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Departamento de Estadística e InvestigaciónOperativa Aplicadas y Calidad.
Estadística. UPV
PROBABILIDADES.
Suitberto Cabrera García.
Estadística.
Departamento de Estadística e InvestigaciónOperativa Aplicadas y Calidad.
Estadística. UPV
Probabilidades.
1. Introducción.
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
3. Probabilidad. Concepto y propiedades.
4. Probabilidad condicional.
5. Teorema de la probabilidad total.
6. Independencia de sucesos.
7. Teorema de Bayes.
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Estadística. UPV
1. Introducción
Comenzamos un Tema fundamental, por el uso y aplicación de los
conceptos que estudiaremos en la asignatura pero que va mas allá
de ello y va a una aplicación generalizada en todo los que nos
rodea.
Al terminar este Tema, se te propone que seas capaz de entender y
usar adecuadamente y con soltura los términos y conceptos que
vamos a estudiar y a aplicarlos en al solución de problemas.
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Estadística. UPV
1. Introducción
1.- Introducción.
Estadística descriptiva.- Conjunto de técnicas que permiten
sintetizar y poner de manifiesto las características mas
relevantes de las pautas de variabilidad presentes en el
conjunto de datos observados.
Inferencia estadística.- análisis con el objetivo de obtener
conclusiones que sean válidas, con una razonable seguridad,
para la población de la cual han sido extraídos los datos.
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¿qué debe de entenderse bajo la expresión “una razonable
seguridad”?.
En nuestro ejemplo un 67 % de los alumnos encuestados (de un total
de 131) dieron un número impar cuando se les pidió que escribieran
un dígito al azar.
¿hasta que punto esta proporción tan alta es una casualidad?
¿puede por el contrario afirmarse con razonable seguridad que
existe en la población una tendencia a escoger preferentemente
números impares?
1. Introducción
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El proceso de razonamiento de la Inferencia Estadística exige el
recurso a Modelos Matemáticos.
Si asumimos que los datos observados (la muestra a analizar) han
sido extraídos al azar de la población estudiada, y asumiendo
también, que la pauta de variabilidad existente en dicha población
puede representarse adecuadamente mediante ciertos Modelos
Matemáticos, es posible calcular, las probabilidades asociadas a
datos como los obtenidos en la muestra.
Estas probabilidades permiten precisar la verosimilitud de las
hipótesis avanzadas con relación a la población.
1. Introducción
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El cálculo de probabilidades constituye el modelo matemático
básico sobre el que se construye la Inferencia Estadística.
En la presente unidad se introducen los elementos básicos del
Calculo de Probabilidades: los conceptos de suceso y de
probabilidad, las propiedades de esta, los conceptos de probabilidad
condicional y de independencia de sucesos y el Teorema de Bayes.
1. Introducción
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Autoevaluación: La ruleta de un casino tiene 18 números rojos y 18
números negros. Una persona que va a jugar a un color constata
que en las ultimas 9 tiradas ha salido un número rojo. ¿a qué color
es razonable que apueste en la siguiente tirada?:
a.- al negro.
b.- al rojo.
c.- es indiferente.
1. Introducción
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Sabemos los conceptos de población y de variable aleatoria.
E conjunto de valores que puede tomar una determinada variable
aleatoria.
A cualquier subconjunto A de E se le denomina Suceso.
Ejemplo: población jóvenes españoles
variable aleatoria: estatura.
E conjunto de números reales.
Un suceso podría definirse como “estatura mayor que 180 cm”
y le correspondería en E el subconjunto A de jóvenes de estatura
superior a 180 cm.
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
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Suceso seguro: será aquel asociado a E que es un subconjunto de si
mismo, al mismo se le asocia la totalidad de la población, o lo que es
lo mismo, para todos los individuos de la población se verifica dicho
suceso.
Suceso imposible: ¿ ?
Aquel suceso asociado al subconjunto vacío Φ de E. Como no contiene
ninguno de los valores de E no existirá individuo alguno en la
población para el que se verifique dicho suceso imposible Φ.
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
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Dado dos sucesos se denomina suma o reunión de ambos a un nuevo
suceso que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos
sucesos
C= A + B
Dado dos sucesos se denomina producto o intersección de ambos a un
nuevo suceso que se verifica si, y sólo si, se presentan tanto uno como
el otro de los sucesos
C= A.B
Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible se dice que son
excluyentes.
Se denomina suceso contrario a uno dado a aquél que se verifica si, y
sólo si, no se verifica este último. Y lo denominaremos Ā.
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
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3.- Probabilidad. Concepto y propiedades.
Concepto de Probabilidad.
A todo suceso se le puede asociar un número entre 0 y 1 al que se
denomina probabilidad.
Intuitivamente la probabilidad de un suceso no es mas que la
proporción de individuos de la población considerada en los que se
verifica dicho suceso.
Si el conjunto de valores que puede tomar la VA es finito y además
puede considerarse por razones de simetría que la probabilidad es la
misma para cada uno de los valores, la probabilidad de un suceso
resulta coincidir con el cociente entre el número de valores favorables
a dicho suceso y el número de valores posibles.
Si un dado es simétrico ¿cuál es la probabilidad de obtener número par
al lanzarlo? ¿ Por qué?
3. Probabilidad. Concepto y propiedades.
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Propiedades de la Probabilidad.
La probabilidad de un suceso asociado a un conjunto A la expresaremos
como P(A).
1.- P(A) ≥ 0
2.- P(E) = 1 puesto que el suceso seguro se verifica en toda la población.
3.- Si A y B son sucesos excluyentes P(A+B)= P(A) + P(B)
4.- P(Ā) = 1- P(A)
5.- P(A) ≤ 1.
6.- P(Φ) = 0
3. Probabilidad. Concepto y propiedades.
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Probabilidad de la suma de sucesos.
Hemos visto que si dos sucesos A y B son excluyentes se cumple queP(A+B) = P(A) + P(B)
¿Qué sucede si A y B no son excluyentes?
A B
ĀB AB ĀB
(A + B) = A + ĀB donde A y ĀB son sucesos disjuntos:
P(A+B) = P(A) + P(ĀB) (1)
B = AB + ĀB P(B) =P( AB) +P( ĀB) (2)
de (1) y (2)
P(A+B) = P(A) + P(B) - P( AB)
3. Probabilidad. Concepto y propiedades.
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Probabilidad condicional.
Dados dos sucesos A y B, se define intuitivamente el concepto de
probabilidad condicional de A dado B, y se simboliza como P(A/B), a
la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se
ha presentado el suceso B.
P(A/B) sería por tanto la proporción de individuos que verifican el
suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que
verifican el suceso B. De forma equivalente P(A/B) sería el cociente
entre el número de individuos que verifican tanto A como B ( o sea
que verifican AB) dividido por el número de individuos que verifican
B.
P(A/B) = P(AB) / P(B)
4. Probabilidad condicional.
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En la población de 131 estudiantes de la encuesta curso8990.sf3
¿Cuál es en dicha población la probabilidad del suceso CHICA?
¿Cuál es la probabilidad del suceso PESO ≤ 55?
¿Cuál es la probabilidad del suceso( PESO ≤ 55) /CHICA?
¿Cuál es la probabilidad del suceso CHICA/( PESO ≤ 55)?
Al seleccionar un individuo al azar de los 131 encuestados ¿cuál es laprobabilidad de que sea una chica de peso ≤ que 55 kgs? ¿resulta igualal producto de la probabilidad de que sea chica por la probabilidad deque el peso sea ≤ 0 55?
4. Probabilidad condicional.
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Probabilidad del suceso producto:
P(AB) = P(B) P(A/B)
P(AB) = P(A) P(B/A)
en el caso de la suma la formula general
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) se simplificaba a la probabilidad de la
suma en un caso particular: si los sucesos considerados eran
excluyentes.
En el producto P(AB) = P(B) P(A/B) se simplifica (probabilidad del
producto es igual al producto de las probabilidades cuando los sucesos
son independientes
4. Probabilidad condicional.
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Teorema de la probabilidad total.
Sea un suceso B que se presenta siempre asociado a uno de los n sucesos
A1, A2,…..An mutuamente excluyentes en que se particiona E. Si se
conocen las probabilidades P(Ai) es posible calcular P(B):
B = EB = (A1+A2+..…+An)B=A1 B+A2B+..…+AnB
y como los suceso AiB son mutuamente excluyentes al serlo los sucesos Ai:
P(B) = P(A1B)+P(A2B)+..…+P(AnB)= P(A1)P(B/A1)+……..P(An)P(B/An)
Teorema de la Probabilidad Total
5.Teorema de la probabilidad total.
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Independencia de sucesos.
Dos sucesos A y B son independientes si se verifica una cualquiera, y
por lo tanto las ocho, de las siguientes condiciones equivalentes:
1.- P(A/B) = P(A).
2.- P(A/B) = P(A/¯B)
3.- P(B/A) = P(B).
4.- P(B/A) = P(B/Ā).
5.- P(AB) = P(A) P(B).
6.- P(¯A¯B) = P(Ā) P(¯B).
7.- P(¯A¯B) = P(Ā) P(B).
8.- P(¯A¯B) = P(A) P(¯B).
6. Independencia de sucesos.
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Teorema de Bayes.
Se presentan a veces situaciones en que E esta particionado en n
sucesos A1, A2,…..An mutuamente excluyentes conociendose las
probabilidades P(Ai), que obviamente deben sumar 1. Se conocen
también las probabilidades condicionales P(B/Ai) de cierto suceso
condicionado a cada uno de los Ai, y se desea finalmente obtener la
probabilidad P(Ak/B) de uno de los sucesos Ak sabiendo que se ha
presentado B.
El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen
hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras
que el otro 70% tiene hepatitis infecciosa que puede curarse con
reposos y medicación (Estos serian A1 y A2) en los que se particiona
toda la población). Para saberlo se realiza una determinada prueba
clínica que puede dar positiva (este sería el suceso B).
7. Teorema de Bayes.
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Se sabe que la probabilidad de que la prueba resulte positiva es 0.95
cuando los enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0.10 cuando la
tienen infecciosa (estas serían las probabilidades condicionales
P(B/Ai). Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva ¿cuál
es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? O
sea, cuanto vale P(A1/B)
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes
(1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez
primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir
de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas
probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
7. Teorema de Bayes.
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P(Ak/B)= P(Ak/B) /P(B)= P(Ak)P(B/ Ak) / P(B)
y sustituyendo en el denominador la expresión obtenida del Teorema
de la Probabilidad Total:
P(Ak/B)= P(Ak)P(B/ Ak) / P(Ai)P(B/ Ai)
7. Teorema de Bayes.
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Conclusiones.
Hemos aprendido y estamos listos para incorporar a nuestro quehacer
profesional conceptos muy importantes relacionados con: Sucesos y
Operaciones con suceso; Probabilidad y Probabilidad condicional e
Independencia de sucesos.
Hemos conocido e interpretado adecuadamente los Teorema de la
probabilidad total y el Teorema de Bayes y lo que es mas importante
debes de saber solucionar problemas donde se apliquen.
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Fuentes:
1. Rafael Romero Villafranca, Luisa Zuñica Ramajo. ”Introducción a laEstadística”. Valencia. Editorial UPV , 2007.2. Nieves Martínez Alzamora, Gonzalo Clemente Marín , José Sanz Juan“Métodos estadísticos en la ingeniería”. Valencia : Editorial UPV , 2010.3. Nieves Martínez Alzamora, Susana San Matías Izquierdo, SuitbertoCabrera García. “Prácticas con Statgraphics”. Universidad Politécnica deValencia Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas yCalidad. Valencia. Editorial UPV, 2010.4. Material docente elaborado por el colectivo de profesores delDepartamento de Estadística Investigación Operativa Aplicadas y Calidad de laUPV que imparte la asignatura en la Escuela Superior de Diseño de la UPV.
Algunos derechos reservados:creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es
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