tema 7 mat 4º trigonometría 2
Post on 31-Jul-2015
250 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tema 7Trigonometría 2.Ampliación e aplicacións
© Xerardo MéndezÚltima versión: Febreiro - 2009
GRAOS E RADIÁNSDefinición
Un ángulo plano é a porción de plano comprendida entre dúas semirrectas cunha orixe común, o vértice. Para a súa medición utilízanse graos e radiáns.
Porción de plano comprendida entre dúas semirectas perpendiculares. O ángulo recto utilizouse para definir a primeira unidade de medida dos ángulos: o grado sexaxesimal, definido como a nonaxésima parte do ángulo recto.
Un grao sería a magnitude dun ángulo noventa veces menor ca un ángulo recto.
Vértice
lado
lado
ÁNGULO
ÁNGULO RECTO
Ángulo, ángulo recto e graos, minutos e segundos
O grao divídese en minutos e segundos.
Desígnanse con letras maúsculas e denótanse respectivamente:15’ = 15 minutos12”=12 segundos
Un segundo é a sesaxésima parte dun minuto
Un minuto é a sesaxésima parte dun grao,
Unha particularidade destas unidades é que non se acomodan ao sistema decimal, polo que as operacións con ángulos expresados en graos, minutos e segundos requiren, como se sabe, procedementos específicos.
A medida dun ángulo denótase 17°= dezasete graos17º12’53” = dezasete graos doce minutos e cincuenta e tres segundos
A=17º12’53”A
Radiáns.
O radián é unha medida dos ángulos que, a diferenza do anterior, emprega números reais para a medida dos ángulos.
Ademais de empregar números reais – o que facilita enormemente todas as operacioóns, o radián defínese a partir dunha relación entre a circunferencia e os ángulos, que x
Lembremos que un arco é a distancia entre dous radios da circunferencia medida sobre esta
arcoRadios
Dous radios definen un ángulo: a cada ángulo corresponderalle unha lonxitude de arco distinta
S’S
AA’
De maneira que ao ángulo total da circunferencia corresponderalle a lonxitude desta
S=2R
A
R
S=RR
1 Radián
Diremos entón que un ángulo mide 1 radián cando o arco que determina na circunferencia mide o mesmo que o radio
Podemos determinar agora facilmente a relación entre graos e radiáns:
O ángulo en graos correspondente a toda a circunferencia son catro ángulos rectos: 90·4=360º
RELACIÓN GRAOS -RADIÁNS
O ángulo en radiáns correspondente a toda a circunferencia debe medir L/R=2 radiáns.
A relación entre arco, ángulo e radio é: S= A· R
Arco = ángulo x radio
GRAOS, MINUTOS E SEGUNDOS
Operacións con
Operacións con ángulos en graos
Suma de ángulos
Consideremos dous ángulos A e B de magnitudes:
A = 27° 30’47”
B= 12° 35’45”
Queremos efectuar a suma A+B para saber a magnitude do ángulo resultante
A = 27° 30’47” B= 12° 35’45”
A+B
Para efectuar a suma numérica colocamos as unidades homoxéneas en columnas e sumamos cada columna
27° 30’ 47”
12° 35’ 45”+
39º 65’ 92”De superar os sesenta segundos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos minutos
39º 65’ 92” +1 -
60” 39º 66’ 32”
De superarse os sesenta minutos restamos sesenta e sumamos 1 na columna dos graos
39º 65’ 92” +1 -60”
40º 6’ 32”
A+B=Resumindo: A
B
27º 30' 47”
12º 35' 45”
39º 65' 92”
60
32
+1
66
60
40º 6' 32”
-
-+1
A + B
Considéranse ángulos positivos aqueles que se miden no sentido antihorario (contrario ao xiro das agullas dun reloxo) ou levoxiro
+30º -30º
E negativos aos que se contan no sentido horario ou dextroxiro (no mesmo sentido que as agullas do reloxo)
Ángulos positivos e negativos
Resta
Restar ángulos equivale a sumar o oposto:
A-B = A + (-B)
27° 30’ 47”
-12° -35’ -45”+
15º -5’ 2”
A = 27° 30’47”
B= 12° 35’45”
EXEMPLO
-B= -12° -35’ -45”Sumamos como no caso anterior
Para eliminar o resultao negativo sacamos unha unidade da columna anterior e sumamos 60’
15º -5’ 2” 14º -5’ 2”
+60
14º 55’ 2”
BA
A-B
Produto por un escalar
O procedemento é parecido ao da suma e ao da resta: temos que multiplicar por separado graos minutos e segundos
54º 27’ 46”
x 2108º 54’ 92”
Os resultados que excedan de sesenta divídense entre esa cifra
92 60
1 32
O cociente súmase nas unidades seguintes, e o resto déixase
x 2108º 54’ 32” +1
54º 27’ 46”
108º 55’ 32”
División
A división dun ángulo faise tamén por partes, e como nos anteriores casos temos que proceder ordenadamente, empezando pola unidade maior.
54º 27’ 46” 3
18º
24 0
9’
27’
0
46
15
16
1Neste caso non temos ningún resto, pero esta situación non é a usual
55º 27’ 46” 3
18º
25 1
29’
87’
27 0
46
15
16
1
O resto na división dos grados transfórmase en segundos, a sumar aos que xa tiñamos, e así sucesivamente sempre que fixera falta
+60
Transformación de decimais en minutos e segundos
Unha cantidade de graos expresada como un decimal pode transformarse en minutos e segundos da seguinte forma:
1.- Tómase a parte decimal e faise a proporción con cen e sesenta:
2.- Co decimal que queda facemos o mesmo para obter os segundos
36,12º son:
36º7’1,2”
No caso contrario, faremos á inversa
EXTENSIÓN DO CONCEPTO DE ÁNGULO E RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS
Razóns trigonométricas de ángulos non agudos
Extensión do concepto de ángulo
O concepto de ángulo relaciónase intrinsecamente coa circunferencia xa que os puntos dunha circunferencia definen todos os posibles ángulos que poden formarse con vértice nun punto O.
O
A(x,y)
C(x”,y”)
B(x’,y’)
A(x,y)
x
y
x’
y’
Ángulo A
Ángulo B
B(x’,y’)
Está claro que un punto que dá voltas arredor doutro describe máis dunha circunferencia arredor dese punto. Cal é entón o ángulo que correspondería a un tal movemento? Unha circunferencia enteira ten 360º: o que pasemos de aí indica que demos máis dunha volta. Dividindo a magnitude do ángulo entre 360 teremos o número de voltas e máis un ángulo equivalente menor
Ángulos e xiros
Sexa A a medida do ángulo:
A 360º
kA’
750º 360º
230º
Exemplo:
En radiáns pasaría o mesmo:
A 2
kA’
11 2
5
Ángulo inicial
Equivalentes
Número de voltas
Razóns trigonométricas na circunferencia
A(x,y)
x
y
Ángulo A
Nun triángulo definíamos as razóns trigonométricas a partir de:
Cateto oposto=a
Cateto oposto=b
Hipotenusa = c
Como:
A
Trasladando este ángulo sobre a circunferencia vemos que a=y, b=x c=RDe maneira que podemos definir:
Que a partir de agora serán as definicións de razón trigonométrica que consideraremos. Esta definición sirve para calquera ángulo.
O
C(x”,y”) =(-2,-3)
O
B(x’,y’) =(-2,4)EXEMPLO:
Se a circunferencia ten radio 5, e as coordenadas dos puntos son :B=(-2,4)C=(-2,-3)
RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS XENERALIZADAS
Valores e signos
A definción das razóns coas coordenadas, permite definir as razóns trigonométricas dos ángulos de 0º e 90º, a pesar de non ter neses puntos ningún triángulo
(0,R)
(0,-R)
(R,0)(-R,0)
0º
90º
180º
270º
360º
E o mesmo para os demais ángulos.
Ángulos
0° 90° 180° 270° 360°
Razóns
Seno 0 1 0 -1 0Coseno 1 0 -1 0 1
Tanxente 0 ±∞ 0 ±∞ 0
Aparece un problema nas tanxentes de 90 e 270º (o denominador é cero) que estudaremos noutro tema.
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICAUnha das características das razóns trigonométricas é que son independentes do radio da circunferencia na que se definen: en particular, a circunferencia de radio 1 recibe o nome de circunferencia goniométrica, palabra que procede do grego “gonios” ángulo e da raíz latina “metr” medida, de maneira que o adxectivo ven significar circunferencia da medida dos ángulos, porque nesta circunferencia as razón trigonométricas coinciden coas coordenadas dos puntos da circunferencia que definen os ángulos.
Utilizando a circunferencia goniométrica, ou circunferencia unitaria, podemos facilmente ver como cambian os signos das razóns nos diferentes cuadrantes da circunferencia
I
IV
II
III
I
IV
II
III
0º
90º
180º
270º
I
IV
II
III
I
IV
II
III
0
π/2
π
3π/2
360º 2π
Ángulos dos cuadrantes en graos
Ángulos dos cuadrantes en radiáns
x
xy
y
x
y
I II
IV IVIV
II
III
II
III
II
III
x
xy
y
x
y
I II
IV IVIV
II
III
II
III
II
III
I
IV
II
III
x
y
I
IV
II
III
I II III IVSENO + + - -COSENO + - - +TANXENTE + - + -
Utilizando a circunferencia unitaria, os valores do seno e do coseno son iguais aos valores das coordenadas:
E polo tanto, os signos das razóns son os das coordenadas
RELACIONS ENTRE RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS
Ángulos en diferentes cuadrantes
Ángulos positivos e negativos
Cal é o significado do signo nos ángulos? O sentido no que se percorre a circunferencia:Na figura podemos ver que o sentido positivo é antihorario (dextroxiro) e o negativo é horario (levoxiro)
I
IV
II
III
x
yI
IV
II
III
I
IV
II
III
yI
IV
II
III
Ángulo positivo
Ángulo negativo
x
Ángulos equivalentes
Son os que teñen as mesmas razóns trigonométricas. Debido a que estas varían de forma distinta nos diferentes cuadrantes, somente serán equivalentes os ángulos que se diferencien nun número enteiro de voltas completas de circunferencia.
yy
α α+360ºP P
A 360º
kA’
Ángulos suplementarios
AA
180-Ayy'
xx'
Son os que suman 180º. Se un dos ángulos é A, o outro será 180 - A
As razóns de ángulos suplementarios verifican:
Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:
Obtemos a relación entre as razóns:
DEMOSTRACIÓN:
Ángulos que se diferencian en 180º
A
180+A
y
y'x
x'
Os ángulos A e 180+A da figura diferéncianse en 180º.
Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:
Obtemos a relación entre as razóns:
As coordendas x e x’ de A e 180+A son opostas
As coordendas y e y’ son iguais e ambas positivas
A
y
y'x
x'
-A=360-A
Ángulos opostos
Os ángulos A e -A da figura son opostos
Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:
Obtemos a relación entre as razóns:
As coordendas x e x’ de A e -A coinciden
As coordendas y e y’ son opostas
NOTA:Obsérvese que –A e 360-A son o mesmo ángulo
Ángulos complementarios
Son os que suman noventa graos, ou o que é o mesmo, son A e 90 –A.
Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:
Obtemos a relación entre as razóns:
As coordendas y de A e x’ de 180+A son iguaisAs coordendas x
e y’ son iguais e ambas positivas
Ángulos que se diferencian en 90º
Se un deles é A o outro necesariamente medirá A e 90 +A.
Das relacións entre as coordenadas dos puntos extremos:
Obtemos a relación entre as razóns:
As coordendas y de A e x’ de 180+A son opostasAs coordendas x
e y’ son iguais e ambas positivas
Ángulos que suman 270º Ángulos que se diferencian en 270º
APLICACIÓNS
Areas de polígonosCálculo de distancias
Área dun polígono regular a partir do lado
Lado=L
Ap
ote
ma
= a
S=p ·a2
Para calcular a área do pentágono necesitamos calcular primeiro a apotema so coa medida do lado
En calquera polígono o ángulo entre dous radios consecutivos obtense dividindo 360 entre o número de lados
A apotema divide ao ángulo central en dous triángulos rectángulos
A apotema poderémola calcular mediante a tanxente do ángulo A’:
L/2
a
A’
O único dato que realmente necesitamos para calcular a superficie do pentágono é o lado:
Este método pódese xeneralizar a calquera polígono, de maneira que podemos escribir:
Onde N é o número de lados, L o lado e α é medio ángulo central (360°/2N).
Cálculo de alturas inaccesibles
Unha aplicación interesante de é a determinación da altura de obxectos cuxo interior ou cumio é inaccesible, como montañas, edificios, grandes árbores…A determinación da altura dun destes elementos respecto a unha superficie plana na que se sitúa un observador só require de tres medidas: unha distancia e dous ángulos, como veremos a continuación.
h
Situándonos nun espazo plano diante da montaña medimos o ángulo que forma o cumio coa horizontal, obtendo o ángulo A; avanzamos unha distancia d e volvemos medir o ángulo, obtendo B A B
d
h
x
Neste momento podemos plantexar
as igualdades:A resolución deste sistema de ecuacións proporcionaranos a altura da montaña.
Tanxencias e distancias
Un satélite orbita a Terra desde unha altura h. Desde a súa posición, as visuais a Terra forman un ángulo de 8º.Sabendo que o radio da Terra é aproximadamente 6378 Km calcula a distancia do satélite á superficie terrestre
A figura que forman as visuais a Terra e os radios que rematan nelas é:
90º
No triángulo rectángulo que se forma:
90º
90º
8º
4º
Rd
R+d
R
R
Hipotenusa =R +dCateto Oposto =R
top related