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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Torsion dans l’homologie des groupeskleinéens arithmétiques
Aurel Pagecollaborations avec Alex Bartel et Haluk Sengün
University de Warwick
11 décembre 2015
Séminaire de géométrie et algèbre effectives
Aurel Page Torsion dans l’homologie des groupes kleinéens arithmétiques
Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Plan
Groupes kleinéens arithmétiquesLa conjecture de Jacquet–Langlands pour la torsionVariétés isospectrales et torsion dans l’homologie
Aurel Page Torsion dans l’homologie des groupes kleinéens arithmétiques
Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Groupes kleinéensarithmétiques
Aurel Page Torsion dans l’homologie des groupes kleinéens arithmétiques
Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Groupes arithmétiues
Groupe arithmétique ≈ G(Z) pour G groupe algébriquelinéaire sur Q.Exemples : SLn(ZF ),O(qZ).
Motivation :Théories de réduction classiques : Gauss, Minkowski,Siegel.Classe intéressante de réseaux dans des groupes de Lie.Automorphismes d’objets naturels : formes quadratiques,variétés abéliennes.Formes modulaires / formes automorphes.Paramétrage de structures : variétés de Shimura,constructions de Bhargava.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Groupes kleinéens arithmétiques
Groupe kleinéen arithmétique = sous-groupe arithmétiquede PSL2(C).Pourquoi étudier ce cas ?
Petite dimension : géométrie plus simple mais arithmétiqueriche.Variétés hyperboliques de dimension 3.Lien avec les unités dans les algèbres de quaternions.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Groupes kleinéens arithmétiques
F corps de nombres avec r2 = 1. Exemple : F = Q(√−d).
B algèbre de quaternions sur F :B = F + Fi + Fj + Fij avec i2 = a, j2 = b, ij = −ij .Ramifiée aux places réelles : a,b � 0Exemple : B =M2(F ) (a = b = 1).
Norme réduite :nrd : B → F multiplicativenrd(x + yi + zj + tij) = x2 − ay2 − bz2 + abt2.Exemple : nrd = det
O ordre dans B : sous-anneau, Z-module de type fini, OF = B.Exemple : O =M2(ZF ).
Γ = O1/{±1} ⊂ PSL2(C)
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Domaines de Dirichlet
PSL2(C) agit sur l’espace hyperbolique H3 de dimension 3.
Dp(Γ) = {x ∈ H3 | d(x ,p) ≤ d(γx ,p) pour tout γ ∈ Γ}
est un domaine fondamental de volume fini, avec un nombrefini de faces, qui fournit une présentation de Γ.
Exemple :D2i(PSL2(Z)) = domaine fondamental habituel.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Domaines de Dirichlet
PSL2(C) agit sur l’espace hyperbolique H3 de dimension 3.
Dp(Γ) = {x ∈ H3 | d(x ,p) ≤ d(γx ,p) pour tout γ ∈ Γ}
est un domaine fondamental de volume fini, avec un nombrefini de faces, qui fournit une présentation de Γ.
Exemple :D2i(PSL2(Z)) = domaine fondamental habituel.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Algorithmes
Algorithme de base :Énumérer des éléments de Γ et calculer le domaine deDirichlet partiel.Arrêt quand le domaine de peut plus diminuer.
Algorithme efficace :Énumeration efficace de Γ.Il suffit de trouver n’importe quel ensemble de générateurs.Critère d’arrêt utilisant une formule du volume et lastructure combinatoire du domaine de Dirichlet.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Algorithmes
Algorithme de base :Énumérer des éléments de Γ et calculer le domaine deDirichlet partiel.Arrêt quand le domaine de peut plus diminuer.
Algorithme efficace :Énumeration efficace de Γ.Il suffit de trouver n’importe quel ensemble de générateurs.Critère d’arrêt utilisant une formule du volume et lastructure combinatoire du domaine de Dirichlet.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands pour latorsion
collaboration avec Haluk Sengün
Cohomologie et représentations galoisiennesLa conjecture de Jacquet–Langlands pour la torsion
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands pour latorsion
collaboration avec Haluk Sengün
Cohomologie et représentations galoisiennesLa conjecture de Jacquet–Langlands pour la torsion
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Cohomologie et formes automorphes
Formle de Matsushima : Γ sous-groupe discret cocompact dugroupe de Lie connexe G, E représentation de G.
H i(Γ,E) ∼=⊕π∈G
Hom(π,L2(Γ\G))⊗ H i(g,K ;π ⊗ E)
La cohomologie admet une action d’opérateurs de Hecke,compatibles avec ceux sur les formes automorphes.
On devrait pouvoir attacher des représentationsGaloisiennes aux classes propres pour les opérateurs Hecke.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Torsion et représentations galoisiennes
Théorème (Scholze, conjecture de Ash)
Soit Γ un sous-groupe de congruence de GLn(ZF ) où F est uncorps CM. Alors pour tout système de valeurs propres deHecke dans H i(Γ,Fp), il existe une représentations continuesemi-simple ρ : Gal(F/F )→ GLn(Fp) vérifiant la relation
det(X − ρ(Frob`)) = X 2 − a`X + N(`)
pour presque tout ` ⊂ ZF .
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Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands classique
F = Q(√−d).
B algèbre de quaternions sur F de discriminant D (idéal :ensemble des mauvais premiers). N idéal premier à D.On obtient deux groupes kleinéens arithmétiques :
Γ0(ND) ⊂ PSL2(ZF )
ΓD0 (N) ⊂ B1/{±1}
Théorème (Jacquet–Langlands)
Il existe un isomorphisme préservant les opérateurs de Hecke :
H1(ΓD0 (N),C)→ H1,cusp(Γ0(ND),C)D−new
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Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands classique
F = Q(√−d).
B algèbre de quaternions sur F de discriminant D (idéal :ensemble des mauvais premiers). N idéal premier à D.On obtient deux groupes kleinéens arithmétiques :
Γ0(ND) ⊂ PSL2(ZF )
ΓD0 (N) ⊂ B1/{±1}
Théorème (Jacquet–Langlands)
Il existe un isomorphisme préservant les opérateurs de Hecke :
H1(ΓD0 (N),C)→ H1,cusp(Γ0(ND),C)D−new
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Variétés isospectrales et torsion
Conjecture naive pour la torsion
Conjecture (naive)Il existe un isomorphisme préservant les opérateurs de Hecke :
H1(ΓD0 (N),Z)→ H1,cusp(Γ0(ND),Z)D−new
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Variétés isospectrales et torsion
Classes de congruence
F = Q(√−3), D = 2p3
H1(ΓD0 (1),Z) ∼= Z/20
H1(Γ0(D),Z) ∼= Z/6
Problème : classes de congruence, tellesque Γ0(N)/Γ1(N)→ (ZF/N)×.
Plus généralement, classes d’Eisenstein : valeur propre de Tp
est χ1(p) + χ2(p)N(p) pour des caractères χ1, χ2 de groupesde classes de rayon.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Classes de congruence
F = Q(√−3), D = 2p3
H1(ΓD0 (1),Z) ∼= Z/20
H1(Γ0(D),Z) ∼= Z/6
Problème : classes de congruence, tellesque Γ0(N)/Γ1(N)→ (ZF/N)×.
Plus généralement, classes d’Eisenstein : valeur propre de Tp
est χ1(p) + χ2(p)N(p) pour des caractères χ1, χ2 de groupesde classes de rayon.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Élévation de niveau
(au tableau)
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands pour la torsion
m idéal maximal de l’algèbre de Hecke = système de valeurspropre de Hecke modulo un premier p.
Conjecture (Calegari–Venkatesh)
Si m n’est pas Eisenstein, alors
|H1(ΓD0 (N),Z)m| = |H1,cusp(Γ0(ND),Z)D−new
m |
Théorème (Calegari–Venkatesh) : version numérique (sansopérateurs de Hecke) dans certains cas.
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Variétés isospectrales et torsion
Jacquet–Langlands pour la torsion
m idéal maximal de l’algèbre de Hecke = système de valeurspropre de Hecke modulo un premier p.
Conjecture (Calegari–Venkatesh)
Si m n’est pas Eisenstein, alors
|H1(ΓD0 (N),Z)m| = |H1,cusp(Γ0(ND),Z)D−new
m |
Théorème (Calegari–Venkatesh) : version numérique (sansopérateurs de Hecke) dans certains cas.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Test de la conjecture
Test systématique avec un nombre fini d’opérateurs deHeckePreuve automatique pour les systèmes de valeurs propresdans F2 et F3 en utilisant Scholze + résolubilité de GL2(F2)et GL2(F3).
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Variétés isospectraleset torsion dans l’homologie
collaboration avec Alex Bartel
Variétés isospectralesTorsion dans leur homologieCalculs et exemples
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Variétés isospectraleset torsion dans l’homologie
collaboration avec Alex Bartel
Variétés isospectralesTorsion dans leur homologieCalculs et exemples
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Peut-on entendre la forme d’un tabour ?
Question mathématique (Kac 1966) :M,M ′ même spectre pour l’opérateur de Laplace(isospectrales)=⇒ M,M ′ isometriques ?Variété riemannienne compacte M opérateur deLaplace–Beltrami ∆ sur les fonctions (opérateur différentield’ordre 2).Spectre discret : 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
Réponse :Milnor 1964 : Non ! (dimension 16)Sunada 1985 : Non ! (dimension d)Gordon, Webb, Wolpert 1992 : Non ! (domaines du plan)
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Variétés isospectrales et torsion
Peut-on entendre la forme d’un tabour ?
Question mathématique (Kac 1966) :M,M ′ même spectre pour l’opérateur de Laplace(isospectrales)=⇒ M,M ′ isometriques ?Variété riemannienne compacte M opérateur deLaplace–Beltrami ∆ sur les fonctions (opérateur différentield’ordre 2).Spectre discret : 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
Réponse :Milnor 1964 : Non ! (dimension 16)Sunada 1985 : Non ! (dimension d)Gordon, Webb, Wolpert 1992 : Non ! (domaines du plan)
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Variétés isospectrales et torsion
Peut-on entendre la forme d’un tabour ?
Question mathématique (Kac 1966) :M,M ′ même spectre pour l’opérateur de Laplace(isospectrales)=⇒ M,M ′ isometriques ?Variété riemannienne compacte M opérateur deLaplace–Beltrami ∆ sur les fonctions (opérateur différentield’ordre 2).Spectre discret : 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
Réponse :Milnor 1964 : Non ! (dimension 16)Sunada 1985 : Non ! (dimension d)Gordon, Webb, Wolpert 1992 : Non ! (domaines du plan)
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Variétés isospectrales et torsion
Quelles propriétés des tambours peut-on entendre ?
Volume : loi de WeylNombres de Betti (si fortement isospectrales)Torsion dans l’homologie ?Sunada : Non ! (dimension 4)
Question plus fine : petite dimension, classes particulières devariétésDimension 2 orientable =⇒ homologie sans torsionDimension 3 orientable =⇒ H0, H2 et H3 sans torsion
Théorème (P., Bartel)Pour tout premier p ≤ 37, il existe une paire de 3-variétéshyperboliques compactes M,M ′ qui sont fortementisospectrales et revêtent une variétés commune, mais avec
|H1(M,Z)[p∞]| 6= |H1(M ′,Z)[p∞]|
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Variétés isospectrales et torsion
Quelles propriétés des tambours peut-on entendre ?
Volume : loi de WeylNombres de Betti (si fortement isospectrales)Torsion dans l’homologie ?
Sunada : Non ! (dimension 4)
Question plus fine : petite dimension, classes particulières devariétésDimension 2 orientable =⇒ homologie sans torsionDimension 3 orientable =⇒ H0, H2 et H3 sans torsion
Théorème (P., Bartel)Pour tout premier p ≤ 37, il existe une paire de 3-variétéshyperboliques compactes M,M ′ qui sont fortementisospectrales et revêtent une variétés commune, mais avec
|H1(M,Z)[p∞]| 6= |H1(M ′,Z)[p∞]|
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Variétés isospectrales et torsion
Quelles propriétés des tambours peut-on entendre ?
Volume : loi de WeylNombres de Betti (si fortement isospectrales)Torsion dans l’homologie ?Sunada : Non ! (dimension 4)
Question plus fine : petite dimension, classes particulières devariétésDimension 2 orientable =⇒ homologie sans torsionDimension 3 orientable =⇒ H0, H2 et H3 sans torsion
Théorème (P., Bartel)Pour tout premier p ≤ 37, il existe une paire de 3-variétéshyperboliques compactes M,M ′ qui sont fortementisospectrales et revêtent une variétés commune, mais avec
|H1(M,Z)[p∞]| 6= |H1(M ′,Z)[p∞]|
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Variétés isospectrales et torsion
Quelles propriétés des tambours peut-on entendre ?
Volume : loi de WeylNombres de Betti (si fortement isospectrales)Torsion dans l’homologie ?Sunada : Non ! (dimension 4)
Question plus fine : petite dimension, classes particulières devariétésDimension 2 orientable =⇒ homologie sans torsionDimension 3 orientable =⇒ H0, H2 et H3 sans torsion
Théorème (P., Bartel)Pour tout premier p ≤ 37, il existe une paire de 3-variétéshyperboliques compactes M,M ′ qui sont fortementisospectrales et revêtent une variétés commune, mais avec
|H1(M,Z)[p∞]| 6= |H1(M ′,Z)[p∞]|Aurel Page Torsion dans l’homologie des groupes kleinéens arithmétiques
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Variétés isospectrales et torsion
Corps de nombres isospectraux
Des corps de nombres K ,K ′ sont arithmétiquementéquivalents, ou isospectraux si ζK = ζK ′ mais K � K ′.
Même degré, même signature.Même discriminant.Même plus grand sous-corps qui soit galoisien sur QMêmes racines de l’unité.Même produit nombre de classes × régulateur.
Même nombre de classes ?Dyer 1999 : Non !Seuls exemples connus où vp(hK1) 6= vp(hK2) : p = 2,3,5.
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Variétés isospectrales et torsion
Corps de nombres isospectraux
Des corps de nombres K ,K ′ sont arithmétiquementéquivalents, ou isospectraux si ζK = ζK ′ mais K � K ′.
Même degré, même signature.Même discriminant.
Même plus grand sous-corps qui soit galoisien sur Q
Mêmes racines de l’unité.Même produit nombre de classes × régulateur.
Même nombre de classes ?
Dyer 1999 : Non !Seuls exemples connus où vp(hK1) 6= vp(hK2) : p = 2,3,5.
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Variétés isospectrales et torsion
Corps de nombres isospectraux
Des corps de nombres K ,K ′ sont arithmétiquementéquivalents, ou isospectraux si ζK = ζK ′ mais K � K ′.
Même degré, même signature.Même discriminant.Même plus grand sous-corps qui soit galoisien sur QMêmes racines de l’unité.Même produit nombre de classes × régulateur.
Même nombre de classes ?
Dyer 1999 : Non !Seuls exemples connus où vp(hK1) 6= vp(hK2) : p = 2,3,5.
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Corps de nombres isospectraux
Des corps de nombres K ,K ′ sont arithmétiquementéquivalents, ou isospectraux si ζK = ζK ′ mais K � K ′.
Même degré, même signature.Même discriminant.Même plus grand sous-corps qui soit galoisien sur QMêmes racines de l’unité.Même produit nombre de classes × régulateur.
Même nombre de classes ?Dyer 1999 : Non !Seuls exemples connus où vp(hK1) 6= vp(hK2) : p = 2,3,5.
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Variétés isospectrales et torsion
Formules de valeurs spéciales
Formule analytique du nombre de classes :
lims→1
(s − 1)ζK (s) =2r1(2π)r2hK RK
wK |DK |1/2
Spectre de ∆ sur les i-formes : ζM,i(s) =∑λ−s.
Théorème de Cheeger–Müller (conjecturé par Ray–Singer) :∏i
(Ri(M) · |Hi(M,Z)tors|
)(−1)i=∏
i
exp(12ζ′M,i(0))(−1)i
Ri(M) régulateur de Hi(M,Z)/Hi(M,Z)tors.
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Variétés isospectrales et torsion
Formules de valeurs spéciales
Formule analytique du nombre de classes :
lims→1
(s − 1)ζK (s) =2r1(2π)r2hK RK
wK |DK |1/2
Spectre de ∆ sur les i-formes : ζM,i(s) =∑λ−s.
Théorème de Cheeger–Müller (conjecturé par Ray–Singer) :∏i
(Ri(M) · |Hi(M,Z)tors|
)(−1)i=∏
i
exp(12ζ′M,i(0))(−1)i
Ri(M) régulateur de Hi(M,Z)/Hi(M,Z)tors.
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Variétés isospectrales et torsion
Formules de valeurs spéciales
Formule analytique du nombre de classes :
lims→1
(s − 1)ζK (s) =2r1(2π)r2hK RK
wK |DK |1/2
Spectre de ∆ sur les i-formes : ζM,i(s) =∑λ−s.
Théorème de Cheeger–Müller (conjecturé par Ray–Singer) :∏i
(Ri(M) · |Hi(M,Z)tors|
)(−1)i=∏
i
exp(12ζ′M,i(0))(−1)i
Ri(M) régulateur de Hi(M,Z)/Hi(M,Z)tors.
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Variétés isospectrales et torsion
Exemples de régulateurs
R0(M) = Vol(M)−1/2
Rd (M) = Vol(M)1/2
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Variétés isospectrales et torsion
Construction d’objets isospectraux
Triplets de Gassmann (1925) :G groupe fini et H,H ′ sous-groupes tels que
C[G/H] ∼= C[G/H ′].
⇐⇒ pour toute classe de conjugaison C, |C ∩ H| = |C ∩ H ′|.
Si K corps de nombres galoisien de groupe de Galois G, alors
ζK H (s) = L(C[G/H], s).
Sunada : si X → Y est un revêtement galoisien de groupe deGalois G, alors X/H et X/H ′ sont fortement isospectrales.
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Variétés isospectrales et torsion
Construction d’objets isospectraux
Triplets de Gassmann (1925) :G groupe fini et H,H ′ sous-groupes tels que
C[G/H] ∼= C[G/H ′].
⇐⇒ pour toute classe de conjugaison C, |C ∩ H| = |C ∩ H ′|.
Si K corps de nombres galoisien de groupe de Galois G, alors
ζK H (s) = L(C[G/H], s).
Sunada : si X → Y est un revêtement galoisien de groupe deGalois G, alors X/H et X/H ′ sont fortement isospectrales.
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Construction d’objets isospectraux
Triplets de Gassmann (1925) :G groupe fini et H,H ′ sous-groupes tels que
C[G/H] ∼= C[G/H ′].
⇐⇒ pour toute classe de conjugaison C, |C ∩ H| = |C ∩ H ′|.
Si K corps de nombres galoisien de groupe de Galois G, alors
ζK H (s) = L(C[G/H], s).
Sunada : si X → Y est un revêtement galoisien de groupe deGalois G, alors X/H et X/H ′ sont fortement isospectrales.
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Variétés isospectrales et torsion
Exemple de triplet de Gassmann
G = SL3(F2) agissant sur P2(F2).
H = stabilisateur d’un point
H ′ = stabilisateur d’une droite
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Variétés isospectrales et torsion
Théorie des représentations
C[G/H] ∼= C[G/H ′]
⇐⇒ Q[G/H] ∼= Q[G/H ′]
⇐⇒ Qp[G/H] ∼= Qp[G/H ′]
⇐= Zp[G/H] ∼= Zp[G/H ′]
et⇐⇒ si p - |G|.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Isomorphisme en p
Proposition (P., Bartel)
Si Zp[G/H] ∼= Zp[G/H ′] alors
Hi(X/H,Z)⊗ Zp ∼= Hi(X/H ′,Z)⊗ Zp.
En particulier,∣∣Hi(X/H,Z)[p∞]∣∣ =
∣∣Hi(X/H ′,Z)[p∞]∣∣.
Démonstration.On a
Hi(X/H,Z)⊗ Zp ∼= Hi(X/H,Zp) ∼= Hi(X/G,Zp[G/H]).
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Variétés isospectrales et torsion
Isomorphisme en p
Proposition (P., Bartel)
Si Zp[G/H] ∼= Zp[G/H ′] alors
Hi(X/H,Z)⊗ Zp ∼= Hi(X/H ′,Z)⊗ Zp.
En particulier,∣∣Hi(X/H,Z)[p∞]∣∣ =
∣∣Hi(X/H ′,Z)[p∞]∣∣.
Démonstration.On a
Hi(X/H,Z)⊗ Zp ∼= Hi(X/H,Zp) ∼= Hi(X/G,Zp[G/H]).
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Variétés isospectrales et torsion
Plus petit triplet de Gassmann
Théorème (de Smit)
Soit p un premier impair. Si G,H,H ′ est un triplet de Gassmanntel que
Zp[G/H] � Zp[G/H ′]
et [G : H] ≤ 2p + 2, alors il existe un isomorphisme
G ∼= GL2(Fp)/(F×p )2
qui envoie H,H ′ sur (� ∗0 ∗
)et(∗ ∗0 �
).
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Variétés isospectrales et torsion
Constantes de régulateurs
Régulateur : transcendant, dépend de l’exemple particulier,difficile.Constante de régulateurs : rationelle, dépend seulement de lareprésentation, facile.
G,H,H ′ triplet de Gassmann, ρ représentation de G sur R = Zou Q. 〈·, ·〉 forme bilinéaire G-invariante non dégénéréesur ρ⊗ C.
C(ρ) =det(〈·, ·〉|ρH/(ρH)tors)
det(〈·, ·〉|ρH′/(ρH′)tors)∈ /(R×)2.
Théorème (Dokchitser, Dokchitser)
C(ρ) est indépendante de la forme bilinéaire choisie.
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Groupes kleinéens arithmétiquesJacquet–Langlands pour la torsion
Variétés isospectrales et torsion
Constantes de régulateurs
Régulateur : transcendant, dépend de l’exemple particulier,difficile.Constante de régulateurs : rationelle, dépend seulement de lareprésentation, facile.
G,H,H ′ triplet de Gassmann, ρ représentation de G sur R = Zou Q. 〈·, ·〉 forme bilinéaire G-invariante non dégénéréesur ρ⊗ C.
C(ρ) =det(〈·, ·〉|ρH/(ρH)tors)
det(〈·, ·〉|ρH′/(ρH′)tors)∈ C/(R×)2.
Théorème (Dokchitser, Dokchitser)
C(ρ) est indépendante de la forme bilinéaire choisie.
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Variétés isospectrales et torsion
Constantes de régulateurs
Régulateur : transcendant, dépend de l’exemple particulier,difficile.Constante de régulateurs : rationelle, dépend seulement de lareprésentation, facile.
G,H,H ′ triplet de Gassmann, ρ représentation de G sur R = Zou Q. 〈·, ·〉 forme bilinéaire G-invariante non dégénéréesur ρ⊗ C.
C(ρ) =det(〈·, ·〉|ρH/(ρH)tors)
det(〈·, ·〉|ρH′/(ρH′)tors)∈ R/(R×)2.
Théorème (Dokchitser, Dokchitser)
C(ρ) est indépendante de la forme bilinéaire choisie.
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Variétés isospectrales et torsion
Exemple des unités
K/Q galoisienne de groupe G. Soit G,H1,H2 un triplet deGassmann. Soit ρ = Z×K vu comme G-module. Ki = K Hi . Alors
C(ρ) =RK1
RK2
=hK2
hK1
·
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Variétés isospectrales et torsion
Exemple de constantes de régulateurs
G = GL2(Fp)/�, H+ =
(� ∗0 ∗
), H− =
(∗ ∗0 �
).
B =
(∗ ∗0 ∗
)⊂ GL2(Fp), r :
(a ∗0 ∗
)7→(a
p
).
I = IndGB r irréductible, de dimension p + 1.
Proposition (P., Bartel)Pour toute représentation irréductible ρ de G sur Q, ona C(ρ) = 1 mod (Q×)2, à l’exception de C(I) = p mod (Q×)2.
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Exemple de constantes de régulateurs
G = GL2(Fp)/�, H+ =
(� ∗0 ∗
), H− =
(∗ ∗0 �
).
B =
(∗ ∗0 ∗
)⊂ GL2(Fp), r :
(a ∗0 ∗
)7→(a
p
).
I = IndGB r irréductible, de dimension p + 1.
Proposition (P., Bartel)Pour toute représentation irréductible ρ de G sur Q, ona C(ρ) = 1 mod (Q×)2, à l’exception de C(I) = p mod (Q×)2.
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Variétés isospectrales et torsion
Comparaison de régulateurs
Théorème (P., Bartel)Soit X → Y revêtement galoisien de 3-variétés hyperboliquesde groupe de Galois G. Soit G,H,H ′ un triplet de Gassmannet p premier. Supposons |Hab| et |H ′ab| non divisibles par p.ρ := G-module H2(X ,Z). Alors
vp
(R(X/H ′)R(X/H)
)= vp(C(ρ)).
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Variétés isospectrales et torsion
Calculs
Bonne source de 3-variétés : les groupes kleinéensarithmétiques !
h : Γ→ G surjective, Y = H3/Γ et X = H3/ ker h,=⇒ X → Y est un revêtemen galoisien de groupe de Galois G.
H1(X/H,R) ∼= H1(h−1(H),R) ∼= H1(Γ,R[G/H]).
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Calculs
Bonne source de 3-variétés : les groupes kleinéensarithmétiques !
h : Γ→ G surjective, Y = H3/Γ et X = H3/ ker h,=⇒ X → Y est un revêtemen galoisien de groupe de Galois G.
H1(X/H,R) ∼= H1(h−1(H),R) ∼= H1(Γ,R[G/H]).
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Variétés isospectrales et torsion
Exemple
F = Q(t) avec t4 − t3 + 2t2 − 1.
B =(−1,−1
F
).
O un ordre d’Eichler dont le niveau est de norme 71.Γ de covolume 27.75939054 . . . , et admet une présentationavec 5 générateurs et 7 relations.Nous avons trouvé un homomorphisme surjectif Γ→ GL2(F7),permettant d’obtenir deux variétés isospectrales d’homologie
Z3 + Z/4 + Z/4 + Z/12 + Z/12 + Z/(24 · 32 · 5 · 7 · 23), et
Z3 + Z/4 + Z/4 + Z/12 + Z/(12 · 7) + Z/(24 · 32 · 5 · 7 · 23).
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Variétés isospectrales et torsion
Questions ?
Merci !
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