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Tabla de Derivadas e Integrales
Función Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=0
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=1
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
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Tabla de Integrales
Integral de Función No hay Ejemplos
INTEGRALES DE INTERES.(10-8-2006). D.Pedro Rosa
LOGARITMOS
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
Ejemplos
1. log 2 8 = 3 si 2 3 = 8
2. log 3 1/9 = -2 si 3 -2 = 1/9
Práctica I Expresa los siguientes logarítmos en su notación exponencial.
3. log 10 1000 = 3 si 103 = 1000
4. 53 = 125 si log5 125 = 3
5. 4 1/2 = 2 si log42 = 1/2
6. 10-2 = 1/100 si log10 1/100 = -2
1. log 64 4 = 1/3 2. log 13 13 = 1 3. log 1/3 27 = -3 II Expresa los siguientes exponentes en su forma logarítmica 1. 4 3 = 64 2. 8 -2 = 1/64 3. 25 1/2 = 5 III Evalúa los siguientes logarítmos. 1. log 8 8 = 2. log 8 1 = 3. log 2 32 =
Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es diez. Ejemplo
Si , entonces x = 2, porque la base es diez y tenemos
Llamamos logarítmo natural , , a un logaritmo cuya base es e ( e 2.71828).
Ejemplo Si ln 2.718 = x entonces x =.99998, porque la base es e, Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en la calculadora.
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Su calculadora solo puede calcular logarítmos naturales o base 10, por lo tanto ,si desea resolver un logarítmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base.
FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE
Si u > 0 y si a y b son números reales positivos distinto de uno, entonces
Ejemplo
Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. log 9 .3 = x
2. log 2 20 = p
ECUACIONES LOGARÍTMICAS Leyes de los logarítmos: Sean M y N valores positivos,
, entonces:
Simplifica las siguientes expresiones expresándolas en término de un solo logaritmo de ser posible. 1. log b ( x+1) - log b (x+2) 2. log b x + 2 log b (x-1) 3. log b (x-1) + log b 3 - log b (x+1)
I
II
4. 2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x)
III
Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS #1 Aplicar las propiedades de logaritmos que sean necesarias para expresar la ecuación
con un solo logaritmo.#2 Simplificar de ser necesario#3 Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos.#4 Despejar para la variable#5 Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados. 1. log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2
#1 Utilizamos la propiedad de la multiplicación
#2 Expandimos el argumento del logaritmo
#3 Utilizar la definición de logaritmos
#4 Resolver la ecuación
#5 IMPORTANTE Por definición el argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto verificamos las respuestas en el logaritmo correspondiente y la solución serán los valores que cumplan con la definición
es solución de la ecuación
no es Solución de la ecuación
2. log ( x 3 - 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1
4. log 2 4 = 0 x - 2
3. log 3 2x - log 3 (x + 5 ) = 0
5. log x + log 5 = 2
ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución. EJEMPLO 1
1. Aplica la
definición de logaritmo.
2. Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.
EJEMPLO 2
1. Aplica la
definición de logaritmo.
2. Aplica la propiedad del exponente.
3. Despejar para la variable
4. Se evalúa el
logaritmo usando la fórmula de cambio de base.
EJEMPLO 3
1. Aplica
logaritmo a ambos lados de la ecuación.
2. Aplica la propiedad del exponente.
3. Despeja para la variable
Reúne los logaritmos a un lado de la ecuación y al otro lado los términos con
PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE Evalúa
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6. Resuelve para x
la variable. Se evalúan
los logaritmos
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FUNCIóN LOGARíTMICA
Para toda b > 0 y b 1, la ecuación es una función logarítmica con base b y Dominio x > 0. PROPIEDADES
1. Dominio { x > 0 }
2. Rango consiste en todos los números reales.
3. Para b > 1:
la gráfica de esta función es creciente y cóncava hacia abajo.
4. Para 0 < b < 1:
la gráfica de esta función es decreciente y cóncava hacia arriba
5. Es una función uno a uno, por consiguiente tiene función inversa..
6. No tiene intercepto en y.
7. El par ordenado (1, 0) pertenece a su gráfica.
8. El eje de y es asíntota vertical de la función. Observe que las propiedades de las funciones logarítmicas son similares a las funciones exponenciales. La función logarítmica es función inversa de la función exponencial. EJEMPLO 1 f( x) = log 2 x
EJEMPLO 2 f( x) = log 1/2 x
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