talasna svojstva Čestica

TALASNA SVOJSTVA ČESTICA

Student:

Bojan BorovacPredmetni nastavnik

Prof. Dr. Jugoslav Karamarković

IDEJA I DOKAZ TALASNIH SVOJSTVA ČESTICA

- 1923. g. de Brolj podstaknut dualizmom svetlosti dolazi na ideju da setaj dualizam prenese i na čestice u obliku sledeće hipoteze:

Svaka čestica koja se kreće brzinom v, odnosni poseduje impuls p može se pridružiti talas koji karakteriše talasna dužina λ=p/h.

- Javlja se mogućnost definisanja talasnog vektora k

Izraz važi kada je v << c ( c – brzina svetlosti )

h

pλ

pk

p

kk 2ili skalarno

→

- Ukupna energija tada za česticu koja nije slobodna ( nalazi se u potencijalnoj jami ) iznosi

Iz izraza mozemo izvući

UEm

h

2

Um

pE

2

2

UEmp 2

i zamenom dobijamo novi izraz za talasnu dužinu:

- Ideja o talasima materije nije bila eksperimentalno pokazana što bi

potvrdilo njeno postojanje. Trebalo je pokazati sledeće:

1) Da ova ideja ne protivreči prihvaćenim pojmovima makrofizike,

jer pripisuje talasna svojstva i makročesticama.

2) Da se mogu registrovati talasne pojave ( kao interferencija,

difrakcija ) u nekim eksperimentima sa makročesticama.

Dokaz:

Zbog svoje male talasne dužiine ( za elektron sa energijom 150,9 eV

dobija se λ ≈ 10-10m ) bilo je nemoguće napraviti difrakcionu rešetku kojom

bi se dokazala difrakcija, zbog reda talasne dužine rastojanja između ravni

susednih atoma.

Javila se ideja da zbog ove svoje osobine kristal posluži kao difrakciona

rešetka.

HAJZENBERGOVE RELACIJE NEODREĐENOSTI

- Kako se mikrosistemi teorijski mogu opisati?

Stanje klasične čestice može se opisati pomoću koordinata

=(x,y,z) i impulsa ( ili brzine ) čestice = (px,py,pz). Bitno je istaći da

su greške pri određivanju koordinata ( npr. Δx za x koordinatu ) i impulsa

Δpx međusobno nezavisne i da zavise samo od eksperimentalne tačnosti.

Znači da za idealni slučaj greške bi trebale biti nula.

Iz primera difrakcije videće se da nije bas tako.

pr

xp

dx upadni snop elektronarasejani snop

posmatrač

putna razlika Δs

2sin

ds

sin

1

2x

sinsin

hppx

hh

xpx 2

1

2

xpx 0

Odavde se dobija da:

i ovo predstavlja Hajzenbergovu relaciju neodređenosti.

Data relacija može se analizirati i sa drugog stanovištva:

tEtxFtxt

p

t

txpxp x

xxx

odavde možemo zaključiti da pored zavisnosti Δpx i Δx postoji

i zavisnost:

tE 0

i obrnuto.

Može se zaključiti da su Hajzenbergove relacije neodređenosti

posledica složene prirode mikročestica i da se pomoću klasične mehanike

ne može opisati stanje takvih složenih makrosistema.

FIZIČKI SMISAO TALASA MATERIJE

Podstaknut analogijom sa dualnošću svetlosti koja se može

opisati talasnom funkcijom E. Šredinger je 1926. g. predložio da se

čestice opisuju pomoću talasnih funkcija i tako zasnovao novu teoriju

talasnu mehaniku.

Za slobodnu česticu može se napisati jednačina oblika:

trkrkiAtrktrAtr sincos,,Amplituda

faza trktr ,

Intenzitet određujemo sledecom jednačinom:

22

222 sincos AtrkAtrkA

Maks Born je sličnu interpretaciju uveo u kvantnu mehaniku:

-Verovatnoća da se čestica nađe u delu prostora ΔV proporcionalna

je kvadratu modula talasne funkcije. Matematički to izgleda ovako:

Vtr 2

,Ukupna vrednost nalaženja čestice u celom prostoru “ normirana na 1 “

tj.

1,2

i

ii

i Vtr

U praksi se za kvadrat modula talasne funkcije koristi izraz gustina

verovatnoće.

Na kraju treba rezimirati osnovne postavke nove kvantne

mehanike:

1) Stanje sistema se opisuje pomoću talasne funkcije, pri čemu važi

princip superpozicije: ako se sistem može naći u stanjima datim funkcijama

Ψ1 i Ψ2 ( ili više ), on može biti u stanju koje je njihova linearna kombinacija:

( brojevi a i b određuju se za svaki konkretan slučaj posebno )

2) Kvadrat modula talasne funkcije daje gustinu verovatnoće

nalaženja čestice u okolini tačke u momentu t.

21 ba

r

BOROVA TEORIJA ATOMA VODONIKA

ATOMSKI SPEKTRI

Tokom XIX veka veoma je napredovala teorija o poznavanju atoma

proučavanjem zračenja koje on emituje. Utvrđena je činjenica da gasovi emituju

linijske spektre. Difrakcionim metodama su se mogle odrediti njihove talasne

dužine.

U to vreme atom vodonika ( i atomi vodonikovog tipa ) bili su interesa-

ntni za proučavanje zbog proste građe.

Uočene su grupe linija kojima je Ridberg našao zavisnost u obliku:

R = 1,09737*107 m-1 - ridbergova konstanta

Razmak između susednih linija opada i završava se graničnom vredno-

šću ( n → ∞ )

22

1

2

11

nR

za n = 3,4,5...

Rg

22

Pomenuta grupa linija se naziva Balmerova serija. Postoje i druge

grupe linija i to u raznim delovima spektra pa se može napisati opšta formula:

m = 1 Lajmanova serija

m = 2 Balmerova serija

m = 3 Pašenova serija

m = 4 Breketova serija

m = 5 Pfundova serija

m = 6 Hamfrijeva serija

Pojavljivanju celih brojeva odmah je pridat poseban značaj, mada

pravog objašnjenja za tu pojavu nije bilo.

22

111

nmR

n = m+1, m +2, ...

MODELI ATOMA

- Tomsonov model atoma

Tomson je atom formulisao kao statički model. On je atom predstavio kao homogenu pozitivno naelektrisanu loptu dimenzije atoma u kojoj su usađeni elektroni kao "šljive u puding".

Model je bio dosta nestabilan.

- Raderfordov model atoma

Raderfor je svoj model atoma predstavio po uzoru na planetarni sistem ( jezgro je bilo kao sunce, a elektroni kao planete ).

Iako dosta bolji od predhodnog modela i ovaj model imao je u sebi dosta nedostataka.

BOROVI POSTULATI

1) Elektroni u atomima mogu postojati samo u određenim stanjima

( na određenim putanjama, sa određenim energijama, na određenom energi-

jskom nivou ) koje se ne menjaju bez spoljašnjeg dejstva. To su tzv. stacionarna

stanja ( putanje, orbite ) atoma ( elektrona ). U ovim stanjima atom ( elektron )

ne emituje niti apsorbuje elektromagnetno zračenje.

2) Pri kretanju po kružnoj orbiti elektron može imati samo određene,

diskretne vrednosti momenta impulsa ( količine kretanja )

2

hnrm nnn ...3,2,1nza

3) Kada atom ( elektron ) prelazi iz jednog stacionarnog stanja sa

energijom En u stanje sa energijom Em , on emituje ili apsorbije kvant energije

h * ٧, koji je jednak razlici energija ova dva stanja:

mn EEh

PRORAČUN SPEKTROSKOPSKIH VELIČINA

U BOROVOM MODELU

Posmatramo elektron koji se nalazi u stanju sa energijom En.

Broj n = 1,2,3... zove se kvantni broj. Trebalo je odrediti energiju elekrtona

i veličine koje karakterišu elektron.

Kinetička energija:

Smatra se da Kulonova sila uzrokuje kružno kretanje i to brzinom

stalnom po intenzitetu tako da ona uzrokuje centripetalno ubrzanje pa

II Njutnov zakon glasi:

2

2

1nn mK

Potencijalna energija:

nn r

ZeU

2

04

1

2

2

0

2

4

1

nn r

Ze

r

m

2

0

2

4

1Zerm nn

nn r

Zem

2

0

2

4

1

(A)

Iz poslednjih izraza dobijamo:

2n

n

UK

A ukupna energija:

n

nnnn r

ZeUUKE

24

1

2

2

0

(B)

Ako iz uslova (A) iskoristimo kvantni moment impulsa dobijamo:

hn

Ze

hn

Zen

2

00

2 2

4

12

4

Time je određena brzina na n-toj putanji.

222

222

0

2

02

2

0 44

4

1

4

1

Ze

hn

m

Ze

m

Zer

nn

Ako izrazu (A) zamenimo vn dobijamo:

22

22

0 24

mZe

hn

Uvrstimo rn u izraz (B) i dobijamo

2220

42

22

222

20

2

0 8

2

4

1

24

1

hn

meZ

hn

mZe

r

ZeE

nn

Ovo je izraz za energiju n-tog nivoa atoma vodonikovog tipa .

Za n = 1 on se naziva i osnovni nivo ili osnovno stanje. Ostali nivoi sa

većim n odgovaraju pobuđenim nivoima.

Posmatrajmo atom čiji je eletron pobuđen na n-ti nivo i sa njega

prelazi na m-ti. Razlika energija je:

22

242

20

22

242

20

2

4

12

4

1

hm

meZ

hn

meZEEE eemn

0112

4

1222

242

20

nmh

meZE e

PRIMENA TALASNIH SVOJSTVA ČESTICA

- Jedna od najvećih primena talasnih svojstva čestica je

konstruisanje elektronskog mikroskopa.

yagrevanje niti

visok negativni napon

sabirno sočivo

sočivoobjektiva

pomoćno sočivo

projekcionosočivo

ekran za posmatranje

nit

namotaj za centriranje

uzorak

pomoćnilik

konačnilik

fotoploča