tempusprojekt: 516678 tempus-1-2011-1-de-tempus- jpcr:...
Post on 25-Dec-2019
16 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-
JPCR:
ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA
PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN
Vorlesungsskript: Mathematische Modellierung und
Simulation
Für Studiengang: Master-Automatisierunmgstechnik
Magistr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması
ixtisası üzrə
Riyazi modelləşdirmə və simuliyasiya
Prof. Dr. Ing. Ghasanfer Rustamov ( AzTU)
Dr. Ing. Mammadova Afaq (AzTU)
Baku 2015
2
Mündəricat
Giriş ………………………………………………....... 6
1. RİYAZİ MODELLƏŞDİRMƏ VƏ
SİMULYASİYA..................................................... 8
1.1. Model aylayışı və modelləşdirmə...................... 8
1.2.
1.3.
Modellərin təsnifatı............................................
Riyazi modellərin təsnifatı.................................
8
11
1.4. Modellərə təqdin olunan tələblər............................. 13
1.5. Modelləşdirmənin əsas mərhələləri........................ 13
1.6. Simulyasiya və ya imitasiya
modelləşdirilməsi.................................................... 14
1.7. Monte-Karlo üsulu. Statistik sınaqlar üsulu............ 15
1.7.1. Pi ədədinin hesablanması............................... 18
1.7.2. Sahələrin hesablanması.................................. 20
1.7.3. Müəyyən inteqrallaın hesablanması..............
Çalışmalar -1...........................................................
22
27
2. DİNAMİK OBYEKTLƏRİN DİFERENSİAL
TƏNLİKLƏRİN KÖMƏYİ İLƏ
MODELLƏŞDİRİLMƏSİ........................................ 28
2.1. Əsas anlayışlar........................................................ 28
2.2. Diferensial tənliklərin yazılış formaları................... 29
2.3. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına aid
misallar.................................................................... 32
2.4. Dinamika tənliyi..................................................... 36
2.5. Statika tənliyi.......................................................... 39
2.6. Obyektlərin vəziyyət modelləri formasında
yazılı................................................... 43
2.7. Vəziyyət modellərinin MATLABda realizasiyası. 47
2.7.1. Birqiymətli keçidin mövcud olmaması .... 49
2.7.2. Minimal realizasiya………………………. 50
3
2.8. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli.. 51
2.9. Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin həlli... 54
2.10. Diferensial tənliklərlə modelləşdirməyə aid
texniki misallar....................................................... 58
3. VƏZİYYƏT MODELLƏRİ ŞƏKLİNDƏ
VERİLMİŞ OBYEKTLƏRİN VƏ
TƏNZİMLƏMƏ SİSTEMLƏRİNİN SİMULİNK
PAKETİNDƏ
SİMULYASIYASI................................................. 64
3.1. İlkin anlayışlar........................................................ 64
3.2. İdarəetmə obyektlərinin simulyasiyası................... 65
3.3. İdarəetmə obyektlərinin vektor
modelləşdirilməsi.................................................... 69
3.4. Sabit əmsallı xətti obyektlərin vektor
modelləşdirilməsi.................................................... 73
3.5. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli………. 78
3.6. Tənzimləmə sisteminin simulyasiyası.................... 79
4. TƏCÜRBİ VERİLƏNLƏRİN EMALI.
İNTERPOLYASİYA............................................... 86
4.1.
4.2.
İlkin anlayışlar.......................................................
Düyün nöqtələrində dəqiq olan interpolyasiya.......
86
88
4.2.1.Nöqtəvi interpolyasiya...................................
4.2.2. Çoxhədlilərin vasitəsi ilə interpolyasiya.......
88
91
4.3. Ən kiçik kbadratlar üsulu. Approksimasiyaedici
funksiyanın (modelin) tapılması............................. 99
4.4. Aproksimasiya xətasının hesablanması................... 108
4.5. Splaynlarla interpolyasiya....................................... 109
Tapşırıq-4.1............................................................. 113
Çalışmalar-4. 2........................................................ 114
Çalışmalar-4. 3........................................................ 115
ƏDƏBİYYAT......................................................... 117
4
GİRİŞ
Riyazi modelləşdirmə və simulyasiya elim və texnikanın demək
olar ki bütün sahələrini əhatə edir. Hazırda istənilən sistemi layihə
edərkən imitasiya modelləşdirilməsindən geniş istifadə olunur.
İmitasiya vasitələri geniş proqram vasitələrindən və kompyuterdə
realizasiya olunmuş müxtəlif tətbiqi sistemlərdən ibarətdir. Məsələn,
Matlab/Simulink proqram paketi.
Model originalın isanın ixtiyarında olan hər-hansı bir vasitə ilə
əks etdirilmiş surətidir (kopiya). Riyazi modeldə real obyekt (proses)
riyazi vasitələrin köməyi ilə ifadə olunur: tənliklər, məntiqi ifadələr
və s.
İmitasiya anlayışını – (Lat. – imitatio-oxşadmaq, bənzətmək)
kimi ifadə etmək olar.
İmitasiya modelləşdirilməsi- tədqiq olunan sistem (obyekt) onun
modeli ilə əvəz olunur və real obyektin xarakteristikaları modelin
verdiyi xarakteristikalar əsasında tədqiq olunur.
Simulyasiya –(Lat. simulatio-görkəm yaratmaq, yalançı
əmməliyyat).Və ya hər- hansı real prosesi onun modeli əsasənda
imetasiya etmək.
İmitasiya (simulyasiya) modelləşdirilməsindən obyektin özünün
modelinin, bu modelin iştirak etdiyi hər-hansı bir sistemin (məsılən
idarəetmə sistemi) tədqiq olunması və ya hər-hansı bir qurğunun
həndəsi ölçülərini və başqa göstəricilərini hesablamaq üçün (layihə
məsələsi) istifadə olunur. Indi geniş yayilmış imitasiya üsullarından
olan Monte-Karlo (satatistik sınaqlar) üsulu təhlil edilmiş, konkret
misallar həl olunmuşdur.
İmitasiya (simulyasiya) modelləşdirilməsi aşağıdakı üstünlüklərə
malikdir:
- real obyektdə tədqiq oluna bilməyən parametrlərin və
xarakteristikaların öyrənilməsi;
- real obyektdə üzə çıxmayan effektlərin aşkar edilməsi;
- real obyektə xələl gətirmədən mütəlif kompyüter
eksperimentlərinin yerinə yetirilməsi;
- sistemin lazımı (optimal) sazlama parametrlərinin model
5
əsasında hesablanması (sintez məsələsi);
- tədqiqatlarin təqribi belə olmasına baxmayaraq iqtisadı
baxımdan cox səmərəli olması və s.
Matlabın tərkibində olan vizual-bloklu imitasiya
modelləşdirmə paketi Simulink xüsusi yer tutur. Simulinkdə
avtomatik tənzimləmə sisteminin tipik element və blokları – giriş
siqnalları, funksional və vizuallaşdırma vasitələri kitabxanada olan
hazır bloklar şəklində təqdim olunur. Proqram müşahidəsi üzə
çıxmayaraq arxa planda qalır. Sistemin parametrlərini dəyişmək üçün
parametrlər pəncərəsindən istifadə olunur.
Simulinkdə müxtəlif modellər şəklində verilmiş obyektləri
modelləşdirmək mümkündür. Bunlardan ötürmə funksiyalarını və
vəziyyət modellərini göstərmək olar. Bloklu imitasiya
modelləşdirməsinə olduqca az vaxt sərf olunduğundan bir dərs saatı
ərzində nəticələri almaq və daha çox məlumat toplamaq mümkündür.
Tədqiqatların virtual xarakter daşımasına baxmayaraq praktiki
tədbiqlərdə çox vacib olan biliklər qazanmaq mümkündür.
Kitabda Matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadı olunmuşdur:
Symbolic Math Toolbox; Control System Toolbox; Statistics
Toolbox; System Identification Toolbox; Simulink.
Dərs vəsaiti 4 bölmədən ibarətdir. İxtisasa uyğun olaraq
avtomatik tənzimləmədə baxılan dinamik obyektlərin
modelləşdirilməsi, Matlab/Simulinkdə simulyasiya texnologiyaları,
təcrübi verilənlər əsasında modellərin qurulması və təsadüfi
proseslərin ədədi və ehtimal xarakteristikalarının Matlabda qurulması
texnologiyası işlənilmişdir. Hər bölməyə aid xarakterik misallar və
simulyasiya sxemləri verilmişdir.
Kitab Proseslərin avtomatlaşdırılması mühəndisliyi ixtisasları
üzrə təhsil alan tələbələr və bu sahədə çalışan müxtəlif peşə sahibləri
üçün nəzərdə tutulmuşdur.
Müəllif: Q.Ə.Rüstəmov
Email: gazanfar.rustamov@gmail.com
6
1. RİYAZİ MODELLƏŞDİRMƏ VƏ SİMULYASİYA
1.1. Model aylayışı və modelləşdirmə
Sözün geniş mənasında model- real prosesin və ya obyektin hər-
hansı bir vasitələrin köməyi ilə alınmış təsviridir. Belə vasitələrdən
fikirdə yaranan obrazı, maketi, söz ilə yazılışı (linqvistik model)
fuksional sxemi, rəsmi (çertyoj), xəritəni və s. göstərmək olar.
Model tam dəqiq olmayıb real obyektin sədə əvəzedicidir.Obyektin,
prosesin və ya hadisənin özü isə qurulmuş modelin originalı adlanır.
Modeldən real obyektin əlçatmaz xarakteristikalarını tıyin etmək,
onun gələcək fəaliyyətini proqnozlaçdırmaq, tənzimləyicinin sazlama
parametrrlərini hesablamaq (sintez məsələsi) və ya yeni yaradılan
obyektin həndəsi ölçülərini təyin etmək üçün (layihə məsələsi) və s.
istifadə edilə bilər.
Modelləşdirmə- hər-hansı obyekti tədqiq etmək etmək üçün onun
modelinin qurulması və öyrənilməsindən ibarətdir. İstənilən elmi-
tədqiqat metodu modellşdirmə ideyasına əsaslanır.
Riyazi model- real prosesin və ya obyektin riyazi vasitələrin
köməyi ilə alınmış təsviridir. Belə vasitələrdənd müxtəlif tənlikləri
(məsələn, diferensial, ehtimal (stoxastik), Bul (məntiqi), qeyri-səlist
və s.), ifadələri, qanunları (məsələn, Nyuton, Faradey və s.) və s.
göstərmək olar.
1.2. Modellərin təsnifatı
1. Zaman faktorunun nəzərə alinmasına görə təsnifat
Statik model-obyektin qərarlaşmış rejimdə (sükunıtdə) olan
modeli. Bəzi hallarda qeyd olunmuş zaman kəsiyindəki model də
statik model kimi təqdim olunur.
Dinamik model-obyektin vəziyyətinin (xarakteristikalarının)
zaman üzrə necə dəyişdiyini izləməyə inkan verir. Məsələn, xəstəlik
tarixi qeyd olunan sənəd. Texniki obyektlərin dinamik modelləri
adətən diferensial tənliklərlə ifadə edilir.
7
Şəkil 1.1-də baxılan təsnifata uyğun gələn sxem göstərilmişdir.
Şəkil 1.1
Bundan başqa, modelləri aid olduğu elim sahəsinə əsasən də
təsnif etmək olar. Məsələn, bioloji, tarixi, ekoloji və s. modellər.
2. İstifadə olunma sahəsinə görə təsnifat
Tədris modelləri-əyani vasitələr, trenajorlar, öyrədən (tədris)
proqramları və s.
Oyun modelləri-iqtisadi,idman, işgüzar oyunlar və s.
Elmi-tədqiqat- sinxrofazatron, aparatları yoxlamaq və kolibrovka
etmək üçün stendlər və s.
Təcrübi modellər- real obyektlərin kicildilmiş surəti (qlobus).
İmitasiya modelləri-rellığı əks etdirməkdən başqa, onu imitasiya
edir (dərimanların siçovulların üzərində yoxlanılması,
kosmonaftların çəkisizliyi yer şəraitində imitasiya etməsi).
Şəkil 1.2-də uyğun blok-sxem göstərilmişdir.
Şəkil 1.2
8
3. Təqdim olunma üsuluma əsasən təsnifat
Material modelləri-və ya əşya (cisimi) modelləri.Bu modellər
originalın həndəsi və fiziki xassələrini əks etdirir və reallığın
təcəssümüdür (воплощение).
İnformasiya modelləri-bu modellərə toxunmaq və görmək
mümkün deyil.Onlar yalnız obyekt (proses, hadisə) haqqında səhih
və dürüst informasiyaya əsasən qurulur. İnformasiya modelləri-
obektin xassələrini və vəziyyətini, eyni zamanda bunlar və xarici
aləm arasındakı əlaqələri də xarakterizə edən sistemli informasiya
toplusundan ibarətdir.
Verbal model-fikir və ya danışıq formasında olan informasiya
modeli.
Simvollu modellər-istənilən formal dillərin simvolları (proqram
əmirləri, cəbri, münasibət, məntiqi əməliyyatlar və s. simvolları) ilə
ifadə olunan informasiya modelləri.
Kompyüter modeli-proqram vasitələri ilə realizasiya olunan
model.
Şəkil 1.3-də uyğun blok-sxem göstərilmişdir.
Şəkil 1.3
9
1.3. Riyazi modellərin təsnifatı
Riyazi model dedikdə, hər şeydən əvvəl, obyektin riyazi vasitələr
ilə ifadə olunan giriş və çıxış dəyişənləri arasında əlaqə tənliyi və ya
alqorilmi başa düşülür.
Əsasən aşağıdakı modelləri öyrənəcəyik.
Determinik, stoxastik, qeyri-səlis və interval qeyri- müəyyənliyə
malik olan riyazi modellər.
Determinik moedeldə obyekti, prosesi və ya hadisəni yazan
dəyişənlər arasında birqiymətli uyğunluq (funksional asılılıq)
mövcud olur. Bu tip modelləri prosesin başvermə mexanizmi tam
məlum olduqda qurmaq mümkündür. Məsələm, fizikanın,
mexanikanın, kimya və s. qanunları. Qanun kəşf etmək - dərk etmək
deməkdir.
Stoxastik modeldə dəyişənlər arasinda birqiymətli asılılıq olmur.
Model xətti olduqda bu asılılığın “gücü” korrelyasiya əmsalı
11 r ilə xarakterizə olunur və “ehtimal asılılığı” adlanır.
Determinik model üçün 1r . Obyektdə baş verən prosesin
mexanizmi məlum deyilsə originalda təcrübə aparılır və alınmış
statistik verilənlər riyazi statistika üsullarından və ehtimal
nəzəriyyəsindən istifadə etməklə emal olunur. Nəticədə stoxastik
model alınır. Bu halda modelin əmsalların ehtimal xassələrinə malik
olduğundan onların “etibarlılıq intervalları” (ellipisoidləri)
hesablanır.
Qeyri-səlist modelin əmsalları qeyri-səlis, dəyişənləri isə
linqvistik dəyişənlər şəkildə olur. Bu halda obyektdə aparılmış
təcrübənin nəticəsində alınmış statistik verilənləri emal etmək üçün
həmyerlimiz amerika alimi Lütfi Əsgər-zadənin qeyri-səlist
çoxluqlar nəzəriyyəsindən istifadə olunur.
İnterval qeyri- müəyyənliyə malik olan riyazi modellərin əmsalları
hədd qiymətləri ilə təyin olunur: .maxmin iii aaa İntervalın
daxilində dəyişmə qanunu məlum deyil.
Statik və dinamik modellər- əvvəldə təyin olunub. Məsələn,
dinamik model kimi adi differensial tənliyi göstərmək olar:
10
.kxydt
dyT
Burada T, k-obyektn parametrləri; x(t), y(t) -giriş və çıxış
dəyişənləridir.
Statik rejimdə obyekt sükunətdə olduğundan sürət dy/dt=0 və
statika tənliyi: y=kx.
Fasiləsiz, diskret və kombinə olunmuş modellər.
Fasiləsiz modellərdə dəyişənlər müəyyən intervaldan istənilən
qiymət ala bilir. Diskret modellərin dəyişənləri yalnız təcrid olunmuş
qiymətlər alır. Üçüncü halda dəyişənlərdən bəziləri fasiləsiz,
digəriləri isə diskret qiymətlər ala bilər.
Zamana görə diskret modelə misal olaraq sonlu-fərq tənliyini
misal göstərmək olar:
).,...,,,,...,,( 121 mkkknkkkk xxxyyyfy
,...2,1,0k diskret zaman anlarıdır.
Xətti və qeyri-xətti modellər.Xətti modeldə modeli ifadə edən
bütün funksiyalar və münasibətlər dəyişənlərdən xətti asılı və qeyri-
xətti -digər halda.
Yuxarıda göstərilənlərdən başqa.
Analitik modellər. Analitik ifadə və tənliklərlə yazılan modellər.
İmitasiya modelləri.
İnformasiya modelləri.
Predmet modelləri-məsələn, uşaq oyuncaqları.
Obraz-simvol modelləri-hər şeydən əvvəl insanın yaddaşında
olan modellər və s.
11
1.4. Modellərə təqdim olunan tələblər
1.Universallıq- real obyektin öyrənilən xassələrinin model
tərəfindən əks etdirilməsinin dolğunluğu.
2. Adekvatlıq- obyektin lazımi xassələrinin verilən dəqiqlikliklə
əks etdirmək xüsusiyyəti. Prosesə uyğunluq.
3. Dəqiqlik – real obyektin xarakteristikalarının model vasitəsi
ilə alınmış xarakteristikalara uyğun gəlmə dərəcəsi ilə
qiymətləndirilir.
4. Qənaətlilik-modelləşməyə sərf olunan xərclərlə təyin olunur.
1.5. Modelləşdirmənin əsas mərhələləri
1. Məsələnin quyuluşu.
2. Nəzəri əsasların öyrənilməsi və real obyekt haqqında
informasiyanın toplanılması.Obyektin identifikasiyası.
3.Formallaşdırma. Moodelin tipinin secilməsi. Bu etapda bəzi
parametrlərin qiymətləri konkretləşməyə bilər.
4.Qiymətləndirmə üsulunun seçilməsi. Bu etapda statistikk
verilənlər əsasında parametrlərin qiymətlədirmə üsulu seçilir və təyin
olunur.
5. Modelin realizasiya sı. Alqoritm və proqram tərtib olunur.
Modelin verdiyi xarakteristikalar kompyüterdə yoxlanılır.
6. Alınmış informasiyanın təhlili. Modelin xətası təyin olunur.
7. Modelin real obiyektə adekvatlığının yoxlanilması. Müxtəlif
modelləşdirmə üsüllarında müxtəlif yanaşmalar mövcuddur.
Məsələm, reqresiya analizi əsasında qurulmuş modellərdə əmsalların
həqiqiliyi Styüdent kriterisi, adekvatlıq isə Fişer kriterisi əsasıda
təyin olunur. Əgər dəyişənlər nortmal (Qaus) paylanma qanununa
tabe olarsa.
8. Alımış modelin təhlili. Bu etapda modelin izafi əmsalları
nəzərdən atılır, yəni model sadələşdirilir. Əgər adekvatlıq şərti
ödənilmirsə, ilk növbədə təcrübələrin sayını artırmaq lazımdır.
12
1.6. Simulyasiya və ya imitasiya modelləşdirilməsi
İmitasiya anlayışını – (Lat. – imitatio-oxşadmaq, bənzətmək)
kimi ifadə etmək olar.
İmitasiya modelləşdirilməsi- tədqiq olunan sistem (obyekt) onun
modeli ilə əvəz olunur və real obyektin xarakteristikaları modelin
verdiyi xarakteristikalar əsasında tədqiq olunur.
Simulyasiya –(Lat. simulatio-görkəm yaratmaq, yalançı
əmməliyyat).Və ya hər- hansı real prosesi onun modeli əsasənda
imetasiya etmək.
Misal 1.1. İnteqrallayıcı obyektin tənliyi aşağıdakı şəkildə
alınmışdır:
).( tkudt
dy
Burada u-gecikməyə malik olan idarə təsiri, k=1 obyektin
gücləndirmə əmsalı, xalis və nəqliyyat gecikməsi.
u= –Ke (K=5 ) mütənasib idarə qanununa malik olan avtomatik
tənzimləmə sisteminin dayanıqlığının pozulmasına səbəb olan
gecikməni (kritik gecikmə) təyin etmək tələb olunur.
Şəkil 1.4 a-da idarə kanalında gecikməyə malik olan ATS-in
imitasiya sxemi göstərilmişdir.
a)
yu=5e
Tau =[0 0 .2 0 .5]g=1
e
Transport
Delay 1
To Workspace1
y1
StepScope 1SaturationIntegrator 1
1
s
Gain 3
5
13
b)
Şəkil 1.4
Kritik gecikməni tapmaq üçün Transport Delay blokunun
parametrlər pəncərəsindən gecikmənin [0 0.2 1] qiymətləri daxil
edilmişdir. Kritik gecikmənin qiyməti şəkil 1.4 b-də göstərilmiş
keçid xarakteristikalarının xarakterinə əsasən təyin edilmişdir.
Dayanıqsız xarakteristikaya uyun gələn gecikməs. Dəqiqliyi
artırmaq məqsədi ilə gecikmənin qiymətlərini çoxaltmaq olar.
Real obyektdə modeldə yerinə yetirdiyimiz simulyasiyanı realizə
etmək mümkün olmaya bilər. Və ya çox baha başa gələ bilər.
1.7. Monte-Karlo üsulu. Statistik sınaqlar üsulu
İmitasiya modelləşdirməsinin ən geniş yayılma üsullarından biri
MONTE-KARLO (1949) və ya statistik sınaqlar üsuludur.
Monte-Karlo üsulunun nəzəri əsasları kompyuterlərin meydana
çıxmasından çox əvvəl məlum olmasına baxmayaraq geniş tətbiq
tapa bilməmidir. Buna əsas səbəb təsadüfi kəmiyyətlərin əl ilə
hesablanmasının (generasiyasının) cox yorucu və səmərəsiz
olmasıdır.
Kompyuterlərin vüsətli inkişafı ilə əlaqədar olaraq bu üsulun
praktiki tətbiq sahəsi olduqca genişlənmişdir. Bu ədədi üsulun
köməyi ilə kompyüter proqramı vasitəsi ilə aşağıdakı məsələləri
təqribi həll etmək mümkündür:
14
- təsadüfi kəmiyyətlərin modelləşdirilməsi;
- kütləvi xidmət nəzəriyyəsinin məsələləri;
- Pi-ədədinin hesablanması;
- Sahələrin və çoxqat inteqralların hesablanması;
- Tənliklərin həlli ;
- Dinamik sistemlərinin məlun modelləri əsasında müxtəlif
xarakteristikaların alınması və s.
Üsulun texnologiyası cox sadə olub “obyektin” girişinə N sayda
bərabər paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyətlərin verilməsi və
alınmış statistik nəticələrin emalına əsaslanır.Yada salaq ki, bərabər
paylanmanın ehtimalların paylanma sıxlığı funksiyası:
. яэяр
, яэяр
, яэяр
bx0
bxac
ax0
)x(p
Uyğun qrafik şəkil1.5-də göstörilmişdir.
Şəkil 1.5
Bərabər paylanmaya malik təsadüfü kəmiyyətləri generasiya
etmək üçün Matlab funksiyası:
rand(n,m) – (0-1) interervalında orta qiyməti m0= 0, dispersiyası
D=1 olan təsadüi ədədlər generasiya edir.
Ümumi halda
).,(*0 mnrandDmx
Burada n,m-generasiya olunan təsadüfi ədədlər matrisinin
ölçüsüdür. D orta kvadratik meyiletmə.
Təsadüfi kəmiyyətlərin [a,b] intervalına düşməsi üçün onu
aşağıdakı kimi normallaşdırmaq lazımdər: .),1()( amrandabx
15
Histeqrammların qurulması. Praktiki məsələlərdə təsadüfi
kəmiyyətlərin sayı məhdud olduğundan onlar üçün ehtimalların
paylanma sıxlığı funksiyasını nəzəri üsullarla qurmaq mümkün
olmadığindan təqribi aproksimasiya olan histoqram qurulur.
Bu məqsədlə hist(x,N) funksiyasından istifadə olunur.Burada N-
intervalların sayıdır.
Misal 5.15. Bərabər paylanma qanunu, m0=5, σ=3.
Şəkil 1.6. Bərabər paylanma qanunun histeqramı
3. (x,y) müstəvisində təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin
qurulması.
Şəkil 1.7. Bərabər paylanmaya malik olan təsadüfi
kəmiyyətin paylanma sxemi Görundüyü kimi, nöqtələr müstəvidə kifayyət qədər bərabər
paylanmışdir.
5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
5
10
15
20
25
30
35
5 5.5 6 6.5 7 7.5 85
5.5
6
6.5
7
7.5
8
16
1.7.1. Pi ədədinin hesablanması
Misal 1.1. Monte-Karlo üsulunun mahiyyətini Pi ( ) ədədinin
hasablanması əsasında izah edək. (çevrənin uzunluğunun diametrinə oln nisbəti (
R
C
2 )
ədədinin hesablanmasının müxtələf qaydaları mövcuddur. Ən sadə
və aydın üsul belədir.Tərəfi a=2R olan kvadrat götürülür. Bu
kvadrata radiesu R olandairə yerləşdirilir. Kvadratın içərisinə
təsadüfi (kortəbii) olaraq bərabər paylanmış N sayda təsadüfi (xi ,yi) ,
i=1,2,...,N , noqtələri yerləşdirilir (şəkil 1.8.).
Şəkil 1.8
Müvafiq proqram
>> N=100; >> x= -1+2*rand(1,N); >> y= -1+2*rand(1,N); >> plot(x,y,'.') >> Qeyd etmək lazımdır ki, x və y kəmiyyətləri normallaşdırılaraq
1,1 yx intervalına yerləşdirilmişdir. Bu halda dairənin
radiusu R=1 olur!
Həndəsi olaraq nöqtənin dairiyə düşmə ehtimalı dairənin
sahəsinin kvadratın sahəsinə olan nisbətinə bərabərdir:
17
.4/)2/(// 22221 RRaRSSP kvadratdaire
Təcrübədən sonra nöqtənin dairiyə düşmə ehtimalını daha sadə
yolla hesablamaq olar:
./2 NMP
Burada N-kvadrata düşən (yəni bütün) nöqtələrin sayı; M-dairənin
içərisinə düşən nöqtələrin sayıdır.
Ümumi nöqtələrinsayını artırsaq həddə alarıq ,12 PP yəni
.0)(lim 21
PPN
Deməli həddə .4 N
M
Buradan
.4N
M (1.1)
Lakin praktikada N<∞ və gerasiya olunan təsadüfi ədədlər edeal
deyil psevdotəsadüfi olduğundan (1.1) bərabərliyi təqribi ödənir.
-nin hesablanmasının N-in altı qiyməti və R=1 qiyməti üçün
aşağıda göstərilmişdir.
>> clear clc % Ekranin temizlenmesi
>> for N=[10 100 1000 10000 100000 1000000] % N-in
qiymetleri
x=rand(1,N)*2-1; % Tesedufi vektorun generasiyasi
y=rand(1,N)*2-1; % Tesedufi vektorun generasiyasi
R=sqrt(x.^2+y.^2); % Koordinat baslanqic-dan olan mesefenin hesablanm. M=sum(R<=1); % Sayqac-dairenin daxiline dusen noqtelerin
sayının hesablanmasi Pi=4*M/N;disp([' N=',num2str(N),' pi= ',num2str(Pi)]) end N=10 pi= 4 N=100 pi= 3.28 N=1000 pi= 3.16 N=10000 pi= 3.1412 N=100000 pi= 3.136
18
N=1000000 pi= 3.1414 Müqayisə üçün Pi-nin daha dəqiq üsullarla hesablanmış qiymətini
göstərək: ....141592653.3 Göründüyü kimi N=1000000
qiymətində alınmış cavab həqiqiyə daha yaxındır.
İnteqralların (sahələrin) hesablanması da yuxarıda gəstərilən
texnologiyaya əsaslanır.
1.7.2. Sahələrin hesablanması
Misal 2. Sahənin hesablanması. ACDB düzbucaqlısının daxilinə
yerləşdirilmiş fiqurun sahəsini hesablayaq.
Şəkil 1.9
Fiqurun sahəsi həddə, yəni N halında:
.N
MSS DuzbFiq
Bu sahə f(x) fünksiyası ilə absis oxu arasındakı sahədir. Burada əvvəldə olduğu kimi, N-düzbucaqlının daxilinə düşən
nöqtələrin sayı (nöqtələrin ümumi sayı); M-fiqurun daxilinə düşən
nöqtələrin sayıdır.
Düzbucaqlının sahəsini həmişə hesablamaq mümkündür:
.BDABSDuzb
., LDBDABAB
Təsadüfi kəmiyyətlərin AB intervalına düşməsi üçün onu
aşağıdakı şəkildə yazmaq lazımdır:
.),1()( ANrandABx
19
Fərz edək fiqur y=cos(x) funksiyasını yarımdalğasından ibarətdir.
Bu halda x-üçün: A=-pi/2 B=pi/2. y-üçün A=0, B=1 və BD=1. SDüzb=(pi/ 2+pi/2)∙1=pi. Beləliklə müvafiq dərabər paylanmış təsədüfi kəmiyyət generatorları:
).,1(1
,2/),1(2/),1()2/2/(
Nrandy
piNrandpipiNrandpipix
Aşağıda N=2000, 15000, 20000 qiymətləri üçün y=cos(x),
,2/2/ x fiqurunun sahəsinin hesablanma proqramı və
nəlicələr göstərilmidir.
>> clear clc %Ekranin temizlenmesi for N=[10 100 1000 10000 100000 ]% N-in qiymetleri x=pi*rand(1,N)-pi/2; % x-uzre Tesedufi vektorun generasiyasi y=rand(1,N); % y-uzre Tesedufi vektorun generasiyasi r=y-cos(x);% Ferq M=sum(r<=0);% Sayqac-fiqurun daxiline dusen noqtelerin hesablanmasi Sfiq=pi*M/N;% Eiqurun sahesinin hesablanmasi disp([' N=',num2str(N),' S = ',num2str(Sfiq)]) end N=10 S = 3.1416 N=100 S = 2.1677 N=1000 S = 1.9886 N=10000 S = 2.0037 N=100000 S = 2.0007 Sahənin dəqiq qiyməti :
>> syms x >> y=cos(x); >> Sfiq=int(y,-pi/2,pi/2) Sfiq =2 >>
20
1.7.3. Müəyyən inteqralın hesablanması
İki üsuldan istifadə edək.
1. Birinci üsul. Trapesiyalar üsulu. Aşağıdakı ifadəyə əsaslanır:
.)()(11
N
ii
N
ii
b
a
yN
abxf
N
abdxxf
(1.2)
Burada N-ümumi sınaqların (nğqtğlğrin) sayı, xi- [a,b] intervalında
yerləşən bərabər paylahmış təsadüfi ədədlərdir.
2. İkinci üsul (sahə üsulu). Bu üsulun əsas mahiyyəti
yuxarıda açıqlanmışdır.Bu halda inteqralın həndısi mənasından
istifadə olunaraq SFiq sahəsi axtarılır.
b
aFiqSdxxf )( (1.3)
Hesablama alqoritmi aşağıdakından ibarətdir:
SFiq sahəli fiqur tərəfləri (b-a) və L olan düzbucaqlıya
yerləşdirilir.L>0 elə ədəddir ki, istənilən ],[ bax üçün
LxfL )( şərti ödənilməlidir (şəkil 1.10).
Şəkil 1.10
21
Bu düzbucaqlınin daxilinə düşən dabərabər paylanmış N
sayda (xi, yi) təsadüfi ədədlər generasiya olunur.
Fiqurun daxilinə düşmüş nöqtələrin sayı M təyin
olunur.Təsadüfi nöqtənin SFiq sahəsinə düşmə ehtimalı
.N
Mp (1.4)
Digər tərəfdən təsadüfi nöqtənin SFiq oblastına düşmə ehtimalı
sahələrin nisbətinə bərəbərdir:
].,[,)(
baxLab
S
S
Sp
Fiq
Duzb
Fiq
(1.5)
(1.3), (1.4) və (1.5) ifadələrinə əsasən nahəyyət inteqralın
axtarılan qiymətini tapmaq üçün aıağıdakı ifadəni alırıq:
].,[,)()( baxN
MLab
N
MSdxxfS Duzb
b
aFiq
(1.6)
Çoxqat inteqralların hesablanma alqoritmi də yuxarəda göstərilən
metodikaya uyğundur. Lakin bu halda düzbucaqlı əvəsinə çoxölçülü
paralelopipitdən istifadə olunur.
Misal 2. 8
0
2sin37 xdx inteqralını iki üsul ilə hesablayaq.
Əvvəlcə xy 2sin37 funksiyasının qrafikini quraq.
>> x=0:0.01:8; >> y=(7-3.*sin(x).^2).^0.5; >> plot(x,y), >> ylim([0,3]) >>
22
Şəklə əsasən məsələnin verilənləri: a=0, b=8; L=4.
1. Birimci üsul (1.2) düsturuna əsaslanır:
.)()(11
N
ii
N
ii
b
a
yN
abxf
N
abdxxf
Aşağıda M-fayılda yazılmş inteqralın uyğun hesablama proqramı
göstörilmişdir.
23
Matlabun əmirlər pəncərəsindən OİNT(N) proqramını çağırıb N-
ə müxtəlif qiyməllər verərək aşağıdakı qiymətləri alırıq:
>> OINT(100) In = 18.5300 >> OINT(1000) In = 18.5872 >> OINT(10000) In = 18.6142
Trapesiyalar üsulu ilə hesablanmış İnteqralın həqiqi (daha dəqiq)
qiyməti:
>> x=0:0.01:8; >> y=(7-3.*sin(x).^2).^0.5; >> In=trapz(x,y) In = 18.6249 >>
2. İkinci üsul (1.6) düsturuna əsaslanır:
].,[,)()( baxN
MLab
N
MSdxxfS Duzb
b
aFiq
Bizim halda
]8,0[,37sin37 2 xxy
olduğundan L=3 qəbul edirik.
Aşağıda M-fayılda yazılmş inteqralın uyğun hesablama proqramı
göstörilmişdir.
24
>> OINT(1000)
M = 796
In = 19.1040
>> OINT(10000)
M = 7702
In = 18.4848
>> OINT(100000)
M = 77699
In = 18.6478
>> Göründüyü kimi, 1-ci üsulda daha dəqiq nəticə alınmışdır.
25
Çalışmalar-1
1.f(x)-funksiyasının qrafikini qurmalı
2.Aşağıdakı inteqralları N=1000; 10000; 1000000 üçün iki üsul
ilə hasablamalı
26
2. DİNAMİK OBYEKTLƏRİN DİFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN KÖMƏYİ İLƏ
MODELLƏŞDİRİLMƏSİ
2.1. Əsas anlayışlar
Dinamik obyektlərin koordinatları zamana görə dəyişdiyindən
onların modellərinə giriş və çıxış dəyişənlərinin sürəti, təcili və s.,
yəni zamana görə birinci, ikinci və daha yüksək tərtibli törəmələri
daxil olur. Axtarılan funksiya, yəni məchulun törəmələrinin daxil olduğu tənlik diferensial tənlik adlanır. Diferensial tənliklər ingilis alimi İsaak Nyuton (16421727)
tərəfindən ixtira olunmuşdur. O, deyirdi: təbiətin qanunları
diferensial tənliklərlə ifadə olunmalıdır.
Məchul bir dəyişənli funksiya olarsa, diferensial tənlik adi
diferensial tənlik, çoxdəyişənli funksiya )t,,x,x(y 21 olduqda isə
xüsusi törəməli və ya paylanmış parametrli diferensial tənlik
adlanır. Aşağıda uyğun tənliklər göstərilmişdir:
);,()(
tyfdt
tdy
).,,(),(),(
txyft
txy
x
txy
Naməlum (məchul) )t(y və ya )t,x(y funksiyaları bu tənliklərin
həlli nəticəsində tapılır. Biz adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik.
Tətbiqi məsələlərdə x (bəzi hallarda u) obyektin (və ya prosesin)
girş dəyişənini (koordinatı və ya kəmiyyəti), y isə çıxış dəyişənini
ifadə edir (şək.2.1).
)t(y
27
Şəkil 2.1
2.2. Diferensial tənliklərin yazılış formaları
Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsində dinamik obyektlər öyrə-
nilir. Dinamik obyektin giriş siqnalı dəyişdikdə qərarlaşma baş
verənə qədər çıxışda keçid prosesi müşahidə olunur. Biz toplanmış
parametrli və ya addi diferensial tənliklərlə yazılan dinamik
obyektləri öyrənəcəyik.
1. Adi differensial tənlik. Axtarılan funksiya (məchul) bir
dəyişəndən (burada t) asılıdır. Xətti halda:
.
y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni həll; u(t) – məlum funksiya.
Abstrakt riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə: dy/ dx. 2. Xüsusi törəməli differensial tənlik. Axtarılan funksiya iki və
daha çox dəyişəndən x, t,…, asılıdır:
.
y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll.
3. Xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə
nəzərən xətti olan tənlik. Məsələn,
.
4. Qeyri xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə
nəzərən qeyri xətti olan tənlik:
.
Qeyri-xətti tənliklərə misal olaraq aşağıdakı xarakterik tənlikləri
)t(ub)t(yadt
)t(dya
dt
)t(yda 0212
2
0
)t,x(ut
)t,x(y
x
)t,x(y2
2
)t2cos(y3yty 2
)t(uyeyy2y 2t
,bu)t(ydt
)t(dy)1)t(y(
dt
)t(yd 2
2
2
bu)t(kydt
)t(dy 2
28
göstərmək olar:
1. Van-der-Pol tənliyi
0,0yy)1(yу 2 .
2. Rikkati (qeyri-stasionar tənlik) tənliyi
0(t)(t)y(t)yy 2 .
3. Rəqqasın böyük meyillərdə sərbəst hərəkətinin tənliyi
0sinmgbİ .
4. Birinci tərtib qeyri-xətti aperiodik oöyekt
y1u
ay
.
5. Silindrik çəndən mayenin sərbəst axması
0. 2ghFhS
6. Dartqı qüvvəsi altında vertikal start götürən raketin tənliyi
mcmg)hk(hm 2 , um .
Burada və sonra u-idarə siqnalı olub, obyektin girişidir.
5. Qeyri stasionar xətti differensial tənlik. Bir və ya bir neçə
parametri zamandan asılı olan tənlik:
,
Məsələn, .
6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik:
,
.
7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik.
Obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edir:
)t(bu)t(y)t(adt
)t(dy)t(a
dt
)t(yd)t(a 212
2
0
)t(buyedt
dy t
ub)ysin()t(dt
yd02
2
buy)t2sin(ydt
dyt
dt
yd2
2
29
F(y,y, y)=0, y(0)=y0, y´(0)=y'0.
Məsələn, , y(0)=y0.
8. Qeyri bircins differensial tənldik. Sağ tərəfi sıfra bərabər
olmayan tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir:
)(0212
2
0 txbyadt
dya
dt
yda .
9. Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik. Normal Koşi
forması. Bir tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər
sistemidir. Xətti halda:
,
,
10.Vektor şəklində yazılış forması:
.
Burada
T
nxxxx ),...,,( 21 n-ölçülü vəziyyət vektoru,
Tmuuuu ),...,,( 21 m-ölçülü udarə vektoru,
Tlyyyy ),...,,( 21 l-ölçülü müşahidə olunan cıxış vektorudur.
n,m,l –qiymətlərinə əsasən matrislərin ölçüsünu aşağıdakı sxem
üzrə təyin etmək olar.
0)t(yadt
)t(dya 10
11 x
dt
dx
ubxaxadt
dx02211
2
DuCxyBuAxdt
dx ,
30
2.3. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına
aid misallar
1. Əgər isti cisim tez, soyuq cisim isə gec soyuyursa, onda
soyuma sürəti, yəni temperaturun zamana görə dəyişməsi cismin
baxılan anda temperaturundan asılı olacaqdır. Onda soyuma
tənliyi:
(2.1)
burada mütənasiblik əmsalıdır. Mənfi işarəsi temperaturun
azalmasını göstərir. Bu halda tənliyin həllindən tapılacaq məchul
-dir.
2. Fərz edək ki, nohurdakı balıqların artım sürəti onların ümumi
sayı x ilə düz mütənasibdir. Onda artım tənliyi:
. (2.2)
Əgər artım sürəti fərdlərin ümumi sayına yox, cütlərin (dişi-
erkək) sayına mütənasibdirsə, bu daha təsirli faktor olduğundan
artım sürətinin kəmiyyətindən asılılığını daha adekvat (uyğun)
hesab etmək olar:
. (2.3)
Bu tənlik həm də ona görə daha adekvatdır ki, -in böyük
qiymətlərində artım daha sürətlə (partlayış), kiçik qiymətlərində isə
olduqca yavaş gedir.
3. Nyutonun birinci qanununa (ətalət qanunu) əsasən kənar
qüvvələrin təsirinə məruz qalmayan maddi nöqtənin təcili sıfıra
bərabərdir:
. (2.4)
)t(x
,)t(kxdt
)t(dx
0k
)t(x
kxdt
dx
2х
2kxdt
dx
х
0dt
xd2
2
31
Bu halda məsafəni xarakterizə edir.
4. Nyutonun ikinci qanununa əsasən hərəkət tənliyini aşağıdakı
şəkildə yazmaq olar:
. (2.5)
4.1. Əgər cismin cazibə qüvvəsi altında sərbəst düşməsinə
baxılırsa, onda Qalileyə görə qüvvə olduğundan hərəkət
tənliyi . Bu tənliyi inteqrallasaq, sürətin dəyişməsini
, bir dəfə də inteqrallasaq hündürlüyün dəyişmə
tənliyini alarıq:
.
Burada və inteqrallama sabitləri olub ilkin anında
cismin vəziyyətindən, yəni hündürlüyün və sürətin
başlanğıc qiymətlərindən asılıdır. Fərz edək ki, başlanğıc
sürət . Bu qiymətləri yuxarıdakı ifadədə yerinə yazıb alınmış
tənliklər sistemini həll etsək, taparıq: , . Bu halda
hündürlüyün dəyişmə qanunu
, .
4.2. Havanın müqavimətini nəzərə alıb, fərz edək ki, müqavimət
qüvvəsi cismin düşmə sürətinə mütənasibidir: ,
havanın müqavimətini nəzərə alan sabit əmsaldır. Bu qüvvənin
qravitasiya qüvvəsinin əksinə yönəldiyini nəzərə alsaq,
yekun qüvvə:
.
Baxılan hal üçün cismin hərəkətinin sürətin dəyişməsinə nəzərən
yazılmış diferensial tənliyi:
)t(x
Fdt
xdm
2
2
mgF
g)t(x
1Cgt)t(x
212 CtCt
2
g)t(x)t(h
1C 2C 0t
0h)0(h
0h)0(h
0h0
0C1 02 hC
20 t
2
gh)t(h 0hh0
vFm const
mgFq
vmgFFF mq
32
.
Və ya , , (2.6)
Şəkil 2.2-də 4.1 və 4.2 halları üçün cismin
düşmə diaqramları göstərilmişdir. Cazibə
qüvvəsinin təsiri altında sürətartdıqca havanın
da müqaviməti artaraq cismi tormozlamağa
başlayacaq. Yəni olacaqdır.
Qərarlaşma sürətini tapmaq üçün burejimdə
lduğunu nəzərə alıb, onu (2.6)
tənliyində yerinə yazaq. Onda
.
Buradan . Bu ifadə sürətinin dəyişməsindən
asılı olmayıb sabitdir.Fərz edək ki, , və məlum
olduğu kimi, sərbəstdüşmə təcili . Onda qərarlaşma
sürəti . Cisim müəyyən vaxtdan sonra sabit
sürəti ilə düşməyə başlayacaqdır. Əlbəttə, əgər cisim bu vaxta qədər
yerin səthinə çatmazsa. Göstərilən xüsusiyyət paraşutçuya və cismin
mayedə batmasına da aiddir (Stoks qanunu).
Şəkil 2.3-də (2.6) diferensial tənliyinin müxtəlif başlanğıc
şərtlərində həllər ailəsi göstərilmişdir. Şəkil 2.4-də
Simulinkdə həll sxemi göstərilmişdir.
vmgdt
dvm
gavdt
dv
ma
constg
constv
0v
0gav
mgv 0v)t(v
kq10m s/kq2
2s/m8,9g
s/m492/8,910vq
0v)0(v )t(v
m
mg
m
mg
v
a) b)
Şəkil 2.2. Cismin sərbəst (a) və havanın
müqaviməti nəzərə alınmaqla (b) düşməsi
33
Şəkil 2.3.(2.6) tənliyinin həllər ailəsi Şəkil 2.4. (2.6) tənliyinin Simulinkdə həll sxemi
4.3. Riyazi rəqqas. Uzanmayan cəkisiz mildən asılmış nöqtəvi
yükə baxaq. Rəqqasın vertikal xətdən meyl bucağını ilə işarə edək.
Mexanikanın qanununa əsasən rəqqasın bucaq təcili çəki
qüvvəsinin momentinə mütənasibdir (şəkil 2.5):
.
Burada ətalət momentidir. Mənfi
işarəsi momentin meyletməni azaltmağa çalışması
ilə izah olunur. Beləliklə, rəqqasın hərəkət tənliyi:
, . (2.7)
Kiçk meyletmələrdə, yəni bucağı kiçik olduqda
əvəzləməsiedib bu tənliyi xəttiləşdirmək olar:
. (2.8)
Tənlikdən göründüyü kimi, Nyutonun ikinci qanunundan irəli
gələn tənliklərdən fərqli olaraq bu sistemə kənar qüvvə təsir etmir.
Bəs rəqqas hansı qüvvənin təsiri altında hərəkət edir?
Bu tip hərəkət sərbəst hərəkət adlanır və sıfra bərabər olmayan
başlanğıc şərtlərin təsiri altında baş verir. Yəni sistem başlanğıc
anında artıq həyəcanlanmış vəziyyətdə olur. Məsələn, (2.8)
tənliyi üçün iki başlanğıc şərti verilməlidir: , .
Bunlardan hər hansı biri sıfır ola bilər. Lakin hər ikisi sıfır olarsa, bu
hal tarazlıq vəziyyətinə (sükunət) uyğun olduğundan hərəkət baş
verməyəcəkdir.
Əgər başlanğıc həyəcanlanma yoxdursa (sıfırdırsa), onda sistemi
hərəkətə gətirən kənar qüvvə olmalıdır. İfadə (2.5) və (2.6)-da bu
qüvvə xarici F qüvvəsidir.
Deməli, sistemin hərəkəti iki təşkiledicidən ibarətdir: a) sıfra
bərabər olmayan başlanğıc şərtlərin təsiri altında yaranan sərbəst hərəkət ys(t); b) xarici qüvvənin təsirindən yaranan məcburi hərəkət ym(t). Xətti sistemlərdə, yəni xətti diferensial tənliklə yazılan
sinmgI
2mI
sink constg
k
)sin(
k
0t
0)0( 0)0(
mg
Şəkil 2.5. Riyazi rəqqasın sxemi
34
sistemlərdə, yekun hərəkət göstərilən hərəkətlərin cəmindən ibarət
olur: ).()()( tytyty ms
2.4. Dinamika tənliyi
Klassik idarəetmə nəzəriyyəsində diferensial tənlik (obyektin
riyazi modeli) obyektin )t(u , )t(f girişləri ilə )t(y çıxışı arasında
qurulur (şəkil 2.6). Belə tənlik giriş-çıxış formada yazılmış tənlik
adlanır. Qeyri-aşkar şəkildə bu tənlik aşağıdakı şəkildə verilir:
0)f,,f,f;u,,u,u;y,,y,y(F )r()m()n( . (2.9)
Burada )(F qeyri-xətti
funksiya, )t(u , )t(f
obyektin idarə və həyəcan
girişləri olub xarici təsirlər;
)(F obyektin çıxış
dəyişəni; n diferensial
tənliyin tərtibidir.
Məsələn, 0f5.0uu4)t(y)t(yt2)t(y)t(y 2 .
Fərz olunur ki, baxılan obyekt birölçülüdür. Yəni bir idarə, bir
həyəcan girişlərinə və bir çıxışa malikdir.
Diferensial tənlik çıxışın yüksək tərtibli törəməsinə nəzərən
yazılarsa (əgər bu mümkündürsə), belə konstruksiya aşkar şəkildə
yazılış forması adlanır:
)f,,f,f;u,,u,u;y,,y,y(y )r()m()1n()n( . (2.10)
Burada )( qeyri-xətti funksiyadır. Fizika və texnikanın bir
çox modellərini aşkar şəkildə yazılmış formaya gətirmək olur.
Məsələn,
ff5.1u2)t(y4)t(y)t(y 3 .
Keçid prosesi )t(y -ni qurmaq üçün (2.10) tənliyini u və f -in
Şəkil 2.6. Birölçülü obyektin sxemi
OBYEKTİN
MODELİ
İdarə Çıxış
Həyəcan
у(t)
35
məlum ifadələrində (sabit və ya zaman funksiyası ola bilər) analitik
və ya ədədi üsulların köməyi ilə həll etmək lazımdır.
Ümumi həll. n sayda iC inteqrallama sabitlərindən asılı
olan həll ümumi həll adlanır:
)C,,C,С,t(y)t(y n21 . (2.11)
Bu ifadə inteqral əyriləri ailəsinin tənliyidir. iC -lərin qiymətlər
çoxluğu sonsuz olduğundan belə əyrilərin sayı da sonsuzdur.
İnteqrallama sabitlərini təyin etmək üçün n sayda əlavə şərtlər
verilməlidir. Koşi məsələsində bu şərtlərin hamısı zamanın başlanğıc
0tt (bir çox hallarda 0t0 ) anında verilir və başlanğıc şərtlər
adlanır:
00 y)t(y , 1
00 y)t(y , 2
00 y)t(y ,, 1n
00
)1n( y)t(y .
Əgər (2.11) ümumi həlli məlumdursa, Koşi məsələsində iC
inteqrallama sabitlərini aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin həllindən
tapırlar:
.y)C,,C,С,t(ydt
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,y)C,,C,С,t(ydt
d
,y)C,,C,С,t(y
1n
0
tt
n2101n
1n
1
0
tt
n210
0n210
0
0
(2.20)
İndi (2.11) ümumi həllini aşağıdakı konkret şəkildə yazmaq olar:
)y,,y,y,t(y)t(y 1n
0
1
0
0
0
. (2.21)
Xüsusi həll. Konkret başlanğıc şərtlərdən asılı olan həll
xüsusi həll adlanır. Bu həll inteqral əyriləri ailəsindən yalnız
başlanğıc şərtləri ödəyən birinin tənliyidir.
Çoxnöqtəli sərhəd məsələsində n sayda sətirlər zamanın
}t,,t,t{t m21 anlarında verilir. Maraqlı cəhət odur ki, Koşi
36
məsələsindən fərqli olaraq, n sətrin hamısı eyni tərtib )t(y )kn(
törəməyə aid ola bilər, n,,1k . Bu halda nm olmalıdır.
Məsələn, ikitərtibli tənlik üçün ( 2n ) iki sayda sətri 0y)0(y ,
1y)1(y ( 2k ) şəklində vermək mümkündür.
Aşağıda bir tərtibli Tdy/dt+y=k tənliyin ümumi və xüsusi
həllinin Matlab proqramı göstərilmişdir.
Obyektin dinamik hərəkətini ifadə edən (2.9) və ya (2.10) tənliyi
dinamika tənliyi adlanır .
Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsində adətən obyektin diferensial
tənliyini onun fiziki strukturuna (şəkil 2.6) daha çox uyğun olan
şəkildə yazırlar:
)f,,f,f;u,,u,u()y,,y,y( )r()m(2
)1n(1 . (2.12)
Göründüyü kimi, belə yazılış formasında çıxış dəyişəni və onun
törəmələri sol tərəfdə, girişlər və onların törəmələri isə sağ tərəfdə
yazılır. Məsələn,
f5.1u3dt
duy2
dt
dy 2 .
Xətti diferensial tənlikləri həmişə (2.12) şəklində yazmaq
mümkündür.
37
Sağ tərəf 0)(2 olarsa, diferensial tənlik bircins tənlik
adlanır və obyektin sərbəst hərəkətini ifadə edir. 0)(2 olarsa,
yəni xarici təsir mövcuddursa, tənlik qeyri-bircins tənlik adlanır və
başlanğıc şərtlər sıfır olarsa, obyektin sırf məcburi hərəkətini ifadə
edir.
2.5. Statika tənliyi
Obyektdə qərarlaşma baş verərsə (yəni o dayanıqlıdırsa), t
halında dəyişənlərin törəmələri, yəni dəyişmə sürətləri sıfra
yaxınlaşır. Qərarlaşma t nöqtəsində törəmələrin qiyməti
0yyy )1n( , 0uuu )m( , 0fff )r(
olduğundan daha hərəkət baş vermir və obyekt sükunətdə olur. Bu
rejim statik rejim adlanır.
Statik rejimdə obyektin tənliyini almaq üçün (2.17) dinamika
tənliyində törəmələrin yerinə sıfırlar yazmaq kifayətdir. Onda:
0)0,,0,f;0,,0,u;0,,0,y(F . (2.13)
Və ya sıfırları nəzərdən atsaq, yazmaq olar:
0)f,u,y(F . (2.14)
Statik rejimdə obyektin çıxış dəyişəni ilə giriş dəyişənləri
arasındakı əlaqəni ifadə edən (2.14) tənliyi statika tənliyi adlanır.
Bu tənlik ümumi halda qeyri-xətti cəbri tənlikdir. Bu tənlik
stasionarlıq şərti adlanır. (2.14) tənliyini aşkar şəkildə yazmaq
mümkündürsə, onda
)f,u(y . (2.15)
Çıxışın syy qərarlaşmış qiyməti girişlərin suu və sff
işçi və ya nominal qiymətlərində (2.15) statika tənliyindən tapılır.
Statik xarakteristika. Statika tənliyinə uyğun gələn y
çıxışının qrafiki statik xarakteristika adlanır.
Şəkil 2.7-də dəyişən cərəyan mühərrikinin statik (mexaniki)
xarakteristikası göstərilmişdir. Göründüyü kimi, bu xarakteristika
38
birqiymətli olmayıb 1M yükünə 1 və 2 tezlikləri uyğun gəlir. Bu
qurğunun 1M qiymətində iki A və B tarazlıq (stasionar) nöqtələri
mövcuddur.
Silindrik çəndən mayenin sərbəst axma tənliyi:
u2ghFhS .
Qərarlaşmış rejimdə törəmənin 0h olduğunu nəzərə alsaq,
statika tənliyini kuh şəklində alarıq. Burada 12 g]F)[2(k .
Şəkil 2.8-da çıxış borusunun F en kəsiyinin müxtəlif qiymətlərində
obyektin parabolalardan ibarət olan statik xarakteristikası
göstərilmişdir.
Şəkil 2.7. Dəyişən cərəyan mühərrikinin statik (mexaniki) xarakte-
ristikası
Şəkil 2.8. Çənin statik xarakteristikası
Şəkildən göründüyu kimi, mayenin giriş sərfi u=u1-dən u2-yə
dəyişdikdə səviyyə h=h1-dən 2h qiymətinə dəyişərək yeni 2h
vəziyyətində qərarlaşır.
ATS-in nə dərəcədə statik olub-olmamasını xarakterizə etmək
üçün statizm və ya qeyri-müntəzəmlik dərəcəindən istifadə
olunur:
sfff
.
2
1
M M1
A
3
B
h
h2
h1
u u1
A
F2 F1 F3
u2
39
Statik xarakteristika const olarsa, 0f
olur. Bu
obyektin və ya ATS-in astatik olmasını göstərir. Həndəsi olaraq, bu
göstərici sf nominal nöqtəsində statik xarakteristikanın əyrilərini
göstərir. Şəkildən göründüyü kimi, a) halında 0 , b) halında isə
0 .
Tarazlıq nöqtələrinin təyin olunması. Statik xarakteris-
tikadan istifadə etməklə obyektin (sistemin) tarazlıq nöqtələrinin
sayını da təyin etmək olar. Fərz edək ki, obyektin diferensial tənliyi
aşağıdakı 1 tərtibli diferensial tənliklə verilib:
)(/ yfdtdy .
Burada )y(f qeyri-xətti funksiyadır. Bu halda stasionarlıq
şərti 0)y(f . Bu funksiya qeyri-xətti olduğundan onun xətti
tənliklərdən fərqli olaraq bir neçə kökü ola bilər. Deməli, bir o qədər
də tarazlıq nöqtələri (vəziyyətləri) mövcuddur. Bu xüsusiyyəti )y(f
funksiyasının y -dən asılılıq qrafikini, yəni statik xarakteristikanı
quraraq aşkar etmək olar. Bu 0)y(f tənliyinin qrafiki həlli
deməkdir. Xarakteristikanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin sayı
tarazlıq nöqtələrinin sayını göstərəcəkdir.
Misal 2.1. Obyektin sərbəst hərəkəti aşağıdakı qeyri-xətti
diferensial tənliklə yazılır:
y)T
y1(k
dt
dy . (2.16)
Burada 0k , 0T . Bu halda
)y(f 0y)T
y1(k .
0)y(f tənliyinin analitik həllindən göründüyü kimi, onun
0y1 , Ty2 iki həlli mövcuddur. Deməli, tarazlıq nöqtələrinin
sayı da ikiyə bərabərdir.
Şəkil 2.9-də uyğun statik xarakteristika göstərilmişdir. Şəkildən
göründüyü kimi, statik xarakteristika (2.16) tənliyi ilə yazılan
40
obyektin iki (1 və 2 nöqtələri) tarazlıq vəziyyəti mövcuddur.
Bunlardan biri dayanıqlı (1 nöqtəsi), digəri isə (2 nöqtəsi)
dayanıqsızdır. Bu xüsusiyyəti (2.16) tənliyinin müxtəlif 0y başlanğıc
şərtlərində həllər çoxluğunun xüsusiyyətindən görmək olar.
Şəkil 2.10-də 4k və 2T qiymətlərində )t(y həllər çoxluğu
göstərilmişdir.
Şəkildən göründüyü kimi, dayanıqsız )2,0( nöqtəsinin
ətrafından )t(y trayektoriyaları uzaqlaşır, )2,0(y0 qiymətləri üçün
isə dayanıqlı )0,0( nöqtəsinə yaxınlaşır.
Simulink paketində modelləşdirmə. Şəkil 2.11-də 4k və
2T qiymətlərində şəkil 2.9-da göstərilən statik xarakteristikanın
qurulma sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 2.9. Qeyri-xətti obyektin statik xarak-
teristikası
Şəkil 2.10. Müxtəlif başlanğıc şərtlərdə (2.16) tənliyinin həllər çoxluğu
Şəkil 2.12-də (2.16) difernsial tənliyinin Simulinkdə həlli sxemi
göstərilmişdir. Constanta blokunun köməyi ilə tənliyin başlanğıc
şərtləri ]8.15.115.0[0 y vektor şəklində daxil edilmişdir.
t
y
y2=
y1=
41
Şəkil 2.11. Statik xarakteristikanın Şəkil 2.12. (2.16) tənliyinin Simulinkdə qurulma sxemi həll sxemi
2.6. Obyektlərin vəziyyət modelləri formasında yazılışı Vəziyyət dəyişənləri adlanan dəyişənlərdən istifadə edərək biz n
tərtibli giriş-çıxış modellərindən hər biri bir tərtibli olan n sayda
diferensial tənliklərdən ibarət olan ekvivalent tənliklər sisteminə keçə
bilərik. Belə tən-liklər sistemi normal diferensial tənliklər sistemi
(Koşi forması) adlanır.
Burada iki hal ola bilər:
a) obyektin modeli fiziki xüsuiyyətlərinə görə ,y,y 21
çıxışlarına nəzərən normal diferensial tənliklər sistemi şəklindədir.
Bu halda vəziyyət dəyişənlərinə keçməyin mənası yoxdur.
b) obyektin modeli giriş-çıxış formasındadır.
Axırıncı halda bu formadan normal tənliklər sisteminə keçid
qaydaları mövcuddur.
Müasir idarəetmə nəzəriyyəsində tədqiqatların əksəriyyəti
normal tənliklər sisteminin əsasında aparılır.
Vəziyyət dəyişənləri )t(x,),t(x),t(x n21 obyektin daxili
vəziyyətini xarakterizə edən fiziki dəyişənlərdir. Əgər bu dəyişənlər
müəyyən zaman daxilində məlum olarsa, onda )t(y çıxışını bu
dəyişənlərdən və )t(u girişindən asılı olaraq təyin etmək olar.
Şəkil 2.13-də dinamik obyektin giriş-vəziyyət-çıxış tipli sxemi
göstərilmişdir.
42
Sxemdən göründüyü kimi, belə təsvir formasında obyektin girişi
ilə çıxışı arasında köməkçi (fiktiv əslində fiziki olaraq mövcud
olmayan) vəziyyət dəyişəni iştirak edir. Həqiqi )t(y çıxışı isə
vəziyyət dəyişənindən və girişdən asılı olaraq təyin edilir.
Adətən )t(x vəziyyəti
ölçülməyə əlçatmaz
olduğundan onu )t(u girişi
və )t(y çıxışının ölçülən
qiymətləri əsasında
qiymətləndirirlər. Bu
məqsədlə qeyri-xətti
sistemlərdə Kalman-Byusi,
xətti halda isə Lyuenberger
və s. müşahidəçilərindən
istifadə olunur.
Sistemi tam xarakterizə edən vəziyyət dəyişənlərinin sayı
(toplusu) birqiymətli deyil. Sistemi modelləşdirərkən mümkün qədər
daha az sayda vəziyyət dəyişənlərindən istifadə etmək lazımdır. Bu
minimal realizasiya adlanır.
Yuxarıda daxil edilən yeni ix dəyişənləri əvvələr faza
dəyişənləri, müasir idarəetmə nəzəriyyəsində isə vəziyyət dəyişmələri
adlandırıldığından normal Koşi forması vəziyyətlər fəzasında yazılış
adlanır. Belə yazılış forması müasir idarəetmə nəzəriyyəsinin
tədqiqat və sintez üsullarının tətbiq etmək üçün çox əlverişli
konstruksiyadır. İki ölçülü hal (n=2) üçün söhbət vəziyyətlər
müstəvisindən kedir. Vəziyyətlər fəzasının və ya sistemin ölçüsü
vəziyyət vektorunun ölçüsü ilə müəyyən edilir. Məsələn, т
q1 ),...,x(xx olarsa, onda sistemin tərtibi q olur.
Dinamik sistemlərin hərəkətinin yazılışında müasir yanaşmanın
əsasını təşkil edən vəziyyət anlayışı ilk dəfə 1936-cı ildə Türinq
tərəfindən təklif edilmiş, sonralar
R.Bellman, L.Zadə, R.Kalman, rus
alimlərindən M.Ayzerman,
Şəkil 1.13. Dinamik obyektin vəziyyəti
nəzərə alan sxemi
Şəkil 1.14. konturu
RLC
43
A.Letov, A.Lurye və digərləri tərəfindən işkişaf etdirilmişdir.
Deyilənlərə aydınlıq gətirmək bir neçə misala baxaq.
Şəkil 1.14-da göstərilən RLC konturunun kondensatorda düşən
)t(uc çıxış gərginliyinə nəzərən giriş-çıxış formasında yazılmış
tənliyi:
)()()()(
2
2
tutudt
tduRC
dt
tudLC c
cc
c1 ux , dt/dux c2 işarə etsək, bu tənliyi hər tərəfi LC
hasilinə böldükdən sonra normal formada yazmaq olar:
.11
,
212
21
uLC
xL
Rx
LCdt
dx
xdt
dx
Matris formasında:
uLCx
x
LRLCx
x
)/(1
0
/)/(1
10
2
1
2
1
.
Çıxışın vəziyyətdən asılılığı 1c xu .
Əgər giriş-çıxış formasında yazılmış birölçülü obyektin
tənliyini yüksək tərtibli törəməyə nəzərən, yəni aşkar formada
)u,y,...,y(y,y 1)(n(n) (2.17)
yazmaq mümkündürsə, belə tənliyi həmişə normal tənliklər sisteminə
gətirmək mümkündür.
Yeni dəyişənlər
yх1 , yx2 , ... , )1n(n yx
daxil etsək, (2.17) tənliyini aşağıdakı normal tənliklər sistemi
şəklində yazmaq olar:
44
.xy
,u),,...,x,x(xx
,xx
,xx
1
n21n
32
21
(2.49)
Burada )( ümumi halda qeyri-xətti funksiyadır.
Ümumiləşdirmə. Ümumi halda çoxölçülü obyektin (çoxlu
sayda ,u,u 21 girişləri və ,y,y 21 çıxışları olan obyekt) vəziyyət
modelləri aşağıdakı qeyri-xətti tənliklər sistemi ilə ifadə olunur:
...),f,...,f,u,...,u,x(xx 212121ii , n,,2,1i ,
...),f,...,f,u,...,u,x(xgy 212121ij , ,,2,1j .
Və ya vektor şəklində
f)u,(x,x ,
f)u,(x,gy .
Burada тn1 )x,,x( x n-ölçülü vəziyyət vektoru;
тm1 )u,,u( u m-ölçülü idarə vektoru; т
r1 )f,,f( f r-ölçülü
həyəcan vektoru; т1 )y,,y( y -ölçülü çıxış vektoru
(müşahidə olunan çıxış); тn1 ),,( , т
1 )g,,g( g qeyri-
xətti vektor funksiyalardır.
)(x vəziyyət tənliyi, )(gy müşahidə tənliyi adlanır.
Xətti obyektlər üçün vəziyyət modeli matris formasında
aşağıdakı şəkildə ifadə olunur:
.
,
fuxy
fuxx
NDC
MBAdt
d
(2.18) (2.50)
Burada A sistemin nn -ölçülü matrisi; B mn -ölçülü
gücləndirmə matrisi; C n -ölçülü müşahidə matrisi; D m
45
-ölçülü, E r -ölçülü, M rn -ölçülü matrislərdir.
Avtomatik idarəetmədə vəziyyət modellərinin qeyri-aşkar Koşi
formasından da istifadə olunur:
.
,
fuxy
fuxx
NDCE
MBAdt
dE
Burada E-nxn ölçülü matris olub ix dəyişənlərinin əmsallarıdır.
Obyektin (2.18) modelinə uyğun olan sxemi şəkil 2.15-də
göstərilmişdir.
Şəkil 2.15. Model (2.18)-in blok-sxemi
0)AsIdet( tənliyi (2.18) sisteminin xarakteristik tənliyi
adlanır.
2.7. Vəziyyət modellərinin MATLABda realizasiyası
Burada məqsəd obyektin xətti şəkildə verilmiş giriş-çıxış
modellərinə ekvivalent olan vəziyyət modellərinin qurulmasıdır.
Giriş-çıxış şəklində modelin operator formasında yazılışı:
u)bpbpb(y)apapa( m
1m
1
m
0n
1n
1
n
0 . (2.19)
Və ya ötürmə funksiyası şəklində:
46
][
][
apapa
bpbpb)p(G
u
y
n
1n
1
n
0
m
1m
1
m
0
den
num
, nm . (2.20)
Burada num kəsrin surəti, den isə məxrəcidir.
MATLABda çevirmə prosedurunu yerinə yetirmək üçün
m10 b,,b,b və n10 a,,a,a əmsallarının məlum olması kifayətdir.
tf obyektin modelinin ötürmə funksiyası şəklində alınması və ss
obyektin modelinin vəziyyət dəyişənlərində formalaşdırılması
funksiyalarından istifadə olunur.
MATLABda giriş-çıxış formasında verilmiş (2.19)
modellərindən vəziyyət modellərinə keçmək üçün tf , ss , canon ,
minreal funksiyalarından istifadə olunur:
tf obyektin modelinin ötürmə funksiyasının (1.4) şəklində
alınması;
ss modelin vəziyyət dəyişənlərində standart şəkildə
alınması;
canon vəziyyət modelinin kanonik şəkildə, yəni А matrisinin
diaqonal (və ya kvazidiaqonal) matris olduğu halda
formalaşdırılması (Jordan realizasiyası);
minreal minimal realizasiyalı modelin, yəni ix vəziyyət
dəyişənlərinin sayının minimal olduğu formanın alınması.
Keçid birqiymətli olmadığından minimal realizasiyalı modellərə
daha çox üstünlük verilir. Bu üsul yüksək tərtibli modelləri
çevirdikdə daha önəmlidir.
Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış modelin əsas elementləri x , y
, u vektorları və )D,C,B,A( matrisləridir.
Obyektin vəziyyət modeli qeyri-aşkar Koşi formasında
DuCxEy
,BuAxdt
dxE
verilərsə bu tip modelləri formalaşdırmaq üçün dss(A,B,C,D,E)
funksiyasından istifadə olunur.
2.7.1. Birqiymətli keçidin mövcud olmaması
47
Nəzəri və kompüter tədqiqatları bir daha göstərir ki, eyni
formasında verilən diferensial tənliyə vəziyyət dəyişənlərində normal
formada (yəni hər bir tənliyi məchulun birinci tərtib törəməsinə
nəzərən yazılmış tənliklər sistemi) yazılmış müxtəlif ekvivalent
modellər uyğun gəlir.
Burada ekvivalentliyi eyni u(t) girişində hər iki modelin y(t)
çıxışının eyni olması mənasında başa düşmək olar. Vəziyyət )t(xi
dəyişənlərinin isə içəridə dəyişməsi müxtəlif modellərdə müxtəlif
olur. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, vəziyyət dəyişənləri
tərifə əsasən obyektin daxili vəziyyətini fiziki olaraq xarakterizə
etmir. Bunlar fiktiv dəyişənlər olub riyazi çevirmələrə daha çox
tabedirlər. Modellərin seçilməsində ədalətli kriterilərdən biri
minimal realizasiya kriterisi ola bilər. Yəni obyektin vəziyyətini
daha az sayda vəziyyət dəyişəninin köməyi ilə ifadə etmək.
Misala müraciət edək. Əvvəldə baxdığımız obyektin
u11u8u2y2y3y
giriş-çıxış formasında verilmiş tənliyinə vəziyyət dəyişənlərində
altı model uyğun gəlir.Onlardan ikisi aşağıda göstərilmişdir:
1) u1
2
32
10
xx , uy 2)01( x ;
2) u472.4
657.5
10
02
xx , ;2)118.15303.0( uy x
Şəkil 2.16-da 1 və 2 modellərində )t2sin(u və
0)0(x)0(x 21 sıfır başlanğıc şərtlərində vəziyyət )t(x1 , )t(x2 və
çıxış )t(y dəyişmə qrafikləri göstərilmişdir. Göründüyü kimi,
uyğun vəziyyət trayektoriyalarının müxtəlif olmasına baxmayaraq
)t(y çıxışı hər iki model üçün eyni alınmışdır.
48
Şəkil 2.16. 1 və 2 modellərində vəziyyət və çıxış dəyişənləri
Vəziyyət modellərinin müxtəlif olmasına baxmayaraq bütün (1 –
6) variantlarında )t(y çıxışları eyni qanun üzrə dəyişir.
2.7.2. Minimal realizasiya
MATLABda minimal realizasiyaya uyğun gələn modeli almaq
üçün )minreal( funksiyasından istifadə olunur.
Misal 2.2. Obyektin tənliyi:
u312u302u96u10y24y2y17y8y )3()3()4( . (2.21 )
Bu tənliyə uyğun minimal realizasiyalı vəziyyət modeli almaq
tələb olunur. Bu realizasiya şəkil 2.17 – də göstərilmişdir.
Şəkil 2.17. Giriş-çıxış tənliyi əsasında minimal realizasiya
49
Göründüyü kimi, ilkin (2.21) tənliyinin tərtibi 4n olmasına
baxmayaraq vəziyyət dəyişənlərinin sayı 2-yə qədər azalmışdır. Əgər ilkin tənlik vəziyyət modeli şəklində verilərsə, ona da
uyğun olan minimal realizasiyanı almaq mümkündür. Ekvivalent
minimal realizasiyalar da alınma üsulundan asılı olaraq eyni giriş-
çıxış modeli üçün müxtəlif ola bilər.
Şəkil 2.18-də iki ekvivalent minimal realizasiyalı vəziyyət
modelləri üçün x1(t), x2(t) və çıxışlar y1 (t), y2(t) göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 2.18. Vəziyyət tənliklərinin həlləri (a) və çıxış dəyişənləri (b)
Şəkildən göründüyü kimi, vəziyyət dəyişənlərinin müxtəlif
qanunla dəyişməsinə baxmayaraq hər iki realizasiyada çıxışlar
)()()( 21 tytyty eyni alınmışdır.
Beləliklə, aparılmış kompüter tədqiqatları bir daha göstərir ki,
vəziyyət modelləri y(t) çıxışına nəzərən ekvivalentdirlər!
2.8. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli
Arqumenti dinamik sistemlərin yazılışında olduğu kimi t
(zaman) deyil x qəbul etcək xətti tənliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq
50
olar:
.)(),( 00 yxyxBAydx
dy
Burada y=(y1, y2,...,yn)T; ;),...,,( 21
Tm A,B-n×n və n×m
ölçülü matrislərdir.
Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli mövcuddur və
Koşi düsturu ilə təyin olunur:
.)()(
0
0 )(0
)( dBueyexy
x
x
xAxxA
Burada eAx
- matris eksponentası adlanır. x=x-x0.
Bircins tənlik üçün xarici qüvvə u=0 olduğundan fəll sadələşir:
.)( 0)( 0 yexy
xxA
Qeyd edək ki, xətti diferensial tənliklərdən fərqli olaraq ümumi
halda qeyri-xətti diferensial tınliklərin analitik həlli mövcud deyil.
Bu halda adətən ədədi (təqribi) hsablama üsullarından istifadə
olunur.Lakin bu zaman həllin analitik (ifadə şəklində) düsturunu
almaq mümkün olmur.Funksiyanın (məchulun- y(x)) arqumentin x
diskret qiymətlərinə uyğun gələn qiymətləri hesablanir. Bu nöqtələrə
əsasən həllin qrafikini də qurmaq mümkündür.
Misal 2.3. Obyektin тянлийи
21 yy , u 22 y2y , x0=1, y(1)=0, y(1)=2; u=0.
Бурада
20
10
А ,
1
0B
xAe тапмаг цчцн ])[( 11 AsILeAx дцстурундан истифадя
едяк:
2s0
1s
20
10
s0
0ss
AIR .
т11 )(det
1)(s R
RAIR
51
2s
10
)2s(s
1
s
1
s0
12s
)2s(s
1
.
R матриси R матрисинин ъябри тамамлайаъагдыр.
Лаплас чевирмяси ъядвяиндян истифадя едяряк, тапырыг:
)1(2
)1(2
2
211
0
)1(5.01
0
150 1][
x
xA
e
e
e
)e(.Le
x
xx
R .
Həll
)1(2
)1(2
2
1
2
1
2
)1(
)1(
)1(
)(
)(
x
xA
e
e
y
ye
xy
xy x .
Şəkil 2.19-da y(x) və y(x) həllərinin qrafiki göstərilmişdir.
Şəkil 2.19. Həllərin qrafiki
52
2.9. Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin
həlli
MatLAB системи нятиъяляри ъядвял вя график шякилдя
тясвир етмякля диференсиал тянликляри вя диференсиал
тянликляр системини ədədi щялл етмяйя имкан верир. Bundan
başqa ahalitik (simvol) həll texnologiyaları da mövcuddur ki, bu
halda həllin ifadəsi (düsturu) alınır. 1. Simvolik həll. Bu halda diferensial tənliyin həllinin analitik
ifadəsi alınır. Bu məqsədlə MATLABda dsolve funksiyasından
istifadə olunur. Analitik həlli olmayan tənliklərin həllində təqribilik
ola bilər. Xətti diferensial tənliklərin dəqiq analitik həlli mövcud
olduğundan bu tip tənliklərin simvolik həllində problem yaranmır.
Inteqrallama sabitlərindən asılı olan ümumi həllin və verilmiş sərhəd
şərtlərini ödəyən xüsusi həllərin alınması mümkündür.
Misallara müraciət edək. İşarələmələr:
yDy , yy2D ,, )k(yDky .
Qeyd edək ki, baxılan tənliklərdə arqument kimi t (zaman)
götürülmüşdür.
Sırf riyazi məsələlərdə isə adətən x qəbul olunur.Onda
.// dxdydtdy Həll texnologiyası isə dəyişmir.
Misal.2.4. )cos(3 tyyy tənliyinin y(0)=1,y'(0)=0
başlanğıc şərtlərində xüsusi həllini tapaq.
>> y=dsolve('D2y+3*Dy+y=cos(t)','y(0)=1','Dy(0)=0') y =exp(1/2*(5^(1/2)-3)*t)*(1/2+7/30*5^(1/2))+exp(-1/2*(5^(1/2)+3)*t)*(-
7/30*5^(1/2)+1/2)+1/3*sin(t) >> ezplot(y,0,20)
53
2. Ədədi həll. Bu üsullar ilkin analoq (fasiləsiz) diferensial
tənliyin zamana görə diskretləşdirilməsinə əsaslandığından həllin
qiymətləri )tk(y , zamanın yalnız diskret tkt , ,2,1,0k
nöqtələrində hesablanır. Bu qiymətlər cədvəl və qrafiki təqdimatda
verilə bilər. MATLABda adi diferensial tənliklər sistemini həll etmək
üçün 23ode , 45ode , 113ode , 23ode , s15ode , s23ode , t23ode və
tb23ode funksiyalarından istifadə olunur. Бу функсийаларын
адларынын щярфи щиссяси Ordinary Differential Equation (Ади
диференсиал тянлик) ифадясинин ихтисарыны, рягямляр ися
истифадя олунан Рунге-Кутт усулларынын версийаларынын
тяртиблярини эюстярир. )(ode45 функсийасы даща дягиг щялл
верир, лакин щялл цчцн нисбятян чох вахт тяляб олунур. )(ode
funksiyaları 3 – 6 tərtibli Runqe-Kut üsulunu reallaşdırır. Addımın
seçilməsi avtomatik yerinə yetirilir.
Bu funksiyalar aşkar şəkildə verilmiş
)t,x,,x(fx n1ii , ,,1 ni
diferensial tənliklər sistemini həll edir. Bu səbəbdən ilkin diferensial
tənliyin tərtibi n>1 olarsa onu tənliklər sisteminə (Koşi forması)
gətirmək lazımdır.
Sintaksis: [t,x]=ode(.)(’fun’,t0,tf,x0). fun- dif. tənliyin fi(.) sağ tərəflələrindən ibarət olan M-
fayl;
t0 arqumentin başlanğıc qiyməti;
54
tf - arqumentin son qiyməti;
x0 başlanğıc şərtlər vektorudur.
Qeyd edək ki, arqumenti x, funksiyanı isə y ilə işarə etmək olar.
Həll texnologiyası aşağıdakı bəndlərdən ibarətdir:
1. M-faylda hər hansı bir ad altında, məsələn, fun və ya sisdu,
diferensial tənliklər sisteminin sag tərəfini yadda saxlamaq lazımdır.
Bu ona görə edilir ki, hər iterasiyada tənliklər sisteminə müraciət
oluna bilsin. Bu məqsədlə alətlər panelində File/New/M-file
düyməsinə klik etmək lazımdır.Açılan M-fayl pıncərəsinə yazmalı:
2. function F=sisdu(t,x)
))];(),...,1(());...(),...,1(([ 1 nxxfnxxfF n
3. Tənliklər sisteminin fi(.)sağ tərəflərini daxil etdikdən sonra
File/Save düyməsinə klik edib F funksiyasını sisdu faylında yadda
saxlamalı;
4. Növbəti mərhələdə MATLABın əmrlər pəncərəsində t0, tf, x0
və )(ode funksiyası daxil edilir:
>>t0=t0; tf=tf; x0=[x10 ,x20 ,…,xn0];
>>[t,x]=ode()(sisdu,t0,tf,x0); >>z=[x,y] % Çap etmək 5. Sonra Enter klavişini klik etmək lazımdır.
6. Həllin qrafikini əldə etmək üçün plot(t,x) bütün xi(t)-lər bir
pəncərədə, ayrı-ayrılıqda isə plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,2)),...,plot(t,x(:,n)) funksiylarından istifadə etmək olar.
Misal 2.4. )(ode23 функсийасындан истифадя етмякля
,xydx
dy x0=0, xf=1. 1)0(y
Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш щяллин графикини
гурмалы. Bu halda arqument .xt Верилмиш тянлийин саь тяряфини sisdu адлы M-файл
шяклиндя формалашдыраг:
function F = sisdu(x,y)
F = x*y;
55
Сонра Matlabın əmirlər pəncərəsindən параметрлярин ядяди
гиймятлярини
>> x0=0; xf=1; y0=1
və ясас ямрi
>> [x,y]=ode23('sisdu',[x0 xf],y0) veririk.
Sonra nəticələri çap etmək üçün
>> z=[x,y] йазыб Enter клавишини басırıq.
Həllih qrafiki plot() əmrinin köməyi ilə qurulur.
Şəkil 2.20-də M-fayl və həllin Matlab proqramı göstərilmişdir.
56
Şəkil 2.20
2.10. Diferensial tənliklərlə modelləşdirməyə aid texniki misallar
1.Yuxarı atılmış cismin hərəkəti. Yerin qravitasiya sahəsində
cismin sərbəst düşməsi sadə halda
d2y/dt
2=-mg
tənliyi ilə yazilır. y=h - hündürlük, m; t- zaman, san.; y - sürət,
m/san.; g=9.8 m/san2.
Başlanğıc şərt ).10;0(),(0 yyy Yəni cisim yerin səthindən
atıldığından başlanğıc hündürlük h=0.Start sürəti isə v=10 m/san-dir.
Havanın sürəti nəzərə alınmır.
Şəkil 2.21-də hərəkət tənliyinin həll proqramı və qrqfiki təsviri
göstərilmişdir.
57
Şəkil 2.21
Şəkildən göründüyü kimi, cisim parabola qanunu üzrə yuxarı
qalxaraq hmax nöqtəsinə çatdıqdan sonar enməyə başlayır. Sürət isə
xətti qanun üzrə dəyişir.Yuxarı qalxdıqca azalır, hmax (1 san.
sonra)sonara istiqamət dəyişdiyindən mənfi işarə ilə artmağa
başlayır.
Şəkil 2.22-də həllin Simulink paketində həll sxemi gəstərilmişdir.
58
Şəkil 2.22
1. Vav-der-Pol tənliyi.
Qeyri-simmetrik rəqslərin generasiyasında istifadə olunan Van-
der-Pol tənliyinin həllini tapaq:
0yy)1μ(yу 2 .
0μ dinamik sistemin qeyri-xəttilik dərəcəsini təyin edən para-
metrdir. y=x1 , y' =x2 qıbul etsək uyğun tənliklər sistemi:
121 fxx
212212 fxx)1x(x ,
yx1 , yx2
Fərz edək ki, 2 , 2x10 , 0x20 .
Şəkil 2.23-də 45ode funksiyasından istifadə etməklə həll
proqramı göstərilmişdir.
60
Şəkil 2.23. Van-der-Pol tənliyinin həlli
3. Yaşamaq yğrunda mübarizə (Yırtıcı-qurban məsələsi).
Bu prosesin Lotk-Volter modeli aşağıdakı qeyri-xətti əlaqəli
diferensial tənliklər sistemi ilə yazılır:
.
,
2122
2111
yryRyy
ypyPyy
Burada )t(у1 , )t(у2 uyğun olaraq qurbanların və yırtıcıların
sayıdır.
P sabiti qurbanlarin sayı sıfra bərabər olduğu halda yırtıcıların
sayını təyin edir.Yırtıcı tırəfindın qurbanın yeyilməsi ehtimalı y1y2
hasilinə uyğundur.Belə ki, py1y2 yırtıcıların sayının azalmasına
uyğun gəlir.Eyni zamanda ry1y2 hasili qurbanları yeyən yırtıcıların
sayını xarakterizə edir. P,p,R,r parametrlərinin müəyyən
qiymətlərində yırtıcıların və qurbanların sayının zaman üzrə
dəyişməsi xarakter daşıyır.
Parametrlər P=3,R=2,p=r=1. Başlanğıc şərtlər
y=(y10;y20)T=(3;4)
T.
Şəkil 2.24-də 23ode s funksiyasının köməyi ilə alınan ədədi həll
və nəticələr göstərilmişdir.
62
3. VƏZİYYƏT MODELLƏRİ ŞƏKLİNDƏ VERİLMİŞ
OBYEKTLƏRİN VƏ TƏNZİMLƏMƏ SİSTEMLƏRİNİN SİMULİNK PAKETİNDƏ SİMULYASIYASI
3.1. İlkin anlayışlar
Simulink MATLAB istifadəçilərinə idarəetmə dinamik
sistemləri modelləşdirmək və tədqiq etmək üçün güclü vasitə təqdim
edir. Simulinkin məzmunlu adı vizual bloklu imitasion
modelləşdirmə paketidir. Şəkil 3.1-də analoq sistemlərini modelləşdirmək üçün istifadə
olunan bloklar ğöstərilmişdir.
63
Şəkil 3.1. Analoq sistemlərinin modelləşdirilməsində
istifadə olunan bloklar
3.2. İdarəetmə obyektlərinin simulyasiyası Fərz edək ki, birölçülü idarəetmə obyektinin vəziyyət
dəyişənlərində tənliyi (vəziyyət modeli) aşağıdakı ümumi halda
qeyri-xətti normal tənliklər sistemi şəklində verilmişdir:
64
.)t,u,x,,x,x(gy
,)t,u,x,,x,x(f)t(x
,)t,u,x,,x,x(f)t(x
,)t,u,x,,x,x(f)t(x
n21
n21nn
n2122
n2111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.1)
Burada dt/dxx ii ; n21 x,,x,x əvvəldə olduğu kimi
vəziyyət dəyişənləri, u idarə siqnalı, y müşahidə olunan çıxışdır.
Əgər model giriş-çıxış formasında verilər-sə, onu (3.1)
şəklində olan normal tənliklər sisteminə gətirmək lazımdır.
Məsələ verilmiş )0(x,),0(x),0(x n21 başlanğıc şərtlərində və
girişin )t(uu məlum ifadəsində )t(xi , n,,2,1i həllərinin
qrafiki şəkildə tapılmasından ibarətdir. Lazım gələrsə bu qiymətləri
cap etmək de olar.
Simulinkdə (3.1) sistemin həll konstruksiyası belədir. Həlləri
almaq üçün (3.1) sisteminin hər sətrini inteqrallamaq lazımdır:
.)()(
. . . . . . . . . . . . . . .
)0(,)()( 011
dtftx
xxdtftx
nn
ii
(3.2)
Deməli bizə n sayda inteqrallayıcı lazımdır. Başlanğıc xi(0)
şərtləri hər bir i inteqratoru üçün rarametrlər pəncərəsindən Initial
condition (baş. şərt) şərtindən və ya external rejimində constanta
kimi sxemdən daxil edilə bilər.
Modelləşdirmə sxemini qurmaq üçün Simulinkdə yeni pəncərə
açıb oraya kitabxanadan Gain,Inteqrator (gücləndirici),
Clock,ttanCons (saat), Delay (gecikmə) və )(fi funksiyalarını
formalaşdırmaq üçün lazım olan başqa blokları gətirib birləşdirmək
lazımdır.
Misal 3.1. Əvvəldə baxılan Van-der-Pol generatoruna baxaq:
0yy)1y(y 2 .
65
Bu tənliyi (3.1) şəkilli normal tənliklər sisteminə gətirək:
.fxx)1x(x
,fxx
212
2
12
121
Şəkil 3.2-də bu tənliyin 2 , 0)0(x1 , 1)0(x2 halında
Simulinkdə modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.2. Van-der-Pol generatorunun modelləşdirmə sxemi
Şəkil 3.3-də sistemin vəziyyət dəyişənləri )t(x1 , )t(x2 (a) və
faza portreti (b) göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 3.3. Generatorun dinamik xarakteristikaları (a) və faza portreti (b)
Misal 3.2. Obyektin giriş-çıxış formasında verilmiş tənliyi:
uy)6t2sin(eyey t5t2.0 .
66
yx,yx 21 işarə etsək, obyektin vəziyyət dəyişənlərində
uyğun tənliyi:
,fxx 121
,fuxex)6t2sin(ex 22
t2.0
1
t5
2
.gxу 1
Şəkil 3.4-da )t(1u , 2.0 s, 4.0)0(x1 , 5.1)0(x2
qiymətlərində uyğun modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.4. Obyektin modelləşdirmə sxemi
Gecikmə 2.0 s və tezlik 2 rad/s, faza 6 rad müvafiq
parametrlər pəncərəsindən daxil edildiyindən sxemdə görünmürlər.
Şəkil 3.5-də idarə siqnalı )t(u və )t(x1 , )t(x2 vəziyyət
dəyişənlərinin qrafikləri göstərilmişdir.
Göründüyü kimi, )t(x1 və )t(x2 dəyişənləri sonsuzluğa
yaxınlaşdığından bu obyekt dayanıqsızdır.
X1=Y
t
f2=X'2f1=X'1
Tau
U 1(t-tau)
X2
XY Graph
Transport
Delay
Step
t
Sine Wave1
ScopeSaturation1
Product1
Product
eu
Math
Function2 eu
1
sxo
Integrator1
1
sxo
Integrator
-0.2
Gain1 -5
88.18
10.22
Display
0.41.5
Clock
Şəkil 3.5. Obyektin keçid xarakteristikaları
67
Modelləşdirmə sxemini zamandan asılı olan əmsalları Fnc
blokundan istifadə edərək formalaşdırmaqla daha yığcam göstərmək
mümkündür. Bu halda blokun giriş siqnalı zaman t -dir. Simulinkdə
Fnc blokunun giriş siqnalı u ilə işarə olunur.
Şəkil 3.6-də müvafiq modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.
Əmsallar Fnc blokunun parametrlər pəncərəsindən MATLABın
riyazi əməliyyat (cəmləmə, vurma, qüvvətə yüksəltmə, bölmə və s.)
simvolarından istifadə etməklə yazılır.
Şəkil 3.6. Fnc blokundan istifadə etməklə modelləşdirmə sxemi
3.3. İdarəetmə obyektlərinin vektor modelləşdirilməsi
Bu üsul sxemlərin qurulma metodikasını sadələşdirir və istifadə
edilən qurğuların sayını əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa imkan verir.
Üsul Simulinkdə inteqrallayıcı, gücləndirici və s. qurğuların vektor
şəklində (bir kanal ilə bir neçə siqnalın ötürülməsi) olan siqnalları
qəbul edib əməliyyat apara bilməsinə əsaslanır.
Tənlik (3.1)-nin sağ tərəfində olan )(fi funksiyaları isə Fnc
bloklarının parametrlər pəncərəsində MATLABın riyazi əməliyyat
X1=Y
t
f2=X'2f1=X'1
Tau
U 1(t-tau)
X2
XY Graph
Transport
Delay
Step
ScopeSaturation1
Product1
Product
1
sxo
Integrator1
1
sxo
Integrator
exp(-5*u)*sin(2*u+6)
Fcn1
exp(-0.2*u)
Fcn
87.31
10.12
Display
0.41.5
Clock
68
(cəmləmə, vurma, qüvvətə yüksəltmə, bölmə və s.) simvolarından
istifadə olunaraq yığılır. Bu halda 1x)1(u , 2x)2(u , ,
nx)n(u , u(n+1)=t kimi işarə olunur.
Bu halda obyektin modeli:
).t,u,x(fdt/dx (3.3)
Burada f(.)=(f1, f2,..., fn)T – qeyri-xətti vektor funksiyasıdır.
Şəkil 3.7-də (3.3) tənliyinin ümumiləşdirilmiş həll sxemi
göstərilmişdir. Fjn bloklarına (3.1) tənliyinin sağ tərəfindəki f1, f2,...,
fn funksiyaları daxil edilir. Bu funksiyalar xətti şəkildə də ola bilər.
Şəkil 3.7. Qeyri-xətti sistemin həll sxemi
Clock (taymer) blokunun çıxış siqnalı t, Fcn blokuna u(n+1)
şəklində yazılır.n=2 olarsa – u(3) şəklində olur.
Misal 3.3. «Qurban – yırtıjı» prosesinin modeli:
.ubxrxRxx
,ubxpxPxx
222122
112111
(3.4)
Burada x1, x2 – qurban və yırtıjıların sayıdır.
P=3, R=2, p=r=1, b1=0.04, b2=0.01. Başlanğıj şərt x10=3,
x20=4.
u1=1-sin(0.2t), u2=1-cos(0.2t).
Şəkil 3.8 a,b və j-də həll sxemi, x1(t), x2(t) həlləri (keçid
prosesləri) və faza portreti göstərilmişdir. Ədədi inteqallama üsulu
. . . . . .
. . . x1 x2...xn
t=xn+1
Xo
X'1
sxo
f1(x,u,t)
fn(x,u,t)
Fcn1
[x1o, xno]
69
kimi ode23s seçilmişdir. u1 və u2 idarə təsirləri kənardan olan
«müdaxiləni» xarakterizə edir.
a)
b) c)
Şəkil 3.8. Tənlik (3.4)-nın həll sxemi və alınmış nətiçələr
Misal 3.4. Vəziyyət dəyişənlərində verilən obyektin tənliyi:
.)t(u)t(z]c)t(x[b)t(z
,)t(ay)t(x)t(y
,)t(z)t(y)t(x
(3.5)
İdarə t4.0e)t(u . Parametrlər 2.0ba , 7.5c . Başlanğıc
şərtlər 0)0(z)0(y)0(x .
Şəkil 3.9-də obyektin modelləşdirilməsinin vektor sxemi
göstərilmişdir.
f1
f2x1,x2
x1
x2
t=u(3)
XY Graph
1
sxo
3*u(1)-u(1)*u(2)+0.04*(1-sin(0.2*u(3)))
-2*u(2)+u(1)*u(2)+0.01*(1-cos(0.2*u(3)))
(3 4)
70
Şəkil 3.9. Həllin vektor sxemi
Şəkil 3.10-da (3.5) sisteminin dinamik xarakteristikaları (a) və
)Y,X( görə faza portreti (b) göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 3.10. Dinamik xarakteristikalar (a) və faza portreti (b)
X'
Z'
U(t)
(X,Y,Z)
f3f1 f2
Y'
XY Graph1
Scope2
Scope1
1
s
Integrator2
exp(-0.4*u)
Fcn7
u(2)
Fcn6
u(1)
Fcn5
-u(2)-u(3)
Fcn4
u(1)+0.2*u(2)
Fcn3
0.2+(u(1)-5.7)*u(3)
Fcn2
Clock1
71
3.4. Sabit əmsallı xətti obyektlərin vektor modelləşdirilməsi Bütün xətti obyektlər eyni struktura malik olduğundan onları
yalnız )D,C,B,A( parametrlərinə görə fərqlənən vahid vəziyyət
modeli şəklində yazmaq mümkündür. Əgər ilkin model giriş-çıxış
şəklində verilərsə, onu §2.10-da şərh olunmuş qaydaladan istifadə
edərək vəziyyət modelinə gətirmək lazımdır.
1. State–Space bloku. Modelləşdirmək məqsədi ilə Continuous
bunkerində yerləşən SpaceState (Vəziyyət-fəza) blokundan
istifadə olunur. D,C,B,A matrisləri parametrlər pəncərəsindən daxil
edilir. Bu matrislərin ölçülərini düzgün vermək vacibdir. Əgər x
vəziyyət vektorunun ölçüsü n , idarə vektru u -nun ölçüsü nm , y
çıxışının ölçüsü olarsa, onda )nn(A , )mn(B , )n(C ,
)m(D olmalıdır. Başlanğıc )0(x,),0(x n1 şərtləri Initial
conditions sətrindən ]xx[ 2010 və ya sıfır olarsa, 0 şəklində daxil
etmək lazımdır.
Şəkil 3.11-də
11
31A ,
3.00
02B , 01C ,
2.00D üçün 2n , iki idarə 1u , 2u , 2m və bir çıxış y ,
1 və x0=0 halında SpaceState blokunun parametrlər pəncərəsi
göstərilmişdir.
72
Şəkil 3.11. SpaceState blokunun parametrlər pəncərəsi
Şəkil 3.12-də uyğun modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.12. Xətti obyektin vector vəziyyət modeli
Şəkil 3.13-də çıxışın dəyişmə qrafiki (keçid prosesi) (a) və faza
portreti göstərilmişdir.
73
a) b)
Şəkil 3.13. Keçid prosesi və faza portreti
Giriş siqnalları ui daha mürəkkəb olduqda onları Fcn blokunda
reallaşdırmaq sərfəlidir. Vəziyyət xi dəyişənlərinin qrafikini almaq
üçün parametrlər pəncərəsində C=İ, D=0 daxil etmək lazımdır. İ –
nxn ölçülü vahid matrisdir.
1. Bir inteqrallayıcıdan istifadə olunması. Obyektin tənliyi:
.BuAxdt/dx (3.6)
Burada nRx – n–ölçülü vəziyyət vektoru; mRu – m–
ölçülü idarə (giriş) vektoru; A,B – müvafiq olaraq nn və mn
ölçülü matrislərdir.
Şəkil 3.14-də Simulink paketində modelləşdirmə sxemi
göstərilmişdir.
Şəkil 3.14. Tənlik (3.6) –in modelləşdirmə sxemi
74
Misal 3.5. Fərz edək ki, tənlik
.2)0(x,5)0(x,ux4.0x2x
,u2xx
212212
121
(3.7)
Burada
10
02B,
4.02
10A .
İdarə siqnalları u1=1+0.2sin(4t), u2=1(t) – vahid təkan.
Şəkil 3.15-də müvafiq modelləşdirmə sxemi, b-də isə x1(t),
x2(t) həllərinin qrafikləri göstərilmişdir.
a)
b) Şəkil 3.15. Tənlik (3.7)-in həll sxemi (a) və həllərin qrafiki (b)
Step
Scope1
1
sxo
0 1
-2 -0.4* uvec
2 0
0 1* uvec
Gain
0.2*sin(4*u)
Fcn
[5 2] Constant1
Clock
75
Gain və constanta bloklarına matris orta mötərizələrin
içərisində sətir-sətir daxil edilir. Hər sətirdən sonra ; yazılır.
Keçid matrisinin təyini Simulink paketində riyazi element matris olduğundan bu
paketdə həm matris diferensial tənliklərin, həm də xətti jəbri matris
tənliklərinin qrafiki həlli çətinlik törətmir.
Əvvəldə deyildiyi kimi, keçid matrisi (və ya matris
eksponentası) eAt
aşağıdakı matris diferensial tənliyin həllidir:
I)0(),t(Adt
)t(d
(3.8)
Burada, )t()t( ij – nn ölçülü matrisdir.
Başlanğıj şərt vahid İ matrisidir.
Misal 3.6. Fərz edək ki,
10
01)0(,
9.04.0
10A .
Şəkil 3.16-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin Fij(t) nətijələri
(b) qrafik şəklində göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 3.16. Keçid matrisinin təyin olunması
Xo
X'(t)X(t)1
sxo
0 1
-0.4 -0.9* u
1 0
0 1
76
3.5. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılışı:
Ax b. (3.9)
Burada A=(aij) , n,1j,i – əmsallarından təşkil olunmuş ədədi
matris; b=(b1, b2,...,bn)T – sağ tərəf, x=( x1, x2,..., xn)
T – axtarılan
(naməlum) həlldir.
Simulink paketində realizasiya etmək üçün (3.9) tənliyini belə
yazmaq lazımdır:
.bAxdt/dx (3.10)
Xətti (3.9) tənliklər sisteminin həlli (3.10) xətti diferensial
tənliyin həllinə gətirilir. Bu tənliyin qərarlaşmış qiyməti (3.9)
tənliyinin həllidir. Keçid proseslərinin qərarlaşması üçün A matrisi
müsbət müəyyən matris olmalıdır. Yəni, Silvester şərtinə görə bu
matrisin diaqonal minorları sıfırdan böyük olmalıdır. Scope cihazının
ekranında və ya displeydə qərarlaşmanı görmək üçün simulyasiya
vaxtı kifayət qədər böyük götürülməlidir.
Misal 3.7. Fərz edək ki,
.5
14b,
52
24A
Şəkil 3.17-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin nətijələri (b)
göstərilmişdir. Şəkil 3.17, b-dən göründüyü kimi, qərarlaşmış
qiymətlər x1=5 və x2=-3 (3.9) tənliyinin həllidir. Qərarlaşmış
qiymətləri displeydə də görmək mümkündür.
77
a) b)
Şəkil 3.17. Xətti tənliklər sisteminin həll sxemi
3.6 Tənzimləmə sisteminin simulyasiyası Tənzimləmə sistemi sadə halda tənzimləyici ilə obyektin
vəhdətindən ibarətdir. Əks əlaqəli ATS-də tənzimlənən )t(y çıxış
kəmiyyəti )t(g tapşırıq siqnalı ilə müqayisə edildiyindən (çıxılır)
sxemdə müqayisə elementinin də olması vacibdir. Bu element texniki
baxımdan cəmləyicidən (Sum) ibarətdir.
Simulinkdə tənzimləyici kimi standart PİD- tənzimləyicidən
istifadə olunur. Bu tənzimləyici Simulink Extras (Additional
Linear) bunkerində yerləşir. Tənzimləyicinin sazlama parametrləri
parametrlər pəncərəsindən daxil edilir: dip k,k,k . Bu tənzimləyicinin
tənliyi:
dt
)t(deTd)(ek)t(ek)t(u d
t
0
iт .
Şəkil 3.18-də ATS-in struktur sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.18. Simulinkdə vəziyyət modeli ilə verilmiş ATS-in sxemi
78
Tənzimləmə sistemində keçid proseslərinin xarakteri
tənzimləyicinin sazlama parametrlərinin qiymətindən asılıdır.
Misal 3.8. Fərz edək ki, obyektin giriş-çıxış formasında
verilmiş modeli:
u)t(y)t(y3)t(y3)t(y .
Bu tənliyi §2.11-ə əsasən normal tənliklər sisteminə gətirək:
.0)0(x)0(x)0(x.xу
,ux3x3xx
,xx
,xx
3211
3213
32
21
Burada
331
100
010
A ,
1
0
0
B , 001C , 0D .
Şəkil 3.19-da 1kkk dip qiymətində keçid prosesi
göstərilmişdir.
Şəkil 3.19. 1kkk dip qiymətində )t(y keçid prosesi
Misal 3.2-də verilmiş qeyri-stasionar dayanıqsız obyektin
tənzimləmə sisteminə baxaq. Tənliyin əmsalları zamana görə
dəyişkən olduğundan modeli yığmaq üçün SpaceState blokundan
istifadə etmək mümkün deyil. Bu səbəbdən obyektin modeli fərdi
qaydada yığılmışdır.
79
Şəkil 3.20-də ATS-in sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.20. Qeyri-stasionar xətti obyektin tənzimləmə sistemi
Şəkil 3.21-də sazlama parametrlərinin 20kp , 10ki , 2kd
qiymətlərində keçid prosesi (a) və xəta koordinatlarında faza portreti
(b) göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 3.21. Qeyri-stasionar sistemdə keçid prosesi (a) və
faza portreti (b)
Misal 3.9. Pİ-tənzimləyicisi olan qapalı tənzimləmə sisteminin
tənliyi aşağıdakı şəkildə verilmişdir:
Obyekt )t(udt)t(uL
1)t(u
R
1
dt
)t(duС cc
c ;
Tənzimləyici dt)t(k)t(ku iт;
x1=yx2g=1 e
t
Kp=20,Ki=10,Kd=2
XY Graph
Step Scope
Product1
Product
PID
PID Controller
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
exp(-5*u)*sin(2*u+6)
Fcn1
exp(-0.2*u)
Fcndu/dt
Derivative
Clock
80
Əks əlaqə )t(y)t(g)t( .
Burada tənzimləmə xətası, iт k,k tənzimləyicinin sazlama
parametrləridir.
Şəkil 3.22-də obyektin (rəqsi RLC konturu) elektrik sxemi
Şəkil 3.22. Rəqsi RLS konturu
Obyekt tənliyini normal tənliklər sisteminə gətirmək üçün
c1 ux , dtux c2 qəbul edək. Onda:
.xuy
,xx
,)t(uC
1x
LC
1x
RC
1x
1c1
12
211
Tənzimləyicinin tənliyini normal tənliklər sisteminə gətirmək
üçün
е
0
3 dtx qəbul edək. Onda:
.)t(gx)t(gy
,xkkuy
,x
1
3iт2
3
100C Mkf, 1.0L Hn , 4R Om qiymətlərində qapalı ATS-
in vəziyyət dəyişənlərində yazılmış modeli:
81
.)t(gkxkxky
,xy
,)t(gxx
,xx
,y01.0x2.0x0025.0x
т3i1т2
11
13
12
2211
Şəkil 3.23-də ATS-in modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.23. Rəqsi RLC konturunun tənzimləmə sistemi
Şəkil 3.24-də )t(1)t(g , 800ki , ]100205[kт
qiymətlərində ATS-də baş verən keçid prosesləri göstərilmişdir.
Şəkil 3.24. Gücləndirmə тk əmsalının müxtəlif
qiymətlərində keçid prosesləri
Tənzimləyicini sazlayanda тk artdıqca rəqslilik azalır. Vacib
cəhət sazlama parametrlərinin müxtəlif qiymətlərində alınan keçid
xarakteristikalarını eyni zamanda müşahidə etməkdir.
Matris halda modelləşdirmə. Tənzimləyici və obyektdən ibarət
olan birölçülü tənzimləmə sisteminin sxemi şəkil 3.25-də
göstərilmişdir.
KT
Kix1=y1x3 x2e
g=1y2=u
TENZIMLEYICI OBYEKT
Step Scope
1
s
Integrator3
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
0.01
0.1
Gain7
0.0025
Gain6
[5 20 100]
Gain4
800
Gain3
82
Şəkil 3.25. ATS-in təsvirlərdə verilmiş matris sxemi
Misal 3.10. Fərz edək ki, obyektin (sabit cərəyan mühərriki)
diferensial tənliyi
ukyyТ ob1 , 03.0Т1 s, 62kob
şəklində verilmişdir. (2.51) ifadəsinə əsasən 2n , 0m ; 10 Ta ,
1a1 , 0a2 , ob0 kb .
Pİ-tənzimləyici .0
t
iт dtkku Və ya iт kku .
Bu halda 1n , 1m . (2.59) ifadəsinə əsasən 1a0 , т0 kb ,
i1 kb .
Obyektin və tənzimləyinin verilmiş giriş-çıxış modellərini
uyğun olaraq (2.51) və (2.59) ifadələrinə əsasən vəziyyət modellərinə
gətirək.
Obyekt:
.xy
,u2067
0x
3.330
10u
T/k
0
x
x
T/10
10
x
xx
1
1ob1
1
11
1
Burada
3.330
10A ,
2067
0b , 01T c .
Tənzimləyici: .zkku
,z
1iт
1
Bu halda 0R , k=1, i
T
0 kk , тkh .
83
Adətən başlaqğıc şərtləri 02010 xx , 0z10 , tapşırıq siqnalını
isə )t(1)t(g vahid təkan şəklində qəbul edilir.
Şəkil 3.26-da tənzimləmə sisteminin struktur sxemi göstəril-
mişdir.
Şəkil 3.26. Sabit cərəyan mühərrikinin tənzimləmə sistemi
Şəkil 3.27-də ATS-in uyğun Simulink sxemi göstərilmişdir.
Şəkil 3.27. ATS-in matris Simulink sistemi
Şəkil 3.28, a və b-də tənzimləyicinin sazlama parametrlərinin
10kт və 5.0k i qiymətlərində )t(y keçid xarakteristikası və
faza portreti göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 3.28. ATS-in keçid xarakteristikası və faza portreti
y(t)=x1x1(t), x2(t)u
g=1
Kt
Ki
R
A
Cb
Eps
XY Graph
StepScope4
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
[1 0]* uvec
[0 1 ;-1 -33.3]* uvec
[0 ;2067]* u
Gain3
0.1
Gain2
0
0.4
Gain
du/dt
84
4.TƏCÜRBİ VERİLƏNLƏRİN EMALI. İNTERPOLYASİYA
4.1. İlkin anlayışlar
Bu fəsildə matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadə olunmuşdur.
Statistics Toolbox ;
Sustem İdentification Toolbox .
İntepolyasiya verilmiş (məlum) y=f(x) funksiyasını y=φ(x)
funksiyası ilə təqdim olunması (sadə dildə desək -əvəz olnması)
deməkdir.İlkin f(x) funksiyası analitik (riyazi ifadə şəklində) və ya
cədvəl və digər şəkildə verilə bilər.
İnterpolyasiya riyazi modelləşdirmənin əsasını təşkil
edir.Analitik şəkildə alınmış φ(x) funksiyası obyektin və ya
hadisənin riyazi modelidir.
İnterpolyasiyanın əsas növləri aşağidakılardır:
1. Düyün nöqtələrində dəqiq olan. 2. Düyün nöqtələrində dəqiq olmayan (yəni təqribi olan). Axırıncı üsul aproksimasiya (yaxınlaşma) da adlanır.
Şəkil 4.1, a və b-də dəqiq və dəqiq olmayan interpolyasiya
göstərilmişdir.
a) b)
Şəkil 4.1
Şəkildə, dairəciklər ° - koordinatları (xi, f(xi)) məlum olan
düyün nöqtələridir.
Birinci növ interpolyasiya üsuluna Laqranjın məşhur
85
interpolyasiya polinomunu göstərmək olar.Dəqiq üsul aşağıdakı
hallarda tətbiq olunur:
f(x) funksiyası analitik məlum, lakin istifadə üçün mürəkkəb
olduqda;
cədvəl qiymətləri cox dəqiq və stabil olduqda və eyni
zamanda verilənlərin sayı az olduqda.
Təqribi interpolyasiya adətən approksimasiya (yaxınlaşma)
adlanır. Bu üsul f(x) funksiyasını xarakterizə edən təcrübi
verilənlərin sayı çox böyük olduqda və onlar təsadüfi mahiyyət
daşıdıqda tətbiq olunur. Təbii ki, yüzlərlə küylənmiş düyün
nöqtələrindən (korrelyasiya sahəsi) keçən φ(x) fuksiyasının
qurulması ağlasığmaz məsələdir.
İstənilən növ interpolyasiyanın kompyüter texnologiyası
aşağıdakı əsas üç etapdan ibarətdir:
Interpolyasiyaedici φ(x) funksiyasının tipinin seçilməsi;
Seçilmiş funksiyanın parametrlərinin (əmsallarının) təyini;
Alınmış modelin adekvatlığının (dəqiqliyinin )yoxlanılması.
Xətanı aşağidakı ifadələrin köməyi ili qiymətləndirmək olar:
;1
)]()([(1
2
N
xxyN
i
ii
%.100
)(1
2
N
i
ixy
(4.1)
orta kvadratik meyiletmə; δ- nisbi xəta;N-təcrübi verilənlərin
həcmi (sayı).
Bu fəsildə yalnız birölçülü interpolyasiya məsələsinə baxılır.
Lakin Matlab çoxölçülü interpolyasiya məsələlərini də həll etməyə
imkan verir.
86
4.2. Düyün nöqtələrində dəqiq olan interpolyasiya
4.2.1.Nöqtəvi interpolyasiya
Bu halda interpolyasiya məsələsi təcrübə nəticəsində əldə oluna
bilməyən (yəni cədvəldə olmayan) nöqtələrdə y funksiyasının
qiymətinin hesablanmasından ibarıtdir.
Мцхтялиф физики щадисялярин, техноложи просеслярин
анализи апарыларкян təcürbələrin нятиъяляри y=f(x) адятян
ъядвял шяклиндя эюстярилир:
1x
Bu асылылыгда верилмиш дцйун нюгтяляринин сайы
мящдуддур.
Хятти интерполйасийада гоншу дцйцн нюгтяляри дцз хятт
парчалары иля бирляшдирилирляр, bizə lazım olan нюгтяляр ися
бу дцз хятлярин тянлийиня эюря мцяййян едилərək onların
üzərində yerləşir (şəkil 4.2).
Şəkil 4.2
Şəkildə °- təcrübə nəticəsində alınmış düyün nöqtələri; -tələb
olunan interpolyasiya nöqtələri.
MatLAB мцщитиндя хятти интерполйасийа interp1()
x 2x 3x 1nx nx
y1y 2y 3y
1ny ny
87
функсийасынын кюмяйи иля щяйата кечирилир. Бу
функсийанын истифадя олунма формаларындан бири
interp1(x,y,xi)
шяклиндядир, бурада:
x интерполйасийа дцйцнляри вектору;
y интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын
гиймятляри вектору;
xi истифадячи тяряфиндян верилмиш lazımı аргументлярин гиймятляри векторудур.
Мясялянин interp1() функсийасынын кюмяйи иля
мясялянин щялл едилмясиня мисаллар эюстяряк.
Мисал 4.1. Тутаг ки, )x(fy функсийасынын гиймятляри
ашаьыдакы ъядвял шяклиндя верилмишдир.
x 2.5 3.7 8.4 11.7 20 27 38 y 1.4 2.7 5.6 7.5 9.1 13.2 15.3
Аргументин х 3, 6, 10, 25, 30 гиймятляриндя функсийанын
гиймятляринин щесабланмасы тяляб олунур.
Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: >> x=[2.5 3.7 8.4 11.7 20 27 38];
>> y=[1.4 2.7 5.6 7.5 9.1 13.2 15.3];
>> xi=[3 6 10 25 30];
>> yi=interp1(x,y,xi)
Enter клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы
шякилдя аларыг: yi = 1.9417 4.1191 6.5212 12.0286
13.7727
Бу ону эюстярир ки,
9415.1)3(y ,
1191.4)6(y ,
5212.6)10(y ,
88
12.0286)25(y ,
13.7727)30(y .
Мисал 4.2. Тутаг ки, 2
xsine)x1(y x
функсийасы
верилмишдир. ixi ( 4,,1,0i ) дцйцн нюгтяляриндя бу
функсийанын гиймятляринин щесабланмасы, хятти
интерполйасийадан истифадя етмякля аргументин 0,5; 1,5; 2,5;
3,5 гиймятляриндя функсийанын гиймятляринин щесабланмасы
вя алынмыш нятиъялярин функсийанын аналитик гиймятляри
иля мцгайися едилмяси тяляб олунур.
Мясялинин щялли проседуруну ашаьыдакы кими L_Int
адлы м-файл шяклиндя формалашдыраг:
x=0:4;
y=(1+x).*exp(-x)+sin(pi*x/2);
xi=0.5:3.5;
yi=interp1(x,y,xi);
yx=(1+xi).*exp(-xi)+sin(pi*xi/2);
z=[xi; yi; yx]
L_Int м-файлына мцраъият едяк:
>> L_Int
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы
алырыг: z =
0.5000 1.5000 2.5000 3.5000
1.3679 1.0709 -0.1974 -0.3546
1.6169 1.2649 -0.4198 -0.5712
Демяли, мясялинин щяллини ашаьыдакы ъядвял шяклиндя
эюстяря билярик.
Аргументин
гиймятляри
Интерполйасийа
гиймятляри
Функсийанын
аналитик
гиймятляри
89
0.5000 1.3679 1.6169
1.5000 1.0709 1.2649
2.5000 -0.1974 -0.4198
3.5000 -0.3546 -0.5712
interp1() функсийасы )x( интерполйасийа функси-
йасыны дцстур шяклиндя алмаьа имкан вермир. Бу онун нюгсан
ъящятидир.
4.2.2. Çoxhədlilərin vasitəsi ilə interpolyasiya
Bu üsul da dəqiq interpolyasiya üsullarına aid oluib bütün düyün
(yi, xi) nöqtələrindən keçən çoxhədlini almağa imkan verir.
Çoxhədlinin forması verilir əmsalları isə düyün nöqtölərində yi
ordinatlarin φ(xi)=yi bərabərliyi şərtindən alınan cəbri tənliklər
sisteminin hıllindən tapılır.Xətti interpolyasiya məsələlərində
çoxhədlinin sadə növü olan polinomdan istifadə olunur. Bu halda
interpolyasiya məsələsi polinomial interpolyasiya adlanır.
İnterpolyasiya məsələsinin qoyuluşu. Fərz edək ki, [a,b]
intervalında y=f(x) funksiyası verilmişdir. Iterployasiya məsələsi elə
φ(x) funksiyasının tapılmasından ibarətdir ki, bu funksiya [a, b]
intervalında yerləşən interpolyasiynan {x1, x2,..., xn+1} düyün
nöqtələrində məlum f(x) funksiyası ilə üst-üstə düşsün, yəni
aşağidakı bərabərlik şərtləri ödənilsin:
1,...,2,1,)( nkyx kk
Burada yk-f(x) funksiyasının xk nöqtəsindəki məlum qiymətidir.
Şəkil 4.3-də dörd düyün nöqtəli interployasiyaya aid misal
göstərilmişdir.
90
Şəkil 4.3 Şəkildən göründüyü kimi, düyün nöqtələri [a, b] intervalında
bərabər paylanmaya da bilər. Bundan başqa y=f(x) asılılığı analitik,
məsələn, y=sin(x) şəklində və ya cədvəl şəklində verilə bilər.
Sadə olduğu üçun burada xətti interpolyasiya məsələsinə baxaq.
Bu halda
)()(1
1
xpax k
n
k
k
şəklində qəbul olunur.
Burada pk(x)-verimiş məlun funksiya, ak- axtarılan nəməlum
əmsallardır.
Nəməlum ak əmsalları düyün nöqtələrində ilkin yk və
interployasiyaedici funksiyaların bərabərliyi şərtindən tapıla bilər:
.1,...,2,1,)(1
1
njyxpa jjk
n
k
k
Bu cəbri tənliklər sistemini açıq şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq
olar:
.)(...)()(
...........................................................................
,)(...)()(
,)(...)()(
1111122111
2211222211
1111122111
nnnnnn
nn
nn
yxpaxpaxpa
yxpaxpaxpa
yxpaxpaxpa
91
ak əmsallarının sayının düyün nöqtələrinin sayına bərabər olması
sistemin matrisinin kvadratik matris ((n+1)×(n+1) ölçülü) olmasını
təmin edir.Birqiymətli həllin mövcud olması üçün bu matriin
determinantı sıfırdan fərqli olmalıdır (yəni cırlaşmayam olmalıdır):
.0
)()...()(
.............................................
)()...()(
)()...()(
111211
212221
111211
nnnn
n
n
xpxpxp
xpxpxp
xpxpxp
Əksər hallarda pk(x) funksiyalar sistemi kimi polinomlardan
istifadə edirlər. Məsələn,
.)(,...,)(,)(,1)( 12
321n
n xxpxxpxxpxp
Bu halda interpolyasiya polinomial interpolyasiya adlanır və
sistemin matrisi
).(
...
..............................
...
...
1
1
11
10
1
212
02
111
01
j
n
jij
i
nnnn
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
Bu Vandermond determinantıdır və onun sıfra bərabər olmaması
üçün xi≠xj çərti ödənilməlidir.Başqa sözlə, düyün nöqtələrinin
absisləri müxtəlif olmalıdır.
Bu zaman həllin mövcudluğu və yeganəliyi təmin olunur.
Polinomun tərtibi düyün nöqtələrin sayından bir vahid kiçikdir.
Burada düyün nöqtələrinin sayı n+1 olduğundan polinomun tərtibi n-
dir. Belə ki, iki nöqtədən düz xətt 12)( axax , üç nöqtədən isə
yeganə 122
3)( axaxax parabolası keçir.
İlk baxışdan belə qənaətə gəlmək olar ki,
92
....
............................................
...
...
1111
120
11
221122
021
111112
011
nnnnnn
nn
nn
yxaxaxa
yxaxaxa
yxaxaxa
cəbri tənliklər sistemini həll edib ak əmsallarını dəqiq tapmaq olar.
Lakin təcrübi düyün nöqtələrinin sayı artdıqca sistemin matrisinin
şərtləşmə ədədi (bax, §6.7.8) artır ki, bu da böyük xətaya gətirə bilər.
Bu xüsusiyyət aşağıdakı qrafikdən aydın görünür.
Klassik ədəbiyyatda əsasən Laqranj və Nyutonun interpolyasiya
polinomlarına geniş yer verilir.
Laqranjin interpolyasiya polinomu (fransız riyaziyatçısı və
mexaniki, 1793). Laqranjın təklif etdiyi interpolyasiya polinomu
n tərtibli çoxhədlidən ibarətdir:
1,...,1,0),()()(1
1
nkxpyxLx k
n
k
kn
Əgər pk funkiyaları
jk
jkxp jk
,0
,,1)( (4.2)
93
şərtini ödəyərsə bizə lazım olan interpolyasiya polinomunu almış
olarıq. Çünki bu polinomun tərtibi n-dən böyük olmayıb düyün
nöqtələrində 1,...,2,1,)( nkyxL kkn bərabərlik şərtini ödəyir.
(4.2) şərtini ödəyən pk(x) fuksiyasını qupmaq cətin deyil:
.))()...()()...()((
))()...()()...()(()(
11121
11121
nknkkkkkkk
nnkk
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxkp
Və ya
.)(1
1,...,2,1
n
kjnj jk
jk
xx
xxxp
Laqranjın interpolyasiya polinomunu daha kompakt şəkildə
aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.)(1
1 1,...,2,1
n
kkj
nj jk
jkn
xx
xxyxL
Konkret olaraq:
)3.4(.))...()((
))...()((...
...))...()((
))...()((
))...()((
))...()(()(
12111
211
123212
1212
113121
1211
nnnn
nn
n
n
n
nn
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxyxL
Misal 4.3. Fərz edək ki, iki düyün nüqtəsi vertmişdid: (0;1),
(2;5). Bu halda n=1. (4.3) ifadəsinə əsasən
.12)02(
)2)(0(5
)20(
)0(1)(1
x
xxxxL
Alınmış düz xətt hər iki düyün nöqtəsindən dəqiq keçir.
Misal 4.4.Funksiya y = x3.Cədvəl şəklində:
i 0 1 2
xi 1 2 3
94
yi 1 8 27.
İkinci tərtib interpolyasiya polinomu quraq L2(x):
L0(x) =(x − x1)(x − x2)/(x0 − x1)(x0 − x2)=1/2(x2 − 5x + 6);
L1(x) =(x − x0)(x − x2)/(x1 − x0)(x1 − x2) = −(x2 − 4x + 3);
L2(x) =(x − x0)(x − x1)/ (x2 − x0)(x2 − x1)=1/2(x2 − 3x + 2);
Onda
L2(x) = 1*1/2(x2 − 5x + 6) – 8*(x
2− 4x + 3) + 27*1/2(x
2 − 3x +
2) = 6x2
–
-11x + 6. L2 - nin qiymətlərini bir-neçə nəzarət nöqtəsində yoxlayaq:
x 1.9 2.3 2.8 L2(x) 6.76 12.44 22.24
x3
6.859 12.167 21.952
Məticə o qədər də qənaətbaxış deyil. İlkin verilənlərə (0;0)
nöqtəsini əlavə edib üçüncü tərtib L3 polinomunu qursaq dəqiq nılicə
ala bilərik:
L0(x) = −1/6(x−1)(x−2)(x−3); L1(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3);
L2(x) = −1/2x(x − 1)(x − 3); L3(x) = 1/6x(x − 1)(x − 2):
L3(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3) − 4x(x − 1)(x − 3) +9/2x(x − 1)(x −
2) = x3.
Göründüyü kimi, L3=x
3 ilkin funksiyaya bərabər alınır.
Şəkil 4.4,a-da Laqranj çoxhədlisinin Matlabda hesablama
proqramı və nəticə göstərilmişdir. Proqram hesablama baxımından
daha sadə olan şəkildə yazilmış aşağıdakı ifadə üçün tərtib
edilmişdir:
95
.)(1
1 1,...,2,1
n
kkj
nj jk
jkn
xx
xxyxL
Əvvəlcə
.)(
1,...,2,1
kjnj
jk
kk
xx
yz
hesablanır. Sonra coxhədli )()()( xsxwxLn şəklində yazılır.Burada
.)(),()(1
1
1
1
n
k k
kn
k
kxx
zxsxxxw
97
Şəkil 4.4
Başqa misala baxaq. Bu halda düyün nöqtələri təcrübi
verilənlərdən ibarətdir. Matlab proqramının əvvəli aşağıda
göstərilmişdir.
......................
Şəkil 4.5
Qeyd edək ki, Laqranj polinomundan ilkin (4.3) şəklində deyil,
standart n
nn axaxaxL ...)( 21
10 formada istifadə olunması
daha əlverişlidir. Lakin bu halda ai əmsalları məlum olmalədır.
4.3. Ən kiçik kbadratlar üsulu. Approksimasiyaedici funksiyanın (modelin) tapılması
Верилянлярин емалынын ян эениш йайылмыш мясяляси
експериментлярин нятиъяляринин )x( функсийасы иля analitik
тясвир едилмясидир, yəni riyazi modelin qurulmasıdır. Mясяля x
вя y векторлары иля верилмиш експериментал верилянлярdən
istifadə edərək ян кичик квадратlar üsulu ilə strukturu verilmiş
L(x)
x
98
φ(a,x) (апроксимасийа функсийасынын) a параметрлярини тяйин
етмякдян ибарятдыр. Ümumi halda Taaa ,...),( 21
bektordur.Alınmış ifadə reqressiya tənliyi adlanır.
Əн кичик квадратlar üsulundan istifadə etmək üçün müəyyən
ehtimal-statistik əlamətlər (şərtlər) ödənilməlidir. Bunlardan əsasları:
x1, x2,.... girişləri arasında əlaqə (korrelyasiya əlaqəsi)
olmamalıdır;
girişlər x çıxışa y nisbətən dıqiq ölçülməlidir;
çıxıçin təsadüfi hissəsi xətti (cəm şəklində) olmalı və normal
paylanma qanununa tabe olmalıdır və s.
Ən кичик квадратlar üsulu optimallaşdırma məsələsi olub
aşağıdakı kriteriyaya malikdir:
.min)],...,,([)(1
2221
1a
N
i
ii
N
i
i xaayaQ
Burada yi, xi – təcrübi nöqtələrin məlum qiymətləridir.
Axtarılan a1, a2,... parametrləri otimallığın zəruri şərti əsasında
alınmış aşağıdakı xətti cəbri tənliklər sisteminin həllindən tapılır:
,...0,021
a
Q
a
Q (4.4 11.2)
Ян садя регрессийа нювц хятти регрессийадыр. Хятти
регрессийада )x( апроксимасийа функсийасы 10)( axax
шяклиндя ахтарылыр. Bu halda (4.4) sistemi:
.
,
21403
11201
BaAaA
BaAaA
(4.5)
Burada .,,
;,,
243
122
1
ii
iiii
yBNAxA
xyBxAxA (4.6)
(4.5) sistemini matris formada yazaq:
.BAa
99
.),(,, 102
1
43
21 TaaaB
BB
AA
AAA
Həll
.1
1
0BA
a
a
(4.7)
Мисал 4.5. Тутаг ки, )x(fy функсийасынын гиймятляри
ашаьыдакы ъядвял шяклиндя верилмишдир.
x 0 1 2 3 y 3.5 2.2 0.1 -2.3
Aпроксимасийа функсийасы xətti 10)( axax шяклиндя
ахтарaq. Bu halda (4.6)-ə əsasən A1=14, A2=6, A3=6, A4=4.B1=-4.5,
B2=3.5.
(4.7)-ə əsasən həll
.5.3
95.1
5.3
5.4
46
6141
1
0
a
a
Beləliklə a0=-1.95, a1=3.8.
Şəkil 4.6-da alınmış )x( =-1.95x+3.8 funksiyasının qrafiki və
təcrübi nöqtələr (düuün nöqtələri) göstərilmiçdir.
100
Şəkil 4.6
Korrelyasiya əmsalı. Xətti aproksimasıyanın “gücünü”
xarakterizə edən göstərici xətti korrelyasiya əmsalıdır: .11 xyr
Bərabərlik 1xyr halına funksional aslılıq uyğun gəlir.Bu halda
bütün təcrübi düyün nöqtələri 10)( axax düz xəttinin üzərində
yerləşir.
Xətti korrelyasiya əmsalı yalnız təcrübi xi və yi qiymətləri
əsasında hesablanır:
.)1(
)()(1
yx
N
i
ii
xyN
yyxx
r
(4.8)
Burada təcürbi verilənlərin orta qiyməti və orta kvadratik
meyiletmələr:
.1
,1
ii yN
yxN
x
.)(1
1,)(
1
1 22
yyN
xxN
iyix
Xətti funksional asılılıq üçün .)( 10 axayx iii Bu ifadəni
(4.8)-də yerinə yazsaq a0-ın işarəsindən asılı olaraq alarıq .1xyr
Полиномиал approksimasiya. Полиномиал регрессийа о
щалда истифадя олунур ки, ъядвял шяклиндя верилмиш yi вя xi-
ляр арасында полиномиал (n-дяряъяли чохщядли) асылылыьын
олмасы эюзлянилир.
Məqsəd
nnn axaxax ...)( 1
10
polinomunun naaa ,...,, 10 əmsallarının (4.4) tənliklər sisteminin
həlli əsasında tapmaqdır. MatLAB мцщитиндя ən kiçik kvadratlar üsulu ilə
полиномial апроксимасийа polyfit() функсийасынын
101
кюмяйи иля щяйата кечирилир. Бу функсийа
polyfit(x,y,n) шяклиндядир.
Bурада:
x интерполйасийа дцйцнляри вектору;
y интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын
гиймятляри вектору;
n полиномун дяряъясидир.
polyfit() функсийасынын реализасийасынын нятиъяси
полиномун (n+1) юлчцлц ямсаллар векторудур. Беля ки, бу
векторун 1-ъи елементи полиномун a0 ямсалынын, 2-ъи
елементи a1 ямсалынын вя нящайят, ахырынъы, йяни (n+1)-
ъи елементи am ямсалынын гиймятини верир.
Гейд едяк ки, y=f(x) функсийасы аналитик шякилдя дя
вериля биляр.
polyfit() функсийасынын кюмяйи иля
интерполйасийайа мисал эюстяряк.
Мисал 4.6. Təcrübənin nəticəsi ашаьыдакы
ъядвялdə верилмишдир.
x 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
y 6.36 6.85 7.34 7.84 8.08 8.32 8.57 8.70 8.82 8.94
Qanunauygunlugu 212
0)( axaxax квадрат чохщядлиси
иля апроксимасыйа етмяк тяляб олунур.
Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: >> x=[30 40 50 60 70 80 90 100 110 120];
>> y=[6.36 6.85 7.34 7.84 8.08 8.32 8.57 8.70
8.82 8.94] ;
>> p=polyfit(x,y,2)
Enter клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы
шякилдя аларыг: p = -0.0003 0.0719 4.4747
Tapılmış функсийа
.4747.40719.00003.0)( 2 xxx
102
Nəticəni təcrübi yi qiymətləri ilə мцгайися етмяк цчцн )x(
функсийасыныn qiymətlərini xi qiymətlərində hesablayaq.
MatLABda аргументин верилмиш гиймятляриндя
funksiyanın uyğun qiymətlərini hesablamaq цчцн polyval()
функсийасы мювъуддур. Бу функсийа
polyval(p,x)шяклиндядир.
Bурада:
p щесабланан функсийа;
x функсийанын аргументляри векторудур.
Апроксимасийанын нятиъяляринин доьрулуьуну йохламаг
цчцн бу функсийадан истифадя едяк.
Fi=polyval(p,x) функсийасыны дахил едяк вя
Enter клавишини басаг. Ъаваб:
Fi = 6.3695 6.8840 7.3400 7.7373 8.0761
8.3564 8.5780 8.7412 8.8457 8.8917
Bu qiymətləri təcrübi yi qiymətləri ilə мцгайися етмякля ямин
олуруг ки, аргументин бцтцн дяйишмя диапазонунда )x(
квадрат интерполйасийа чохщядлисинин гиймятляри илкин
верилянлярдян аз фярглянир. Şəkil 4.7-də bu məsələnin Matlada həlli göstərilmişdir.
104
Şəkil 4.7
Xətti korrelyasiya əmsalı corrcoef(x,y) funksiyasının köməyi ilə
(5.8) əsasında hesablanıb. Kxy=0.9656 vahidə yaxın olması təcrübi
verilənlərin xətti φ(x)=a0x+a1 aproksimasiyası da kifayyət qədər
önəmli olardı.
Мисал 4.6. Təcrübi qiymətlər (statistika) ашаьыдакы ъяд-
вялdə верилмишдир.
x 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2
y 3.5 4.8 2.1 0.2 0.9 2.3 3.7
Верилмиш функсийаны дюрдцнъц, бешинъи вя алтынъы
дяряъяли чохщядлилярля апроксимасыйа етмяк вя
апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляри гурмаг
тяляб олунур.
Яввялъя апроксимасыйа чохщядлилярини гураг.
Интерполйасийа проседуруну ашаьыдакы кими L_Inter
адлы м-файл шяклиндя формалашдыраг:
x = [0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2];
y = [-3.5 -4.8 -2.1 0.2 0.9 2.3 3.7];
p4 = polyfit(x, y, 4)
p5 = polyfit(x, y, 5)
p6 = polyfit(x, y, 6)
Matlabın əmirlər pəncərəsindən L_Inter м-файлына
мцраъият едяк:
105
>> L_Inter
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы
алырыг:
p4 = 104.8749 -277.6552 238.1503 -64.7626
0.8035 p5 = -149.6034 537.0567 -721.1354 435.6721 -
101.5961 2.9904 p6 = 1.0e+003 * -2.3571 7.6621 -9.2819
5.2026 -1.3390 0.1415 -0.0086
Aпроксимасыйа polinomları:
.8035.0762.641503.2386552.2778749.1044 234 xxxxp
.9904.25961.101
6721.4351354.7210567.5376034.1495 2345
x
xxxxp
.6.85.141
0.13396.52029.92811.76621.23576 23456
x
xxxxxp
İndi isə müqayisə üçün təcrübi verilənləri (düyün nöqtələrini) və апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляри гурaq. Misal 4.7.
106
Enter клавишини басдыгдан сонра апроксимасыйанын
характерини якс етдирян графикляри алырыг (шякил 4.8):
Шякил 4.8. Апроксимасыйанын характерини якс етдирян
графикляр
Göründüyü kimi, p6 polinomunun tərtibinin n=6 olmasına
baxmayaraq axırıncı iki düyün nöqtəri arasında böyük
107
approksimasiya xətası alınır.Bu xüsusiyyət ən kiçik kvadratlar
üsulunun çatışmayan cəhətidir.
4.4. Aproksimasiya xətasının hesablanması İnerpolyasiya və ya approksimasiya xətası (4.1) ifadəsinin
əsasında hesablanır.
Aşağıda xətanın hesablanmasına aid nümunə verilmişdir.
Misal 4.8.
108
4.5. Splaynlarla interpolyasiya Splayn iningilis cözü (spline) olub rəsimxətdə müxtəlif nöqtələri
hamar birləşdirmək üçün istifadə olunan cevik lekal, dəmir xətkeş
parçası deməkdir.Yəni interpolyasiyanı qrafiki yolla yerinə yetirir
[14].
Burada bütün təcrübi düyün nöqtölərindən dəqiq kecən φ(x)
funsiyası tapılır. Lakin interpolyasiyaedici polinomun tertibini
azaltmaq məqsədi ilə φ(x) düyün nöqtələrini iki-iki birləşdirən
parçalardan ibarət olur.Bu parçalar müxtəlif tipli və ya əmsalları
fərqlənən eyni tipli (məsələn, polinom) şəkilində verilə bilərlər.Bu
halda φ(x) parçada (hisə-hissə) kəsilməz funksiyalar sinfində
axtarılır:
nnn xxxx
xxxx
xxxx
x
11
322
211
),(
,),(
,),(
)(
Şəkil 4.9-da splaynlarla interpolyasiyanın xarakteri
göstərilmişdir.
Şəkil 4.9
Biz polinomial splaynlarla interpolyasiya məsələsinə baxacayıq:
109
n=3-kub splayn, ;)( 23 dcxbxaxx
n=2- düyün nöqtələri parabolalar ilə birləçdirilirlər,
;)( 2 cbxaxx
n=1- düyün nöqtələri düz xəttlərlə (parçalarla) birləçdirilirlər,
;)( baxx
n=0-düyün nöqtələri pilləvari funksiyalar ilə birləçdirilirlər, ;)( ax
n=3 halında hər- bir [xi-1, xi] parçasında dörd sayda a, b, c və
d əmsallarını tapmaq üçün dörd sayda da şərt lazinmır:
).(23)(
);(23)(
);()(
);()(
2
112
11
11
iiii
iiii
ii
ii
xycbxaxx
xycbxaxx
xyx
xyx
Burada düyün nöqtələrində ordinatların və birinci tərtib
törəmələrin bərabərliyi şərtindən isytifadə olunur. Statistik
verilənlərin düyün noqtələrində törömölörin qiyməti məlun
olmadığından onları sol-fərq sxemi əsasənda hesablamaq olar:
.)(1
1
ii
iii
xx
yyxy
İkinci tərtib )( ixy törəməni hesablamaq üçün üç sayda
21,, iii yyy düyüm nöqtəsi tələb olunur.
Aşağıdakı interpolyasiya funksiyalarundan geniş istifadə olunur:
''nearest pilləvari interpolyasiya;
''linear xətti interpolyasiya;
''spline kubik polinomla interpolyasiya;
Aşağida hər üç halı əks etdirən Matlab proqramı və nəticə
göstırilmişdir.
111
Şəkil 4.10
Misal 4.9.
Şəkil 4.11
Əmsalların təyin olunması. Kubik splaynın hər intervalda
əmsallarının hesablanmasına aid misala baxaq.
Misal 4.9.
112
Şəkil 11.7
Kubik dcxbxaxx 23)( polinomunun 4 əmsalı və 5
interval olduğundan əmsallar matrisinin ölçüsü 5×4.
Matlabda təkcə birölçülü deyil, eyni zamanda ikiölçülü və
çoxölçülü təcrübi verilənləri də emal etmək mümkündür.
Tapşırıq - 4.1
1.1. Ъядвял 4.1-дя верилмиш тапшырыг вариантларына
уйьун )x(y функсийасы цчцн ixi ( 4,,1,0i ) дцйцн
нюгтяляриндя бу функсийанын гиймятлярини MatLAB
мцщитиндя щесабламалы. Хятти интерполйасийа функси-
йасынын кюмяйи иля щяр бир локал интерполйасийа
113
интервалынын ортасында (йяни аргументин 0,5; 1,5; 2,5; 3,5
гиймятляриндя) функсийанын гиймятлярини щесабламалы.
Алынмыш нятиъяляри дягиг гиймятлярля мцгайися етмяли.
1.2. Хятти интерполйасийадан вя )x(L Лагранж интерпол-
йасийа чохщядлисиндян истифадя етмякля щяр бир локал
интерполйасийа интервалынын ортасында функсийанын
гиймятлярини щесабламалы. Алынмыш нятиъяляри дягиг
гиймятлярля мцгайися етмяли. Бир график цзяриндя )x(yy вя
)x(Ly функсийаларынын графиклярини гурмалы.
Ъядвял 4.1
№ )(xy № )(xy
1 xcos)x( 2 16 xsinx 21
2 xcosx1 17 312 x)xsin(
3 4
5322
42 x)xlg(x
18
4232
31 x
)xln(x
4 xxcos 2 19 )xxcos(x 2
5 212 x)xcos( 20 xsinx 2
6 5
1332
53 x)xlg(x
21
3122
31 x
)xlg(x
7 )xxsin(x 22 22 xsinxe x 23
8 )еxcos(x x23 23 xsinx 32
9 333 xxsin 24 43 xxcos
10 xsine x 2 25 223 xxcos
11 )xcosx(e x 2 26 xe)x( 1
12 xsin)x( 2 27 )xx(sinx 2
13 )xx(sinx 52 28 )xx(cosx 2
14 xsinx 23 29 xe)x( 23
15 xcos)x( 1 30 )xx(cosx 32
114
Çalışmalar-4. 2
Ъядвял 4.2-дя верилмиш тапшырыг вариантларына уйьун
експериментал верилянляр ясасында MatLAB мцщитиндя
xaa)х( 10 хятти асылылыьыны гурмалы. Гурулмуш хятти
асылылыгдан истифадя етмякля щяр бир локал интерполйасийа
интервалынын ортасында функсийанын гиймятлярини щесабла-
малы.
Ъядвял 4.2
№1 №2 №3 №4
x y x y x y x y
1 0,686 2 2,312 3 4,615 4 8,472
1,1 0,742 2,1 2,251 3,1 4,591 4,1 8,805
1,2 0,767 2,2 2,418 3,2 5,13 4,2 9,096
1,3 0,646 2,3 2,752 3,3 5,481 4,3 8,993
1,4 0,807 2,4 2,459 3,4 5,492 4,4 9,312
1,5 0,774 2,5 2,7 3,5 5,553 4,5 9,465
1,6 0,97 2,6 3,022 3,6 5,471 4,6 9,771
1,7 0,932 2,7 3,079 3,7 5,727 4,7 9,61
1,8 0,936 2,8 2,42 3,8 5,798 4,8 9,722
1,9 0,978 2,9 2,669 3,9 6,11 4,9 11,42
2 1,048 3 3,241 4 6,605 5 10,28
№5 №6 №7 №8
x y x y x y x y
9 5 0 -1 1,1 0,5 0,2 1,2
11 7,5 1 1,1 2,2 1,21 0,4 1,5
13 8,8 2 3,1 3,3 2,4 0,5 1,8
15 9,7 3 5,2 4,4 3,88 0,7 2,7
19 12,4 4 6,9 5,5 4,15 0,9 3,4
21 14,3 5 9,05 6,6 5,55 1,2 4,3
23 15,3 6 10,98 7,7 7,58 2,3 5,8
25 17,45 8 11,52 8,8 9,34 2,9 7,45
27 17,34 9 14,34 9,9 10,95 3,7 8,34
29 18,5 10 15,5 4,4 10,5
115
№9 №10 №11 №12 №13
x y x y x y х y х y
11 115 1 5,2 0,5 1,9 0 4 1,2 1,2
12 121 3 5,4 0,9 1,95 11 6 1,6 1,5
13 132 5 5,7 1,3 2,3 23 12 2,5 1,8
14 134 7 5,9 1,7 2,47 35 20 2,7 2,7
15 145 9 6,3 2,1 2,54 47 30 3,1 3,4
16 155 11 6,95 2,4 2,63 59 34 3,5 4,3
17 164 13 7,18 2,7 2,78 71 50 4,3 5,8
18 172 15 7,52 3,1 2,65 83 53 4,9 7,45
19 183 17 7,74 3,5 2,44 95 12 5,5 8,34
19 8,25 3,9 2,35 107 3 6,4 10,5
Çalışmalar - 4.3
3.1. Ъядвял 4.3-дя верилмиш тапшырыг вариантларына
уйьун експериментал верилянляр ясасында MatLAB мцщитиндя
mm
1m1m
2210m xaxaxaxaa)x(P
, 4,3,2,1m
апроксимасийа чохщядлилярини тапмалы вя апроксимасыйанын
характерини якс етдирян графикляри гурмалы.
Ъядвял 4.3
№1 №2 №3 №4 №5 №6
х y x y x y x y x y x y
0 1 5 99,1 0 0,5 1 41,1 0 -3 3,7 14
1 1 10 50,6 2 50,0 3 78,2 3 0 5,1 16
2 1 15 23,5 4 118,5 5 129,6 4 2 6 12
3 2 20 20,1 6 163,9 7 184,0 5 10 7,2 12
116
4 2 25 45,7 8 195,0 9 220,0 7 9 8 10
5 3 30 51,1 10 235,0 11 260,0 8 14 8,3 9
6 4 35 76,0 12 267,3 13 274,0 11 21 8,9 7
7 5 40 110,1 14 284,0 15 283,2 14 25 9,4 8,9
8 7 45 156,1 16 297,0 17 307,5 17 31 9,6 5,1
9 9 50 176,2 18 311,0 19 315,3
10 20 20 320,5 21 320,7
11 22 23 330,6
12 30 25 335,3
№7 №8 №9 №10 №11 №12
х y х y x y x y x y x y
1,3 120 100 315 0,5 14,5 0 -3 1 12,5 0 1
1,5 115 111 299 0,7 10,1 3 0 2 10 -1 0,5
2 100 120 250 1 9,6 4 2 3 13,6 -2 0,3
3,4 99 124 266 1,1 5,5 5 10 4 17,4 -3 -0,2
6,1 81 128 270 1,5 3,6 7 9 5 21,5 -4 0,1
7 72 131 111 1,8 0,5 8 14 6 20,5 -5 0,6
9,3 64 156 91 1,9 -0,3 11 21 7 29,3 -6 0,3
10,2 55 163 100 2,2 -7,6 14 25 8 27,6 -7 -0,2
11 48 170 78 2,3 -8,0 17 31 -8 0 Matlabda təsadüfi proseslər Statistics Toolbox bölməsində
öyrənilir.
Ədəbiyyat
1. Məmmədov H.Ə., Rüstəmov Q.Ə., Rüstəmov R.Q. Mühəndis
riyazziyatı. Dərslik, AzTU,-2015,- 440 s.
2. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi.Matlab
Simulinkdə modelləşdirmə.. Bakı, 2012, 750 s.
3. Əlizadə A.N., Namazov M.B., Aslanov M.S. Matlab tətbiqi
proqramlar paketi və
117
simvollu riyaziyyat. Dərs vəsaiti. Bakı, 2005, 280 s.
4. Seyidov M.İ., Qardaşova L.A., Səlimov V.H. Kompüter
riyaziyyatı. Metodik vəsait, Bakı, “Təhsil” EİM, 2010, 188 s.
5. Вербицкий В.М. Основы численных методов: Учебник
для вузов. – М.: Высшая школа, 2005.
6.Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и прак-
тика. – М.: Нолидж, 2001.
7. Сейидов М.И., Сярдарлы С.М., Мяммядова К.А, Хялилов
Е.О. Excel вя Mathcad васитяси иля тянликляр вя тянликляр
системинин щялли. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр, 2007.
8. Сейидов М.И., Йусифов Р.Ф. Моделляшдирмя вя ядяди
цсуллар. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр, 2009.
9. Исмайылов Я., Ялийев М. вя башг. Щесаблама методлары
вя ЕЩМ-ин тятбиги. – Бакы, Бакы Университети няшриййаты,
1991.
10. Ширинов Т.В., Гурбанов Щ.Т., Кяримова Р.Н. Тятбиги
програмлашдырма. Mathcad-да щесаблама цсуллары. Дярс
вясаити. – Бакы, Сабащ, 2006.
13.Власьева В.А. Метод Монте-Карло.Методическое
указания л выполнению лабораторных работ. Санкт-петергбург,
2008.
14. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы
машинной графики. М.: Мир, 2001.
top related