transfer en cia de calor_omar gelves
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Capítulo
1 TRANSFERENCIA DE CALOR Notas de Clase
Introducción
TABLA DE CONTENIDO
1. TRANSFERENCIA DE CALOR .........................................................................................3
1.1 Sistemas situados dentro del mismo material.............................................................................................. 4
1.2 Sistemas situados en materiales diferentes .................................................................................................. 4
1.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN ............................................................................... 5 1.3.1 Procesos básicos de intercambio de calor radiante ................................................................................... 10
1.4 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN......................................................................... 10
1.5 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ......................................................................... 13 1.5.1 PROCESOS BÁSICOS DE INTERCAMBIO DE CALOR CONVECTIVO .......................................... 14 1.5.2 MÉTODOS PARA DETERMINAR EL h................................................................................................ 14 1.5.3 DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO ............................................................................................ 15
1.6 CONVECCIÓN Y RADIACIÓN COMBINADAS................................................................................... 17
Capitulo 1 Introducción
1. TRANSFERENCIA DE CALOR
El calor es una forma de energía que se manifiesta cuando se transfiere parte de la Energia Interna de un sistema a otro debido a la existencia de una diferencia de temperatura entre los dos. La ciencia que se ocupa del análisis de la velocidad de transferencia de energía que puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de temperaturas, se denomina transferencia de calor. Esta ciencia busca predecir:
Termodinámica
( )f iE mCp T T= −
Transferencia de Calor
Como puede ser transferida la energía calórica.
La rapidez a la que se realizará éste intercambio bajo ciertas condiciones especificadas.
El cambio de la temperatura en un medio como función del tiempo.
La transferencia de calor es una ciencia complementaria de la termodinámica en la solución de problemas prácticos de ingeniería, tales como:
La determinación del tiempo requerido para calentar o enfriar cuerpos de masa fija, tales como aves o carne en canal que se enfrían para conservación o láminas de acero que se calientan para algún trabajo de laminación. La termodinámica solo esta interesada en la determinación de la energía (Joul) que debe aportarse o retirarse del cuerpo para llevarla de un estado a otro, mientras que la determinación de la rapidez de transferencia de energía por cada metro cuadrado de superficie del cuerpo en cualquier instante permite predecir el tiempo que durara el proceso.|
Figura 1-1 Determinación del tiempo requerido para calentar o enfriar cuerpos de masa fija
La determinación del tamaño de un equipo para calentar, enfriar, evaporar o condensar un flujo de masa de un fluido (una caldera o un condensador o el enfriador de agua de un automovil). Mediante la termodinámica se podrá establecer el flujo de calor (Watios) que el fluido debe recibir o ceder para pasar de un estado a otro, pero la cantidad de área que se requiere para que el fluido reciba o ceda efectivamente dicha cantidad de flujo de calor solo podrá ser establecida a través de las herramientas derivadas de un análisis de la transferencia de calor que pasa por la superficie del equipo que realiza el proceso.
Termodinámica .
( )f iQ mCp T T= − Transferencia de Calor
( )t aQ qA UA T T= = −
1.1 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Si consideramos que el flujo de calor se establece desde un sistema a otro por la diferencia de temperatura (diferencia de niveles de energía interna) entre los mismos, en la determinación del flujo de calor se puede, en forma generalizada, considerar dos factores que lo determinan:
Figura 1-2 Determinación del tamaño de un equipo utilizado para la transferencia de calor.
Transferencia de Calor
4
La diferencia de temperaturas
Los sistemas entre los que se establece el flujo de calor.
De acuerdo a este ultimo factor, podemos considerar las siguientes posibilidades:
1.1.1 Sistemas situados dentro del mismo material
En el caso que los sistemas se encuentren en el mismo material, entonces la única posibilidad que existe para que parte de la energía del sistema 1 se transfiera al sistema 2, es la interacción a nivel atómico o molecular ( en la suposición que las partículas de ambos sistemas no se trasladen en el espacio, como sucede efectivamente en los sólidos o en los fluidos en reposo), en este caso esta forma o mecanismo de transferencia de calor se denomina CONDUCCIÓN del calor
Fsi
igura 1-3 Sistemas tuados en el mismo
material.
1.1.2 Sistemas situados en materiales diferentes
Figura 1calor sistmaterial
En este caso pueden considerarse dos situaciones generales
Los dos sistemas de materiales diferentes están en contacto directo y además uno de los materiales puede fluir ya sea de manera forzada o de manera natural, como sucede en la interacción del agua del sistema de enfriamiento de un motor de automóvil con las paredes del cilindro que quiere enfriar o el aire que esta en contacto con la paredes de un edificio. En este caso la transferencia de energía (calor) de un sistema a otro esta determinada por la combinación de dos efectos: El contacto directo (Conducción) más la colaboración que da la posibilidad del movimiento de uno de los materiales, esta combinación se denomina mecanismo de transferencia de calor por CONVECCIÓN.
-4 Transferencia de por convección en
emas situados en es diferentes
Los dos sistemas materiales diferentes no están en contacto directo, pudiéndose presentar acá adicionalmente dos situaciones:
Figura
físico tr
a. Entre los dos sistemas hay un medio físico transparente, por ejemplo en la interacción térmica existente entre un bombillo de luz incandescente y la pared del cuarto donde funciona, existe un ambiente de aire que puede servir de vehiculo para llevar el calor desde la bombilla hasta la pared.
b. Entre los dos sistemas no existe un medio físico particular, por ejemplo en la interacción entre el sol y la tierra, en la cual la energía se transporta desde sol hacia la tierra a través del vació.
1-5 Dos sistemas donde hay un medio
ansparente
Transferencia de Calor
5
MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Entre dos sistemas dentro del mismo material CONDUCCION
Sistemas adjuntos
Uno de los materiales se puede mover CONVECCION
No hay fluido intermedio (vacío) RADIACION Entre dos sistemas ubicados
en diferentes materiales Sistemas separados Hay fluido
intermedio
RADIACION +
CONVECCION
Figura 1-6 Transferencia de calor en una resistencia eléctrica debido a la diferencia de temperaturas.
1.2 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN
El termino RADIACION, es un termino genérico que describe todos los mecanismos de transporte de energía asociado a la emisión de Ondas Electromagnéticas. Se conocen diferentes manifestaciones de esta forma de transporte de energía como son : Los rayos X, las ondas de radio, los rayos de las bombas atómicas y el calor emanado desde todos los cuerpos debido a su nivel de temperatura. Todas estas formas de emisión son una manifestación diferente del mismo fenómeno, flujo de energía asociado al movimiento de ondas electromagnéticas, que se diferencian entre si solo en la manera como son producidos y el nivel de energía de cada uno de ellos,
Transferencia de Calor
6
así sabemos que los rayos β y γ son emitidos por la fisión de núcleos …. y presentan un gran nivel energético el cual esta relacionado con la longitud de onda de dichos rayos ( del orden de λ= 10P
-13 P a 10P
-10 Pm), o que los rayos X
son producidos por el choque de electrones sobre placas metálicas con niveles de energía un poco menores correspondientes a longitudes de onda del orden de 10P
-8P a 10P
-10P m.
La forma particular mediante la cual se emite energía en forma de ondas electromagnéticas solo debido al nivel de temperatura de los cuerpos, se conoce como radiación térmica, y es el objeto de nuestro estudio. El mecanismo de emisión de este tipo de energía esta asociado a los cambios de la configuración tanto energética como oscilatoria de los electrones que componen la materia y esta caracterizada porque el nivel energético de las ondas emitidas corresponde principalmente al de longitudes de onda comprendidas entre 0.1 y 100 μ .
La radiación térmica es un fenómeno volumétrico y los sólidos, líquidos y gases emiten, absorben ó transmiten radiación en diversos grados, sin embargo, suele considerarse como un fenómeno superficial en sólidos que son opacos a la radiación térmica, como metales, madera y roca, ya que la radiación térmica emitida por las regiones internas nunca pueden alcanzar la superficie y la incidente suele ser rápidamente absorbida por esta.
Figura 1-7 Calentador de agua solar.
Todos los cuerpos a una temperatura por encima del cero absoluto emiten radiación térmica. La energía radiante que sale de una superficie se distribuye mas o menos uniformemente en el espacio que rodea la superficie, pudiéndose, para efectos de cuantificación, discriminarse de acuerdo a:
La cantidad de superficie emisora W/mP
2P.
El ángulo sólido y la dirección de interés de la radiación emitida W/mP
2P. Sr
(Sr corresponde a un SteroRadian de ángulo sólido)
Transferencia de Calor
7
Figura 1-9 Cuerpo emitiendo radiación térmica, esta energía es llamada PODER EMISIVO
La longitud de onda en particular en que se emita la radiación.
La efectividad para captar o emitir radiación de la superficie.
De acuerdo a este último factor, se puede razonar que para una temperatura dada existirá una superficie cuya característica determina que se emita o se absorba la mayor cantidad de energía térmica radiante, la cual se podrá tomar como base para referenciar todas las demás superficies, esta superficie se denomina superficie negra y la cantidad de energía que emite a un nivel de temperatura dado será el máximo y su valor por cada metro cuadrado de superficie emisora se denomina Poder emisivo total del cuerpo negro EBbB (total puesto que se consideran todas la direcciones de emisión y todas las longitudes de onda de emisión). Mediante la teoría quántica y la comprobación experimental puede demostrarse que la relación entre el poder emisivo total y la temperatura esta expresado por la relación:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 2
4.mWTEb σ σ es la constante de Boltzman, equivalente a
y la relación se denomina Ley de Stefan-Boltzman. 428 /10*67,5 KmW−
La mayoría de las superficies no emiten o absorben, a una temperatura dada, la misma cantidad de energía que la superficie negra, para cuantificar la energía que absorben o emiten realmente se puede definir una variable que exprese el comportamiento relativo de cada superficie respecto de la superficie negra, asi:
Respecto de la emisión, se denomina emisividad la relación entre el poder emisivo de la superficie en cuestión respecto del poder emisivo de la superficie negra.
bEE
negrocuerpodelemisivoPodererficieladeemisivoPoder == supε
Respecto de la absorción de la energía radiante incidente por la superficie, se denomina absortividad la relación entre la energía realmente absorvida por esta con relación la energia incidente.
iGG
incidenteEnergiaerficielaporabsorvidaenergiaa == sup
Se puede demostrar que el cuerpo que mejor absorve a = 1 es también el cuerpo que mejor emite ε=1, relación que se denomina ley de Kirchoff, la cual establece que la emisividad de un cuerpo es igual a su absortividad (ε = a) si esta se miden a la misma temperatura.
TFigura 1-10 Poder emisivo monocromático de un cuerpo negro a diferentesT temperaturas, Predicho, Observado.
Transferencia de Calor
8
Si la energía que sale o se emite se especifica en una longitud de onda en particular la cantidad correspondiente se denomina como poder emisivo espectral EBλ B(W/mP
2P μ ). La relación entre el poder emisivo espectral
monocromático de un cuerpo negro y la longitud de onda en la cual se emite se muestra en la figura 1.6 para diferente niveles de temperatura del cuerpo
Si la energía que sale o se emite se especifica en relación con la dirección espacial y un cierto ángulo de visión la magnitud resultante se denomina Poder emisivo Direccional o Intensidad. Esta magnitud es útil cuando se quiere establecer la cantidad efectiva de radiación que dos cuerpos intercambian, magnitud que depende de la cantidad de energía que saliendo de un cuerpo efectivamente impacte el otro.
Cuando dos cuerpos intercambian calor por radiación, el intercambio de calor neto es proporcional a las diferencias en TP
4P, de tal forma que la tasa de
radiación máxima que puede emitirse desde una superficie a una temperatura absoluta: donde A es el área de superficie y [ ]WATQemit
4max, σ= σ es la
constante de Boltzman, equivalente a . 428 /10*67,5 KmW−
La superficie idealizada que emite radiación a esta tasa máxima recibe el nombre de cuerpo negro. La radiación emitida por superficies reales es menor que la radiación emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como: donde [ ]WATQemit
4εσ= ε es la emisividad de la superficie y varía entre cero y uno, para un reflector ideal 0=ε y para un cuerpo negro 1=ε . No todas las radiaciones que dejan una superficie alcanzarán la otra superficie.
Figura 1-11 Por ejemplo, un cuerpo negro de área superficial A y temperatura absoluta TBs Bestá dentro de un recinto de temperatura absoluta TBpB. El cuerpo emitirá energía radiante en cantidad y absorberá energía radiante en cantidad
, así que la energía radiante neta que sale del cuerpo será
.
4sTAσ
4pTAσ
( )44psNetoR TTAQ −= σ
Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto y si ambos guardan una relación geométrica entre sí la energía radiante neta que sale del cuerpo será donde es una magnitud adimensional menor que la unidad, que modifica la ecuación para los radiadores perfectos de manera que tengan en cuenta las emitancias y la posición relativa de las superficies.
( 44psNetoR TTAFQ −= σ ) F
Figura 1-radiacióny el recin
12 Diagrama de entre el cuerpo 1 to 2
La determinación de la cantidad real de calor radiante intercambiado depende de varios factores:
Relación geométrica entre los cuerpos (factor de visión).
Transferencia de Calor
9
La presión o no de gas absorbente.
Receptividad de la superficie.
El factor de visión permite determinar cuanta energía llega a una superficie con respecto a lo que salió de la otra, este factor también varía entre cero y uno.
Comportamiento de los cuerpos a la energía radiante incidente
Figura 1-13 Comportamiento de los cuerpos a la energía radiante Donde se tiene que:
Cuerpo opaco: (a + r) = 1
Cuerpo negro (Hipotético): a = 1
Stefan, Josef
(Sankt Peter, 1835-Viena, 1893) Físico austríaco. Estudió la difusión de los gases, la conductividad calorífica y, sobre todo, la radiación de un cuerpo negro, cuya ley, que enunció, fue posteriormente demostrada por Boltzmann, por lo que lleva el nombre de ambos científicos.
Boltzmann, Ludwig
(1844-1906) Físico austriaco, n. en Viena y m. en Duino. Hizo sus estudios en Linz y se graduó en la Universidad de su ciudad natal. Fue profesor de física en Graz, Munich, Viena y Leipzig. Publicó numerosos trabajos sobre termodinámica y propuso una explicación molecular, aceptada universalmente, del concepto de la entropía, a la que define mediante la
Transferencia de Calor
10
probabilidad termodinámica del sistema. La ley de Stefan-Boltzmann relativa a la radiación y la llamada constante de Planck-Boltzmann, k, han contribuido a inmortalizarle entre los físicos más eminentes de todos los tiempos. Son notables, entre otras obras fundamentales, sus Vorlesungen über die Gastheorie (1899), Vorlesunger über die Principien der Mechanik (1904) y muchos trabajos sobre la teoría cinética de los gases y de Maxwell. Ha sido miembro prominente del Instituto de Física Teórica de Viena, que ha tenido un continuador no menos ilustre en su compatriota Erwin Schrödinger.
1.2.1 Procesos básicos de intercambio de calor radiante
Tabla 1 procesos básicos de intercambio de calor
CASOS SUPERFICIE NEGRA SUPERFICIE GRIS
( )( )ATTQ
ATTQ4
24
12,1
42
412,1
−=
−=
σ
σσ ( )4
24
1112,1
11
TTAQ
A
−=
→
σεε
( )( )ATTQ
ATTQ4
24
12,1
42
412,1
−=
−=
σ
σσ ( )4
24
1112,1
11
TTAQ
A
−=
→
σεε
( )visióndefactorF
FTTAQ→
−=
12
124
24
112,1 σ
( )radiosidadw
wwAQ→
−= 2112,1 σ
1.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
La conducción es la forma de transferencia de calor en la cual el intercambio de energía ocurre de la región de mayor a la de menor temperatura por el movimiento cinético ó el impacto directo de las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como en el caso de los metales.
La ley básica de la conducción del calor basada en observaciones experimentales, se conoce con el nombre del físico matemático francés J.
Transferencia de Calor
11
Fourier quien la aplicó en su teoría analítica del calor, la cual establece que la tasa de conducción de calor en una dirección dada es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.
Definiendo un diferencial de área en una de las isotermas, la dirección del flujo de calor es perpendicular a esta.
Figura 1-14 Transferencia de calor por conducción.
xTkAq
∂∂−=
Donde k es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica del material y es función de la temperatura, además:
Indica la relativa facilidad con que el calor se mueve en el material.
Indica la aplicabilidad de un material en un sistema térmico.
El signo menos nos indica que el calor fluye de un medio caliente a uno frío, A es el área de transferencia de calor perpendicular al eje X (mP
2P), la derivada
parcial es el gradiente de temperatura en la dirección X (K/m) y k es la conductividad térmica.
Demostración
[ ]
( )
nkji
kji
AnTkA
zTA
yTA
xTkdQ
kAjAiAkzTj
yTi
xTkdQ
kzTj
yTi
xTkq
WqdAdQ
∂∂−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−=
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−=
=
ˆˆˆ.ˆˆˆ
ˆˆˆr
nnyx
nyx
nyy
nxx
QAnTkQQ
senAnTkQQ
AnTkA
yTkQ
senAnTkA
xTkQ
=∂∂−=+
+∂∂−=+
∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
)cos(
cos
22
2
2
θθ
θ
θ
Transferencia de Calor
12
Ejemplo 1-1
Un ejemplo es el caso de dos paredes de espesores diferentes, con el mismo tipo de material, la transferencia de calor por unidad de área en la pared A de la figura es mayor que en B, debido a que esta depende de la diferencia de temperatura con respecto a la distancia.
22
21 /5
1050/10
550 mWkk
xTkQmWkk
xTkQ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
ΔΔ−==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
ΔΔ−=
QB1 B> QB2B a pesar de que ΔTB1 B= ΔTB2 B= 50°C
Figura 1-15 Transferencia de calor en dos paredes del mismo material y espesores difenertes.
El valor numérico de la conductividad nos indica qué tan rápido fluirá el calor en un material dado y varía según el material (W/mK). El mayor valor lo tienen los metales puros y el menor los gases y vapores; los materiales aislantes amorfos y los líquidos inorgánicos tienen conductividades térmicas intermedias entre éstos valores.
La conductividad térmica varía también con la temperatura. La de la mayoría de los metales puros disminuye con la temperatura, mientras que la de los gases y la de los materiales aislantes aumentan con ella.
El mecanismo de conductividad térmica en un gas es simple, se identifica la energía cinética de una molécula con su temperatura, en una región de alta temperatura la velocidad es alta. Si una molécula se mueve de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura, transporta energía cinética a la parte de baja temperatura y transfiere ésta energía a través de colisiones con moléculas de temperatura más baja, la condición depende de la raíz cuadrada de la temperatura absoluta.
En los líquidos, cualitativamente, igual que en los gases, pero más complejo ya que las moléculas se encuentran más cerca unas de otras y los campos de
Transferencia de Calor
13
fuerza molecular ejercen una fuerte influencia sobre el intercambio de energía en el proceso de colisión.
En los sólidos se identifican dos modos: por vibración de red y por el transporte por medio de electrones libres. En buenos conductores eléctricos un gran número de electrones libres se mueven en la estructura de la red del material transportando carga eléctrica y energía térmica, como un gas de electrones.
En materiales aislantes a altas temperaturas puede ser por conducción a través de material sólido poroso ó fibroso, por conducción a través del aire atrapado en los espacios huecos ó por radiación a temperaturas suficientemente altas.
Baron Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).
Fourier fue educado en el clero pero no tomó sus votos. En lugar de eso tomó el estudio de las matemáticas (1794) y más tarde enseñaba matemática en la Escuela Normal.
En 1798 se unió al ejército de Napoleón en su invasión a Egipto como guía científico. Ayudó a establecer las facilidades educacionales en Egipto y llevaba las exploraciones arqueológicas. Regresó a Francia en 1801 y fue nombrado prefecto del departamento de Isere por Napoleón.
Publicó T"La teoría analítica del calor"T en 1822 seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.
El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales.
1.4 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN
Figura 1-16 Transferencia de Calor por Concevección
Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó fluye dentro de un canal y si las temperaturas del fluido y del sólido o del canal son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se da el nombre de Convección, que implica los efectos combinados de la conducción en la primera capa de fluido y del movimiento del fluido.
Transferencia de Calor
14
1.
El gradiente de temperatura depende de la rapidez a la que el fluido conduce el calor, es decir, del campo de flujo. Se dice que la transferencia de calor es por Convección Forzada si el movimiento es inducido artificialmente, digamos con una bomba ó un ventilador que impulse el fluido sobre la superficie; y que la transferencia de calor es por Convección Libre (o Natural), si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperaturas en el fluido. Por ejemplo, una placa caliente suspendida verticalmente en aire frío en reposo, produce un movimiento en la capa de aire adyacente a la superficie de la placa, debido a que el gradiente de temperatura en el aire da lugar a un gradiente de densidad que a la vez pone el aire en movimiento. La rata de transferencia de calor por convección depende de la conductividad térmica, el calor específico, la densidad del fluido, su viscosidad y de las temperaturas. Puede presentarse en diferentes formas:
Interno, en el cual el fluido está confinado por la superficie.
Externo, en el cual el fluido se encuentra fuera de la superficie.
1.4.1 PROCESOS BÁSICOS DE INTERCAMBIO DE CALOR CONVECTIVO
Tabla 2 Procesos básicos de intercambio de calor convectivo
Figura CASO CONFIGURACIÓN TBrefB COEFICIENTE
Interno
Natural
Forzado
TmTsqh c
−=
Con
finad
o Tm
No
Con
finad
o
Externo
Natural
Forzado
T ∞
∞−=
TTsqh c
1.4.2 MÉTODOS PARA DETERMINAR EL h.
Analítico (infinitesimal).
Permite determinar coeficientes LOCALES.
Transferencia de Calor
15
Requiere la determinación de los gradientes de T° del fluido en la frontera, para lo cual se necesita la distribución de la T° T(r) o T(y), que se puede calcular mediante Balance de energía.
Figura 1-17 Temperatura de referencia en flujos internos y flujos externos
( ) energiadebalancedelldiferenciaEcyTyT .? →→=
∂∂
LOCALecoeficientTT
yTk
h
TThyTkq
Refs
yx
Refsy
C
)(
)(
0
0
−
∂∂−
=
−=∂∂−=
=
=
2. Empírico (finito).
Aplicado para calcular coeficientes PROMEDIOS
( )
( ) StaladimensionTATA
Cpuh
TATCpAu
h
TsTenTTrefTsATmCp
TrefTsqh
T
flujo
m
T
flujom
T
c
→ΔΔ
=
ΔΔ
=
−=Δ−Δ=
−=
↓
→
↓
↓
→
ρ
ρ
St Stanton. ≅
1.4.3 DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO
La determinación analítica del perfil de temperatura para T(r) ó T(y) es bastante complicado ya que depende de:
3. 4. 5. 6.
Patrón de flujo: laminar, turbulento o en transición.
Forma de la frontera.
Propiedades físicas del fluido.
La temperatura del fluido de referencia.
Transferencia de Calor
16
Tabla 3 Temperatura de referencia
Caso TBrefB
Flujo Interno
Flujo Externo
TBref B= TBmB
TBrefB = TB B
Para tuberías existe una temperatura media del fluido.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Cprv
rCpTervT
Cpm
rCpTervT
CpTmrCpTervE
TrdrCpervrdmCpTE
R
r
m
R
r
m
m
R
r
r
20
0
0
2
2
2
)()(2)(
πρ
πρ
πρ
πρ
πρ
∫
∫
∫
=
=
==
==
&
&
Para volver (1) igualdad:
( )
refs
c
refsc
TTq
h
TThq
−=
−=
Donde h es variable y depende de muchos factores.
Unidades:
Tabla 4 Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección
CONDICIÓN ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
CmWh
º2
Aire convección libre 5-15 Aire convección forzada 15-300 Aceite convección forzada 50-1700 Agua convección forzada 5000-12000 Vaporización de agua 3000-55000 Condensación de agua 5500-100000
Transferencia de Calor
17
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
FfthBtu
Cmwh
r202 ;
1.5 CONVECCIÓN Y RADIACIÓN COMBINADAS
Cuando las transferencias por convección y por radiación son del mimo orden de magnitud y ocurren simultáneamente, es muy complicado hacer un análisis de transferencia de calor considerando la interacción entre las dos formas de transferencia. Por otro lado, bajo condiciones muy restringidas, puede determinarse en forma aproximada la transferencia de calor por convección y radiación simultáneas, mediante la superposición lineal de los flujos de calor debidos a estas dos formas de transferencia.
Consideremos por ejemplo, el fluido de los productos calientes de combustión a una temperatura TBgB, a través de un ducto frío cuyas paredes se mantienen a una temperatura TBwB. Los productos de la combustión tales como el COB2B, CO y HB2BO absorben y emiten radiación. Entonces, la transferencia de calor del gas a las paredes del conducto se realizan tanto por convección por radiación y un análisis apropiado de este problema de transferencia de calor requiere de una solución simultánea de las ecuaciones de convección y radiación; lo cual es muy complejo. Si la componente radiante del flujo de calor no es muy apreciable, se puede calcular aproximadamente el flujo total de calor q desde el gas hasta la superficie de la pared, sumando el flujo de calor por convección qBcB y el flujo de calor por radiación qBrB como:
q = qBcB + qBr
Cuando en esta ecuación se reemplazan las relaciones de los flujos de calor por convección y radiación se obtiene:
( ) ( ) ( )( )
( )wgcr
wgrcwgrwgc
TThqo
TThhTThTThq
−=′
−+=−+−=
En donde se define el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación como:
rccr hhh +=
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
Ecuación General deConducción
Capítulo
2
19
TABLA DE CONTENIDO
2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN......................................................... 202.1.1 Flujo de calor a una diferencia de temperatura:.....................................................................................212.1.2 Flujo neto de calor conducido ..............................................................................................................212.1.3 Relaciones de transformación...............................................................................................................22
2.2 ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS...23
Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción
20
2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN
Se pretende obtener una ecuación que relacione el flujo de calor con ladistribución de las Temperaturas en el cuerpo, T(x, y, z, t), esta distribuciónde temperatura en un medio puede determinarse a partir de la solución de laecuación diferencial de la conducción de calor cuando se somete acondiciones apropiadas de frontera.
1. Debe cumplirse la 1ª Ley de la Termodinámica, para un balance deenergía en un volumen de control (V.C).
2.nTKq
∂∂×−= (Relación de transformación)
Ecuación
Finito Diferencial
3. Resolver la ecuación diferencial T=T(x, y, z)
Se mira el cambio de gradiente en todas las direcciones, se debe hacer elbalance de energía teniendo en cuenta:
Figura 2-1 Volumen de control
Transferencia de Calor
21
Flujo de calor conducidoa través de la superficie decontrol
Flujo de calor que segenera en el interiordel elemento Qg
Flujo de caloralmacenado en elelemento Qa
2.1.1 Flujo de calor a una diferencia de temperatura:
Ecuación de balance de calor
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) agQzzkyykyxxkkx
azzkyykxxkgkzkykx
QQQQQQQ
QQQQQQQQ
kz=++−+−
+++=+++
+∆+∆+∆+
∆+∆+∆+ )()(
2.1.2 Flujo neto de calor conducido
La función Qx se puede aproximar por una Serie de Taylor
( ) ( )
( )
( ) xx
QQQ
xx
QQQ
xx
fxxfxfxxf
xxxkkx
xkxxxk
xx
∆∂
∂−=−
∆∂
∂=
⋅⋅⋅⋅∆∂∂+∆
∂∂+=∆+
∆+
∆+
2
2
2
2
De la misma manera hacemos aproximaciones para Qy y Qz.
Reemplazando en la ecuación del balance de calor:
agzyx QQz
zQy
yQ
xx
Q=+∆
∂∂
−∆∂
∂−∆
∂∂
−
Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción
22
Es decir: Tasa neta de calor que entra por conducción al elementozyx ∆∆∆ + Tasa de energía generada en el elemento zyx ∆∆∆ = Tasa de
incremento de energía interna del elemento zyx ∆∆∆
2.1.3 Relaciones de transformación
La tasa neta de calor que entra por conducción al elemento de volumen sedetermina sumando las entradas netas de calor por conducción en lasdirecciones x, y, z. Si en la posición x el flujo de calor en dirección x es
( )/k T x− ∂ ∂ , la tasa de flujo de calor que entra al elemento de volumen através de la superficie en dirección x es
zyxTkQx ∆∆
∂∂−=
zxyTkQy ∆∆
∂∂−=
xyzTkQz ∆∆
∂∂−=
Si en el medio hay fuentes distribuidas de energía que generan calor a unatasa g (x, y, z, t) por unidad de tiempo y por unidad de volumen, la tasa deenergía generada en el elemento esta dada por
VqQ gg ∆=
En el caso de sólidos y líquidos lo calores específicos, a presión y volumenconstante, son iguales, esto es, CCvCp ≡≅ . Entonces la tasa de incrementode la energía interna se refleja en la tasa de almacenamiento de energía en elelemento de volumen y esta dada por,
tTmCpQa ∂
∂=
donde y Cp no varían con el tiempo.
VtTCpVq
zT
yT
xTVk g ∆
∂∂=∆+
∂∂+
∂∂+
∂∂∆ ρ2
2
2
2
2
2
Realizando las simplificaciones y dividiendo por k, obtenemos la ecuacióndiferencial parcial de la conducción de calor.
Transferencia de Calor
23
tT
kCp
kq
zT
yT
xT g
∂∂=+
∂∂+
∂∂+
∂∂ ρ
2
2
2
2
2
2
Donde
→=Cpk
ρα Difusividad térmica (m2/seg)
Una difusividad alta indica elevada rapidez de transferencia de energía ovalor bajo de la capacidad calorífica, lo que significa que se absorberá dentrodel material una cantidad menor a la de la energía en movimiento y seráutilizada para aumentar la temperatura del material, por tanto habrá masenergía disponible para transferencias ulteriores.
Generalizando:
tT
kgT
∂∂=+∇
α12
Donde T2∇ es el operador laplaciano y se define como
2
2
2
2
2
22
ZT
yT
xTT
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
En la ecuación general el primero y segundo término del lado izquierdo de laecuación representa respectivamente las ganancias del calor del sólido porconducción y generación, y el lado derecho representa la tasa de variación dela temperatura con el tiempo en el sólido.
2.2 ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR ENOTROS SISTEMAS DE COORDENADAS
En el análisis precedente derivamos la ecuación de conducción del calor paraun sistema de coordenadas rectangulares, esta ecuación se utiliza paraanalizar la conducción de calor en sólidos tales como la placa, un mediosemi-infinito, un rectángulo ó un paralelepípedo. Por otra parte, para analizarla conducción de calor en cuerpos tales como un cilindro o una esfera se
Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción
24
debe expresar la ecuación de conducción de calor en el sistema decoordenadas cilíndricas ó esféricas respectivamente; el propósito de empleardiferentes sistemas de coordenadas es asegurar que las superficiescoordenadas coincidan con las superficies que delimitan la región.
Coordenadas cilíndricas:
tT
kg
zTT
rrT
rrT
∂∂=+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
αφ111
2
2
2
2
22
2
Coordenadas esféricas:
( )tT
kgT
senrTsen
senrrT
rr ∂∂=+
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
αφθθθ
θθ1111
2
2
2222
2
Tabla 2-1 ecuación general de conducción
CASO COORDENADAS ECUACION GENERAL
RectangularestT
kCp
kq
zT
yT
xT g
∂∂=+
∂∂+
∂∂+
∂∂ ρ
2
2
2
2
2
2
CilíndricastT
kg
zTT
rrT
rrT
∂∂=+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
αφ111
2
2
2
2
22
2
Esféricas ( )tT
kgT
senrTsen
senrrT
rr ∂∂=+
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
αφθθθ
θθ1111
2
2
2222
2
Transferencia de Calor
25
Existen otros sistemas de coordenadas ortogonales para resolver lasecuaciones de conducción del calor en cuerpos que tienen otras formasgeométricas. Por ejemplo, se puede utilizar coordenadas cónicas,elipsoidales, parabólicas, etc. Para nuestro caso la solución de la ecuación deconducción en tales sistemas de coordenadas no las tendremos en cuenta.
Algunos casos prácticos:
1. Flujo de calor unidimensional en el estado estable sin generación decalor,
02
2
=∂∂
xT
2. Flujo de calor unidimensional en coordenadas cilíndricas
012
2
=∂∂+
∂∂
rT
rrT
3. Flujo de calor unidimensional en estado estacionario con fuentes de calor
02
2
=+∂∂
kg
xT
4. Conducción bidimensional en estado estacionario sin fuentes de calor
02
2
2
2
=∂∂+
∂∂
yT
xT
En la siguiente tabla se presentan los casos particulares de la ecuacióngeneral de la conducción teniendo en cuenta si hay o no variación en eltiempo, así como también las diferentes coordenadas espaciales y si seproduce o no generación en la superficie analizada.
Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción
26
Tabla 2-2 Resumen ecuación de conducción
TIEMPO
ESPACIOEstado estable 0T
t∂ =∂
Transitorio 0Tt
∂ ≠∂
qg = 02
2 0Tx
∂ =∂
2
2
1T Tx tα
∂ ∂=∂ ∂
Unidimensional
qg ≠ 02
2 0gqTx k
∂ + =∂
2
2
1gqT Tx k tα
∂ ∂+ =∂ ∂
qg = 02 2
2 2 0T Tx y
∂ ∂+ =∂ ∂
2 2
2 2
1T T Tx y tα
∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂
Bidimensional
qg ≠ 02 2
2 2 0gqT Tx y k
∂ ∂+ + =∂ ∂
2 2
2 2
1gqT T Tx y k tα
∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂
qg = 02 2 2
2 2 2 0T T Tx y z
∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2
1T T T Tx y z tα
∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂
Tridimensional
qg ≠ 0
2 2 2
2 2 2 0gqT T Tx y z k
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2
1gqT T T Tx y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
27
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
ConducciónUnidimensionalEstado Estable
Capítulo
3
TABLA DE CONTENIDO
3. CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACION 29
3.1 CONDICIONES DE FRONTERA ...........................................................................................................29
3.2 TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN 32
3.3 RESISTENCIA TÉRMICA......................................................................................................................323.3.1 Pared Compuesta...................................................................................................................................353.3.2 Paredes en serie ......................................................................................................................................363.3.3 Resistencia Térmica Despreciable...........................................................................................................36
3.4 CONDUCCION UNIDIMENSIONAL, ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION CONCONDICIONES DE FREONTERA DE TERCERA CLASE: ..............................................................................39
3.4.1 Coeficiente global de transferencia de calor.............................................................................................403.4.2 Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional sin generación. .........................................................413.4.3 Consideraciones Especiales para la Aplicación de Analogía Térmica.......................................................413.4.4 Determinación del espesor de aislamiento requerido (Radio Óptimo).......................................................493.4.5 Formulas de Valor Presente de:...............................................................................................................49
29
3. CONDUCCION UNIDIMENSIONAL ENESTADO ESTABLE SIN GENERACION
A continuación discutiremos las aplicaciones de la conducción del calor enuna placa, en un cilindro y una esfera, en estado estable y en una dimensión,considerando diferentes condiciones de frontera; discutiremos ladeterminación del flujo de calor a través de una placa cuya conductividadtérmica depende de la temperatura; estudiaremos el análisis de latransferencia de calor en capas paralelas compuestas, el concepto deresistencia térmica por analogía con la resistencia eléctrica, derivaremos laecuación de una aleta en una dimensión, determinando la transferencia decalor proveniente de superficies provistas de aletas.
Cuando se dice que el flujo es unidimensional significa que la temperatura esfunción de una única “dimensión” o coordenada espacial. Estacionariosignifica que las temperaturas no varían con el tiempo, por lo tanto, el flujode calor también es constante en el tiempo.
La conducción sin generación hace referencia a que no se produce calordentro del cuerpo analizado.
3.1 CONDICIONES DE FRONTERA
En los problemas de conducción de calor que se encuentran en la practicaintervienen regiones adyacentes que pueden ser muy distintas, para estudiarestos problemas es necesario conocer las condiciones térmicas en cada unade las superficies de contacto; en general se requiere que tanto el flujo decalor por unidad de área como la temperatura sean continuas a través de lainterfaz; así las soluciones de la ecuación de conducción en cada regióndeben estar ligadas.
En el estudio de problemas de transferencia de calor más complejos, amenudo es conveniente desligar las regiones y considerarlas por separado.Así, la condición de contorno o de frontera es simplemente una temperaturaconocida. Se pueden plantear cuatro clases de fronteras:
1. Primera clase: Se especifica el valor de la temperatura en dos puntos delcuerpo, ( x=0 ; x=e )
El objetivo del estudio de la conducción en un cuerpo tiene porobjeto determinar el perfil de temperaturas que se desarrolla en estey además cuantificar el flujo de calor que pase a través de cualquiersección de área.
Figura 3-1 Condiciónfrontera de Primera clase
Especificar →2
10
TTTT
ex
x
==
=
=
2. Segunda clase: Especifica el flujo de calor en una posición dada. Dondeel flujo de calor es igual al producto de la conductividad térmica k delmaterial por la derivada de la temperatura normal a la superficie.
dxdTkq
qqx
−=
==
0
00
00
qxT
x
=∂∂
=
3. Tercera clase: Esta condición se da cuando se somete la superficie limitea una transferencia de calor por convección con un medio de temperaturaconocida. Consideremos una placa
( ) 011 =−=−∞=
=
xc
kc
dxdTkTThq
0011 )(
== ∂
∂−=−∞x
x xTkTTh ( )22
0
∞−=∂∂−
==
TThxTk
exx
4. Frontera móvil:
fusionc qq =
Se llaman condiciones de frontera móvil a las condiciones de problemas deradiación, convección que producen fusión, solidificación o ablación porqueen ellos la formación o eliminación de materia en la frontera hace que existauna transitoriedad respecto de la posición, que hace que el análisis de losproblemas de Transferencia de calor sometidos a condiciones de fronteramóvil tengan un nivel de complejidad superior.
Tabla 3-1 Condiciones de frontera
Figura 3-2 Condición frontera tercera clase
31
TIPO ESQUEMA ECUACIÓN
Primera clase Tx=0 = T1
Segunda clase dT dT qq kdx dx k
= − ⇒ = −
Tercera clase ( )sdTh T T kdx∞ − = −
Fronterasmóviles QT = Qfusion + Q2
3.2 TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONALEN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN
3.3 RESISTENCIA TÉRMICA
SUPERFICIE
Pared Plana Cilindros
Ecuacióndiferencial
2
2 0d Tdx
=1 0Trr r r
∂ ∂ = ∂ ∂
Condiciones defrontera
x = 0 T = T1x = e T = T2
r = r1 Tr = T1r = r2 Tr = T2
Pendiente de latemperatura 1
dT Cdx
= 11
CdT dTr Cdr dr r
= ⇒ =
Funcióngeneral de la temperatura
T(x) = C1 x + C2 T(r) = C1 ln r + C2
Funciónparticular
T1 = C1 * 0 + C2T2 = C1 e + C2T2 T1 = C1 * e
1212
1 TCe
TTC =−
=
2 1( ) 1x
T TT x Te−= +
T1 = C1 ln r1 + C2T2 = C1 ln r2 + C2T1 T2 = C1 ln r1 - C1 ln r2T1 T2 = -C1 ln (r2 / r1)
( )
( )
1 21
2 1
1 22 1 1
2 1
ln /
lnln /
T TCr r
T TC T rr r
−=−
−= +
( )1 2 1
12 1
lnln /r
T T rT Tr r r−= +
ResistenciaTérmica kA
eR =kLrr
Rπ2
)ln(1
2
=
33
Existe una analogía entre la transmisión de calor y la carga eléctrica. De lamisma manera que se asocia una resistencia eléctrica con la conducción deelectricidad, se asocia una resistencia térmica con la conducción de calor. Aldefinir la resistencia como la razón de un potencial de transmisión a latransferencia de calor correspondiente.
La resistencia térmica para la conducción es:
kAe
qTT
Rx
sscondt =
−≡ 2,1,
,
De manera similar, para la conducción eléctrica en el mismo sistema, la leyde Ohm proporciona una resistencia de la forma:
AL
IVR
σ=∆=
En muchos casos prácticos en la determinación del flujo de calor se debenincluir no sólo el análisis de la variación de la temperatura si no también elanálisis de variación de la conductividad térmica o la variación del áreatransversal al flujo. Si se toma en cuenta estas posibles variaciones sepodrían analizar dos casos específicos:
1. Conductividad térmica variable k(T) y área transversal constante A= C
En algunos sólidos las temperaturas son tan grandes que la conductividadtérmica varía sustancialmente. En tales casos es necesario incluir en elanálisis la variación de la conductividad térmica con la temperatura. Losefectos de la variación de la conductividad térmica se pueden incluirdirectamente en el análisis de flujo estable de calor en una dimensión, en unsólido sometido a condiciones de frontera de temperaturas conocidas.
Área variable A(x) y conductividad térmica constante y k = C
La gran mayoría de los cuerpos analizados en la práctica tienen áreastransversales no uniformes y por ello se debe tener en cuenta esta variaciónen el análisis para determinar el flujo de calor a través de ella.
Tabla 3-3-2 Derivación de las funciones de perfil de t y flujo de calor
Casos k(T) y A = Constante A(x) y k = Constante
Pared Plana Cono Truncado Aislado
Form
a el
Cue
rpo
que
Con
duce k = k0 ( 1 + βT)
A = constante2
0
= x
rr
xAx
π)(
Primera ley para el volumen de control
Fluj
o de
Cal
or
exenTT0xenTT
ex0para0x
)(Q
1
o
x
====
≤≤=∂
∂
e = espesor
T)(1kkconQAxTk
entonces0AxTk
xSi
0 +==∂∂−
=
∂∂−
∂∂
Reemplazando:
( ) Qe2
T2
TkATTkA
CdxT)dT(1kA
QAxTT)(1k
20
21
0010
T
T
e
00
0
1
0
=
−+−
=+
=∂∂+
∫ ∫
( ) ( )Ae
TT2
TTkQ 01010
−
++=
A(x)dxdT
Q1k-entonces
QA(x)xTk
Luego
0A(x)xTk
xentonces
0A(x)xTk
xSi
0x
Qx
=
=
∂∂−
=
∂∂−
∂∂
=
∂∂−
∂∂
=∂
∂
2
0
02x
0
0
0
0
r=)(
Despejando
==
==
xxrxA
doreemplazany
xxrr
xr
xr
xx
ππ
Sustituyendo en (1):
∫∫ =−x
x
T
T xdx
rxdT
Qk
00
220
201
π
35
Continuación tabla 3.2Fl
ujo
de C
alor
Definiendo:
( )2
TTkk 010m
++=
como un k promedio evaluado a latemperatura promedio entre las dossuperficies.
Ake
ToTAe
To)(TkQ
m
11mx
−=⋅
−=
Ecuación análoga a la ecuación de finidapor la Ley de Fourier.
( )x11
20
20
0 rxTT
Qk
π=−−
( ) xx
rTTkQ 20
200 π−−=
Donde Q representa el flujo de calor
Perf
il d
e Te
mpe
ratu
ra
( ) CxTTkATTkA xx =
−+−
22
20
2
000 β
donde C es:
( ) ( )2
01010 A
eTTTTkC −
++= β
0<β 0>β
20
20
12 )(1r
xTTQ π
=−
donde:
20
2012 )(
xrTTQ π−=
x1
)()(
124
02
40
1 TTrxTxT
−+=
π
3.3.1 Pared Compuesta
Los circuitos térmicos también sirven para sistemas más complejos, comolas paredes compuestas. Estas paredes incluyen cualquier número deresistencias térmicas en serie y en paralelo debido a capas de diferentesmateriales.
3.3.2 Paredes en serie
Si se tiene una pared compuesta, cada una de ellas se puede analizar porseparado, ya que dado que se tiene un proceso de estado estable el flujo decalor que pasa por cada pared debe ser el mismo (Qpared 1=Qpared2=Q).
Las temperaturas T1 , T2 ,...Tn serán fijas en el tiempo.
Los calores son iguales por que no hay generación ni almacenamiento
Ake
TTQ
Ake
TTQ
2
2
32
1
1
21
−=
−=
QAk
eAk
eTT
TTAk
eQ
TTAk
eQ
+=−
−=
−=
2
2
1
131
322
2
211
1
*
*
Ake
kAe
TTQ
2
2
1
1
31
+
−=
3.3.3 Resistencia Térmica Despreciable
La caída de la Temperatura en cada componente de una pared compuesta en
serie esta relacionada con el valor de la ResistenciaAk
e correspondiente, así
Ake
TT
Ake
TTQ
2
2
32
1
1
21 −=
−=
Se observa que para mantener la relaciónAk
eT
.
∆ constante e igual a Q a
valores elevados de la resistenciaAk
e le corresponderán valores elevados
de ∆ T
Ejemplo 3-1
Para la pared compuesta mostrada determinar los ∆ T correspondientes acada tramo de pared.
Figura 3-3 Conducciónen paredes en serie
Figura 3-4 Resistenciatérmica despreciable
37
PARED 1 PARED 2
e1= 0.2 m
k1= 20 W/mºC
A= 1 m2
0101
11 .=
×=
AkeR
e2= 0.1 m
k1= 5 W/mºC
A= 1 m2
0202
22 .=
×=
AkeR
WQ 5000030
150020010
50200 ==+−=
...
T12= Q*R1= 50ºC T23= Q*R2=100ºC
Figura 3-6 Perfil de temperaturas
Se observa que la caída de temperatura en cada sección de la pared esta encorrespondencia con la resistencia térmica así: en la Pared 2 cuya resistenciaes de 0.02 ºC/W la caída de temperatura es el doble (100ºC) que en laprimera donde la resistencia es de solo 0.01 ºC/W.
Figura 3-5 Ejemplo 3-1
Ejemplo 3-2
RESISTENCIA TERMICA DESPRECIABLE. En concordancia con lasituación anterior en el caso que la resistencia sea muy pequeña la caída detemperatura podrá despreciarse. Ejemplo ilustrativo
PARED 1 PARED 2
e1 = 0.2 m
k1 = 20 W/mºC
A = 1 m2
11
1
0,01eRk A
= =
e2= 0.01 m
k1= 5 W/mºC
A= 1 m2
22
2
0,000025eRk A
= =
200 50 150 14962,590,01 0,000025 0,010025
Q W−= = =+
T12= QR1= 149,63ºC T23= QR2=0,37ºC
Figura 3-8 Perfil de temperaturas
Se observa que en segundo caso (B) que la variación de Temperatura sepuede despreciar ya que el valor de la resistencia R2 se puede despreciarfrente a la resistencia R1.
Figura 3-7 Ejemplo 3-2
39
3.4 CONDUCCION UNIDIMENSIONAL, ESTADOESTABLE, SIN GENERACION CON CONDICIONESDE FREONTERA DE TERCERA CLASE:
Para cuando la estimación de la transferencia de calor a través de una paredse debe estimar no como función de las temperaturas de las caras de dichapared sino en relación con las condiciones ambientales 1∞T y 2∞T . En estecaso existiran unas temperaturas en las caras de la pared T1 y T2 tales que lacantidad de calor que de los ambientes van a la pared deberá ser igual a laestimada de acuerdo a la diferencia de temperatura (T1-T2) dividida por laresistencia especifica de la pared Ak
e.
( )
( )222
2
111:
∞−=
−=
−∞===
TTAhQkA
eTT
Q
TTAhQdondeQQQ
c
k
ckc
Figura 3-9 Conducción unidimensional, condiciones de frontera de tercera clase
Despejando las diferencias de temperaturas:
calordeciatransferendeglobaleCoeficientU
globalistenciaUA
siendo
UA
TTQ
RTT
QTTahkA
eAh
Q
TTAh
Q
TTkAeQ
TTAh
Q
=
=∞−∞
=
∞−∞=⇒∞−∞=
++
∞−=
−=
−∞=
∑Re1;
1
11
1
21
2121
21
222
21
11
3.4.1 Coeficiente global de transferencia de calor
El coeficiente global de transferencia de calor se define con una expresiónanáloga a la Ley de Enfriamiento de Newton y se relaciona con laresistencia térmica total.
En conclusión, U < el menor de los h.
Para un área A = 1 m2, tenemos:
Tabla 3-3 Variación del coeficiente global de transferencia de calor
h1ke
h2 U
10 0.01 100 8.331 0.01 100 0.98200 0.01 100 401000 0.01 100 47.61200 0.001 100 62.51000 0.01 500 76
Figura 3-10 Resistencia térmica
1 2
1 2
1 21 2
11 1
1 1
QUAT T
UAT T eQ e h A kA h Ah A kA h A
= ∞ − ∞ =∞ − ∞ = + ++ +
41
3.4.2 Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional singeneración.
)
)
)Ak
eTTQ
Ake
TTQ
Ake
TTQ
3
2
323
2
2
322
1
1
211
3
2
1
−=
−=
−=
Generalizando:21
32 111RRRR
TTQeqeq
+=→−
=
3.4.3 Consideraciones Especiales para la Aplicación de AnalogíaTérmica
Si existe una situación que perturbe el flujo de calor de un lado a otro delsistema en análisis por la existencia de un ∆T = T∞1 - T∞2 NO SEPODRA aplicar el método de analogía térmica.
Figura 3-11 Conducción unidimensional, paredes enparalelo
Ake
TTR
TT
AkeR
AkeRdonde
RRTT
Ake
TT
QQQ
eq
1
1
3232
3
23
2
22
3232
1
1
21
321
1
;11
−=
−
==
+−=−
+=
Ejemplo 3-3
Analicemos el siguiente ejemplo de una pared plana con calor deradiación:
• Si no existiera la radiación el flujo de calor a través de la paredseria:
21 CkC
21RRR
TTQ
++∞−∞
=
• Si se presenta la radiación la superficie izquierda donde incide laradiación determinaría el punto de discontinuidad para el flujo decalor. Un volumen de control en la superficie requerida permiteobtener el Balance de Energía:
Figura 3-12 Conducción en una pared plana conincidencia de radiación.
Figura 3-13 Conducción en una pared plana.
43
1)1(
1
CQkQrQr
CQkQrQrQr
+=−
++=
donde:
1
111
2
21
CR
TTCQ
CRkR
TTkQ
∞−=
+
∞−=
Caso donde la radiación propia de la pared es despreciable: Se despreciael calor de radiación producida por el cuerpo si es relativamente pequeñocomparado con los calores producidos por convección y conducción.
Caso donde la radiación propia de la pared es tenida en cuenta: Casocontrario al anterior, aquí el valor del calor por radiación producido por elcuerpo es considerable con respecto a los calores por convección yconducción.
Tabla 3-4 Casos típicos de transferencia de calor por conducción
Caso Perfil de temperaturas Flujo de calor
Pared Plana
2 1( ) 1x
T TT x Te−= + 1 2
/T TQe k A
−=
Paredes en Serie
2 1( ) 1
1x
T TT x Te−= +
3 2( ) 2
2x
T TT x Te−= +
1 1
1
nn
kk
T TQ
R
+
=
−=
∑
Paredes compuestas (paralelo) 1 2 1 21 2
1 1 2 2
1 2 1 21 2
1 2
1 2
1 1( )
1 1 1
T
Teq eq
T T T TQ Qe ek A k A
Q Q Q T TR R
T TQR R R R
− −= =
= + = − +
−
= ⇒ = +
Pared cilíndricacondición de fronteraPrimera Clase
1( ) 1 1 2
2 1
ln /( )ln /r
r rT T T Tr r
= − −1 2
2 1ln /2
T TQ r rk Lπ
−=
Pared CilíndricaCondición de FronteraTercera Clase
A1 = 2 π r1 L A2 = 2 π r2 L
1 2
2 1
1 1 2 2
ln /1 12
T TQ r rh A k L h Aπ
∞ ∞−=+ +
45
Ejemplo 3-4
Determinar el valor de U y el porcentaje de incremento en cada uno de loscasos establecidos a continuación:
Tabla 3-5 Coeficientes de transferencia de calos
Tabla 3-6 Como resultado se obtiene
De la anterior tabla se puede se concluye:
1. El coeficiente global de transferencia de calor U es menor que losvalores menores de h.
2. Para mejorar la transferencia de calor apreciablemente debemosmejorar el coeficiente de transferencia de calor, del lado que tengael menor h.
Con base en las anteriores conclusiones se puede deducir que se quiere:
1. Disminuir la transferencia de calor ↓⇒ U (debe aumentarse laresistencia total al paso del calor).
1 21 2
1 1 2 2
( ) 1 1p
T TQ U T T AR
h A h A
∞ ∞∞ − ∞= − =+ +
Aumentar la transferencia de calor ↑⇒ U (Tomar en cuenta que U< hmin).
h1 h2
10 10010 400100 10400 10100 40
h1 h2 U %h %U10 100 8.3310 400 8.88
h2
400% 6.2%
100 10 8.33400 10 8.88
h1
400% 6.2%
100 40 22.22 400% 68.75%
Figura 3-14 Ejemplo 3-4
1 21 2( ) 1 1
pi i e e
T TQ U T T AR
h A h A
∞ ∞∞ − ∞= −+ +
Tabla 3-7 Disminución de la transferencia de calor colocando una resistencia adicional.
CASO SITUACION ECUACIÓN
Sin resistenciaadicional AhkA
eAh
TTQ
21
21sin 11 ++
∞−∞=
Pared plana
Conresistenciaadicional
1 2
1 2
1 1con
a
T TQ e eh A kA k A h A
∞ − ∞=+ + +
Sin resistenciaadicional Lrh
RLrh
TTQ
p2211
21sin
21
21
ππ++
∞−∞=
Pared cilíndrica
Conresistenciaadicional LrhLk
LnR
Lrh
TTQ
a
rr
p
con
2211
21
21
221 1
2
πππ+++
∞−∞=
Podría parecer a simple vista que al colocar una capa de material adicionaldisminuirá la perdida de calor. Esto se cumple cuando el aislante se colocasobre paredes planas, pero no para cuando la pared es curva, en cuyo caso elefecto del aumento del radio exterior del aislamiento disminuye laresistencia convectiva exterior, disminución que debe ser compensada por laresistencia adicional aportada por el aislamiento, lo cual no es cierto en todoslos casos.
Ejemplo 3-5
Considerar el tubo de la figura que se quiere aislar con un material dek=10. Determinar el valor de la Resistencia Total a medida que el radioexterior se va incrementando.
47
Datos:
r1 = 0,3 mr2 = 0,4 mh2 = 20 W/m2°Ck = 50 W/m2°Cka = 10 W/m2°C
La Ri y Rp son constantes y solo varian la Ra y Rconvectiva externa.
La Tabla siguiente muestra los valores que van tomando la resistencia delaislamiento y la resistencia total a medida que el rExt (espeso)r seaumenta.
Tabla 3-8 Variación de la resistencia de aislamiento
r (m)Lk
Ln
a
rr
π21
rLh π21
2∑R
0.4 0 0.0198943 0.0198943
0.45 0.0018745 0.0176838 0.0195583
0.5 0.0035514 0.0159154 0.0194668
0.6 0.0064532 0.0132629 0.0197161
Se observa que la resistencia total R disminuye hasta que el r3 = 0.5 yluego en r3= 0.6 vuelve a aumentar La razon de la disminución de laresistencia total estriba en que la resistencia adicional del material deaislamiento no compensa la disminución de la resistencia convectivaexterior rLh π2
12
.
∑ +++=rLhLk
LnRRR
a
rr
pi ππ 21
2 2
2
La localización de la resistencia mínima y la perdida de calor máximo, seobtiene cuando las derivados de la suma de la resistencia R con respecto alradio r se hace igual a cero.
22
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 02a a a a a a
a a
d R rdr L r r k h r k h r
h r k
π
= ∗ ∗ − = − =
=
∑
Figura 3-15 a) Tubo sin aislarb) Tubo aislado
En otras palabras, la máxima pérdida de calor por una tubería tiene lugarcuando el radio se igual a:
2hkr a
c =
Este radio se denomina RADIO CRITICO y nos da una idea del valor quedebe tener el ka para que verdaderamente se presente una disminución de latransferencia de calor.
Figura 3-16 Variación de las resistencias
Es de desear mantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, demanera que la aplicación del aislante proporcione una reducción y no unaumento en la perdida de calor por una tubería. Lo cual se puede lograrusando un material aislante de baja conductividad.
Para aumentar la transferencia de calor rcritico > rexterior (tubería)
Para disminuir la transferencia de calor rcritico < rexterior (tubería)
Tabla 3-9 Criterio para utilizar material aislante
CRITERIO PARA UTILIZAR MATERIAL AISLANTE
Sí critrr <2No sirve colocar el aislamiento
Sí critrr >2 Si sirve colocar el aislamiento
49
3.4.4 Determinación del espesor de aislamiento requerido (RadioÓptimo).
Si queremos determinar cuanto aislamiento poner, entonces se debe realizarun análisis económico. El espesor económico se define como el valormínimo anual de la suma de los costos correspondientes a la pérdida de calormás los del aislante. Cuando el espesor de un aislamiento es bajo, el costoanual amortizado de aislante es mínimo, pero el costo anual de energía quese pierde es alto y por consiguiente, a mayor espesor, el costo del aislante seincrementa, pero se reduce el costo de perdida de energía.
Mas allá del punto mínimo, el costo total aumenta, debido a que el costo delaislante supera al de la energía, como se aprecia en la figura Cc Vs ra
Figura 3-17 Optimización del espesor del material aislante
Cc = Costo del combustible.
ra = Radio de aislamiento.
r2 = Radio exterior del materia sin aislamiento.
Cmin = Costo total mínimo.
3.4.5 Formulas de Valor Presente de:
niFVp
)1( += ; donde i es el interés.
ASPWFAi
iVpn
)()1(1 =
+−=−
; donde SPWF es Series Present Worth
Factor
..........11;1
2
3
1
2
AA
AAk
ikpdonde
kipAVp
n
i ==++=
−
−=
Los factores que deben ser tenidos en cuenta para el cálculo del aislamientorequerido son:
El costo del aislamiento.
Costo del material:
( ) aaaa LrrKg%W
Kg$C ρπ ××−×
=×
= 22
2
Wa= Peso especifico del material.
El costo del calor perdido: Costo del combustible, inversión de capital,interés, depreciación de los equipos, mantenimiento, numero de horas deoperación.
Costo del calor perdido:
( )
−××=
hKw$horasQCQ
Donde: 1 2
2 12 2
a
i pa e a
T TQ
rLn rR R
k L h r Lπ π
∞ − ∞=
+ + +
El costo total esta determinado por
QpaT CCC +=
Cap= Es el valor presente de los costos anuales del combustible.
51
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
ConducciónUnidimensionalEstado Estable
Con Generación
Capítulo
4
TABLA DE CONTENIDO
4. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLE CON GENERACIÓN ....................53
4.1 CASOS ...................................................................................................................................................534.1.1 Placa plana: .........................................................................................................................................534.1.2 Cilindro hueco:....................................................................................................................................57
4.2 SUPERFICIES EXTENDIDAS .............................................................................................................634.2.1 Clasificación de las superficies extendidas: ..........................................................................................644.2.2 Balance de energía sobre el volumen de control diferencial. .................................................................65
4.3 Calor de aleta: ........................................................................................................................................674.3.1 Efecto del parámetro h/km y de la longitud de la aleta: .........................................................................684.3.2 Longitud corregida: .............................................................................................................................694.3.3 Aleta de aguja:....................................................................................................................................724.3.4 Calor absoluto perdido por una aleta: ...................................................................................................72
4.4 EFICIENCIA DE ALETAS...................................................................................................................74
4.5 ALETA ÓPTIMA ..................................................................................................................................764.5.1 Determinación de la longitud optima de la aleta: ..................................................................................764.5.2 Mejor uso del material.........................................................................................................................764.5.3 Costo mínimo del sistema:...................................................................................................................774.5.4 Aletas con área de sección transversal variable.....................................................................................804.5.5 Eficiencia global de la superficie..........................................................................................................824.5.6 Eficiencia de la superficie: ...................................................................................................................83
53
4. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLECON GENERACIÓN
En algunas circunstancias, el comportamiento térmico se ve afectado por laproducción o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Lasresistencias de calentadores, los embobinados eléctricos, los reactoresnucleares y la combustión del combustible en el hogar de una caldera. Ladisipación del calor, procedente de fuentes internas, constituye otro aspectoimportante para juzgar la potencia de régimen de motores eléctricos,generadores y transformadores.
Un proceso común de generación de energía térmica implica la conversiónde energía eléctrica a térmica en un medio conductor de corriente. La rata ala que se genera energía al pasar una corriente I a través de un medio deresistencia eléctrica Re es
2g eE I R=&
Si esta generación de potencia (W) ocurre de manera uniforme a lo largo delmedio de volumen V, la rata de generación volumétrica (W/m3) es
2g eE I Rq
V V≡ =
La generación de energía también ocurre como resultado de ladesaceleración y absorción de neutrones en el elemento combustible de unreactor nuclear o reacciones químicas exotérmicas que ocurren dentro de unmedio.
4.1 CASOS
4.1.1 Placa plana:
Considerar una placa plana en la cual el calor se genera uniformemente. Estaplaca podría ser un elemento de calentamiento tal como una barra plana deun cuadro de distribución en la cual se genera el calor al pasar una corrienteeléctrica a través de ella. Si suponemos la existencia de un estado estable,que el material es homogéneo y que la placa es lo suficientemente larga parapoder pasar por alto los efectos de los extremos, se puede expresar unaecuación de energía para el elemento diferencial como:
xxgx QQQ ∆+=+ donde Qg es la intensidad de la fuente de calor por unidadde volumen.
Figura 4-1 Placa planacon generación
02 ==∇k
qT g
02
2
=+kq
dxTd g
Ecuación que debe cumplirse en cualquier punto del cuerpo.
Por dos integraciones sucesivas se obtiene la solución de esta ecuación, laprimera de ellas conduce al gradiente de temperatura y la segundaproporciona la distribución de la temperatura,
( ) 212
1 CxCxk
qTCx
kq
dxdT g
xg ++−=⇒+−=
Donde C1 y C2 son constantes de integración cuyos valores estándeterminados por las condiciones de frontera de primera clase. Por facilidad
se toma T1 y la posibilidad de un punto x0 donde 0=dxdT .
010
1210
0
0
0
xk
qC
dxdTxx
TCTTx
g
xx
x
=⇒=→=
=⇒=→=
=
=
Reemplazando estas expresiones se obtiene la distribución de la temperatura:
( ) 102
2Tx
kxq
xk
qT gg
x ++−=
Si se tienen los valores de T1 Y T2, puedo calcular a x0. Se tiene que mirar elflujo de calor en una dirección transversal:
( )
( )
00
00 0
0
g g g
g
x x
g
x e
q q x qdT x x xdx k k k
qdT dTCalculando xdx dx k
qdT x edx k
= =
=
= − + = −
⇒ = = −
( ) ( )
0 0 00
0 0
: gx g
x
gx e g
x e
qdTentonces q k k x q xdx k
qdTq k k e x q e xdx k
==
==
= − = − = −= − = − − = −
Generalizando:
( )1 0
2 0
g
g
Q q Ax
Q q A e x
= −
= −
55
Si se quiere determinar el balance global o calor generado por la pared,puede realizarse una tabla de “mas por menos” (+ x -).
Tabla 4-1 Evaluación de la transferencia de calor en una pared plana con generación
CASO PERFIL DE TEMPERATURA FLUJO DE CALOR
2
2
dxTd +
kqg = 0
Condición de Frontera
0=x ( ) 10 TT x == 1
ex = ( ) 2TT ex == 2
O
0=x ( ) 10 TT x == 1
0xx = 0=dxdT 2
2
2
dxTd +
kqg = 0
integrando, tenemos
1Cxkq
dxdT g +
−=
21
2
2CxC
kxq
T g ++−
=
Aplicando C.F. tenemos
kxq
C g 01 = y 12 TC =
Evaluando la ecuación para lascondiciones de frontera, tenemosque
Para cualquier x :
( ) 1
2
2Tx
kxq
kxq
T oggx ++
−=
Para ex =
1
2
2 2Te
kxq
keq
T ogg ++−
=
La ecuación de flujo decalor es:
dxdTkAQx −=
E integrando tenemos:
+
−−=
kxq
kxq
kAQ ggx
0
Y evaluando para cadavalor de x , tenemos:
En 0=x :
og AxqQ −=1
En :ex =
[ ]og xeAqQ −=2
x0 01 xqQ q−= ( )02 xeqQ g −= 12 QQ −
-, xo < 0 + + qge
+, xo < e - + qge
+, xo > e - - qge
Ejemplo 4-1
Calcular el calor en cada una de las fronteras y el punto máximo de unapared cuyas temperaturas son T1= T2 = 100°C , espesor e =0.2 m,conductividad térmica k = 40 w/m.K, la pared tiene una generaciónuniforme qg = 105 w/m3
Suposiciones:
• Condiciones de estado estable.
• Conducción unidimensional en la dirección x.
• Propiedades constantes para la pared.
Las condiciones de frontera son simétricas, por lo tanto el gradiente de
temperatura es cero, 00
=
=xdxdT , en consecuencia no hay transferencia de
calor a través de este plano.
Calculo del punto máximo: 21102
2 2TTcomoTe
kxq
ek
qT gg =++−=
22 002 exe
kxq
ek
q gg =→=
Calculo de la temperatura máxima en e = xo:
1002
0max 2Tx
kxq
xk
qT gg ++−=
( )252
max 0 1
max
10 0.1100
2 2 40112.5º
gqT x T
kT C
= − + = − +∗
=
Calculo de calores: 1.010501 ∗−=−= xqQ q
24
1 10 mwQ −=
( ) ( )2
42
502
10
1.02.010
mwQ
xeqQ g
=
−∗=−=
Conservando la Temperatura T2 = 100 ºC se varia la T1= como muestra lasiguiente tabla y se determina el valor de x0.
T1 (ºC) x0 (m)
25
50
100
150
200
0.25
0.2
0.1
0
-0.1
Figura 4-3 Ejemplo 4-1
Figura 4-3 Distribución detemperaturas
Tabla 4-2 Variación T1
57
En nuestro caso a medida que la temperatura T1 aumenta la ubicación delvalor máximo de Temperatura se va desplazando hacia la izquierda. Comose observa en la siguiente tabla.
Tabla 4-3 Desplazamiento del valor máximo de la temperatura
4.1.2 Cilindro hueco:
Para condiciones de estado estable, la razón a la que se genera calor dentrodel cilindro debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor porconvección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Estacondición permite que la temperatura de la superficie se mantenga en unvalor fijo Ts = T1.
A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro,comenzamos con la forma apropiada de la ecuación de calor, para unaconductividad térmica k, constante:
01 =+
kq
drdTr
drd
rg
Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión seintegra para obtener:
12
2Cr
kq
drdTr g +−=
Si el procedimiento se repite, la distribución general para la distribución detemperaturas se convierte en:
( ) 212
4CLnrCr
kq
T gr ++−=
Las constantes C1 Y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera:
110 ;0 TTrrdrdTrr =→==→=
Tabla 4-4 Transferencia decalor en un cilindro hueco congeneración
Aplicando el desarrollo para este caso como se hizo para la pared plana, seobtiene:
( ) ( ) 11
20
221 24
TrrLnr
kq
rrk
qT gg
r ++−=
Calores:
( )20
211 rrLqQ q −= π y ( )rrLqQ q −= 11 π
Tabla 4-5 Resumen conducción unidimensional, estado estable con generación
CASO DISTRIBUCIÓN DETEMPERATURAS
FLUJO DECALOR
Pared plana
( ) 102
2Tx
kxq
xk
qT gg
x ++−= ( )02
01
xeAqQAxqQ
g
g
−=
−=
Cilindro hueco
( ) ( ) 11
20
221 24
TrrLnr
kq
rrk
qT gg
r ++−=( )2
02
11 rrLqQ q −= π
( )20
222 rrLqQ q −= π
59
Ejemplo 4-2
Para una pared de espesor me 2.0= , generando calor a 3510
mwqg = y
con unCm
wk o20= . Determinar:
1. El punto de máxima temperatura.
2. Los flujos de calor al ambiente para los siguientes casos:
Haciendo uso de la tabla anterior, tenemos las siguientes ecuaciones:
1) T 2 =k
eqg
2
2−+
kxq og e + 1T
2) og AxqQ −=1
3) [ ]og xeAqQ −=2
Ahora contamos con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Y analizando la condición ambiental, conCm
wh o50= , tenemos:
( )1110000 TTh −=− ∞
En algunos casos los datos del problema varían y este es el caso dondeconocemos las temperaturas del ambiente, 1∞T y 2∞T , y desconocemos lastemperaturas de las superficies de la pared, 1T y 2T .
CASO T1[OC]
T2[OC]
A 300 300
B 300 280
C 300 200
D 300 180
Caso X0[m]
Q1[w]
Q2[w]
1∞T[oC]
A 0.1 - 104 104 100
B 0.08 - 8000 12000 140
C 0 0 20000 300
D - 0.02 2000 22000 340
Tabla 4-6 Graficas
Tabla 4-7 Pared cilíndrica
GRAFICASCASO A CASO B CASO C CASO D
CASO PERFIL DE TEMPERATURA FLUJOS DE CALOR
01 =+
∂∂
∂∂
kq
rTr
rT
rg
C.F. de 1er orden:
1rr = 1TT =
0rr = 0=drdT
1
2
2C
krq
rTr g +
−=
∂∂
rC
krq
drdT g 1
2+
−=
( ) 21
2
ln4
CrCkrq
T gr ++
−=
aplicando C.F. tenemos:
krq
C g
2
20
1 = y 12 TC =
reemplazando, tenemos
[ ] 11
22
22
212 ln
24T
rr
krq
rrk
qT ogg +
+−=
drdTrklQr π2−=
+
−−=
krq
krq
klQ gr 22
22
002
π
[ ]20
211 . rrlqQ g −= π
[ ]20
222 . rrlqQ g −= π
61
Tabla 4-8 Pared cilíndrica, condiciones de frontera de 3er orden
CASO PERFIL DE TEMPERATURA FLUJOS DE CALOR
01 =+
∂∂
∂∂
kq
rTr
rT
rg
[ ] 11
22
020
212 ln
24T
rr
krq
rrk
qT gg +
+−=
( )11111 2 TTlrhQ −= ∞π
( )20
211 rrlqQ g −= π
Suponer que 1Q es positivo.
( )22222 2 ∞−= TTlrhQ π
( )20
222 rrlqQ g −= π
Ejemplo 4-3
Para pruebas de determinación del coeficiente de transferencia de calorentre un fluido que se mueve dentro de un tubo se construyó un tubo aisladoexternamente de cuatro (4) cm. de radio interior y un (1) mm de espesor.(Noten el pequeño espesor).
El material del tubo tiene una K=45W/m°C y genera calor a una rata de106 W/m3.
Por dentro del tubo circula un flujo másico de agua de 0.01 kg/seg.
Cp del agua= 4180 Joul/kg °C.
1. Determinar las temperaturas de salida del agua y de la superficieinterior del tubo a una distancia de
0.5 m de la entrada si en x=0 la temperatura del tubo generador es de 45°Cy la temperatura media del fluido en la entrada Tb1 es de 20 °C en elsiguiente caso:
• La evolución de la temperatura del cilindro generador varialinealmente en la dirección del flujo.
• El coeficiente de transferencia de calor por convección esnuméricamente igual en cualquier punto del tubo.
2. Determinar los coeficientes de transferencia de calor en x=0, x= 0.25y x= 0.5 m si el flujo de calor
efectivo desde la superficie del tubo generador al agua en cualquier seccióndx del tubo es el 97% del calor generado en esa misma sección dx.
Se sabe además que la temperatura del tubo generador en x= 0.5 m es de54°C y en x=0 se dan las mismas condiciones del caso anterior.
Dado el pequeño espesor de la pared del tubo se puede asumir que latemperatura del cilindro generador es aproximadamente constante en ladirección radial aunque esto no es cierto en la realidad (como en las aletas)
Datos:s
kgm 01,0=& CT ob 201 = mmr 401 = 3
610mwqg =
Cmwk o40= CT o
S 45= mmr 412 =
Consideraciones:
1. Se conoce que la evolución axial de la temperatura del tubo esLINEAL.
2. Sí ctehX =
A continuación haremos un Balance de Energía del tubo y del fluido.
1. Balance de Energía del Tubo
CX
XCXXgX Qxx
QQQQQQ +∆∂
∂+=+=+ ∆+
( ) xrqTTxrhxdx
Tderkxerq CxSXg ∆=−∆=∆+∆ ∞ 112
2
11 2222 ππππ
Cg qdx
Tdkeq =+ 2
2
ctedxdT =
Todo lo que se genera se conduce hacia el fluido, o sea se convierte en Cq .
Esto quiere decir que NO existe flujo de calor dentro del tubo.
2310
mwqC = .
2. Balance de Calor en el Agua.
Figura 4-4 Balance deenergía del tubo.
12XdTQ k r edx
π= −
XC g
QQ Q xx
∂= − ∆∂
63
20418001,0
5,02 12 +
•= rqT C
bπ CT o
b 08,2308,3202 =+=
)2045(0 −== = hqeq xCg )08,23( 1 −== = SlxCg Thqeq
Ejemplo 4-4
Asuma que el 97% del gQ ,( VqQ gg ∆= ), se va al agua.
xrqxdx
Tderkexrq Cg ∆=∆+∆ 12
2
11 222 πππ
xrqxrq Cg ∆=∆ 11 2297,0 ππ
La evolución de la temperatura en el agua seguirá siendo una recta porquees el 97% del Qg y este valor es siempre constante a lo largo de todo eltubo.
4.2 SUPERFICIES EXTENDIDAS
Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinadosde conducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la quese usa una superficie extendida de manera especifica para aumentar larapidez de transferencia de calor entre un sólido y un fluido contiguo, estasuperficie extendida se denomina aleta.
Las aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor porconvección hc es pequeño. Los ejemplos mas comunes son las aletas deenfriamiento de componentes electrónicos, o de cilindros de los motores demotocicletas y podadoras, así como de los tubos del condensador de unrefrigerador domestico.
Las aletas se agregan para aumentar el producto hcA y así disminuir laresistencia térmica por convección 1/hcA
CkgjCp
dTCpmxrq
o
Tb
bxC
4180
22
20
5,0
01
=
=∆ ∫∫ &π
Figura 4-5 Superficieextendida
4.2.1 Clasificación de las superficies extendidas:
Determinación del flujo de calor y el perfil de temperatura en aletas de seccióntransversal constante, condiciones y simplificaciones.1) Flujo unidimensional.2) Coeficiente de transferencia de calor externo de; hext = corriente.3) La temperatura ambiente es constante;
t∞ = constante
4) El estado es estable.
Según su relación con el elemento base pueden ser
Integrada Separados
Según su posición relativa a la superficie base
Longitudinales Transversales
Según la forma de la sección transversal al flujo de calor de la aleta.
Sección constante Sección variable
65
El análisis cuantitativo de las aletas se puede abordar considerando queaunque la distribución de temperatura en ella es bidimensional, el hecho quenormalmente el espesor de las aletas es relativamente separado, permite quese pueda considerar que la distribución de temperatura es una seccióntransversal es constante. Esto no reduce la bidimensionalidad del proceso,pues en el balance de energía se considera la bidimensionalidad del flujo decalor.
Figura 4-6 Determinación del flujo de calor
4.2.2 Balance de energía sobre el volumen de control diferencial.
2
2
2 2
2 2
0 ( )( )
0 ( )
0 ( )
( ) 0 ( )
Ecuación General de aletea
x x x cx
xx x cx
x
x
x
x x
Q Q QQQ Q x Qdx
d dTk A x h P x T Tdx dxd dTk A hP T Tdx dx
d TkA hP T Tdx
d T d T hPkA hP T T T Tdx dx kA
+∆
∞
∞
∞
∞ ∞
⇒ = +∂= + ∆ +
= − ∆ + ∆ − = − + −
= − + −
− − = ⇒ − − = 144424443
0
Figura 4-7 Balance de energía
Introduciendo las variables:
−=
==≅+==
∞TT
mkth
kbtbh
btktbh
KAhpm
xxθ
22 22)(
)22(
La ecuación se transforma en:
022
)(2
=−⇒ θθ
mdx
d x ;
La solución de esta ecuación es dependiente de las condiciones de frontera:
La solución de la ecuación diferencial en este caso será:
)(cosh)()
:
cosh)
:2
cosh
;2
)
65)(
43)(
21)(
XLmcXLmsenhcc
alternasolución
mxcmxsenhcb
enrtransformapuedese
eemx
eemxsenhcomoececa
x
x
mxmx
mxmxmxmx
x
−+−=
⇒
+=⇒
+=
−=⇒+=
−
−−
θ
θ
θ
( ) ( )xLmsenhmCxLmmCdxd −−−−= 65 coshθ
Aplicando la primera condición de frontera.
0 5 61. 0 cosh (1)2.
X c senh mL c mLX L
θ= ⇒ = += ⇒
( ) 00 x c
LX L
X
dTX L k hdx
θ θ
θ
=
=
− = ⇒ =
− = ⇒ − =
É
Ç
Å
CASOS
∞= = TT LX )(
Se aplica la ecuación a)
0)( ==LXCQ
Se aplica la ecuación b)
AdxdTKQ LXC ⋅−== )(
67
[ ] [ ]5 6 5 6
5 6 5 6
cosh(0) (0) (0) cosh(0)
(2)
k mc mc senh h c senh chKmc hc c c
km
− − − = +
= ⇒ =
mLmLsenhkmh
kmh
c
mLmLsenhkmh
c
mLmLsenhkmhcen
cosh
cosh
cosh.1
0
5
06
60
+=
+=
⇒+=
θ
θ
θ
−+−=⇒ )(cosh)(6)( XLmXLmsenh
kmhcxθ
−+−
+= )(cosh)(
cosh
0)( XLmXLmsenh
kmh
mLmLsenhkmhx
θθ
Hay que tener en cuenta que el gradiente de temperatura disminuye alaumentar x. Esta tendencia es una consecuencia de la reducción en latransferencia de calor por conducción con el aumento de x debido a lasperdidas por convección continuas de la superficie de la aleta.
4.3 Calor de aleta:
El calor total transferido por la aleta se puede evaluar en dos formasalternativas, que implican el uso de la distribución de temperaturas. Elprocedimiento mas simple, y el que usaremos, implica aplicar la ley deFourier a la base de la aleta. Es decir:
AdxdTkA
dxdTkQ
xxa ∗
−=∗
−=
== 00
[ ]AsenhmLmCmLCmkQ kmh
a 66 cosh −−−=
[ ]senhmLmLkAmCQ kmh
a += cosh6
Se aplica la ecuación c)
SoluciónDistribución deTemperaturaEn una aleta
Los resultados numéricos
a) = b) = c)
Cambian las constantes
C1, C2, C3,….,C6
0cosh
cosh
hkm
a hkm
hmL senhhmLQ kAmsenhmL mL
θ +=+
Calor de aleta→
Una manera alterna de presentar esta ecuación para un análisis más práctico,es dividiendo por cosh (mL):
ghmLtaghmLkAmQ
kmh
kmh
a tan10 ++= θ
4.3.1 Efecto del parámetro h/km y de la longitud de la aleta:
El objetivo es mirar como varia el calor de aleta (Qa) al variar la relaciónh/km, en una aleta particular en donde la longitud de la aleta es tal que lataghml=0.3 con relación a una superficie sin aleta L=0.
h/km mL = 0 TaghmL = 0.3
2 02 θkAmQa = 04375.1 θkAmQa =
1 0θkAmQa = 0θkAmQa =
0.5 05.0 θkAmQa = 069.0 θkAmQa =
0.1 01.0 θkAmQa = 0388.0 θkAmQa =
0.01 001.0 θkAmQa = 0309.0 θkAmQa =
Observaciones:
• Para que la transferencia de calor aumente la relación h/km <1
• Si la relación h/km < 1, se ponen aletas para aumentar el calortransferido.
• Es indiferente poner aletas cuando h/km = 1, por que el calortransferido no cambia.
Desde el punto de vista práctico se colocan aletas cuando h/km → 0 en estascondiciones la pérdida de calor en la aleta se puede aproximar a:
taghmLkAmQa 0θ=
Para disminuir el error cometido por despreciar la perdida de calor en elextremo (aleta), se debe “corregir” la longitud de la aleta.
69
4.3.2 Longitud corregida:
Para hacer la corrección de la longitud, se parte de la suposición de que laperdida de calor en el extremo (Área = t × b) se daría en un elemento de árealateral equivalente.
2tLLc =+= δ
2ctL L= +
0
2;
a CQ kAm taghmL
hA b t mkt
θ= ⋅
= ⋅ =
Al resolver la ecuación general para aletas de sección transversal uniforme,es posible encontrar la distribución de temperatura, sometiéndola acondiciones apropiadas de frontera. En general se conoce la temperatura enla base x=0 de la aleta, pero hay varias situaciones físicas posibles en elextremo x=L de la aleta:
a) Aletas con flujo de calor despreciable en el extremo (adiabáticas)
En este caso el área del extremo o borde de la aleta es muy pequeña encomparación con el área lateral de la aleta y el calor transferido por elextremo de la aleta es despreciable con respecto al transferido por lassuperficies laterales, entonces la condición de frontera que caracteriza estasituación en el extremo o borde de la aleta es
0==Lxdxdθ .
La siguiente es la formulación matemática del problema
kmh
)0( =mLQa )2( =mLQa )5( =mLQa
0.5 05.0 θkAm 0987.0 θkAm Aumenta el calor1 0θkAm 0θkAm 0θkAm
2 02 θkAm 001.1 θkAm Disminuye elcalor
Figura 4-8 Longitud corregida
( ) ( )( )
( ) Lxendx
xd
xenTTx
Lxparaxmdx
xd
==
=≡−=
≤≤=−
∞
0
0
00
00
22
2
θ
θθ
θθ
Resolviendo
( ) ( ) ( )xLmsenhCxLmCx −+−= 21 coshθ
Aplicando las condiciones de frontera se obtiene
( ) ( ) ( )mL
xLmTTTxTx
coshcosh
00
−=−−=
∞
∞
θθ
El calor transferido por la aleta se obtiene sustituyendo la solución dada porla ecuación anterior, en la ecuación general
( )0=
−=xdx
xdAkQ θ
Obteniendo así,
mLphkAmLmAkQ tanhtanh 00 θθ ==
b. Aletas con convección en el extremo
Es una condición de frontera físicamente mas real en el borde de una aleta,se considera que por el borde ó extremo de la aleta se transfiere calor porconvección al fluido que lo rodea.
( ) ( )( )
( ) ( ) Lxxhdx
xdk
xenTTx
Lxparaxmdx
xd
e ==+
=≡−=
≤≤=−
∞
0
0
00
00
22
2
θθ
θθ
θθ
En donde k es la conductividad térmica de la aleta y he es el coeficiente detransferencia de calor entre el extremo de la aleta y el fluido circundante.
Se escoge la siguiente solución de la ecuación diferencial.
Aletas con flujo de calor
71
( ) ( ) ( )xLmsenhCxLmCx −+−= 21 coshθ
Las constantes de integración C1 y C2 se determinan aplicando lascondiciones de frontera dadas anteriormente, de donde se obtienerespectivamente
0cosh 12210 =+−+= ChmkCmlsenhCmLC eθ
Como
( ) ( ) 221 cosh mCxLmmCxLmsenhmCdxd
LxLx
−=−−−−= ==
θ
Cuando se hallan C1 y C2 se encuentra la distribución de temperatura en laaleta
( ) ( ) ( )
mLsenhkmhmL
xLmsenhkmhxLmx
e
e
+
−
+−=
cosh
cosh
0θθ
c. Aleta larga (infinita)
En una aleta suficientemente larga se puede suponer razonablemente que latemperatura en el extremo o borde de la aleta es aproximadamente igual a latemperatura T∞ del medio circundante, además se considera que se conoce latemperatura To en la base de la aleta.
( ) ( )( )( )
kAphmdonde
xcuandox
xenTTx
Lxparaxmdx
xd
≡
∞→→
=≡−=
≤≤=−
∞
2
00
22
2
0
0
00
θ
θθ
θθ
La solución es de la forma
( ) mxmx eCeCx 21 += −θ
Las constantes de integración se determinan aplicando las condiciones defrontera, donde 012 0 θ== CyC , y la solución será
( ) mxex −=0θ
θ
4.3.3 Aleta de aguja:
pA eequivalentlateralarea=δ
2
2 2r rr
πδ δπ
= ⇒ =
Figura 4-9 Aleta de aguja
4.3.4 Calor absoluto perdido por una aleta:
En la medida en que se incremente L, el calor de aleta ( Qa ) aumenta hastaun punto donde mL = 4. Teóricamente se puede decir que
( )4→→∞→ ≈ mLLL QQ . De mL = 4 en adelante ∞→mL el termino 0θkAm esconstante, independiente de L ya que la ( ) 01 θkAmQmLtagh a =⇒=
Desde el punto de vista “relativo” la mejor aleta es la mas corta.
CASO δ δ+= LLc
2t=δ
2tLLc +=
2r=δ
2rL =+ δ
73
Tabla 4-9 Resumen superficies extendidas aletas
Ecuación diferencial02
2
2
=− θθ mdxd
Condiciones de fronteraL
LX
bx
hAAdxdkLX
TTx
θθθθ
=
−⇒=
−==⇒=
=
∞= 000
)(xθ )(cosh)( 65)( XLmcXLmsenhcx −+−=θ
dxdθ
)()(cosh 6 XLmsenhmcXLmmdxd −−−−=θ
Perfil de temperaturas
)(xθ mLsenhkmhmL
xLmxLmsenhkmh
x
+
−+−=
cosh
)(cosh)(0)( θθ
Flujo de calor
AdxdkQ
xaleta
0=
−= θ
0
0
cosh
cosh
tanh ; ,
aleta
aleta
hsenh mL mLkmQ kAm hmL senh mLkmhQ kAm mL si se desprecia
km
θ
θ
+=
+
= <<<
Efecto de la perdida en el extremo
para aletas rectangulares2
para aletas circulares4
cL Lt
D
= + ∆
∆ =
∆ =
caleta mLkAmQ tanh0θ= (2) compensación
ghmLtaghmLkAmQ
kmh
kmh
a tan10 ++= θ
Ecuación simplificada( )mL
xLmx cosh
cosh0
−= θθ Otra forma de expresar el calor de aleta teniendo en cuenta laeficiencia:
( )0
ca c
c
tagh mLQ hpL
mLθ=
4.4 EFICIENCIA DE ALETAS
Se debe recordar que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia decalor de una fuente. Sin embargo, la aleta misma representa una resistenciade conducción para la transferencia de calor de la superficie original. Poresta razón no hay seguridad de que la transferencia de calor aumente a travésdel uso de aletas. Una apreciación de este caso se obtiene evaluando laefectividad de la aleta ηa.
Si θ0 se mantuviera constante como una diferencia de temperaturas entre lasuperficie de la aleta y el ambiente, entonces tendríamos: idealQQ =max
Partiendo de:
( ) 00 θθ fcaideal hApLhQ ==
Af = área superficial total de la aleta
Si se toma:kAhpm =2
( )20 c
a realc
kAm tagh mLQ Q
mLθ
= =
Generalizando: ( )c
cca mL
mLtaghhpLQ 0θ=
Haciendo una extensión del concepto de eficiencia de aleta, podemosmanejar todo tipo de aleta (de sección constante o variable) como:
{ 0
1 2 3 4 5
a ideal aleta
a f aleta
f
Q QQ h A
A A A A A A
ηθ η
↓
==
= + + + +
Af = Área frontal de aleta
Donde la eficiencia para diferentes formas se calcula por medio de la tabla3.5, del libro Incropera. ¿Que pasaría si la temperatura de la base de la aletase mantuviera constante en toda la longitud de ella? O lo que seria lo mismoque ( ) mLmL ≈tanh , ósea mL <<<Tb = cte. Entonces 0θhpLQideal = , por lotanto la eficiencia de la aleta se expresaría de la forma:
Qideal:Calor que disiparía la aletacon la suposición de quela T° de la base se mantieneconstante a lo largo de laaleta.
Qx = Qo
Figura 4-10 Área frontalde aleta
75
reala
ideal
η = ⇒
Llamaremos parámetro de la aleta al producto mL , cuando este producto espequeño, el valor de ηa esta cerca de la unidad; cuando mL es mayor queaproximadamente 4, ( ) 1≅mLtagh . Un valor pequeño de mL corresponde aaletas relativamente cortas y gruesas de alta conductividad térmica, mientrasque valores altos de mL corresponden a aletas relativamente largas ydelgadas de baja conductividad térmica.
Tabla 4-10
Eficiencia aletaa
ai
η =
Es la relación del calor transmitido por la aleta(Qa) y del que se transmitiría si la superficie totalde la aleta se mantuviese a la misma temperaturade la base (Qi)
Partiendo de la ecuación (2)
0tanh
tanh
ca lateral ideal a
c
ca
c
a ideal a
mLQ hA QmL
mLmL
Q Q
θ η
η
η
= =
=
=
Eficiencia superficial( )L a T
si i
Q Q QQ Q
η += =
Es la relación del calor total transmitido (el calorde la aleta más el de la parte libre sin aletas Qa +QL) y del que se transmitirá si la superficie totalde la aleta se mantuviese a la misma temperaturade la base (Qi)
[ ]( )( ) ( )
1
1 (1 )
T b L f a b T s
bT
T s
fs a
T
Q h T T A A h T T AT TQ
hAAA
η η
η
η η
∞ ∞
∞
= − + = −
−=
= − −
Calor total de las superficies aleteadas TQ
( ) ( ); º
( )( )( ) ( )
1 1( )
T al L b Li fi a
T al L b L f a
b bT al L
L f a T s
Q Q Q h T T N A A N N aletas
Q Q Q h T T A AT T T TQ Q Q
h A A h A
η
η
η η
∞
∞
∞ ∞
= + = − + =
= + = − +
− −= + = =
+
Resistencia en las aletas
Ts AhkAe
Ah
TTQ
η211
21
11 ++
−= ∞∞
( )c
ca mL
mLtagh=η
4.5 ALETA ÓPTIMA
4.5.1 Determinación de la longitud optima de la aleta:
Con respecto a la longitud óptima se usan dos criterios:
1. El mejor uso del material gastado en construir la aleta.
2. El costo mínimo del sistema.
4.5.2 Mejor uso del material
c
c
c c
A tL A btA At tL b
A A bA AL b L
= =
= =
= ⇒ =
Maximizar el flujo calórico (calor de aleta), para una Ac constante, ¿cuál
será la longitud optima de la aleta?
Para determinar el L optimo
se maximiza la relación beneficio / costo
taghmLkAmQa 0θ= ;kthm 2= 0=
dLdQa
( ) 02 2
ah hQ k bt tagh L
kt ktθ=
2322
0 LkA
htaghtkhkbQ
ca ∗= θ
2322
0 LkA
htaghLA
khkbQ
c
ca ∗= θ
dLdQ
aletafijotoQ
toBeneficio aa ==
coscos
Tabla 4-11 Mejor usodel material
77
0232sectan
22 2
0 =
∗∗+∗−= L
KAhhmL
LAghmL
LLA
khkb
dLdQ
c
cca θ
02sec 232 =∗+−= L
kAhhmLtaghmL
dLdQ
c
a
0sec3 2 =− taghmLhmL
El valor de mL que hace que esta ecuación se cumpla es 419.1=mL y es elvalor que hace máxima la relación beneficio- costo y es cierto, solo paraaletas de sección transversal constante.
419.1=mL Corresponde a una ηa = 0.62 → 62% Cuando los catetos seanQymL iguales entonces ese es el punto optimo.
Si se colocan aletas mas largas que 419.1=mL , entonces el incremento decalor que va a disipar ( )1dQ es muy poco en comparación con el aumentodel material. L relación beneficio/costo para una aleta a partir del valormL =1.419 no es aceptable.
4.5.3 Costo mínimo del sistema:
Este tipo de análisis se basa en la determinación del costo mínimo, por unproceso similar al requerido para determinar el espesor de aislamientoóptimo.
En este caso el incremento de la longitud de la aleta incrementa los costos deinversión, pero esto significa un mayor valor de calor disipado,considerándose que por cada unidad de longitud de aleta que se coloca seobtiene un beneficio equivalente al calor que se dejaría de transferir si no s ecolocara.
Figura 4-11 El puntoóptimo no es el punto demayor transferencia decalor
Figura 4-12 Curva de costosCqp=Costo de calor perdido;Ca= Costo de aislamiento.
Tabla 4-12
Aleta óptima deespesor constante
0
23 3 3
3
:
0 ;
tanh
:
2 2 2tanh 3 sec
:
2 1.4192 1.4192
CondicióndQ para Ac cte si Ac tLdt
Q kAm mLdQ Q alcanza un máximo cuandodt
h h hAc Ac h Ackt kt kt
la cual se satisface para
hAc mLkt
θ
= = =
=
→ →
=
= ⇒ =
2
02 3
:
2 2; 2 tanh(1.4192)
copt
por consiguiente
hA ht con Q htk Ack kt
θ
= =
2
0
3
20
0
0.6321
0.5048 ;
0.7979
opt
copt
opt
Qthk
QA como Ac tLh k
QLk
θ
θ
θ
=
= =
⇒ =
Aleta óptimatriangular
( )( )
=
=
=
==
30
31
0
0
1
0
2/10
2/1
2/110
24
242
2;
22
222
2;22
kthAcI
kthAcI
hktQ
tLAccomo
kthLI
kthLI
hktQ
kthLp
PLILPLpIktQ
θ
θ
θ
79
2
1 13 3
3
0 03 3
3
,:
2 24 44 24 13 2 24 4
Re :
24 2.6188
derivando con respecto a t tendremos para Qun máximo cuando
h hI Ac I Ackt kthAc
kth hI Ac I Ackt kt
solviendo nos da el valor de
hAckt
= −
= ⇒ 3
24 2.61882tL h
kt=
0
2
0
3
20
0
las dimensiones óptimas en función de h, k, Q, son:
0.8273 ;
0.3483 ;
0.8420
opt
copt
opt
Qthk
QAh k
QLh
θ
θ
θ
=
=
=
Comparación de lasaletas de espesorconstante y lastriangulares
3087.16321.08273.0
0551.17979.0842.0
6899.05048.03483.0
)()(
tan
tan
tan
==
==
==
tecons
triangular
tecons
triangular
tecons
triangular
ttLLAcAc
La aleta triangular de dimensiones óptimas es algo más largay gruesa en la base que la correspondiente de espesorconstante.
4.5.4 Aletas con área de sección transversal variable
Muchas de las aletas que se encuentran en la práctica tienen una seccióntransversal cuya área Ac varía entre la base y el extremo, por lo que hace máscomplejo su análisis ya que la solución no presentara la forma de funcionesexponenciales o hiperbólicas simples. Como caso especial considere la aletaanular de espesor t.
Tabla 4-13 Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal uniforme
Caso
Condiciónaleta(x = L)
Adiabática
0== Lxdxdθ
Temperatura Establecida
( ) LL θθ =
Aleta infinita
( )( ) 0=
∞→L
Lθ
distribucióndetemperatura
bθθ /
( )mL
xLmcosh
cosh − ( ) ( ) ( )( )
cosh
cosh
e
e
hkm
hkm
m L x senh m L x
mL senh mL
− + −
+mxe−
transferenciade calorde la aleta qa
( )mLM tanhmLsenh
mLM b
L
− θθcosh M
( ) Cbb
L
hpkAMTT
kAhpmTT
0
2
0 θθθ
θ
≡−==
≡−=
∞
∞ Sección transversal uniforme
81
Figura 4-13 Aletas de sección trasversal variable.
Estas aletas tienen muchas aplicaciones en intercambiadores de calorliquido-gas, como los evaporadores de sistemas de refrigeración enfriadospor aire. Aunque el espesor de la aleta es uniforme (t es independiente de r),el área de la sección transversal, rtAc π2= varía con r; el área superficial
( )11
222 rrA f −= π , por tanto la forma general de la ecuación de la aleta se
reduce a:
( ) ;0212
2
=∞−−+ TTkth
drdT
rdrTd
b kthm 2=
∞−==−+ TTdondemdrd
rdrd
bθθθθ 01 22
2
La expresión anterior es una ecuación de Bessel modificada de orden cero, yla solución general tiene la forma: ( ) ( ) ( )mrKCmrICr 0201 +=θ donde I0 yK0 son funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segundaclase, respectivamente. Si la temperatura en la base de la aleta seestablece, ( ) br θθ = , y se supone la superficie adiabática, 0
2=
rdrdT , C1 y C2
se pueden evaluar para dar una distribución de temperaturas según la forma :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21102110
210200
0 mrImrKmrKmrImrImrKmrKmrIr
++++
=θ
θ
Las funciones de Bessel se tabulan según el apéndice B del libro de Mills.
Si la transferencia de calor de la aleta se expresa como:
( )11
12rrrr
ca drdtrkA
drdTkAQ
==
−=−= θπ
y por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21202110
21112111012
mrKmrImrImrKmrKmrImrImrKtmkrQa +
−= θπ
4.5.5 Eficiencia global de la superficie
En contraste con la eficiencia de la aleta, que caracteriza el rendimiento deuna sola aleta, la eficiencia global de la superficie ηs caracteriza un arreglode aletas y la superficie base a la que se le une en cada caso la ηs , se definecomo:
maxQQTotal
s =η
Donde QT es la transferencia de calor total del área de la superficie ATasociada con las aletas y la parte expuesta de las aletas, si hay N aletas en elarreglo, cada una de las áreas superficiales Af, y el área de la de la superficieprimaria AL, el área total de la superficie es fLT AAA += . La transferenciade calor máxima posible resultara si toda la superficie de la aleta, así como labase expuesta, se mantuviera en Tb.
La transferencia de calor total esta dado por ( )∑ +== LiaiuloT QQNQQ mod
Donde Qai = calor de aleta por un modulo y QLi =calor total de un moduloaleteado.
Si aceptamos condiciones de flujo unidimensional,
aletafiai hAQ ηθ ∗= 0
0θLiLi hAQ =
el calor total de calor por convección de las aletas y de la superficie principal(sin aletas) se expresa como
83
( )
( )
( )( )( )
0 0
0 0
0
1
T fi a Li
T f a L
T L a f
bT b L a f T
L a f
Q N hA hA
Q hA hA
Q h A A
T TQ h T T A A Q
h A A
θ η θ
θ η θ
θ η
η
η
∞∞
= +
= +
= +
−= − + ⇒ =
+
4.5.6 Eficiencia de la superficie:
( )TfaL
TfaLT
AAAAhAAhQ
sup
0sup0
ηη
θηηθ
=+
=+=
( )T
fa A
Aηη −−= 11sup
Que dando de esta manera la resistencia para un sistema aleteado
aletalibreTot
Tot
AAA
AhkAe
Ah
TTQ
+=
++
−= ∞∞
2sup1
21
11η
sup
0
1η
θ
T
T
hA
Q =
Figura 4-14 Eficiencia de la superficie
Figura 4-15 Eficiencia de aletas rectangulares y triangulares
Figura 4-16 Eficiencia de aletas circulares
→
−⋅=
⋅=
∞
a
faa
idealaa
TThAQ
η
η
η
)( 0
Se encuentra por medio de las graficas(Incropera) o por medio de las ecuaciones(Mills Pág. 102)
( )13 22 /C mL h kA
( )3/2
0 02 /2 i itr r h kt r r + − −
85
Tabla 4-14 Eficiencia de aletas continúas
CASO Re/r η
21
2,028,1Re
−=
ML
rM
r
21
3,027,1Re
−=
ML
rM
r
( )( )
+
−=
=
rr
mrmrhtg
Reln35,011Reφ
φφη
Busca aleta circularequivalente.
86
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
ConducciónBidimensionalEstado Estable
Sin Generación
Capítulo
5
87
TABLA DE CONTENIDO
5. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN.. 75
5.1 SOLUCIÓN ANALÍTICA .....................................................................................................................755.1.1 Balance de Energía ..............................................................................................................................75
5.2 SOLUCIÓN GRAFICA .........................................................................................................................815.2.1 METODOLOGÍA................................................................................................................................82
5.3 DETERMINACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR............................................................83
5.4 FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN........................................................................83
5.5 RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLA DE FACTORES DE FORMA ..................865.5.1 Recomendaciones prácticas para la solución grafica .............................................................................865.5.2 Método práctico para determinar gráficamente la distancia entre 2 líneas isotermas ..............................86
5.6 SOLUCIÓN NUMÉRICA......................................................................................................................87
5.7 PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS ............................................................................895.7.1 NODOS INTERNOS...........................................................................................................................895.7.2 NODOS FRONTERA..........................................................................................................................89
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
75
5. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADOESTABLE SIN GENERACIÓN
5.1 SOLUCIÓN ANALÍTICA
Para este análisis se toma un sistema cartesiano y un elemento con sus 4caras expuestas al flujo de calor. Se realiza un balance de energía y teniendola temperatura en función de X y Y se pueden obtener los gradientes detemperatura en X y Y ( xT ∂∂ / y yT ∂∂ / ) y los calores conducidos.
5.1.1 Balance de Energía
2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ = 0 Esta es una Ecuación diferencial de tipo Lineal homogénea
parcial. Esto permite que si la ecuación es valida para T, también lo es parauna (cte)X T, esto es un caso particular de la linealidad.
Donde a , b , c , d son condiciones de frontera.
Al solucionar esta ecuación se encuentran cuatro constantes de integración yse necesitan 4 condiciones de frontera, las cuales se pueden clasificar enhomogéneas y no homogéneas. Las no homogéneas se pueden convertir enhomogéneas haciendo un cambio de variable.
El caso más sencillo que podemos abordar es cuando tenemos a, c, dhomogéneas y b no homogénea. El método analítico que se aplica a lasolución se llama SEPARACIÓN DE VARIABLES.
θ (x,y) = f (x,y) ⇒ θ (x,y) = A(x) . B(y) ⇒ θ (x,y) = T(x,y) - Tα
Ejemplo 5-1
Se tiene un sólido con las siguientes condiciones de frontera:
1. (a) T(0,y) = T02. (c) T( w ,y ) = T03. (d) T(x,0) = T04. (b) T(x,h) = T0 + θ msen X.
La solución es de la form : θ (x,y) = A(x) . B(y)
Para la ecuación 2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0 es:
2
2
( ( ) . ( )A x B yX
∂∂
+2
2
( ( ) . ( ) )A x B yY
∂∂
= 0
Figura 1-1 Conducciónbidimensional
Figura 1-2
Transferencia de Calor
76
B(y)2
2
( ( ))A xX
∂∂
+ A(x)
2
2
( ( ) )B yY
∂∂
= 0 Dividimos entre A(x) . B(y) y resulta
1( )A x
2
2
( ( ))A xX
∂∂
+ 1( )B y
2
2
( ( ) )B yY
∂∂
= 0
1( )A x
2
2
( ( ))A xX
∂∂
= 1( )B y
−2
2
( ( ) )B yY
∂∂
= ± λ 2
La única manera para que el termino de la izquierda F(x) sea igual altermino de la derecha F(y) es que ambos sean iguales a una constante, porejemplo λ 2 > 0.
Tomamos la negativa para A y para B la positiva así:
1( )A x
2
2
( ( ))A xX
∂∂
= - λ 2 ⇒1( )A x
2
2
( ( ))A xX
∂∂
+ λ 2 A(x) = 0 ⇒ (sin Senoidal)
1( )B y
2
2
( ( ) )B yY
∂∂
= λ 2 ⇒1( )B y
2
2
( ( ) )B yY
∂∂
-λ 2 = 0 ⇒ (sin Exponencial)
La solución será de la forma:
A(x) =C1sen λ X + C2cosλ X
B(y) =C3Y + C4
Y
La solución completa será el producto A(x) B(y)
θ (x,y) =( C1sen λ X + C2cosλ X )*( C3Y + C4
Y )
Reemplazando las condiciones de frontera:
1. θ (0,y) = 0
0 = ( C1sen0 + C2cos0)( C3Y + C4
Y )
0 = ( 0 + C2 ) ( C3Y + C4
Y )C2 = 0
3. θ (x,0) = 00 = ( C1sen λ X + C2cosλ X )*( C3
0 + C40 )
0 = ( C1sen λ X + C2cosλ X )*( C3 + C4 )0 = ( C1sen λ X )*( C3 + C4 )C3 = -C4
La ecuación general reemplazando los valores de las constantes
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
77
θ (x,y) = C1sen λ X( C3Y + C3
Y )
θ (x,y) = C1C3 Csen λ X( Y + Y ) por 2/2
θ (x,y) = 2C1C3 Csen λ X( Y + Y )
2. θ (x,y) = C sen λ X senh λ Y
3. θ (w,y) =0 0 = Csen λ W senhλY
λ W = 0,π , 2π , 3π , 4π , .nπ λ nW = n π n → entero
Se obtienen n soluciones. (Independiente de n, el valor de senλ W es siemprecero).
Como la ecuación 2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0 es lineal, la suma de las soluciones
particulares es también una solución, de esta forma como se tienen nsoluciones (infinitas) θ (x,y) puede escribirse como la suma de una serieinfinita así:
∑∞
=1nC nsenλnX senhλnY ; λn = nπ / W
Se deben encontrar los valores de Cn de la solución general que dependende la 4 condición de frontera.
4. θ (x,H) =θ msen πX
θ msen (πX)/W = ∑∞
=1nC nsen (nπX)/w senh(nπH)/w
Como Cn es la combinación de otras constantes, esta igualdad existe cuandoC2=C3 =C4 = 0=
Cuando n=1 θ msen (πX)/W = C1 sen (1 (π X)/W) senh(π H )/W
1
mY Xsenh sen
W WCHsenh
W
π πθ
π
=
PRINCIPIO DE ORTOGONALIDAD: Principio aplicado a las funcionescomo la seno(x) (llamadas funciones propias).
∫ λsen nX senλ mX dX = {0 si n ≠ m , valor propio si n = m.
Un caso particular es cuando F(X) = θ c = cte.
Transferencia de Calor
78
Ejemplo 5-2
Encontrar la distribución de temperatura en una placa con las condicionesde frontera especificadas.
00
110
22
22
2
2
22
2
2
2
2
2
)(2
2
)(
)()(),(
=−∂∂=+
∂∂
±=∂∂−=
∂∂=
∂∂+
∂∂
×=
ByBA
xA
yB
BxA
AyBA
xAB
BA
xy
yxyx
λλ
λ
θ
wnnwwSenySenhwSenCwx
CCCxSenCyCCCBx
yCoshCySenhCxCosCxSenC
n
y
yx
πλπλλλλ
λ
λλλλθ
====××=
==×+××=
==×+××=
++=
00
00)10(000)10(0
))((
4431
221)(
4321),(
∑= yxSenhSenC nnnyx λλθ ),(
∑= HxSenhSenC nnn λλθ0
∫ ∫×=w
nnnn xdxSenHSenhCxdxSen0
20 λλλθ
0 00
0 0
( ) 1 ( 1)ww
nnn n
n n n
Sen xdx Cos xλ θ θθ λ λλ λ λ
× = = − − ∫
2221
0
2 wdxxCos
xdxSenw
nn =
−=∫ ∫
λλ
[ ]2
)1(10 wHSenhCn
wnn
n ×=−− λπ
θ
02 1 ( 1)n
nn
Cn Senh H
θ
π λ
− − =
Así: θ (x,y) = ∑ Cn sen λ nX senh λ nY.
Figura 1-3 Ejemplo 6-2
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
79
Ejemplo 5-3
Demuestre que el calor disipado por una aleta recta rectangular de espesor2t y condiciones de frontera T=TB en x=0 y flujo de calor en x=L, tomandoen cuenta que el flujo de calor es Bidimensional, esta dado por:
[ ]( )
( )
khtBi
LtnTanh
BiLtnn
LtnTanh
TTkQnimpar
BD
=
+
−= ∑∞
221
282πππ
π
Figura 1-4 Ejemplo 6-3
Si hacemos Byxx TT −= ),(θ , entonces:
Condición de frontera superior
4 C.F [ ] )()( , ∞∞==
−=−−−=∂∂−⇒ θθθ
txBBtyty
hTTTThy
K
Ecuación Diferencial
)()(2
2
2
2
;0 yx BAyx
×==∂∂+
∂∂ θθθ
xCosCxSenCAxA
x λλθλ 21)(2
2
2
0 +=⇒=+∂∂
yCoshCySenhCByB
y λλθλ 43)(2
2
2
0 +=⇒=−∂∂
Transferencia de Calor
80
Figura 1-5 Condiciones de frontera
Primera condición de frontera
1ª C.F 0)00(0 2)(21),0( =⇒×+==⇒ CBCosCSenC yyθ
Segunda condición de frontera
2ª C.F 0)00(0 3430
=⇒+==∂∂⇒
=
CSenhCCoshCy y
λλθ
Tercera condición de frontera
3ªC.F 1 ( )0 ( ) 0 12y
x L
nC Cos L B Cos L L nxθ πλ λ λ λ
=
∂⇒ = = × ⇒ = ⇒ = ≥∂
YCoshXSenC nnnyx λλθ ×= ∑),(
Cuarta condición de frontera
4ªC.F
[ ]
=+ ∞∑ thCosh
XmultiplicohtSenhKthCoshXSenCn
nnnnn λθλλλλ 1
thCoshhtTangh
httK
XSenCn
nn
nn λθ
λλ
λ ∞=
+∑ 1
KhtBi
tCoshtTangh
Bit
XSenCn
nn
nn =⇒=
+ ∞∑ λ
θλ
λλ 1
Aplicando el principio de ORTOGONALIDAD de las funciones propias,multiplicamos a ambos lados por xdxSen nλ e integramos entre 0 y L. De laserie solo quedara valido el termino de Cn
0 1
1 0
( , )( )n n n n x t n n nK C Sen X Senh t h h C Sen X Cosh tλ λ λ θ θ λ λ θ∞ ∞ ⇒ × = − = × − ∑ ∑
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
81
xdxSentCosh
tTanghBi
txdxSenC n
L
nn
nn
L
n λλ
θλ
λλ ∫∫ ∞=
+
0
2
0
1
tCoshtTangh
BitLC
nnn
nn λλ
θλ
λ ∞=
+1
2
Ln
tTanghBi
ttCoshLC n
nnnn
n 21
12 πλλ
λλλθ =⇒
+
×= ∞
+
×= ∞
tTanghBi
ttCoshnC
nnn
n
λλλπ
θ
1
14
YCoshXSentTangh
Bit
tCoshnnn
nn
n
nyx λλ
λλ
λπ
θθ ×
+
= ∑1
4),(
Para la determinación del flujo de calor en esta aleta bidimensional sedeberá:
∫∑∫ ×××−=×−==
=
t
nnnnx
t
Dx dyyCoshCosCkdy
dxdkQ
00020 )2(02 λλλθ
∑ ∑
+
−=−= ∞=
tTanghBi
tn
tTanghktSenhCkQ
nn
nnn
Dx
λλ
π
λθλ
182
20
[ ] ∑
+
−= ∞
tTanghBi
tn
tTanghKTTQ
nn
nbD
λλ
π
λ
182
5.2 SOLUCIÓN GRAFICA
El principio básico de la solución por este método es que las líneas isotermasson perpendiculares a las líneas de flujo de calor en un punto específico. Deesta manera se toma el elemento de análisis y se trata de dibujar sobre él unsistema de cuadrados curvilíneos compuesta por líneas de flujo de calor ylíneas isotermas.
Transferencia de Calor
82
5.2.1 METODOLOGÍA
Figura 2-1 Metodología para la solución grafica.
2. Identificar todas las líneas de simetría relevantes. Estas líneas sedeterminan por condiciones térmicas. Estas líneas se determinan porcondiciones térmicas así como por condiciones geométricas. Como semuestra en la fig. 1.(a). ,estas líneas incluyen las verticales, horizontalesy diagonales que se designan. Por tanto, para este sistema es posibleconsiderar sólo un octavo de la configuración, como se muestra en la fig1.(b).
3. Las líneas de simetría son adiabáticas en el sentido que quizá no hayatransferencia de calor en una dirección perpendicular a las líneas. Portanto, son líneas de flujo de calor y deben tratarse como tales.
4. Después de que todas las líneas conocidas de temperatura constanteasociadas con las fronteras del sistema hayan sido identificadas, debehacerse un intento de dibujar líneas de temperatura constante dentro delsistema. Las isotermas siempre deben ser perpendiculares a lasadiabáticas.
5. Las líneas de flujo de calor deben dibujarse con la finalidad de crear unared de cuadrados curvilíneos. Esto se logra haciendo que las líneas deflujo de calor y las isotermas se intersequen en ángulos rectos y quetodos los lados de cada cuadrado sean aproximadamente la mismalongitud. En la fig 1. (c) al asignar la coordenada (X) a la dirección delflujo de calor y la coordenada (Y) a la dirección normal de este flujo, elrequerimiento se expresa como:
22bdacYcdabX +≡∆≈+≡∆
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
83
5.3 DETERMINACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DECALOR
Si la grafica de flujo se construye de forma apropiada, el valor de qi será elmismo para todas las bandas y la transferencia de calor se expresa como:
1
M
i ii
q q Mq=
= =∑
Donde M es el número de bandas asociado con la grafica. A partir del cuadrocurvilíneo y aplicando la ley Fourier obtenemos
xTlYk
xTkAq ii
ii ∆∆
∆≈∆∆
≈ ))((
Donde ∆ Ti es la diferencia de temperaturas entre isotermas sucesivas, Ai esel área de transferencia de calor por conducción para la banda y l es lalongitud del canal normal a la página. Sin embargo, si la grafica de flujo estaconstruida de forma apropiada, el incremento de temperatura es el mismopara todas las isotermas contiguas y la diferencia global de temperaturasentre las fronteras ∆ T1-2 se expresa como:
∆ T1-2 = j
N
jj TNT ∆=∆∑
=1
Donde N es el número total de incrementos de temperatura. AL combinarlas ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que ∆ X ≈ ∆ Y para cuadroscurvilíneos obtenemos:
21−∆≈ TkNMlq
Para la figura 1. N=6 y M=5, por supuesto que conforme la red de cuadroscurvilíneos se hace más fina, M y N aumentan y la estimación de M/N sehace más exacta.
5.4 FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN
En muchos problemas de conducción multidimensional intervienen flujos decalor entre dos superficies, cada una de las cuales tiene una temperaturauniforme; las superficies restantes, si las hay, son adiabáticas. EL factor de
forma para la conducción, S, se define de manera ue el flujo de calor,oQ
entre las superficies sea:
oQ TkS∆=
Transferencia de Calor
84
Donde K es la conductividad térmica y ∆ T es la diferencia de temperaturaentre las superficies; vemos que S tiene dimensiones de longitud. Losresultados obtenidos antes para la conducción unidimensional tambiénpueden expresarse en función del factor de forma.
Tabla 5-1 Factores de Forma
CONFIGURACION FACTOR DE FORMA
Pared Plana
LA
CilindrosConcéntricos 2
12 )/ln(2 rL
rrL ≥π
Nótese que no existe una solución en régimen
estacionario para ∞→2r es decir, para uncilindro en un medio infinito.
EsferasConcéntricas
∞→−
21
21
4./1/1
4.
rpararbrr
a
π
π
CilindrosExcéntricos
−+−
21
221
221
2
2
rrerrCosh
Lπ
PrismasCuadradosConcéntricos
aLbapara
baL
bapara
baL
⟩⟩
⟨
⟩−
4.1)/ln(785.0
2
4.1052.0)/ln(93.0
2
π
π
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
85
Continuación factores de forma
CONFIGURACION FACTOR DE FORMA
Cilindro Circulary Prisma
CuadradoConcéntricos
rara
L 2)/54.0ln(
2 ⟩π
Esfera Enterrada
La temperaturadel medio en elinfinito tambiénes T2
Lrr2/1
4
1
1
−π
Para ∞→h se obtiene de nuevo el resultadodel apartado 3(b)
CilindroEnterrado
Latemperaturadel medio enel infinitotambién esT2
11
11
3)/2ln(
2)/(
2
rhpararh
LrhCosh
L
⟩
−
π
π
Para 0,/ 1 →∞→ Srh puesto que esimposible el flujo estacionario
VigaRectangularEnterrada
La temperaturadel medio en elinfinitotambién es T2
bahLbh
ah
,,
1ln756.2078.059.0
⟩⟩
+
−−
Arista de DosParedesAdyacentes 5/54.0 LWparaW ⟩
(W es la arista interna de un cubo)
Esquina deTres ParedesAdyacentes
5/15.0 LWparaL ⟩
Transferencia de Calor
86
5.5 RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLADE FACTORES DE FORMA
No existe generación de calor interna:o
Q ′′′ = 0.
La conductividad térmica K es constante.
Ambas superficies deben ser isotérmicas.
Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemploen el punto 7 tanto la superficie plana como el medio infinito deben estar a laT2.
El apartado 8 a menudo se usa incorrectamente para calcular la pérdida o laganancia de calor de tuberías subterráneas. Es esencial que la tierra querodea a la tubería se encuentre a la misma temperatura que las superficies, loque rara vez ocurre en la realidad. Además, el problema de las tuberíassubterráneas con frecuencia hay conducción transitoria.
5.5.1 Recomendaciones prácticas para la solución grafica
El trazado del sistema de cuadrados curvilíneos es útil si las fronteras sonisotermas.
Si el cuerpo tiene simetría, las líneas de flujo de calor son los ejes desimetría.
La distancia entre líneas isotermas aumenta con el aumento del área detransferencia.
Las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor.
5.5.2 Método práctico para determinar gráficamente la distanciaentre 2 líneas isotermas
Se desarrolla basado en la conducción de calor en el caso particular de untubo:
Cuando h determinado N=3 Para saber cuanto es el valor de r1 y r2 seaplica la analogía
De TC con las resistencias eléctricas.
Entonces:
Figura 5-1 Tubo anular
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
87
=−
=
KLRRLn
TTQ
π20
3
30 =−
KLRRLn
TT
π20
2
20 =−
KLRRLn
TT
π20
1
10
Como se sabe que T0 – T1 = ∆ T y T0 – T2 = 2 ∆ T
=∆=
KLRRLn
TQ
π2
3
0
3=∆
KLRRLn
T
π2
2
0
2=∆
KLRRLn
T
π20
1=∆
KLRRLn
TNN
π20
=3
0
3
RRLn
=2
0
2
RRLn
=1
0
1
RRLn
=NRRLn N
0
Si se relacionan los 2 últimos términos:
Ln R1/R0 = (1/N) * Ln Rn/R0
Ln r1/r0 (Ln rn/r0)1/N
e = e
(R1/ R0) N = (Rn / R0) Rn = R0 FN donde: F = factor gráfico
Ejemplo 5-4
Donde: R0 = 10 Cm R3 = 20 Cm y N=3
F=(rn/r0)1/N = ( R3/R0)1/3 = ( 2)1/3 = 1.26
R2 = R0 F2 = 10 (1,26)2 = 15,87 Cm
R1 = 10 (1,26) = 12,6Cm.
5.6 SOLUCIÓN NUMÉRICA
El objetivo de este método es convertir las ecuaciones diferenciales enecuaciones algebraicas (o numéricas ), lo cual se puede hacer por unprocedimiento analítico o por un balance de energía sobre un elementofinito.
Procedimiento analítico →Partiendo de la ecuación que gobierna el procesoen el interior del cuerpo, producto de un balance de energía infinitesimal:
Transferencia de Calor
88
2
2
XT
∂∂ + 2
2
YT
∂∂ =0
Donde: 2
2
XT
∂∂ →Flujo neto de calor por conducción en la dirección x.
Al aplicarle un mecanismo de aproximación analítico como es la serieexpansión Taylor puede convertir la ecuación en una algebraica(reemplazando x+ ∆ x por m+1).
Caso Unidimensional2
2
XT
∂∂
= 0 → Línea recta.
Caso Bidimensional →con T(x,y) → Función continua.
En forma de series de Taylor tenemos:
Tm+1 = Tm + XT
∂∂
∆ x +2
2
XT
∂∂
∆ x2 ………….+ ( se desprecian)
Tm-1 = Tm - XT
∂∂
∆ x +2
2
XT
∂∂
∆ x2 ………….+ ( se desprecian)
--------------------------------------------------------------------------------------
Tm+1 + Tm-1 = 2 Tm +
2
2
TX
∂∂ ∆ x2
nmXT
,2
2
∂∂
= 2Tm 1,n Tm-1,n - 2 Tm,n
X+ +
∆
Para un procedimiento similar obtenemos:
nmYT
,2
2
∂∂
= 2Tm 1,n Tm-1,n - 2 Tm,n
Y+ +
∆
El Balance de energía en un nodo debe ser igual a cero: siempre lasubdivisión se hace de tal forma
que ∆ x = ∆ Y ⇒ Reemplazando :
2Tm 1,n Tm-1,n - 2 Tm,n
X+ +
∆ = 2Tm 1,n Tm-1,n - 2 Tm,n
Y+ +
∆
Figura 6-1 Variación de lapendiente de la temperatura enla dirección de x.
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
89
Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0 Ecuación nodos internos
Esta ecuación solamente se cumple para los nodos internos de un cuerpoconduciendo calor en forma bidimensional. Se puede plantear una ecuaciónde este tipo para cada uno de los nodos internos del cuerpo. Para n nodostengo n ecuaciones con n incógnitas.
Por éste método analítico NO se puede analizar los nodos frontera.
* F(x+ ∆ x) = F(x) +F` (x) ∆ x + F” (x) ∆ x2 0.5
5.7 PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS
Este método puede aplicarse a conducción bidimensional con generación.Para obtener la ecuación de relación de temperaturas se hace un balance deenergía sobre un elemento finito Vc → nodo.
5.7.1 NODOS INTERNOS
Balance de Energía:
1, ,1
, 1 ,2
, 1,3
, , 14
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
m n m n
m n m n
m n m n
m n m n
Q1 + Q2 = Q3 + Q4Si aplicamos Fourier:
T TQ K Yl
XT T
Q K XlY
T TQ K Yl
XT T
Q K XlY
−
−
+
+
−= ∆
∆−
= ∆∆−
= ∆∆−
= ∆∆
Reemplazando:
Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0 Ecuación nodos internos
Este método si se puede utilizar para nodos de frontera.
5.7.2 NODOS FRONTERA
Cuando las fronteras coinciden exactamente con el sistema X,Y (ejes decoordenadas).
Existen 5 tipos de nodos así:
Nodo frontera convectivo en superficie vertical
Transferencia de Calor
90
Las condiciones de frontera pueden ser de 2 tipos:
a) Cuando se conoce la temperatura del nodo.
b) Cuando la frontera es convectiva.
, , 1 , , 11 3
( ) ( )( ) ; ( )
2 2m n m n m n m nT T T T
Q K X Q K XY Y
+ −− −= ∆ = ∆
∆ ∆l l
, 1,2 ,
( )( ) ; ( )( )m n m n
C m n
T TQ K Y Q h Y T T
X+
∞
−= ∆ = ∆ −
∆l l
, , 1 , , 1, 1, ,
( ) ( )0 ( ) ( )( )
2 2m n m n m n m n
m n m n m n
T T T TK K T T K h Y T T+ −
+ ∞
− −= + − + + ∆ −l l l l
,, , 1 , 1, , , 1
( )0 2 2 2 ( ) m n
m n m n m n m n m n m n
T TT T T T T T h Y
K∞
+ + −
−= − + − + − + ∆
, , 1 1, , 124 2 2 ( )m n m n m n m n
Th Y T T T T h YK K
∞+ + −
∆ + − − − = ∆ Nodo tipo 1
Nodo frontera convectivo en superficie horizontal
1, , , 1 ,1 3
( ) ( )( ) ; ( )
2m n m n m n m nT T T T
Q K Y Q K XX Y
− −− −= ∆ = ∆
∆ ∆l l
1, ,2 ,
( )( ) ; ( )( )
2m n m n
C m n
T TQ K Y Q h X T T
X+
∞
−= ∆ = ∆ −
∆l l
1, , 1, ,, 1 , ,
( ) ( )( ) ( )( )
2 2m n m n m n m n
m n m n m n
T T T TK K T T K h X T T− +
− ∞
− −+ − + = ∆ −l l l l
,1, , 1, , , 1 ,
( )2 2 2 ( ) m n
m n m n m n m n m n m n
T TT T T T T T h X
K∞
− + −
−− + − + − = ∆
, , 1 1, 1,24 2 2 ( )m n m n m n m n
Th X T T T T h XK K
∞− − +
∆ + − − − = ∆ Nodo tipo 2
Nodo frontera convectivo en esquina interna
1, , , 1,1 3
( ) ( )( ) ; ( )
2m n m n m n m nT T T T
Q K Y Q K YX Y
− +− −= ∆ = ∆
∆ ∆l l
Figura 7-1 Nodo frontera tipo 1
Figura 7-2 Nodo frontera tipo 2
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
91
, , 1 , , 12 4
,
( ) ( )( ) ;
2
( )2 2
m n m n m n m n
C m n
T T T TXQ K X Q KY Y
X YQ h T T
+ −
∞
− −∆ = ∆ = ∆ ∆
∆ ∆ = + −
l l
l
, 1, , , 11, , , , , 1
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2m n m n m n m n
m n m n m n m n m n
T T T TK T T h X T T K T T K K+ −
− ∞ +
− −− + ∆ − = − + +l l l l l
1, , , , , 1 1, , , 1
2 26 2 ( ) ( ) 2 2 2m n m n m n m n m n m n m n m n
h hT T XT X T T T T T TK K− ∞ + + −− − + ∆ − ∆ = − − + −
, 1, , 1 1, , 126 2 2 2 ( )m n m n m n m n m n
Th X T T T T T h X Nodo tipo 3K K
∞− + + −
∆ + − − − − = ∆
Nodo frontera convectivo en esquina externa
Balance de Energía:
Q1 + Q2 = Qc
, , 11
, 1,2
,
( )( ) ;
2( )
( )2
( )2 2
m n m n
m n m n
C m n
T TQ K X
YT T
Q K YX
X YQ h T T
+
+
∞
−= ∆
∆−
= ∆∆
∆ ∆ = + −
l
l
l
))((2
)(2
)(,
,1,1,,nm
nmnmnmnm TTXhTT
KTT
K −∆=−
+−
∞+−
lll
KTT
XhTTTTT nmnmnmnmnmnm
)()(2 ,
,1,,1,,
−∆=−−+− ∞
+−
, 1, , 122 2 ( )m n m n m n
Th X T T T h XK K
∞+ −
∆ + − − = ∆ Nodo tipo 4
Nodo Adiabático
Balance de Energía:
Q1 = Q2 + Q3
Figura 7-3 Nodo frontera tipo 3
Figura 7-4 Nodo frontera tipo 4
Figura 7-5 Nodo frontera tipo 5
Transferencia de Calor
92
1, ,1
, , 12
, , 13
( )( )
( )( )
2( )
( )2
m n m n
m n m n
m n m n
T TQ K Y
XT T
Q K XY
T TQ K X
Y
−
+
−
−= ∆
∆−
= ∆∆−
= ∆∆
l
l
l
Nodo tipo 54Tm,n -Tm,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0
Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación
93
Tabla 5-2 Resumen las situaciones anteriormente descritas.
SITUACION FISICA ECUACION NODAL PARA INCREMENTOSIGUALES EN X y Y
6. Nodo Interior
Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0
7. Nodo de frontera de convicción
, , 1 1, 1,24 2 2 ( )m n m n m n m n
Th X T T T T h Xk k
∞− − +
∆ + − − − = ∆
8. Vértice exterior con frontera deconvicción
, 1, , 122 2 ( )m n m n m n
Th X T T T h Xk k
∞+ −
∆ + − − = ∆
9. Vértice interior con frontera deconvicción
, 1, , 1 1, , 126 2 2 2 ( )m n m n m n m n m n
Th X T T T T T h Xk k
∞− + + −
∆ + − − − − = ∆
Transferencia de Calor
95
SITUACION FISICA ECUACION NODAL PARA INCREMENTOSIGUALES EN X y Y
10. Frontera aislada
4Tm,n -Tm,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0
11. Nodo interior cerca de una fronteracurva
0112)1(
21
21
2)1(
2
,1
1,,12
=
+−
++
++
++
+ −+
nm
nmnm
Tba
Taa
Tb
Ta
Tbb
12. Nodo frontera con convección a lolargo de una frontera curva nodo 2para (f) arriba
1 32 2 2
2 2 2,
2 2 222 2 2
11 ( 1 )
1 ( 1 ) 01
m n
b bT Ta b ca h xT c a b T
b kb b a h xc a b T
b ka b c
∞
++ +
+ ∆+ + + + +
+ ∆− + + + + + + = + +
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
ConducciónTransitoria
Capítulo
6
97
TABLA DE CONTENIDO
6. CONDUCCIÓN TRANSITORIA ..............................................................................98
6.1 SOLUCIÓN ADIMENSIONAL O RELATIVA............................................................................. 98
6.2 SIMPLIFICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CONDICIÓNTRANSITORIA UNIDIMENSIONAL....................................................................................................... 101
6.2.1 Capacidad calórica concentrada (resistencia interna despreciable) .............................................. 1016.2.2 BIOT Grande Bi > 100 .............................................................................................................. 1106.2.3 BIOT Mediano 0.1 < B i < 100 .................................................................................................. 117
6.3 CONDUCCIÓN TRANSITORIA, BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN ..................... 131
6.4 Conducción transitoria unidimensional Sin generación............................................................... 1346.4.1 Solución Numérica ..................................................................................................................... 1346.4.2 Procedimiento por Elementos Finitos .......................................................................................... 135
Transferencia de Calor
98
6. CONDUCCIÓN TRANSITORIA
Muchos problemas de transferencia dependen del tiempo, este tipo deproblemas no estables o transitorios, normalmente surgen cuandocambian las condicione de frontera de un sistema. En la conduccióntransitoria, la temperatura es función tanto del tiempo como de lascoordenadas espaciales. Para determinar la dependencia temporal de ladistribución de temperaturas dentro de un sólido en un procesotransitorio, se comienza por resolver la forma apropiada de la ecuaciónde calor (Ecuación de Fourier).
2
2
1T Tx tα
∂ ∂=∂ ∂
Sometida a las condiciones de Frontera:
1)0
0x
Tx =
∂ =∂
2) ( )x Lx L
Tk h T Tx = ∞
=
∂− = −∂
3) Condición Inicial → T(x=0) = Ti
6.1 SOLUCIÓN ADIMENSIONAL O RELATIVA
La teoría de la semejanza de los fenómenos físicos permite obtenersoluciones independientes de los valores absolutos de las variables quegobiernan las relaciones entre los diferentes factores que caracterizan elfenómeno; en este caso por ejemplo estamos interesado en determinar laHistoria de T = (x, t) en puntos particulares de un cuerpo conduciendocalor en forma transitoria, la relación buscada será:
T(x, t) = T (x, t, h, F,……), en lugar de abordar el problema en términos delas variables absolutas (x, t, h, k, …) utilizamos variables relativas paracada una de las variables que determinan el fenómeno, la solución queobtendremos será GENERALIZADA e independiente del tamaño,tiempo y propiedades absolutas del cuerpo.
Parámetros Relativos Básicos
Para el caso de la conducción transitoria podemos definir:
Posición Relativa:
tT
kq
T g
∂∂⋅=+∇
α12
0
(Sin generación) Figura 6-1 Conduccióntransitoria
Capitulo 6 Conducción Transitoria
99
Para Placa Para Cilindrox=L
rR
η η =
Temperatura Relativa:
( )( )
α
αηθ
TTTT tx
t −−
=0
,,
Parámetros Relativos Derivados
En la ecuación que gobierna el proceso de conducción interior, partiendode la ecuación básica:
2
2
1T Tx tα
∂ ∂=∂ ∂
e introduciendo las variables relativas ( )ty ,ηθη
( , ) ( , )
2
2( , )
( )
( ) ( )
x t x t i
i ix t
i
x L T T T Tdx L d T TT T y T TT T x x t t
T T
η θη θ θ
θ
∞ ∞
∞ ∞∞
∞
= × − = −= ∂ ∂ ∂ ∂= − = −− ∂ ∂ ∂ ∂=
−
Se obtiene
( )
22
2 22
22
22 2
2
11( ) ( )
1
i iT T T T tLtx
ttL L
θ θθ θαηα
θ θθ θη αα
∞ ∞
∂ ∂∂ ∂ =− = − ∂∂∂∂∂ ∂∂ ∂ == ∂ ∂∂∂Χ
donde2
tLα se define como el tiempo adimensional o parámetro relativo
adimensional, llamado Numero de Fourier
2
2 cc
t t LFo donde ttL
αα
= = =
Característico de los problemas de conducción transitoria. También esllamado constante de tiempo ξ . El comportamiento de la solucióndependerá del valor de t respecto de tc, es decir, de si Fo es mucho menorque la unidad.
PCk⋅
=ρ
αRecuerde que
Figura 6-2
Transferencia de Calor
100
2
2 ( , )C f FoFo
θ θ θ ηη
∂ ∂= → = ×∂ ∂
donde C es una constante de
integración.
Condición de frontera en forma relativa:
),()()( tLiLx
i TThx
TTk θθ∞
=∞ −=
∂∂−−
( , ) ( , )1
L t L tx
hLk hL k
θ θθ θη η=
∂ ∂− = − =∂ ∂
DondehLk
se define como el Número de Biot (Bi). Parámetro
adimensional, que establece una relación entre la resistencia a laconducción y la resistencia a la convección.
Una resistencia térmica pequeña tiene siempre asociada una caída detemperatura pequeña cuando se transfiere una determinada cantidad decalor, así, si la resistencia de conducción es pequeña en relación con laresistencia de la convección, (lo cual significa un numero de Biotpequeño) las caídas de temperatura en el sólido son pequeñas en relacióncon la caída de temperatura en el fluido que rodea el sólido.
Jean-Baptiste Biot
(París, 1774- id., 1862) Físico francés. Se dedicó también al estudio dela química, la matemática y la astronomía. Elaboró una teoríamatemática sobre la propagación del sonido en los sólidos y estudió lapolarización rotatoria, la conductibilidad calorífica y el origen de losmeteoritos. Miembro de la Academia de Ciencias y de la Royal Society,dejó constancia de su ideología republicana en su obra Ensayos sobre lahistoria general de las ciencias durante la Revolución. La ley de Biot ySavart permite calcular el valor de la intensidad del campo magnéticocreado por una corriente eléctrica.
Para números de Biot pequeños, es razonable suponer una distribución detemperaturas uniforme a través de un sólido en cualquier momentodurante el proceso transitorio.
Simplificando:
Re1 Re
LhL hLA sistencia conducciónkABik kA sistencia convecciónhA
= = = =
Figura 6-3 Condiciones defrontera relativas
Figura 6-4Resistencia deconvección es mucho mayorque la resistencia deconducción
Capitulo 6 Conducción Transitoria
101
Valores de Biot:
Tabla 6-1 Parámetros relativos
Parámetros Relativos Significado
xL
η = Posición Relativa
( , )( , )
0
x tx t
T TT T
θ− ∞
=− ∞
Temperatura Relativa
0 2tF
Lα= Tiempo Relativo
hLBik
= Condición de FronteraRelativa
6.2 SIMPLIFICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DELPROBLEMA DE LA CONDICIÓN TRANSITORIAUNIDIMENSIONAL.
6.2.1 Capacidad calórica concentrada (resistencia internadespreciable)
Bi < 0.1
Si el número de Biot es pequeño, el gradiente de temperatura es pequeño,lo que implicaría que la conductividad térmica tendería al infinito,aunque esto es imposible, esta condición se acerca mucho al caso en elque la resistencia a la conducción dentro del sólido es pequeñacomparada con la resistencia a la transferencia de calor entre el sólido ysus alrededores.
“La energía que se pierde o se gana sirve para calentarlo o paraenfriarlo”.
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )1
( )
t
gt
sg c almacenado tg
og s t s
g ggo t ot
s s ss s
g st
s s t
qT T
h AQ Q Qq
dT T Tq h A T T mCp h Adtq qCp dq mCp dT T T T TT T h A h A h A dth A h A dt
q Cp dT h AdT Th A h A dt C
θ
θ
ρ θθ
ρ θθ ρ
∀− ∞−
+ = = ∀− ∞−∀+ ∞− =
∀ ∀ ∀∀ − ∞− × =− − ∞− + ∞− =
∀ ∀− ∞− = − = −∀∫
&
&
0
tdt
p∫
1. Pequeños Bi < 0.1 significa resistencias de conducción pequeñas2. Normales 0.1 < Bi < 1003. Grandes Bi > 100 significa resistencia de convección pequeña
Figura 6-5 Resistenciade conducción es muchomayor que la resistenciade convección.
Figura 6-6
Transferencia de Calor
102
( ) 0
(t)
(t)
0( )
( )Ln ( ) ( )
s
t g
s sg o
oh A stCp
Condiciones Iniciales Sin GeneraciónCon Generaciónt T q
T t Th A T t ThAt ttCp q T TT T
hAe ρ
θ
θ θθρ
θ
∞∞
∞∞
−∀
= = ∀− −
−= − ==∀ ∀ −− −
=
Esta ecuación es independiente si hay o no hay generación de calor.
Tabla 6-2
CASOS HISTORIA DE TEMPERATURAS
( )q h Ag s tT t T
Ch A B iF ps oe eq gT To h A s
ρθ
∀− ×− −∞ ∀−
= = =∀
− −∞
θAdimensional T(t). Enfriamiento T(t). Calentamiento
Congeneración
( ) s
po
h A tCB i F
o
T t T e eT T
ρθ− ×
∀−∞
∞
−= = =−
θAdimensional T(t). Enfriamiento T(t). Calentamiento
Sin
generación
Capitulo 6 Conducción Transitoria
103
ENERGÍA E(t). Relativo o Aportado (Sin Generación)
0( ) ( ) 1
s
p
hA tt CmáxE t Q x dt E e ρ
− ×∀
= = −
∫
donde ( )máx p oE C T Tρ ∞= ∀ −
Cálculo del calor perdido o suministrado
Flujo instantáneo:
( ) ( )t sQ hA Tt Tα= −
( ( ))
( )s t
BI Fos
hA To T
hA To T e
θ α
α −
= −
= −
La energía hasta un tiempo t:
( ) ( ) ( )
( )s
p
t tBi Fo
t t s oo o
hAt tC
so
E Q dt hA T T e dt
hA To T e dtρ
−∞
−∀
∞
= = −
= −
∫ ∫
∫
( )
( )
( )
( )
( ) 1
( ) 1
s
p
s s
p p
s
p
s
p
h At tCp
t s os o
h A hAtC C
o p
hA tC
o p
hA tC
t o
CE h A T T e d t
h A
T T C e e
T T m C e
E T T m C p e
ρ
θρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−∀
∞
− −∀ ∀
∞
−∀
∞
−∀
∞
∀= − −
= − − ∀ −
= − − −
= − −
∫
Figura 6-7 Flujoinstantáneo de calor
Transferencia de Calor
104
en t = 0, no hay pérdida de calor
en t = α , el calor perdido es
Eo = mCp(To - T ) Máximo calor que se puede perder.
1
( . )
Bi FoE eEoE f Bi FoEo
−= −
=
( ) 10
E t BiFoeE
−= −
Eo ⇒ máximo calor que se puede perder.
Ejemplo 6-1
Aplicación del análisis de C.C.C. al calentamiento (o enfriamiento) deuna lamina de metal que se mueve con velocidad V [m/sg] en un horno atemperatura T∞ .
Figura 6-10 Lámina de metal que pasa por un horno
El balance de energía de un elemento diferencial de lámina de espesor2.r y longitud dx
Figura 6-8
Figura 6-9 Balance deenergía para un procesode enfriamiento.
Capitulo 6 Conducción Transitoria
105
Ejemplo 6-2
Un cuerpo cilíndrico que genera calor a una rata de 104 e inicialmenteestá a una temperatura de 400ºC se somete repentinamente a unatemperatura T ∞ =25ºC, calcular la temperatura del cuerpo al cabo de 1hora si la conductividad térmica del material .α→
Datos:
43 3 25800 ; 10 ; 400 ; 20
º ºqkg w J wq Cp hm m kg C m C
ρ = = = =
Si k→ ∞ entonces = hLBik
< 0.1 se utiliza el método de Capacidad
Calórica Concentrada.
El calor fluirá del cuerpo al ambiente:
Se aplica:
( ) ¥ -"
0 ¥
4 2
2
"- -
"- -
" 10 (0.1) 0.4 20º20 2 0.1 0.4 2 (0.1)
s
gh At tCps
g
s
g
s
qT T
h Ae
qT T
h Aq
Ch A
ρ
ππ
=
× × ×= = × × × × + ×
( )2
2
( ) -0.7758
( )
20 2 0.1 0.4 0.1
" 5800 400 0.1 0.4- 25 - 20
400 - 25 - 20208.4
s
t
t
h ACp
Te
T
π
ρ π
× × × +=
× × × ×
=
=
Ejemplo 6-3
Un elemento cilíndrico de 0.2m de diámetro y 0.4m de largo se somete aun proceso en el cual mientras él genera calor a una rata uniforme porunidad de volumen y estando a una temperatura inicial de 10ºC, se poneprimero en un ambiente de aire, el cual se encuentra a una Tº de 25ºC,alcanzando en este ambiente una temperatura de equilibrio de 45ºC.Luego se pone (partiendo de la misma temperatura inicial) dentro de ungran volumen de agua a 20ºC, alcanzando en este caso una Tº deequilibrio de 24ºC.
Determinar el tiempo requerido en cada caso, para que el elementoalcance la Tº del ambiente que la rodea.
Asumir que el coeficiente de transferencia de calor por convección en lasegunda prueba es de hW = 100w/m2 ºC;
Figura 6-11Cilindro congeneración.
Transferencia de Calor
106
δ =elemen 5800 kg/m3; Cp = 400 Joul/Kg ºC
Solución: Asumimos conductividad alta:φ = 0.2 mL= 0.4 mTo = 10 ºCT ∞ 1 = 25 ºCTeq1 = 45 ºC
En el equilibrio con el primer ambiente Qa = φ
1 1 1
1 1 11
( )
(45 ) (1)(45 )
q s eq
q Tg T s
s
Q h A T T
Q A Lq A L h A T h
A Tα
∞
∞
= −
= − ⇒ =−
En el equilibrio con el segundo ambiente Qa = φ
2 2 2
2 22 2
( )
(24 )(24 ) (2)*
q s eq
sq T s q
T
Q h A T T
h A Tq A L h A T qA L
α
∞
∞
= −
−= − ⇒ =
As = 2 π rL + π r2 2 = 2 π (0.1)(0.4)+2 π (0.1)2 = 0.31416 m2
h2 = 100 w/m2 ºC
AT = π r2 = π (0.1)2 = 0.3142 m2
T α 2 = 10 ºC
L = 0.4 m
Reemplazando en 2: Qq = 9998.727 w/m3
Reemplazando en 1: h1 = 20 w/m2 ºC
Haciendo un balance de energía sobre el elemento, y suponiendo Kgrande: Estado transitorio:
Qq = Qa + Qc
Qg = qq ∀ ; ` ; ( ( ) )a P C sTQ C Q h A T t Tt
ρ ∞∂= ∀ = −∂
Figura 6-12 Cilindro congeneración a) Condicióninicial, b) ambiente a, c)sumergido en agua.
Capitulo 6 Conducción Transitoria
107
Para el primer caso:
111 1
1 11 1
1
( ( ) )( ( ) )
( ( ) ) ( )
qsq P s
P P
q s qs
P P P s
qA hTT T t Tq C h A T t T t C Ctq h AT qA hTT t T T t Tt C C t C h A
φρ ρ ρ
φρ ρ ρ
∀∞∞
∀ ∀∞ ∞
∂∂ + − − − =∀ = ∀ + − ∂ ∀ ∀∂∂ ∂+ − − + − − − = ∂ ∀ ∀ ∂ ∀ Para resolver esta ecuación tomamos o hacemos un cambio de variable:
11
1
( ) q
s
s
P
q TT t Th A t t
A ht C
αθθ
θ θ φρ
∀ ∂ ∂= − − ⇒ =∂ ∂
∂ + =∂ ∀
Resolviendo esta ecuación en 2 3: (0.2) 0.4 0.0126 mθ π∀ = =
1
0
1 11
1
10
11 1 1 1
0.000215
:
1 ( ) / ( ) /
s s
P Pt
t
o
oo
A h A h WXt C C J
X Integrando x tt
Ln Ln xt Ecuación que gobierna el proceso
t Ln Ln x Ln x
θ
θ
θ θρ ρ
θ θθθ
θ θθθ θ θ
∂ = − ⇒ = − = −∂ ∀ ∀
∂ ∂= = ∂∂
− = →
⇒ = − =
∫ ∫
En el tiempo t, la T(t) = 25ºC entonces Tº del ambiente
1 11 1
1 11
( ) 20.0509º
( )
q q
s s
q
s
q qT t T C
h A h A
qT T
h A
α
α
θ
θ φ
∀ ∀ = − − =
∀
= − −
0
11 1
0
1
20.0509º ; 35.0509º
( ) / (0.572) / 0.000215
2597.801 0.722
C C
t Ln x Ln
t seg horas
θ θθ
θ
= − = −
⇒ = = −
= ≈
22 2 2 1
0
122 1
: ( ) / 5
5 0.001075s
p
Para el segundo caso t Ln x h h
A hx x sC
θθ
ρ−
= =
= − = = −∀
En el tiempo t la T(t) = 20ºC, Tº del ambiente ⇒
Transferencia de Calor
108
22
22
20º ; 10º ; 4.01019º
20 20 4.0109 4.0109 0.2863
qO
S
O
qT C T C C
h Aα
θθθ
∀= = =
= − − = − =
2
2
10 20 4.0109 14.0109( 0.2863) / 0.001075
1163.55 0.323
O
t Lnt seg horas
θ = − − = −⇒ = − −
= ≈
Ejemplo 6-4
Un esfera de aluminio cuyo peso es m = 7kg y cuya temperatura iniciales de 260ºC se sumerge súbitamente en un fluido cuya temperatura es de10ºC. Suponiendo que h = 50w/m2 ºC, determine el tiempo que serequiere para enfriar el aluminio a 90ºC.
Figura 6-13Esfera de aluminio que se sumerge súbitamente en agua
To = 260ºCT1 = 90ºCTe = 10ºCh = 50w/m2 ºCt = ? To → T1
Datos aluminio supuestos ctes:
K = 204 w/m2 ºK, P = 2707 Kg/m3 ; Cp = 900J/Kg ºK
33
3 3
7 0.0025862707
4 3 0.08523 4o o
m m Kg m mKg
r r m
ρρ
ππ
= ⇒ ∀ = = =∀
∀∀ = ⇒ = =
Para el cálculo de Bi se necesita la longitud característicasup
2
/ 3 /
50 0.0852 º 0.0069 0.1º 3 204
c o c sólido erficie
c
r L A
h w m m CBiK m C w
⊥ = = ∀
⊥= = = <
Capitulo 6 Conducción Transitoria
109
Se trata como un problema de capacidad calórica concentrado o(Resistencia Interna Despreciable)
1 1
0 0
1 0
2 2 2
( )
4 4 (0.0852) 0.091221573.941 0.437
AshC pe s
p
ps
o
T T T T A hLn Ln Ln tT T T T C
Ln T T LnT Tt CA h
A r mt seg horas
ρα α
α α
α α
ρ
ρ
π π
−∀ − −= ⇒ = − − − ∀
− − −= ∀−
= = =⇒ = ≈
NB: [Kar/ckar: para fines prácticos se dice que un sistema alcanza unestado estacionario después que transcurre un tiempo igual o 4constantes de tiempo: donde la constante de tiempo 1/b = Ash / ∀ρ PC
( ) 0.018 ( )OT T T T Estado Estacionarioα α⇒ − = − ⇒
Lo que se usa en el cálculo de Bi:Pared plana espesor 2L ⇒ LCilindro largo de radio ro ⇒ ro / 2Esfera de radio ro ⇒ ro / 3Cubo de lado a ⇒ a / 6
Ejemplo 6-5
Determinar el tiempo requerido para que un elemento cilíndrico de 0.1mde φ y L = 0.2m, ρ = 4500 kg/cm3 ; Cp = 400 Joul / kg ºC y k >>>.Alcance la Tº ambiente que lo rodea, si se sabe que genera calor a unarata qq w/m3 y la Tº de equilibrio condicho ambiente es de 120ºC, la Tºdel ambiente es 80ºC, h = 50 w/m2ºC.
Análisis
La ecuación diferencial del comportamiento transitorio de este cuerpoes: Qentra + Qgenerada = Qalmacenada.
2
( / )
( ( ))
( )
: ( )
α
α
α
θ
θ
ρθ θ
ρ
ρ
θθ θ
ρ θ θθθ ρ
θ θρ
−∀
∂− + ∀ = ∀∂
∀ ∀ ∂− + =∂
∀ ∂ ∂= − + ⇒ = −∂ ∂
∀ ∂ ∂= − ⇒ = − ∂∂ ∀
− = − ⇒ =∀
∫ ∫o
s
po
q p
q p
s s
q
st
p s
s p o
hACLns
op
ThA T T t q Ct
q C TT T thA hA t
q TSe define T T thA t t
C hAt
hA t C
hALn Ln t e e
C
t
Figura 6-14
Transferencia de Calor
110
En el equilibrio se supone que el tiempo es grande ⇒ el término- 0 120ºxt
eqo
e Þ T Cθφ θ = =
2
2
5 3
( )
(120 80)80 120
(2 2 )40 50 40 50 50
10 /
q
S
q Sq
S
q
q
qT T t
hAq hAqhA
r rLqr L
q w m
θ φ θ α
θ
π ππ
∀= = − +
∀ −= − + ⇒ =∀
+= =
=
para cuando T(t) = 80ºC
2 3 3
2 2 2
" "80 -80 80 - 20
50 (2 (0.05) 2 (0.05)0.2) º" º 4500 400 (0.05) 0.2
0.001388"
q qo
S S
S
p
S
p
q qÞ
hA hA
hA w m m kg CC m C kg Joul m
hA aC
θ θ
π πρ π
ρ
= + = +
+=
= =
3 25
3 20.001571 º10 40.0051º50 0.07854
401 1000.001388
660.152 0.18
q
S
at o
o
q w m m C ChA m w m
Ln Ln Ln Lne ta
t seg horas
θ θθθ
−
∀= =
−− −⇒ = → = =− −
= ≈
6.2.2 BIOT Grande Bi > 100
“Sólido Semi-infinito”.
Condiciones de frontera para sólido semi-infinito
Para este caso en que la resistencia convectiva en la frontera es muypequeña, comparada con la resistencia interna, debida a la conducción.Se asume que la temperatura de la superficie cambia casi inmediatamentea T α , al entrar en contacto con un ambiente a dicha temperatura (Tα ),es decir, la frontera se independiza del tiempo → “el calor se concentraen la superficie y NO penetra”. Es así como el elemento fuerainfinitamente grueso. En el interior se presentan grandes caídas detemperatura, y en el exterior pequeñas.
Figura 6-15Condiciones defrontera para unsólido semi-infinito.
Capitulo 6 Conducción Transitoria
111
a) b) c)
Figura 6-16 Distribución transitoria de temperaturas en un sólido semi-infinito entres condiciones superficiales: a) temperatura superficial constante, b) flujo de calorsuperficial constate ,c) convección superficial
“Todo el cuerpo se encuentra a la temperatura To y en el tiempo t = 0, latemperatura de la cara en x = 0 se eleva instantáneamente a latemperatura Ts”.
Balance de Energía:2
21T T
X tα∂ ∂=∂ ∂
si definimos la temperatura adimensional
2
2( , ) ( , ) 1
O O
T x t T T x t TsT T T Ts x t
α θ θθα α
− − ∂ ∂= = ⇒ =− − ∂ ∂
Lo anterior es una ecuación parcial de 2 variables, y para solucionarla lametodología se reduce a buscar una variable η función de x1t; que hagaque )tx( 1θ se pueda expresar como una función de una sola variable,
dicha variable 1( )2
xx tt
ηα
= ⇒ la ecuación diferencial se transforma en:
2
2 2θ θη θη η
∂ ∂+ =∂ ∂
de la siguiente manera (demostración):
2
21 1
2 21.
2
xx t xt t
x x t
θ θ ηηα α α
θ θ η θη η α
∂ ∂ ∂= = ⇒ =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂
Transferencia de Calor
112
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
1 1. .2 2
1 1 1. .42 2
.4
Re1 1.
4 4
x x x x xt t
x tt tx
t t t templazando en la ecuación diferencial
xt t t
xt
θ θ θ η θ ηη η η ηα α
θ θ θη η αα α
θ θ η θη η α
θ θη α α η α
θ θη ηα
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = −∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂= − =∂ ∂
∂ ∂+∂ ∂
2
2 2θ θθ η θη η
∂ ∂= ⇒ + = ∴∂ ∂
Si introducimos la variable p = /θ η∂ ∂ para poder integrar:
2 2
2 2
2 2
var
O
Ln
o O
P PPP
Pe e P CeC
Volviendo a la iable anterior
Ce Ce d
η
η η
θη ηη η
θ
η θ η ηη
θ θ ηη
− −
− −
∂ ∂⇒ + = ⇒ = − ∂∂
= ⇒ =
∂ = ⇒ − ∂ = −∂
∫
∫ ∫
Las condiciones de frontera iniciales eran:
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 1
( , ) ( , ) 1
( , )2
( , )2
( , )2
T TT o t Ts T o tTo TTo TT x o To x oTo TTo TT t To tTo T
o tt
xx o
tt
α αα θ φααθααα θ αα
φη φα
η ααφ
αη α αα
−= ≈ = =−−= ⇒ = =−−= ⇒ = =−
= =
= =
= =
Al hacer la integración tenemos:
2
( , ) ºo oo
C e d o tη
ηθη η θ θ θ φ−= + = =∫
Capitulo 6 Conducción Transitoria
113
para hallare la constante C, se reemplaza alguna condición frontera,ejemplo la 2ª
2 2
( , ) 1 ;2o o
C e d x o e dα α
η η πθα η θ η− −= = = =∫ ∫
212
C Cππ
= ⇒
22( , ) ( )o
x t e d erfη
ηθ θη η ηπ
−= = =∫ Temperatura Función de x y t
erf
erf ( η) Función error de η
La integral de la ecuación anterior se puede hacer pero ese trabajo yaesta hecho y se puede encontrar los valores de la función error de η entablas o en gráficas.
Como η es función de x y de t, entonces pueden existir diferentescombinaciones de x y t que den el mismo η . Lo que quiere decir quepodemos tener dos posiciones del cuerpo que tengan la mismatemperatura, pero en tiempos diferentes.
Figura 6-18 Gráfica de la función error de η
Figura 6-17
1
1 1 4T T xferT T tα
− = −
x/ 4 tα
Transferencia de Calor
114
Tabla 6-3 Tabla de la función error
η erf η= η erf η= η erf η= 0.000.020.040.060.08
0.100.120.140.160.18
0.200.220.240.260.28
0.300.320.340.360.38
0.400.420.440.460.48
0.500.520.540.560.58
0.600.620.640.660.68
0.700.720.74
0.000000.022560.045110.067620.09008
0.112460.134760.156950.179010.20094
0.222700.244300.265700.286900.30788
0.328630.349130.369360.389330.40901
0.428390.447490.466220.484660.50275
0.520500.537900.554940.571620.58792
0.603860.619410.634590.649380.66278
0.677800.691430.70468
0.760.780.800.820.84
0.860.880.900.920.94
0.960.981.001.021.04
1.061.081.101.121.14
1.161.181.201.221.24
1.261.281.301.321.34
1.361.381.401.421.44
1.461.481.50
0.717540.730010.742100.753810.76514
0.776100.786690.796910.806770.81627
0.825420.834230.842700.850840.85865
0.866140.873330.880200.880790.89308
0.899100.904840.910310.915530.92050
0.925240.929730.934010.938060.94191
0.945560.949020.952280.955380.95830
0.961050.963650.96610
1.521.541.561.581.60
1.621.641.661.681.70
1.721.741.761.781.80
1.821.841.861.881.90
1.921.941.961.982.00
2.102.202.302.402.50
2.602.702.803.00 critico3.10
3.203.403.60
0.968410.970590.972630.974550.97635
0.978040.979620.981100.982490.98379
0.985000.986130.987190.988170.98909
0.989940.990740.991470.992160.99279
0.993380.993920.994430.994890.99532
0.990200.998140.998860.999310.99959
0.999760.999870.999920.999960.99998
0.9999940.9999981.000000
“Se considera que erf (η) es casi ⊥ cuando η esté entre 2.5 y 3.6”.
Capitulo 6 Conducción Transitoria
115
ZONA DE CAMBIO: La zona límite hasta donde To empieza a cambiar,la determina la X crítica. Antes de la zona de cambio 1)()t,x( <ηθ=θdespués siempre es ⊥ . La zona de cambio se establece cuando
.1)(3 =⇒= ηθη Esta zona de cambio también funciona con paredesdelgadas.
txX critico α.23=
32
99999,0),( =⋅
=⇒=t
xtα
ηηθ Donde x = e = ancho de pared
Al despejar tenemos que:α⋅
=36
2etcr
Teniendo quet
x⋅
=α
η2
De la grafica podemos obtener la siguiente
relación:3
3
2
2
1
1
222 tX
tX
tX
⋅=
⋅=
⋅ ααα
Ejemplo 6-6
Cálculo del calor suministrado a la pared.
Flujo instantáneo:
Figura 6-19 Variación de latemperatura interna.
( 37)( 25) piel imadera i
madera piel
k Tk Tα α
−− =( 37)( 25) piel iacero i
acero piel
k Tk Tα α
−− =
Transferencia de Calor
116
22
( ) ( )
2 1 2. ** ( )2
/ 2( ) ( )( )
x o
TQ t K A K To T Ax x
e e dx x t
x tTo T KA T ToQ t KA
t t
ηη
ϑ α
ϑ ϑ η θ η ηη π α π
η αα α
πα πα
=
−−
∂ ∂ = − = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂
=− −⇒ = − =
∫
Energía total suministrada a un tiempo t:
1 2( )0( )1 2
kA T T tE t απ α
−= ⋅
⋅ Energía total suministrada
Historia de la temperatura en un sólido
semi – infinito con convección en la superficie
La gráfica anterior se utiliza como solución, cuando se tiene en cuenta laconvección en la frontera, es decir, T α se considera un poco diferente deTs para determinar ( , )x tθ .
Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor tiende a infinito,entonces la temperatura de la superficie se eleva instantáneamente a una
12 2
xr Foα
=
( , )T x t ToT To
−−
( ) 10 2( ) ( )0 0
t tkA T TE t Q t dt t dtα
π α
− −∫ ∫= = ⋅
⋅
1 2( )0( ) 1 2
kA T T tE t α
π α
−= ⋅
⋅
1.0
0.5
0.1
0.05
0.01
0.0 0.5 1.0 1.5
0.050.1
0.40.5
1234
0.30.2
Capitulo 6 Conducción Transitoria
117
nueva temperatura Tα , entonces la solución de la gráfica anterior conα=αtk/h es igual a la del uso de la gráfica de función error.
6.2.3 BIOT Mediano 0.1 < B i < 100
“Sólido infinito”
Para este caso la resistencia conectiva en la frontera y la resistenciainterna debida a la conducción son ambas considerables. El cuerpo,estando inicialmente a una temperatura se expone bruscamente a latransferencia de calor por convección con un ambiente a temperatura Ty se asume que todos los puntos del cuerpo alcanzan a cambiar sutemperatura con el espacio y el tiempo.
PLACA CONVECTIVA
“Se estudia analíticamente un caso particular, el cual puede someterse atratamiento matemático debido a las condiciones de frontera escogidas”:“la geometría, las condiciones de frontera y la distribución detemperatura SIMÉTRICAS”
Variables Adimensionales (Relativas):
( , )( , ) T x t Tx tTo T
θ ∞
∞
−=−
2x tFoL L
αη = =
La ecuación diferencial se transforma en:
2
2
:Fo
Condición de Fronteras
θ θη
∂ ∂=∂∂
1. 0 0θηη
∂= =∂
12. 1
:0 1
k h
Condición InicialFo
ηθη θη
θ
=∂= − =∂
= ⇒ =
MÉTODO ANALÍTICO APLICANDO SEPARACIÓN DEVARIABLES
Figura 6-20 Placaconvectiva
Figura 6-21
Transferencia de Calor
118
2
2 22
2 2
22 2 2
2
1 2
( , ) ( ) ( )(1) :
1 1( ) ( )
0
( ) cosFo
Fo H Z Foremplazando
H Z H ZZ Fo H dividimos HZFo H Z Fo
H Z ZH y Fo Ln FoZ C
H C C sen
Z Ce λ
θ η η
η λη η
λ λ ληη λη λη
−
=
∂ ∂ ∂ ∂= → = = −∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ + = = − ∂ → = − ∂= +
=
[ ]2
2
2 2
1 2
2
11
0 (0) cos (0)
0
( , ) cos2. 1
cos
Fo
Fo
Fo Fon n n n
n n nn
Aplicación de las Condiciones de Frontera:
1. Ce C sen C
C
Fo A e
k h
Reemplazando
k e A sen h e
BiTan Bi o Tan
λ
λ
ηη
λ λ
θ λ λ λ λη
θ η ληη
θ θη
λ λ λ
λ λ λλ
−
−
==
− −
∂ = = − +∂
=
= ⋅ ⋅=
∂− = ⋅∂
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
= =
Figura 6-22
Capitulo 6 Conducción Transitoria
119
Tabla 6-4 Coeficientes de la aproximación de un término para el enfriamiento porconvección de placas, cilindro y esferas.
PlacaBi
λ1
(radianes)A1 B1 Bi λ1
(radianes)A1 B1
0.020.040.060.080.100.20.40.60.81.0
0.14100.19870.24250.88260.98380.43280.59320.70510.79100.8603
1.00331.00660.00980.1301.0160.0310.0581.0811.1021.119
0.99670.99340.99020.98710.98390.96910.94240.91920.89890.8811
24681020304050100∞
1.07701.26491.34941.39791.42901.49601.52021.52351.53981.55531.5706
1.1801.2291.2481.2571.2621.2701.2721.2721.2731.2731.273
0.81760.75400.72290.70470.69280.66650.65700.65210.64900.64290.6366
CilindroBi
λ1
(radianes)A1 B1 Bi λ1
(radianes)A1 B1
0.020.040.060.080.100.20.40.60.81.0
0.19950.28140.34380.39590.44170.61700.86901.01831.14891.2558
1.00511.0101.0151.0201.0251.0491.0941.1351.1731.208
0.99500.98960.98440.98040.97490.95260.91120.87530.84300.8147
24681020304050100∞
1.59941.90812.04892.12862.17942.28802.32612.34542.35712.58242.4050
1.3381.4701.5261.5531.5681.5931.5981.6001.6011.6021.602
0.71250.60880.55890.53060.51250.47360.45980.45270.44850.44010.4317
EsferaBi
λ1
(radianes)A1 B1 Bi λ1
(radianes)A1 B1
0.020.040.060.080.100.20.40.60.81.0
0.24450.34490.42460.48600.54230.75921.05261.26451.43211.5706
1.00601.0121.0181.0241.0301.0591.1161.1711.2241.273
0.99400.98810.98230.97660.97100.94350.89350.84900.80940.7740
24681020304050100∞
2.02882.45562.65362.76532.83632.98563.03723.06313.01883.11013.1415
1.4791.7201.8341.8921.9251.9781.9901.9941.9961.9992.000
0.64450.51330.45160.41700.39520.35000.33460.32690.32230.31310.3040
Transferencia de Calor
120
0
1 12
0 01 1
001
0
3. 1 cos( )
cos( ) cos ( )
( ) 1 cos22
( ) 22 4
( ) cos12 2
2cos
n n
n n n
n nn
n
n nn
n n
n n nn
n n
nn
n n n
A e
A
sen A
sen senA
sen senA
senAsen
λ η
λ η η λ η η
λ η λ η ηλ
λ η λ ηηλ λ
λ η λ λλ λ
λλ λ λ
−= ⋅
∂ = ∂
+ = ∂
= +
= +
=+
∑
∫ ∫
∫
SOLUCIÓN GRÁFICA
La solución analítica puede ser expresada (tabulada y graficada) entérminos de parámetros adimensionales tales como Bi, Fo, y Χ ; estasolución se encuentra plasmada en las gráficas de Heisler, las cuales sepresentan para 3 casos particulares:
• Placa infinito de espesor 2L
• Cilindro largo de radio ro.
• Esfera de radio ro.
Condiciones en la frontera convectiva
1ª carta:
21
P
T( o,t ) T t kvs Fo Fo amtTo T Lc C Bi
− ∞ α = α = − ∞ ρ
T(o,t): Temperatura en la línea central en el tiempo t.
T ∞ : Temperatura del fluido de los alrededores (cte).
To: Temperatura inicial en la pared (cte)
/: Razón de temperaturas sin dimensiones.
Lc: ½ del espesor de la pared = L
2ª carta:
1T( x,t ) T vs x / L ParámetroT( o,t ) T Bi
− ∞ − ∞
Cuando Fo > 0,2 solamente se tieneen cuenta el primer termino de lasumatoria
)cos( 12)(
1),(1 ηλθ λ
η ⋅⋅= ⋅− FoFo eA
Capitulo 6 Conducción Transitoria
121
T(x,t): Temperatura en x, en el tiempo t.
X/L: Posición adimensional.
Calor “potencial”: Uo
( )pUo C To Tρ= ∀ − ∞
Bi: Parámetro
3ª carta:
2
2
U h tvsUo k
α
U: calor perdido o ganado durante el tiempo t. el método de los gráficosde Heisler sirve también para una placa aislada en una cara: base: x = 0dT/dx = φ .
X = φ : en la superficie aislada.
X = L: en la superficie convectiva.
Transferencia de Calor
122
Capitulo 6 Conducción Transitoria
123
Transferencia de Calor
124
Capitulo 6 Conducción Transitoria
125
Tabla 6-5 Conducción transitoria 0. 1 < bi < 100
Transferencia de Calor
126
CASO HISTORIA DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALOR SUPERFICIAL
Placa simetríaconvectiva
0 0
1
0 1
L
XX
X k hL X
Fo
θ
θ θ
θ
∂= =∂
∂= − =∂
= =
( )2
2
1
1 1
( , ) cos
2cos
cos1
n
Fo
n n
Fonn
n n n n
n n n
nn
Fo e A BsenBi Tan
senT T xeTo T sen Len XC sen Bi C Cot
BiTan
λ
λ
θ η λη ληλ λ
λπλ
λ λ λ
λ λ λ
λλ
−
∞−∞
=∞
= +=−
=− +
=⋅ =
=
∑
( )2
0
21cos
n
t
s
p e
Fo n n
n n n n
q dt
C L To Tsen sene
senλ
φρ
λ λφλ λ λ λ
−
=−
= − ⋅+
∫
∑
Cilindro largoconvectivo
( )( ) ( )
2(0, ) 102 2
1 0 1
2nx nFo
nn n n n
T T J re JTo T RJ J
λ λλ
λ λ λ
∞∞
=∞
− = − + ∑
Condición para nλ :
1 0( ) ( ) 0n n nJ Bi Jλ λ λ− =
J0 y J1 son las funciones de Bessel de PrimerTipo de Orden 0 y 1.
212 2
1 0 1
1
2 ( )1
( ) ( )
2 ( )
n Fonn
n n n n
nn
n
Je B
J J
JB
λλφ
λ λ λ
λλ
∞−
== −
+
=
∑
Capitulo 6 Conducción Transitoria
127
Tabla 6-6 Forma generalizada de la solución
( ) 2
2
1, ( )
1
n
n
Fon n n
n
Fon n
Fo A e f
A e B
λ
λ
θ η λ η∞
− ⋅
=
− ⋅
= ⋅
Φ = − ⋅
∑
∑
CASO VALORESCARACTERÍSTICOS ( )n nA λ ( )n nB λ ( , )nf λ η
Placa n nBi Tanλ λ=2
cosn
n n n
sensen
λλ λ λ+
n
n
s e n λλ
c o s nλ η
Cilindro 1
0
( )( )
n n
n
JBiJ
λ λλ
= 12 20 0
2( ) ( )
n
n n n
JJ J
λλ λ λ +
12 n
n
J λλ 0 n
rJR
λ ⋅
Esferacos( )1
( )n n
n
Bisen
λ λλ
− = − 2( cos )cos
n n n
n n n
sensenλ λ λ
λ λ λ−
− 3
3( cos )n n n
n
senλ λ λλ− n
n
rsenR
rR
λ
λ
⋅
Transferencia de Calor
128
Tabla 6-7 Funciones de Bessel de primera y segunda especies, de órdenes 0 y 1x J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x)
0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.07.27.47.67.88.08.28.48.68.89.09.29.49.69.810.0
1.00000+0.99002+0.96039+0.91200+0.84629+0.76520+0.67113+0.56686+0.45540+0.33999+0.22389+0.11036+0.00251-0.09680-0.18503-0.26005-0.32019-0.36430-0.39177-0.40256-0.39715-0.37656-0.34226-0.29614-0.24042-0.17760-0.11029-0.04121+0.02697+0.09170+0.15065+0.20175+0.24331+0.27404+0.29310+0.30007+0.29507+0.27859+0.25160+0.25541+0.17165+0.12222+0.06916+0.01462-0.03923-0.9033-0.13675-0.17677-0.20898-0.23227-0.24594
0.00000+0.09950+0.19603+0.28670+0.36884+0.44005+0.49830+0.54195+0.56990+0.58152+0.57672+0.55596+0.52019+0.47082+0.40971+0.33906+0.26134+0.17923+0.09547+0.01282-0.06604-0.13864-0.20278-0.25655-0.29850-0.32760-0.34322-0.34534-0.33433-0.31103-0.27668-0.23292-0.18164-0.12498-0.06252-0.00468+0.05432+0.10963+0.15921+0.20136+0.23464+0.25800+0.27079+0.27275+0.26407+0.24531+0.21471+0.18163+0.13952+0.09284+0.04347
-∞-1.0811-0.60602-0.30851-0.08680+0.08825+0.22808+0.33790+0.42043+0.47743+0.51038+0.52078+0.51042+0.48133+0.43591+0.37685+0.30705+0.22962+0.14771+0.06540-0.01694-0.09375-0.16333-0.22345-0.27230-0.30851-0.33125-0.34017-0.33544-0.31775-0.28819-0.24830-0.19995-0.14523-0.08643-0.02595+0.03385+0.09068+0.14243+0.18722+0.22352+0.25011+0.26622+0.27146+0.26587+0.24994+0.22449+0.19074+0.15018+0.10453+0.05567
-∞-3.3238-1.7809-1.2604-0.97814-0.78121-0.62113-0.47915-0.34758-0.22366-0.10703+0.00149+0.10049+0.18836+0.26355+0.32467+0.37071+0.40101+0.41539+0.41411+0.39792+0.36801+0.32597+0.27374+0.21357+0.14786+0.07919+0.01013-0.05681-0.11923-0.17501-0.22228-0.25955-0.28575-0.30019-0.30267-0.29342-0.27315-0.24280-0.20389-0.15806-0.10724-0.05348-0.00108+0.05436+0.10431+0.14911+0.18714+0.21706+0.23789+0.24902
Capitulo 6 Conducción Transitoria
129
Ejemplo 6-7
Un sistema de endurecimiento de bolas de acero para cojinetes consta deun horno de calentamiento que tiene una temperatura ambiente de 900ºC, a través del cual pasan 50.000 bolas de 2 cm de radio por hora(K=43 W/mºC; =7800 Kg/m3 y C=473 J/KgºC) las cuales entran a 27ºC y permanecen durante 180 seg dentro del horno. El coeficiente detransferencia de calor efectivo es en esta etapa función de la temperaturaen grados centígrados de las bolas, asi: h=0.06T+148 [w/m2ºC ].
Una vez salen las bolas del horno, ruedan hacia un baño de agua, que esmantenida a una temperatura constante mediante el retiro de 998160.9W correspondientes al flujo de calor aportado por las bolas que pasanpor el baño. Las bolas deben salir con una temperatura superficial de 90ºC.
Determinar la temperatura del baño para que se cumplan lascondiciones impuestas, si el coeficiente de transferencia de calor entrelas bolas y el agua es e 900 W/m2ºC.
Figura 6-23
1. CALENTAMIENTO EN EL HORNO
Determinación si este es de capacidad calórica concentrada, el valormáximo de h es, en la supocisión que la ºT de las bolas se iguala a900 ºC:
0,06 900 148 202h = ⋅ + =
202 202 0,02 0,03 0,1 .3 3 43
RBi O Kk
⋅= = = <⋅
Calentamiento de la bola:
( ) ( )(900 ) (0.06 148) (900 )s t P s tdThA T VC T A Tdt
ρ− = = + −
( )7800 473 0.02(0.06 148)(900 )
3 3p
t
C R dT dTT Tdt dt
ρ × ×+ − = =
( )0.06( 2466.66)(900 ) 24596tdTT Tdt
+ − =
Figura 6-24 Balancede energía
Transferencia de Calor
130
6
( ) ( )
2.439421 10( 2466.66)(900 ) 2466.66 900t t
dT A BdT dTT T T T
− × = = + + − + −
4
900 2466.66 11 2.727273 10
3366.66
A B A B
A −
+ = =
= = ×
6 4 1 12.439421 10 2.727273 102466.66 900
dt dTT T
− − × = × + + −
38.944542 102466.66 900dT dTdt
T T− × = + + −
1803
0 278.944542 10 ln( 2466.66) ln(900 )
fTT Tt−× = + − −
27
2466.662466.66 2493.661.610075 ln ln ln900 900 873
fTf
f
TTT T
++= = −− −
2466.661,610075 ln 2,85643298 ln 2.659643
900f
f
TT
++ = =
−
2466,6614,291266 12862,14 2466,66 15.291266
900f
ff
TT
T+
= − =−
679.83 º 680 ºfT C C= ≈
2. ENFRIAMIENTO EN EL AGUA
2900 0.02# 0.13954 0.1 0.1
3 43de Biot Bi Bi×= = = > ⇒ ⟩
×
Para el caso de que la temperatura T=90 ºC, sea uniforme en toda la bola, esdecir que sea independiente de r.
Eb= calor retirado de cada bola= mCp(679.83-90)
JoulEb 3793.72922)83.589()02.0(344737800 3 =×××= π
Potencia aportada al agua por 50.000 bolas/hora
72922,3793 50000 1012810,823600bQ W×= =&
Capitulo 6 Conducción Transitoria
131
Para el caso en que T(r,t)
1.2
1( , ) 1 1 1 1
1 1 1 1
2( cos ) ( / )cos ( / )
r t Fo
o
T T sen sen r ReT T sen r R
λλ λ λ λλ λ λ λ
∞ −
∞
− −= − −
Suponiendo la aproximación para Fo > 0.2
2. ( ) 3600 /50000 (680 )
t w
o
E Q seg horaE CpV T
φρ ∞
= =−
3.2
11 11 FoA e Bλφ −= −
Para 900 0,02 0, 418643
hrBik
×= = =
21 1
1
1
1,153663 1,0740871,1211150,8893615
AB
λ λ= ===
SOLUCION:
Asumimost
2
tFoR
α ×= ∞T(1)
φ(2)
φ
(3)73.28 2.1354 40 O.K 0.90823
0.90823 O.K
6.3 CONDUCCIÓN TRANSITORIA,BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN
Para este caso se tienen las siguientes restricciones:
Simetría: Los 2 ambientes deben ser iguales
El elemento que conduce calor, está a una T inicial uniforme To yrepentinamente el ambiente que lo rodea se cambia a Tα.
La solución analítica a estos casos se basa en que la ecuación diferencialque gobierna estos procesos es:
2 2
2 21T T T T ( x, y,z )
tx y∂ ∂ ∂+ =
α ∂∂ ∂
Si se introduce la variable θ (x,y,z) ⇒0
( x ,y ,t ) ( x ,y ,t )( x,y ,t )
o ( x,y , )
T T T TT T T T
∞ ∞
∞ ∞
− −θ = =
− −
Transferencia de Calor
132
La ecuación diferencial de 2º orden en T se convierte en:
2 2
2 21 ( x, y,z )
tx y∂ θ ∂ θ ∂θ+ = θ
α ∂∂ ∂
Utilizando el método de separación de variables:
1 2( x, y,t ) ( x,t ). ( y,t )θ =θ θ
Si se reemplaza la solución en la ecuación diferencial, entonces
2 21 2 1 2 1 2
2 21a ( ( x,t ) ( y,t ) a ( ( x,t ) ( y,t ) ( )
x y tθ θ θ θ ∂ θ ⋅θ+ =
∂ ∂ α ∂
2 22 1 2 2 1
1 1 2 1 22 2
2 21 2 2 1
2 21 2 2 1
2 21 1 2 2
2 21 1 2
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
ax y t t
x y t t
x t y t
∂ θ ∂ θ θ ∂θ θ + θ = θ + θ ÷θ ⋅θ ∂ ∂ α ∂ ∂ ∂ θ ∂ θ ∂θ ∂θ+ = + θ ∂ θ ∂ α θ ∂ θ ∂ ∂ θ ∂θ ∂ θ ∂θ− = − − θ ∂ α θ ∂ θ ∂ α ∂
No puede existir una “función” que sea función de x y t que sea igual aotra función de y y t: tiene que ser igual a una constante ±λ y esaconstante debe ser cero. Entonces tanto para 1θ como para 2θ debe ser elmismo tipo de solución; entonces tendríamos 2 ecuacionesindependientes:
2 21 1 1 1
2 21 1
2 22 2 2 2
2 22 2
1 1 1 1
1 1 1 1
x t x t
y t y t
∂ θ ∂θ ∂ θ ∂θ− = φ ⇒ =θ ∂ α θ ∂ ∂ α ∂
∂ θ ∂θ ∂ θ ∂θ− = φ ⇒ =θ ∂ α θ ∂ ∂ α ∂
Se concluye que la solución de 1θ es la solución de un procesounidimensional al igual que para 2θ .
La solución gráfica, de la misma manera se obtiene de1 2( , , ) ( , ) ( , )x y t x t y tθ θ θ=
Casos particulares:
1. Columna
Si quiero encontrar la T en un punto x, y ≠ centro:
1 1
2 2
corrección
corrección
( x,t ) ( c,t ) F( y,t ) ( c,t ) F
θ = θθ = θ
Capitulo 6 Conducción Transitoria
133
00
0
T( x, y,t ) T T( , y,t ) T T( x, y,t ) T( x, y,t )To T To T T( , y,t ) T
T( x, ,t ) T T( x, y,t ) TTo T T( x,o,t ) T
− ∞ − ∞ − ∞ θ = = − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∞
Para el punto central (0, 0, t):
(0,0, ) 1(0, ) 2( 0, )
(0,0, ) (0, ) (0, ) (0, ) (0, )
0 (0, ) 0 0
2 ( )2 ( )
t t y t
t t t t t
o t
PLACA a yPLACA b x
T T T T T T T T T TT T T T T T T T T T
θ θ θ =
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
= ⋅
− − − − − = − − − − − 1444424444314444244443
Para el punto (0, a, t):
(0, , ) 1( 0, ) 2( , )
(0, , ) (0, ) (0, ) (0, ) ( , )
0 0 (0, ) 0 (0, )
2 ( ) 2 ( )
a t x t y a t
a t t t t a t
t t
PLACA b x PLACA a y
T T T T T T T T T TT T T T T T T T T T
θ θ θ= =
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
=
− − − − − = − − − − − 14444244443 14444244443
Para el punto (b, a, t):
( , , ) 1( , ) 2( , )
( , , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , )
0 0 (0, ) 0 (0, )
2 ( ) 2 ( )
b a t x b t y a t
b a t t b t t a t
t t
PLACA b x PLACA a y
T T T T T T T T T TT T T T T T T T T T
θ θ θ= =
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
=
− − − − − = − − − − − 14444244443 14444244443
2. Cilindro Corto
Figura 6-26 Intersección deun cilindro infinito con una placa.
Para encontrar la temperatura de un punto ≠ del centro:
Figura 6-25 Columna
Transferencia de Calor
134
1 2
1 2
0 0
0 0 0
2
0
( x,r ,t ) ( x ,t ) ( r ,t )
( ,t ) ( x ,t ) ( ,t ) ( r ,t )( x,r ,t )
( ,t )
CILINDRO ( r )PLACA L ( x )
pared cilindro
T T T T T T T TT T T T T T T( ,t ) T
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
λ
θ = θ θ
θ ∞ θ ∞
− − − − θ = − − − − 1444424444314444244443
3. Extremo de una Barra
1 2 3
1 2 3
( x ,y ,z ,t ( y ,t ) ( z ,t ) ( x ,t )
Pared Pared Sólido semi-infinito erf ( )
θ = θ θ θ
θ α θ α θ η
La conducción transitoria sirve para estimar propiedades térmicas de unelemento tales como la conductividad térmica K y el calor específico Cp.Un problema típico es: Dado un θ (x,t) dimensiones físicas L, coeficienteconvectivo h, encontrar Cp. si no conocemos k⇒ prueba y error asumok Bi Fo→ → y despejo k → kasum = khallado
6.4 Conducción transitoria unidimensional Sin generación
6.4.1 Solución Numérica
Existen 2 alternativas para obtener la ecuación algebraica. Una a partir deun Balance de Energía sobre un elemento diferencial y otra sobre unelemento finito. Cuando se toma un elemento diferencial se aplica laserie de aproximación de Taylor para obtener la ecuación algebraica.
Elemento Diferencial: Procedimiento Analítico:
Ventajas de utilizar el método numérico:
Elimina las restricciones en cuanto a:
Se puede considerar la generación fácilmente
Simetría
T = ctehext = cteT(x,y,t) = To
xxTx
xT ∆⋅
∂∂=∆⋅
∂∂
2
2
2
2
Figura 6-27 Extremo deuna barra.
Figura 6-28
Capitulo 6 Conducción Transitoria
135
Balance de Energía:2
2
1T Tx tα
∂ ∂=∂ ∂
La aproximación de Taylor nos da el valor de las funciones antes ydespués de un nodo y nos permite aproximar una segunda derivada avalores específicos de la temperatura.
2 2
1 2
2 2
1 2
22
1 1 2
21 1
2 2
.......2
....... ( )2
2
2
n n
n n
n n
n n n
n
T T xT T x ( Despreciables)x xT T xT T x Despreciablesx x
TT T T xx
T T TTx x
+
−
+ −
+ −
∂ ∂ ∆= + ∆ + +∂ ∂∂ ∂ ∆= − ∆ + +∂ ∂
∂+ = + ∆∂
+ −∂⇒ =∂ ∆
1i in nT TT
t t
+ −∂⇒ =∂ ∆
Reemplazando en la ecuación diferencial:
11 1
2
2 1i i i i in n n n nT T T T T
x tα
++ −+ − −=
∆ ∆
En el método explícito aparecen dos discretizaciones, en el tiempo y en elespacio; la temperatura en un tiempo cualquiera depende del tiempo y elespacio anterior:
( )( )( ) ( )
11 12 2
11 1
11 1
2
2
1 2
i i i i in n n n n
i i i in n n n
i i i in n n n
t tT T T T T rx x
T r T T T
T r T T T r Ecuación Nodos Internos
α α++ −
++ −
++ −
∆ ∆+ − = − =∆ ∆
= + −
= + −
Por este método no se pueden tratar nodos convectivos.
6.4.2 Procedimiento por Elementos Finitos1. Discretizamos el espacio de tal forma que las distancias sean las
mismas.
2. Definimos el elemento finito de control3. Identificamos los flujos de calor sobre el elemento: conducido,
almacenado, generado, convectivo.
4. Hacer el Balance de Energía
5. Discretizar en el tiempo.
Transferencia de Calor
136
Elemento Finito: Método Universal
NODOS INTERNOS:
Balance de Energía:
k1 g k2 a k2
a pk1
g g
Q + Q = Q + Q Q = kAQ = xACTn-1-TnQ = kAQ = q xAX
Reemplazando los calores en la fórmula de Balance de Energía:
11 1 :i i i i i i
g pTn Tn Tn Tn Tn Tnk +q x = k xCp xC
x x tρ ρ
+− − − + −+ ∆∆ ∆ ∆
( ) ( )2 21 1 gi i i i
p
q tk t k tTn Tn Tn Tn = Tni+1 - Tni;Cp x Cp x Cρ ρ ρ
∆∆ ∆− − − − + +∆ ∆
2;K tFoCp x
ααρ
⋅∆= =∆
g ini+1
p
q tT = Fo(Tni-1 - Tni - Tni + Tn +1) Tn
Cρ∆
+ +
gni+1 ni ni
p
q tT = Fo(Tni-1+Tn+1i) - 2 T Fo + T +
Cρ∆
gi ini+1 i
q tT = (1-2Fo) Tn + Fo(Tn -1 + Tn +1) +
Cpρ∆
i i ini+1T = (1-2Fo) Tn + Fo (T(n -1) + T(n + 1))
NODOS INTERNOS SIN GENERACIÓN
Método Ventajas Desventajas
Explicito Solucióninmediata
No siempre es valida
(Oscilación de la solución)
Implícito No oscilatorio Solución con muchos cálculos
}
}
1 2
1 2
1 1 1
Presente Futuro Explicito
Futuro Presente Implícito
i i iK g K a
i i iK g K a
Q Q Q Q
Q Q Q Q+ + +
+ = + ⇒
+ = + ⇒
6447448
6447448
Figura 6-29 Balance deenergía de nodos internos.
Para aplicar el método explicito en nodos internos se debe cumplirque: Fo < 0,5
Capitulo 6 Conducción Transitoria
137
NODOS FRONTERA:
Balance de Energía:
1 -
( - )1
2
k1 g c aii i
ck1
g g
i iTn TnQ = ACa p tQ + Q = Q + Q
Q = hA Tn TTn TnQ = kAxX Q q A
∞
+ ∆
− − ∆∆ =
Reemplazando los valores de los calores en la formula de Balance deenergía tenemos:
( )11
2 2
i i i ii
gTn Tn x x Tn Tnk q h Tn T Cp
x tρ
+
∞ − − ∆ ∆ −+ = − + ∆ ∆
22pk txC y t FoCp x
αρ αρ
∆∆ ⇒ = ⇒ =∆
( ) ( ) 12
2 21 gi i i i i
p p p
q tk t h tTn Tn T Tn Tn TnC x C xk x Cρ ρ ρ
+∞
∆∆ ∆− − + − + = +∆ ∆ ∆
1( 1)
1 2 1 2 ii i
n
h x h xTn Tn Fo Fo T Tk k
α+−
∆ ∆ = − + + +
NODO FRONTERA CONVECTIVO, SIN GENERACIÓN
NODO INTERFASE: 2 Materiales
Para aplicar el método explicito en nodos frontera se debe cumplir que el factor (1-2Fo) > 0
1( 1)2 2 2 2 i
i i i ign
n n n n
h xT q th xTFoT FoT Fo Fo T Tk k Cp
αρ +−
∆ ∆∆− + − + + =
1( 1)1 2 1 2 gi in
q th x h xTn Tn Fo Fo T Tk k Cp
αρ
+−
∆ ∆ ∆ = − + + + +
Figura 6-30 Balance deenergía nodos frontera
Transferencia de Calor
138
Figura 6-31 Balance de energía nodos internos de una pared compuesta.
Balance de Energía:
Qk1 + Qq1 + Qq2 = Qk2 + Qa1 + Qa2
1
2 2 2
2 2 1
12 2
1 1 1
12
12
22
i i i i
k1 1 a p
i i
k g g
i ig g
a p
Tn Tn x Tn TnQ = k A Q C Ax tTn T n xQ k A Q q A
xxx Tn Tn Q q AQ C A
t
ρ
ρ
+
+
− − ∆ −= ∆ ∆ − + ∆= = ∆
∆ ∆ − == ∆
Reemplazando en la ecuación de Balance de Energía:
1 1
1 22 2
i i i i
px Tn Tn X Tn TnC
t tρ
+ + ∆ − ∆ −+ ∆ ∆
1 21 2 1 1
1 12 2
i i i ig gq x q xTn Tn Tn Tnk k Cp
x Xρ
∆ ∆ − − − ++ + = + ∆ ∆
21 1 2 1 1 2 21 1
2
i i i i
g gTn Tn x Tn Tnk q q k Cp Cp
x xρ ρ
− − ∆ − ++ + + − = + ∆ ∆ 1
2
i ix Tn Tnt
+ ∆ − ∆
(*) 2 ∆ t y ( ρ 1Cp1 + ρ 2Cp2) ∆x
( )( )
( ) ( )( )
1 21 2 12 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 1 2 1i i i ig g i i
tk Tn Tn tk Tn Tnq q tTn Tn
Cp Cp x Cp Cp Cp Cp xρ ρ ρ ρ ρ ρ+
∆ − − ∆ − ++ ∆+ − + =
+ ∆ + + ∆
Capitulo 6 Conducción Transitoria
139
Si definimos m = ρ 1Cp1 / ρ 2Cp2:
( )( )
( ) ( )1 2
1 2 11 1 2 22 2
1 1 2 2
2 21 1
1 1/ ( ) ( 1)
i i i
g g i i
k t k tTn Tn Tn Tnq q tCp Cp Tn Tnm x Cp Cp m x
ρ ρρ ρ
+
∆ ∆− − − ++ ∆+ − + =
+ ∆ + + ∆
( ) ( )( )
( )1 21 2 1
1 1 2 2
2 1 2 1(1 1/ ) ( 1)
i i i ig g i i
r Tn Tn r Tn Tnq q tTn Tn
m Cp Cp mρ ρ+
− − − −+ ∆+ − + =
+ + +
( )( ) ( ) ( )
( )( )
1 1 21 2
1 1 2 2
2 1 2 21 1 1
i i ig gi i
r m Tn q q tr mTn r TnTn +1 = Tnm m m Cp Cpρ ρ
− + ∆− − + +
+ + + +
1 21 1 2 1 2
1 1 2 2
( )2 2 2 1 2 11( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )
ig gi i q q trm r rmTn r TnTn Tn
m m m m Cp Cpρ ρ+ + ∆ − += − − + + + + + + + +
( )1 g1 g21i i 21
1 1 2 2
(q +q ) t2r m Tn-1 2r2Tn =Tn 1- (mr +r2) + + tn+1+(m+1) (m+1) (m+1) ( Cp + Cp )
+
( ) ( )1 1 21 2
2 221 ( ) 1 1( 1) ( 1) ( 1)
i i r m rTn Tn mr r Tn Tnm m m
+ = − + + − + + + + +
NODO INTERFASE SIN GENERACIÓN
CRITERIO DE CONVERGENCIA: Se debe tener especial cuidado conla medida de los ∆X y ∆ t debido a que si estos son muy grandes sepueden obtener resultados no muy confiables.
En las siguientes ecuaciones r = Fo
Transferencia de Calor
140
Ejemplo 6-8
Si se tienen una placa cuyo espesor de 40 cm. es muy pequeño encomparación de las otras dimensiones y repentinamente una de sus caras(solo una) sufre un cambio brusco en su temperatura desde 28º C hasta300º c; calcular analíticamente el tiempo máximo que transcurre antesde que en la cara opuesta se sienta dicho cambio.
SOLUCIÓN: Se analiza por sólido semi infinito
DATOS:
α = 1,2 X 10-6 m2/seg.k = 80 W/ m ºCe = 0.4 mt =? (X = 0.4)
( , ) ( , )( , ) ( )
0 0
x t x t sx t n
T T T TT T T T
θ θ ∞
∞ ∞
− −= = =
− −
El valor de n que hace que esa relación sea ⊥ es:
(0.4, ) 30025 1 1 ( )28 300 4
T t xt
η θ η ηα
−= ⇒ = = = → =−
0.42,52 tα
= Despejando el tiempo t:
2 22
2 6 2
0, 40.4 1 88,888min(2,5 2) 6025(1, 2 10 )
m segt
mα −
= = =⋅ ⋅
Ejemplo 6-9
Determinar la capacidad calórica y la conductividad de un elementocilíndrico de 0.2 mφ y 0.4m de longitud cuya Densidad es 5800 Kg / m3
mediante los resultados obtenidos en 2 pruebas diferentes.
1ª PRUEBA: El elemento genera calor a una rata de qq = 104 W/m3 yalcanza una temperatura de 271.3º C después de dejarlo una hora en unambiente de 25º C estando él a una temperatura inicial de 400º C.Durante esta prueba el coeficiente de transferencia de calor porconvección es de sólo 20 W/m2 oC la cual determina una resistencia a laconvección muy alta frente a la resistencia de la conducción.
2ª PRUEBA: El elemento se deja enfriar sin generar calor estandoinicialmente a 400º C en un ambiente de 25º C y alcanza unatemperatura de 51.25º C al cabo de 400 seg. Durante esta 2ª prueba elcoeficiente de Transferencia de calor por convección es de 800 W/ m2 oC
Figura 6-32
Capitulo 6 Conducción Transitoria
141
la cual determina una resistencia a la convección similar (no igual) a laresistencia a la conducción.
SOLUCIÓN:
h =20 W/m2oC δ = 5800 Kg/m3
qg = 104 w/m3 As = 0.3142 m2
T (3600) = 271.3º C ∀ = 1.25664To = 400º CT α =25º C
Asumiendo Bi < 0.1à ∀ C es el elemento
Balance de energía: Qg = Qa + Qc
( )( )g tTq = mCp hA T Tt ∞
∂∀ + = −∂
( )( )gt
q hAs TT TmCp mCp t∞
∀ ∂− − =∂
( )( )gt
qT hAs T Tt mCp hAs
θ∞
∀∂ + − − =∂
Define: ( ) g(t) (t)
q T = T -ThAs t t
θθ∀ ∂ ∂− ⇒ =
∂ ∂
( ) ;thAs hAs hAsx
t mCp t mCp mCpθ θθ θ θ∂ ∂→ + = ⇒ = − = −
∂ ∂
( )2 2
2
20 2 (0,1) 2 0,1 0, 4 8,62069 105800 (0,1) 0,4
xCpCp
π ππ
−− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= =⋅
Figura 6-33 Volumen de control.
Transferencia de Calor
142
00 0
t
x dt Ln Ln xtθ
θ
θ θ θθ∂→ = ⇒ − =∫ ∫
Ln(θ/θο) =4 -210 1,26x10271,3-25- =226.3
20 0,31416 ⋅ ⋅
4 210 1,26 10400 25 35520 0,31416
− ⋅ ⋅= − − = ⋅
Ln(0,6375) = + 0,45026 = +28,62069 10
Cp
−⋅ 3600
Cp = 68,263 J/kg oC
Para la 2ª prueba: como dice que la resistencia convectiva es similar (noigual a la conductivadad)
è esta cerca de ⊥ è 0.1 < Bi < 100 se soluciona por cartas deHeisler: se supone cilindro α
T(0.400) = 51,25ºC h = 800w/m2o C
(0, )
0
51.25 25 0.07400 25
tT TT T
∞
∞
− −= =− −
Asumo un k:à Bi = 2à Bi =2
ohrkà k =
2ohr
Bi
ka=800 0.1 20
2 2xx
= De las tablas con ½ Bi como parámetro: Fo = 0,08
2
2 2o
o o
Fo Cprt ktFo = kr Cpr t
ραρ
= ⇒ =
kh = 7,9955
Ejemplo 6-10
Para determinar el calor específico de un material se hizo una pruebasobre una placa construida de dicho material, que consistió en someterlaa un cambio brusco de la temperatura de los ambientes que rodean laplaca elevándolos igualmente a 240ºC. La placa está a una temperaturainicial de 20ºC y tiene una conductividad térmica k = 26 W/moC. Elcoeficiente de transferencia de calor de la placa a los ambientes es de100 W/m2oC.
Figura 6-34
Figura 6-35
Capitulo 6 Conducción Transitoria
143
Durante la prueba se encontró que las temperaturas en puntos situadossobre la superficie exterior y en el punto medio entre el eje de la placa yla superficie al cabo de 2,11 horas fue de 209º C y 199.5º Crespectivamente.
δ placa = 7850 Kg/m3. EXPLICAR DETALLADAMENTE el proceso desolución.
DATOS:
To = 20º Ck = 26 w/mº Ch = 100 w/m2º Cδ = 7850 Kg. / m3
Posición Relativa de P con respecto al centro: X/L = / 2LL
= 0.5
Pared plana solución por cartas: X/L = 0.5 k = 26
3,846hLBik
= = Lc
Para Bi = 1,0 à asumimos Lc = 0,2600
En la tabla 2 : 1/Bi = 1,0à ( , )
(0, )
0,92x t
t
T TT T
∞
∞
−=
−
T(x,t) = 199,5º C à (0, )199,5 240 240
0,92tT −= +
T∞ = 240ºC T(0,t) = 195,978 ºC
Posición relativa de S con respecto al centro:
X/L = 1 k = 26 Bi = 3,846 Lc Lc = 0,2600
En la tabla 2: 1/Bc = 1.0 à ( , )
(0, )
0,64x t
t
T TT T
∞
∞
−=
−
T(x,t) = 209º C à (0, )209 240 240
0,64tT −= +
T∞ = 240º C
T(0,t) = 191,563 º C
Iterando con Bi para 1/Bi = 2,0: X/L = 0,5à 0,95
Transferencia de Calor
144
X/L = 1 à 0,795
L = 0,52
T (0 ,t) = 197,368
T (0 ,t) = 201,006
1/Bi = 2,5 ; 2,1 ; 1,5 ; 1,2 ; 1,3 SI
para i/Bi = 1.3à x/L = 0,5à 0,915 Lc = 0,34
x/L = 1 à 0,70
( , ) 240 195,74º0,915x t
(0 ,t)
T TT = C∞−
+ = T(x,t) = 199,5 ºC
( , ) 240 195,714º0,70x t
(0 ,t)
T TT = C∞−
+ = T(x,t) = 209 ºC
Vamos a la tabla 1 con T(0 ,t) y Bi(0, )
0
195,74 240 0, 201220 240
tT TT T
∞
∞
− −= =− −
hallamos Fo: Fo = 2,2 = 2 2t kt
L CpLα
ρ=
0,338hLBi mk
= → ⊥=
2 226 2,11 3600
2,2 2,2 7850 (0,338)ktCpPL
⋅ ⋅= =⋅ ⋅
Cp = 100.0996º
JoulKg C
Ejemplo 6-11
Una barra cilíndrica (aislada por un extremo) de 4 cm. de diámetro y 30cm. de largo, que genera calor a una rata de 6.75x105 W/m3, se sumergeverticalmente en un baño de aceite a 25°C después de que ha alcanzadosu equilibrio térmico en el aire a 20°C. Determinar la historia de latemperatura de la barra que esta dentro del aceite a partir del momentoque empieza a sumergirse en el baño.
Considere lo siguiente:
1. Densidad de la barra = 2500kg/ m3
2. Calor especifico = 400J/Kg. °C
3. kbarra = 30 W/m °C
Capitulo 6 Conducción Transitoria
145
4. h de la barra con el aire = 67.5 W/m2 °C
5. h de la barra con el aceite = 120 W/m2 °C
6. La cantidad de aceite en el baño es muy grande.
7. La variación radial de la temperatura en la barra esdespreciable.
è 1° PARTE: La barra alcanza el equilibrio con el aire (estado estable)
Figura 6-36 Balance de energía
L = 0.3 m; D = 0.04m ; r = 0.02m
Balance de energía:
2
2
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
C g C Cy y y
C g C
C g C
qA q A y qA h D T T
d qA q A h D T Tdy
d TkA q A h D T Tdy
π
π
π
∞+∆
∞
∞
+ ∆ = + −
+ = −
+ = −
{
2 2
2 2
22
1 22
( ) 0 0
2
0 ( ) cosh
g g C
C C
q q Ad T h D d T h DT T T Tdy kA k dy kA h D
d T y C senh y C ydy
π ππ
θβ
β θ θ β β
∞ ∞
− − + = ⇒ − − − =
⇒ − = ⇒ = +
1442443
1° C.F:
Transferencia de Calor
146
1 2 10
0 0 0 cosh (0) (0) 01 0y
dy C C senh Cdyθ β β β β
=
= = ⇒ = + ⇒ =14243 14243
2° C.F:
( ) 0 0 20 cosh (0)1
g Cy
q Ay T T T T C
h Dβ
π∞= = ⇒ − − =14243
5 2
1 0 0 06,75 10 (0,02)20 120
67,5 2(0,02)g Cq A
C T T T Th D
ππ π∞
⋅⇒ = − − = − − = −
3° C.F:
0( ) ( 120) ( 20)L Ldy L k h T T k T senh L h Tdyθ β β∞= − = − ⇒ − − = −
0
0 0
67.5 2 15 30 15( 120) (15 0,3) 67,5( 20)30 0.02
300( 120) 20 300 36020
L
L L
T senh T
T T T T
β ⋅= = ⇒ − ⋅ − ⋅ = −⋅
⇒ − − = − ⇒ = − +
4° C.F: ( ) 0( 120)cosh(4,5)g Cy L L L
q Ay L T T T T T
h Dπ= ∞= = ⇒ − − = −
0 0
0 0 0
20 100 45,01 5401,7 45,01 5281,7300 36020 45,01 5281,7 119,71L LT T T T
T T T− − = − ⇒ = −
− + = − ⇒ =
Remplazando: Ty = (119,71-120) cosh(15y)+120= - 0,29cosh(15y)+120
Ty = 0,55cosh (15y)+120 (con el origen de y arriba)
è 2° PARTE: El cilindro se introduce gradualmente al aceite (estadotransitorio)
ojo nuevo origen de y abajo
Capitulo 6 Conducción Transitoria
147
y = 0.03m)
Figura 6-37 Balance de energía de la barra
Análisis (1): Qg + QK1 = Qa + QCr + QCa
{
2 2 2 2 21 00
1 00
222
1 0 0
2( ) ( ) ( ) ( )
2( ) 1
2 1 30( ) 1 ;
g P a a
g P a a
a Pg P a
T T Tq y r k r C y r h T T r y ry t r
T T Tq y k C y h T T yy t r
h y C yy Tq T T C y T T yk k t k r k t Fo t
i
π π ρ π π π
ρ
ρρ
β
− ∆ ∆ + = ∆ + − ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + = ∆ + − ∆ + ∆ ∆
∆ ∆∆ ∆ + − = ∆ + − ∆ + = = ∆ ∆ ∆
Análisis (2): Qg + QK2 = Qa + QCr + QK1
{
120 0
1 0 0
21
0 0 1 0 0 0 1 0
2( ) 1
2( ) 1 20,25 1, 48 0, 480,12
20, 25 4
i ii i i
g a
i i i i i i i ig a a
T Tyq T T Bi T T yk Fo r
yT T Fo q T T Bi T T y T Fo T T Tk r
+
+
−∆ ⇒ + − = + − ∆ + ∆ ⇒ = + + − − − ∆ + = + + − − 123 14243
2 2 2 2 22 11 1 0
22
2 1 1 1 0
121 1
2 1 1 1 0
21
1 1
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )( )
2 ( ) ( )
2 ( )
20,25
i ii i ia
g P a
i i i i iaPg a
i ii i i i i
g a
i ig
hT T T kq y r k r C y r r y T T r T Ty t r y
h yC yy Tq T T T T T Tk k t rk
T Ty Bi yq T T T T T Tk Fo r
yT T Fo qk
π π ρ π π π
ρ
+
+
− ∆∆ + = ∆ + ∆ − + −∆ ∆ ∆
∆∆∆ ∆+ − = + − + −∆
−∆ ∆+ − = + − + −
∆= + 2 1 0 1 1 2 1 02 2 ( ) 20,25 2,36 0,36
0,36
i i i i i i i ia a
yT T T Bi T T T Fo T T T Tr
∆ + − + − − = + + − + +
123123
Transferencia de Calor
148
Análisis para (3):
Qg = Qa + QCr + QKn-1
2 2 2 21
121 1
1
( ) ( ) 2 ( ) ( )( )
2 ( )
i i iag P n a n n
i ii i i
g n a n n
hT kq y r C y r r y T T r T Tt r y
T Ty Bi yq T T T Tk Fo r
π ρ π π π −
+
−
∆∆ = ∆ + ∆ − + −∆ ∆
−∆ ∆= + − + −
21
1 1
0.3620.25
2 ( ) 20.25 1.36 0.36i i i i i i i in n g n n n a n n n a
y yT T Fo q T T i T T T Fo T T Tk r
β+− −
∆ ∆ ⇒ = + − + − − = + − + +
123123
Criterios de estabilidad (determinación de Fo y t)
[ ][ ][ ]a
in
in
in
aiiii
aiii
TTFoFoTT
TTTFoFoTTTTFoFoTT
36.025.20)36.11()3(
36.025.20)36.21()2(48.025.20)48.11()1(
11
0211
1
101
0
+++−=
+−++−=
+++−=
−+
+
+
(1) Fo < 1/1.48 = 0.675 → 0.65 = t/30 → t = 19.5 seg.
(2) Fo < 1/2.36 = 0.424 → 0.4 = t/30 → t = 12 seg.
(3) Fo < 1/1.36 = 0.735 → 0.7 = t/30 → t = 21 seg.
Remplazando encontramos la ecuación para cada nodo inmerso
Figura 6-38 Balance deenergía, último nodoinmerso
tomo este por ser el menor →
Capitulo 6 Conducción Transitoria
149
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )iii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiii
iii
TTTyn
TTTTynTTTTyn
TTTTynTTTTyn
TTTTynTTTTyn
TTTTynTTTTyn
TTTTynTTTyn
9101
10
81091
9
7981
8
6871
7
5761
6
4651
5
3541
4
2431
3
1321
2
0211
1
101
0
25.294.0)456.0(3.010
25.294.0)056.0(27.0925.294.0)056.0(24.08
25.294.0)056.0(21.0725.294.0)056.0(18.06
25.294.0)056.0(15.0525.294.0)056.0(12.04
25.294.0)056.0(09.0325.294.0)056.0(06.02
25.294.0)056.0(03.0125.324.0)408.0(00
++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
−++=→=→=
++=→=→=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Tabla 6-8 Historia de las temperaturas
t y T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
0 0 106,946 111,675 114,689 116,61 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7112 0,03 101,204 111,675 114,689 116,61 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7124 0,06 98,861 23,348 114,689 116,61 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7136 0,09 62,575 19,339 55,427 116,61 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7148 0,12 46,166 9,924 53,713 43,192 117,833 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7160 0,15 35,705 15,274 28,015 39,767 48,465 118,609 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7172 0,18 33,578 9,479 23,066 22,107 45,951 46,596 119,099 119,403 119,584 119,68 119,7184 0,21 30,391 8,026 18,043 22,092 24,069 43,569 47,493 119,403 119,584 119,68 119,7196 0,24 28,510 7,210 18,337 15,348 21,638 23,509 44,693 47,223 119,584 119,68 119,71108 0,27 27,416 8,034 15,982 13,880 16,176 22,238 23,688 44,301 47,379 119,68 119,71120 0,3 27,300 7,576 14,933 12,555 15,949 15,950 21,851 23,657 44,505 47,334 119,71134 0,3 27,069 7,178 14,528 12,809 13,951 14,954 16,007 22,086 23,663 44,433 85,221
150
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
Transferencia deCalor Por
Convección
Capítulo
7
151
TABLA DE CONTENIDO
7. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ............................................ 149
7.1 FACTORES QUE DETERMINAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR .......................................150
7.2 DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR ......................................151
7.3 DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE REFERENCIA...........................................................151
7.4 Flujo externo (no confinado) ................................................................................................................1527.4.1 Temperatura de referencia para Flujo interno: ....................................................................................1527.4.2 Determinación del perfil de temperatura (para casos particulares; flujo laminar, perfil de temperaturascompletamente desarrollado) ..........................................................................................................................1537.4.3 Solución analítica (absoluto) ..............................................................................................................1547.4.4 Solución empírica..............................................................................................................................156
7.5 SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS.......................................................................................1567.5.1 Semejanza hidrodinámica ..................................................................................................................1587.5.2 Semejanza térmica.............................................................................................................................158
7.6 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ENTRE UN FLUIDO Y UNA PLACAPLANA 161
7.6.1 Condiciones de desarrollo hidrodinámico del flujo T∞.........................................................................1617.6.2 Solución analítica (casos: régimen laminar y flujo turbulento) ............................................................1627.6.3 Solución hidrodinámica .....................................................................................................................163
7.7 FACTOR DE FRICCION Y COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR PARA UNAPLACA PLANA FLUIDO EN REGIMEN LAMINAR.................................................................................165
7.7.1 Flujo turbulento .................................................................................................................................1697.7.2 Capa límite de una superficie plana larga, con un borde de ataque afilado...........................................1707.7.3 Determinación de h para flujo interno en régimen laminar ..................................................................1727.7.4 Desarrollo analítico............................................................................................................................1737.7.5 Ecuación de la energía .......................................................................................................................1767.7.6 Determinación de la temperatura de salida promedio de un fluido que se mueve dentro de un tubo......178
7.8 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN TUBOS CIRCULARES REGIMENTURBULENTO .................................................................................................................................................181
Transferencia de Calor
149
7. TRANSFERENCIA DE CALOR PORCONVECCIÓN
El proceso de la transferencia térmica de una superficie de un sólido a unlíquido se llama intercambio de calor por convección. En este caso latransferencia de calor se realiza debido a la acción simultánea de laconductibilidad térmica y el movimiento del fluido.
El fenómeno de la conductibilidad térmica en los líquidos y gases, al igualque en los sólidos, lo determina de modo completo el coeficiente deconductibilidad térmica y el gradiente de temperatura El fenómeno deconvección que es segunda forma elemental de propagación del calor tieneotro aspecto. En este caso el proceso de transferencia térmica está ligadoinseparablemente con la transferencia de masa fluida. Por eso la convecciónes posible solamente en los líquidos y gases cuyas partículas son capaces dedesplazarse con facilidad.
Según la naturaleza de su surgimiento se distinguen dos formas demovimiento: libre y forzado. El movimiento libre se llama tambiénconvección libre. Se conoce como forzado el movimiento que surge bajo laacción de un agente externo, por ejemplo, una bomba, un ventilador, etc. Encaso general a la par con el movimiento forzado puede desarrollarse tambiénel libre
Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido-fluido
Figura 7-1 Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido -líquido
Además de existir contacto íntimo entre sólido y fluido (conducción), latransferencia de calor se ve mejorada por el movimiento del fluido (natural o
Transferencia de calor por convección
150
forzado)
Convección: Conducción + Movimiento
7.1 FACTORES QUE DETERMINAN LA .TRANSFERENCIA DE CALOR
Propiedades del fluido
Patrón de flujo (laminar o turbulento)
Forma de la frontera
Condiciones de flujo
Figura 7-2 Condiciones de flujo
El flujo de calor por convección esta definido por la evolución de latemperatura del fluido en las cercanías de la interfaz sólido-fluido, yconsiderando que en esta interfaz el fluido se encuentra en reposo relativo alsólido (velocidad del fluido cero) el mecanismo de transferencia en estaprimera capa de fluido es de conducción y se puede aplicar la relación deFourier, de tal manera que:
Transferencia de Calor
151
0=
∂∂−=
Xfc x
TKq
De esta relación se observa que para determinar qc se requiere conocer lafunción de temperatura con x, lo cual normalmente no es tan sencillo deestablecer, debido a la complejidad del movimiento del fluido,principalmente en los casos en que el flujo es turbulento.
Es así, que para simplificar la cuantificación del flujo de calor convectivocq se ha ideado una forma de involucrar en un único factor (el coeficiente de
transferencia de calor h) todos los parámetros que podrían afectar su valor(propiedades del fluido, régimen de flujo, forma de la frontera etc.) y quemediante una relación mas sencilla permita cuantificar el flujo de calor porconvección como producto de una diferencia de temperatura entre lasuperficie del sólido y alguna temperatura representativa del fluidodenominada refT (ya dijimos que la temperatura es variable en las cercaníasde la frontera).
7.2 DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE .TRANSFERENCIA DE CALOR
)0
0
( )
/
c f S refX
f x c
S ref S ref
Tq k h T Tx
k T x qhT T T T
=
=
∂ = − = −∂ − ∂ ∂
= =− −
De la ecuación anterior se deduce que para establecer el valor de h serequiere:
Definir la temperatura de referencia en el fluido Tref
Determinar el perfil de T en el fluido para poder calcular el ) 0/ =∂∂ xxT
7.3 DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE .REFERENCIA
• Para flujos externos
• Para flujos internos
Temperatura ambiental para la transferencia de calor por convección.
Donde h es el coeficiente de transferencia
de calor por convección
h [W/m2 °C] h = f ( 1, 2, 3... n)
Transferencia de calor por convección
152
En los flujos externos la temperatura cambia bruscamente en los puntos máscercanos a la superficie pero en los más alejados no lo hace, por eso usamosT como temperatura de referencia.
7.4 Flujo externo (no confinado)
{
Q( )S amb
hA T T
Flujo Externo no confinado↓
=−
7.4.1 Temperatura de referencia para Flujo interno:
(confinado)
En los flujos internos la temperatura está cambiando tanto en x como endirección radial, tomaremos en este caso la temperatura media o temperatura“bulk” como de referencia.
0
1 local
1
0
promedio
( )fC f S amb
y
x x
f S amb
y
S amb
S amb
dTq u h T T
dy
qhdT T Tkdy
hT T
qhT T
=
=
=
= − = − ⇒
= −− = −
= −
Figura 7-3 Flujo externo de calor
Transferencia de Calor
153
donde ( )2pbulk m
p
dmC TT T dm U r r dr
mCρ π= = =∫
&
0( )2 ( )
R
pm
p
U r r drC T rEntonces T
mC
ρ π= ∫
&
Figura 7-4 Flujo confinado
Como la Tm cambia a lo largo del tubo, existen por lo tanto diversos h, sisabemos que el flujo de calor es constante.
7.4.2 Determinación del perfil de temperatura (para casosparticulares; flujo laminar, perfil de temperaturas completamentedesarrollado)
Para determinar el perfil de temperatura de la convección el procesoconvectivo se puede analizar por dos diferentes métodos:
Transferencia de calor por convección
154
7.4.3 Solución analítica (absoluto)
Obtener relación matemática T = T(x)
1. Conocer el perfil de velocidades U = U(x). Esto se puede obtener a partirde la Ecuación de balance de fuerzas sobre un elemento de fluido.Ecuación de conservación del momentum denominada ecuaciónhidrodinámica.
2. Necesitamos determinar un balance de energía
Ecuación
Flujo neto por conducción = Q almacenado Tcm p ∆=&
Flujo neto de calor por conducción Qc
2
2
- xx x x x x
QQ Q Q Q xx
Q Tx k x y zx x xQ Tx k Vx x
+∆∂ − = + ∆ ∂
∂ ∂ ∂ − ∆ = − − ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ∆ = ∆∂ ∂
Flujo neto por conducción2 2
2 2
T Tk Vx y
∂ ∂+ ∆ ∂ ∂
Rata de almacenamiento de calor
Cp z ( ) ( )p p x p xdmC T mC T U y zC T xx x
ρ∂ ∂+ ∂ + ∆ ∆ ∆∂ ∂
( ) ( )
( ) ( )
calor almacenado en ( )
la direccion de xx x x x
y y y y
p
p
U TUT T U UT C V
TUT T T C V
ρ
ϑ ϑ ϑ ρ
∂ ∂ ∂ ∂= + ∆∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + ∆∂ ∂ ∂ ∂
El análisis anterior se resume en las siguientes graficas anexas (*)
Transferencia de Calor
155
ECUACIÓN DEL LA SEGUNDA LEYDE NEWTON PARA UN FLUIDO
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAENERGÍA EN LA TRANSFERENCIA DE
CALOR POR CONVECCIÓND
IAG
RA
MA
DE
CU
ERPO
LIB
RE
DIA
GR
AM
A D
EC
UER
PO L
IBR
E
Ex = · u · ( y · z) · Cp · TEy = · v · ( x · z) · Cp · T
BA
LAN
CE
DE
FUER
ZAS
Momentum en x :
yxxx
u uu v Fx y x y
τσρ
∂∂ ∂ ∂+ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ Momentum en y :
y xyv
v vu v Fx y y x
σ τρ
∂ ∂ ∂ ∂+ = + + ∂ ∂ ∂ ∂
BA
LAN
CE
DE
FUER
ZAS
Balance de Conducción :
yX QQ x yx y
∂ ∂− ∆ + ∆ ∂ ∂ Balance asociado con la energía del
fluido:
yx EE x yx y
∂ ∂ ∆ + ∆ ∂ ∂
REL
AC
ION
ES D
ETR
AN
SFO
RM
AC
ION
2
2
xy yx
x
y
u vy xupxvpy
τ τ µ
σ µ
σ µ
∂ ∂= = + ∂ ∂ ∂= − +∂∂= − +∂
REL
AC
ION
ES D
ETR
AN
SFO
RM
AC
ION
x
y
TQ k y zxTQ k x zy
∂= − ∆ ∆∂∂= − ∆ ∆∂
Ex = u ( y z) Cp TEy = v ( x z) Cp T
( )
( )
uT T uu Tx x x
vT T vv Ty y y
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂
T T u vu v Tx y x y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + ∂ ∂ ∂ ∂
ECU
AC
ION
DEF
EREN
CIA
L
Momentum en x :
2 2
2 2
xu u pu v Fx y x
u ux y
ρ
µ
∂ ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂
Momentum en y :
2 2
2 2
yv v pu v Fx y y
v vx y
ρ
µ
∂ ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ EC
UA
CIO
N D
EFER
ENC
IAL
2 2
2 2
2 2
2 2
log
x
T TCp u vx y
T Tkx y
Ana ía
u u pu v Fx y x
v vux y
ρ
φ
ρ
∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂
144424443
64444744448
Transferencia de calor por convección
156
7.4.4 Solución empírica
Tiene como objetivo encontrar los parámetros adimensionales que gobiernanla solución de las ecuaciones básicas.
Encontrar la relación funcional entre los parámetros
Significado físico: viscosasfuerzas
inerciadefuerzasflujoVDRe ==µ
ρ
Lo que se busca es un numero adimensional que contenga h: Nadim(h) = f(h)
Osborne Reynolds
(Belfast, 1842-Watchet, 1912) Ingeniero británico. Profesor en la Universidad deManchester, estudió las turbinas hidráulicas y la propulsión por hélices yperfeccionó los frenos hidráulicos. Se especializó en el estudio del movimiento delos fluidos, en particular de los fluidos viscosos, en los que destacó la importanciade un coeficiente adimensional, conocido como número de Reynolds, que relacionalas fuerzas de inercia y de viscosidad de un fluido.
7.5 SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS
La teoría de la semejanza es la ciencia que estudia la similitud de losfenómenos. En la geometría, de donde se tomó este término por primera veznos encontramos con el concepto de la semejanza. Como se conoce lasfiguras semejantes geométricamente, por ejemplo, los triángulos expuestosen la figura, son semejantes cuando poseen la propiedad de que sus ángulosrespectivos son iguales y los lados homólogos, proporcionales. El conceptode semejanza se puede extender a cualquier fenómeno físico. Se puedehablar, por ejemplo, acerca de la semejanza cinemática en el movimiento dedos flujos de un líquido, semejanza dinámica; semejanza de distribución detemperaturas y flujos caloríficos, la semejanza calorífica, etc.
En caso general el concepto de semejanza entre los fenómenos físicos sereduce a los postulados siguientes:
1. El concepto de semejanza en cuanto a los fenómenos físicos esaplicable solamente a fenómenos de un mismo género con igual calidad,y que se describen analíticamente con ecuaciones que tienen tantoiguales la forma, como el contenido. Si la descripción matemática de dosfenómenos cualesquiera tiene forma igual, pero su contenido físico esdiferente, dichos fenómenos se denominan analógicos. Tal analogía se
El número de Reynoldsgobierna la solución de laecuación del balance de
fuerzas (perfil de
Figura 7-5 Semejanzageométrica entre dostriángulos.
Transferencia de Calor
157
da, por ejemplo, entre los procesos de la conductibilidad térmica, electro-conductibilidad y difusión.
2. La premisa obligatoria para la semejanza entre los fenómenos físicosha de ser su semejanza geométrica. Para que exista esta última esnecesario que los fenómenos en mención siempre se desarrollan ensistemas geométricamente semejantes.
3. Al llevar a cabo el análisis de los fenómenos semejantes puedencompararse únicamente las magnitudes homogéneas sólo en los puntoshomólogos del espacio y en los momentos homólogos del tiempo.
Llámense homogéneas a las magnitudes que tienen un mismo sentido físicoe igual dimensión. Se denominan homólogos a los puntos de los sistemasgeométricamente semejantes cuyas coordenadas son proporcionales.
Figura 7-6 Puntos homólogos en una caída de agua
En resumen las condiciones para la semejanza son:
1. Fenómenos con el mismo contenido no analógicos2. Debe existir semejanza geométrica
3. debe establecerse siempre en puntos homólogos4. Existir proporcionalidad entre todas las magnitudes del caso A y el caso
B
Lista de constantes de semejanza
; ;
; ;
A A A PAL cp
B B B PB
A A A AU T
B B B B
X Y CC C CX Y CU TC C CU T
ρ
µ
ρρ
ϑ µϑ µ ∆
= = = =
∆= = = =∆
El valor numérico de estas constantes de semejanza no es arbitrario.
Transferencia de calor por convección
158
7.5.1 Semejanza hidrodinámica
Teniendo la ecuación de momento para el caso A:
F Ia = Fνa
2 2
2 2A A A A
a A A aA A A A
U UUx y x y
Finerciales Fviscosas
ϑ ϑρ ϑ µ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 14444244443 144424443
Remplazando en función de las constantes y parámetros del caso B:
2 2
2 2 2
2 2 2
V B V B V B V BB V B V B B
L B L B L B L B
V VB B B BB B B B
L B B L B B
C dU C dU C d U C d UC C U C CC dx C dy C dx C dy
C CU U U UC U CC x y C x y
ρ µ
ρ µ
ρ ϑ µ
ρ ϑ µ
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂
... ...ia va
Ib vb
F FF F
=
Como vemos lo que esta entre las dos “llaves” {} es la ecuación de para elcaso B, por lo tanto para que no se altere la ecuación se debe cumplir que:
2
2 por lo tanto 1L VV V
L L
C C CC CC CC C C
ρρ µ
µ
= =
La condición necesaria para la semejanza hidrodinámica es:
A o sea igualdad de Reynolds Re ReA A A B B BB
A B
x U x Uρ ρµ µ
= =
7.5.2 Semejanza térmica
En dos procesos que producen calor además de moverse de la misma formatenemos:
2 2
2 2A A A A
A PA A A AA A A A
T T T TC U kx y x y
ρ ϑ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
Introduciendo Ck = kA/kB y remplazando en función de B
Transferencia de Calor
159
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
V B T B V B T B T B T BB cp pB k B
L B L B L B L B
T B B T B BV cp B pB B B K B
L B B L B B
T TV cp k
L
C U C T C C T C T C TC C C C kC x C x C x C x
C T T C T TC C C C U C kC x y C x y
C CC C C CC C
ρ
ρ
ρ
ϑρ
ρ ϑ
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂
= 2
1 introduciendo constante de difusividades térmicas
1 si multiplicamos y dividimos por 1 Reynolds
L
k k
V cp L cp
V LA
V L B
C CCC C C C C C
C C CCC C C
αρ ρ
αυ
υ
υυ
= =
= = ⇒ =
La condición para que se cumpla la semejanza térmica es la igualdad en losnúmeros de Prant.
térmicaddifusividacinemáticaviscosidadPr#
1//1
===
=⇒=
B
B
A
A
BA
BA
CC
αυ
αυ
ααυυ
α
υ
Gobierna la solución = f ( Re, Pr )
Figura 7-7 Capa límite
Condición de frontera )(0
∞=
−=
∂∂− TTh
yTK S
y
Semejanza de las condiciones de frontera
1
#
h LTk h T
L k
A A B B
A B
C CCC C CC C
h x h xentonces de NusseltK K
∆∆= ⇒ =
= =
Nu = f ( Re, Pr ) es una relación adimensional y depende de cada caso.
El número de Prandtl gobiernala solución de la ecuación del
balance de energías.
Transferencia de calor por convección
160
Se pueden presentar los siguientes tres casos:
Ludwig Prandtl
Nació en Freising, Alemania el 4 de febrero de 1875. Estudió ingeniería mecánicaen Munich. Como pocos, fue dotado con una gran visión para comprenderfenómenos físicos y con una capacidad inusual de expresarlos en forma matemáticasimple. Prandtl era uno de los investigadores y tutores más capaces, convirtiéndoseen profesor de mecánica en la universidad de Hannover en 1901. Desde 1904 hasta1953 se desempeñó como profesor de mecánica aplicada en la universidad deGottingen, donde estableció una escuela de aerodinámica e hidrodinámica quealcanzó gran reconocimiento a escala mundial.
El descubrimiento de Prandtl, en 1904, en relación con la capa del límite, condujoa una comprensión de la fricción y de su reducción a través de la aerodinámica. Sutrabajo inicial sobre la teoría del ala, conocido como la Teoría del ala deLanchester-Prandtl, siguió un trabajo similar al de Frederick Lanchester pero fuerealizado independientemente, aclarando el proceso del flujo para una superficiede sustentación finita. Posteriormente, Prandtl hizo avances decisivos en cuanto alconcepto de la capa límite y teorías del ala y su trabajo se convirtió en la materiaprima de la aerodinámica. Mas adelante contribuyó con la regla de Prandtl-Glaubert para la circulación de aire subsónico, que describiera efectos en lacompresibilidad del aire a las altas velocidades; Asimismo hizo avancesimportantes en teorías para flujos supersónicos y turbulencia.
Prandtl dio a la teoría moderna del ala su forma matemática práctica. Esconsiderado el padre de la teoría aerodinámica, pues la mayoría de sus conceptosfundamentales se originaron en su mente fértil y sólo una parte no es atribuible asus estudios.
Ludwig Prandtl murió en Gottingen, Alemania el 15 de agosto de 1953.
Ernst Kraft Wilhelm Nusselt
Nació el 25 de noviembre, 1882, en Nürnberg, Alemania. Estudió ingenieríamecánica en el Technische Hochschulen de Berlin-Charlottenburg y Manchen, segraduó (como un Diplom-Ingenieur) en 1904. Condujo altos estudios en lasmatemáticas y los medicamentos y se convirtió en un asistente para O. Knoblauchen el Laboratory para el Técnico Physics en Munchen. Completó su tesis doctoralen la "conductividad de Materiales Aislantes en 1907, usando al "Nusselt Sphere"para sus experimentos. De 1907 a 1909 trabajó como un asistente para Mollier en
Figura 7-8 Capa límite hidrodinámica y capa límite
Transferencia de Calor
161
Dresden, y capacitado p un Professorship con su trabajo de adelante "se calienta yMomentum Trasládese en Tubes".
En 1915, Nusselt publicó su escrito pionero: Las Leyes Básicas deTransferencia de calor, en el cual derivó los números adimensionales ahoraconocido como los parámetros principales en la teoría de similitud de calor
Nusselt fue profesor en el University de Karlsruhe luego Technische Hochschule deKarlsruhe de 1920-1925 y en Munchen de 1925 hasta su jubilación en 1952. Fuerecompensado con el Gauss Medal y el Grashof Commemorative Medal. Nusseltmurió en Munchen en 1 de septiembre, 1957.
7.6 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓNENTRE UN FLUIDO Y UNA PLACA PLANA
7.6.1Condiciones de desarrollo hidrodinámico del flujo T∞
Figura 7-9 Capa límite en una placaplana
Cuando un fluido se mueve a lo largo de una superficie plana tiene lugar laformación de una zona cercana a la superficie en donde son notorios losefectos de una fricción viscosa manifestados en una variación de lavelocidad de fluido. Esta zona (normalmente muy delgada) se denomina laCapa Límite Hidrodinámica.
Ecuaciones gobernantes:
2 2
2 2
u u u uu v u vx y x y
ρ µ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
La fuerza de presión no actúa puesto
que la variación de esta fuera de la capa limite es nula.
Además el esfuerzo cortante viscoso debido al gradiente de velocidadxu
∂∂
es despreciable, así :
Transferencia de calor por convección
162
2 2
2 20 0u Tx x
∂ ∂= ∧ =∂ ∂
2 2
2 2: Pu u u T T Tquedando u v C u v Kx y y x y y
ρ µ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ∧ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
7.6.2 Solución analítica (casos: régimen laminar y flujoturbulento)
La determinación de los perfiles de velocidad y temperatura fuedesarrollada por Blasius y Pohlhausen respectivamente mediante latransformación de las ecuaciones de la conservación de la cantidad demovimiento y de la energía utilizando la variable de semejanza
Rexyx
η = → Parámetro de transformación
Solución matemática: si introducimos las variables g ( ) y
( ( , )) ( , ) ( )U Ug x y U U g x y gU U
η η∞∞ ∞
= = =
De una manera semejante a la que se produce una capa límite hidrodinámicapor la interacción friccional entre las diferentes capas de fluido debido a laviscosidad (µ) de este, si la Temperatura de superficie TS es diferente a T∞
se producirá una variación continua de la Tº del fluido en la zona cercana ala pared desde TS hasta T∞. La zona hipotética donde se produce estavariación se denomina Capa Límite Térmica dentro de ella el Balance deenergía de un elemento diferencial de fluido se estable mediante laecuación:
2 2
2 2pT T T TC u v k vx y x y
ρ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂
La forma final de la ecuación de momento
2
2
1 0 donde ( )2
g gf f g dη ηη η
∂ ∂+ = =∂ ∂ ∫
y de la ecuación de energía, considerando )(ηθ=−−
∞ S
S
TTTT
2
2
1 Pr 02
fθ θη η
∂ ∂+ =∂ ∂
Ana
loga
s
Transferencia de Calor
163
7.6.3 Solución hidrodinámica
Figura 7-10
Podemos hallar el espesor de la capa límite hidrodinámica:
xxx
yRe5x
yRe5 =⇒==η
Cuando Pr =1 las capas hidrodinámica y térmica coinciden.
Figura 7-11
Ejemplo 7-1
En un fluido de Pr = 15 que se mueve sobre una placa plana de L = 1m auna T = 50°C y U = 2m/seg. Calcular el espesor de capa limite δH y δT enx = 0.5m. El problema a hacerse es calcular Tδ para fluidos en diferentesnúmeros de Pr, si Rex<5x105
5x 5
2 0,5Re donde Re 0, 2 105 10x
U xyx v
η ∞−
⋅= = = = ⋅⋅
Como el Rex = 0.2x105 < 5x105 el flujo es laminar
δH = YH cuando U(x,y)=U
/g U U ∞=
(0) 0( ) 1(5) 1
ggg
=∞ =
≅
Rexyx
η =
Pr > 1 mejoran la transferencia de calor
Transferencia de calor por convección
164
H
5
T
5
1/ 3H
T1/3
Y1 entonces n 5 Rex
5 5 0.5 0.0176Re 0.2 10
( , ) Y1 obtenemos 2.02 Rex
2.02 0.5 0.007140.2 10
a partir de una regresión lineal (Pr) Pr
Pr
x
Hx
ST n x
S
T
H T
UU
x x mx
T x y TT T
xY mx
f
Y YY
δ
δ θ η
δδ
η
∞
∞
= = =
= = =
−= = = = =−
= =
= ≅
=
= 1/ 3Re Pr ReH Tx x
Yx x
=
Pr 1=θn Tδ Hδ TH
δδ Pr1/3
1 5 5Rex
x× 5Rex
x× 1 1
15 2,02 2,02Rex
x× 5Rex
x× 2,47 2.466
50 1,36 1,36Rex
x× 5Rex
x× 3,676 3.684
En resumen se puede observar que la relación δH/δT es más o menosequivalente Pr1/3.
1/3 1/ 3Pr PrH
H TT
δ δ δδ
= ⇒ = ⋅ . Si reemplazamos esta relación en la Figura
1 podremos obtener una abscisa generalizada 1/3Re Pr ReH Tx x
Y Yx x
= que
sirve no solo para análisis Hidrodinámico ( Pr = 1) sino también paraanálisis Térmico.
Figura 7-12 Solución Generalizada Capas Límites de Velocidad y Tº en una Placa Plana.
Este comportamiento es validomientras el régimen sea laminar.
Es decir Rex < 5 x 105
Transferencia de Calor
165
7.7 FACTOR DE FRICCION Y COEFICIENTE DETRANSFERENCIA DE CALOR PARA UNA PLACAPLANA FLUIDO EN REGIMEN LAMINAR
Figura 7-13
Por definición los factores de fricción de transferencia de calor son:
)
)
0
2 2
0
/1 142 2/
yf
y
S S
U yfHidrodinamica CU U
k T yqTérmica hT T T T
µτ
ρ ρ
=
∞ ∞
=
∞ ∞
∂ ∂= = =
− ∂ ∂= =
− −
Como se ve en la definición si se quiere determinar0y
Uy =
∂∂
el
0y
Ty =
∂∂
utilizando la solución generalizada de las capas límites de velocidad y
Tº en una placa plana se obtiene:
PERFIL DE VELOCIDAD PERFIL DE TEMPERATURA
Transferencia de calor por convección
166
0
2
( / ) 0.332Re
0.332 Re
Remplazando en ec. hidrodinámica:
0.332 ( / ) Re142
0.664 Re
U Re
x
xy
xf
xf
x
U Uyx
Uuy x
U xfCU
C U x
U xdonde
µ
ρ
ρµ
ρµ
∞
∞
=
∞
∞
∞
∞
∂ = ∂
∂ =∂
= =
=
=
0.664Ref
xC =
1/3
1/3
0
1/ 3
1/ 3
0.332Pr Re
0.332 Pr Re
Remplazando en ec. témica:
0.332 ( ) Pr Re( )
0.332 Pr Re
Usando Nusselt:
S
S
x
Sx
y
S x
S
x x
T TT T
yx
T TTy x
K T Th
x T Tkhx
∞
∞
=
∞
∞
−∂ − = ∂
−∂ =∂
− −=
−
=
1/ 30.332Pr Rex xhxNuK
= =
VALORES PROMEDIOS DE ( ) fh Nu y C
1/ 21/3
1/3
1/3
( ) ( )( ) ( )
2 2 ( ) 0.332Pr1/ 2
0.664 ( ) Pr Re
0.664 ( ) Pr Re ( )
S x S S x
S
S x L
S L S
Q hA T T Q dQ h bdx T T b T T h dx
U xdx xQ cte cte cte x Q b T T kx
Q b T T k En x L ; Re Re sucede:
Q b T T k hLb T T
υ
∞ ∞ ∞
∞∞
∞
∞ ∞
= − ⇒ = = − = −
= = = ⇒ = − ⋅
= − ⇒ = =
= − = −
∫ ∫ ∫
∫
Despejando:
No es bueno permitir que lascapas limites se crezcan puestoque el hx se disminuye.
Transferencia de Calor
167
1/3)
1/3
1.3280.664Pr Re 0.664 / Re 2Re
0.664 Pr Re
L f x f f x L fx
L
hL Nu si C y C C CK
Ky hL
== = ⇒ = = ⇒ =
=
Analogía entre la transferencia de calor y la fricción
1/ 31/3
2/31/ 3
2/3
Si relacionamos y obtenemos:
1.328 / Re 2Re Pr0.664Pr Re
Pr donde2 Re Pr Re Pr Re Pr
Pr analogia de Colburn2
f
f x L
Lx L
f
L L L
f
C Nu
CNu
C Nu Nu Nu St
CSt
=
=
= =
= = =
=
El número de Stanton (St) nos sirve para calcular el coeficiente detransferencia de calor por convección h:
/Re PrL
Nu hL k hk hSt U L KU Cp CpUυ ρ ρυ α∞ ∞ ∞
= = = =⋅
Recordemos que si el flujo es laminar f = 64/Re, pero si es turbulentousamos el diagrama de Moody para hallar el valor de f
Transferencia de calor por convección
168
Caso Laminar Solución Analítica Coeficiente defricción Cf
Coeficiente detransferencia de calor
hAnalogías
Hid
rodi
nám
ica
2
2
1
1 02
0.232
g gf
U gU
g
η
ηη
η
∞
=
∂ ∂+ =∂∂
=
∂ =∂ Loca
l 0.664Refx
x
C = 1 /30.332 Pr Rex xkhx
=
2 / 3
2 / 3
Pr2 Re Pr 8
Pr8
fx x
x
x
xx
C Nu f
f St J
hSt
CpUρ ∞
= =
= =
=
Térm
ica
2
2
1 Pr 02
( ) S
S
f
T TT T
θ θηη
θ η∞
∂ ∂+ =∂∂
−=
−
Prom
edio
1.328Ref
L
C =1/ 30.664 Pr ReL
khL
L long placa
=
=
2 / 3Pr2
8
fCSt J
fJ
hStCpUρ ∞
= =
=
=
Casos δH δT
Régimen Laminar
5x
URe 5 10
Rex
X x
yx
υ
η
∞= ≤
=
Com
bina
da Pr = 50
Pr = 15
Pr= 1
1
5Rex
x
1
5Rex
x
1
5Rex
x
1
1.36Rex
x
1
2.02Rex
x
1
5Rex
x
Caso Turbulento Coeficiente de fricción Cf Coeficiente de Transferencia de Calor h Analogías
Loca
l
2.0Re0576.0
x
TfxC = 8.03/1 RePr0288.0 x
TxNu =
2 / 3
2 / 3
Pr2 RePr
Pr
Tfx x
C Nu
hCpUρ ∞
=
=
Prom
edio
3/18.0,Pr)850Re036.0( −= L
LTNu
2 / 3Pr2 8
fC fSt J
hStCpUρ ∞
= = =
=
Transferencia de Calor
169
Ejemplo 7-2
Determinar la longitud de una placa cuyo Ts = 180°C, se mueve un fluidocon una velocidad no perturbada de 2 m/seg y una temperatura noperturbada de 30°c, calor transferido de 7888W/m de anchura, y una F =210.9N, =780Kg/m3, K=0.14W/m°C
Y un # Pr desconocido que presenta espesor capa limite cuando = 2.5
( )2
2
L
1/3
1F ( 1) 210.9 12
( ) ( 1)( ) (2)1.328si sabemos que que Re las ecuaciones quedan:
Re1.328 1(1) 210.9
2ReK(2) 7888 0.664 Re Pr ( )L
5 yRe
f
S S
fL
L S
HL
L C U L Nw
Q hA T T h t T TU LC
U L
L T T
L
τ ρ
υ
ρ
δ
∞
∞ ∞
∞
∞
∞
= ⋅ = =
= − = ⋅ −
= =
= ⋅
= −
= 1/32.5 entonces Pr 2Re
despejando de (2): L 1.8 metros
HT
TL
L δδδ
= = =
=
7.7.1 Flujo turbulento
Que sucede cuando la capa limite se vuelve turbulenta.
Transferencia de calor por convección
170
7.7.2 Capa límite de una superficie plana larga, con un borde deataque afilado
Xc: Longitud crítica en que el # Re vale 5x105 ó más
Para régimen turbulento no se cumple que :fxC 0.332
2 Rex
≠
Según análisis experimentales:
1/5
2 /31/ 5
0.8 1/ 3
0.0576Re
0.0288 Pr2 Re Re Pr
0.0288Re Pr
Tf x
fx
Tx
C
C Nu
Nu
=
= =⋅
=
Para h promedia en una placa cuya L > Xc, existen 2 funciones para hallarla:
Q = Qlaminar + Qturbulento
0
0
1/3 0.8 1/ 3
0
1/ 3 0.8
( 1)( ) ( 1)( ) ( )
0.332 Re Pr 0.0288 Re Pr
Pr 0.036 Re 850
Xc LL Tx S x S S
Xc
Xc L
x xXc
Xc L
x xXc
L
Q h dx T T h dx T T hA T T
hL h dx h dx
k khL dx dxx x
hL k
τ τ
∞ ∞ ∞= ⋅ − + ⋅ − = −
= +
= +
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1, 0.8 30,036Re 850 PrT L
Nu = −
Como las propiedades físicas de los fluidos, cambian con la temperatura(Nu, Re, Pr) se deben evaluar los parámetros a la temperatura fílmica Tf quees un promedio entre las temperaturas superficial y ambiental.
2∞+= TTT S
f
La analogía de Colburn sirve para cualquier tipo de flujo: 3/2Pr2
StC f =
Figura 7-14
Transferencia de Calor
171
Ejemplo 7-3
De cual de las resistencias que se muestran en la figura se debe suministrarmás calor en la placa para que Ts sea constante.
Figura 7-15
Cada placa es de 1x1 [m2] y cada elemento de 4 cm
6 2
0.03447 /250 28 139 Pr 03687
226.61 10 /
f
f f
f
k W m CT
x m segυ −
= °+ = = ° =
=
Primer paso: determinamos xc para ver si en un metro alcanza a sucederseflujo turbulento.
mxxxxxUc
f
c 2661.050
1061.2610510565
5 =⋅=⇒=−
∞
υ
Segundo paso: analizamos las celdas críticas: 1, 7 y 8
Celda 1:
WQh
xx
LKh
L
L
15.1239)28250(1)04.0(42.13842.138
laminarflujo1075.01061.2604.050Re
PrRe664.0
1
1
561
3/11
11
=−==
=⋅=
=
−
Transferencia de calor por convección
172
Celda 7:( )
WQTTxh
LyLquesabiendoKKLh
dhdhdhh
S
LL
L L
xxxx
L
Lxx
425))(104.0(
24.028.0PrRe664.0Pr850Re036.0
77
67
3/15.06
3/18.07
7
0
6
0
7
6
==−
==−−=
−==
∞
∫ ∫∫
0.28
1/31 7 1 67 1 7 1 6
0.5
1/3
50 0.28(0.28 1)(222) (0.24 1)(222) Pr 0.036 850 (0, 28 1)(222)0.28
50 0.240.664 Pr (0.24 1)(222) 4250.24
f
f
KQ Q Q h h
K W
υ
υ
− −− −
⋅ = − = ⋅ − ⋅ = − ⋅
⋅− ⋅ =
Celda 8:
[ ] [ ]WQ
TTLLKTTL
LKQ
TTLhTTLhQQQ
SLSL
SSTT
1035
)(Pr850Re036.0)(Pr850Re036.0
))(1())(1(
8
77
3/18.078
8
3/18.088
7788788
=
−−−−−=
−⋅−−⋅=−=
∞∞
∞∞
8 1 8 1 7
0.8 0.8
1/ 3 1/ 350 0.32 50 0.28Pr 0.036 850 (0.32 1)(222) Pr 0.036 850 (0.28 1)(222)0.32 0.28
1035
f f
Q Q Q
k k
W
υ υ
− −= −
⋅ ⋅ = − ⋅ − − ⋅ =
Como vemos de la celda 1 hay que suministrar más energía a la placa paramantener Ts cte.
7.7.3 Determinación de h para flujo interno en régimen laminar
Condiciones:
1. Flujo intratubular.2. Régimen laminar.
3. Zona de flujo totalmente desarrollado térmica e hidrodinámicamente.
A diferencia del flujo externo, las capas limite de velocidad y de temperaturadentro de un tubo no pueden crecer indefinidamente, máximo lo puedenhacer hasta que su espesor alcanza un valor igual al radio del tubo, a partirde ese punto se dice que el flujo se ha desarrollado completamente.
La zona de entrada de la Capa limite hidrodinamica se considera mientrasque los cambios de velocidad inducidos por la interacción viscosa tubo-
Transferencia de Calor
173
fluido alcanzan el centro del tubo y la zona de entrada de la capa limiteTérmica cuando los cambios de temperatura del fluido que entra al tubo porrazón de la diferente temperatura de la superficie del tubo alcanzan el centrodel tubo. Las longitudes requeridas para una y otra dependen de la velocidadde difusión del esfuerzo cortante y del calor dentro del flujo, caracterizadasen el caso del esfuerzo por la razón de la viscosidad absoluta del fluido delfluido a la densidad o sea la denominada viscosidad cinemática (m2/sg) yen el caso de la penetración del calor por la difusividad térmica (m2/sg)
Figura 7-16 Flujo intratubular
si = las 2 zonas de entrada serán iguales.
No necesariamente la longitud hidrodinámica es igual a la longitud térmica:
LH = LT si Pr = 1 ; LH < LT si Pr > 1 ; LH > LT siPr < 1
7.7.4 Desarrollo analítico
Flujo laminar completamente desarrollado: yr = 0 ; du/dx = 0
La ecuación de momento:
2
2
1
1
1 1 , ( ) ( )
U U U U PU v rx r r r r x x
P ur C porque f x f rx r r
ρ µ
µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂
Transferencia de calor por convección
174
21
1 2
2
2 21 1 1
2 21
2
si integramos2
0 0 0
int egramos2 4 4
( ) 14
C ru ur C r r Cr r r
ucomo para r Cr
C r C r C Ru u(r)r
C R ru r parabolaR
∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⇒ =∂
∂ = = −∂
= −
Velocidad media:2
max 1
0
( )2 ;2 8
R
m mu C RA u U r rdr uπ⋅ = = =∫
Factor de fricción: 20
64;4 (1/ 2) Rerm
f dU fV dt
τ τ µρ =
= = =
Con base en el análisis del perfil de velocidades para flujo totalmentedesarrollado hidrodinámicamente podemos analizar lo térmico
Hidrodinámica: 0)/( =∂∂
mUUx
Figura 7-18 Perfil de velocidades en un flujo intratubular
Térmicamente: )mS
Rr
mS TTrTK
TTqh
−∂∂⋅−=
−= =/
Figura 7-19 Perfil de temperaturas en un flujo intratubular
Figura 7-17
Transferencia de Calor
175
Tabla 7-1
Tabla 7-2
TOPICO HIDRODINAMICA TERMICA
EcuaciónDiferencial
2
2
1u u p u uu v rx r x r r rx
ρ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
2
2
1p
T T T TC u v k rx r r r rx
ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + = + ∂ ∂ ∂ ∂∂
Ecuaciónde flujolaminar
totalmentedesarrollado
11 1p ur C
x r r rµ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ p
T k TC u rx r r r
ρ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂
Derivadasde Campo
12
u p rr xµ
∂ ∂=∂ ∂
2max
22 4UT T r r
r x Rα ∂ ∂= − ∂ ∂
Ecuacionesde Campo
2 22
( ) max1 1 1
4rp R r ru Ux R Rµ
∂ = − − = − ∂ 2 4
max( ) 24 16r c
U T r rT Tx Rα
∂= + − ∂
ValoresPromedios
218m
p RUxµ
∂= −∂
2max796m c
U TT T Rxα
∂= +∂
Coeficientes 22 2
2 16214 Re12 8
r R
m m
u p Rf r x
p RU Ux
µ
ρ ρµ
=
∂ ∂∂ ∂= = =∂∂
max
2 2max max
43 7
16 96
r R
S mc c
T U T Rk kr xhU UT TT T T R T R
x x
α
α α
=
∂ ∂− ∂ ∂= =∂ ∂− + − +∂ ∂
ParámetrosAdimensio
64Re
f = 4.364hl Nuk
= =
Caso Flujo de calor constanteen la pared
Temperatura desuperficie constante
Flujo totalmentedesarrollado 4.36DNu = 3.66DNu =
0.023( / ) Re Pr4.361 0.0012( / ) Re Pr
DD xNu
D x= +
+ [ ]2 / 3
0.0668( / ) Re Pr3.661 0.04 ( / ) Re Pr
DD xNu
D x= +
+
Fluj
o La
min
aron
. zon
a de
ent
rada
0.036( / ) Re Pr4.361 0.011( / ) Re Pr
DD xNu
D x= +
+0.104( / )Re Pr3.66
1 0.016( / ) Re PrD
D xNuD x
= ++
Transferencia de calor por convección
176
Efecto del concepto de perfil de temperatura totalmente desarrollado sobre h:
1. Primer Caso: Ts cte
) cteTT
rTkTT
qhSm
Rr
Sm
=−
∂∂⋅−=−
= =
)(disminuye)(disminuye/
Figura 7-20 Temperatura superficial constante
Disminuye a la misma rata por lo que el coeficiente convectivo no varía
2. Segundo Caso: Q(pared) = cte
La curva se mantiene pues cterT
Rr
=
∂∂
=
m S
q cteh cteT T cte
= = =−
( ) 0m ST Tx
∂ − =∂
Cualquiera que sea la condición de frontera siempre se da un coeficienteconvectivo de calor cte.
7.7.5 Ecuación de la energía2 2
2 2
1 0 0p r rT T T T TC u v k r vx r x r r r x
ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + = + = ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 ( ) ; 0 0p ST T TC u k r T T en r R rx r r r r
ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ ⋅ ⋅ = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂
Figura 7-21
Transferencia de Calor
177
Basados en la expresión 0),(
=
−
−∂∂
Sm
S
TTTxrT
x , buscamos la ecuación
diferencial térmica
Derivando tenemos:
∂∂−
∂∂
−−−=
xT
xT
TTTT
dxdT
dxdT mS
mS
SS
Cuando Ts es cte tenemos
∂∂
−−=
∂∂⇒=
∂∂
xT
TTTT
xT
xT m
mS
SS 0
Cuando q es cte tenemosx
Tx
TxTcte
xT mS
∂∂=
∂∂=
∂∂⇒=
∂∂
Para q = cte
∂∂
∂∂=
∂∂
=∂∂⇒
rTr
rrxTu
xTu m 1
αα
Flujo totalmente desarrollado laminar q cte ==> Nu = 4.364
Ts cte ==> Nu = 3.66
Analizando el cambio del fluido a totalmente desarrollado a Ts cte
Figura 7-22
Porque h = cte en el flujototalmente desarrollado
cteTT
ctex
Tx
TxT
TTTT
xde
cteqsiTT
qh
mS
mS
Sm
S
mS
=−⇒
=∂
∂=∂∂=
∂∂
=
−−
∂∂
=−
=
0
Transferencia de calor por convección
178
7.7.6Determinación de la temperatura de salida promedio de unfluido que se mueve dentro de un tubo
PRIMER CASO q cte
Figura 7-23
Balance de energía:
2 2
0 1 0 1
1
2 1
( )
( )
( )
mp m p m
msx p
L Tm x Tm
p m p mTm Tm
p mx m
p m m
TmC T q D x mC T xx
dTh T T D q D x mC xdx
q Ddx mC dT ó q Ddx mC dT
q Dx mC T T
q DL mC T T
π
π π
π π
π
π
∂ + ∆ = + ∆ ∂
− = ∆ = ∆
= =
= −
= −
∫ ∫ ∫ ∫
Calor ganado a través de la pared = calor ganado por el movimiento
SEGUNDO CASO Ts cte (por efecto de vaporización o condensaciónexterna)
Figura 7-24
Transferencia de Calor
179
22
11 0
2 2
1 1
( )
( )
ln( )
ln 1p
mxp mx S mx p mx
mxS mx p
Tm LTmmx
S mx Tms mx p pTm
h DLmCS m S m
S m p S m
dTmC T h T T D x mC T xdx
dTh D x T T mC xdx
dT h Ddx h DLT TT T mC mC
T T T Th DL eT T mC T T
π
π
π
π π
π−
+ − ∆ = + ∆
∆ − = ∆
− − −= ⇒ − =−
− −−= ⇒ = <− −
∫ ∫
Otra forma de presentar la ecuación, multiplico por un factor:
2 2 1
1 2 1
2 12 1
2
1
2 12 1
2
1
2 12 1
2
1
ln
( )ln
( )( )( )ln
( )( )( )
ln
S m m m
S m p m m
m mp m m S S
S m
S m
S m S mp m m
S m
S m
S m S mp m m
S m
S m
entrada
T T T Th DLT T mC T T
T TmC T T h DL T TT TT T
T T T TmC T T h DL T TT T
T T T TmC T T hA T TT T
TSi definimos LMTD
π
π
π
− −−= ⋅− −
−− = + −−−
− −− = −−
− −− = −
−∆ −=
2 1
ln
( )
salida
entrada
salida
p m m
TTT
mC T T hA LMTD
∆∆∆
− = ⋅
Donde LMTD es la diferencia de temperaturas media logarítmica
Características típicas de LMTD:
El valor típico de LMTD siempre estará entre el valor de la entrada y lasalida
Tsalida < LMTD < Tentrada
Cuando Tsalida = Tentrada el LMTD resulta en una indeterminación 0/0 quepor L’hopital LMTD = Tsalida = Tentrada
Casos prácticos
Determinación del área de Transferencia de Calor requerida para calentar (ó
Figura 7-25
Transferencia de calor por convección
180
enfriar) un fluido desde T1 hasta T2
Tabla 7-3
Flujo de calor constante Ts constante
Dk
h
TThqTTcmDLq
LcmDqTT
dxcmDqdT
CcmDq
dxdT
dxdTcmDq
TTcmxDq
fLx
SLx
p
p
L
p
T
T
p
p
xxxp
36.4
)()(
)(
22
12
12
0
2
1
=
−=
−=
=−
=
==
=
−=∆
=
=
∆+
∫∫
&
&
&
&
&
&
π
π
π
π
π
π
{
LMTDDLhTTcm
eTTTT
LcmDh
TTTT
dxcmDh
TTdT
dxdTcmDTTh
dxdTcmDq
TTdxdTcmxDq
p
LcmDh
S
S
pS
S
L
p
TT
TTxs
pxShtomamas
x
px
xxxpx
p
S
S
⋅=−⇒
=
−−
−=
−−
−=−
−
=−
=
−=∆
−
−
−
∆+
∫∫
π
π
π
π
π
π
π
)(
ln
)(
)(
12
1
2
1
2
0
2
1
&
&
&
&
&
&
&
Transferencia de Calor
181
7.8 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOREN TUBOS CIRCULARES REGIMEN TURBULENTO
En el régimen laminar la transferencia de calor por convección se debeexclusivamente a la interacción molecular de una capa de fluido con otra yno de la posibilidad de mezcla cruzada de partículas macroscópicas defluido, esta aseveración esta sustentada en el hecho ya demostrado que elcoeficiente de transferencia de calor para el régimen laminar totalmentedesarrollado es independiente del número de Reynolds, asi para unacondición frontera de temperatura de superficie constante el numero deNusselt totalmente desarrollado vale 3.66 y por lo tanto el coeficiente detransferencia de calor h vale:
3, 66k kh NuD D
= =
h tendrá el mismo valor mientras el numero de Re se menor que 2100, locual hace inocuo que para flujos con valores de Reynold menores a estevalor, se aumente la velocidad del fluido para lograr una mejor transferenciade calor.
En el régimen turbulento la mezcla cruzada de partículas macroscópicas defluido genera la posibilidad de incrementar la capacidad de transferencia decalor de o desde el fluido al aumentar la velocidad media del flujo, pero enprincipio ya sea que el calor o el efecto viscoso se transfiera a nivelmolecular o a nivel macroscópico se puede establecer una similitud oanalogía entre ambos procesos.
Para un conducto anular se trabaja conel diámetro hidráulico
DH = D - d
Transferencia de calor por convección
182
dudy
νρℑ = −
,´dF d m du v dAdu
dA dA dAρℑ = = =
´ ( ´ )du duv l v ldy dyρ
ℑ = = −
mdudy
ερℑ = −
La viscosidad cinemática como propiedad molecular de un fluido y quedetermina la fricción en el régimen laminar equivale a una propiedad ficticia
m, que expresa una cierta difusividad turbulenta del momento que generalos esfuerzos cortantes a nivel macroscópico en el régimen turbulento. Estadifusividad turbulenta del momento se define como el producto de lacomponente transversal de velocidad de las partículas de fluido v, por lalongitud de mezclado lh, que recorre dicha partícula antes de ceder sumomento relativo a las capas de fluido adyacentes.
El proceso de transferencia de calor en el régimen turbulento es muy similaral proceso anterior, en donde una partícula de flujo con una temperaturasuperior en dT° a la de las capas adyacentes también tiene que recorrer unadistancia lt o longitud de mezclado térmico antes de ceder esta energíarelativa, determinándose un proceso de transferencia de calor q.
Flujo Laminar Flujo Turbulento
v’
uu
Transferencia de Calor
183
q dTCp dy
αρ
= −
,´dQ d m CpdT v dACpdTq
dA dA dAρ= = =
´ ( ´ )t tq dT duv l v lCp dy dyρ
= = −
tq duCp dy
ερ
= −
v’
T+dTqT+dT
q
Transferencia de calor por convección
184
RESUMEN DE CORRELACIONES DE CONVECCION PARA FLUJOEN UN TUBO CIRCULAR.
Donde 2)( outminmm TTT +≡
Transferencia de Calor
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
Banco de Tubos
Capítulo
8
187
TABLA DE CONTENIDO
8. BANCO DE TUBOS...................................................................................................... 185
8.1 FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO ..................................................................185
8.2 CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR DEFLUJO TRANSVERSAL A UN TUBO ............................................................................................................186
8.2.1 Según los investigadores Churchill y Bernstein .................................................................................1868.2.2 Según los investigadores Nakai y .Okzaki ........................................................................................1878.2.3 Según el investigador Zhukauskas......................................................................................................1878.2.4 Según los investigadores Hilpert, Knudsen y Katz..............................................................................1888.2.5 Según Fand........................................................................................................................................1888.2.6 Según Eckert y Drake. .......................................................................................................................188
8.3 BANCOS DE TUBOS ..........................................................................................................................1898.3.1 Clasificación de bancos de tubos ........................................................................................................1908.3.2 Arreglos estandarizados .....................................................................................................................192
8.4 NÚMERO DE REYNOLDS................................................................................................................1928.4.1 Área de flujo mínima .........................................................................................................................1928.4.2 Velocidad máxima de flujo ................................................................................................................194
8.5 DETERMINACIÓN DEL EFECTO DE CAMBIO DE TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADESDEL FLUIDO ....................................................................................................................................................194
8.6 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE . TRANSFERENCIA DE CALOR INTERNO ..................1958.6.1 Casos: ...............................................................................................................................................196
8.7 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN BANCO DE TUBOS..............................1978.7.1 Método Mills:....................................................................................................................................1988.7.2 Método Incropera: .............................................................................................................................199Arreglo ...........................................................................................................................................................2008.7.3 Método Holman:................................................................................................................................200
Transferencia de Calor
8. BANCO DE TUBOS
8.1 FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO
Debido a la naturaleza compleja del flujo a través de cilindros, de losprocesos de separación de flujo, no es posible calcular analíticamente loscoeficientes de transferencia de calor en el flujo transversal, es por esto quelos investigadores se ven obligados a utilizar fórmulas empíricas producto demuchas investigaciones y experimentos.
Tabla 8-1 Principales regímenes de flujo para el flujo alrededor de un cilindro.
NÚMERO DEREYNOLDS PATRÓN DE FLUJO
ReD < 5 Flujo laminar no separado
5-15 < ReD < 40 Par de vórtices fijos en la estela
40 < ReD < 150 Trayectoria de vórtices laminar
150 < ReD < 3×105
La capa límite es laminar hasta elpunto de separación; la trayectoriade vórtices es turbulenta y elcampo de flujo de estelas es cadavez más tridimensional.
3×105< ReD < 3,5×106
La capa límite laminar setransforma en una capa límiteturbulenta antes de la separación;la estela se vuelve cada vez másangosta y desorganizada
3,5×106 < ReD
Se reestablece una trayectoria devórtices turbulenta, pero en estecaso es más angosta que en el casoanterior, 150< ReD<3*105
186
Para un flujo transversal en un cilindro se ha determinado que el coeficientede transferencia de calor depende en gran medida del número de Reynolds,el cual se halla en base a la velocidad de flujo libre y con longitudcaracterística el diámetro del tubo, esta dependencia se puede observar en elgrafico de la Figura 1.
Para determinar el número de Nusselt promedio (Nud) en un flujotransversal alrededor de un cilindro, se tiene las siguientes correlacionesencontradas en los libros de Holman, Mills e Incropera.
8.2 CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTEDE TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUJOTRANSVERSAL A UN TUBO
Debido a la gran cantidad de variables en la transferencia de calor porconvección, muchos investigadores han dedicado gran parte de susinvestigaciones a encontrar correlaciones matemáticas que se aproximen alos datos experimentales, con el fin de que los ingenieros tenganherramientas para calcular el calor transferido por medio de fluidos, aquí seenumeran algunas de estas correlaciones según sus autores:
8.2.1 Según los investigadores Churchill y Bernstein
Las siguientes correlaciones son usadas muy frecuentemente, debido a queencierran la mayoría de los rangos del numero de Reynolds en las formulaslo cual las hace muy manejables cuando se utiliza un software matemático.
Se tienen las siguientes ecuaciones:
Para: Pr > 0,5
Re < 104
( )10.5 3
0,252 / 3
0,62 Pr0,30,41 Pr
EDUD
RN ⋅= + +
2×104 < Re < 4×105 ( )1 0,50.3 3
0,252 /3
0,62 Pr0,3 12820000,41 Pr
ED EDUD
R RN ⋅ = + + +
4×105 < Re < 5×106
( )4 /51 5 /80.3 3
0,252 / 3
0,62 Pr0,3 12820000,41 Pr
ED EDUD
R RN ⋅ = + + +
187
En donde:
8.2.2 Según los investigadores Nakai y .Okzaki
Para bajos Re se tiene
( )( )0.31 Re Pr < 0,2
0.8237 Re PrNu
Ln= →
− ⋅
Para utilizar las dos fórmulas anteriores en un flujo transversal en un cilindrose deben evaluar las propiedades del fluido a la temperatura fílmica que es lamedia aritmética de la temperatura de la superficie y de la temperatura decorriente libre:
Tf = 0,5 (Ts + T∞) De donde:
8.2.3 Según el investigador Zhukauskas
Se tienen las siguientes correlaciones para el número de Nusselt
1/4 0,7 Pr 500Pr Re Pr1 Re 106Pr
m nNud Cs
< < = ⋅ → < <
Pr > 10 ⇒ n = 0.37
Pr 10 ⇒ n = 0.36
Todas las propiedades se deben evaluar a la temperatura del fluido T∞ soloel número de Prandtl será evaluada a la temperatura de superficie, Ts. deltubo.
La constante C y m se encuentran en la tabla 8-2.
Re C m
1- 40 0,75 0,4
40 - 1000 0,51 0,5
1000 – 2×105 0,26 0,6
2×105 - 106 0,076 0,7
Nud = Número Nusselt promedio
Re = Número de Reynolds
Tf = Temperatura fílmica
T∞= Temperatura de corriente libre
Ts = Temperatura de la superficie del tubo
Tabl8-8-2 Constantes de laecuación 3 para el cilindrocircular en flujo cruzado.
188
8.2.4 Según los investigadores Hilpert, Knudsen y Katz
La siguiente relación fue determinada por los investigadores nombrados
m 1/3Nud C Re Pr= ⋅
Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica.
Tf = 0,5 (Ts + T∞).
Según la tabla 8-4 se pueden determinar los coeficientes C y m de la formulaanterior
Tabla 8-3 Constantes de la ecuación 4 para el cilindro circular en flujo cruzado
8.2.5 Según Fand.
( ) }0,52 0,30,35 0,56 Re Pr Para: 0,1 < Re < 105UDN = + →
8.2.6 Según Eckert y Drake.
( )0,25
0,5 0,3
0,250,6 0,38
Pr0,443 0,5Re Pr 1 < Re <103Pr
Pr0,25Re Pr 103 < Re < 2 105Pr
UD
UD
Ns
Ns
= + → = → ×
Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica, solo Prs se evalúaa la temperatura de superficie. Para los gases se puede omitir la razón del Pr.
De todas estas ecuaciones, la menos engorrosa es la de Hilpert y por lo tantoes buena para obtener datos para inspección, pero la ecuación desarrolladapor Churchill y Bernstein es una de las mas completas ya que encierra todos
Re C m
0,4 - 4 0,989 0,330
4 - 40 0,911 0,385
40 - 4000 0,683 0,466
4000 - 40000 0,193 0,618
40000 - 400000 0,027 0,805
189
los rangos del número de Reynolds en una sola ecuación con algunasmodificaciones, además esta ecuación se puede introducir dentro de unacomputadora para obtener los resultados, mientras que las otras necesitan deuna base de datos.
8.3 BANCOS DE TUBOS
Un banco de tubos es un arreglo de tubos que tiene como fin transferir calorentre dos fluidos, cuya característica principal es la de presentar tanto flujointerno como un flujo externo.
Normalmente, en los bancos de tubos, un fluido se mueve sobre los tubos,mientras que un segundo fluido a temperatura diferente corre por el interiorde los tubos, permitiendo la transferencia de calor por convección, tantointerna como externa en los tubos.
Una de las principales razones por la cual son muy empleados los bancos detubos es debido a su gran área para la transferencia de calor en espaciosreducidos, esto se puede explicar con el siguiente ejemplo:
Tenemos dos tubos concéntricos por los cuales fluyen dos fluidos, un fluidocaliente entre el tubo de mayor diámetro (D) y el de menor diámetro (d); yuno fluido frío que circula por el interior del tubo de menor diámetro comose observa en la figura 8-1.
Figura 8-1 Intercambiador de calor con un solo tubo en el interior
De la anterior figura observamos que el área de transferencia de calor es portanto:
A dLπ=
Siendo L la longitud de los tubos en la cual hay intercambio de calor.
Ahora si por el mismo tubo de diámetro D hacemos pasar varios tubos maspequeños tenemos la siguiente disposición:
190
Ahora para una misma cantidad de caudales de los fluidos frío y calientetenemos la siguiente área para la transferencia de calor:
nLdA ⋅⋅⋅= π
Donde n es el número de tubos que hay en la figura 8-3.
Por lo tanto de aquí se deduce que los bancos de tubos mejoran latransferencia de calor debido a su disposición.
Otra ventaja que presenta esta disposición, es que se puede transportarfluidos a una mayor presión, debido a que los espesores en tuberías condiámetros pequeños en recipientes a presión son mas chicos a medida quedisminuye el diámetro de sus dimensiones, esta deducción se obtiene deresistencia de materiales y se expresa en la siguiente formula:
σRPt ⋅=
Donde:
t es el espesor de la tubería.
P es la presión que hay en la tubería.
σ es el esfuerzo admisible de la tubería.
R es el radio medio de la tubería.
8.3.1 Clasificación de bancos de tubos
a) Según la relación de movimiento del flujo respecto del banco detubos
Se deben considerar las siguientes definiciones para tener una idea clara delo que se va ha tratar:
a) Bancos de tubos ideales: Son aquellos bancos a los que se las hacenalgunas idealizaciones con el fin de observar el comportamiento global de latransferencia de calor en los bancos de tubos. Estas idealizaciones son:
• Flujo totalmente transversal a los tubos
• La transferencia de calor es homogénea
• Se desprecia la transferencia de calor por radiación
Figura 8-2Intercambiadorde calor con varios tubosen su interior, que hacenque aumente el área parala transferencia de calor.
191
• Se desprecian las corrientes de bypass
b) Bancos de tubos reales: son los bancos de tubos que se encuentran en larealidad.
La dirección del flujo influye mucho en la transferencia de calor ya que secambia el área de transferencia de calor o la cantidad de flujo que entra encontacto con los tubos.
En la figura 8-4a se presenta un arreglo de tubos cuyo flujo externo esperpendicular al flujo interno de los tubos que difiere de la figura 8-4bporque su flujo se podría dividir en dos clases de movimiento (tiene 2componentes de velocidad), uno perpendicular al flujo interno y otroparalelo, dependiendo si este ultimo va en contracorriente o en el mismosentido que el flujo interno, el intercambiador será mas efectivo o no. Esteanálisis se llevara a cabo mas adelante.
b) Según la efectividad de la transferencia de calor
La efectividad con la que puede ocurrir la transferencia de calor depende deque tan uniforme reciba calor el fluido, ya que puede haber un espaciamientomayor entre la cubierta y las hileras de tubos extremas , que entre las hilerasde tubos, por donde el fluido puede no tener un buen contacto con los tubosy entonces no tiene una transferencia de calor igual que el resto del flujo,este tipo de bancos se denominan bancos de tubos con baypass (Figura 8-5a); mientras que si los tubos tienen un igual espaciamiento entre ellos y conla cubierta, la transferencia de calor será uniforme en todo el fluido, ya quetendrá igual contacto con los tubos a través de todo el banco y latransferencia de calor se hace con mejor efectividad. (Figura 8-5b)
c) Según el arreglo de los tubos en el banco
Debido a que no se pueden hacer infinidad de arreglos para los bancos detubos, estos se encuentran estandarizados de acuerdo a una geometríaestándar, que son el cuadrado y el triángulo equilátero, ya que son de fácilfabricación y estos se acomodan de tal forma para dar los diferentes arreglos.
Las filas de tubos de un banco tienen dos tipos de arreglos principales:alineados y alternados como se muestra en la figura 8-6.
Figa 8-3 Bancos detubos con diferentesdirecciones de flujoa) flujo cruzadoperpendicular. b)flujo cruzado oblicuo.
Figura 8-4 a) Banco detubos con Baypass. b) Bancode tubos sin Baypass
Figura 8-5 Tipos de arreglos de bancos detubos a) alineados b) alternados
192
De la figura 8-6 a y b tenemos
Ltp = paso longitudinal
St = separación transversal entre diámetros
Sl = separación longitudinal entre diámetros, es el mismo paso longitudinal.
α = ángulo de inclinación entre el paso longitudinal y la línea de direccióndel flujo
8.3.2 Arreglos estandarizados
El arreglo alineado esta estandarizado con la siguiente relación: ST / SL = 1al cual se le denomina arreglo cuadrado o arreglo a 90°, ya que el ánguloentre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos es 90°. Suforma básica es el cuadrado, figura 8-7
El arreglo escalonado tiene estandarizado los arreglos de 30°, 45° y 60°.
El arreglo de 30° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y elpaso longitudinal de los tubos igual a 30°. Su forma básica es el triánguloequilátero, figura 8-8
El arreglo de 45° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y elpaso longitudinal de los tubos igual a 45°. Su figura básica es el cuadrado.Figura 8-9
El arreglo de 60° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y elpaso longitudinal de los tubos igual a 60°. Su figura básica es el triánguloequilátero, figura 8-10.
8.4 NÚMERO DE REYNOLDS
De igual forma que en un flujo transversal a un cilindro, el Reynolds influyeen gran medida sobre la transferencia de calor y este debe calcularse con lavelocidad máxima que pueda tener el fluido dentro del banco de tubos, esdecir, cuando este pasa por el área de flujo mínima.
8.4.1 Área de flujo mínima
Esta área de flujo mínima depende del arreglo que tenga el banco de tubos,ya que esta puede ser el área vertical (A1) o las dos áreas diagonales (A2)(ver figura 11). Se deben tomar las dos áreas diagonales ya que después que
Figura 8-6Arreglocuadrado St / Sl = 1
Figura 8-7 Arregloescalonado de 30°
Figura 8-8 Arregloescalonado a 45°
Figura 8-9 Arregloescalonado 60°
193
el flujo pasa por el área vertical A1, este flujo se divide en dos y pasa porcada área diagonal A2
Si el área vertical es menor que las dos áreas diagonales se debe cumplir lasiguiente relación.
( ) ( )DLtpDSt −≤− 2
En donde:
St es la distancia que hay entre los centros de dos tubos de una misma fila.
Ltp es la distancia mas corta que hay entre los centros de dos tubos de
diferente fila.
D es el diámetro del tubo.
Sino se cumple la relación anterior, el área de flujo mínima son las áreasdiagonales
Figura 8-10 Posibles áreas de flujo mínimas para bancos de tubos alineados yescalonados
Las áreas mínimas de los bancos de tubos estandarizados son los siguientes:
Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 30° y alineados St/Sl=1:
A mín. = (H - NTF×D) ×L = NTF (Ltp - D) ×L
Donde H es la altura total del banco de tubos, NTF el número total de tubospor fila, D es el diámetro del tubo, L el largo del tubo y Ltp es la distanciaentre los diámetros cruzados (Ver figuras 8-8,8- 9 o 8-10)
Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 45° y 60°:
( ) ( )( )121min −+×−= NTFLDLtpA
Entonces ya determinada el área mínima de flujo determinamos el númerode Reynolds
194
µ××=
min
ReA
DM
8.4.2 Velocidad máxima de flujo
Otra relación importante que se puede usar para determinar el número deReynolds es la relación de velocidades, esta relación no incluye el número detubos del intercambiador la cual es muy útil cuando no se posee estainformación
Para los bancos de tubos tenemos la siguiente relación para hallar lavelocidad máxima: ρ×Vmáxima×Amínima = ρ×V∇×A donde ρ es la densidad,Amínima puede ser al área A1 o A2 de acuerdo a lo visto en la parte anterior(ver figura 9), A es el área a la entrada del banco y V es la velocidad deentrada del fluido. Debido a que los bancos trabajan a presión constante, sepueden tomar los fluidos como incompresibles. Por lo tanto se obtiene lasiguiente relación:
m n
máxima
í ima
V AV Aα
=
la cual conlleva a dos posibles valores dependiendo del arreglo del banco:
22
2,
2
máxima
StV Stmáx
V St D StSt Dα
=− + −
en donde el valor que sea mayor será la razón máxima entre velocidadmáxima de flujo y Vα .
De aquí se procede a obtener Re:
υDVma ×=Re
8.5 DETERMINACIÓN DEL EFECTO DE CAMBIODE TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES DELFLUIDO
ebido a la no uniformidad de las temperaturas dentro del banco de tubos, sehace necesario buscar una temperatura promedio global para determinar las
195
propiedades del fluido. Por lo cual se ha tomado como esta temperaturaglobal a la temperatura fílmica:
2S
fT TT ∞ +=
Donde :1 2
2T TT ∞ ∞
∞+=
T∞ = temperatura promedio del aire
T∞1 = temperatura del aire a la entrada
T∞2 = temperatura del aire a la salida
Y Ts (temperatura de superficie promedio) se evalúa globalmente
Para la figura 8-12 se tienen que Ts1, Ts2,..Tsn son las temperaturassuperficiales de los tubos de cada fila, y T T son las temperaturas deentrada y de salida del flujo al banco de tubos, respectivamente.
Para evaluar la temperatura de la superficie se considera que el calor que setransfiere del fluido interno es aproximadamente igual al que se transfiere alfluido externo, es decir se desprecia la resistencia de la pared, como semuestra en la figura 8-13:
Q Tm Ts1
AihiRp
Q Ts Tα1
heAe Donde Tm Tm1 Tm22
Tm1 y Tm2 es la temperatura media del fluido interno la entrada y la salidadel tubo respectivamente.
Con esto quedan analizadas las propiedades, se evalúa el Re y se calcula elNud.
8.6 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DETRANSFERENCIA DE CALOR INTERNO
El cálculo del hinterno se realiza con los conceptos ya vistos de flujo dentro detubos. Para el cálculo del mismo hay que tener en cuenta la repartición delflujo en los tubos ya que esto interviene en la rata de masa que pasa por cadatubo y afecta así al Reynolds interno
En la figura 8-14a la masa se reparte por igual en cada fila de tubos, por loque para calcular la masa que pasa por cada tubo se divide la mas total por elnúmero de filas que hay en el banco (esto ocurre cuando los tubos se
Figura 8-11 Diferentestemperaturas que seencuentran en un bancode tubos
Figura 8-12 . Transferenciade calor presentada en lasección transversal de unode los tubos.
Figura 8-13 Distribuciónde la masa que va pordentro de los tubos: a)repartido por igual encada fila (serpentín); b)repartido por igual encada tubo.
196
encuentran en forma de serpentín); mientras que en la figura 8-14b la masase reparte por igual en cada tubo del banco, por lo que para calcular la masaque pasa por cada tubo se divide la mas total por el número total de tubosque hay.
Para determinar el hinterno se debe tener en cuenta la forma como se distribuyeel flujo dentro de los tubos
8.6.1 Casos:
a) El flujo se reparte uniformemente dentro de todos los tubos.
b) El flujo recorre los tubos en varios pasos
Figura 8-15 Banco de tubos donde el flujo recorre los tubos en varios pasos
NTT Número Total de bosNF Número de FilasNTF Número de tubos de Tubos por Fila
2
4
tubotubo
mVdNTT
NTT NTF NF
π ρ
•
=⋅⋅ ⋅
= ×
Figura 8-14 Banco de tubos donde el fluido se reparte uniformemente dentro de todoslos tubos
2
4
tubotubo
mVNTT dNPT
π ρ
•
=⋅⋅ ⋅
NPT Número de Pasos por Tubo
197
c) El flujo se reparte entre los tubos de una fila
Figura 8-16 Banco de tubos en el que el flujo se reparte entro los tubos de una fila
En un intercambiador de bancos de tubos tenemos:
( )in out
casco casco casco cascoQ m Cp T T•
= ⋅ ⋅ −
( )out in
tubos tubos tubos tubosQ m Cp T T•
= ⋅ ⋅ −
El hecho de que la diferencia de temperatura entre un elemento de fluidodentro de los tubos y el fluido del casco sea variable en los diferentes sitiosdel intercambiador hace que la relación entre Q y las Ts de entrada y salidade los fluidos se relacionan de la siguiente forma:
Q U A F LMTD= ⋅ ⋅ ⋅
Donde F es el factor de corrección de la LMTD y depende de (T1, T2, t1,t2)
2
1
1
ln1 1
2i i T e e
UA rr
h A kL h Aπ
=
+ +
8.7 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOREN BANCO DE TUBOS
Al analizar de manera experimental la transferencia de calor en los bancosde tubos, se ha encontrado que el coeficiente de transferencia de calor tieneaumentos apreciables desde la primera hasta la quinta fila después de esta
2
4
tubotubo
mVdNTF π ρ
•
=⋅⋅ ⋅
198
Figura 8-17 Condiciones de flujo para tubos: a) alineados y b) escalonados. c) Variación del coeficientede transferencia de calor en los bancos de tubos
los aumentos son cada vez menores , por lo cual el Nud promedio del bancode tubos se vuelve uniforme a partir de décima fila. Esto es debido a quecuando el flujo atraviesa la primera fila de tubos se genera una turbulenciaque se incrementa a medida que el flujo se sigue desplazando por las demásfilas de tubos, esto propicia a que el coeficiente de transferencia de caloraumente, pero llegara un momento en el cual el flujo se estabiliza y por endeel coeficiente de transferencia de calor no aumentara infinitamente, esto sepuede ilustrar en la figura 8-18.
De manera empírica se han determinado varias correlaciones para hallar elcoeficiente de transferencia de calor externo en bancos de tubos:
8.7.1 Método Mills:
El Nud promedio para un banco de tubos con 10 o más filas se calcula apartir de la relación:
10 1fila filaNud Nudφ> =
Donde φ es un factor de arreglo y el Nud1fila es el Nusselt de la primerafila, el cual se determina con las correlaciones encontradas por Churchill yBernstein.
199
21,5
10, 7
213
alineado
alternado
StSlSt
Pt
φψ
φ
= + +
= +
Dondeψ 1 Π
.4 Pt Si Pl 1
ψ 1 Π..4 Pt Pl Si Pl 1
Donde Pl es Sl/D (paso longitudinal adimensional) y Pt es ST/D (pasotransversal adimensional).
Si el banco tiene menos de 10 filas
( ) 11 1 filaNNud Nud
Nφ+ −
=
Donde 1 filaNud es el Nud para la primera fila de tubos, el cual se tomacomo si fuese el de un solo tubo, N es el número de filas y φ es el factor dearreglo.
8.7.2 Método Incropera:
La correlación utilizada es la de Zhukauskas:
1/4 6m n máx1000 < Re < 2 10PrNud C Re Pr
Prs 0,7 < Pr < 580
⋅ = ⋅ →
Valores de las constantes C y m de penden del Re máximo y el arreglo,(tabla 8-4)
Los valores de las propiedades se hallan a temperatura fílmica, solo Prs sedetermina a la temperatura de superficie del tubo.
Si el cambio de temperaturas T 1 y T es muy grande, resultaría un errorsignificativo de la evaluación de las propiedades en la temperatura deentrada. Por ello se aplica un factor de corrección tal que:
Nud= C2 *Nud
200
Donde C2 depende del arreglo y del número de filas en el banco, (tabla 4)
Tabla 8-4 Constantes de la ecuación 18 para el banco de tubos en flujo cruzado
Arreglo ReD máx C m
Alineado 10-100 0.80 0.40
Escalonado 10-100 0.90 0.40
Alineado 100-1000
Escalonado 100-1000
Se aproxima como un
cilindro único aislado
Alineado(Sl/St<0.7)* 103-2*105 0.27 0.63
Escalonado (St/Sl<2) 103-2*105 0.35(St/Sl)1/5 0.60
Escalonado (St/Sl>2) 103-2*105 0.40 0.60
Alineado 2*105-2*106 0.021 0.84
Escalonado 2*105-2*106 0.022 0.84
*Para Sl/St<0.7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineadosno se deben usar.
Tabla 8-5 Factor de corrección para la ecuación 19 para número de filas menor de 20
Numero de filas 1 2 3 4 5 7 10 13 16
Alineado 0.70 0.80 0.86 0.90 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
Escalonado 0.64 0.76 0.84 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
8.7.3 Método Holman:
Para bancos de 10 filas o más se usa la correlación de Grimson:
Nud = C*RenPr1/3
Donde C y n depende del arreglo, (tabla 5)
Para bancos de menos de 10 filas se utiliza el resultado de la fórmula
anterior, pero se debe multiplicar por un factor que depende del arreglo y del
número de filas (tabla 8- 6)
201
Tabla 8-6Constantes par la ecuación 20 para a transferencia de calor para bancos de tubosde 10 hileras o más.
St/D
1.25 1.5 2 3Sl/D
C n C N C n C n
Alineados
1.25 0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.752
1.5 0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.744
2 0.418 0.570 0.229 0.602 0.229 0.632 0.198 0.648
3 0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286 0.608
Escalonados
0.5 - - - - - - 0.213 0.636
0.9 - - - - 0.446 0.571 0.401 0.581
1 - - 0.497 0.558 - - - -
1.125 - - - - 0.478 0.565 0.518 0.560
1.25 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.562
1.5 0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488 0.568
2 0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.570
3 0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.428 0.574
Tabla 8-7 Factor de arreglo para la ecuación 20 cuando son menos de 10 filas
Numero de filas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Escalonado 0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99
Alineado 0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99
Método grafico de Incropera: Intercambiadores Compactos
202
jH = St Pr2/3; St = h/G cp; Re = G DH ; G Vmax = VAfr/Aff = m’/Aff =m’/ Afr
Donde: D0 = Diámetro exterior del tubo
203
= Espaciado de aletas
Dh = Diámetro hidráulico
= Área de flujo libre / área frontal
= Área de T.C. / volumen total
Af /At = Área de aleta / área total
t = Espesor de aletas
jH = Factor de Colburn
Ai = Área interior del banco
Afr = Área frontal al aire
Amin = Área mínima de flujo para el fluido externo
Nota: El área mínima de flujo libre es transversal al flujo en espacios.
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
Intercambiadoresde Calor
Capítulo
9
205
TABLA DE CONTENIDO
9. INTERCAMBIADORES DE CALOR.......................................................................... 204
9.1 Clasificación por tipos de aplicación....................................................................................................2059.1.1 Calderas ............................................................................................................................................2059.1.2 Condensadores ..................................................................................................................................2069.1.3 Intercambiadores de calor de coraza y tubos .......................................................................................2079.1.4 Torres de enfriamiento.......................................................................................................................2089.1.5 Regeneradores ...................................................................................................................................209
9.2 Clasificación según la relación térmica entre los fluidos .....................................................................210
9.3 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL....................................................214
9.4 INTERCAMBIADORES DE CALOR FORMAS DE ANÁLISIS ......................................................2149.4.1 Análisis del intercambiador de calor, uso de la LMTD (Diferencia de temperatura media logarítmica.) 2169.4.2 Intercambiador de calor de flujo paralelo............................................................................................2179.4.3 Intercambiador de calor en contracorriente.........................................................................................219
3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado..........................................................................222
9.5 ANÁLISIS DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR, MÉTODO DE LA EFICIENCIA NUT...2329.5.1 Eficiencia ..........................................................................................................................................232
9.6 METODOLOGÍA DEL CÁLCULO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR.............................240
Transferencia de Calor
204
9. INTERCAMBIADORES DE CALOR
Se han desarrollado muchos tipos de intercambiadores de calor para serusados en varios grados de tamaños y de sofisticación tecnológica, comoplantas de potencia de vapor, plantas de procesamiento químico, calefaccióny acondicionamiento de edificios, refrigeradores domésticos, radiadores deautomóviles, radiadores de vehículos espaciales, etc.
En los tipos comunes, tales como intercambiadores de coraza y tubos y losradiadores de automóvil, la transferencia de calor se realizafundamentalmente por conducción y convección desde un fluido caliente aotro frío, que están separados por una pared metálica.
En las calderas y los condensadores, es de fundamental importancia latransferencia de calor por ebullición y condensación. En ciertos tipos deintercambiadores de calor, como torres de enfriamiento, el fluido caliente (esdecir agua) se enfría mezclándola directamente con el fluido frío (es deciraire) o sea que el agua se enfría por convección y vaporización alpulverizarla o dejarla caer en una corriente (o tiro) inducida de aire.
En los radiadores de las aplicaciones espaciales, el calor sobrante,transportado por el líquido refrigerante, es transferido por conducción yconvección a la superficie de las aletas y de allí por radiación térmica alespacio vacío. En consecuencia en los diseños térmicos de losintercambiadores de calor es un área donde tiene numerosas aplicaciones losprincipios de transferencia de calor que se discutieron a través de la materiade transferencia de calor.
El diseño real de un intercambiador de calor es un problema mucho mascomplicado que el análisis de la transferencia de calor porque en la seleccióndel diseño final juegan un papel muy importante los costos, el peso, eltamaño y las consideraciones económicas. Así por ejemplo, aunque lasconsideraciones de costos son muy importantes en instalaciones grandes,tales como plantas de fuerza y plantas de tratamiento químico lasconsideraciones de peso y tamaño constituyen un factor predominante en laselección del diseño en el caso de aplicaciones espaciales y aeronáuticas. Enel presente trabajo se pretende resumir los aspectos básicos que se tienen encuenta para el diseño de diferentes tipos de intercambiadores.
La mayoría de los intercambiadores de calor se pueden clasificar en base a laconfiguración de las trayectorias del fluido a través del intercambiador, laaplicación que se les va a dar o la relación térmica entre los fluidostrabajados. Examinaremos ahora la clasificación de los intercambiadores decalor de acuerdo a estas diferentes consideraciones.
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
205
9.1 Clasificación por tipos de aplicación.
Para caracterizar los intercambiadores de calor en base a su aplicación seutilizan en general términos especiales. Los términos empleados para losprincipales tipos son calderas (o generadores de vapor), condensadores,intercambiadores de calor de coraza y tubos, torres de enfriamiento,intercambiadores compactos, radiadores para plantas de fuerzas especialesy regeneradores. En seguida se describirán algunos aspectos típicos de estosintercambiadores de calor.
9.1.1 Calderas
Las calderas de vapor son una de las primeras aplicaciones de losintercambiadores de calor. Con frecuencia se emplea el término generadoresde vapor para referirse a las calderas en las que la fuente de calor es unascorrientes de un flujo caliente en vez de los productos de la combustión atemperatura elevada.
La principal función de la caldera es la de ceder calor a algún fluido detrabajo por medio del aprovechamiento de la energía química de uncombustible.
Las calderas generalmente se clasifican en calderas piro tubular y calderasacuotubulares, esta clasificación depende de la disposición de los fluidos.
Figura 9-1 Caldera
Transferencia de Calor
206
9.1.1.1 Las calderas pirotubulares
Consisten de una serie de tubos que transportan los gases residuales de unacombustión que se encuentran a elevada temperatura, estos tubos que seencuentran rodeados de una determinada masa de agua, que al ganar calorde los gases se evapora y se transporta a donde se requiera el vapor de aguapara algún trabajo especifico (realizar potencia o hacer limpieza de equiposalimenticios), el tanque que contiene la masa de agua se va llenandocontinuamente para que mantenga su nivel.
9.1.1.2 Las calderas acuotubulares
El fluido de trabajo es transportado a través de tubos, los cuales atraviesanuna cámara de combustión esto hace que el fluido dentro de los tubos seevapore (casi siempre se evapora agua pero existen otros procesos querequieren otros fluidos de trabajo) debido a que los gases de la combustión aaltas temperaturas rodean la superficie exterior de los tubos y le transfierencalor al fluido de trabajo.
9.1.2 Condensadores
La función principal del condensador es retirar el calor de algún fluido detrabajo y transportar ese calor al ambiente.
Figura 9-2. Condensador
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
207
Los tipos principales de condensadores son los condensadores de superficie,los condensadores de chorro y los condensadores evaporativos. El tipo mascomún es el condensador de superficie, que tiene la ventaja de que elcondensado se recircula a la caldera por medio del sistema de alimentación.La figura 17 muestra una sección a través de un condensador de superficietípico, de dos pasos, de una gran turbina de vapor de una planta de fuerza.Como la presión de vapor a la salida de la turbina se de solo 1 a 2 pulg. DeHg., la densidad es muy pequeña y la tasa de flujo volumétrico esextremadamente alta.
Para reducir la perdida de presión al transferir el vapor de la turbina alcondensador, normalmente se coloca este ultimo debajo de la turbina yacoplado a ella. El agua de enfriamiento fluye horizontalmente dentro de lostubos en tanto que el vapor fluye verticalmente hacia abajo desde la granabertura superior pasando transversalmente sobre los tubos.
Obsérvese que se puede purgar el aire que existe en las regiones situadassobre el centro del depósito de agua caliente. Esto es muy importante porquela presencia de un gas no condensable en el vapor reduce el coeficiente detransferencia de calor para la condensación.
9.1.3 Intercambiadores de calor de coraza y tubos
Las unidades conocidas con este nombre están compuestas en esencia portubos de sección circular motados dentro de una coraza cilíndrica con susejes paralelos al aire de la coraza. Los intercambiadores de calor liquido –liquido pertenecen en general a este grupo y también en algunos casos losintercambiadores gas a gas son muy adecuados en las aplicaciones en lascuales la relación entre los coeficientes de transferencia de calor de los dosfluidos son del orden de 2 a 3 de tal forma que no hay necesidad de emplearsuperficies extendidas.
En el caso de las aplicaciones gas a gas, la relación de los coeficientes detransferencia de calor de las dos superficies o lados opuestos esgeneralmente de la orden de 3 a 4 y los valores absolutos son en generalmenores que los correspondientes a los intercambiadores de calor liquido –liquido en un factor de 10 a 100; por lo tanto se requiere un volumen muchomayor para la transferir la misma cantidad de calor. Existen muchasvariedades de este tipo de intercambiador; las diferencias dependen de ladistribución de la configuración de flujo y de los aspectos específicos de laconstrucción. Un factor muy importante para determinar el número de pasosdel flujo por el lado de los tubos es la caída de presión permisible. El haz detubos esta provisto de deflectores para producir de este modo unadistribución uniforme del flujo a través de él. Ver figura 9-3
Transferencia de Calor
208
Figura 9-3 intercambiador de coraza y tubos
9.1.4 Torres de enfriamiento.
Las torres de enfriamiento se han utilizado ampliamente para desechar en laatmósfera el calor proveniente de los procesos industriales en vez de hacerloen el agua de río, un lago o en el océano. Los tipos más comunes de torres deenfriamiento son por convección natural y por convección forzada.
9.1.1.3 Torre De Enfriamiento Por Convección Natural.
Figura 9-4 Torre de enfriamiento de tiro natural.
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
209
En este tipo de torre el agua se pulveriza directamente en la corriente de aireque se mueve a través de la torre de enfriamiento por convección térmica. Alcaer, las gotas de agua se enfrían tanto por convección ordinaria como porevaporación. La plataforma de relleno situada dentro de la torre deenfriamiento reduce la velocidad media de caída de las gotas y por lo tantoaumenta el tiempo de exposición de las gotas a la corriente de aire en latorre. Se han construido grandes torres de enfriamiento del tipo deconvección natural de más de 90m de altura para desechar el calorproveniente de las plantas de fuerza. Ver figura 9-4.
9.1.1.4 Torre de enfriamiento por convección forzada.
En una torre de enfriamiento de convección forzada se pulveriza el agua enuna corriente de aire producida por un ventilador el cual lo hace circular através de la torre. El ventilador puede estar en la parte superior de la torreaspirando el aire hacia arriba, o puede estar en la base por fuera de la torreobligando al aire que fluya directamente hacia dentro. La figura 20 muestrauna sección a través de una torre de enfriamiento de circulación forzada detiro inducido por un ventilador. Al aumentar la circulación del aire aumentala capacidad de transferencia de calor de la torre de enfriamiento.
Figura 9-5Torre de enfriamiento de tiro inducido
9.1.5 Regeneradores
En los diversos tipos de intercambiadores que hemos discutido hasta elmomento, los fluidos frío y caliente están separados por una pared sólida(exceptuando las torres de enfriamiento) en tanto que un regenerador es unintercambiador en el cual se aplica un tipo de flujo periódico. Es decir, el
Transferencia de Calor
210
mismo espacio es ocupado alternativamente por los gases caliente y fríoentre los cuales se intercambia calor. En general los regeneradores seemplean para precalentar el aire de las plantas de fuerza de vapor, de loshornos de hogar abierto de los hornos de fundición o de los altos hornos yademás muchas otras aplicaciones que incluyen la producción de oxigeno yla separación de gases a muy bajas temperaturas. Ver figura 21.
Figura 9-6 Regenerador
9.2 Clasificación según la relación térmica entre los fluidos
Los intercambiadores con superficie de separación se pueden clasificar así:
Por una única diferencia de temperaturas:
De un solo paso: Los fluidos se encuentran térmicamente una vez, por loque existe un única diferencia de temperatura local. (Ver figura 9-7)
Por múltiples diferencias de temperatura:
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
211
De múltiples pasos y de flujo cruzado: Existen múltiples diferencias detemperatura localmente por sección de intercambiador. (Ver tabla 9-1)
Tabla 9-1 Clasificación de los intercambiadores de calor según las relaciones térmicasentre los fluidos.
Úni
ca d
ifere
ncia
de
tem
pera
tura
s
Paso
sim
ple
Paso
múl
tiple
Aná
lisis
glo
bal
Múl
tiple
s dife
renc
ias d
e te
mpe
ratu
ra
Fluj
os c
ruza
dos
Transferencia de Calor
212
Tabla 9-2 Clasificación según las configuraciones geométricas del flujoU
na so
loco
rrie
nte
Fluj
o pa
rale
lo
Dos
cor
rient
es
Fluj
oco
ntra
corr
ient
eU
na c
orrie
nte
sin
mez
clar
Dos
cor
rient
es e
n flu
jo m
ezcl
ado
Am
bas
corr
ient
es si
nm
ezcl
ar
Tabla 9-3 Esquemas de configuraciones geométricas de flujo comunes paraintercambiadores de calor
Dos corrientes a contra flujo cruzado
Dos corrientes a pasos múltiples
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
213
Las más importantes son:
Una sola corriente: es un intercambiador en el que cambia sólo latemperatura de un fluido; la dirección del flujo carece de importancia. (Verfigura 23a)
Dos corrientes en flujo paralelo: los dos fluidos fluyen en direccionesparalelas y en el mismo sentido. Su forma más simple consta de dos tubosconcéntricos. En la práctica, un gran número de tubos se colocan en unacoraza para formar lo que se conoce como intercambiador de coraza y tubos.El intercambiador tipo placa consiste en varias placas separadas por juntas yresulta mas adecuado para bajas presiones. (ver figura 23b)
Dos corrientes en contracorriente: los fluidos se desplazan en direccionesparalelas perro en sentidos opuestos. Los intercambiadores de coraza y tuboso de placas también son los más comunes. la efectividad de estos es mayorque la de flujos paralelos. ( ver figura 23 c)
Dos corrientes en flujo cruzado: las corrientes fluyen en direccionesconfiguraciones. Una o ambas corrientes pueden estar sin mezclar .tiene unaefectividad intermedia entre en intercambiador contracorriente y uno deflujo paralelo, pero su construcción es más sencilla. (Ver figura 23 d)
Dos corrientes en contraflujo cruzado: son intercambiadores en donde lostubos pasan varias veces por la coraza. El número de veces que pasa por lacoraza se indica con el número de pasos y entre mayor es el número depasos aumenta su efectividad. (Ver figura 23e)
Tabla 9-4 Curvas característica de la temperatura de los fluidos para intercambiadores dediferentes configuraciones.
Una
sola
corr
ient
e(c
onde
nsad
or)
Fluj
ospa
rale
los
Con
traco
rrie
nte
Fluj
os c
ruza
dos
Transferencia de Calor
214
En la tabla 9-4 se muestran las diferentes variaciones de temperaturas que
pueden experimentar un fluido al ingresar a un intercambiador de calor.
9.3 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALORGLOBAL
Este coeficiente se define en términos de la resistencia térmica total para latransferencia de calor entre dos fluidos:
1 1 1
c c h hUA U A U A= +
Donde los subíndices h y c denota caliente y frío respectivamente.
Reemplazando los valores de Uc y Uh dependiendo de si esta del ladoexterno o interno tenemos:
( )0
0 0
ln /1 1 12 2 2
i
i i
r rUA h r k h r
= + +Π Π Π
El cálculo del coeficiente depende de si se basa en el área de la superficiefría o caliente. Si en la superficie se hallan impurezas sus resistencias debenincluirse y por lo tanto la ecuación 21 se modifica de la siguiente manera:
( )0
0 0
ln /1 1 12 2 2
i
i i
r rUA h r k h r
= + +Π Π Π
+R impurezas
Las impurezas encontradas en diferentes materiales se pueden extraer de latabla 9-5.
9.4 INTERCAMBIADORES DE CALOR FORMAS DEANÁLISIS
Para analizar intercambiadores de calor, existen dos métodos que se aplicande acuerdo a la relación térmica entre los fluidos:
• El método de la diferencia media logarítmica de temperatura (LMTDsiglas en ingles) que consiste en determinar una diferencia media detemperatura entre los fluidos del intercambiador de calor.
• El método del las eficiencias (relación ε vs. NTU) que consiste endeterminar la razón entre la máxima transferencia de calor que puedeocurrir en un intercambiador de calor y la transferencia de calor queocurre realmente.
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
215
Tabla 9-5 Valores recomendados para la resistencia por ensuciamiento en el diseño deintercambiadores de calor
FLUIDORESISTENCIA POR ENSUCIAMIENTO
Rf
[W/m2K]-1
Aceite combustible 0.05
Aceite para transformadores 0.001
Aceites vegetales 0.003
Gasóleo ligero 0.002
Gasóleo pesado 0.003
Asfalto 0.005
Gasolina 0.001
Keroseno 0.001
Soluciones cáusticas 0.002
Líquidos refrigerantes 0.001
Fluido hidráulico 0.001
Sales fundidas 0.0005
Gas de escape de un motor 0.01
Vapor (sin aceite) 0.0005
Vapor (con aceite) 0.001
Vapores refrigerantes 0.002
Aire comprimido 0.002
Gas ácido 0.001
Vapore solventes 0.001
Agua marina 0.0005-0.001
Agua salada 0.001-0.003
Agua de torre de enfriamiento (tratada) 0.001-0.002
Agua de torre de enfriamiento (sin tratar) 0.002-0.005
Agua de río 0.001-0.004
Agua destilada o condensada de un ciclocerrado 0.0005
Agua tratada de alimentación de calderas 0.0005-0.001
Transferencia de Calor
216
Lo anterior se puede esquematizar en la figura 9-7.
Figura 9-7 Formas de análisis para los intercambiadores de calor según las relacionestérmicas entre los fluidos.
9.4.1 Análisis del intercambiador de calor, uso de la LMTD(Diferencia de temperatura media logarítmica.)
Es esencial relacionar en la transferencia de calor las temperaturas de entraday salida de los fluidos con el U y el área superficial total para transferir elcalor.
Estas relaciones se pueden obtener haciendo balances de energía globales acada fluido (figura 26):
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
217
Q = mCpC(T1 T2), para el fluido caliente.
Q = mCpf(t2 t1), para el fluido frío.
Al producto de la masa con el Cp (m*Cp) se le llamara C de ahora enadelante, modificando las ecuaciones anteriores tenemos:
Q = Cc(T1 T2), para el fluido caliente.
Q = Cf(t2 t1), para el fluido frío.
Se puede obtener otra expresión útil al relacionar la transferencia de calorcon la diferencia de temperatura ∆T entre los fluidos, ∆T = Tc – Tf. Sinembargo como ∆T varia con la posición en el intercambiador, es necesariotrabajar con la diferencia de temperatura media adecuada.
9.4.2 Intercambiador de calor de flujo paralelo
Se hace un balance de energía para cada fluido, teniendo en cuenta lassiguientes consideraciones (figura 27):
• La única transferencia de calor es entre los dos fluidos.
• La conducción axial a lo largo de los tubos es insignificante.
• Los calores específicos se toman constantes.
• El producto UA es constante.
• Se trabajan con valores promedios de U y Cp
Figura 9-9 Distribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de flujoparalelo
Para un diferencial de área dA tenemos el siguiente balance de energía:
TCcq ∂−=∂Cc
qT ∂−=∂ (1)
tCfq ∂−=∂Cf
qt −∂=∂ (2)
δq = U (T t)δA (3)
Figura 9-8 Volumen decontrol en elintercambiador de calor
Transferencia de Calor
218
Restando las dos primeras ecuaciones anteriores:
qCfCc
tT ∂
+−=−∂ 11)(
y reemplazando dq de la ecuación (3):
( ) AtTUCfCc
tT ∂−
+−=−∂ 11)(
reordenando la ecuación anterior
( ) AUCfCctT
tT ∂
+−=
−−∂ 11)(
e integrando:
dACC
UttTtTd
FC∫
+=∫
−−− 11
+−=
−−
CfCcUA
tTtT
Ln 11
11
22
Al sustituir Cc y Cf de las ecuaciones del balance de energía global,
Cc = (T1 – T2)/q y Cf = (t2 – t1)/q, tenemos :
( ) ( )( )Q
tTtTUAtTtTLn 2122
21
12 −−−=
−−
Despejando Q:
( ) ( )( )( )( )
−−
−−−=
11
22
1122
tTtT
Ln
tTtTUAQ
Q = UA×∆TLMTD
Por lo tanto el LMTD es la temperatura media adecuada.
A menudo no es conveniente suponer que el UA es constante a lo largo delintercambiador, lo que puede deberse a los efectos de entrada (mientras sedesarrolla la capa límite) y a variaciones de las propiedades del fluido. Sisólo interesa la región de entrada entonces podemos reemplazar U por unvalor medio de U:
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
219
Q=UA∆Tlm; dxUL1U
L
0∫=
Si las variaciones de las propiedades del fluido también son importantesentonces es necesario integrar la ecuación 22 en forma numérica, ya que U,Cc y Cf varían a lo largo del intercambiador.
9.4.3 Intercambiador de calor en contracorriente
Figura 9-10Distribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de flujo acontracorriente.
Con el mismo análisis del intercambiador anterior se puede demostrar que laecuación anterior también se aplica a este caso, pero la diferencia detemperatura en los flujos extremos la hace variar un tanto:
Vamos a suponer que el coeficiente global de transferencia de calor u, setoma constante sobre la línea.
Como ( ) ( )( )( )( )
−−
−−−=∆
11
22
1122
tTtTLn
tTtTTLMTD
Entonces: ccLMTDUAQ ×=
Advierta que con las mismas temperaturas de entrada y salida se tiene,LMTDcc>LMTDu
Ejemplo 9-1
Efecto de la dirección relativa de los flujos para las mismas temperaturasterminales:
Calcular LMTD
Transferencia de Calor
220
Figura 9-11ª) Flujo unidireccional b) Flujo contracorriente
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 2
2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ln ln( ) ( )
u cc
u ccu cc
T t T t t T t T80 - 10 40 - 50LMTD = = 33,66 LMTD = 44,5T t 80 t T 40ln ln10 50T t t T
Q QA AU LMTD U LMTD
− − − − − −= = =− −− −
= =⋅ ⋅
è LMTDcc>LMTDu è 44.5 > 33.66 (ok)
80 > LMTDu > 10 è 80 > 33.66 > 10
50 > LMTDcc > 40 è 50 > 44.5 > 40
Ejemplo 9-2
Efectos de la relación de los productos (m · Cp ) de cada fluido:
Para los siguientes datos de contracorriente:
Aguaè segkgmw /5=& Aceiteè variable=am&
Cpw = 4000 J/kg ºC Cpa = 2000 J/kg ºC
Tl = 100 ºC tl = 20 ºC
T2 = 70 ºC t2 = ?
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
221
w w w w
w w2a a 2
a a a
1) Q = m Cp (100 -70) = m Cp .30m Cp(t - 20) 5×40002) Q = m Cp (t - 20) Þ = = R =
100 -70 m Cp m ×2000
& &
&&
& &
w w2
a a a
m Cp 10t - 20 = (30)= 30R= 30m Cp m&
& &
para un Tw = 30 ºC
è En un intercambiador el fluido con el producto (m · Cp ) menor, será el
que sufra una mayor diferencia de temperatura, por tantomax
min
CpmCpm
R&
&=
am& R t2-20 t2 observaciones
5 2 60 80 Aceite menor mcp
60>30
20 0.5 15 35 Agua menor mcp
15<30
0 0 20
Transferencia de Calor
222
3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado
Figura 9-12 Intercambiador de múltiples pasos
Para ese tipo de intercambiadores se tienen las siguientes suposiciones:
1. La temperatura del fluido en la coraza está a una temperaturaisotérmica promedio en cualquier sección transversal.
2. El área de calentamiento en cada paso es igual.3. El coeficiente total de transferencia de calor es constante.4. La razón de flujo de cada uno de los fluidos es constante.5. El calor específico de cada fluido es constante.6. No hay cambios de fase de evaporación o condensación en una parte
del intercambiador.7. Las perdidas de calor son despreciables.
Haciendo un balance de energía para un diferencial (dx) y haciendo undesarrollo similar al que se hizo en el análisis del intercambiador de un solopaso encontramos la siguiente ecuación para el calor
Q = UA t = UA(MTD)real MTD real = f(R,S) = FT(LMTDcc)
Donde [ ]( )( )
21 2 2 1
T 22 1 1 1
2
R +1ln (1- S)/(1- RS) T -T t - tF = ; R = ; S =t - t T - t2 - S R+1- R +1
(R - 1)ln2 - S R+1+ R +1
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
223
Ejemplo 9-3
Valor relativo de la diferencia de temperaturas (MTD)real de unintercambiador de múltiples pasos en relación a la diferencia media deintercambiadores de paso simple para cuando se tienen las mismastemperaturas terminales.
Dado que un intercambiador de paso múltiple se comporta simultáneamentecomo de flujo unidireccional y de flujo en contracorriente, se espera que elvalor numérico de la diferencia media de temperatura este entre el valormáximo determinado por el arreglo en contracorriente y el valor mínimodeterminado por el arreglo en flujo unidireccional, asi que es posiblerelacionar la (MTD) real con la LMTDcc mediante un factor que lógicamentesera menor que 1.
cc
real
LMTDMTDF =
Para el caso particular en donde las temperaturas terminales sean:
T1=100 T2=60t1= 20 t2= 50
Para flujo unidireccional:
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )1 1 2 2
u1 1
2 2
T - t - T - t 100 - 20 - 60 - 50 80 -10LMTD = = = = 33,66T - t 100 - 20 ln 80/10ln lnT - t 60 - 50
Para flujo contracorriente:
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )2 1 1 2
cc2 1
1 2
T - t - T - t 60 - 20 - 100 - 50 40 - 50LMTD = = = = 44,81T - t 60 - 20 ln 40/50ln lnT - t 100 - 50
Para flujo de pasos múltiples:
MTD real = FT(LMTDcc)
Donde [ ]
( )( )( )
2
T 2
2
100 - 60 50 - 20R = = 1,33 ;S = = 0,37550 - 20 100 - 20
(1,33) +1ln (1- 0,375)/(1- 1,33×0,375)F = = 0,891
2 - 0,375 1,33+1- (1,33) +11,33 - 1 ln
2 - 0,375 1,33+1+ (1,33) +1
Transferencia de Calor
224
MTD real = 0,891(44,81) = 39,92
* Como podemos observar para las mismas temperaturas terminales secumple que
LMTDu < MTD real < LMTDcc
33,66 < 39,92 < 44,81
Aunque las condiciones de flujo son mas complicadas que las anteriores, sepueden usar las mismas ecuaciones si se hace la siguiente modificación alLMTD:
Donde F es un factor de corrección que se puede determinar de graficas, paravarias configuraciones de intercambiadores de calor en función de lastemperaturas.(Figura 28)
c) Intercambiador de calor de flujo cruzado donde los dos fluidos
están mezclados
CARACTERÍSTICAS:
1. El parámetro P tiene un límite para un R dado.
2. En la misma medida P aumenta (R dado) Fn disminuye.
∆TLMTD = F×∆TLMTD
*
**
*
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
225
Ejemplo 9-4
m1 = 5 Kg/sg m2 = 20Kg/sgCp2 = 2000 Cp1 = 4000T1 = 100ºC t1 = 20ºC
Buscar el Fn para diferentes valores de T2
1 2 2 2
2 1 1 1
2 1 2
1 1
2 2
2 2
T -T m CpR = = = 2t - t m Cpt - t t - 20P = =T - t 100 - 20
5×4000(100 -T )= 20× 2000(t - 20)5×4000t = (100 -T )+20
20×2000
T2 t2 P Fn(1 shell) Fn(2shell)90 25 0,0625 0,999 0,99980 30 0,125 0,98 0,9850 45 0,3125 0,86 0,97540 50 0,375 0,5 0,92
Si queremos aumentar t2 entonces, debemos disminuir el R, para lo que setienen las siguientes opciones:
Bajamos m2 → disminuimos R
Subimos m1 → disminuimos R
1. Elevar T1 22
t - 200,375 = t = 68,75150 - 20
→
Poner un intercambiador de doble paso por el casco.
Criterios de selección de intercambiador de calor
1. Para un intercambiador de un casco (1 Shell): no debe haber cruce de
temperatura, equivale a decir que Fn ≥ 0,85.
2. Si existe un cruce de temperatura colocamos un intercambiador de 2
Shell.
Transferencia de Calor
226
d) Intercambiador de calor de flujo cruzado de dos pasos por tubos (sinmezclar) y un paso por coraza (mezclado)
Figura 9-13 Factor de corrección según el método LMTD para diferentesintercambiadores
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
227
Figura 9-14Factor de corrección según el método de la LMTD para un intercambiador decalor de un paso por coraza y 2, 4,6.... Pasos por tubos.
Transferencia de Calor
228
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
229
Ejemplo 9-5
Diseñar un intercambiador de banco de tubos aleteado para enfriar 20.6kg/sg de aire que se mueve por el exterior desde 80° hasta 60° C con agua a10° C que se distribuye igualmente por el interior de todos los tubos delbanco. El aire tiene una velocidad antes de entrar al banco de 5 m/sg.
Características físicas del banco:
a) El área frontal es un cuadradob) El arreglo de los tubos es cuadrado con relación St/de= SL/de= 1.5c) Los tubos son de de/di = 0.024 / 0.02 mt.d) Los parámetros de relación modular del banco son:
Ai/At = 0,1 Afr/Amin = 1,8Ai/V = 360 m2/m3 Af/At = 0,92Dh = 0,006 m
donde:
Ai = Área interior del banco Af =Área de aletas At = Área total externa (Libre + aletas)Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el aireV = VolumenDh = Diámetro hidráulico para calculo de Re y Nu externos y las siguientescondiciones.
1. La resistencia de la pared de los tubos representa el 12% de laresistencia total al flujo de calor
2. La eficiencia de las aletas se puede tomar como 0,8
3. Si en lugar de enfriar el aire con agua a 10° se utilizara un liquidoque se vaporizara a los mismos 10° utilizando el mismo tamaño deintercambiador el aire saldría a 38° en lugar de 60° entrando a losmismos 80° y se determinaría un coeficiente global de transferenciaU1, 1.9 veces mas grande que el U del caso con agua.
4. El coeficiente de transferencia de calor (para el aire) es función delnúmero de Reynolds según el siguiente gráfico.
Solución:
Transferencia de Calor
230
Para resolver este problema se requiere analizar primero la transferenciade calor del intercambiador de calor con los flujos de aire y vapor y luegocon los flujos de aire y agua
Figura 9-15 a) Análisis de intercambiador Aire Vapor: b)Aire agua
2 1
1 1
1 2
2 1
1 2 1 2
1
(1)
(2) (80 38) / 2 59 1007 /
(1) 20.6 1007(80 38) 871256.4(3) ( )
10 10(4) 080 1080 38(5)10 10
1( ) ( )(6)
ln[(
A V a p a
a p
A V CC
CC
Q m c T
T c kJ kg
QQ UA F LMTD
t tPT tT TRt t
de graficas FT t T tLMTD
T
−
−
= ∆
= + = ⇒ =
⇒ = ⋅ − == ⋅ ⋅
− −= = =− −− −= = = ∞− −
⇒ =− − −=
&
2 1 2
(80 10) (38 10) 42 45.838) /( )] ln[(80 10) /(38 10)] ln(70 / 28)
45.84 ( ) 871256 ( ) 19006(7) ( ) 1.9( )
A V A V
A V A W
t T tUA UA
UA UA− −
− −
− − −= = =− − − −
⇒ = ⇒ ==
Análisis de intercambiador Aire Agua (w):
10003)( =⇒ −WAUA
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
231
024.05.1)32(360/)31(
)30(
2/)70()29(]10003/12.0[)]/(1[
)28(
)024.05.1/(/)27(
006.06.20Re)26(
)25(
)5/(6.20)24(
8.1/)23()/(6.20)22(
compactosadoresintercambitablaPr
)21(
)02.0(4
Re)20(
min
2
80
min
minmax
3/2max
⋅⋅==
=
+=+
−=
⋅==
⋅=
=
⋅=
==
→
=
⋅=
−
NFLVA
LAVTT
AhTTQ
HSHNTFA
HA
AAA
AUJe
UcJeh
NFNTFm
i
fr
sf
ii
wSWA
L
fe
fr
fr
fr
a
pwwe
w
wi
µ
ρ
ρ
ρµπ
&
1° Parte (8) (15)
(8) Q (A)t2 (10)w (12)P (13)R (14)F (15)LMTD (11) Q
414884 43 3 0.47 0.61 0.95 43.17 410278414884 42 3.1 0.46 0.62 0.95 43.72 415520
2° Parte
(24) Afr = 4.11(25) H = 2.02(27) NTF = 56.11 56(23) Amin = 2.28
(A)NF (20)Rei (19)hi (32)L (30)V (31)Ai (28)Tse (29)Tf (26)Ree (T)Je (22)Um (21)he (16)UA
410
993.05397.22
359.65172.79
0.1440.36
0.61.48
216533
36.3235.48
53.1652.74
27923051
0.0170.017
8.247.65
175466 721
)(PrRe02.0
023.0)19(
816.0)8.01(92.01)1(1)18(
)]/(1[)]/(1[110003)16(
88.012.0)17(
/1)()16(]50/)80ln[()50()80()15(
)14(106080)13(
108010)12(
10003)11(
)10(414884)10(414884)20(10076.20)8(
1007702/)6080()9(
)6080(6.20)8(
4.08.0
2
2
2
2
2
BolternDittusKh
AA
AhAh
RRRRRRR
RUAt
tLMTD
Fgraficasdet
R
tP
LMTDFQ
tcmQ
cT
cQ
i
aT
fs
Tesii
eiTe
R
TiT
TWA
CC
CC
wpw
pa
pAWA
P
−=
=−−=−−=
+=⇒
+=⇒++=
=−
−−=
−−=
−−
=
⋅⋅=
−==⋅=⇒
=⇒=+=
−⋅=
−
−
ηη
η
321
&
Transferencia de Calor
232
T1
9.5 ANÁLISIS DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR,MÉTODO DE LA EFICIENCIA NUT
9.5.1 Eficiencia
Para definir la eficiencia de un intercambiador de calor, debemos determinarla transferencia de calor máxima posible q máx, para el intercambiador. Estatransferencia se puede alcanzar en principio en un intercambiador de calor encontraflujo de longitud infinita.(Ver figura 9-16)
En tal intercambiador uno de los fluidos obtiene el ∆T máximo posible, (latemperatura de entrada del fluido caliente debe ser igual a la temperatura desalida del fluido frío o viceversa). Para ilustrar este punto, considere unasituación en que Cf < Cc, en cuyo caso, de los balances de energía globales acada fluido Q = Cc( T1 – T2) y Q= Cf(t1 – t2), | dt | > | dT|. El fluido fríoexperimentaría entonces el cambio de temperatura más grande y comoL→ϖ, se calentaría a la temperatura de entrada del fluido caliente(t2 = T1).En consecuencia del balance de energía global al fluido Q = Cc(T1 – T2)obtenemos entonces:
Cf < Cc
Qmax = Cf ×( T1- t1)
De manera similar, si Cf > Cc, el fluido caliente experimentaría el cambio detemperatura más grande y se enfriaría a la temperatura de entrada del fluidofrío (T2 = t1), del balance de energía global Q = Cc(T1– T2), obtenemosentonces
Cc > Cf
Qmax = Cc × ( T1 - t1)
A partir de los resultados anteriores podemos escribir la siguiente expresióngeneral
Qmax = Cmin × ( T1 - t1)
Análisis de intercambiadores por el método de la efectividad (ε , p ó s)
Ahora se puede definir la eficiencia como la razón entre la transferencia realde calor para un intercambiador de calor y la transferencia de calor máximaposible:
Figura 9-16 Variacionesde las temperaturas delos fluidos a lo largo deun intercambiador decalor de corrientesparalelas y otro decontracorriente
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
233
real
máx
Calor realmente transferidoEfectividadCalor máximo
ε
=
=
Qmax: calor absorbido (ó retirado)del fluido que tenga el mCpmin y el cualsufre la máxima diferencia de temperatura (T1-t1).
Para un caso dado el flujo que tiene menor mCp es el que sufre mayordiferencia de temperatura, por lo tanto:
( )11.. tTmCpQ MinMax −=
( )min. 2 1realQ C Cp t t= ⋅ −
( )( )11min
12min
.max tTmCpttmCp
QQreal
−−==ε
Si el fluido frío es el que posee el mCpmin entonces: ( )( )11
12
tTtt
−−=ε
Si el fluido caliente es el que tiene el mCpmin entonces: ( )( )11
21
tTTT
−−=ε
Para un intercambiador de flujo paralelo unidireccional en donde el fluidofrío es el que tiene menor Cp , encontrar la ecuación de la eficiencia.
maxQ Qε= ; Q UA LMTD= ⋅
Definiendo ( )( )11
12
tTtt
−−=ε ;
12
21
max
min
ttTT
mCpmCpR
−−==
( ) ==− QttCp 12.min( ) ( )
22
11
2211
tTtTLn
tTtTUA
−−
−−−=
Transferencia de Calor
234
( ) ( )1 2 2 11 1
2 2 min 2 1
T T t tT t UALnT t mCp t t
− + −− =− −
Reagrupando las temperaturas y simplificando tenemos
+
−−
−=−−
112
21
min11
22
ttTT
mCpUA
tTtTLn
Entonces: ( )RmCp
UAtTtTLn
Min
+−=−− 1
11
22
( )RmCp
UA
etTtT +
−
=−− 1
11
22 min
Tomando el término de la izquierda de la ecuación anterior y en elnumerador restamos y sumamos t1 obtenemos:
( ) ( ) ε−−−=
−−−−=
−−+−
11
12
11
1212
11
2112
tTtT
tTtttT
tTtttT ( A )
Despejando T2 en función de R:
( )1212 ttRTT −−=
La ecuación (A) quedaría:
( ) εεε −∗−=−=−
−−− RtT
tttRT 111
1121
Despejando la efectividad:
( )( )R
mCpUA
MineR+−
−=+1
11ε
( )
Re
RmCp
UA
Min
+−=
+−
11
1
ε
Si definimos:MinmCp
UANTU = entonces,( )
Re RNTU
+−=
+−
11 1
ε
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
235
Los calores en cada fluido quedan:
( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 2
frío calienteQ Q
m Cp t t m Cp T T
=
− = −
Donde:12
21
11
22
ttTT
CpmCpmR
−−==
Qreal: mCp/ ∆ T → si el mCpmin es el caliente( )( ) 11
21
11min
21min
tTTT
tTmCpTTmCp
−−=
−−=ε
→ si el mCpmin es el frío( )( ) 11
12
11min
12min
tTtt
tTmCpttmCp
−−=
−−=ε
Relación de capacidades calóricas:
2 1
1 2min
max 1 2
2 1
Cuando el fluido caliente es el mismo
Cuando el fluido frío sea el mínimo
cal
frio
frio
cal
mCp t tRmCp T TmCpRmCpmCp T TRmCp t t
−= =→ −= − → = = −
9.1.1.5 Número de unidades de transferencia de calor NTU
El número de unidades de transferencia de calor NTU es un parámetroadimensional que se usa ampliamente para el análisis de un intercambiadorde calor y se define como,
queda demostrado que ε es función del NTU y del R
Si definimos:minmCp
UANTU = entonces,( )
Re RNTU
+−=
+−
11 1
ε
Los calores en cada fluido quedan:
( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 2
frío calienteQ Q
m Cp t t m Cp T T
=
− = −
Donde:12
21
11
22
ttTT
CpmCpmR
−−==
Transferencia de Calor
236
Cuando tenemos área infinita en un intercambiador, el NUT se hace infinito,por lo que en un intercambiador de flujo paralelo la efectividad tiende a cero
Para cualquier intercambiador se puede demostrar que ε = f(NTU,Cmin/C max)donde estas relaciones, ε vs. NTU se pueden encontrar en gráficas o en lastablas (ver tabla 9-6)
Tabla 9-6
CASO Formulas analíticas GRAFICA DE EFECTIVIDAD Análisis
friomCp =min
1 2 2 1
2 1 1 1
min
;T T t tRt t T t
UANtumCp
ε− −= =− −
=&
Intercambiador depaso simple
unidireccional
calientemCp =min
1 1 2
1 2 1 1
min
;it t T TRT T T t
UANtumCp
ε− −= =− −
=&
1
0,5
R = 1
R = 0
Asíntota
NTU
( )
( )
1
1
11
NTU R
NTU R
eR e
ε− −
− −
−=− ⋅
R
NTUA
ite
ite
+=
∞→→
11
lim
lim
ε
ε
friomCp =min
1 2 2 1
2 1 1 1
min
;T T t tRt t T t
UANtumCp
ε− −= =− −
=&
Intercambiador depaso simple y
contracorriente
El análisis para este caso serealiza igual al caso
unidireccional
1
( )
( )
1
1
11
NTU R
NTU R
eR e
ε− −
− −
−=− ⋅
( )RNTUeRe
−−
−∞
∗−−= 11
1ε
1LIMITEε =
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
237
Tabla 9-7 Relaciones de eficiencia de un intercambiador de calor R = C mínimo /C máximo
Arreglo de flujo Relación
Tubos concéntricos
Flujo paralelo ( )( )R
RNUT+
+−−=1
1exp1ε
Contraflujo
( )[ ]( )( )RNUTR
RNUT−−−
−−−=1exp*1
1exp1ε; R<1
NUTNUT+
=1
ε ; R=1
Coraza y tubos
Un paso por la coraza(2,4,...pasos de tubos) ( )
( )( )
11/ 221/ 22
1/ 22
1 exp 11 2 1 1
1 exp 1
NUT RR R
NUT Rε
− + − + = + + + − − +
N pasos por la coraza(2n,4n,.. pasos por la coraza)
1nn
R11R111
11R11
−
−
ε−ε−
−
ε−ε−=ε
Flujo cruzado (un solo paso)
Ambos fluidos sin mezclar ( )[ ]{ }
−−−
−=ε 1NUTRexpNUT
R1exp1 78.022.0
Cmáx (mezclado)
Cmín (sin mezclar)( )[ ]{ }( )NUTexp1Rexp1
R1 −−−=ε
Cmín (mezclado)
Cmáx (sin mezclar)( )[ ]{ }( )NUTRR −−−−= − exp1exp1 1ε
Todos los
intercambiadores n (Cr=0)( )NUT−−= exp1ε
Transferencia de Calor
238
Tabla 9-8 Relaciones del NUT de un intercambiador de calor
Arreglo de flujo Relación
Tubos concéntricos
Flujo paralelo( ){ }R1
R11lnNUT+
+ε−−=
Contraflujo
−−
−=
1*1ln
11
RRNUT
εε
; R<1
1−=
εεNUT
; R=1
Coraza y tubos
Un paso por la coraza(2,4,... pasosde tubos)
( )
+−+−=
−
1E1ElnR1NUT
2/12
( )( ) 2/12R1
R11/2E+
+−ε=
N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasospor la coraza)
Use las ecuaciones del intercambiadoranterior con
RFF
−−= 11ε
11
RF εε
− = −
Flujo cruzado (un solo paso)
Cmáx (mezclado)
Cmín (sin mezclar)( )1ln 1 ln 1NUT R
Rε = − + −
Cmín (mezclado)
Cmáx (sin mezclar)( )( )1 ln ln 1NUT R R
Rε = − −
Todos los intercambiadores conCr=0
)1ln( ε−−=NUT
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
239
Transferencia de Calor
240
9.6 METODOLOGÍA DEL CÁLCULO DE UNINTERCAMBIADOR DE CALOR
Se han analizado dos métodos para realizar un análisis en un intercambiadorde calor el método del LMTD y el método de la eficiencia, ambos métodosse pueden usar y se obtendrán resultados equivalentes, pero dependiendo delo que se conoce y lo que se desea hallar un método puede resultar másefectivo que el otro.
El método LMTD se facilita con el conocimiento de las temperaturas deentrada y salida de los fluidos calientes y fríos, pues el LMTD se puedecalcular fácilmente, es decir si se conocen las temperaturas, el problemaconsiste en diseñar el intercambiador de calor (número de tubos por fila onúmeros de filas por tubos, material de los tubos, etc.).
Normalmente se tiene las temperaturas de entrada y salida del fluido y suvelocidad con lo que solo queda seleccionar un tipo de intercambiadorapropiado, es decir determinar el área superficial de transferencia de calor.
De manera alternativa se puede conocer el tipo de intercambiador y eltamaño mientras el objetivo es determinar la transferencia de calor y latemperatura de salida del fluido para la circulación del fluido y temperaturade entrada establecidas. Con esto podemos calcular el rendimiento de unintercambiador, pero los cálculos serían muy tediosos y requerirían iteración.
La naturaleza iterativa de la solución anterior se podría eliminar usando elmétodo Nut. A partir del conocimiento del tipo de intercambiador y deltamaño y las velocidades del flujo, los valores del Nut y de Cmin/Cmax sepodrían calcular y ε se podría determinar entonces de la tabla o ecuaciónapropiada. Como qmax también se puede calcular es fácil calcular latransferencia real de calor a partir del requisito que q = ε*qmax y ambastemperaturas de salida del fluido se pueden determinar.
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
241
TABLA DE CORRELACIONES PARA CALCULAREL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE
CALOR EXTERNO EN BANCO DE TUBOS
Tabla 9-9para determinar el coeficiente de transferencia de calor dentro de un ducto sepueden usar cualquiera de las siguientes correlaciones:
TUBOS LISOS FLUJO TURBULENTO
FORMULA CONDICIÓN OBSERVACIONES
f =(0.79*ln(ReD)-1.64)-2 104 < ReD < 5*105Si f no se encuentradentro del rango de
ReD, f se determina deldiagrama de Moody
NuD = 0.023ReD0.8*Prn ReD > 2600n = 0.4 para
calentamienton = 0.3 para
enfriamiento.
( )( )( )
−+
−=
18f7.121
10008f
322
1
r
rEBUD
P
PRN 3000 < ReD < 106
TUBOS RUGOSOS FLUJO TURBULENTO
2134.7*
02.54.7*2 −
+−−=
eDeD RreLogRr
eLogf ;
ReR = ReD*e/De*(f/8)0.5; ReR es el Reynolds rugoso
0 < ReR < 5 flujo hidrodinámicamente liso0 < ReR < 60 flujo rugoso en transición
60 < flujo totalmente rugoso
+
−
+
=85.11PrRe55.089.0
83
25.05.0
ehf
f
StR
;
ha se determina de la tabla 4.8 Pág. 350 del libro Mills
Para un flujo a través de un tubo de cualquier forma se trabaja con lasformulas anteriores bajo las mismas condiciones pero el Reynolds se evalúacon el diámetro hidráulico.
Dhid = 4×A/P
Siendo A el área de la sección transversal y P el perímetro mojado por elfluido.( )
( )2 24 4 De Di
De Diπ
π−
+
Transferencia de Calor
242
Tabla 9-10Para determinar el valor del coeficiente de transferencia de calor externo en unflujo transversal a un cilindro se pueden usar cualquiera de las siguientes formulas:
FORMULAS CONDICIONES OBSERVACIONES
NuD = C*ReDm*Pr1/30.4 < ReD <
4*105Pr>0.7
Se obtiene errores dehasta un 20% las
propiedades sonevaluadas a Tf los valoresde Con y m se toman de latabla 7.2 de la Incropera
NuD = C*ReDmPrn(Pr/Prs)1/41 < ReD < 106
0.7 < Pr < 500
las propiedades seevalúan a la temperatura
media del fluido
Prs se evalúa a latemperatura de superficie
( )1
2 13
12 4
3
0,62 Pr0.3
0,41Pr
ED
UD
R FN
= +
+
Para
ReD < 104
2*104 < ReD <4*105
4*104 < ReD <5*106
F=1
( ) 21
282000Re1 dF +=
45 5
8Re1282000
dF = +
Nud = (0.8237 ln(RePr)1/2)-1 RePr < 0.2 para flujos con unReynolds bajo
Para determinar el valor del coeficiente global de transferencia de calor enun flujo transversal externo en tubos de diferentes formas (triangular,hexagonal, cuadrado, etc) se determina con la siguiente relación:
Nud=C*RenPr1/4, los coeficientes Con y n se obtienen de la tabla 6-3 dellibro de Hollman o la tabla 7.3 de la Incropera.
El ReD es evaluado con el diámetro característico D encontrado en las tablasanteriormente nombradas.
ReD = V*D/ν
En un banco de tubos el ReD se determina con el área mínima, ya que aquí sepresentara la velocidad máxima de flujo, para tal efecto se tiene la siguienterelación:
Capitulo 9 Intercambiadores de Calor
243
( )max 1
2 22
2max ,
2
StStV VSt D StSl D
∞
= − + −
; ReDmax = VmaxD/ν
FORMULA OBSERVACIONES
Nu+10filas = ΦNu1fila
Ψ = 1-π/(4PT) si PL≤10
Ψ = 1-π/(4PTPL) si PL≥10
( )
+
−
Ψ+=Φ 25.1
7.0
3.07.01St
SlSt
Slalineado
Ptalternado 321+=Φ
( ) filafilas NudN
NNud 110 11 Φ−+=<
Para determinar el Nud1fila se utilizan lascorrelaciones para el Nud en un flujoexterno a un cilindro.PL=SL/De , PT=St/DeSL es la distancia entre tuboslongitudinalmente.ST es la distancia entre tubostransversalmente.D es el diámetro externo del tubo.
Φalineado es el factor para un arreglo detubos alineados
Φalternado es el factor para un arreglo detubos alternado
Nud<10filas se utiliza cuado el banco detubos tiene menos de 10 filas.
Nud>10filas = CReDnPr1/3 n y Con se evalúan de la tabla 6-4 Pág. 283del libro de Holman
Nud<10filas=C2Nud>10filas C2 se evalúa de la tabla 6-5 Pág. 284 de laHolman
Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción
TRANSFERENCIA DE CALORNotas de Clase
Problemas
Capítulo
9
Capítulo 9 problemas de Aplicación
245
Problema 1
Aun precalentador de aire llegan 16 kg/seg de gases a 500°C y 15 kg/seg de aire a 30°C. Elprecalentador tiene un área de 400m2 y un coeficiente de transferencia de calor global de1000W/m2°C.
Después del precalentador los gases pasan a un economizador en donde por dentro de sustubos pasa agua a 20°C a una rata de 8 kg/seg. Los tubos se encuentran doblados en forma deserpentín de tal forma que quedan 14 filas, tienen un diámetro externo de 2”, un espesor de0.05” y un largo de 2 m. El economizador tiene 6 tubos por filas, un arreglo de 45° y Ltpd=1.2Dext
Hallar el número de filas adicionales que se deben colocar para que se extraiga el 50% más decalor del gas en el economizador.
Tomar las propiedades del gas como 1.2 las propiedades del aire a la temperaturacorrespondiente.
Transferencia de Calor
246
PROCEDIMIENTO VariableCorrelación
de Churchill yBernstein
Correlaciónde
Grimson
Correlaciónde
Zhukauskas
PRECALENTADORAsumo Tg2 Tg2 427 427 427
Con Tg2 hallo Cpg Cpg 1306 1306 1306Haciendo balance e energía al gas en el
precalentador tenemosQ ..16 Cpg ( )500 Tg2 Q 1.525*106 1.525*106 1.525*106
Suponemos Cpa Cpa 1009 1009 1009
Del balace de energía para el aire en elprecalentador tenemos
Ta2Q.15 Cpa
30Ta2 130.8 130.8 130.8
TaTa2 30
2 Ta 80.4 80.4 80.4
Con Ta vuelvo a calcular Cpa, hasta queeste no cambie Cpa 1009 1009 1009
Calculamos la LMTDcc
LMTDcc( )500 Ta2 ( )Tg2 30
ln500 Ta2Tg2 30
LMTDcc 382.3 382.3 382.3
Hallamos los valores de P y Z
PTg2 500
470P 0.155 0.155 0.155
Z.Cpg 16.Cpa 15
Z 1.381 1.381 1.381
F es encontrado en gráficas con los valores de PyZ F 1 1 1
Se recalcula el calor transferido con la ecuaciónde la LMTD y se corrobora con el que se obtuvo
anteriormente
Q ..UA LMTDcc FQ 1532*106 1532*106 1532*106
Capítulo 9 problemas de Aplicación
247
ECONOMIZADORAsumimos Tg3 Tg3 354 367.55 378
Hallamos la temperatura media del gas en eleconomizador
TgTg2 Tg3
2
Tg 390.5 397.15 404
Cpg2(Tg) Cpg2 1278 1281 1282Haciendo balance de energía para el gas en el
economizador tenemos
Q2 ..16 Cpg2 ( )Tg2 Tg3Q2 1.186*106 1.218*106 1005*106
Suponemos Cpw Cpw 4179 4179 4178
Con el balance de energía al agua en el
economizador tenemosTw2
Q2.8 Cpw
20 Tw2 64.65 56.4 50
Hallamos la temperatura media del agua
TwTw2 20
2Tw 42.3 38.2 35
Con Tw vuelvo a calcular Cpw, hasta queeste no cambie
Cpw 4179 4179 4178
Con Tw buscamos las propiedades del aguaPrw(Tw)
Prw 4.16 4.252 4.252
µw(Tw) µw 631*106 682*106 682*106
Kw(Tw) Kw 0.634 0.63 0.63
Con las propiedades del agua hallamos elReynolds interno
Rei.8 4
....π 1.9 0.0254 6 µw
Rei 5.75*104 51580 51580
f ( ).0.79 ln( )Rei 1.64 2f 0.02 0.021 0.021
Transferencia de Calor
248
Hallamos el Nud interno dependiendo del valordel Rei
Nudi
..f8
( )Rei 1000 Prw
1 ..12.7f8
12
Prw
23 1
Nudi 288.345 272.583 272.583
Hi .NudiKw
0.035Hi 5223 4906 4906
Asumimos Ts Ts 60 60 50
Hallamos la temperatura fílmica
Tf Ts Tg2
Tf 229 228.6
Laspropiedadesse evaluan a
Tg
Con Tf buscamos las propiedades del gasPrg(Tf)
Prg 0.8208 0.8208 0.828
Kg(Tf) Kg 0.04884 0.04884 0.616
µ g(Tf) µg 324*10-7 324*10-7 398*10-7
Con las propiedades calculamos el Reynoldsexterno
Ree0.74µg
y con este hallamos el Nud externo con lasdiferentes relaciones
Ree 22840 22840 18590
CORRELACIÓN DE CHURCHILL Y BERNSTEIN
Nud1 .0.3..0.62 Ree0.5Prg
13
10.4Prg
23
14
1Ree
282000
0.
Nud1 100.3
Φ=1+2/3Pt Φ 1.38
Capítulo 9 problemas de Aplicación
249
Nudg .Φ Nud1 Nudg 138.4
Correlación de GrimsonC(St/d, Sl/d) en tablas
C 0.495
n(St/d, Sl/d) en tablas n 0.571
Nudg ..C Reen Prg
13 Nudg 142
Correlación de ZhukauskasC(Ree, alernados St/Sl>2) en tablas
C 0.6
m(Ree, alernados St/Sl>2)en tablas m 0.4
Nudg ...C Reem Prg0.36 PrgPrgs
14 Nudg 91.6
He .NudgKg
0.0508He 133.1 137.332 111
Hallamos la resistencia de la pared
RPln
21.9
.....2 π K 2 NTF NF
RP 9.66*10-6 9.66*10-6 9.66*10-6
Evaluando globalmente la temperatura superficialcon el balance de energía para los tubos tenemos
Ts
.Tg1
.Hi 25.33RP .Tw
1.He 26.38
1.Hi 25.33
RP1
.He 26.38
y corroboramos con el valor asumido antes
Ts 58.27 58.89 53.16
Hallamos el coeficiente global de transferencia decalor para el economizador
UA21
1.He 26.38
RP1
.Hi 25.33
UA2 3310 3410 2786
Transferencia de Calor
250
Calculamos la LMTDcc
LMTDcc( )425 Tw2 ( )Tg3 20
ln425 Tw2Tg3 20
LMTDcc 359 359.165 366.6
Calculamos Py Z
PTw2 20425 20
P 0.088 0.088 0.082
Z.Cpw 8
.Cpg 16Z 1.381 1.381 1.381
El factor de corrección F se encuentraen gráficas, con los valores de P y Z
F 1 1 1
Hallamos el valor del calor transferido en eleconomizador y lo corroboramos con el
obtenido anteriormente
Q2 ..UA2 LMTDcc FQ2 1.189*106 1.218*106 1021*106
Para hallar el nuevo calorQ3=Q2*1.5 Q3 1.783*106 1.828*106 1.531*106
Con el balance de energía al gas en eleconomizador
Tg4 425Q3.16 Cpg
Tg4 340 337.5 351
Con el balance de energía al agua en el
economizadorTw3
Q3.8 Cpw
20 Tw3 73.3 74.7 65
Hallamos la LMTD
LMTD ( )425 Tw3 ( )Tg4 20
ln 425 Tw3Tg4 20
LMTD 335.4 333.6 345
PTw3 Tw2Tg3 Tw2
P 0.03 0.155 0.08
Capítulo 9 problemas de Aplicación
251
Z.Cpg 16.Cpw 8
Z 0.625 0.625 0.625
F(P,Z) F 1 1 1
Hallamos el coeficiente de transferencia decalor global con la ecuación del LMTD
UAQ3
.LMTD F
UA 5317 5478 4343
Asumimos el número de tubos por fila NF NF 41 39 41suponemos Ts para hallar la nueva temperatura
fílmicaTs 70 70 70
Hallamos la temperatura media del gas
TgTg3 Tg4
2Tg 354 352.5 364
TfTs Tg
2Tf 202 211.25 215
Con Tf hallamos las propiedades del gasKg(Tf)
Kg 0.0468 0.0468 0.0468
µg(Tf) µg 312.*10-6 321*10-6 321*10-6
Prg(Tf) Prg 0.685 0.685 0.685
Con las propiedades del gas hallamos el Reynoldsexterno
Ree
..16..( )0.09 .2 0.0254 2 NF
2 0.0254
µg
Y con esto hallamos el Nud externo con cadacorrelación
Ree 7804 7441 6353
Transferencia de Calor
252
Correlación de Churchill y Bernstein
Nud1 .0.3..0.62 Ree0.5 Prg
13
10.4Prg
23
14
1Ree
282000
0.5
Nud153.37
Nudg .Φ Nud1 Nudg 73.7
Correlación de HilpertC(st/d, Sl/d) de tablas
C 0.495
n(st/d, Sl/d) de tablas n 0.571
Nudg ..C Reen Prg
13 Nudg 75.3
Correlación de ZhukauskasC(st/d, Sl/d) de tablas
C 0.446
m(st/d, Sl/d) de tablas m 0.571
Prgs(Ts) Prgs 0.84
Nudg ...C Reem Prg0.36 PrgPrgs
14 Nudg 48
He .NudgKg
0.0508He 70.8 72.38 58
Hallamos la resistencia de la pared
RPln
21.9
.....2 π 40 2 6 NF
RP 4.15*10-7 3.955*10-7 4148*10-7
Hallamos la temperatura media del agua
TwTw3 Tw2
2Tw 64.8 65.55
57
µw(Tw) µw 439*10-6 439*10-6 439*10-6
Kw(Tw) Kw 0.657 0.657 0.657Prw(Tw) Prw 2.792 2.792 2.792
Capítulo 9 problemas de Aplicación
253
Rei.8 4
....π 1.9 0.0254 6 µwRei 80130 80130 80130
f ( ).0.79 ln( )Rei 1.64 2 f 0.019 0.019 0.019
Hallamos el Nud interno
Nudi
..f8
( )Rei 1000 Prw
1 ..12.7f8
12
Prw
23 1
Nudi 324.4 324.4 324.4
Hi .NudiKw
0.04826Hi 4416 4416 4416
Evaluando globalmente la temperatura superficial de los tubos
Ts
.Tg 1..Hi ( )...π 1.9 0.02546 NF
RP .Tw 1..He ( )...π 0.05082 6 NF
1..Hi ( )...π 1.9 0.02546 NF
RP 1..He ( )...π 0.05082 6 NF
Y con este corroboramos el valor asumido anteriormenteTs 74 75.4 66
Hallamos el número de filas de la ecuación del UA con las resistencias térmicas totales
NF .1.He ( )...π 0.05082 6
1.Hi ( )...π 1.9 0.02546
ln 21.9
....2 π 40 2 6UA
Y corroboramos con el valor supuestoNF 40.6 38.8 40.8
Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar, los que están en verde sonlos que se han supuesto e inmediatamente obtenidos y los valores en azul son los valores conlos que se corrobora la iteración, es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtenerel resultado final.
Transferencia de Calor
254
Problema 2
Se tiene un banco de tubos alineados con St/Dext= 1.5 en donde entran 10 kg de aire a 560°Cy sale a 400°C y una cantidad de aire esta recirculando por el banco de tubos.
Los tubos tienen un diámetro externo de 0.04 m y un diámetro interno de 0.035 m, longitud de2 m y un K de 40 W/m°C, pueden soportar una temperatura máxima de 390°C, en el interiorfluye 6 kg/seg de agua que se reparte uniformemente en cada tubo y tiene una temperatura de40°C. Hallar la fracción de aire que recircula y el número de tubos por fila que hay.
Transferencia de Calor
255
ROCEDIMIENTO VARIABLES
CORRELACIÓNDE
CHURCHILLY BRESTEIN
CORRELACIÓNDE
GRIMSON
CORRELLACIÓNDE
ZHUKAUSKAS
Asumimos Tw2 Tw2 82 79 80
Hallamos la temperatura promedio del agua
Twprom 40 Tw22
Twprom 61 59.5 61
Cpw(Tw) Cpw 4186 4186 4186
Con el balance de energía total al agua en los tubos tenemos
Q ..6 Cpw ( )Tw2 40 Q 1055*106 8539*106 1005*106
Con Tw buscamos las propiedades del aguaKw(Tw) Kw 0.68 0.68 0.68
Cpw(Tw) Cpw 4186 4186 4186
Prw(Tw) Prw 2.88 2.88 2.88
µw(Tw) µw 4.53*10-4 4.53*10-4 4.53*10-4
Suponemos Cpa (Ta1) Cpa 1075 1075 1075
Combinando las ecuaciones de balance de energíapara el gas en el Intercambiador y el balance de
energía en la cámara de mezcla,eliminamos F (siendo F =masa de recirculación/
masa de aire que entra) y obtenemos
Ta1...400 Cpa 10 ( ).1106.26560 .400 1057.71 ..400 1057.71Q..10 Cpa ( ).1106.26560 .400 1057.71 .Q Cpag
Ta1 402.2 402 402.2
Hallamos el Cpa del aire a la temperatura de entrada ycorroboramos
con el que supusimos antesCpa (Ta1)
Cpa 1075 1075 1075
Hallamos la temperatura promedio del aire
Ta Ta1 4002
Ta 401 401 401
Con la temperatura de entrada de los gasesCpag(Tag) Cpag 4187 4187 4187
Con la temperatura promedio del aire
µa(Ta) µa 322*10-7 322*10-7 322*10-7
Ka(Ta) Ka 0.495 0.495 0.495
Pra(Ta) Pra 0.65 0.65 0.65
Capitulo 9 Problemas deAplicación
256
Haciendo balance de energía a todo el aire que pasa por elbanco de tubos
F ( ).1096 560 ( ).Ta1 Cpag( ).Cpag Ta1 ( ).400 1057.71
siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra
F 41.25 44.7 43.5
Asumiendo NTF NTF 51.5 51 51.5
Hallamos la resistencia de la pared
RPln 0.04
0.035.....2 π 40 2 8 NTF
RP 6.477*10-7 6.46*10-7 6.448*10-7
Hallamos el Reynolds interno
REi .6
....π 0.0352
48 NTF µw
0.035REi 1169 1172 1169
f ( ).0.79 ln( )REi 1.64 2 f 0.064 0.064 0.064
Hallamos el Nud interno
Nudi
..f8
( )REi 1000 Prw
1 ..12.7 f8
12
Prw
23 1
Nudi 1.81 1.836 1.813
Hi .Nudi Kw0.035 Hi 35.2 35.7 35.2
Calculamos el área interna
Ai ....π 0.035 8 2 NTF Ai 90.6 90.4 90.6
Hallamos la LMTD
LMTD ( )400 Tw2 ( )Ta1 40
ln 400 Tw2Ta1 40
LMTD 339.6 341 340.5
Calculamos el área externa
Ae ....π 0.04 2 8 NTF Ae 103 103.3 103
Hallamos el UA con la LMTD
UA QLMTD
UA 3106 2872 2950
Con las propiedades del aire y el numero de tubos por filasupuestos
Transferencia de Calor
257
hallamos el RE externo
REe..10 ( )1 F 0.04..NTF 0.02 µa
y con él calculamos los Nud externos con cada correlación
REe 50880 55110 53630
Correlación de Churchill y Berstein
Nud1 .0.3..0.62 REe0.5 Pra
13
1 0.4Pra
23
14
1 REe282000
58
45
Nud1 701
ψ 1 π.4 1.5
ψ 0.476
Φ 1 .1 0.3
.ψ1.5 ( )1 0.7 20.7
Φ 1.516
NudA .1 .7 Φ8
Nud1NudA 1017
Correlación de GrimsonC(St/d, Sl/d) C 0.386
n(St/d, Sl/d) n 0.592
NudA ..C REen Pra
13 NudA 852
Correlación de ZhukauskasC( alineado, Ree) C 0.27
m ( alineado, Ree) m 0.63
Pras(Ts) Prs 0.84
NudA ...C REem Pra0.36 PraPras
14
NudA 931
He .NudA Ka0.04 He 1264 1062 1157
Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global conlas resistencias totales
UA 11.He Ae
RP 1.Hi Ai
y corroboramos con el hallado anteriormente
UA 3106 3128 3135
Capitulo 9 Problemas deAplicación
258
Se halla el Nud externo de la primera fila de tubos
Nud1 .0.3..0.62 REe0.5 Pra
13
1 0.4Pra
23
14
1 REe282000
58
45
Nud1 701 747 747.3
Con la evaluación de la temperatura superficial en el lugardonde
alcanzará la mayor temperatura (a la salida de los tubos de laprimera fila)
Tw2 390
..( )Ta1 390 Nud1 Ka0.04
Hi
Tw2 86.6 79.55 79.37
Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar y los valores en azul son los valores con losque se corrobora la iteración , es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.
Transferencia de Calor
259
Problema 3
¿Qué ancho debe tener un intercambiador de aletas en donde se enfría aire de 30°C a 10°C auna rata de 5kg/seg si por dentro de los tubos pasa Refrigerante R134A a 10°C y con uncoeficiente de transferencia de calor de 600 W/m2°C?. La velocidad del aire a la entrada delintercambiador es de 6 m/seg.
Características geométricas modulares del equipo
Ai/At=0.1Afrontal/Amínima=1.87Ai/V=400 m2/m3CondicionesLa resistencia de la pared es el 12% de la resistencia totalLa eficiencia de la aleta es 80 %El diámetro equivalente es 0.004m
Con las temperaturas de entrada y salida del aire y la temperatura del refrigerante podemoscalcular la eficiencia:
εTa1 Ta2
Ta1 TR134=ε 0.5
Como podemos considerar el intercambiador como un evaporador, el Cmín/Cmáx es igual acero y tenemos entonces la siguiente relación para NUT(ε,0):
NUT ln( )1 ε =NUT 0.693
Capitulo 9 Problemas deAplicación
260
Teniendo en cuenta que el fluido con el Cmín es el aire (Cpa=1011.3):
UA ..NUT ma Cpa
UA= 3504
y UA = 1/RT donde RT 1.Hi Ai
1..He At ηs
RP
RT .1.Hi Ai
1..He At ηs
10.88
UA 0.881.Hi Ai
1..He At ηs
ηs 1 .AfAt
( )1 ηa
Ecuación A Ai .0.1 At
Ai + Af =At
Af = 0.9At ηs=0.82
Para hallar He debemos usar la gráfica J vs Remáx
REmax.ma Dequiv
.AmínµaAf =ma / ρa* u =0.888 m
AmínAf1.87
Amín =0.475m2
µa =218.94*10-7
Re máx = 1992
Con Remáx hallo J de las gráficas que dependen del tipo de intercambiador (la disposición ytipo de las aletas –se pueden encontrar en la Incropera, Mills, Holman)
Transferencia de Calor
261
con J = 0.008 tenemos:
StJ
Pr2
3
St = 0.01 = He/(u*Cpa*ρa)
He=57.5 W/m2°C
Entonces despejando de la ecuación de UA, Ai:
Ai= 15.1 m2
V = Ai/400 = 15.1/400 = 0.038m3
L = V/ Af = 0.038/0.888 = 0.043 m
J = 0.008
Capitulo 9 Problemas deAplicación
262
Problema 4
Del sistema mostrado en la figura calcular la longitud del primer intercambiador, al área detransferencia de calor en el banco de tubos y el flujo másico que circula en el sistema.Sabiendo que el intercambiador consume el 50% de la carga
Tomar las propiedades de la leche como las propiedades del agua a la temperatura indicada.
Debido a que el intercambiador absorbe el 50% de la carga se puede decir que el calorabsorbido por la leche al ingresar por primera vez al intercambiador el igual a la absorbida enel banco de tubos, de lo cual podemos deducir la siguiente expresión.
Cp1(Tw1-20) = Cp2(82-Tw1), en donde los Cp son evaluados a la temperatura media del fluidoa la entrada y salida de la leche del intercambiador y el banco de tubos respectivamente.
por lo tanto se hace necesario hacer una iteración de tal forma que se tenga una temperaturade leche inicial se evalúen las propiedades y se obtenga una nueva temperatura, hasta que seencuentre el Tw1 que cumpla con la igualdad.
Tw1=50.1 es la respuesta a esta iteración.
Para determinar el flujo másico de leche que atraviesa el banco de tubos se asume que estasaldrá a la temperatura máxima, par tal efecto es necesario que el área para la transferenciade calor sea muy grande. con la relación de entrada para flujo cruzado , un flujo mezclado
Tw2
Tw1
Tas
Tw=82 Tmax = 115
20°Leche
Contenedor
Banco de
Tubos
1Kg/s0.05
0.06
0.08
K=40w/m2K
Intercambiador
Transferencia de Calor
263
(aire con Cpa ma) y otro sin mezclar (leche con Cpw mw) y con Cpa ma < Cpw mw (del librode Mills Pág. 773 tabla 8.3ª inciso 7) se hallo la siguiente correlación.
[ ]RNtueRe
−−−
−=1
1
1ε
el área de transferencia de calor se toma bien grande lo que conlleva a reducir la formulaanterior a:
Re1
1−
−=ε
haciendo balances de energía para el agua y para el aire:
Q = ma Cpa(150 - Tas)
Q = mw Cpw (115 – 51.1)
otras relaciones encontradas son:
mwCpwmaCpaR =
Tas = 150 - ε (115 – 51.1)
para resolver las 5 incógnitas anteriores se resuelve por iteración, las propiedades se evalúana la temperatura media de los fluidos aire y agua respectivamente.
Ta Cpa Que mw R ε Ta
89.43 1007.24 6.101*104 0.229 1.055 0.612 89.43
Debido a que solo hay una cantidad de masa que cumple con esta condición, esta es lacantidad de masa de leche que fluye por el sistema.
Para determinar la verdadera Tas y el área de transferencia de calor se tienen las siguientescorrelaciones:
Qreal = mw Cpw (115 – 51.1)
Qreal = 29735.7 w
haciendo un balance de energía para el aire:
Tas = 150 - Qreal /(ma Cpa)
Tas = 120.53°C para Cpa = 1009j/Kg°K
Capitulo 9 Problemas deAplicación
264
de la correlación encontrada inicialmente se tiene:
3.01.51150
150 =−−= Tasε
04.1==mwCpwmaCpaR
( )[ ] 44.011lnln1 =+−−= εRR
Nut
Despejando el área de transferencia de calor tenemos:
A = Nut*Cpa*ma/U
A = 4.44 m2
para determinar la longitud del intercambiador se le hace un balance de energía a ambosflujos.
Qr = mw Cpw (51.1 - 20) = 29862.3 W
Tw2 = 82 – Qr/(Cpw mw) = 51.1°C
Según el método de la temperatura media logarítmica se tiene:
( ) ( )
−−
−−−=
1.5182201.51ln
1.5182201.51LMTD
LMTD = 31
UA = Qr / LMTD
UA = 963.3w/°K
Se tiene ahora de la definición del coeficiente global de transferencia de calor que:
heAeKLhiAi
UA1
2
)05.006.0ln(1
1
++
=
π
De donde La se puede despejar, pero aun así nos hacen falta los coeficientes de transferenciade calor tanto interno como externo.
Transferencia de Calor
265
Propiedades de la leche son:
µ 6.9 10 4−⋅:= mw 0.23:= Pr 4.6:= K 0.628:= D 0.05:=
Para el Reynolds en el interior del tubo tenemos:
Re 4mw
π 0.05⋅ µ⋅⋅:= Re 8.488 103×=
f 0.79 ln Re( )⋅ 1.64−( ) 2−:= f 0.033=
las correlaciones encontradas para flujo interno son dos y son las siguientes
NUD
f8
Re 1000−( )⋅ Pr⋅
1 12.7f8
1
2Pr
2
3 1−
⋅+
:= NUD 58.196=
Nud2 0.023Re0.8 Pr0.4:= Nud2 58.869=
hiUD NUDKD
⋅:= hiUD 730.941=
hiud2 Nud2KD
⋅:= hiud2 739.394=
Para el flujo externo hay que tener en cuenta que es un flujo anular, para el cual se debetrabajar la longitud característica del Reynolds con el diámetro hidráulico. Este se determinacon la relación Do-Di = 0.08 – 0.06 = 0.02 m y se procede a hallar Re.
µ 4.31 10 4−⋅:= mw 0.23:= Pr 2.7:= K 0.661:= D 0.02:=
Re 4mw D⋅
π 0.082 0.062−( )⋅ µ⋅⋅:= Re 4.853 103×=
f 0.023:=
f fue determinado del diagrama de Moody.
Capitulo 9 Problemas deAplicación
266
NUD
f8
Re 1000−( )⋅ Pr⋅
1 12.7f8
1
2Pr
2
3 1−
⋅+
:= NUD 18.245=
Nud2 0.023Re0.8Pr0.4:= Nud2 30.416=
heUD NUDKD
⋅:= heUD 602.991= hiUD 730.941:=
heud2 Nud2KD
⋅:= heud2 1.005 103×= hiud2 739.394:=
Determinados los coeficientes de transferencia de calor por convección, se determina lalongitud del intercambiador con la siguiente relación:
UA 963.3:=
L UA1
hiUD π⋅ 0.05⋅
ln0.060.05
2 π⋅ 40⋅+
1π 0.06⋅ heUD⋅
+
⋅:= L 17.564=
L2 UA1
hiud2 π⋅ 0.05⋅
ln0.060.05
2 π⋅ 40⋅+
1π 0.06⋅ heud2⋅
+
⋅:= L2 14.077=
Transferencia de Calor
267
Problema 5
Un intercambiador de banco de tubos de 10 filas (tubos de 2 m de largo, K=40 W/mªC, de/dide 0.022/0.018 m, arreglo a 90º, con relación Ltpd/de=1.25)se utiliza para calentar agua desde20ºC hasta 52ªC, mediante 6 Kg/sg de aire disponibles a 160ºC.
El agua se mueve por el interior de los tubos repartiéndose uniformemente entre los NTF queforman una fila y pasando sucesivamente hacia las demás filas mediante codos de 180 ª quehay en cada extremo de los tubos(despreciar la transferencia de calor que existe en estoscodos ya que no se ponen en contacto térmico con el aire).
Si l numero de filas de este banco fuera muy grande, bajo las mismas condiciones de flujo y detemperatura de entrada de los fluidos el agua podría salir a una temperatura de 96 ªC.
Asuma que la relación de (efectividad como función de R y NTU) para este tipo deintercambiador es la siguiente:
1
1R NTUeReε
− × −−
= −
Determinar la temperatura de salida del aire en el caso básico (NF=10) y el área total delintercambiador.
SOLUCION:
52
20
160
T2
Capitulo 9 Problemas deAplicación
268
Para el banco de tubos de tamaño infinito:
−=
−−×−
Re NTUR
e1
lim 1ε
1
lim(1) 1 RSi NTU eε−
→ ∞ ⇒ = −
(2) )160(6 lim2lim TCpQ a −××=
(3) )2096(lim −××= ww CpmQ
(4)max
min
CpmCpmR
××=
(5)20160
min
−∆
=T
ε
De (1) =0.7488 O.K
KgKJCpKC w /6.4178331º582
9620 =⇒==+
)160(62.635147 lim2lim TCpQ a −××==
Asumo T2=56ºC 10.1008381º1032
56160 =⇒==+=⇒ aa CpKCT
2635147.2160 55º
6 a
T CCp
⇒ = − =
segKgmw /2=&
Asumo wm& T2lim (2) mCpw mCpa R (5)
2 55ºC 8357.2 6048.3 0.723 0.75
Transferencia de Calor
269
Para el banco de tubos finito:
min (1.25 )e eA NTF d d L= −
1. 2 (52 20)wQ Cp= −
2. 26 (160 )aQ Cp T= −
3.20160min
−∆
= mCpTε
4. min
max
mCpRmCp
=
5.
−=
−−×−
Re NTUR
e1
1ε
6.minmCp
UANTU =
7. 2 1022ln1 118
2 40i i e e
NTFUA
h d h d
π×=
+ +×
8. 2
4 2Re ii
i w
dNTF dπ µ
×=
9. (Re, Pr)ii
Kh fd
=
10. 2 10 20 52( )22 2ln1 182 40
s
i i
NTFQ T
h d
π× += × −
+×
11.2
2160 2TT
Ts
f
++=
12. min 0.25 eA NTF d L=
Capitulo 9 Problemas deAplicación
270
13.min
6Re ei
a
dA µ
=
14. 10 1filas filae eh hφ=
15. 1.5 2
0.7 1 0.31 1.7482 1 0.3716(1 0.7) 4 1.25
e
e
dd
πφ ϕϕ
−= + = ⇒ = − =+ ×
16.
41 5 53 811
2 43
0.62 Re Pr Re0.3 1282000
0.41Pr
efila ee
e
khd
= + + +
De la ecuación (1)
2 4174.4(52 20) 267161.6Q W= × − =
De la ecuación (2)
KCp
Ta
9.1158.100966.267161160
66.2671611602 =
×−=
×−=
8.83484.41722 =×=wmCp
8.60588.10096 =×=amCp
De la ecuación (4)
min
max
6058.8 0.72578348.8
mCpRmCp
= = =
De la ecuación (3)
315.020160
9.11516020160min =
−−=
−∆
= mCpTε
De la ecuación (5)
Transferencia de Calor
271
1
1 1 0.315 0.685R NTUeReε
− × −−
= − = − =
72544.0378336.01 7257.0 ==− ×−×−
NTUNTUR
eR
e
442.0=NTU
De la ecuación (6)
KOUA .79.2679=
AsumoNTF
Rei
(8)
hi
(9)
sT
(10)
Tf
(11)
Ree
(13)
he1fila
(16)
he1fila
(14)ComprueboUA (7)
Capitulo 9 Problemas deAplicación
272
CONCLUSIONES
El cálculo de los coeficientes de transferencia de calor de manera analítica es muy complejo,por lo que se ha tenido que estudiar de forma empírica las posibles correlaciones que estospuedan tener con diferentes parámetros adimensionales (los cuales tienen interpretacionesfísicas) que hagan semejantes unos sistemas de otros.
En este trabajo recopilamos algunas de estas correlaciones para flujo externo, banco de tubos eintercambiadores de calor y aplicamos varias de ellas en un mismo problema para compararlos resultados y tener una idea de que tan grande es la incertidumbre que podemos tener de losresultados que nos dan cada una de ellas.
La correlación de Chuirchill y Bernstein es una relación muy completa y debe ser preferiblepara planteamientos con computadoras, debido a la amplia gama de fluidos y números deReynolds que cubre. Las correlaciones de Grimson y Zhukauskas son más sencillas y son muyparecidas por lo que sus resultados son más concordantes. Algunas tienen en cuenta de maneraun poco más precisas la variación de las propiedades con respecto a como varía latemperatura, lo que involucra mayor número de correcciones con factores a las correlaciones ytratan de dar una solución más exacta.
En la solución de los problemas pudimos percibir que en el resultado final, hay diferenciaspero en algunos no es tan grande y cabe dentro de la incertidumbre prevista que es muygrande, ya que estas correlaciones son obtenidas empíricamente y por más que se trate noserán igual de precisa que los modelos. Por tanto la elección de la correlación queda sujeta acriterio por las facilidades de cálculo que se tengan.
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