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T. Thangaï LP Le Verger
Suites numériques
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Sommaire
• Suites arithmétiques– Exemple 1– Définition– Calcul d’un terme– Exemple 2– Terme de rang n– Somme n premiers termes– Exemple
T. Thangaï LP Le Verger
Sommaire
Suites géométriques– 1. Définition – 2. Terme de rang n– 3. Somme des n premiers termes– Application
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Suites arithmétiques
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I. I. DéfinitionDéfinition
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• Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite.
• Le premier terme ou terme de rang 1 est noté U1 ;
• la raison est notée r.
• Le terme de rang n est noté Un ;
• le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un -1
• Dans ces conditions :
• Un = Un -1 + r.
• Par exemple : U2 = U1 + r ; U3 = U2 + r, etc.
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II. II. Calcul d’un Terme de rang Calcul d’un Terme de rang nn
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U1 U2 U3 U4
U1 U2 = U1 + r U3 = U1 + 2 r U4 = U1 + 3 r
Plus généralement, on remarque que:
Un = U1 + (n ‑1) r
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III. III. Somme des n premiers termes d’une Somme des n premiers termes d’une suite arithmétiquesuite arithmétique
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ExempleExemple
On donne une suite arithmétique de premier terme U1
et de raison r 1. Calculer en fonction de U1 et U7 :
2. On constate donc que: U1 + U7 = U2 + U6 = U3 + U5 = U4 + U4 = U5 + U3 = U6 + U2 = U7 + U1
U2 + U6 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7
U3 + U5 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7
U4 + U4 = U1 + (U4 + 3 r)= U1 +U7
U5 + U3 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7
U6 + U2 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7
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3. Pour calculer la somme S7 des 7 premiers termes de cette suite arithmétique en fonction de U1 et r,
On écrit S7 de 2 façons différentes:
S7 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7
S7 = U7 + U6 + U5 + U4 + U3 + U2 + U1
2×S7 = (U1 + U7) + (U2 + U6) + (U3 + U5) + (U4 + U4) + (U5 + U3) + (U6 + U2) + (U1 + U7)
2×S7 = 7× (U1 + U7)
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D’où: 1 7
7
( )7
2
U US
On démontre que pour tout nombre entier n > 1la somme des n premiers termes d’une suite
arithmétique de premier U1 et de raison r est donnée par la relation:
1( )
2n
n
U US n
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Suites géométriquesSuites géométriques
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Une suite géométrique est une suite de nombres, tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient
en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison de la suite.
Le premier terme est noté U1 ; La raison est notée q.
Le terme de rang n est noté Un ; Le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un - 1
Dans ces conditions : Un = Un -1 ×q.
Par exemple : U2 = U1 × q
U3 = U2 × q, etc
1. Définition
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Voir exemple : activité suite géométrique
(séance informatique)
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Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U1 et de la raison q
2. Terme de rang n d’une suite géométrique :
On a donc :
Un = Un -1 ×q
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Un = Un -1 ×q
Écrire les termes U2 à U7 de cette suite en fonction de U1 et de q
U2 = U1 × qU3 = U2 × q
U4 = U3 × qU5 = U4 × q
U6 = U5 × qU7 = U6 × q
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Sachant que tous les termes de cette suite sont non nuls, donner le résultat du produit membre à membre des expressions suivantes
U2 = U1 × qU3 = U2 × q
U4 = U3 × qU5 = U4 × q
U6 = U5 × qU7 = U6 × q
U7 = U1 × q6 = U1 × q7 - 1
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U1 U2 U3 U4
U1 U2 = U1 ×q U3 = U1 ×q2 U4 = U1 ×q3
×q ×q ×q
et plus généralement: Un = U1 ×q(n ‑1)
On admet donc que:
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On considère une suite géométrique de premier terme U1 et raison q( ). 1q Soit S6 la somme des 6 premiers termes de cette
suite géométrique :
S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6
1. Montrer que: q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7
q S6 = q×U1 + q×U2 + q×U3 + q×U4 +q× U5 + q×U6
= U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7
3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique :
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2. Montrer que:
S6 – q× S6 = U1 - U7 = U1 – U1×q6
Pour cela, on a:
S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6
q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7
S6 – q S6 = U1 - U7 Ou encore
S6 ×(1– q ) = U1 – U1×q6 = U1×(1 - q6 )
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3. Montrer que:
6
6 1
1
1
qS U
q
On a : (1 – q)× S6 = U1 (1 – q6 ) donc:
6
6 1
1
1
qS U
q
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La somme Sn d’une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q(q 1) est donnée par la relation :
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ……… + Un =
Remarque :
Si q = 1, alors Sn = n×U1
1
11
nqU
q
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Application
Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite
géométrique de premier terme 1 et de raison .1
2
6
6 1
1
1
qS U
q
61
12
11
12
6
11
212
6
6
2 1 632
2 32
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