testes de hipóteses - probabilidade e estatistica
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i
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARAN
CAMPUS DE FOZ DO IGUAU
CENTRO DE ENGENHARIAS E CINCIAS EXATAS
TESTES DE HIPTESES
Carlos dos Santos
Foz do Iguau /2014
-
1
4 TESTES DE HIPTESES ________________________________________________________ 2
4.1 Testes de hiptese para populaes com distribuio normal _________________________ 2
4.2 Esquema geral de um teste _________________________________________________________ 3
4.3 Teste para a mdia populacional . __________________________________________________ 4 4.3.1 Sequncia de exerccios n 1 ______________________________________________________________ 11
4.4 Teste para a diferena entre duas mdias populacionais 1 e 2. ______________________ 14 4.4.1 Sequncia de exerccios n 2 ______________________________________________________________ 28
4.5 Teste para a varincia populacional 2______________________________________________ 30 4.5.1 Sequncia de exerccios n 3 ______________________________________________________________ 34
4.6 Teste para igualdade de duas varincias populacionais 22
21 e . ____________________ 35
4.6.1 Sequncia de exerccios n 4 ______________________________________________________________ 39
4.7 Teste para a proporo populacional p _____________________________________________ 41 4.7.1 Sequncia de exerccios n 5 ______________________________________________________________ 45
4.8 Teste para a diferena entre duas propores populacionais p1 e p2 __________________ 46 4.8.1 Sequncia de exerccios n 6 ______________________________________________________________ 50
4.9 Teste qui-quadrado pra prova de aderncia ________________________________________ 52 4.9.1 Sequncia de exerccios n 7 ______________________________________________________________ 56
4.10 Teste de Kolmogorov-Smirnov ____________________________________________________ 57 4.10.1 Sequncia de exerccios n 8 _____________________________________________________________ 62
4.11 Teste de Lilliefors para normalidade ______________________________________________ 63 4.11.1 Sequncia de exerccios n 9 _____________________________________________________________ 67
4.12 Tabelas Estatsticas______________________________________________________________ 68
-
2
4 TESTES DE HIPTESES
4.1 Testes de hiptese para populaes com distribuio normal
A inferncia estatstica tem por objetivo fazer generalizaes sobre uma populao com base em
dados de uma amostra: Devido a isso, surgem dois problemas neste processo:
(a) Estimao de parmetros;
(b) Testes de hipteses.
Os testes de hiptese so utilizados para fazer afirmaes acerca dos parmetros (mdia, varincia,
proporo) de uma populao, ou para testar diferenas entre parmetros de duas populaes.
O pressuposto para esse tipo de teste de que os dados observados devem ter distribuio normal ou
aproximadamente normal. Existem testes para fazer esta verificao, o chamado teste de normalidade, o qual
ser apresentado adiante.
A seguir sero apresentadas algumas definies importantes de elementos essenciais na construo
dos testes de hiptese:
(a) Hipteses estatsticas
So suposies que se faz acerca dos parmetros de uma ou mais populaes ao tentar a tomada de
deciso. Essas suposies podero ser verdadeiras ou no.
(b) Hipteses nula e alternativa
- Hiptese nula (H0): qualquer hiptese que est sendo testada.
- Hiptese alternativa (H1): qualquer hiptese contrria hiptese nula.
O teste de hiptese coloca a hiptese nula H0 em contraposio alternativa H1. Supondo que seja um
parmetro a ser testado. As hipteses nula e alternativa so enunciadas como:
(1) H0: 0
H1: < 0
(2) H0: 0
H1: > 0
(3) H0: = 0
H1: 0
Observe que a H0 sempre tem a condio de igualdade, enquanto que H1 nunca tem.
(c) Nvel de significncia ()
O nvel de significncia a mxima probabilidade admitida de cometer o erro tipo I, ou seja, a
probabilidade de rejeitar a hiptese nula (H0) sendo ela verdadeira.
-
3
(d) Regies de aceitao e de rejeio
- Regio de aceitao (R.A.): uma rea entre a curva e o eixo das abscissas, na qual no se rejeita a
hiptese nula (H0).
- Regio de rejeio (R.R.) ou regio crtica (R.C.): a regio entre a curva e o eixo das abscissas onde
se rejeita a hiptese nula (H0), sendo complementar regio de aceitao.
a) H1: < 0 b) H1: > 0 C) H1: 0
(a) (b) (c)
Figura 4.1 Regio de rejeio (R.R.) e Regio de Aceitao (R.A) de um teste de hiptese.
Observa-se, tambm, que a localizao da regio de rejeio (rea sombreada), depende do sinal de
H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica
direita e para o sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados.
(e) Teste unilateral e bilateral
- Teste unilateral: quando a regio de regio (R. R.) estiver sobre uma das laterais sobre o eixo das
abscissas, como mostram os grficos a e b da figura 4.1, tem-se um teste unilateral.
- Teste bilateral: Quando a regio de rejeio (R.R.) estiver sobre as duas laterais sobre o eixo das
abscissas, como mostra o grfico c da figura 4.1, tem-se um teste bilateral.
4.2 Esquema geral de um teste
Na aplicao de um teste de hiptese devem ser seguidos os seguintes passos:
(1) Enunciar a hiptese nula (H0);
(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1);
(3) Fixar o nvel de significncia ;
(4) Determinar a R.R. da hiptese nula (H0) a partir da distribuio de probabilidade adequada ao teste;
(5) Calcular o valor da estatstica do teste, a partir da distribuio de probabilidade adequada ao teste;
-
4
(6) Concluso: com base no valor amostral obtido, tomar a deciso de rejeitar H0, se o valor da estatstica do
teste cair na R.R, ou no rejeitar H0 se o valor cair na R.A.
4.3 Teste para a mdia populacional .
(1): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.
0
0
0
0
)c
)b
)a
:H
em que a mdia populacional e 0 o valor da mdia que est sendo testado.
(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica
0
0
0
)c
)b
)a
:1H
De (1) e de (2), nota-se que H0 sempre apresenta o sinal de igualdade, enquanto que H1 sempre
apresenta o sinal de desigualdade. Portanto, nesta fase, o leitor dever ler com ateno o enunciado do
problema e verificar se a afirmao ou pergunta original contm a igualdade ou no. Quando corre a igualdade,
esta afirmao refere-se hiptese nula (H0), caso contrrio ser a alternativa (H1).
Exemplos:
(I) Os consumidores esto se sentindo prejudicados em determinado posto, pois quando o marcador da bomba
indica 1L, a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a 1L.
Soluo:
Percebe-se que a afirmao a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a
(menor do que) 1L, no contm o sinal de igualdade, portanto esta a hiptese alternativa (H1), enquanto que
a hiptese nula (H0) ser contrria, isto , a quantidade mdia de combustvel fornecida no inferior a 1L (
maior ou igual a 1L). Assim, os enunciados de H0 e de H1 ficam:
H0: 1L (a quantidade mdia de combustvel fornecida no inferior a 1L).
H1: < 1L (a quantidade mdia de combustvel fornecida realmente inferior a 1L).
-
5
(II) A fim de atrair novos negcios, uma empresa afirma que a renda mdia anual de sua regio de no
mximo de R$2.500,00.
Nota-se que a afirmao a renda mdia anual de sua regio no mximo de R$2500,00 (menor ou
igual a de R$2500,00), possui a condio de igualdade, portanto esta a hiptese nula (H0), enquanto que a
hiptese alternativa (H1) ser a de que a renda mdia anual de sua regio superior a R$2500,00. Assim, o
enunciado simblico das hipteses fica:
H0: 2500 reais (a renda mdia anual da regio de no mximo de R$2.500,00)
H1: > 2500 reais (a renda mdia anual da regio superior a R$2.500,00)
(III) Um fabricante afirma que o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000 horas.
Observa-se que a afirmao de que o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000 horas (
igual a 16000 horas), possui a condio de igualdade, ento, esta a hiptese nula (H0). Logo, a hiptese
alternativa (H1) ser a de que o tempo mdio de vida dos amortecedores diferente de 16000 horas. Assim,
os enunciados de H0 e de H1 ficam:
H0: = 16000 h(o tempo mdio de vida de amortecedores de 16000horas).
H1: 16000 (o tempo mdio de vida dos amortecedores diferente de 16000 horas).
(3) Fixar o nvel de significncia . Geralmente so utilizados: = 0,01, = 0,02, = 0,1.
(4) Determinar a regio de rejeio (R.R) de H0.
Tem-se que considerar dois casos para determinar a regio de rejeio para a mdia .
1o caso: Quando o desvio padro populacional for conhecido
Nesse caso utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da
regio de rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.2) e para o
sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.2).
-
6
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.2. Regio de rejeio sob a distribuio normal reduzida.
Os valores de -z e z so achados para o nvel de significncia , e -z/2 e z/2 para /2 , na
tabela 2.2 da distribuio normal reduzida.
2o caso: Quando o desvio padro populacional for desconhecido
Nesse caso utiliza-se a distribuio de t de student com = n 1 graus de liberdade, para determinar a
regio de rejeio. Semelhantemente ao 1 caso, a localizao da regio de rejeio, tambm depende do
sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.3) e para o sinal , a regio de rejeio fica
dos dois lados (grfico c da figura 4.3).
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.3. Regio de rejeio sob a distribuio t de student.
Os valores de -t, t so achados na tabela 2.3 da distribuio t de Student para = n 1 graus de
liberdade e nvel de significncia . No entanto, para achar o valor de -t/2 e t/2 utiliza-se = n 1 graus de
liberdade e /2.
(5) Calculo da estatstica do teste
1o caso: Quando o desvio padro populacional for conhecido, ou quando for desconhecido e ocorrer n >
30, a estatstica do teste ser dada pela seguinte expresso:
n
xz 0
, (1)
-
7
Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1, em que: x a mdia
amostral, 0 o valor da mdia populacional que est sendo testado, o desvio padro populacional e n o
tamanho da amostra.
2o caso: Quando o desvio padro populacional for desconhecido e ocorrer n 30, a estatstica do teste ser
dada pela seguinte expresso:
n
s
xt 0
, (2)
Essa estatstica segue a distribuio t de Student com = n 1 graus de liberdade, em que: x a mdia
amostral, 0 o valor da mdia populacional que est sendo testado, s o desvio padro amostral e n o
tamanho da amostra.
(6) Concluso:
Se for utilizada a distribuio normal, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (Z)
com o valor crtico -Z ou com Z (num teste unilateral) ou com -Z/2 e Z/2 (num teste bilateral). Olhando
para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste
cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste
caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser rejeitada.
Se for utilizada a distribuio t de Student, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do
teste (t) com o valor crtico -t ou com T (num teste unilateral) ou com -t/2 e t/2 (num teste bilateral).
Olhando para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica
do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do
teste caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser
rejeitada.
Exemplos
( 1 ) O desvio padro de especificao tcnica de parafusos de determinada marca 5 mm. Se uma amostra
de 50 parafusos tem mdia igual a 46 mm, podemos afirmar que o comprimento mdio dos parafusos
dessa marca superior a 43 mm, ao nvel de significncia de 5%?
-
8
a) Enunciar a Hiptese H0
H0: 43 mm (o comprimento mdio dos parafusos dessa marca inferior ou igual a 43 mm).
b) Enunciar a Hiptese H1
H1: > 43 mm (o comprimento mdio dos parafusos dessa marca superior a 43 mm).
c) Nvel de significncia: = 0,05.
d) Determinar a regio de rejeio
Haja vista que o desvio padro populacional conhecido ( = 5), utiliza-se a distribuio normal para
determinar a regio de rejeio.
Temos = 0,05, ento tentamos localizar o valor 0,05, no centro da tabela 2.2 da distribuio normal, ou o
mais prximo, se esse valor no ocorrer. Os dois valores mais prximos de 0,05 so 0,0505 e 0,0495, os quais
possuem a mesma diferena em relao a este. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor (0,0505), o qual
fornece Z = 1,64 nas margens da tabela, como mostra a figura a seguir.
Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita, a regio de rejeio (R.R.) = 0,05 e
fica na extremidade direita da distribuio normal, a partir de Z = 1,64, como mostra a rea sombreada do
grfico a seguir.
-
9
e) Clculo da estatstica do teste
Haja vista que o desvio padro populacional conhecido, utiliza-se a distribuio normal no clculo da
estatstica do teste.
= 5 mm, n = 50, mmx 46 , 0 = 43 mm
n
xZ
0 2,4
50
5
4346
ZZ
f) Concluso: Observa-se (Z = 4,2 > Z, = 1,64), logo, Z = 4,2 cai na regio rejeio, como mostra o grfico a
seguir.
Ento, rejeita-se H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, h evidncia estatstica para acreditar que o
comprimento mdio dos parafusos dessa marca superior a 43 mm.
( 2 ) Um fabricante afirma que a tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia no
inferior a 500 kgf. Uma amostra de 7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os resultados (em kgf)
490 495 480 493 475 478 485
Testar a afirmao do fabricante, utilizando o nvel de significncia de 5%.
a) Enunciar a Hiptese H0
H0: 500 kgf (o fabricante afirma que tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia
no inferior a 500 kgf).
-
10
b) Enunciar a Hiptese H1
H1: < 500 kgf (a tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por sua companhia inferior a 500 kgf).
c) Nvel de significncia: = 0,05.
d) Determinar a regio de rejeio
Haja vista que o desvio padro populacional desconhecido e ocorre n = 7 < 30, utiliza-se a distribuio
de t de student com = n 1 = 7 1 = 6 graus de liberdade, e. Obtm-se na tabela 2.3, o valor crtico t
= 1,943 no cruzamento da linha do valor 6 com a coluna do valor 0,05 como mostra a figura seguir:
Tabela 2.3 Distribuio t de student.
Uma vez que o sinal da hiptese H1
-
11
kgf1,485x7
485...490x
78,7s17
)5,481485(...)5,481490(s
22
n
s
xt 0
07,5
7
78,7
5001,485
tt
f) Concluso: Observa-se (t = -5,07 < -t, = -1,943), logo, t = -5,07 cai na regio rejeio, como mostra o
grfico a seguir.
Ento, rejeita-se H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, h evidncia estatstica para acreditar que a
tenso mdia de ruptura dos cabos produzidos por esta companhia inferior a 500kgf, contrariando a
afirmao do fabricante.
4.3.1 Sequncia de exerccios n 1
(01) Em certo banco de dados, o tempo de realizao de buscas aproximadamente normal, com mdia de 53
segundos e desvio padro de 14 segundos. Depois de serem realizadas algumas modificaes no sistema,
observou-se, em uma amostra de 30 consultas, que o tempo caiu para 45 segundos. H evidncia de melhora,
ou seja, de que a mdia do tempo de busca agora inferior a 53 segundos? Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
-
12
f) D a concluso
(02) O calor liberado em calorias por grama de uma mistura de cimento tem distribuio normal. O fabricante
afirma que a mdia igual a 100 calorias/g e o desvio padro igual a 2 calorias/g. Numa amostra de 9
espcimes chegou-se a uma mdia de 98,6 calorias/g. Testar a afirmao do fabricante, de que a mdia de
100 calorias/g. Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(03) Um fabricante de fibra txtil est investigando um novo fio, que a companhia afirma ter uma fora mdia de
alongamento de no mnimo 14 kg. O fabricante coletou uma amostra de 20 pedaos dessa fibra e achou uma
mdia de 13,8 kg e desvio padro de 0,3 kg. Supondo que os dados coletados tm distribuio normal, testar a
afirmativa da companhia, utilizando o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(04) Os dois ltimos anos de um colgio atestam pra os calouros uma nota de 115 (teste vocacional). Para
testar a hiptese de que a mdia de uma nova turma a mesma, foram coletadas as informaes de uma
amostra de 20 alunos, obtendo uma mdia de 118 e desvio padro igual a 20. Admitir = 0,05. Siga o roteiro
abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
-
13
Respostas:
(1)
a) H0: 53 seg
b) H1: < 53 seg
c) = 0,05
d) -Z = -1,64
e) Z = -3,1298
f) Rejeita-se H0
(2)
a) H0: = 100 cal/g
b) H1: 100 cal/g
c) = 0,05
d) -Z/2 = -1,96, Z/2 = 1,96
e) Z = -2,1
f) Rejeita-se H0
(3)
a) H0: 14 kg
b) H1: < 14 kg
c) = 0,05
d) -t = -1,729
e) t = -2,9814
f) Rejeita-se H0
(4)
a) H0: = 115
b) H1: 115
c) = 0,05
d) -t/2 = -2,093, t/2 = 2,093
e) t = 0,6708
f) No se rejeita H0.
-
14
4.4 Teste para a diferena entre duas mdias populacionais 1 e 2.
(1)
021
021
021
0
-)
-)
-)
:
dc
db
da
H
(2)
021
021
021
1
-)
-)
-)
:
dc
db
da
H
(3) Fixar o nvel de significncia .
(4) Determinar a regio de rejeio.
1o caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem conhecidos
Nesse caso, utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da
regio de rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.4) e para o
sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.4).
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.4. Regio de rejeio sob a distribuio normal reduzida.
2o caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente iguais
Neste caso, ser utilizada a distribuio de t de Student e, -t, t, -t/2 e t/2 devero ser encontrados
na tabela de t de Student para = n1 + n2 2 graus de liberdade, em que n1 e n2 representam os tamanhos
das amostras 1 e 2, respectivamente. Semelhantemente ao 1 caso, a localizao da regio de rejeio,
tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.5) e para o sinal , a
regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.5).
-
15
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.5. Regio de rejeio sob a distribuio t de student.
30 caso: Se os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente diferentes.
Nesse caso, tambm utilizada a distribuio t de student e determina-se a regio de rejeio
conforme a figura 4.5 do 2 caso, porm o nmero de graus de liberdade de -t, t, -t/2 e t/2, dado por:
1n
w
1n
w
)ww(
2
22
1
21
221
, (3)
Em que:
1
21
1n
sw e
2
22
2n
sw , sendo 21s e
22s as varincias das amostras 1 e 2 e n1 e n2 so os tamanhos
das amostra 1 e 2, respectivamente.
40 caso: Quando os dados forem emparelhados, isto , quando os mesmos estiverem relacionados dois a dois
de acordo com algum critrio.
Nesse caso, tambm utilizada a distribuio t de student e determina-se a regio de rejeio
conforme a figura 4.5 do 2 caso, porm, para determinar o nmero de graus de liberdade de -t, t, -t/2 e t/2
utilizado = n 1.
(5) Calculo da estatstica do teste
10 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem conhecidos
Nesse caso utiliza-se a distribuio normal e a estatstica do teste dada pela expresso a seguir:
-
16
2
22
1
21
021
n
n
d)xx(z
(4)
Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1,em que:
1x e 2x so as mdias das amostras 1 e 2, respectivamente;
21 e
22 so as varincias das populaes 1 e 2, nesta ordem;
d0 a diferena entre as mdias populacionais 1 e 2 que esta sendo testada.
n1 e n2 so os tamanhos das amostra 1 e 2, respectivamente.
20 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente iguais
21
2p
021
n
1
n
1s
d)xx(t (5)
Essa estatstica segue a distribuio t de student com = n -1 graus de liberdade, em que:
1x e 2x so as mdias das amostras 1 e 2, respectivamente;
d0 a diferena entre as mdias populacionais 1 e 2 que esta sendo testada.
n1 e n2 so os tamanhos das amostra 1 e 2, respectivamente.
2ps a varincia ponderada, a qual utiliza as varincias amostrais
2
1S e 2
2S , e calculada pela
expresso:
2nn
s.)1n(s.)1n(s
21
222
2112
p
(6)
30 caso: Quando os desvios padro populacionais 1 e 2 forem desconhecidos e supostamente diferentes.
2
22
1
21
021
n
s
n
s
d)xx(t (7)
-
17
40 caso: Quando os dados forem emparelhados, isto , quando os mesmos estiverem relacionados dois a dois
de acordo com algum critrio.
n
s
ddt
d
0 (8)
em que:
d representa a mdia amostral das diferenas entre os pares dois a dois, isto
n
d
d
n
i
i 1 (9)
Em que: di representa a i-sima diferena entre duas observaes emparelhadas, ou seja,
di =x1i x2i; (10)
s do desvio padro amostral das diferenas entre os pares dois a dois, ou seja,
1
)(1
2
n
dd
s
n
i
i
d
(11)
(6) Concluso
Se for utilizada a distribuio normal, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (Z)
com o valor crtico -Z ou com Z (num teste unilateral) ou com -Z/2 e Z/2 (num teste bilateral). Olhando
para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste
cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste
caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser rejeitada.
Se for utilizada a distribuio t de Student, o procedimento o de comparar o valor da estatstica do
teste (t) com o valor crtico -t ou com T (num teste unilateral) ou com -t/2 e t/2 (num teste bilateral).
Olhando para o grfico do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica
do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do
teste caia na regio de rejeio, H0 ser rejeitada e, caso caia na regio de aceitao, H0 no ser
rejeitada.
-
18
Exemplos
( 1 ) Sabe-se que os desvios padro dos tempos de durao das vlvulas das companhias A e B, so, 100h e
80h, respectivamente,. Uma amostra de 100 vlvulas da companhia A teve durao mdia de 1530 h,
enquanto uma amostra de 70 vlvulas da companhia B teve durao mdia de 1420 h. Testar a hiptese de
que as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia superior a 100h. Utilizar o nvel
de significncia de 1%.
a) Enunciar a hiptese H0
H0: A - B 100h (as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia inferior
ou igual a 100h)
b) Enunciar a hiptese H1
H1: A - B > 100h (as vlvulas da companhia A, em relao s da B, tm uma durao mdia superior a
100h)
c) Fixar o nvel de significncia
O nvel de significncia = 0,01
d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)
Haja vista que os desvios padro populacionais A e B so conhecidos, utiliza-se a distribuio normal
para determinar a regio de rejeio. Procura-se o valor = 0,01 ou o valor mais prximo no centro da tabela
2.2. O valor mais prximo 0,0099. Na margem esquerda da tabela e na mesma linha do 0,0099 ocorre o valor
2,3. Na margem superior da tabela e na mesma coluna de 0,0099 ocorre o valor 3. Logo, ocorre Z = 2,33,
como mostra a figura a seguir:
-
19
Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita. A regio de rejeio (R.R.) igual a =
0,01 e fica na extremidade direita da distribuio normal, a partir de Z = 2,33, como mostra a rea sombreada
do grfico a seguir.
e) Clculo de estatstica do teste
Haja vista que os desvios padro populacionais A e B so conhecidos, utiliza-se a distribuio normal no
clculo da estatstica do teste.
A = 100 nA = 100, hxA 1530 ,
B = 80 nB = 70, hxB 1420 , d0 = 100mm
72,072,0
70
08
100
001
100)14201530(
)(
2222
0
Z
nn
dxxz
B
B
A
A
BA
f) Concluso
Observa-se que ocorre (Z = 0,72 < Z = 2,33), logo Z = 0,72 cai na regio aceitao, como mostra o
grfico abaixo.
-
20
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, as vlvulas da companhia A, em
relao s da B, tm uma durao mdia inferior ou igual a 100h.
( 2 ) Dois tipos de solues qumicas foram ensaiadas para se determinar os pH. Os resultados foram
Soluo 1 7,50 7,54 7,51 7,53 7,50
Soluo 2 7,49 7,50 7,51 7,52 7,50 7,51
Sabendo que os dados tem distribuio normal e que os desvios padro populacionais so iguais, testar se
h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues, utilizando o nvel de significncia de 5%.
(a) Enunciar a Hiptese nula
H0: 1 - 2 = 0 (no h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues).
(b) Enunciar a Hiptese nula
H1: 1 - 2 0 (h diferena significativa entre os pH mdios das duas solues).
(c) Fixar o nvel de significncia.
O nvel de significncia = 0,05
(d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)
Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente iguais,
utiliza-se a distribuio de t de Student com = n1 + n2 2 = 5 + 6 - 2 = 9 graus de liberdade.
-
21
Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,05/2 = 0,025. Obtm-se na
tabela 2.3 o valor crtico t/2 = 2,262 no cruzamento da linha do valor 9 com a coluna de do valor 0,025, como
mostra a figura seguir:
Logo, a regio de rejeio de rejeio igual a 0,05, sendo dividida em duas partes de 0,025 e fica nas
duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -2,262 e direita de
t/2 = 2,262, como mostra o grfico a seguir.
(e) Calcular a estatstica do teste:
Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente iguais, utiliza-se a seguinte estatstica:
21
2p
021
n
1
n
1s
d)xx(t
n1 = 5; ,51675
37,581 x ; 0003,0
1-5
0,0013221 s
-
22
n2 = 6;; 505,76
45,032 x ; 0001,0
16
00055,022
s
2
.)1(.)1(
21
2
22
2
12 1
nn
snsns p
256
0001,0)16(0003,0)15(2
ps 0002,0
2 ps
21
2p
021
n
1
n
1s
d)xx(t
6
1
5
10002,0
0)505,7(7,516t 28,1 t
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (t/2 = -2,262) < t = 1,28 < (t/2 = 2,262), logo t = 1,28 cai na regio aceitao
(R.A.), como mostra o grfico abaixo.
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, no h diferena significativa entre
os pH mdios das duas solues.
( 3 ) Foram medidos os registros pluviomtricos de certo muncio, durante os ltimo oito anos, durante o ms
de Janeiro, constatando que a queda mdia pluviomtrica foi de 125 mm e o desvio padro foi de 25 mm.
Outro municpio, durante os ltimos cinco anos, no mesmo ms, teve queda mdia pluviomtrica de 100 mm e
desvio padro de 5 mm. Verificar se h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois
municpios, utilizando o nvel de significncia de 1%. Considere desvios padro populacionais diferentes.
-
23
(a) Enunciar a Hiptese nula
H0: 1 - 2 = 0 (no h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois
municpios).
(b) Enunciar a Hiptese alternativa
H1: 1 - 2 0 (h diferena significativa entre as quedas mdias pluviomtricas dos dois municpios).
(c) Fixar o nvel de significncia.
O nvel de significncia = 0,01
(d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)
Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente diferentes,
utiliza-se a distribuio t de Student com grau de liberdade dado por:
1n
w
1n
w
)ww(
2
22
1
21
221
n1 = 8; 1251 x mm; 251 s mm 125,788
252
1
2
11
n
sw
n2 = 5; mm 1002 x ; 52 s mm 55
52
2
2
22
n
sw
8
15
5
18
125,78
)5125,78(22
2
Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,01/2 = 0,005. O valor
de t/2 = 3,355 achado na tabela 2.3, no cruzamento da linha do valor 8 com a coluna do valor 0,005 como
mostra a figura a seguir.
-
24
Logo, a regio de rejeio de rejeio (R.R.) igual a 0,01, sendo dividida em duas partes de 0,005 e fica
nas duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -3,355 e direita de
t/2 = 3,355, como mostra o grfico a seguir.
(e) Calculo da estatstica do teste:
Haja vista que os desvios padro populacionais 1 e 2 so desconhecidos e supostamente diferentes,
utiliza-se a estatstica do teste :
2
22
1
21
021
n
s
n
s
d)xx(t
n1 = 8; 1251 x mm; 251 s mm
n2 = 5; 1002 x mm; 52 s mm
-
25
2
2
2
1
2
1
021 )(
n
s
n
s
dxxt 742,2
5
5
8
25
0)100125(
22
t
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (t/2 = -3,355) < t = 2,742 < (t/2 = 3,355), logo t = 2,742 cai na regio aceitao
(R.A.), como mostra o grfico a seguir.
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, no h diferena significativa entre
as quedas mdias pluviomtricas dos dois municpios.
( 4 ) Dois operrios determinaram os pesos (em g) das impurezas contidas nas mesmas 6 amostras de certo
produto qumico, obtendo os seguintes resultados:
Operrio 1 10,1 10,4 10,2 10,5 9,9 10,0
Operrio 2 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5
Podemos concordar com a hiptese de que no existe diferena significativa entre as determinaes
das impurezas dos dois operrios, ao nvel de significncia de 1%?
(a) Enunciar a Hiptese nula
H0: 1 - 2 = 0 (no existe diferena significativa entre as determinaes das impurezas dos dois
operrios).
-
26
(b) Enunciar a Hiptese alternativa
H1: 1 - 2 0 (existe diferena significativa entre as determinaes das impurezas dos dois operrios).
(c) Fixar o nvel de significncia.
O nvel de significncia = 0,01
(d) Determinar a regio de rejeio (R.R.)
Haja vista que os dois operrios esto realizando as determinaes de impurezas nas mesmas 6
amostras, podemos considerar que esse um caso de amostras pareadas, ento utiliza-se a distribuio t de
Student com grau de liberdade dado por = n - 1 = 6 1 = 5.
Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e calcula-se /2 = 0,01/2 = 0,005. O valor de t/2
= 4,032 achado na tabela 2.3 da distribuio t de student, no cruzamento da linha do valor 5 com a coluna do
valor 0,005 como mostra a figura a seguir.
Logo, a regio de rejeio de rejeio (R.R.) igual a 0,01, sendo dividida em duas partes de 0,005 e
fica nas duas extremidades da distribuio de t de Student, ou seja, esquerda de t/2 = -4,032 e direita de
t/2 = 4,032, como mostra o grfico a seguir.
-
27
(e) Calculo da estatstica do teste:
Haja vista que os dois operrios esto realizando as determinaes de impurezas nas mesmas 6
amostras, podemos considerar que esse um caso de dados emparelhados ou pareados, e a estatstica do
teste :
n
s
ddt
d
0
Op. 1 10,1 10,4 10,2 10,5 9,9 10,0
Op. 2 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5
di 10,1-9,8=0,3 10,410=0,4 10,210,1= 0,1 10,5-10,0 = 0,5 9,910,1=-0,2 10,0-9,5 = 0,5
2667,06
6,1
6
5,03,01
n
d
d
n
i
i
; 2732,016
0,3733
1
)(1
2
n
dd
s
n
i
i
d
;
n
s
ddt
d
0 39,2
6
2732,0
02667,0
tt
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (t/2 = -4,032) < t = 2,39 < (t/2 = 4,032), logo t = 2,39 cai na regio aceitao
(R.A.), como mostra o grfico abaixo.
-
28
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 1%. Portanto, no existe diferena significativa
entre as determinaes das impurezas dos dois operrios.
4.4.1 Sequncia de exerccios n 2
Esto sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes tipos de propolentes slidos usados no
escapamento de aeronaves. Sabe-se que ambos os propolentes tm aproximadamente o mesmo desvio
padro de taxa de queima, ou seja, de 3cm/s. Duas amostras com 20 espcimes de cada tipo de propolente
foram testadas, em que o propolente do tipo 1 apresentou 18,02 cm/s e o do tipo 2 teve 24,37 cm/s de taxa
mdia de queima. Teste a hiptese de que ambos os propolentes tm a mesma taxa mdia de queima. Utilize
o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(02) Um produto fabricado por injeo de plstico analisado em dois nveis de percentual de talco. Os dados
seguintes apresentam os resultados da dureza (HRc), segundo o percentual de talco utilizado.
Baixo 51,7 49,4 65,9 60,0 71,1 72,9 71,9 75,1
Alto 75,2 76,0 63,7 69,6 67,1 69,1 52,8 57,6
Os dados mostram evidncia suficiente para afirmar que a dureza mdia do produto diferente nos dois nveis
de percentual de talco? Suponha desvios padro iguais e use = 0,05. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(03) Na fabricao de semicondutores, o ataque qumico via umidade frequentemente usado para remover
silicone da parte posterior das pastilhas, antes da metalizao. A taxa de ataque uma caracterstica
importante nesse processo e sabido que ela seque a distribuio normal. Duas solues diferentes pra
ataque qumico foram comparadas, usando duas amostras aleatrias de 10 pastilhas para cada soluo. As
taxas observadas (10-3
polegada/min) so dadas a seguir:
-
29
Soluo 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10 10,3 10,1
Soluo 2 10,2 10,6 12 10,4 10,5 10 10,2 11 10,4 10,3
Os dados justificam a afirmao de que a taxa mdia de ataque a mesma para ambas as solues ao nvel
de significncia de 5%? Presumir varincias diferentes. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(04) Foi realizado um experimento com seis ensaios de um algoritmo de otimizao, antes e aps a sua
modificao (dados pareados), realizada pelo mesmo programador. Os tempos de resposta, antes e aps a
modificao esto abaixo:
Antes 9,2 9,8 9,9 10,3 8,9 13,1
Aps 8,1 8,9 9,3 9,6 8,1 11,2
Pergunta-se: Os tempos mdios de resposta, antes e aps a modificao do algoritmo em estudo podem ser
considerados diferentes, ao nvel de significncia de 5%? Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
Respostas:
(1)
a) H0: 1 = 2
b) H1: 1 2
c) = 0,05
d) -Z/2 = -1,96, Z/2 = 1,96
e) Z = -6,6935
-
30
f) Rejeita-se H0
(2)
a) H0: 1 = 2
b) H1: 1 2
c) = 0,05
d) -t/2 = -2,1448, t/2 = 2,1448
e) t = -0,3609
f) No se rejeita H0
(3)
a) H0: 1 = 2
b) H1: 1 2
c) = 0,05
d) -t/2 = -2,110, t/2 = 2,110
e) t = -0,2,6
f) Rejeita-se H0
(4)
a) H0: 1 = 2
b) H1: 1 2
c) = 0,05
d) -t/2 = -2,571, t/2 = 2,571
e) t = 5,175
f) Rejeita-se H0
4.5 Teste para a varincia populacional 2
O teste de hiptese para a varincia populacional 2 utiliza os seguintes passos:
( 1 ) Enunciar a Hiptese nula
H0:
2
0
2
2
0
2
2
0
2
c)
b)
a)
-
31
( 2 ) Enunciar a Hiptese alternativa
H1:
2
0
2
2
0
2
2
0
2
c)
b)
a)
( 3 ) Fixar o nvel de significncia
( 4 )Determinar a regio de rejeio.
Nesse teste utiliza-se a distribuio qui-quadrado com = n 1 graus de liberdade, para determinar a
regio de rejeio. Semelhantemente aos testes da mdia e da diferena entre mdias,, a localizao da
regio de rejeio, tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura
4.4) e para o sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.4).
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.6. Regio de rejeio utilizando a distribuio Qui-quadrado .
Os valores de 2-1 ,
2 ,
2/2-1 e
2/2
so achados nas tabelas 2.4 ou 2.5 da distribuio Qui-
quadrado para = n - 1 graus de liberdade.
( 5 )Calcular a estatstica do teste
A Estatstica do teste da varincia segue da distribuio Qui- quadrado com = n - 1 graus de liberdade
e dada por:
20
22
s)1n(
-
32
Em que: n o tamanho da amostra; s2 a varincia da amostra e
2
0 o valor da varincia populacional ser
testado.
( 6 ) Concluso
Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste (2 ) com o valor crtico
2
1 (num teste unilateral esquerda), ou com o valor crtico 2
(num teste unilateral direita), ou com os
valores crticos 2
2/1 e 2
2/ (num teste bilateral), ambos determinados no passo 4. Olhando para o grfico
do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de
rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio,
rejeita-se H0, caso caia na regio de aceitao, no se rejeita H0.
Exemplo:
As chapas de ao produzidas por certa indstria tm uma especificao tal que a varincia de suas
espessuras (em mm) no deve ser superior a 0,0009 mm2. Uma amostra de 10 chapas tem espessura (em mm)
3,15 3,18 3,15 3,12 3,14 3,13 3,17 3,16 3,15 3,16
Testar a hiptese de que a varincia est dentro da especificao desejada, usando = 0,05.
(a) Enunciar a Hiptese H0
H0: 2 0,0009 mm
2 (a varincia de suas espessuras (em mm) no superior a 0,0009 mm
2).
(b) Enunciar a Hiptese H1
H1: 2 > 0,0009 mm
2 (a varincia de suas espessuras (em mm) superior a 0,0009 mm
2).
(b) Fixar o nvel de significncia
O nvel de significncia = 0,05.
-
33
(d) Determinar a R.R.
O teste da varincia usa a distribuio qui-quadrado com = n 1 = 10 1 = 9 graus de liberdade.
Uma vez que o sinal da hiptese H1 >, o teste unilateral direita e utiliza-se = 0,05. Na tabela 2.5 da
distribuio Qui-quadrado, no cruzamento da linha de = 9 com a coluna de = 0,05, acha-se o valor crtico
919162 , , como mostra a figura a seguir:
Ento, a regio de rejeio (R.R.) igual a = 0,05 e fica na extremidade direita da distribuio qui quadrado,
a partir de 919162 , , como mostra a rea sombreada do grfico a seguir:
(e) Clculo da estatstica do teste.
mm151,310
51,31x ; 22 mm0003,0
110
00289,0s
20
22
s)1n(
0009,0
0003,0.)110( 2 3 2
-
34
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (2 = 3) < (2= 16,919), logo 2 = 3 cai na regio aceitao (R.A.), como mostra o
grfico abaixo. Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, a varincia est dentro da
especificao desejada, ou seja, no superior a 0,0009 mm2.
4.5.1 Sequncia de exerccios n 3
(01) Uma mquina automtica de enchimento usada para encher garrafas com detergente lquido. Uma
amostra aleatria de 20 garrafas resulta em uma varincia do volume de enchimento 0153,02 s (ona
fluda)2. Se a varincia do volume de enchimento exceder a 0,01 (ona fluida)
2, existir uma proporo
inaceitvel de garrafas cujo enchimento no foi completo ou cujo enchimento foi em excesso. H evidncia nos
dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas cheias demais ou de menos?
Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(02) Uma fbrica produz certo tipo de regulador de presso. Estes reguladores so produzidos para suportar
uma presso mdia de 20 atm e varincia de 1 atm2. Foram realizados ensaios com uma amostra de 7
reguladores de presso e verificou-se que as presses suportadas foram:
19,5 18,9 19,0 19,1 18,9 19,3 19,0
3
-
35
Com base no ensaio realizado, podemos concluir que a varincia superior a 1atm2? Utilize o nvel de
significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
Respostas
(1)
a) H0: 01,02
1 (ona fluida)2
b) H1: 01,02
1 atm2(ona fluida)
2
c) = 0,05
d) 2= 16,812
e) 2 = 0,3
f) No se rejeita H0
(2)
a) H0: 12
1 atm2
b) H1: 12
1 atm2
c) = 0,01
d) 2= 30,144
e) 2 = 29,07
f) No se rejeita H0
4.6 Teste para igualdade de duas varincias populacionais 2221 e .
(1) Enunciar a hiptese nula
H0: .
C)
.b)
.a)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
-
36
(2) Enunciar a hiptese alternativa
H1: .
c)
.b)
.a)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
(3) Fixar o nvel de significncia .
( 4) Determinar a regio de rejeio (R.R.).
Nesse teste utiliza-se a distribuio F de Snedecor com 1 = n1 1 e 2 = n2 1 graus de liberdade,
para determinar a regio de rejeio. Semelhantemente aos testes anteriores, a localizao da regio de
rejeio, tambm depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.5) e para o
sinal , a regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.5).
a) H1: 22
21 b) H1:
22
21 c) H1:
22
21
Figura 4.5. Regio de rejeio utilizando a distribuio F de Snedecor .
Os valores de -1
F , F , /2-1F e
/2F so achados na tabela da distribuio F de Snedecor para
1 = n1 1 e 2 = n2 2 e graus de liberdade.
(5) Calcular a estatstica do teste
A Estatstica do teste para a igualdade de varincias dada por
22
21
s
sF
Em que 2
1s e 2
2s so as varincias amostrais dos dois grupos que esto sendo comparados.
-
37
(6) Concluso
Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste ( F ) com o valor crtico
2
1 F (num teste unilateral esquerda), ou com o valor crtico F (num teste unilateral direita), ou com os
valores crticos 2/1 F e 2/F (num teste bilateral), ambos determinados no passo 4. Olhando para o grfico
do passo 4 e fazendo a comparao, possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de
rejeio (R.R), ou na regio de aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio,
rejeita-se H0, e caso caia na regio de aceitao, no se rejeita H0.
Exemplo
Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas 1 e 2, obtendo para 5 pneus de
cada marca os seguinte resultados:
Marca 1 30000 32000 28000 26000
Marca 2 25000 30000 20000 21000 23000
Existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas de pneus, no nvel de
significncia de 5%?
(a) Enunciar a Hiptese H0
H0: 2
2
2
1 (no existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas
de pneus).
(b) Enunciar a Hiptese H1
H1: 2
2
2
1 (existe diferena significativa entre as varincias das durabilidades das duas marcas de
pneus).
(c) Fixar o nvel de significncia
O nvel de significncia = 0,05.
(d) Determinar a Regio de rejeio
O teste para a igualdade de varincias usa a distribuio F de Snedecor com 1 = n1 1 = 4 1 = 3 e
2 = n2 1 = 5 1 = 4 graus de liberdade. Uma vez que o sinal da hiptese H1 , o teste bilateral e utiliza-
-
38
se /2 = 0,05/2 = 0,025 ou 2,5%. Na tabela 2.10 da distribuio F de Snedecor ao nvel de 2,5%, no
cruzamento da coluna de 1 = 3 com a linha de 2 = 4, acha-se o valor crtico F/2(1, 2) = F/2(3, 4) = 9,98. Na
mesma tabela achado o valor crtico F/2(2, 1) = F/2(4, 3) = 15,08, como mostra a figura a seguir:
Tabela 2.10 Distribuio F de Snedecor ao nvel de 2,5%.
Logo,
07,008,15
1
)3,4(2/
1
)1
,2
(2/
12/1
FF
F
Devido ao fato de que o sinal da hiptese H1 , o este bilateral e a regio de rejeio de rejeio
(R.R.) igual a 0,05, sendo dividida em duas partes de 0,025 , ficando nas duas extremidades da distribuio F
de Snedecor, ou seja, esquerda de F1-/2 = 0,07 e direita de F/2 = 9,98, como mostra o grfico a seguir.
(e) Clculo da estatstica do teste.
n1 = 4; Kmx 290004
1160001 ;
22
1 7,666666614
20000000kms
n2 = 5; Kmx 238005
11900002 ;
22
2 1570000015
62800000kms
-
39
15700000
6666666,72
2
2
1
S
SF 4,0F
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (F1-/2 = 0,07) < (F = 0,4) < (F/2 = 9,98), logo F = 0,4 cai na regio aceitao
(R.A.), como mostra o grfico abaixo.
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, no existe diferena significativa
entre as varincias das durabilidades das duas marcas de pneus.
4.6.1 Sequncia de exerccios n 4
(01) Os dimetros de bastes de ao fabricados em duas mquinas extrusoras diferentes esto sendo
investigados. Foram testadas duas amostras aleatrias de tamanhos n1 = 15 e n2 =17 e as varincias foram
35,021 s e 40,02
2 s . Supondo que os dados sigam a distribuio normal, h evidncias que justifique a
hiptese de que as duas mquinas produzam bastes de ao com varincias iguais? Utilize o nvel de
significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
-
40
(02) Foi feita uma investigao sobre dois tipos de catalisadores diferentes quanto a efeitos de reao qumica.
O ensaio foi feito 10 vezes com cada tipo de catalisador, obtendo varincias 656,3521 s e 233,422
2 s .
Pegunta-se: H evidncias amostrais de que as varincias so iguais para os dois tipos de catalisadores?
Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(03) Foram ensaiadas 5 vlvulas do tipo A e 4 do tipo B, obtendo-se os seguintes tempos de vida, em horas:
Marca A 1500 1450 1480 1520 1510
Marca B 1000 1300 1180 1250
Podemos concluir, ao nvel de significncia de 2%, que as varincias dos tempos de vida dos dois tipos de
vlvulas sejam iguais? Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
Respostas:
(1)
a) H0: 2
2
2
1
b) H1: 2
2
2
1
c) = 0,05
d) F1-/2 = 0,34, F/2 = 2,82
e) F = 0,875
f) No se rejeita H0
(2)
a) H0: 2
2
2
1
-
41
b) H1: 2
2
2
1
c) = 0,05
d) F1-/2 = 0,25, F/2 = 4,03
e) F = 0,8443
f) No se rejeita H0
(3)
a) H0: 2
2
2
1
b) H1: 2
2
2
1
c) = 0,05
d) F1-/2 = 0.10, F/2 = 15.10
e) F = 0,0447
f) Rejeita-se H0
4.7 Teste para a proporo populacional p
(1) Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.
0
0
0
0
)
)
)
:
ppc
ppb
ppa
H
em que p a proporo populacional e p0 o valor da mdia que est sendo testado.
(2) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica
0
0
0
)
)
)
:1
ppc
ppb
ppa
H
(3) Fixar o nvel de significncia .
(4) Determinar a regio de rejeio de rejeio (R.A) de H0.
Utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da regio de
rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal
-
42
figura 4.6), para o sinal >, a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.6) e para o sinal , a
regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.6).
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.6. Regio de rejeio sob a distribuio normal reduzida.
Os valores de -z e z so achados para o nvel de significncia , e -z/2 e z/2 para /2 na
tabela que d as probabilidades da distribuio normal reduzida.
(5) Calculo da estatstica do teste
n
pp
ppz
)1(
00
0
, (1)
Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia igual a 0 e varincia igual a 1, em que: p a
proporo amostral, p0 o valor da proporo populacional que est sendo testado e n o tamanho da
amostra.
(6) Concluso:
Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste Z, com o valor crtico Z
(no caso de teste unilateral direita), ou com o valor crtico -Z (no caso de teste unilateral esquerda), ou -
Z/2 e Z/2 (no caso de teste bilateral), determinados quando achada a regio de rejeio. Fazendo essa
comparao possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de
aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio, rejeita-se H0 e, caso caia na
regio de aceitao, no se rejeita H0.
Exemplo
Sabe-se que o tratamento para evitar corroso em tubos metlicos eficiente, se pelo menos 95% dos
tubos apresentarem resultado satisfatrio. Foi testada uma amostra de 50 tubos e 45 apresentaram resultado
satisfatrio. H evidncias amostrais indicando que o tratamento para evitar corroso eficiente? Use o Nvel
de significncia de 5%.
-
43
(a): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.
H0: p 0,95 (o tratamento para evitar corroso eficiente).
(b) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica
H1: p < 0,95 (o tratamento para evitar corroso no eficiente).
(c) Fixar o nvel de significncia
O nvel de significncia = 0,05
(d) Determinar a regio de rejeio de rejeio de H0.
Utiliza-se a distribuio normal no teste da proporo. O valor de z achado na tabela 2.2 da
distribuio normal. O nvel de significncia = 0,05, ento se procura esse valor no centro da tabela. Como
no ocorre esse valor, procura-se o mais prximo. Os mais prximos so 0,0505 e 0,0495 e estes possuem a
mesma diferena em relao a 0,05. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor, o qual fornece z = 1,64
nas margens da tabela 2.2, como mostra a figura abaixo.
Uma vez que o sinal da hiptese H1
-
44
(e) Calculo da estatstica do teste
n
pp
ppz
)1(
00
0
n = 50, x = 45, 9,050
45
n
xp , p0 = 0,95
62,1
50
)95,01(95,0
95,09,0
z
(f) Concluso
Observa-se que ocorre (Z = -1,62) > (-Z = -1,64), logo Z = -1,62 cai na regio aceitao (R.A.), como
mostra o grfico a seguir. Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, o tratamento para
evitar corroso eficiente.
-
45
4.7.1 Sequncia de exerccios n 5
(01) Um fabricante afirma que no mximo 3% das peas que ele produz so defeituosas. Um comerciante
comprou 50 peas e verificou que 4 eram defeituosas. Com base nesse resultado, podemos concluir que a
afirmao do fabricante est correta? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(02) Uma empresa retira periodicamente amostras de 500 peas de sua linha de produo para anlise de
qualidade. As peas da amostra so classificadas como defeituosas ou perfeitas, sendo que a poltica da
empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidncia de que mais de 1,5% das peas so
defeituosas. Na ltima amostra, foram encontradas nove peas defeituosas. Pergunta-se: o processo precisa
ser revisto? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
Respostas:
(1)
a) H0: 03,0p
b) H1: 03,0p
c) = 0,01
d) Z = 2,33
e) Z = 2,0726
f) No se rejeita H0
(2)
a) H0: 015,0p
-
46
b) H1: 015,0p
c) = 0,01
d) Z = 2,33
e) Z = 0,5519
f) No se rejeita H0
4.8 Teste para a diferena entre duas propores populacionais p1 e p2
O teste para a diferena entre duas propores segue os seguintes passos:
(1)
021
021
021
0
p-p)
p-p)
p-p)
:
dc
db
da
H
(2)
021
021
021
1
p-p)
p-p)
p-p)
:
dc
db
da
H
(3) Fixar o nvel de significncia .
(4) Determinar a regio de rejeio.
Utiliza-se a distribuio normal para determinar a regio de rejeio. A localizao da regio de
rejeio depende do sinal de H1, ou seja, para o sinal , a regio de rejeio fica direita (grfico b da figura 4.7) e para o sinal , a
regio de rejeio fica dos dois lados (grfico c da figura 4.7).
a) H1: 0 c) H1: 0
Figura 4.7. Regio de rejeio sob a distribuio normal reduzida.
-
47
(5) Calcular a estatstica do teste
10 caso: para d0 0
2
22
1
11
021
)1()1(
)(
n
pp
n
pp
dppz
Essa estatstica segue a distribuio normal com mdia = 0 e varincia 2 = 1,em que:
1p e 2p so as propores das amostras 1 e 2, respectivamente;
d0 a diferena entre as propores populacionais p1 e p2 que esta sendo testada;
n1 e n2 so os tamanhos das amostra 1 e 2, respectivamente.
20 caso: para d0 = 0
21
021
11)1(
)(
nnpp
dppz
Em que
21
221..
1nn
pnpnp
(6) Concluso
Nessa etapa o procedimento o de comparar o valor da estatstica do teste Z, com o valor crtico Z
(no caso de teste unilateral direita), ou com o valor crtico -Z (no caso de teste unilateral esquerda), ou -Z/2
e Z/2 (no caso de teste bilateral), determinados quando achada a regio de rejeio. Fazendo essa
comparao possvel saber se o valor da estatstica do teste cai na regio de rejeio (R.R), ou na regio de
aceitao (R.A). Caso o valor da estatstica do teste caia na regio de rejeio, rejeita-se H0 e, caso caia na
regio de aceitao, no se rejeita H0.
-
48
Exemplo
Uma empresa automobilstica afirma que os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo
2 em no mnimo 10%. Tomadas duas amostras aleatrias independentes encontrou-se que 56 de 200
consumidores preferiram o modelo 1, enquanto que 29 de 150 consumidores preferiram o modelo 2. Testar a
afirmao do anncio ao nvel de significncia de 5%.
(a): Enunciar a hiptese nula (H0) em forma simblica.
H0: p1 p2 0,1 (os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo 2 em no mnimo 10%).
(b) Enunciar a hiptese alternativa (H1) em forma simblica
H1: p1 p2 < 0,1 (os automveis do modelo 1 superam em venda os do modelo 2 em menos de 10%).
(c) Fixar o nvel de significncia
O nvel de significncia = 0,05
(d) Determinar a regio de rejeio de rejeio de H0.
Utiliza-se a distribuio normal no teste da diferena entre propores. O valor de z achado na tabela
2.2 da distribuio normal. O nvel de significncia = 0,05, ento se procura esse valor no centro da tabela.
Como no ocorre esse valor, procura-se o mais prximo. Os mais prximos so 0,0505 e 0,0495 e estes
possuem a mesma diferena em relao a 0,05. A maioria dos autores opta pelo primeiro valor, o qual fornece
z = 1,64 nas margens da tabela 2.2, como mostra a figura a seguir.
-
49
Uma vez que o sinal da hiptese H1 (-Z = -1,64), logo Z = -0,29 cai na regio aceitao (R.A.), como
mostra o grfico a seguir
-
50
Ento, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%. Portanto, os automveis do modelo 1 superam em
venda os do modelo 2 em no mnimo 10%.
4.8.1 Sequncia de exerccios n 6
(01) Um operrio afirma que no existe diferena entre as porcentagens de peas defeituosas produzidas pelas
mquinas 1 e 2. Uma amostra de 50 peas de cada mquina, revelou 4% e 7% de peas defeituosas das
mquinas 1 e 2, respectivamente. H evidncias amostrais para rejeitar a afirmao do operrio? Utilize o
nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
(02) Dois tipos diferentes de injeo-moldagem so usadas para formar peas de plstico. Uma pea
considerada defeituosa se ela tiver excesso de encolhimento ou se for descolorida. Duas amostras aleatrias,
cada uma com 300 peas de cada tipo de moldagem so selecionadas, revelando 15 e 8 peas defeituosas do
tipo 1 e do tipo 2 de injeo moldagem, respectivamente. razovel concluir que os dois tipos de injeo-
moldagem produzem a mesma frao de peas defeituosas? Utilize o nvel de significncia de 5%. Siga o
roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
-
51
f) D a concluso
(03) Numa pesquisa com 500 adolescentes nos anos de 1992 e 1997, o nmero de adolescente que usaram
droga foi, respectivamente, 35 e 41. H diferena significativa nas porcentagens de adolescentes usurios de
droga nesses dois anos? Utilize o nvel de significncia de 1%. Siga o roteiro abaixo:
a) Enunciar a hiptese H0
b) Enunciar a hiptese H1
c) Fixar o nvel de significncia
d) Determinar a Regio de rejeio
e) Calcular o valor da estatstica do teste
f) D a concluso
Respostas:
(1)
a) H0: 021 pp
b) H1: 021 pp
c) = 0,01
d) -Z/2 = -2,57 e Z/2 = 2,57
e) Z = -0,6580
f) No se rejeita H0
(2)
a) H0: 021 pp
b) H1: 021 pp
c) = 0,05
d) -Z/2 = -1,96 e Z/2 = 1,96
e) Z = 1,9064
f) No se rejeita H0
(3)
a) H0: 021 pp
b) H1: 021 pp
c) = 0,01
d) -Z/2 = -2,57 e Z/2 = 2,57
e) Z = -0,7160
-
52
f) No se rejeita H0
4.9 Teste Qui-quadrado para prova de aderncia
O teste Qui-quadrado proposto por Karl Pearson o tipo prova de aderncia, apropriado para testar se
determinado distribuio terica (binomial, Poisson, normal, etc.) pode ser ajustada distribuio amostral dos
dados. Segundo Gibbons (1992) o teste Qui-quadrado mais apropriado para testar se uma distribuio
terica discreta se ajusta distribuio amostral, no sentido de que pode ser empregada para comprovar se
existe diferena significativa entre a frequncia observada, de indivduos, ou de respostas, em determinada
categoria, e o respectivo nmero esperado sob hiptese nula.
Restries no uso do teste Qui-quadrado:
a) O mnimo de classes k = 2 e a frequncia esperada mnima deve ser 5;
b) Para k >2, o teste Qui-quadrado no deve ser usado se mais de 20 % das frequncias esperadas forem
abaixo de 5 (cinco), ou se qualquer uma delas for inferior a 1 (um).
Em alguns casos contorna-se esse problema, agrupando as classes adjascentes, aumentando, desta
forma, a frequncia esperada em cada nova classe.
Mtodo
Suponha que uma amostra simples de tamanho n coletada de uma populao com funo de distribuio
terica desconhecida e h interesse em verificar se as frequncias observadas(Oi) pra os diferentes valores ou
classes, so significativamente diferentes das frequncias esperadas (Ei). Deseja-se testar a hiptese nula
H0: Oi = Ei para todo i(A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica bom).
Contra a alternativa
H1: Oi Ei para pelo menos um i (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio
terica no bom.)
A Estatstica do teste segue a distribuio Qui-quadrado com m-1-k graus de liberdade e dada por:
k
i i
ii
e
eo
1
22 )(
Sendo que:
-
53
k o nmero de categorias ou classes mutuamente exclusivas;
m o nmero de parmetros da distribuio terica que devem ser estimados;
Oi a frequncia observada na categoria ou classe i;
ei = npi a frequncia esperada da categoria i, com i = 1, . . ., k., a deciso relativa ao ajuste ser
baseada no desvio oi - ei.
Pela expresso dada, nota-se que, se as frequncias observadas tiverem valores prximos das esperadas, o
valor de 2 ser pequeno e, provavelmente H0 no ser rejeitada. Porm, se as frequncias observadas
tiverem valores distantes das esperadas, ocorrer o contrrio.
Regra de deciso
Se 22
, rejeita-se H0 e se 22
, no se rejeita H0. Em que 2
o valor crtico com nvel de
significncia e m-1-k graus de liberdade, o qual achado na tabela 2.5 da distribuio qui-quadrado.
Exemplos: ( 1 ) Um engenheiro de controle de qualidade tomou de um processo de produo, 50 amostras,
cada uma com 13 unidades. O nmero de unidades defeituosas para essas amostras esto mostrados a
seguir.
N de unidades
defeituosas
Nmero de amostras
Com 13 unidades
0 10
1 24
2 10
3 4
4 1
5 ou mais 1
Total 50
Teste a hiptese nula ao nvel de significncia de 5% de que o nmero de defeitos segue a distribuio de
Poisson
H0: Oi = Ei (o ajustamento dos dados amostrais distribuio de Poisson bom)
H1: Oi Ei (o ajustamento dos dados amostrais distribuio de Poisson no bom)
-
54
Como os dados esto agrupados e a distribuio discreta, o teste Qui-quadrado para bondade de
ajustamento apropriado. Porm, os parmetros no esto especificados, assim, eles devem ser estimados
para depois aplicar o teste.
A distribuio de Poisson P[X=x] = !x
ex , para x= 0, 1, . . ., em que a mdia de defeitos nas amostra de
tamanho 13.
3,150
)1(5)1(4)4(3)10(2)24(1)10(0
A probabilidade alguma amostra no conter peas defeituosas dada por:
P[X= 0] = 272500
e31 310,
!, ,
Da mesma forma, as probabilidades podem ser calculadas para 1, 2, 3, 4, 5 ou mais peas defeituosas.
No de defeitos N
o de
amostras(Oi)
P[X=x] ][ xXnPei
(0i- ie
)2
0 10 0,2725 13,625 0,9644
1 24 0,3543 17,715 2,2298
2 10 0,2303 11,515 0,1993
3 4 0,0998 4,990 0,1964
4 1 0,0324
15520,535
1,620,
0,0111
5 ou mais 1 0,0107
Total 50 1 3,6010
Nota-se que as frequncias esperadas das duas ltimas categorias so menores do que 5. Portanto as
mesmas foram somadas. Desta forma, restaram apenas k = 4 categorias.
Concluso: Como 2 = 3,6010 menor do que 81,72 05,0
2
1 mk , no se rejeita H0, isto , o ajuste
dos dados amostrais distribuio de Poisson bom.
( 2 ) Em determinada seo de um rio foram realizadas 1000 medidas de sua vazo (em m3/s) obtendo os
seguintes resultados.
-
55
Vazo (m3/s) Frequncia
10 I 14 55
14 I 18 126
18 I 22 325
22 I 26 315
26 I 30 130
30 I 34 49
Total 1000
Testar se os dados amostrais se ajustam distribuio normal, aplicando o teste qui-quadrado.
Enunciado das Hipteses
H0: Oi = Ei para todo i(O ajustamento dos dados amostrais distribuio normal bom).
H1: Oi Ei para pelo menos um i (O ajustamento dos dados amostrais distribuio normal no
bom).
Clculo da mdia e do desvio padro
Vazo (m3/s) Oi = fi xi
10 I 14 55 (10+14)/2=12
14 I 18 126 (14+18)/2=16
18 I 22 325 (18+22)/2=20
22 I 26 315 (22+26)/2=24
26 I 30 130 (26+30)/2=28
30 I 34 49 (30+34)/2=32
Total 1000
944,211000
4932126165512
x
7112,411000
49)944,2132(126)944,2116(55)944,2112( 222
s
Clculo das frequncias esperadas e da estatstica do teste
-
56
z P(Li< Z
-
57
Dimenso Frequncia
11,37 I 11,60 7
11,60 I 12,06 5
12,06 I 12,29 9
12,29 I 12,52 14
12,52 I 12,74 2
12,74 I 12,97 2
12,97 I 13,20 1
a) Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal, utilizando o teste qui-quadrado
para prova de aderncia. Use = 0,05.
4.10 Teste de Kolmogorov-Smirnov
O teste de Kolmogorov-Smirnov, assim como o de Qui-quadrado, um teste de aderncia. O mesmo
aplicado em situaes em que se deseja verificar a aderncia de um conjunto de dados em relao a uma
distribuio de probabilidade especfica.
A hiptese de nulidade especifica alguma funo de distribuio acumulada terica F(x). Uma amostra
x1, x2, . . ., xn retirada de alguma populao cuja funo de distribuio acumulada relativa observada S(x)
calculada, estabelecendo-se o confronto com F(x) para verificar se razovel estudar os dados atravs desta
distribuio terica.
Na maioria dos casos o teste de Kolmogorov-Smirnov mais eficiente do que o teste Qui-quadrado,
principalmente no caso de pequenas amostras.
Os seguintes passos devero ser seguidos nesse teste
(1) )(FF(X):H 00 X (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica bom)
(2) )(FF(X):H 01 X (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica no bom).
(3) Fixar o nvel de significncia
( 4) Clculo da estatstica do teste
1) Agrupam-se os dados amostrais em ordem crescente e calculam-se as frequncias acumuladas relativas
observadas )(S ix para cada valor xi (1 = 1, 2, . . .,n), por meio da expresso a seguir:
-
58
n
xvaloresdenmeroxS ii
)(
Em que xi o i-simo valor observado e n o nmero de valores observados na amostra.
2) Obtm-se para cada valor xi, o valor da frequncia acumulada esperada F(xi) de acordo com a distribuio
terica.
3) Calculam-se as diferenas absolutas )()( ii xSxF para cada i.
4) Calculam-se as diferenas absolutas )()( 1 ii xSxF para cada i.
5) Acha-se o valor da estatstica do teste pela mxima diferena absoluta calculada, levando em considerao
os valores calculados no 3 e no 4 passos, ou seja,
)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd
( 5) Valor crtico
Acha-se o valor crtico dc na tabela do teste de Kolmogorov e Smirnov para o nvel de significncia e
para o tamanho n da amostra.
( 6) Concluso
Se d dc, rejeita-se H0 (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica no
bom).
Se d < dc, no se rejeita H0 (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio terica
bom).
Exemplos:
( 1 ) As 20 observaes (xi) abaixo foram coletadas de uma populao com distribuio desconhecida. Os
dados esto apresentados em ordem crescente de magnitude. Teste ao nvel de significncia de 1% a hiptese
nula de que esses nmeros abaixo tm distribuio uniforme contnua no intervalo (0,1).
-
59
0,11 0,32 0,44 0,51 0,53 0,57 0,6 0,63 0,65 0,69
0,72 0,76 0,79 0,81 0,83 0,87 0,91 0,94 0,96 0,98
(a) H0: F(X) = F0(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio Uniforme contnua no
intervalo (0, 1) bom).
(b) H1: F(X) F0(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio Uniforme contnua no
intervalo (0, 1) no bom).
(c) Clculo da estatstica do teste
Na distribuio uniforme contnua a funo de distribuio acumulada dada por ab
axi
)F(xi . Como
ocorre a = 0 e b = 1, ento, por exemplo para X1 = 0,11 tem-se 11,001
011,0)F(x1
.
Xi )S(xi ab
axi
)F(xi
)()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF
0,11 0,05 0,11 0,06 0,11
0,32 0,10 0,32 0,22 0,27
0,44 0,15 0,44 0,29 0,34
0,51 0,20 0,51 0,31 0,36
0,53 0,25 0,53 0,28 0,33
0,57 0,30 0,57 0,27 0,32
0,60 0,35 0,60 0,25 0,30
0,63 0,40 0,63 0,23 0,28
0,65 0,45 0,65 0,20 0,25
0,69 0,50 0,69 0,19 0,24
0,72 0,55 0,72 0,17 0,22
0,76 0,60 0,76 0,16 0,21
0,79 0,65 0,79 0,14 0,19
0,81 0,70 0,81 0,11 0,16
0,83 0,75 0,83 0,08 0,13
0,87 0,80 0,87 0,07 0,12
0,91 0,85 0,91 0,06 0,11
0,94 0,9 0,94 0,04 0,09
0,96 0,95 0,96 0,01 0,06
0,98 1 0,98 0,02 0,03
-
60
)()(,)()(max 100 iiii xFxFxFxFd =0,36
e) Valor crtico
Na tabela 2.11 do teste de Kolmogorov-Smirnov, para n =20 e = 0,01, ocorre dc = 0,352, como mostra
a figura a seguir.
Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Kolmogorov-Smirnov.
( f) Concluso: Como ocorre (d = 0,36) > (dc = 0,352), rejeita-se H0, isto , o ajuste dos dados amostrais
distribuio uniforme contnua no intervalo (0,1) no bom, ao nvel de significncia de 1%.
( 2 ) Um fabricante de autopeas est prximo de fechar um grande contrato com uma montadora. O ponto
chave a garantia da qualidade de seus produtos, especialmente do dimetro (em mm) dos eixos produzidos,
que ela supe ter distribuio normal, com mdia igual a 100 mm e desvio padro igual a 2 mm. A montadora
selecionou uma amostra aleatria de 15 eixos para testar as especificaes a 5% de significncia. Os valores
esto descritos abaixo:
93,45 94,46 94,93 96,17 96,74
97,07 97,68 97,93 99,10 99,30
100,73 103,29 103,60 103,83 105,2
Enunciado das Hipteses
(a) H0: F(X) = S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 100
mm e desvio padro = 2 mm bom).
(b) H1: F(X) S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 100
mm e desvio padro = 2 mm no bom).
(c) Clculo da estatstica do teste
possvel calcular os valores de Zi por:
-
61
i
x Zi
Por exemplo, para xi = 93,45 tem-se:
28,32
1045,93 Zi
As probabilidades acumuladas dos valores crticos negativos de Z, ou seja, F(xi) = P(Zi -zc), so
achadas no centro da tabela 2.2 da distribuio normal. Por exemplo, para -zc = -3,28 tem-se a probabilidade
acumulada P(Z -3,28) = 0,0005, como mostra a figura abaixo.
Tabela 2.2 - Distribuio normal.
Logo, F(X1) = P(Z -3,28) = 0,0005
As probabilidades acumuladas dos valores crticos positivos de Z, ou seja, F(xi) = P(Zi zc), so
achadas na tabela 2.1 da distribuio normal. Por exemplo, para zc = 0,37 tem-se a probabilidade acumulada
P(Z 0,37) = 0,6443, como mostra a figura abaixo.
Tabela 2.1 - Distribuio normal.
Logo, F(X11) = P(Z 0,37) = 0,6443.
A tabela a seguir mostra todos os valores de Xi e os respectivos valores de zi, )( ixF e )( ixS .
-
62
Xi iz )( ixF )( ixS )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF
93,45 -3,28 0,0005 1/15 = 0,0667 0,0662 0,0005
94,46 -2,77 0,0028 2/15 = 0,1333 0,1305 -0,0639
94,93 -2,54 0,0056 3/15 = 0,2000 0,1944 -0,1277
96,17 -1,92 0,0277 4/15 = 0,2667 0,2390 -0,1723
96,74 -1,63 0,0516 5/15 = 0,3333 0,2817 -0,2151
97,07 -1,47 0,0715 6/15 = 0,4000 0,3285 -0,2618
97,68 -1,16 0,1230 7/15 = 0,4667 0,3437 -0,2770
97,93 -1,04 0,1503 8/15 = 0,5333 0,3830 -0,3164 99,10 -0,45 0,3264 9/15 = 0,6000 0,2736 -0,2069
99,31 -0,35 0,3632 10/15 = 0,6667 0,3035 -0,2368
100,73 0,37 0,6443 11/15= 0,7333 0,0890 -0,0224
103,29 1,65 0,9505 12/15= 0,8000 -0,1505 0,2172
103,60 1,80 0,9641 13/15= 0,8667 -0,0974 0,1641
103,83 1,92 0,9726 14/15= 0,9333 -0,0393 0,1059
105,20 2,60 0,9953 15/15= 1,0000 0,0047 0,0620
Logo, )()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd =0,3830
e) Valor crtico
Na tabela 2.11 do teste de Kolmogorov-Smirnov, para n =15 e = 5%, ocorre dc = 0,338, como mostra
a figura abaixo.
Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Kolmogorov-Smirnov.
(f) Concluso: Como ocorre (d= 0,383) > (dc = 0,338), rejeita-se H0, isto , a aderncia ou ajustamento dos
dados amostrais distribuio normal com mdia igual a 100 mm e desvio padro igual a 2 mm no bom, ao
nvel de significncia de 5%.
4.10.1 Sequncia de exerccios n 8
01 O dados baixo so referentes a uma das dimenses, em mm, de peas auto-motivas produzidas pela
empresa faa certo S/A.
-
63
11,37 11,38 11,51 11,57 11,58 11,58 11,58 11,65 11,72 11,75
11,78 11,78 11,83 11,90 11,90 11,92 11,93 11,93 11,97 12,00
12,01 122,06 12,06 12,07 12,09 12,11 12,11 12,14 12,14 12,19
12,20 12,21 12,23 12,23 12,25 12,46 12,48 12,52 12,65 12,81
Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal com mdia = 12 e varincia 2 =
0,1 mm, utilizando o teste de Kolmogorov-Smirnov. Use = = 5%.
4.11 Teste de Lilliefors para normalidade
O teste de Kolmogorov Smirnov admite um funo de distribuio especfica, com mdia e varincia
conhecidas.
Para testar a normalidade, Lilliefors (1967) introduziu uma modificao no teste de Kolmogorov-
Smirnov ampliando o seu uso aos casos em que a mdia e a varincia populacionais no so previamente
especificadas, mas sim, estimadas atravs dos dados amostrais, ou seja:
n
x
x
n
1ii
1n
xx
S
n
1i
2i
2
)(
e obtm-se a varivel reduzida
S
xxz ii
, i =1,2, . . , n.
O teste estruturado, de forma semelhante ao de KolmogorovSmirnov para achar a diferena mxima
absoluta entre a funo de distribuio acumulada F(xi) e a frequncia relativa acumulada observada S(xi), ou
seja,
)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd
Exemplo
Utilizando o teste de Lilliefors, verifique ao nvel de significncia de 5%, se os dados amostrais abaixo
so provenientes de uma populao com distribuio normal.
-
64
13,9 18,9 21,1 22,2 23,4
17,7 19,4 21,3 22,7 23,8
17,9 19,8 21,7 22,8 24,4
18,3 20,2 21,9 23,2 24,4
18,5 20,6 22,0 23,3 24,9
Enunciado das Hipteses
(a) H0: F(X) = S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal bom).
(b) H1: F(X) S(X) (A aderncia ou ajustamento dos dados amostrais distribuio normal no bom).
c) Calculo da estatstica do teste
132125
924717913x ,
,,,
88566125
1321924132179171321913S
2222 ,
),,(),,(),,(
S = 2,624
Desta forma, possvel calcular os valores de Zi por:
s
x i
x Zi
Por exemplo: para xi = 13,9 tem-se
76,2624,2
13,219,13 Zi
As probabilidades acumuladas dos valores crticos negativos de Z, ou seja, F(x) = P(Z -zc), so
achadas no centro da tabela 2.2 da distribuio normal. Por exemplo, para -zc = -2,76 tem-se a probabilidade
acumulada P(Z -2,76) = 0,0029, como mostra a figura a seguir.
-
65
Tabela 2.2 - Distribuio normal.
As probabilidades acumuladas dos valores crticos positivos de Z, ou seja, F(x) = P(Z zc), so
achadas na tabela 2.1 da distribuio normal. Por exemplo, para zc = 1,44 tem-se a probabilidade acumulada
P(Z 1,44) = 0,9951, como mostra a figura abaixo.
Tabela 2.2 - Distribuio normal.
A tabela a seguir mostra todos os valores de Xi e seus respectivos valores de zi, )( ixF e )( ixS .
xi zi F(xi) S(xi) )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF
13,9 -2,76 0,0029 1/25 = 0,040 0,037 0,003
17,7 -1,31 0,0951 2/25 = 0,080 0,015 0,055
17,9 -1,23 0,1093 3/25 = 0,120 0,011 0,029
18,3 -1,08 0,1401 4/25 = 0,160 0,020 0,020
18,5 -1,00 0,1587 5/25 = 0,200 0,041 0,001
18,9 -0,85 0,1977 6/25 = 0,240 0,042 0,002
19,4 -0,66 0,2546 7/25 = 0,280 0,025 0,015
19,8 -0,51 0,3050 8/25 = 0,320 0,015 0,025
20,2 -0,35 0,3632 9/25 = 0,360 0,003 0,043
20,6 -0,20 0,4207 10/25 = 0,400 0,021 0,061
21,1 -0,01 0,4960 11/25 = 0,440 0,056 0,096
-
66
xi zi F(xi) S(xi) )()( ii xSxF )()( 1 ii xSxF
21,3 0,06 0,5239 12/25 = 0,480 0,044 0,084
21,7 0,22 0,5871 13/25 = 0,520 0,067 0,107
21,9 0,29 0,6141 14/25 = 0,560 0,054 0,094
22,0 0,33 0,6293 15/25 = 0,600 0,029 0,069
22,2 0,41 0,6591 16/25 = 0,640 0,019 0,059
22,7 0,60 0,7257 17/25 = 0,680 0,046 0,086
22,8 0,64 0,7389 18/25 = 0,720 0,019 0,059
23,2 0,79 0,7852 19/25 = 0,760 0,025 0,065
23,3 0,83 0,7967 20/25 = 0,800 0,003 0,037
23,4 0,87 0,8078 21/25 = 0,840 0,032 0,008
23,8 1,02 0,8461 22/25 = 0,880 0,034 0,006
24,4 1,25 0,8944 24/25 = 0,960 0,066 0,014
24,9 1,44 0,9251 25/25 = 1,000 0,075 0,035
Assim, o valor da estatstica do teste :
)()(,)()(max 1 iiii xSxFxSxFd = 0,107
d) Valor crtico
Na tabela 2.11 do teste de Lilliefors, para n =25 e = 5%, tem-se dc = 0,173, como mostra a figura
abaixo.
Tabela 2.11- Valores crticos dc para o teste de Lilliefors
Concluso: como ocorre (d = 0,107) < (dc =0,173), no se rejeita H0, isto , a aderncia ou ajuste dos dados
amostrais distribuio normal bom.
-
67
4.11.1 Sequncia de exerccios n 9
01 O dados baixo so referentes a uma das dimenses, em mm, de peas euto-motivas produzidas pela
empresa faa certo S/A.
11,37 11,38 11,51 11,57 11,58 11,58 11,58 11,65 11,72 11,75
11,78 11,78 11,83 11,90 11,90 11,92 11,93 11,93 11,97 12,00
12,01 122,06 12,06 12,07 12,09 12,11 12,11 12,14 12,14 12,19
12,20 12,21 12,23 12,23 12,25 12,46 12,48 12,52 12,65 12,81
Testar a bondade de ajustamento dos dados amostrais distribuio normal, utilizando Teste de Lilliefors para
normalidade . Use = 5%.
-
68
4.12 Tabelas Estatsticas
Tabela 2.1 - Distribuio normal - probabilidade acumulada de o valor de Z padronizado estar abaixo ou igual ao valor
crtico positivo Zc.
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
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2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,993
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