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Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
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TEMA 5
CAMPO ELÉCTRICO
1.- Cargas eléctricas. Electrización. 2.- Ley de Coulomb.
I. Principio de superposición. 3.- Campo eléctrico. 4.- Líneas del campo eléctrico. 5.- Energía potencial eléctrica.
I. Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales. 6.- Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo eléctrico. Potencial eléctrico.
I. Potencial en un punto de un sistema de cargas puntuales. II. Relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. III. Superficies equipotenciales. IV. Relación entre el trabajo y la diferencia de potencial. V. Campo eléctrico entre placas paralelas de carga opuesta. VI. Movimiento de cargas dentro de un campo eléctrico.
7.- Flujo del campo eléctrico. 8.- Teorema de Gauss.
I. Aplicaciones. 9.- Esferas conductoras puestas en contacto mediante un hilo conductor.
1. Cargas eléctricas. Electrización. Benjamín Franklin (1706—1790) fue el primero en introducir los nombres de carga
positiva y carga negativa al referirse a la carga eléctrica.
En general, damos el nombre de carga puntual a todo cuerpo que está electrizado
cuando no se tienen en cuenta sus dimensiones.
La carga eléctrica que poseen los cuerpos puede ser de dos tipos: la que adquiere, por
ejemplo, el vidrio, es positiva (pierde electrones cuando se frota con un paño de lana y
este los gana) y la que adquiere, por ejemplo, el ámbar, es negativa (gana electrones
cuando se frota con un paño de lana).
Los materiales que no conducen la electricidad se denominan aislantes o dieléctricos.
El ámbar, el vidrio, la porcelana o los plásticos son sustancias de este tipo.
Los materiales que conducen la electricidad son conductores. Los metales, el grafito, las
disoluciones acuosas de electrolitos, el suelo o el cuerpo humano, por citar algunos
ejemplos, son conductores.
Entre los átomos se transfieren tan solo electrones, nunca protones. Un cuerpo con
carga negativa tiene un exceso de electrones, mientras que a un cuerpo con carga
positiva le faltan electrones.
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La electrización es el fenómeno por el cual los objetos adquieren carga eléctrica. En el
proceso de electrización no se crea carga eléctrica; simplemente pasan electrones de un
objeto a otro.
Los objetos se pueden electrizar de tres formas: por frotamiento, por contacto o por
inducción.
� Electrización por frotamiento.
Al frotar una varilla de vidrio con un trozo de seda, se intercambia la energía
necesaria para que pasen electrones desde el vidrio a la seda. En el proceso, el
vidrio se carga positivamente y la seda lo hace negativamente. De igual forma, si
se frota una barra de plástico con un paño de lana pasan electrones desde el paño a
la barra. El plástico se carga negativamente y la lana positivamente.
� Electrización por contacto
Al acercar un objeto cargado a otro descargado hay una redistribución de las
cargas dentro de éste, de modo que las cargas de distinto signo quedan enfrentadas
en los dos objetos e inicialmente ambos se atraen.
Una vez que los objetos entran en contacto la carga eléctrica se redistribuye por
ellos y, como consecuencia, se repelen entre sí. Por contacto se pueden electrizar
tanto las sustancias aislantes como las conductoras
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� Electrización por inducción
Al acercar una varilla de vidrio cargada positivamente a un objeto cuya superficie
es conductora, se produce un movimiento de electrones en la superficie, de forma
que estos se acumulan en el lado próximo a la varilla, dejando el lugar más
alejado cargado positivamente.
Si a continuación se conecta a tierra el conductor, manteniendo la presencia de la
varilla, electrones procedentes de la tierra neutralizan la carga positiva del
conductor. Si se interrumpe la conexión a tierra antes de retirar la varilla, el
conductor queda cargado negativamente y la carga se redistribuye por toda su
superficie de forma uniforme. Por influencia solamente se electrizan las sustancias
conductoras.
2.- Ley de Coulomb. Es la ley que rige la interacción entre carga eléctricas. Se enuncia de la siguiente forma:
El valor (módulo) de la fuerza con la que dos cargas puntuales se atraen, si son de
distinto signo, o se repelen, si son del mismo signo es directamente proporcional al
producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa.
rres un vector unitario en la dirección de la recta que une las cargas
El valor de la constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades elegido y
del medio en el que se encuentran las cargas.
rrr
22 r
q . Qk F ;
r
q . Qk F ==
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La constante k tiene como valor: πε4
1=k , en la que ε es una constante llamada
constante dieléctrica o permitividad del medio.
Si las cargas se encuentran en el vacío y se emplea el SI, k= 8,987.109 N. m
2. C-2,
aunque usaremos como valor 9.109.
La unidad de carga eléctrica es el culombio (C) que se define como la cantidad de carga
eléctrica que pasa por la sección de un conductor durante un segundo cuando la
corriente es de un amperio. Generalmente se emplea un múltiplo del culombio llamado
microculombio ( )Cµ que equivale a 10-6C.
CC 6101 −=µ
Al ser la fuerza una magnitud vectorial hay que indicar además del módulo, la dirección
y sentido de la fuerza de interacción eléctrica. La dirección es la de la recta que une
dichas cargas y el sentido el que indique el sentido de atracción o repulsión entre la
cargas dado por la ley de Coulomb.
Actividad 1.- Dibuja el vector fuerza que actúa entre dos cargas negativas.
Actividad 2.- ¿A que distancia se deben colocar dos cargas iguales de 1µC cada una para que se repelan con la fuerza de 1 N?
Actividad 3.- ¿Cuál es el significado físico de la constante k de la ley de Coulomb? Actividad 4.- Una partícula de masa 100 g está cargada con 1 µC y se mantiene en equilibrio a una distancia de 50 cm en su vertical de otra partícula también cargada.
¿Cuánto vale la carga de esta segunda partícula?
2.I.- Principio de superposición
Si una carga está sometida simultáneamente a la acción de varias cargas, la
fuerza resultante se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas con las que
interaccionan cada una de las cargas con la primera.
.... F F F 3 1,2 1,1 ++=rrv
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Para aplicar este principio:
1. Se elige un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con la carga que está sometida a la
fuerza resultante que queremos calcular.
2. Se halla el módulo de cada una de estas fuerzas por separado.
3. Se dibuja el diagrama de las fuerzas.
4. Se hace la descomposición cartesiana de las fuerzas.
5. Se calcula la resultante, teniendo en cuenta el principio de superposición y que la suma es una suma vectorial.
Actividad 5.-Tres cargas eléctricas de -2, 3 y 1 µC están colocadas en los puntos (2, 0), (0, 3) y (0, 0), respectivamente. Calcula la fuerza que actúa sobre la tercera carga, si las
coordenadas están expresadas en cm.
3.- Campo eléctrico.
Existe un campo eléctrico en una región del espacio si, una carga en reposo colocada en
un punto de esa región, experimenta una fuerza eléctrica.
El campo eléctrico, igual que el campo gravitatorio, es un campo vectorial que queda
determinado por su intensidad, las líneas de fuerza o líneas de campo y el potencial.
La intensidad de campo eléctrico en un punto Er, se define como la fuerza que actúa
sobre la unidad de carga positiva situada en el punto.
E . q F ; q
F E
rrr
r==
La intensidad de campo eléctrico o campo eléctrico es un
vector cuyo módulo por la definición sería:
En la expresión anterior q es la carga que crea el campo y r la
distancia que separa la carga del punto donde se va a calcular el
vector campo o intensidad de campo eléctrico.
La dirección del vector sería la de la recta que une la carga con el
punto y el sentido el que coincida con el del movimiento que
seguiría la unidad de carga positiva situada en el punto por acción de la carga que
genera el campo.
La intensidad de campo eléctrico se mide en N/C.
2r
k.qE =
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Se puede escribir: rr
kqrEE
rrr
2. == . Siendo r
r un vector unitario en la dirección de la
recta que une la carga con el punto y sentido de la carga al punto P.
Actividad 6.-Dibuja el vector campo creado por una carga positiva en un punto situado verticalmente respecto a la carga eléctrica y el creado por una carga negativa en un
punto situado horizontalmente respecto a la carga eléctrica.
Principio de superposición
Para calcular el campo creado por un conjunto de cargas en un punto se calcula el
campo creado por cada una de las cargas y el campo resultante será la suma vectorial
de los campos creados por cada una de las cargas.
Para aplicar este principio:
1. Se elige un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con el punto donde se va a calcular la intensidad de campo eléctrico.
2. Se halla el módulo de cada una de los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas por separado.
3. Se dibuja el diagrama de los vectores intensidades de campo eléctrico
4. Se hace la descomposición cartesiana de los vectores.
5. Se calcula la resultante, teniendo en cuenta el principio de superposición y que la suma es una suma vectorial.
Actividad 7.-a) En un sistema de coordenadas, en el que las coordenadas se miden en cm, se encuentran dos cargas eléctricas iguales de 10
-8C situadas en los puntos (2, 0) y
(-2, 0). Halla el campo eléctrico en el punto (-4, 0). b) Halla el campo en el punto (1, 1), si una carga es positiva y la otra negativa.
4.- Líneas del campo eléctrico
Por ser el campo eléctrico un campo de fuerzas se puede representar gráficamente
mediante las llamadas líneas de campo, que son líneas tangentes al vector campo en
cada punto. Salen de las cargas positivas (fuentes de campo) y terminan en las cargas
negativas (sumideros de campo).
...321 +++= EEEErvrr
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En las figuras anteriores se han representado las líneas de campo correspondientes a una
carga positiva (fig.a), una carga negativa (fig.b) y dos cargas positivas. Si se quisiera
representar el esquema de las líneas de campo de dos cargas negativas lo que cambiaría
respecto a la tercera figura sería el sentido de las líneas de campo, que en este caso,
estarían dirigidas hacia las cargas.
Para cargas de distinto signo el esquema sería como
muestra la figura adjunta.
El número de líneas de
campo hay que dibujarlo de
manera que sea proporcional a la carga. Por ejemplo, si una
carga es 2q y otra q, de la primera saldrán el doble de
líneas.
Las líneas de campo marcan las trayectorias que sigue una
carga abandonada en reposo en el interior del campo.
5.- Energía potencial eléctrica.
De igual manera que ocurre en el campo gravitatorio,
la fuerza eléctrica también es una fuerza conservativa
y esto hace que en el campo eléctrico se pueda
definir una función llamada energía potencial
eléctrica. Consideremos una partícula q que se
traslada desde el punto A al B de un campo eléctrico
creado por otra carga Q siguiendo el camino APB.
Por ser una fuerza conservativa se cumple la relación:
pE- B)(AW ∆=→ = EpA-EpB
∫ ∫ ∫ ∫∫ ==+==→B P
22
B
P Q.qK dr .
r
q . QK ºF.dr.cos90º0 cos .dr . F rd . F B)W(A
A A
P
A
P
A r
drrr
P
A
r
rrqQKBAW
−=→1
..)(
Considerando que BP rr = ; y sustituyendo los límites para calcular el valor numérico de
la integral:
BA
BAAB
EpEpr
qQK
r
qQK
rrqQKBAW −=−=
+−=→
....11..)(
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Tomando como origen de referencia para la energía potencial eléctrica el infinito:
Ar
qQK ..1
r
1 KQq
r
q . QK
r
q . QK )W(A
AA
=
∞−=−=∞→
∞
La energía potencial eléctrica de una carga q situada a una distancia r de otra carga Q
será:
La energía potencial es el trabajo que realiza la fuerza eléctrica para separar las cargas a
una distancia infinita una de la otra. Será positiva si las dos cargas tienen el mismo
signo y será negativa si las dos cargas son de signo contrario. Se mide en julios en el
S.I.
De la expresión matemática que da la diferencia de energía potencial entre dos
puntos se deduce que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es positivo al separar
cargas del mismo signo o al acercar cargas de signo opuesto por lo que estos procesos
son espontáneos.
BA
BAAB
EpEpr
qQK
r
qQK
rrqQKBAW −=−=
+−=→
....11..)(
5.I.- Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales.
Si se tiene un sistema formado por más de dos cargas, la
energía potencial del sistema se obtiene calculando la
energía potencial eléctrica para cada pareja de cargas y
sumando algebraicamente todos los términos.
Actividad 8.-En los vértices de un triángulo equilátero de 20 cm de lado se encuentran situadas tres cargas de 4, -8 y -10 µ C, respectivamente. Calcula la energía potencial
eléctrica del sistema.
6.- Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo eléctrico. Potencial eléctrico.
Se define diferencia de potencial eléctrico, V∆ , entre dos puntos de un campo
eléctrico como la variación de la energía potencial eléctrica por unidad de carga:
q
EpVVV AB
∆=−=∆
r
qQKEp
..=
23
32
13
31
12
21 ......
r
qqK
r
qqK
r
qqKEp ++=
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Dividiendo la expresión que da la diferencia de energía potencial entre dos puntos entre
q:
BA
BAAB
VVr
QK
r
QK
rrq
qQK
q
BAW−=−=
+−=
→ ..11..)(
Tomando como punto de referencia para tomar el origen del potencial en el infinito,
entonces VB=0 y entonces el valor del potencial debido a una carga Q en un punto
situado a una distancia r de la carga es:
r
QKV
.=
El potencial eléctrico se mide en voltio (v). 1 voltio = 1 julio / 1 culombio. El potencial
eléctrico es una magnitud escalar.
La unidad de potencial, el voltio, se define como el potencial creado en un punto por
una carga cuando se realiza un trabajo de un julio para trasladar una carga de un julio
desde el infinito hasta el punto.
A diferencia del potencial gravitatorio que siempre es negativo, el potencial eléctrico
puede ser positivo se la carga que crea el campo es positiva o negativo si la carga es
negativa.
El potencial eléctrico (V) en punto se define como la energía potencial eléctrica por
unidad de carga o como el trabajo que habría que realizar para trasladar la unidad de
carga positiva desde el infinito al punto. Si la carga para la cual se quiere calcular el
potencial en un punto es positiva:
∞
Q (+) P rdr F
r
∫ ∫∞ ∞====
P P
2 r
KQ dr .
r
KQ- 180º cos .dr . F
q
W V
Si la carga fuera negativa el potencial sería negativo:
∞
Q (-) P Fr rd
r
∫ ∫∞ ∞====
P P
2 r
KQ- dr .
r
KQ 0º cos .dr . F
q
W V
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El potencial eléctrico creado por una carga puntual en un punto disminuye con la
distancia del punto a la carga si la carga es positiva y, aumenta con dicha distancia si la
carga es negativa. Para una carga positiva alcanza su mínimo valor en el infinito y para
una carga negativa alcanza su máximo valor en el infinito.
6.I.- Potencial eléctrico en un punto creado por un sistema de cargas puntuales. El potencial de varias cargas en un punto se obtiene aplicando el principio de
superposición, es decir, será la suma algebraica de los potenciales debidos a cada una de
las cargas.
V = V1 + V2 + V3 + …..
Actividad 9.-Tres cargas eléctricas de -3, -10 y 8 Cµ se encuentran situadas en los
puntos (3,0); (0,0) y ((0,4), respectivamente de un sistema de coordenadas en el que las
distancias están expresadas en metros. Calcula el potencial en el punto (3,4).
6.II.- Relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. Para una carga puntual si relacionamos el valor del potencial con el módulo de la
intensidad de campo eléctrico:
2 ;
r
KQE
r
KQV == . Se observa que: rEV .=
Para cualquier distribución de carga:
;BAWEp →=∆− dividiendo entre q: ∫∫
===∆− →
B
A
B
ABA rdq
F
q
rdF
q
W
q
Ep rrrr
..
∫=∆−B
ArdEV ;.rr Multiplicando por -1 y pasando a diferenciales, el campo eléctrico y
el potencial están relacionados por la expresión:
α cos .dr . E- rd . E- dV ==rr
αcos.dr
dVE −=
En el caso de un campo uniforme, entonces dV = -Ex . dx . cos 0º = -Ex . dx.
dx
dV- E x =
Esto significa que el vector campo va dirigido siempre hacia puntos de potenciales
decrecientes
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Para campos uniformes desplazándose la carga en la dirección del campo:
VA – VB = ∆V = E.d
EpA-EpB =∆Ep = q.E.d
6.III.- Superficies equipotenciales.
Se definen como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen el mismo valor del
potencial. Para una carga puntual, todos los puntos que equidistan de la carga tienen
igual potencial, por lo tanto, una superficie esférica con centro en la carga será el lugar
geométrico de todos los puntos con igual valor del
potencial y esa será la superficie equipotencial.
Las líneas de fuerza son perpendiculares a las
superficies de potencial, ya que al trasladar una carga
de un punto a otro de una superficie equipotencial la
diferencia de potencial es cero por lo que:
rdErdEdVrrrr.0 ;. −=−=
Para que el producto escalar sea 0, debe cumplirse
que los vectores rdErr
y sean perpendiculares, es
decir que el campo sea perpendicular al desplazamiento infinitesimal a lo largo de la
superficie equipotencial y, por lo tanto, perpendicular a dicha superficie.
6.IV.- Relación entre el trabajo y la diferencia de potencial. El trabajo realizado por el campo (por la fuerza eléctrica) para trasladar una carga Q
desde un punto A hasta otro B de un campo eléctrico es:
Actividad 10-¿Cuánto vale el trabajo realizado para trasladar una carga Q de un punto a otro de una superficie equipotencial?
Actividad 11-Dos cargas eléctricas de 2 y -4 Cµ se encuentran situadas en los puntos
(0,6) y (0,-6) de un sistema de coordenadas expresado en metros. ¿Cuál es el trabajo
realizado por el campo para llevar una carga de 3 Cµ desde el punto (0,4) hasta el
punto (8,0)? ¿Y el trabajo realizado por un agente externo?
W = Q ( VA – VB)
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
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6.V.- Campo eléctrico entre placas planas y paralelas de carga opuesta. Si se considera el campo uniforme:
d
VE ; Ed V
∆==∆
El campo está dirigido de la placa positiva a la negativa.
Actividad 12-Se tienen dos placas planas y paralelas separadas 10 cm. Se libera un protón en reposo en la placa positiva mediante una diferencia de potencial de 8000 V.
¿Cuál es el campo eléctrico uniforme existente entre las placas? ¿Con qué velocidad
llegará el protón a la placa negativa? (qp=1,6.10-19 C; mp=1,67.10
-27 kg)
6.VI.- Movimiento de cargas dentro de un campo eléctrico
Por ser el campo eléctrico un campo conservativo, se cumple
Ep d . F-
Ep dr . F-
∆=
∆=∫r
En la expresión anterior se ha considerado los vectores Fr y rd
r con el mismo sentido
El criterio a seguir para determinar el sentido de desplazamiento de una carga
abandonada a su propia evolución en el seno de un campo eléctrico será:
0WB
A(campo)⟩
B
campoAW )( = d . E . q )V - (V q- AB =
� Si dicha carga se considera positiva, el sentido espontáneo de evolución sería el de
potencial decreciente, ya que.
BA
BAA
BA
B
(campo)A
V V :entonces :0 qser por que, forma de
0 V (V q 0 (campo) Wcomoy
)V - (V q V . q- W
⟩⟩
⟩−⇒⟩
=∆=
Si q > 0 entonces VA > VB. Una carga positiva pierde energía potencial eléctrica cuando
se mueve en el sentido del campo eléctrico.
� Si se adopta como carga de prueba la unidad de carga negativa, el sentido de
evolución se invierte, en virtud del siguiente razonamiento:
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BA BA
BA
B
(campo)A
V V 0 V - V:entonces :0 qser por pero,
0 )V - (V q W
⟨⇒⟨⟨
⟩=
Si q < 0 entonces VA < VB. Una carga negativa gana energía potencial eléctrica cuando
se mueve en el sentido del campo eléctrico.
Actividad 13.-Si una carga positiva se mueve en sentido contrario del campo ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Y si es una carga negativa? Razona la respuesta.
7.- Flujo eléctrico Se entiende por flujo de un campo eléctrico a través de una superficie como el número
de líneas de fuerza que la atraviesan.
El flujo depende de tres factores:
Es proporcional a la intensidad. Es proporcional a la superficie. Depende de la posición que ocupa la superficie respecto a la dirección de las líneas de fuerza. El flujo es máximo si la superficie es perpendicular a las líneas
de fuerza y nulo se forman un ángulo de 0º.
Si representamos por α, el ángulo formado por las líneas de fuerza con la normal a la
superficie y por Φ el flujo, podemos escribir para el campo eléctrico:
Φ = E .S.cos α
Si representamos la superficie mediante un vector,
llamado vector superficie, cuya dirección sea normal a
la superficie, aplicado en su centro, cuyo módulo sea el
valor de la superficie y cuyo sentido venga dado por la
parte convexa de la superficie, las ecuaciones anteriores
se pueden escribir como el producto escalar de dos
vectores:
Φ = S . Err
Vemos que el flujo es una magnitud escalar.
Si el campo no es uniforme, la intensidad en cada punto de la superficie no es la misma.
Para hallar el flujo en este caso se divide la superficie en elementos Sdr de superficie
infinitamente pequeños en los que se pueda considerar el campo constante. El flujo
elemental dΦ a través de cada uno de estos elementos de superficie será:
dΦ = Sd . Err
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El flujo total a través de toda la superficie vendrá dado por la integral:
=Φ ∫S Sd . Er
8.- Teorema de Gauss
Supongamos una carga positiva Q. Dibujamos una
superficie esférica (llamada superficie gaussiana) con
centro en Q que rodee a la carga y de cualquier radio.
Vamos a calcular el flujo que atraviesa la superficie
gaussiana elegida arbitrariamente. Observando la figura
y que el módulo del campo eléctrico en cada punto de
la superficie valdrá KQ/r2.
Φ = ∫∫ ∫ =====S
0
2
22S S
Q KQ4 r4 .
r
KQ dS
r
KQ cos . dS . E Sd . E
εππα
rr
Se ha sustituido K = 04
1
πε
Se observa que el flujo es una magnitud escalar, independiente del radio de la superficie
gaussiana elegida y que es proporcional a la carga encerrada en la superficie y su signo
dependerá del signo de la carga.
Si consideramos varias cargas, el flujo total será la suma de los flujos individuales de
cada carga:
Φt = 0
Q
ε
Σ
Esta expresión se conoce como teorema de Gauss: “El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera, es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas
en ella dividida entre la constante dieléctrica del vacío”
El flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada
depende solo de la carga que hay encerrada dentro de dicha
superficie, por lo que el flujo a través de la superficie S vale
0
11
q
ε=Φ ; a través de la superficie S’, la carga encerrada es la
suma algebraica de las cargas 2q y 3q , y, el flujo a través de
S’’ es cero, ya que 0=encerradaq
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
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Si suponemos varias superficies de distinta forma
rodeando a una carga q, el flujo eléctrico a través de cada
una de ellas es el mismo por aplicación del teorema de
Gauss, puesto que cada una encierra la misma carga y
como se observa en la figura el número de líneas de
fuerza que atraviesan a todas las superficies es el mismo.
8.I.- Aplicaciones del teorema de Gauss El método consiste en rodear el cuerpo cuyo campo vamos a calcular por una superficie
gaussiana de tal manera que el campo sea normal a ella y que el área de la superficie sea
conocida.
a) Distribución de cargas en un conductor cargado, aislado y en equilibrio
En el interior de un conductor en equilibrio, el campo es
nulo, ya que si no lo fuera, las cargas eléctricas del
interior se desplazarían y no estaría en equilibrio.
Aplicando el teorema de Gauss, y considerando cualquier
superficie cerrada interna en el conductor, al ser nulo el
campo, el flujo a través de cualquier superficie cerrada
próxima a la superficie del conductor es nulo. En
consecuencia, aunque el conductor esté cargado, la carga
neta interior qint es nula (qint = 0),
El exceso de cargas positivas o negativas se distribuye en la superficie del conductor. La
carga eléctrica de un conductor cargado en equilibrio está distribuida uniformemente
por su superficie.
En el exterior de un conductor cargado el campo es perpendicular a la superficie, ya que
si no fuera así, habría una componente del vector Er paralela a la superficie del
conductor que provocaría que las cargas libres se movieran y, en ese caso el conductor
no estaría en equilibrio
b) Campo eléctrico creado por un aislante en forma de una esfera maciza uniformemente cargada. En un aislante, la carga eléctrica no está distribuida solo por su superficie sino que se
mantiene distribuida por toda la esfera. Designamos a la densidad de carga por unidad
de volumen mediante ρ .
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b1) En un punto exterior de la esfera: Supongamos una esfera uniformemente cargada y vamos a calcular, por aplicación del
teorema de Gauss, la intensidad del campo creado por ella en un punto A que dista r del
centro de la esfera cargada. Siendo R el radio de la esfera y cumpliéndose que Rr⟩
Construimos una superficie esférica concéntrica con la
esfera que pase por el punto A y aplicamos el teorema de
Gauss, teniendo en cuenta que el módulo del campo es
constante en cada punto de la superficie:
Φ = ∫ ∫ ∫ ====S S S
2 KQ4 r 4 . E dS . E 0º cos . dS . E Sd . E ππrr
; E = 2r
KQ
Observando este resultado el campo creado por una
esfera de carga Q uniformemente repartida es el mismo que el que crearía una carga
puntual del mismo valor Q que la carga de la esfera colocada en el centro de la esfera.
b2) En un punto interior de la esfera
Construimos una superficie gaussiana que pase por el punto interior en el que se quiere
calcular el campo y tal que el radio de la superficie gaussiana, r, sea más pequeño que el
radio de la esfera maciza.
Aplicando el teorema de Gauss:
0
24..ε
π encerrada
SS
qrEdSESdE ====Φ ∫∫
rr
Despejando E: 0
2
.
...4 επ r
qE enc=
Considerando que la densidad volumétrica de carga, ,ρ será: V
q=ρ :
3
.sup .3
4.. rVq gaussianaencerrada πρρ ==
Sustituyendo este valor en la ecuación del campo, da como resultado:
rr
r
E00
2
3
3..4
..3
4.
ε
ρ
επ
πρ==
Llamando Q a la carga total de la esfera: 3..
3
4a
Q
π
ρ =
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
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Sustituyendo este valor y dado que 0..4
1
επ=K
a para ;..
...4
.33
0
⟨== ra
rQK
a
rQE
επ
Actividad 14.- Calcula, aplicando el teorema de Gauss, el campo eléctrico creado por una esfera maciza aislante, de carga 4 Cµ y radio 20 cm. a) en un punto situado a 10 cm de su centro; b) en un punto situado a 30 cm de su centro.
c) Campo eléctrico debido a una superficie esférica en un punto interior a ella.
Supongamos una esfera hueca conductora con la carga eléctrica
distribuida en su superficie
Se elige como superficie gaussiana una superficie esférica que pase
por el punto en el que se desea calcular el campo eléctrico. En el
interior de dicha superficie no hay carga eléctrica por estar ésta
distribuida por la superficie esférica exterior. Aplicando el teorema
de Gauss:
0
24..ε
π encerrada
SS
qrEdSESdE ====Φ ∫∫
rr
Al ser 0=encerradaq queda 04. 2 =rE π ; y por lo tanto: 0=E
El campo eléctrico en el interior de cualquier superficie esférica cargada es nulo.
Actividad 15.- Calcula, aplicando el teorema de Gauss, el campo eléctrico creado por una esfera hueca conductora, de carga 10 Cµ y radio 30 cm. a) en un punto situado a 18 cm de su centro; b) en un punto situado a 40 cm de su centro.
d) Campo eléctrico creado por un hilo conductor cargado e indefinido.
Las líneas de campo tendrán dirección perpendicular al hilo
y si la carga es positiva se alejarán del hilo.
Se toma como superficie gaussiana un cilindro: coaxial con
el hilo de longitud h y de radio r. Llamamos λ a la carga
eléctrica por unidad de longitud (densidad lineal de carga):
L
q=λ
Φ = Φbases + Φsup. lateral ;
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
18
Φbases = 0 ; porque 0 sd . E entoncesy laresperpendicuson sdy E =rrrr
Calculando el flujo a través de la superficie lateral y teniendo presente que la superficie
lateral es un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de radio r y de altura h
∫ ∫ ∫ ∫ ======Φ h .r 2 . E S . E ds E ds . E 0 cos . ds . E sd . E πrr
Teorema de Gauss: 00
encerrada h .
q
ε
λ
ε==Φ ; ya que hq
h
qencerrada
encerrada .. ; λλ ==
Igualando: 00 r 2
E h
h r E.2επ
λ
ε
λπ =⇒=
e) Campo eléctrico debido a una placa conductora uniformemente cargada
Sea una placa conductora indefinida con un campo eléctrico uniforme σ por unidad de
superficie. Suponemos carga positiva.
S
Q=σ
La intensidad de campo eléctrico E, tendrá el mismo
valor a ambos lados de la placa y estará dirigido
perpendicularmente a ella y con el sentido marcado en la
figura.
Consideramos como superficie gaussiana un cilindro
cuyas bases, de área S, serán paralelas a la base y estarán
situadas a la misma distancia de ella. En una de ellas
estará el punto P en el que se quiere calcular el campo
eléctrico. El flujo a través del cilindro elegido como
superficie gaussiana, será:
∫∫∫∫ ++==Φlateralerferiorbaseeriorbasecilindro
SdESdESdESdE.supsup inf
T .... rrrrrrrr
En la superficie lateral sdy Err son perpendiculares por lo que 0. S.dE =
rr
En las bases: E.S :constante Eser al ;0 .cos E.dS S.dE =Φ==Φ ∫ ∫rr
Φbase inferior = Φbase superior = E .S
ΦT = E S + E S = 2.E.S
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
19
Por otro lado, aplicando el teorema de Gauss: 00
S .
Q
ε
σ
ε==Φ
Se ha tenido en cuenta que a partir del concepto de densidad superficial de carga, el
valor de la carga será: SQ .σ=
Igualando las dos expresiones del flujo:
2ES = ; S2
S E ;
S
00 ε
σ
ε
σ=
02 E
ε
σ=
9.- Esferas conductoras puestas en contacto mediante un hilo conductor. Cuando dos esferas conductoras se ponen en contacto mediante un hilo conductor se
produce un proceso de transferencia de carga eléctrica de la esfera que se encuentra a
mayor potencial a la que se encuentra a menor potencial hasta que los potenciales de las
dos esferas después de la transferencia se igualan.
Llamando ´
1V y '
2V a los valores de los potenciales de las esferas después de
ponerlas en contacto y, '
2
'
1 y qq a las cargas de cada esfera después de ponerlas en
contacto, las dos ecuaciones que se deben plantear son:
1) '
2
'
1 VV = , es decir, 2
2
'
2
2
1
'
1 ..
r
qK
r
qK=
2) La segunda ecuación es la que indica la conservación de la carga, es decir: '
2
'
121 qqqq +=+
Actividad 16.-Dos esferas metálicas conductoras, de 2 y 4 cm de radio, cargadas cada una de ellas con 5.10
-8C, se encuentran en el vacío. Si se unen dichas esferas mediante
un hilo conductor, calcula el potencial y la carga de cada esfera después de producirse la
unión.
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
20
EJERCICIOS DE CAMPO ELÉCTRICO
1. Si entre dos cargas eléctricas existe un punto en el que el campo eléctrico es nulo, ¿qué indica sobre la naturaleza de las cargas? Razona la
respuesta.
2. Calcula el campo eléctrico en el punto B de la figura.
3. Un campo uniforme vale 6000 N/C. Un protón se libera en la placa positiva. ¿Con qué velocidad llega a la placa negativa si la separación entre placas es 0,2 m? (q =
1,6.10-19 C, m = 1,67.10
-27 Kg)
4. Una carga de 6 µC se encuentra en el origen de coordenadas. Calcula:
a) ¿Cuál es el potencial a una distancia de 4 m?
b) ¿Qué trabajo hay que hacer para trasladar otra carga de 2 µC desde el infinito
hasta esa distancia?
c) ¿Cuál será la energía potencial de esa carga en dicha posición?
5. Dos cargas puntuales de 2 µC y -10-6 C, están situadas, respectivamente, en los puntos (1, 0) y (0, 2) de un sistema de coordenadas, cuyas distancias se miden en
cm. Calcula el campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto (2, 1).
6. Tres cargas eléctricas de 10-6 C están situadas en un sistema de coordenadas en los puntos (-1,0); (1, 1) y (0, 1). Las distancias expresadas en m. Calcular:
a) El campo eléctrico en el origen de coordenadas.
b) La energía potencial del sistema.
7. Tres cargas puntuales iguales de 3 µC cada una, se encuentran colocadas en los puntos (0,0); (0,30) y (60,0) de un sistema de coordenadas, en el que las distancias
vienen expresadas en cm. Calcula la fuerza que actúa sobre otra carga igual a ellas,
situada en el punto (60,30), por acción de las otras cargas.
8. Dos esferas penden del mismo punto colgadas del techo. Cada una tiene una masa de 0,5 g. La longitud de los dos hilos es de 35 cm y se establece el equilibrio cuando
los hilos se separan un ángulo de 40º. Calcula la carga de cada esfera si están
igualmente cargadas.
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
21
9. Tres cargas puntuales q1= 4 Cµ ; q2= 6 Cµ y q3= -8.10-6 C se encuentran situadas en
los puntos (0,0) y (4,0) y (2,0) de un sistema de coordenadas en el que las
coordenadas están expresadas en m Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico en el punto A (2,2); b) El potencial en el punto A y en el punto B (0,2) y el trabajo que realizan las fuerzas eléctricas cuando una carga q= 3 Cµ se desplaza desde A hasta
B. c) El trabajo necesario para trasladar la carga de 3 Cµ se desplaza desde B hasta
A K=9.199 N.m
2/C2
10. Representa las líneas de campo entre dos cargas, una positiva +3 q y otra de valor –q.
11. Una esfera de 50 g se encuentra situada en un campo eléctrico jirv55 10.610.8 + ,
sujeto de un hilo. Si se alcanza el equilibrio cuando la carga se separa 20º de la
vertical, calcula el valor de la carga y la tensión de hilo.
12. Una esfera de 5 g de masa tiene una carga de -4.10-6 C. ¿Cuál debe ser el campo eléctrico que deberíamos aplicar para que la esfera permanezca en reposo sin caer al
suelo?
13. Una esfera de masa 3 mg está sujeta mediante un hilo, que tiene un punto fijo, verticalmente, en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico de valor
4000 ir N/C. Alcanza el equilibrio al separarse 30º de la vertical. ¿Cuánto vale la
carga?
14. Un electrón se lanza horizontalmente con una velocidad v0 dentro de un campo eléctrico uniforme vertical y en sentido hacia arriba. Halla la ecuación de la
trayectoria que describe.
15. Dos esferas metálicas de 6 y 9 cm de radio se cargan a 10-6C cada una, y luego se unen con un hilo conductor. Calcula:
a) El potencial de cada esfera después de la unión.
b) La carga de cada esfera después de la unión.
16. Cuando se conectan los bordes de una batería de 400 voltios a dos láminas paralelas separadas a una distancia de 2 cm, aparece un campo eléctrico uniforme entre ellas.
a) ¿Cuánto vale la intensidad de ese campo?
b) ¿Qué fuerza ejerce el campo anterior sobre el electrón? (q = 1,6.10-19 C)
17. Para dos cargas iguales, ¿en qué punto (que no sea el infinito) una tercera carga no experimentaría ninguna fuerza resultante?
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
22
A B
20V 14V 8V
18. Si se libera un protón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿aumenta o disminuye su energía potencial?
19. Una esfera de 10 g se encuentra situada en un campo eléctrico jirv55 10.810.6 + ,
sujeto de un hilo. Si se alcanza el equilibrio cuando la carga se separa 30º de la
vertical, calcula el valor de la carga y la tensión de hilo.
20. Una pequeña esfera que tiene una masa de 0,3 g y una carga eléctrica de 0,1 Cµ ,
se encuentra sujeta al extremo de un hilo de 10 cm de longitud y de masa
despreciable, y está colocada dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 ir N/C.
Cuando se alcance el equilibrio, ¿qué ángulo forma el hilo con la vertical y cuál es
la tensión del hilo? Haz un diagrama de las fuerzas que intervienen.
21. Si en un punto A el potencial eléctrico es +20 V y en otro punto B es +8 V, razona si una carga positiva se moverá
espontáneamente de A hacia B o de B hacia A. Si la carga que se
mueve es de 2 C, calcula la energía cinética que adquiere al final,
partiendo del reposo.
22. En el laboratorio se dispone de dos placas metálicas planas separadas una distancia de 25 cm entre sí. Entre ellas se ha colocado un resorte de constante elástica 40 N/m
del que cuelga una pequeña bolita cargada con una carga q. Cuando se establece una diferencia de potencial de 1000 V entre las
placas, siendo la superior positiva, se observa que
el resorte se alarga una distancia de 10
cm ( cm 10=Φ ),. Suponiendo que el campo
eléctrico entre las placas es uniforme: a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre la bolita cuando se
establece la diferencia de potencial y explica el
motivo del alargamiento; b) calcula la carga de la bolita, especificando su signo; c) En la práctica es imposible mantener la bolita perfectamente aislada, por lo que su carga va disminuyendo con el tiempo. Se
observa que al cabo de 20 minutos el alargamiento del resorte es de 6 cm. ¿A qué
ritmo se disipa la carga de la bolita? Expresa el resultado en culombios por minuto
(C/min)
23. Una pequeña esfera cargada de masa 0,4 g, se introduce sujeta de un hilo, de masa despreciable, entre dos láminas
verticales, paralelas y cargadas, separadas una distancia de
10 cm, entre las que el campo eléctrico es uniforme. La
carga de la esfera es 8 Cµ y en equilibrio el hilo forma con
la vertical un ángulo de 30º. a) Representa las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio y el signo
de las placas; b) Calcula el valor de la tensión y el del
Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico
23
campo eléctrico; c) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial que existe entre las placas? G= 9,81 m/s
2
24. Una partícula se desplaza en la dirección de un campo eléctrico de forma que su energía potencial aumenta. ¿Qué signo tiene la carga?
25. Dos placas horizontales están igualmente cargadas con distinta polaridad, la diferencia de potencial entre las placas es 6000 V y la distancia entre ellas es 3
cm.a) Determina la intensidad del campo eléctrico que hay entre las placas. b) Introducimos una bolita cargada con una carga de 2,5.10
-7 C que cuelga
verticalmente de un hilo. Determina la masa de la bolita si la tensión del hilo es
igual a cero. c) Si invertimos la polaridad de las placas, ¿cuál será el valor de la tensión del hilo? a) _ b) _ c)
+
+
+ _
26. Dos esferas conductoras de radios 5 cm y 10 cm, se hallan cargadas de modo que sus superficies están a un potencial de 1000V y -1000 V, respectivamente. Si se
encuentran en el vacío y entre sus centros existe una separación de 2 m, calcula: a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas. b) La carga de cada esfera si ambas se unen con un cable conductor, así como el potencial de cada esfera después de la
unión. K=9.109 N.m
2/C2
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