1}

computationconjugate

counterexample cyclenotation cyclic group degreedihedral group directproduct direct sum divisibilityfactorization field fieldextension finite fieldfinite group gaussianintegers general linear groupgenerating set greatestcommon divisor groupgroup action grouphomomorphism group

presentation Gröbner basis idealintegers integral domainintersection irreduciblepolynomial isomorphism jordancanonical form kernel lineartransformation matrixmaximal ideal modulararithmetic module normnormalizer normalsubgroup order (groupelement) polynomialpolynomial ring primeprime ideal principal idealprincipal ideal domain quadraticfield quadratic integer ring quaterniongroup quotient group quotientring rational numbersrationals real numbersrelatively prime ring semidirectproduct semigroup simplegroup subgroup subgroupindex subgroup lattice sylow'stheorem sylow subgroupsymmetric grouptensor product vectorspace

Tools

DetexifyDitaa WorkspaceGraphViz WorkspaceMathURLNoMSGWolframAlpha

Similar Projects

4p, where p is a primegreater than 3

of order 2p² an intersection of twosubgroups

In "AA:DF"In "AA:DF"

In "AA:DF"

Follow

nbloomf On November 28, 2011 at 10:30 am Permalink | Reply

Gobi Ree On November 29, 2011 at 3:27 am Permalink | Reply

nbloomf On November 29, 2011 at 8:56 am Permalink | Reply

Gobi Ree On November 29, 2011 at 8:06 am Permalink | Reply

nbloomf On November 29, 2011 at 8:56 am Permalink | Reply

Gobi Ree On November 29, 2011 at 9:50 am Permalink | Reply

Thanks!

In lemma2, you can define   and obviously  .Then by the 1st isom thm, the result follows. We don’t have to check welldefinedness and injectivity.

Thanks that’s much better.

In the text, the definition of a solvable group requires just a subnormal series, nota composition series. And this definition is in wikipedia, too. Is it a mistake thephrase “composition series” in your post?

That was a mistake on my part. However, I think either works in this case, sinceany composition series of a solvable group will serve as a witness to solvability(i.e., have abelian intermediate quotients) and any witness to solvability (i.e.subnormal series with abelian intermediate quotients) can be refined to acomposition series.

I wrote an answer to the case of quotients groups. But it’s a little long and actuallyI wanted to write a post in wordpress, so I wrote it in my wordpress. (First post lol!)I’ll be very glad if you read it, thanks!http://gobiree.wordpress.com/2011/11/29/quotientgroupsofasolvablegrouparesolvable/

Leave a Reply

Folland's Real Analysis

Posts By Date

March 2012 (1)February 2012 (13)January 2012 (63)December 2011 (35)November 2011 (30)October 2011 (31)September 2011 (16)August 2011 (41)July 2011 (31)June 2011 (150)May 2011 (156)April 2011 (30)March 2011 (31)February 2011 (28)January 2011 (31)December 2010 (32)November 2010 (30)October 2010 (50)September 2010 (60)August 2010 (31)July 2010 (93)June 2010 (120)May 2010 (93)April 2010 (60)March 2010 (31)February 2010 (70)January 2010 (211)December 2009 (15)

Recent Comments

nbloomf on Subgroups of finite indexforce the existence of (possiblynontrivial) normal subgroups ofbounded indexGogo on Subgroups of finite indexforce the existence of (possiblynontrivial) normal subgroups ofbounded indexnbloomf on Describe the kernel andfibers of a givengroup homomorphism032234 on Describe the kernel andfibers of a givengroup homomorphismGroup isomorphisms on If a grouphas an automorphism which is fixedpoint free of order 2, then it is abelianAndrew on Odd degree extensions offormally real fields are formally realtjm1991 on Describe the kernel andfibers of a givengroup homomorphismRD Reese on Characterize the centerof a group ringkimochis on Find all possible orders

Enter your comment here...

Follow “ProjectCrazy Project”Get every new post deliveredto your Inbox.

Join 272 other followers

Enter your email address

Sign me up

Build a website with WordPress.com

of elements in Sym(5)kimochis on Find all possible ordersof elements in Sym(5)kimochis on Find all possible ordersof elements in Sym(5)Nicolas on Determine which matricesbelong to a given setRedlock on Inductive step of theJordanHolder Theoremnbloomf on The regular 9gon is notconstructible by straightedgeand compassJohn on The regular 9gon is notconstructible by straightedgeand compass

Intuition comes from experience,experience comes from failure,and failure comes from trying.

Diversions

Hark, a vagrantMS Paint AdventuresSaturday Morning Breakfast Cereal

Blog at WordPress.com. | The NotesIL Theme.