ts. ngô văn thanh, - iop.vast.ac.vnslides).pdf · 5.1. vi phân. 5.1.1. lấy vi phân các hàm...

TS. Ngô Văn Thanh,Viện Vật lý.

Cao học vật lý – chuyên ngành Vật lý lý thuyết.

Chương 5. Vi phân và tích phân.

5.1. Vi phân

5.1.1. Lấy vi phân các hàm giải tích.

5.1.2. Lấy vi phân các hàm rời rạc.

5.1.3. Sai phân xác định và đạo hàm bậc hai (Finite differences and second order derivatives).

5.2. Tích phân xác định.

5.2.1. Phương pháp Newton và phương pháp Simpson.

5.2.2. Phương pháp Monte-Carlo. Tích phân nhiều chiều.

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

5.1. Vi phân.

5.1.1. Lấy vi phân các hàm giải tích.

Định nghĩa:

Đạo hàm dạng 2 điểm:

Đạo hàm dạng 3 điểm (End-Point):

Hoặc là (Mid-Point)

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Đạo hàm dạng 5 điểm (Mid-Point):

Hoặc là (End-point)

Đạo hàm bậc 2: Đạo hàm dạng 3 điểm (Mid-Point):

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Đạo hàm hai biến:

REAL, FUNCTION dfridr(x,h,err)

IMPLICIT NONE

REAL, INTENT(IN) :: x,h

REAL, INTENT(OUT) :: err

INTEGER,PARAMETER :: NTAB=10

REAL, PARAMETER :: &

CON=1.4,CON2=CON*CON,BIG=1.E30,SAFE=2.0

INTEGER :: i,j

REAL :: hh

REAL, :: errt,fac

REAL, DIMENSION(NTAB,NTAB) :: a

hh=h

a(1,1)=(func(x+hh)-func(x-hh))/(2.0*hh)

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

err=BIG

do i=2,NTAB

hh=hh/CON

a(1,i)=(func(x+hh)-func(x-hh))/(2.0*hh)

fac=CON2

do j=2,i

a(j,i)=(a(j-1,i)*fac-a(j-1,i-1))/(fac-1.)

fac=CON2*fac

errt=max(abs(a(j,i)-a(j-1,i)),abs(a(j,i)-a(j-1,i-1)))

if (errt.le.err) then

err=errt

dfridr=a(j,i)

endif

enddo

if(abs(a(i,i)-a(i-1,i-1)).ge.SAFE*err)return

enddo

END FUNCTION dfridr

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

5.2. Tích phân xác định.

5.2.1. Phương pháp Newton và phương pháp Simpson.

Phương pháp FIT trực tiếp:

Các hệ số an được xác định bằng phương pháp khử Gauss

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Ví dụ:

Xét 3 điểm :

Ta có hệ phương trình

Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss:

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

x f(x)

3.1 0.32258

3.5 0.28571

3.9 0.25641

Biểu thức Newton-Cotes:

Chia nhỏ miền lấy tích phân (a, b) thành n + 1 điểm.

Đa thức nội suy Lagrange bậc n của hàm f :

Quy tắc hình thang (Trapezium).

Đa thức bậc 1,

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Quy tắc Simpson.

Đa thức bậc 2,

Phương pháp tổ hợp MidPoint.

Chia miền tích phân thành n + 2 khoảng,

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Phương pháp tổ hợp hình thang.

Chia miền tích phân thành n khoảng,

Phương pháp tổ hợp Simpson.

Chia miền tích phân thành n khoảng,

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

5.2.2. Phương pháp Monte-Carlo. Tích phân nhiều lớp.

Phương pháp Monte-Carlo:

Tích phân 1 lớp:

Tích phân 2 lớp:

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Tích Phân nhiều lớp:

Lấy tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:

Chia miền tích phân thành n và m khoảng

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Lấy tiếp tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:

Trong đó:

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý

Cuối cùng ta có:

Sai số:

@2009, Ngô Văn Thanh - Viện Vật Lý