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Titulaire : Professeur Kim Oosterlinck

Théorie financière Travaux pratiques – Session 7 « Les options» Ex. : HyeneG

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HyeneG Rappel théorique

• Pourquoi était-il si difficile de pricer une option?

Il faut déterminer les préférences des investisseurs (aversion au risque,…) ainsi que tous les cash-flows possibles de l’option (ainsi que leurs probabilités)

La méthode classique (discounter les cash-flows par un coût d’opportunité calculé en utilisant le bêta) ne fonctionne pas car le risque de l’option change constamment.

Black & Scholes : une option n’est rien d’autre qu’une combinaison de l’action sous-jacente et d’un actif sans risque.

• Par la loi du prix unique: le prix de l’option doit être égal au prix de ce portefeuille.

• Or nous connaissons le prix de l’action ainsi que le taux sans risque.

• Pour déterminer le prix de l’option, il suffit donc de connaitre la proportion d’action et d’actif sans risque.

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HyeneG Rappel théorique

• Il est pourtant difficile de concevoir que les cash-flows, les probabilités de ceux-ci, ainsi que les préférences des investisseurs n’interviennent pas dans la formule de B & S.

• Pourquoi? Car tout ceci est résumé dans le prix de l’action: le prix de l’action est fonction des préférences des investisseurs, des cash-flows futurs ainsi que leurs probabilités.

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HyeneG Rappel théorique : Exemple

• Exemple :

• Nous pouvons répliquer le call en utilisant des actions et des obligations sans risque (strike=50):

• Par la loi du prix unique l’option doit valoir :

60 1.06 10

40 1.06 0

B

B

0.5

18.87B

60 0.5 1.06 18.87 10

40 0.5 1.06 18.87 0

50 50 0.5 18.87 6.13B

5

HyeneG Rappel théorique : Exemple

• Le méchanisme est donc le suivant :

6

HyeneG Rappel théorique : Exemple

7

HyeneG Rappel théorique : Exemple

• Exemple :

• Pour que notre portefeuille réplique l’option, il faut :

• Ce qui signifie :

• Le prix de l’option :

1

1

u f u

d f d

S r B C

S r B C

u d

u d

C C

S S

1

d d

f

C SB

r

C S B

8

HyeneG Rappel théorique : Exemple

• En temps continu, cela donne :

• Les signes de delta et alpha varient en fonction du type d’option :

0 : Call

0 : Put

0 : Put

0 : Call

u d

rf t

u u

rf td ud d

rf t

C C

C S e uS dS

uC dCC S e

u d e

9

HyeneG Question 1

• A) Calcul de l’amplitude des mouvements up & down :

• B) Arbre binomial :

A chaque pas, on multiplie par u et d

10.3

12 1.09046tu e e 1

0.917du

10

HyeneG Question 2

• A) Rentabilité attendue (1 mois) :

Première méthode :

Deuxième méthode :

1 1 1Réelle RéelleE r dt u d

1.01257 0.9170.551011

1.09046 0.917

rdt

Réelle

e d

u d

0.551011 0.09046 0.448988 0.083 1.257%E r

1

0.15121 1.01257E r dt e

1RéelleE r dt u 1d 1d

11

HyeneG Question 2

• B) Beta de l’action:

1ère étape : calculer les rentabilités attendues pour 1 mois :

2ème étape : utiliser le CAPM

1

0.07121 1 1.00585rm m e

1.257% 0.333% 0.585% 0.333%

3.666

1

0.04121 1 1.00333rf m e

i f m fr r r r

12

HyeneG Question 3

• Pour calculer la valeur de l’option en t=0, on commence par déterminer la valeur de l’option en t=2 :

• En répliquant l’option cela donne :

1.26 27.26

0 22.93

rf t

rf t

e

e

0.04 1/12

1.26 00.291

27.26 22.93

1.09 0 0.917 1.266.65

1.09 0.917

u d

d u

rf t

C C

uS dS

uC dC

u d e e

25 6.65

0.291 25 6.65

0.63

C

13

HyeneG Question 3

• Pour trouver la valeur de l’option en t=0, on commence par déterminer la valeur de l’option en t=2 :

-

14

HyeneG Question 3

• La rentabilité attendue en période t=2 (on est en t=1) est :

En cas de mouvement à la hausse

En cas de mouvement à la baisse

• Ce qui signifie que la rentabilité est :

• La variance de la rentabilité change en permanence, contrairement à l’action sous-jacente.

0.5510 68.9% 1 0.5510 66.84%

7.95%

R

6.42 3.8068.9%

3.80

1.26 3.8066.84%

3.80

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HyeneG Question 4

• Pour trouver la valeur du put, nous procédons de la même manière excepté le fait que les cash-flows diffèrent :

• En répliquant l’option cela donne :

0.709

19.23

0 27.26

3.07 22.93

rf t

rf t

e

e

16

• Pour trouver la valeur de l’option en t=0, on commence par déterminer la valeur de l’option en t=2 :

HyeneG Question 4

17

HyeneG Question 5

261.99 1.25

rf tS

e ( )S P C PV K

• La parité put-call permet de lier le prix d’une option call à celui d’une

option put.

• Cela nous donne :

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HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• Reprenons notre exemple :

• Nous avions vu que :

• En remplaçant :

C S B

1

u d d d

u d f

C C C SC S

S S r

1

u dd d

u d u d

u d f

C CC S

C C S SC S

S S r

1

u dd

u d

f

C CC dS

S u dC CC S

S u d r

19

HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• En poursuivant le remplacement :

• Si l’on définit :

• On obtient

1

u u d d

f

p C p CC

r

1

11

f

u

f

d u

r dp

u d

u rp p

u d

1 1

1 1

u f d f

f f

C r d C u rC

u d r r u d

1

1 1

u d f d u d

f f

C C r C u d d C CC

u d r r u d

1

1 1

d u du df

f f

C S u d dS C CC CC S r

S u d r r S u d

20

HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

rf tC S e

u dC CC

u S

d S rf t

rf te S

e

d u rf t

rf t

uC dCe

u d e

1

rf t rf t

u d

rf t

rf t

p

rf t rf t

e d C e u CC

u d e

e dp

u d

e u e du d

u d u d u d

• En temps continu, cela donne :

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HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• Pourquoi peut-on évaluer une option dans un monde risque neutre?

Pour évaluer l’option nous n’avons pas eu besoin de connaitre les probabilités, ni les préférences des investisseurs.

En effet, tant qu’il existe un prix de marché pour l’action, tous les investisseurs s’accorderont sur le prix de l’option.

Pourquoi? Car qqsoit les préférences des investisseurs, la loi du prix unique est vérifiée pour tout le monde (arbitrage) : que l’on soit très averse au risque ou peu averse au risque, si les deux prix ne sont pas égaux on achètera l’actif le moins cher.

Si cela est vrai pour tous les investisseurs, c’est également vrai pour les investisseurs risque neutre.

On peut donc évaluer l’option en considérant que les investisseurs ne demandent pas de compensation pour le risque

Les probabilités risque neutre seront plus pessimistes que celle du marché (option évaluée sur base du prix de l’action qui est fonction de l’aversion au risque du marché (positive))

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HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• Partons du prix de l’action pour un investisseur risque-neutre (1er exemple) :

• Ce qui nous donne la probabilité risque neutre suivante (la probabilité est donc contrainte par le vrai prix de l’action, cela restera cohérent avec notre évaluation basée sur le prix unique. Nous allons le vérifier tout de suite….)

• Le prix de l’option doit être égal à :

60 1 40

501 f

p p

r

50 1 20 40

50 1 40 20

50 1 40

20

f

f

f

r p

r p

rp

10 50

20

frp

60 1 1 40 1

1

f f

f

p B r p B rC

r

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HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• En remplaçant, on obtient :

10 50 10 5060 1 1 40 1

20 20

1

f f

f f

f

r rB r B r

Cr

10 50 60 1 10 50 10 50 40 1 10 5040 1

20 20 20 20

1

f f f f f f

f

f

r B r r r B r rB r

Cr

10 5060 40 40 1

20

1

f

f

f

rB r

Cr

10 50 40 1

1

f f

f

r B rC

r

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HyeneG Rappel théorique : probabilités risque neutre

• En poursuivant le remplacement :

• On obtient :

• Les probabilités et les préférences n’ont donc aucune importance, on peut donc considérer que l’investisseur est neutre au risque

50 50 1

1

f f

f

r B rC

r

1 50 1

1

f f

f

r B rC

r

50 B C

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HyeneG Questions 6 – 7

• 6) Probabilité d’un mouvement à la hausse dans un monde neutre au

risque:

• 7) Rentabilité dans un monde risque neutre?

1.00333 0.9170.49769

1.09046 0.917

rfdt

RN

e d

u d

1

0.04121 1 1.00333rf m e

1 1 1RN RNu d rf

26

HyeneG Question 8

• Calcul de la valeur de l’option dans un monde risque neutre :

• Calcul des probabilités des cash-flows finaux :

• Valeur de l’option :

1u d

rfdt

C CC

e

3 2

3

12

6.42 3 1 1.26 0 01.25

rf

C

e

3 3

2 2

2 2

3 3

Proba Path Proba totale

6.42 p 1 p

1.26 1 3 3 1

0 1 3 3 1

0 1 1 1

p p p p

p p p p

p p

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HyeneG Question 9

• On exerce l’option avant maturité si : 1u d

rfdt

C CS K

e