tugas komputasi numerik.pdf
Post on 25-Oct-2015
131 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
D E P A R T E M E N T E K N I K K I M I A U N I V E R S I T A S I N D O N E S I A
2013
TUGAS PRA-UAS MATA KULIAH KOMPUTASI NUMERIK
Saeful Pranata | 1106013290 | Teknologi Bioproses
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 1
to
T
dXW F
-r'
1/2 1/2
3 m m o oT 1/2 1/2
m m o o
k .K .P .K Pr'
1 K .P 1 K .P
1/ 2
T 1/ 2
0.285 0.154 0.077 0.0775.92
1 0.12 1 0.12-r'3.534 1.9096 0.077 0.077
1 1 1.111 0.12 1 0.12
X X
X X
X X
X X
Soal 1. Persamaan Disain Fixed Bed Reactor
Packed-bed reactors adalah reaktor tubular terisi oleh partikel-partikel katalis. Persamaan disain
reaktor bed adalah sebagai berikut,
(1.1)
Dimana : X adalah Nilai Konversi Metanol menjadi Formaldehida,
W adalah jumlah katalis yang digunakan/diisikan dalam reaktor, kg katalis.
Fo adalah laju umpan reakton masuk reaktor, mol/jam.
Persamaan laju untuk konversi metanol menjadi Formaldehida adalah
(1.2)
Dan berdasarkan penentuan harga kontanta Km, Pm, Ko maka menjadi didapat persaman laju
reaksi berikut
, mol/g. jam
Untuk menghitung harga W/Fo reaktor, maka perlu melakukan perhitungan dengan
mengintegrasi harga dX/-r’T dalam rentang konversi tertentu. Dengan kemampuan anda dalam
Komputasi Numerik, hitunglah harga W/Fo dengan rentang konversi tabel berikut.
Tabel Konversi Xawal dan X akhir
No.kode Xawal X akhir B1 0 0,3 B2 0 0,5 B3 0 0,7 B4 0 0,9 B5 0,1 0,5 B6 0,1 0,7
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 2
B7 0,1 0.9 B8 0,3 0,7 B9 0,3 0,9
B10 0,4 0,9
Penyelesaian:
Batas yang digunakan adalah seperti yang tertera pada B1, yaitu dari 0 sampai 0,3.
W = Fo ∫
∫
∫
(1.3)
Seperti yang diketahui bahwa nilai –r’T adalah A
*
+(
)
B C
Setelah membuat analogi seperti di atas, maka dengan bantuan program Microsoft Excel dapat
diketahui nilai A, B, C dan 1/-r’T dengan memasukkan nilai batas B1.
Interval yang digunakan = 0,02
X A B C -r’T 1/r'T (f(x)) 2f(x)
0 0.1299 4.534 1.0419 0.0275 36.3608 72.72155
0.02 0.1098 4.4874 1.0409 0.0235 42.5391 85.07828
0.04 0.1007 4.4411 1.04 0.0218 45.8604 91.72071
0.06 0.0936 4.395 1.0391 0.0205 48.8128 97.62554
0.08 0.0875 4.3491 1.0382 0.0194 51.63 103.26
0.1 0.0821 4.3034 1.0373 0.0184 54.4048 108.8096
0.12 0.0772 4.2579 1.0364 0.0175 57.1875 114.3751
0.14 0.0727 4.2127 1.0355 0.0167 60.0112 120.0224
0.16 0.0686 4.1676 1.0346 0.0159 62.9004 125.8008
0.18 0.0647 4.1228 1.0337 0.0152 65.8753 131.7506
0.2 0.0611 4.0782 1.0328 0.0145 68.954 137.908
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 3
0.22 0.0577 4.0338 1.032 0.0139 72.1536 144.3072
0.24 0.0545 3.9896 1.0311 0.0132 75.4909 150.9818
0.26 0.0515 3.9456 1.0302 0.0127 78.9832 157.9663
0.28 0.0486 3.9018 1.0293 0.0121 82.6485 165.2969
0.3 0.0459 3.8582 1.0285 0.0116 86.5061 173.0122
Setelah mendapatkan hasil seperti tabel di atas, lalu digunakan persamaan Trapezoidal untuk
mendapatkan nilai integrasinya:
∑
∑
Jadi, hasil intergral persamaan pada soal dengan batas 0 sampai 0,3 menghasilkan nilai sebesar
19,305.
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 4
Soal 2. Pertumbuhan Bakteri
Ulangilah Studi kasus 18.2 halaman 683 (Bab 18, Chapra-Raymond versi bahasa) dengan
menggunakan beberapa metode selain metode Ralston.
1. Tunjukkan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dibanding
hasil yang sebenarnya (cara analitis/kalkulus). Boleh menggunakan program excel, dll.
2. Gambarkan kurva dalam diagram x-y untuk menunjukkan hubungan antara pertumbuhan
organisme (konsentrasi organisme) vs jumlah hari pembiakan organisme.
Penyelesaian:
Metode Runge-Kutta orde ketiga:
[
]
Di mana:
(
)
x = 2 ; y = 100000
(
)
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 5
[
]
*
+
x = 4 ; y = 1538730,4
(
)
[
]
[
]
x = 6 ; y = 244878,3
(
)
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 9
(
)
[
]
*
+
Metode Runge-Kutta Orde keempat:
[
]
y = 66299x + 101576 R² = 0.9827
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
0 5 10 15 20
Ko
nse
ntr
asi o
rgan
ism
e
Jumlah hari pertumbuhan
Pertumbuhan Mikroba dengan Metode Runge-Kutta Orde 3
Series1
Linear (Series1)
Poly. (Series1)
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 10
Di mana:
(
)
Untuk t= 0 ; p = 100.000
K1 = ( ) = = 23714
K2 = (
) = = 28750.79
K3 = = f(1, 128750.8) = 29791.62
K4 = = f (2, 159583.2) = 35941.87
h =35941.87
Untuk t= 2 ; p = 155607,9
K1 = ( ) = = 35170,25
K2 = (
) = = 41777,43
K3 = = f(1, 197385,3) = 42963,47
K4 = = f (2, 241534,8) = 50440,45
h = 347662,1
Untuk t= 4 ; p = 236538,2
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 11
K1 = ( ) = = 49633,37
K2 = (
) = = 57202,32
K3 = = f(5,293745,5) = 58276,44
K4 = = f (6, 353091,1) = 65859,18
h =347662,1
Untuk t= 6 ; p = 347662,1
K1 = ( ) = = 65224,05
K2 = (
) = = 72074,55
K3 = = f(7, 419736,6) = 72695,31
K4 = = f (8, 493052,7) = 78163,38
h =488313,9
Untuk t= 8 ; p = 488313,9
K1 = ( ) = = 77874,94
K2 = (
) = = 81475,84
K3 = = f(9, 569789,7) = 81583,66
K4 = = f (10, 651481,2) = 82636,32
h =648483,3
Untuk t= 10 ; p = 648483,3
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 12
K1 = ( ) = = 82644,8
K2 = (
) = = 81092,62
K3 = = f(11, 729575,9) = 81146,95
K4 = = f (12, 810777,2) = 77011,32
h = 809576,9
Untuk t= 12 ; p = 809576,9
K1 = ( ) = = 77091,65
K2 = (
) = = 70761,73
K3 = = f(13, 880338,6) = 71371,05
K4 = = f (14, 952319) = 63497,01
h = 951975,1
Untuk t= 14 ; p = 951975,1
K1 = ( ) = = 63539,56
K2 = (
) = = 54875,43
K3 = = f(15, 1006851 ) = 56151,95
K4 = = f (16, 1064279) = 47130,75
h = 951975,1
Untuk t= 16 ; p = 1063909
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 13
K1 = ( ) = = 47193,09
K2 = (
) = = 38799,22
K3 = = f(17, 1102708) = 40357,31
K4 = = f (18, 1144624) = 32295,87
h = 1144016
Untuk t= 18 ; p = 1144016
K1 = ( ) = = 32417,75
K2 = (
) = = 25708,9
K3 = = f(19, 1169725) = 27131,79
K4 = = f (20, 1198280) = 20950,82
h =1197603
y = 63223x + 135361 R² = 0.9879
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
0 5 10 15 20
Ko
nse
ntr
asi o
rgan
ism
e
Jumlah hari pertumbuhan
Pertumbuhan Mikroba dengan Metode Runge-Kutta Orde 4
Series1
Linear (Series1)
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 14
Soal 3. Studi Kasus Perhitungan: Kuantitas Panas
Ulangilah Studi kasus 15.2 halaman 549 (Bab 15, Chapra-Raymond versi bahasa).
1. Tunjukkan dengan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dari
kuantitas panas yang diperlukan dalam rentang suhu tertentu (lihat tabel) dan mulai ukuran
segmentasi h berapakah untuk mendapatkan % error dibawah 0,01%. Perhitungan error
didasarkan pada hasil perhitungan analitisnya (hasil sebenarnya). Boleh menggunakan excel,
atau program lainnya untuk membantu perhitungan.
2. Gambarkan/sketch dalam diagram x-y untuk menunjukkan perhitungan integrasinya antara %
error dengan step langkah.
Tabel Rentang suhu Perhitungan Panas sensible
No.kode Suhu awal, oC Suhu akhir,
oC
A1 -100 0
A2 -75 25
A3 -50 50
A4 -25 75
A5 0 100
A6 25 125
A7 50 150
A8 75 175
A9 100 200
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan analogi yang sama seperti pada soal 1. Dari Studi
Kasus 15.2, diketahui panas yang diperlukan dihitung dengan rumus
(3.1)
Kapasitas panas suatu materi dapat bertambah terhadap suhu sesuai dengan hubungan
(3.2)
Dalam keadaan ini, Anda diminta untuk menghitung panas yang diperlukan guna menaikkan
suhu 1.000 gram materi dari -50oC sampai 50
oC. Persamaan di atas memberikan suatu cara untuk
menghitung harga rata-rata
∫
(3.3)
yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan (3.1) sehingga
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 15
∫
(3.4)
a. Perhitungan integrasi secara analitis
∫
Rentang suhu antara -50oC sampai 50
oC (b = 50; a = -50)
∫
b. Perhitungan dengan metode numerik
1. n (segmen) = 5; h = 20
di mana nilai c(T) adalah f(xi)
xi f(xi) 2f(xi)
-50 0.12486 0.24972
-30 0.12756 0.25512
-10 0.13047 0.26093
10 0.13359 0.26717
30 0.13692 0.27384
50 0.14046 0.28092
∑
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 16
Persen error perhitungan di atas adalah
|
|
|
|
2. n (segmen) = 10; h = 10
di mana nilai c(T) adalah f(xi)
xi f(xi) 2f(xi)
-50 0.12486 0.24972
-40 0.12618 0.25236
-30 0.12756 0.25512
-20 0.12899 0.25797
-10 0.13047 0.26093
0 0.132 0.264
10 0.13359 0.26717
20 0.13523 0.27045
30 0.13692 0.27384
40 0.13866 0.27732
50 0.14046 0.28092
∑
Persen error perhitungan di atas adalah
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 17
|
|
|
|
3. n (segmen) = 20; h = 5
di mana nilai c(T) adalah f(xi)
xi f(xi) 2f(xi)
-50 0.12486 0.24972
-45 0.12551 0.25103
-40 0.12618 0.25236
-35 0.12686 0.25373
-30 0.12756 0.25512
-25 0.12827 0.25653
-20 0.12899 0.25797
-15 0.12972 0.25944
-10 0.13047 0.26093
-5 0.13123 0.26245
0 0.132 0.264
5 0.13279 0.26557
10 0.13359 0.26717
15 0.1344 0.2688
20 0.13523 0.27045
25 0.13607 0.27213
30 0.13692 0.27384
35 0.13778 0.27557
40 0.13866 0.27732
45 0.13955 0.27911
50 0.14046 0.28092
∑
Persen error perhitungan di atas adalah
|
|
|
|
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 18
4. (segmen) = 50; h = 2
di mana nilai c(T) adalah f(xi)
xi f(xi) 2f(xi)
-50 0.12486 0.24972
-48 0.12512 0.25024
-46 0.12538 0.25077
-44 0.12565 0.25129
-42 0.12591 0.25183
-40 0.12618 0.25236
-38 0.12645 0.25291
-36 0.12673 0.25345
-34 0.127 0.254
-32 0.12728 0.25456
-30 0.12756 0.25512
-28 0.12784 0.25568
-26 0.12812 0.25624
-24 0.12841 0.25682
-22 0.1287 0.25739
-20 0.12899 0.25797
-18 0.12928 0.25856
-16 0.12957 0.25914
-14 0.12987 0.25974
-12 0.13017 0.26033
-10 0.13047 0.26093
-8 0.13077 0.26154
-6 0.13107 0.26215
-4 0.13138 0.26276
-2 0.13169 0.26338
0 0.132 0.264
2 0.13231 0.26463
4 0.13263 0.26526
6 0.13295 0.26589
8 0.13326 0.26653
10 0.13359 0.26717
12 0.13391 0.26782
14 0.13424 0.26847
16 0.13456 0.26913
18 0.13489 0.26979
20 0.13523 0.27045
22 0.13556 0.27112
24 0.1359 0.27179
26 0.13623 0.27247
28 0.13657 0.27315
30 0.13692 0.27384
32 0.13726 0.27452
34 0.13761 0.27522
36 0.13796 0.27592
38 0.13831 0.27662
40 0.13866 0.27732
42 0.13902 0.27804
44 0.13938 0.27875
46 0.13973 0.27947
48 0.1401 0.28019
50 0.14046 0.28092
∑
Persen error perhitungan di atas adalah
|
|
|
|
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 19
5. n (segmen) = 100; h = 1
di mana nilai c(T) adalah f(xi)
xi f(xi) 2f(xi)
-50 0.12486 0.24972
-49 0.12499 0.24998
-48 0.12512 0.25024
-47 0.12525 0.2505
-46 0.12538 0.25077
-45 0.12551 0.25103
-44 0.12565 0.25129
-43 0.12578 0.25156
-42 0.12591 0.25183
-41 0.12605 0.2521
-40 0.12618 0.25236
-39 0.12632 0.25264
-38 0.12645 0.25291
-37 0.12659 0.25318
-36 0.12673 0.25345
-35 0.12686 0.25373
-34 0.127 0.254
-33 0.12714 0.25428
-32 0.12728 0.25456
-31 0.12742 0.25484
-30 0.12756 0.25512
-29 0.1277 0.2554
-28 0.12784 0.25568
-27 0.12798 0.25596
-26 0.12812 0.25624
-25 0.12827 0.25653
-24 0.12841 0.25682
-23 0.12855 0.2571
-22 0.1287 0.25739
-21 0.12884 0.25768
-20 0.12899 0.25797
-19 0.12913 0.25826
-18 0.12928 0.25856
-17 0.12942 0.25885
-16 0.12957 0.25914
-15 0.12972 0.25944
-14 0.12987 0.25974
-13 0.13002 0.26003
-12 0.13017 0.26033
-11 0.13032 0.26063
-10 0.13047 0.26093
-9 0.13062 0.26123
-8 0.13077 0.26154
-7 0.13092 0.26184
-6 0.13107 0.26215
-5 0.13123 0.26245
-4 0.13138 0.26276
-3 0.13153 0.26307
-2 0.13169 0.26338
-1 0.13184 0.26369
0 0.132 0.264
1 0.13216 0.26431
2 0.13231 0.26463
3 0.13247 0.26494
4 0.13263 0.26526
5 0.13279 0.26557
6 0.13295 0.26589
7 0.1331 0.26621
8 0.13326 0.26653
9 0.13343 0.26685
10 0.13359 0.26717
11 0.13375 0.2675
12 0.13391 0.26782
13 0.13407 0.26815
14 0.13424 0.26847
15 0.1344 0.2688
16 0.13456 0.26913
17 0.13473 0.26946
18 0.13489 0.26979
19 0.13506 0.27012
20 0.13523 0.27045
21 0.13539 0.27078
22 0.13556 0.27112
23 0.13573 0.27146
24 0.1359 0.27179
25 0.13607 0.27213
26 0.13623 0.27247
27 0.1364 0.27281
28 0.13657 0.27315
29 0.13675 0.27349
30 0.13692 0.27384
31 0.13709 0.27418
32 0.13726 0.27452
33 0.13744 0.27487
34 0.13761 0.27522
35 0.13778 0.27557
36 0.13796 0.27592
37 0.13813 0.27627
38 0.13831 0.27662
39 0.13849 0.27697
40 0.13866 0.27732
41 0.13884 0.27768
42 0.13902 0.27804
43 0.1392 0.27839
44 0.13938 0.27875
45 0.13955 0.27911
46 0.13973 0.27947
47 0.13992 0.27983
48 0.1401 0.28019
49 0.14028 0.28056
50 0.14046 0.28092
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 20
∑
Persen error perhitungan di atas adalah
|
|
|
|
Karena tabelnya sangat panjang, untuk perhitungan selanjutnya tabel perhitungan dari Microsoft
Excel tidak dicantumkan.
Untuk n = 500; h = 0,2; I = 13246,972;
Untuk n = 1000; h = 0,1; I = 13234,486;
Untuk n = 2000; h = 0,05; I = 13228,243;
Untuk n = 10000; h = 0,01; I = 13223,2486;
Jadi, untuk mendapatkan persen error di bawah 0,01% diperlukan segmentasi h mulai dari 0,01
dengan persen kesalahan 0,009%.
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 21
Seperti yang terlihat dari grafik, hubungan antara step yang diambil dengan persen error
berbanding lurus, di mana semakin besar step size yang diambil maka persentase error akan
semakin besar, begitupun sebaliknya.
0.009 0.04 0.09 0.19 0.94
1.89
4.72
9.45
18.9
y = 0.9452x - 0.0031 R² = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 5 10 15 20 25
Pe
rse
n E
rro
r
Step yang diambil
Hubungan antara persen error dan step yang diambil
Series1
Linear (Series1)
Tugas Pra-UAS Komputasi Numerik | 22
1
0.144 0.5381
0.077 0.077
1 0.12
X
X
X
X
1/ 2
T 1/ 2
0.285 0.154 0.077 0.0775.92
1 0.12 1 0.12-r'3.534 1.9096 0.077 0.077
1 1 1.111 0.12 1 0.12
X X
X X
X X
X X
Soal 4.
Bila laju reaksi dari soal 1 berikut
, mol/g.jam
Dan terdapat hubungan antara tekanan oksigen (Po2) dengan konversi oksigen (X)
diformulasikan sebagai
2 2
o
O O
1P P
1
X To
X T
Bila laju reaksi oksigen dalam soal pertama, –r = -dPo2/dt = -Poo2 dX/dt, dengan initial condition
X=0 atau Poo2 = 0,144 atm, pada saat t = 0 detik. Dapatkah anda dengan menggunakan
perhitungan metode numerik, membuat hubungan antara Konversi X dan tekanan oksigen (Po2)
vs rentang waktu jam.
Penyelesaian:
top related