tabela derivadas e integrais
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
€
sen2a + cos2 a = 1
tg x = sen xcos x
cotg x =cos xsen x
€
sec x =1
cos x
cosec x =1
sen x
€
sen2a + cos2 a = 11 + tg2x = sec2x1 + cotg2x = cosec2xsen2x = 1/2(1- cos 2x)cos2x = 1/2(1 + cos 2x)
€
sen 2x = 2sen x cos xsen x cos y =1/2[sen(x − y) + sen(x + y)]sen x sen y =1/2[cos(x − y) − cos(x + y)]cos x cos y =1/2[cos(x − y) + cos(x + y)]
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
€
senh x =ex − e− x
2
cosh x =ex + e− x
2
€
tgh x =ex − e− x
ex + e− x
cotgh x =ex + e− x
ex − e− x
€
sech x =2
ex + e− x
cosech x =2
ex − e− x
TABELA DE DERIVADAS. 1.
€
y = c⇒ y'= 0 2.
€
y = sen u⇒ y'= cos u.u' 3.
€
y = senh u⇒ y'= cosh u.u' 4.
€
y = ax⇒ y'= a 5.
€
y = cos u⇒ y'= −sen u.u' 6.
€
y = cosh u⇒ y'= senh u.u' 7.
€
y = c.u⇒ y'= c.u' 8.
€
y = tg u⇒ y'= sec2 u.u' 9.
€
y = tgh u⇒ y'= sech2u.u' 10.
€
y = u + v⇒ y'= u'+v' 11.
€
y = cotg u⇒ y'= −cosec2u.u' 12.
€
y = cotgh u⇒ y'= −cosech2u.u' 13.
€
y = u.v⇒ y'= (u.v' ) + (v.u' ) 14.
€
y = secu⇒ y'= sec u.tg u.u' 15.
€
y = sech u⇒ y'= −(sech u).(tgh u.u' )
16.
€
y =uv⇒ y'=
v.u'( ) − u.v'( )v 2
17.
€
y = cosec u⇒ y'= −cosec u.cotg u.u' 18.
€
y = cosech u⇒ y'= −(cosech u).(cotgh u.u' )
19.
€
y = un , (n ≠ 0)⇒ y'= n.(un−1).u' 20.
€
y = arc sen u⇒ y'= u'1− u 2
21.
€
y = arg senh u⇒ y'= u'u 2 +1
22.
€
y = au , a ≥ 0,a ≠ 1( ) ⇒ y'= au . lna.u' 23.
€
y = arc cos u⇒ y'= −u'1− u 2
24.
€
y = arg cosh u⇒ y'= −u'u 2 −1
,u > 1
25.
€
y = eu ⇒ y'= eu .u' 26.
€
y = arc tg u⇒ y'= u'1+ u 2( )
27.
€
y = arg tgh u⇒ y'= −u'1− u 2 , u < 1
28.
€
y = loga u⇒ y'= u'uloga e 29.
€
y = arc cotg u⇒ y'= −u'1+ u 2( )
30.
€
y = arg cotgh u⇒ y'= u'1− u 2 , u > 1
31.
€
y = lnu⇒ y'= u'u
32.
€
y = arc sec u, u ≥ 1⇒ y'= u'u u 2 −1
, u > 1 33.
€
y = arg sech u⇒ y'= −u'u 1− u 2
,0 < u < 1
34.
€
y = uv ⇒ y'= (v.uv−1.u' ) + (uv . lnu.v' ) 35.
€
y = arc cosec u, u ≥ 1⇒ y'= −u'u u 2 −1
, u > 1 36.
€
y = arg cosech u⇒ y'= −u'u 1+ u 2
, u ≠ 0
INTEGRAIS
1.
€
du∫ = u+C 2.
€
adu∫ = au+C 3.
€
undu∫ =un+1
n + 1+ C, n ≠ -1
4.
€
duu∫ = ln | u |+C 5.
€
audu∫ =au
lna+ C, a > 0 e a ≠ 1 6.
€
eudu = eu +C∫
7.
€
cu du∫ = c u du∫ 8.
€
sen u du = − cos u +C∫ 9.
€
cos u du = sen u +C∫
10.
€
tg u du = lnsec u +C∫ 11.
€
cotg u du = ln sen u +C∫ 12.
€
secu du = lnsecu + tg u +C∫
13.
€
cosec u du = ln cosec u − cotg u +C∫ 14.
€
sec u tg u du = sec u + C∫ 15.
€
cosec u cotg u du = −cosec u + C∫
16.
€
sec2 u du = tg u +C∫ 17.
€
cosec2u du = −cotg u +C∫ 18.
€
duu 2 + a 2∫ =
1aarc tg u
a+C
19.
€
dua2 − u2∫ =
12a
ln u + au − a
+C, u2 > a2 20.
€
duu 2 ± a 2
∫ = lnu + u 2 ± a 2 +C 21.
€
duu a 2 ± u 2∫ = −
1aln a + a 2 ± u 2
u+C
22.
€
du
a2 − u2∫ = arc sen ua
+C, u2 < a2 23.
€
duu u 2 − a 2∫ =
1a
arc sec ua
+C 24.
€
senh u du = cosh u +C∫
25.
€
coshu du = senh u +C∫ 26.
€
sech2u du = tgh u +C∫ 27.
€
cosech2u du = −cotgh u +C∫
28.
€
sech u tgh u du = −sech u +C∫ 29.
€
cosech u cotgh u du = −cosech u +C∫
€
udv = uv − vdu∫∫
Fórmulas de Recorrências
1.
€
sennu du∫ = −1n
senn−1u cos u + n -1n
senn−2u du∫
2.
€
cosnu du∫ =1n
cosn−1u sen u + n -1n
cosn−2u du∫
3.
€
tgnu du∫ =1
n −1tgn−1u − tgn−2u du∫
4.
€
cotgnu du∫ = −1n −1
cotgn−1u − cotgn−2u du∫
5.
€
secnu du∫ =1
n −1secn−2u tg u + n - 2
n -1secn−2u du∫
6.
€
cosecnu du∫ = −1n −1
cosecn−2u cotg u + n -2n -1
cosecn−2u du∫
7.
€
du(u2 + a2)n∫ =
u(u2 + a2)1−n
2a2 (n −1)+
2n − 32a2 (n −1)
du(u2 + a2)n−1∫
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
€
a2 − u2 = a cosθu = asen θdu = a cos θdθ
€
u2 + a2 = a secθu = atg θdu = a sec2θ dθ
€
u2 − a2 = a(tg θ )u = asec θdu = a(sec θ )(tg θ )dθ
€
senmx cosn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes
n ímpar Separe um fator de cos x Aplique a identidade Faça a substituição u = sen x
xx 22 sen1cos −=
m ímpar Separe um fator de sen x Aplique a identidade Faça a substituição u = cos x
xx 22 cos1sen −=
n par m par
Utilize a identidade relevante para reduzir as potências de sen x e cos x.
)2cos1(21cos
)2cos1(21sen
2
2
xx
xx
+=
−=
€
tgmx secn x dx∫ Procedimento Identidades Relevantes
n par Separe um fator de sec2 x Aplique a identidade Faça a substituição u = tg x
€
sec2 x = tg2x +1
m ímpar Separe um fator de sec x tg x Aplique a identidade Faça a substituição u = sec x
€
tg2x = sec2 x −1
n ímpar m par
Utilize a identidade relevante para reduzir o integrando somente às potências de sec x. Utilize as fórmulas de redução para potências de sec x.
€
tg2x = sec2 x −1
COMPRIMENTO DE ARCO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
€
L = 1 + [ f ' (x)]2dxa
b
∫
OU
€
L = 1 + [g' (y)]2dyc
d
∫
Se f é contínua para
€
x ≥ a⇒ f (x)dxa
+∞
∫ = limb→+∞
f (x)dxa
b
∫ , se existir
Se f é contínua para
€
x ≤ b⇒ f (x)dx−∞
b
∫ = lima→−∞
f (x)dxa
b
∫ , se existir
Se f é contínua para todo x
€
⇒ f (x)dx−∞
+∞
∫ = lima→−∞
f (x)dxa
0
∫ + limb→+∞
f (x)dx0
b
∫ se existirem
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