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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA
CAMPUS DE SALVADOR – DEPARTAMENTO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS
E ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 1
Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I
Período: 2016.2 rev. 1.4
TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS
1. Objetivo
Estudar o escoamento de fluidos no problema do esvaziamento de distintos tipos de recipientes. Objetivos específicos 1.1 Analisar o escoamento de fluidos através de diferentes recipientes com diâmetros
de orifício de saída também distintos, determinar a altura em função do tempo por meio de diferentes equacionamentos;
1.2 Comparar os valores obtidos experimentalmente com aqueles esperados por abordagens teóricas (Equação de Bernoulli e aproximações);
1.3 Determinar em cada ensaio o número de Reynolds e caracterizar o regime de
escoamento (laminar ou turbulento).
2. Fundamentação Teórica
O experimento aborda o tema de esvaziamento de reservatórios contendo fluidos, que constitui um problema corriqueiro na prática industrial. Este tema será estudado a luz de conceitos básicos da mecânica dos fluidos. O tema de esvaziamento de reservatórios é um problema clássico da mecânica dos fluidos que aparece em diversas situações de interesse industrial. Para ilustrar consideremos o tanque cilíndrico indicado na Figura a seguir.
D é o diâmetro do reservatório;
d é o diâmetro do orifício de saída de fluido;
h é a altura (nível de líquido) no tanque.
Figura 1 – Esquema mostrando o
esvaziamento de um tanque cilíndrico.
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Uma abordagem teórica rigorosa para este problema modela o mesmo como um
escoamento em regime transiente, viscoso e rotacional. Entretanto, estimativas
aproximadas podem ser obtidas a partir de adaptações de equações tais como a de
Bernoulli com as devidas correções. Sabe-se que o emprego da equação de Bernoulli
se justifica em situações de escoamento em regime permanente, invíscido e
incompressível e deve ser aplicado em pontos do escoamento situados numa mesma
linha de corrente. Fazendo-se isso para os pontos 1 e 2 da figura, tem-se:
𝑝1𝛾⁄ +
𝑉12
2𝑔⁄ + 𝑧1 =𝑝2𝛾⁄ +
𝑉22
2𝑔⁄ + 𝑧2 = 𝐻 (1)
Sendo:
𝑝𝛾⁄ é a carga referente à pressão;
𝑉22𝑔⁄ é a carga da velocidade (cinética);
z é a cota ou carga da elevação
H é a carga total do escoamento.
Uma das grandes limitações do emprego da equação de Bernoulli para o problema em
questão é o fato de a situação real ocorrer em regime transiente.
Modelo Dinâmico 1: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo
pseudo-estacionário.
Para superar a dificuldade descrita nas suposições necessárias ao emprego da
Equação 1, supõe-se que a velocidade da superfície do líquido no reservatório é muito
menor que a velocidade na saída, visto que sua área de seção transversal é grande
comparativamente ao diâmetro de saída em 2. Considerando ainda que os dois pontos
estão submetidos à pressão atmosférica, a Equação (1) torna-se:
𝑧1 =𝑉22
2𝑔⁄ + 𝑧2 (2)
Nota-se que a velocidade instantânea (dh/dt) no ponto 1 não aparece na equação (2).
Esta poderá ser obtida através da aplicação da lei de conservação da massa
(Equação da Continuidade) para o sistema em questão, admitindo escoamento
incompressível e regime pseudo-estacionário. Procedendo-se desta forma, tem-se:
𝐴1𝑉1 ≅ 𝐴2𝑉2 ∴ 𝜋𝐷2
4
𝑑ℎ
𝑑𝑡≅ 𝜋
𝑑2
4𝑉2 𝑉2 ≅
𝐷2
𝑑2𝑑ℎ
𝑑𝑡 (3)
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Substituindo-se (3) em (2), tem-se uma primeira estimativa teórica para dh/dt:
𝑑ℎ
𝑑𝑡= −
𝑑2
𝐷2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (4)
A integração da equação (4) permite escrever h(t) como:
𝒉 =𝟏
𝟐(𝒅
𝑫)𝟒
𝒈𝒕𝟐 − (𝒅
𝑫)𝟐
√𝟐𝒈𝒉𝟎𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟓)
Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório.
Modelo Dinâmico 2: Adaptação da Equação de Bernoulli partindo-se da hipótese
de processo pseudo-estacionário.
Uma outra possibilidade de estimativa para dh/dt pode ser obtida substituindo-se
diretamente a Equação (3) em (1). Neste caso, obtém-se:
𝑑ℎ
𝑑𝑡= −
√
2𝑔(𝑧1 − 𝑧2)
[(𝐷𝑑)4
− 1]
(6)
A integração da equação (6) permite escrever h(t) como:
𝒉 =𝟏
𝟐
𝒈
[(𝑫𝒅)𝟒
− 𝟏]
𝒕𝟐 −
{
√
𝟐𝒈𝒉𝟎
[(𝑫𝒅)𝟒
− 𝟏]}
𝒕 + 𝒉𝟎 (𝟕)
Onde, h0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório.
Modelo dinâmico 3: Adaptação da Equação de Bernoulli com V1<< V2 e processo
pseudo-estacionário, levando em conta a perda de carga e a contração do jato
de fluido na saída do reservatório.
O coeficiente de descarga é um parâmetro adimensional definido por:
𝐶𝑑 =𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 (8)
A velocidade real no ponto 2 (V’2) é dada pelo produto entre a velocidade teórica, dada
na equação 2, e o coeficiente de velocidade Cv, que reflete a perda de carga
associada ao escoamento.
𝑉′2 = 𝐶𝑣𝑉2 = 𝐶𝑣√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (9)
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O ponto 2 está logo após o orifício de descarga do reservatório, devido à contração do
jato do fluido, a área real do jato no ponto 2 é dada por:
𝐴′2 = 𝐶𝑐𝐴2 (10)
Onde (Cc) é o coeficiente de contração, um parâmetro adimensional para correção da
área do jato. A vazão real de fluido é dada por:
𝑄′ = 𝐴′2𝑉′2 = 𝐶𝑣𝐶𝑐𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) = 𝐶𝑑𝐴2√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (11)
Sendo:
𝑄′ = −𝐴1𝑑ℎ
𝑑𝑡 (12)
Igualando as equações (12) e (11):
𝑑ℎ
𝑑𝑡= −𝐶𝑑
𝐴2𝐴1√2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) (13)
A integração da equação (11) permite escrever h(t) como:
𝒉 =𝑪𝒅𝟐
𝟐(𝒅
𝑫)𝟒
𝒈𝒕𝟐 − [𝑪𝒅 (𝒅
𝑫)𝟐
√𝟐𝒈𝒉𝟎] 𝒕 + 𝒉𝟎 (14)
Modelo para esvaziamento de recipientes cônicos
Figura 2 – Esquema mostrando o
esvaziamento de um tanque cônico.
Através da análise da geometria do
problema, tem-se:
𝑟0𝑧0=𝑟
𝑧=�̅�
𝑧̅=𝑟2𝑧2
Aplicando balanço de massa, em
termos da elevação da superfície do
líquido: 𝑉(𝑧̅) = −𝑧2
�̅�2𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑉2 = 𝑉(𝑧2) = −𝑧2
𝑧22
𝑑𝑧
𝑑𝑡
O balanço de energia mecânica fornece:
𝑑
𝑑𝑡(𝐾𝑡𝑜𝑡 +Φ𝑡𝑜𝑡) = −Δ [(
1
2𝑉2 + 𝑔𝑧)𝑤] − Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) −𝑊 − 𝐸𝑣
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No qual Ev é a energia dissipada.
O trabalho realizado sobre a superfície líquida é dado por:
−𝑊 = 𝑝(𝜋𝑟2)(𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ )
Considerando que 𝑉1 ≈ 0, tem-se:
−Δ(𝑝 < 𝑉 > 𝐴) = −𝑝𝑉2𝐴2 = −𝑝(𝜋𝑟22) (
𝑧2
𝑧22)(
𝑑𝑧
𝑑𝑡)
Este termo é cancelado com o trabalho realizado sobre a superfície livre.
Desprezando a dissipação viscosa 𝐸𝑣 ≈ 0 e o termo associado ao acúmulo de energia
cinética. O balanço de energia mecânica é escrito:
𝑑
𝑑𝑡∫ (𝜌𝑔𝑧̅)𝜋�̅�2𝑑𝑧̅𝑧
𝑧2
= −1
2𝑉22𝑤2 − 𝑔𝑧2𝑤2
Dividindo por 𝑤2 = 𝜌𝑉2𝜋𝑟22 e usando �̅�2 = 𝑧̅2(
𝑟22
𝑧22⁄ ) (15).
𝑔
𝑉2𝑧22 𝑑
𝑑𝑡(𝑧4 − 𝑧2
4
4) = −
1
2𝑉22 − 𝑔𝑧2
Substituindo 𝑉2 = −𝑧2
𝑧22
𝑑𝑧
𝑑𝑡 e resolvendo:
−𝑔𝑧 = −1
2𝑉22 − 𝑔𝑧2 𝑉2 = √2𝑔(𝑧 − 𝑧2) (16)
Do balanço de massa:
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌𝜋�̅�2𝑑𝑧̅𝑧
𝑧2
= −𝜌𝑉2𝜋𝑟22 (17)
Substituindo as equações 12 e 13 na 14:
(1
𝑧2)2
𝑑
𝑑𝑡[1
3(𝑧3 − 𝑧2
3)] = −√2𝑔(𝑧 − 𝑧2)
Para 𝑧2 ≪ 𝑧: 𝑧32⁄ 𝑑𝑧
𝑑𝑡= −𝑧2
2√2𝑔
Sendo 𝑧 = 𝑧0 quando 𝑡 = 𝑡0 = 0 a integração fornece:
𝑧052⁄ − 𝑧
52⁄ =
5
2𝑧22𝑡√2𝑔
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Isolando z: 𝑧5 =25
4𝑧242𝑔𝑡2 − 5√2𝑔𝑧2
2𝑧052⁄ 𝑡 + 𝑧0
5 (18)
A equação 15 representa um modelo pseudo-estacionário para a altura de fluido
durante o escoamento em recipiente cônico. Levando em conta o coeficiente de
descarga, tem-se:
𝒛𝟓 =𝟐𝟓
𝟒𝒛𝟐𝟒𝟐𝒈𝑪𝒅
𝟐𝒕𝟐 − 𝟓√𝟐𝒈𝒛𝟐𝟐𝒛𝟎
𝟓𝟐⁄ 𝑪𝒅𝒕 + 𝒛𝟎
𝟓 (19)
3. Materiais
- Água e/ou um outro fluido a ser testado; - Pigmento solúvel em água (Anilina azul); - 01 Becker de 2 L (frascos coletores); - 01 Barrilete para armazenamento de água; - 01 Bureta sem válvula e 01 Bureta 50 mL; - Termômetros (utilizar sempre o mesmo termômetro para as medições); - 01 Argola; - 02 Suportes para bureta e 01 Suporte universal; - 01 Garrafa PET de 1 L adaptada; - Tampas de garrafa PET perfuradas ao centro (mensurar e escolher somente 3); - Suporte para a garrafa; - Rolhas perfuradas ao centro de diferentes diâmetros (mensurar e escolher somente três); - Papel milimetrado, 01 Paquímetro e 01 Régua graduada ou trena; - Fita adesiva; - 01 Cronômetro; - Câmera de filmagem com boa resolução (celular ou máquina fotográfica).
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4. Procedimento Experimental
4.1 - Teste 1: Esvaziamento de uma bureta de vidro sem válvula com diâmetros diferentes na saída a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no
recipiente para a descrição do fenômeno. Efetuar cada leitura em triplicata e adotar a média do resultado.
b. Com o uso de um termômetro, registrar a temperatura do fluido a ser testado.
c. Adicione uma gota do pigmento ao fluido.
d. Use a fita adesiva para criar marcas na bureta correspondentes aos volumes de 0; 10; 20; 30; 40 e 50 mL.
e. Adaptar a rolha ao recipiente de vidro e posicionar o recipiente de coleta.
f. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada).
g. Destampar a saída de fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.
h. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®)
i. Anotar os valores obtidos.
j. Repetir os passos anteriores com as demais rolhas testadas.
De posse dos dados coletados, obter h x t para cada rolha, comparando os valores experimentais com os três modelos teóricos propostos. 4.2.- Teste 2: Esvaziamento de uma bureta de vidro com válvula
a. Repetir os passos de a. a d. do item 4.1.
b. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada).
c. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.
d. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 mL escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. . (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®)
e. Anotar os valores obtidos.
Com esses dados obter h x t para a bureta com válvula, comparando os valores
experimentais com os modelos teóricos propostos e com os resultados obtidos no
experimento 4.1.
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4.3.- Teste 3: Esvaziamento da água existente em um barrilete
a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno.
b. Estando a válvula de saída de água fechada, encher o barrilete com água. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala).
c. Abrir totalmente a válvula de saída, deixando a água escoar. Anotar os tempos correspondentes a variações de 1 cm no nível de água do recipiente. (DICA: Neste experimento a velocidade é lenta o suficiente para permitir o uso de um cronômetro de voltas).
d. Fechar a válvula quando o mesmo atingir na última marcação indicada.
e. Anotar os valores obtidos.
Figura 3 – Teste 3: Esvaziamento de
água em um barrilete.
4.4.-Teste 4: Esvaziamento da água existente em uma garrafa PET adaptada utilizando 1 tampa com diâmetro de orifício distinto para cada grupo.
a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno.
b. Adaptar a tampa ao recipiente e posicionar o recipiente de coleta quando necessário.
c. Adicione uma gota do pigmento à água.
d. Encher o recipiente inicialmente com água, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala).
e. Destampar a saída de fluido, filmando o movimento da superfície do líquido ao longo da escala, e deixando-o escoar para o recipiente de coleta.
Figura 4 – Teste 4: Esvaziamento
de uma garrafa PET adaptada.
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f. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker®).
g. Anotar os valores obtidos.
4.5.- Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico
a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno (Ver equação 15 e Figura 2). Efetuar a leitura em triplicata e adotar a média do resultado.
b. Adicione uma gota do pigmento ao fluido.
c. Encher o recipiente com o fluido testado até o limite da região cônica, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada.
d. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo ao longo da escala colocada atrás do recipiente, deixando-o escoar para o recipiente de coleta.
e. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente.
f. Anotar os valores obtidos.
Figura 5 – Teste 5: Esvaziamento de
recipiente cônico.
6. Cálculos e análises dos resultados
Os resultados e discussões efetuados deverão ser apresentados no relatório da prática na forma de tabelas e gráficos que possam apresentar/responder ao que se pede, conforme questionamento descrito abaixo.
A partir de um ajuste de curvas aos dados experimentais é possível propor um modelo dinâmico empírico. Este modelo está de acordo com a teoria? Justifique.
Porque é mais adequado utilizar os modelos na forma integrada do que na diferencial?
Qual modelo dinâmico teórico apresentado se aproxima mais dos resultados empíricos? O que justifica este comportamento?
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Ao considerarmos que a velocidade na superfície do líquido é aproximadamente zero estaremos cometendo um erro significativo? Compare os modelos empregados para responder esta pergunta. O atrito no recipiente e a formação da vena contracta foram importantes?
Em cada intervalo de medição, Δt, determinar se o escoamento é laminar ou
turbulento. Observar se o tipo de escoamento se mantém sempre o mesmo, justificando.
Sabendo que o coeficiente de descarga depende do número de Reynolds, proponha uma modificação no modelo teórico que leve em conta a transitoriedade do escoamento. Para isto calcule em cada intervalo de
medição, Δt, o coeficiente de descarga, em seguida relacione-o com o tempo
médio entre as medições. De que fato decorre a incerteza associada ao novo modelo?
Com base nos fatores desprezados pelos modelos, que condições experimentais permitiriam uma maior aproximação dos modelos teóricos com o resultado empírico?
É possível exprimir uma relação funcional entre altura adimensional (h/H) e tempo adimensional (t/T) para os resultados experimentais?
7. Conclusões
Inserir as conclusões com base nos resultados alcançados.
8. Bibliografia:
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill – Artmed, 2007. FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Mecânica dos Fluidos - 6ª
edição, LTC, 2006. YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte - 2ª
edição, Editora LTC, 2004.
Histórico de revisões/atualizações deste roteiro:
Versão 1.1 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2013.2
Versão 1.2 - Discente Murilo Fontes em 2014.1
Versão 1.3 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2015.2
Versão 1.4 – Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2016.2
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