teoría axiomática general de agregados (v)
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04/10/03 Jorge Baralt-Torrijos 1
Teoría Axiomática General de Agregados (V)
Jorge Baralt-Torrijos
Universidad Simón BolívarOctubre 2003
04/10/03 Jorge Baralt-Torrijos 2
Contenido Axioma de Reemplazo Funciones Naturales según Peano Naturales según Zermelo Agregados Bien Fundados Políadas
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Axioma de Reemplazo
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Df. EsUnvc EsUnvc(y)(x) =a z (z Intsc(y)(Dom(x))
!u (u x EsParOrd(u) z = Prm(u))) EsUnvc(y)(x) =s x es unívoco en y
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Ts. EsUnvc EsVacio(Intsc(y)(Dom(x))) EsUnvc(y)(x) EsMinimal(x) EsMinimal(y) EsUnvc(y)(x) EsUnvc(y)(x) z y EsUnvc(z)(x) EsUnvc(y)(x) z x EsUnvc(y)(z)
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Ax. de Reemplazo EsUnvc(a)(x) EsClase(Img(x)(a))
EsElemento(Img(x)(a))
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Resumen de Axiomas (I) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio
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Resumen de Axiomas (II) 9. Reemplazo
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Ts. de Reemplazo EsElemento(0Z) EsIntegrante(0Z) EsConjunto(0Z)
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El vacío es un conjunto
0Z
Integrantes
Minimales Agrupaciones
Maximales
Clases
Agregados
Individuos
Elementos
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Si todo agregado es clase
0Z
Integrantes
Minimales Agrupaciones
Maximales
Clases
Agregados
Individuos
Elementos
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El universo de NBG
0Z
Integrantes
Minimales Agrupaciones
Maximales
Clases
Agregados
Individuos
Elementos
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Funciones
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Df. ResAp ResAp(z)(y)(x) =a u (u z
EsParOrd(u) u = ParOrd(y)(x) )
ResAp(z)(y)(x) =s x es un resultado de aplicar z a y
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Ts. ResAp x ResAp(z)(y)(x) y Dom(z)
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Df. EstaDef EstaDef(y)(x) =a z ResAp(x)(y)(z)
EstaDef(y)(x) =s x está definido para y
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Ts. EstaDef EstaDef(y)(x) y Dom(x)
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Df. EstaDet EstaDet(y)(x) =a !z ResAp(x)(y)(z)
EstaDet(y)(x) =s x está determinado para y
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Ts. EstaDet EstaDet(y)(x) EstaDef(y)(x)
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Df. DomS DomS(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y EstaDet(z)(x))DomS(x) =s el dominio de singularidad de x
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Ts. DomS y (y x ¬EsParOrd(y)) DomS(x) = 0Z EsMinimal(x) DomS(x) = 0Z DomS(x) = y EsAgregado(y)
y Dom(x) DomS(Nucleo(x)) = y EsUnvc(y)(x) (EsUnvc(z)(x) Intsc(z)(Dom(x)))
y)
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Df. Ap Ap(y)(x) = z =a EstaDet(x)(y) ResAp(y)(x)(z)
Ap(y)(x) =s la aplicación de y a xy(x) =a Ap(y)(x)
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Ts. Ap Ap(y)(x) = z ResAp(y)(x)(z) DomS(y) = u x u !z Ap(y)(x) = z
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Df. EsFuncion EsFuncion(x) =a EsRelacion(x) EsUnvc(Dom(x))(x)
EsFuncion(x) =s x es una función
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Ts. EsFuncion EsFuncion(x) DomS(x) = Dom(x) DomS(x) = Dom(x) EsFuncion(Nucleo(x))
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Df. EsOperacion EsOperacion(x) =a EsFuncion(x) EsRelacion(Dom(x))
EsOperacion(x) =s x es una operación
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Naturales según Peano
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Df. EsFunSuc EsFunSuc(x) =a EsFuncion(x) Rng(x) Dom(x)
EsFuncion(Inv(x)) y (y Dif(Rng(x))(Dom(x))
z (z Dom(x) y z u (u x (Prm(u) z Sgd(u) z))
Dom(x) z ) )
EsFunSuc(x) =s x es una función de sucesión
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Ts. EsFunSuc EsFunSuc(x) y Dif(Rng(x))(Dom(x))
z (z Dif(Rng(x))(Dom(x)) z = y) EsFunSuc(x) !y (y Dif(Rng(x))(Dom(x))
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Df. Naturales de Peano 0P(x) = y =a EsFunSuc(x)
y Dif(Rng(x))(Dom(x)) 0P(x) =s el cero de Peano de x
1P(x) = y =a EsFunSuc(x) y = x(0P(x))1P(x) =s el uno de Peano de x
… ’P(x) = y =a EsFunSuc(x) y = x(P(x))
’P(x) =s el ’ de Peano de x
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Diagrama de función de sucesión
0P(x) 1P(x) 2P(x) 3P(x) 4P(x) x x x x x
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Naturales según Zermelo
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Df. SucZ SucZ(x) = y =a EsAgregado(y)
z (z y z = x)SucZ(x) =s el sucesor de x según Zermelo
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Ts. SucZ SucZ(x) = Atm(x) EsIntegrante(x) y SucZ(x) = y x SucZ(a) = x SucZ(x) = y EsIntegrante(y) EsIndivQ(x) SucZ(x) = x
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Df. EsNatZ EsNatZ(x) =a x = 0Z y (EsNatZ(y) x = SucZ(y))
EsNatZ(x) =s x es natural según Zermelo
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Ts. EsNatZ SucZ(x) = y y 0Z SucZ(x) = SucZ(y) x = y EsFuncion(x) z (z x EsNatZ(Prm(z))
Sgd(z) = SucZ(Prm(z)) ) EsFunSuc(x)
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Df. de naturales Zermelo 1Z =a SucZ(0Z)
2Z =a SucZ(1Z) 3Z =a SucZ(2Z)...’Z =a SucZ(Z)
Z
:
2Z
1Z
0Z
EsMbr
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Df. NatZ NatZ = x =a EsAgregado(x) y (y x EsNatZ(y))
NatZ =s los naturales según Zermelo
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Agregados Bien Fundados
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Df. AgrBnFnd EsAgrBnFnd(x) =a EsVacio(x)
y (y x z (z y z x)) EsAgrBnFnd(x) =s x es un agregado bien fundado
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Ts. AgrBnFund EsAgrBnFnd(x) EsAgregado(x) EsVacio(x) EsAgrBnFnd(x) ¬ EsAgrBnFnd(x) EsAgrupacion(x) EsIndividuo(x) x (EsMinimal(x) x y) EsAgrBnFnd(y) ¬ EsAgrBnFnd(x) y (y x EsAgrupacion(y))
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Df. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x) =a EsAgregado(x)
¬ EsAgrBnFnd(x) EsAgrNoBnFnd(x) =s x es un agregado no bien
fundado
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Ts. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x) EsAgrupacion(x)
y (y x z (z y z x)) x x EsAgrNoBnFnd(Atm(x)) x y y x EsAgrNoBnFnd(Par(y)(x)) Atm(x) = x x x x1 x2 x2 x3 … xn-1 xn xn x1
y (y z y = x1 y = x2 … y = xn-1 y = xn) EsAgrNoBnFnd(z)
EsIndivQ(x) EsAgrNoBnFnd(x)
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Ts. AgrBnFnd (2) EsNatZ(x) SucZ(x) x EsNatZ(x) x x EsNatZ(x) EsAgrBnFnd(x NatZ = x EsAgrBnFnd(x)
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Políadas
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Notación de naturales 0 =a 0P(x) 0Z … 1 =a 0P(x) 0Z … 2 =a 0P(x) 0Z … … n =a P(x) Z … Suc(n) =a ’P(x) ’Z …
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Df. EsPoliAdi EsPoliAdi(n)(x) =a (¬ EsParOrd(x) n = 1)
(EsParOrd(x) (k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x)) n =Suc(k)))
EsPoliAdi(n)(x) =s x es una políada de adicidad n
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Df. Pol Pol(x1) =a x1
Pol(y)(xn)…(x2)(x1) = z =a x = Pol(xn)…(x2)(x1) z = ParOrd(y)(x)
x1,x2,…,xn =a Pol(xn)…(x2)(x1)
04/10/03 Jorge Baralt-Torrijos 49
Ts. EsPoliAdi ¬ EsParOrd(x) EsPolAdi(1)(x)
EsPolAdi(2)(x,y) EsPolAdi(3)(x,y,z) …
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Políadas de adicidad n x1 =a x1
x1,x2 = x1,x2 x1,x2,x3 =a x1,x2,x3 ... x1,x2,…,xn =a x1,x2,…,xn
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