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SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito: 11.12.2001
Assinatura: /
Uma aplicação da teoria quase-linear de T. Kato à KdV em espaços de Sobolev 1
Daniel dos Santos Viais Neto
Orientador: Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nunes
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matematicas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
USP - São Carlos Dezembro/2001
trabalho teve suporte financeiro do CNPq
A Comissão Julgadora:
Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nune
Profa. Dra. Hebe Azevedo tíiagioni
Prof. Dr. José Gaspar Ruas Filho
"À minha família ."
A fé é o fundamento da esperança,
é a ceitc/a a respeito do que não se vê. (Hebreus 11:1)
Agradecimentos
À Deus que, incomparável e inconfundível na sua infinita bondade, compreen-
deu os meus anseios e me deu a necessária coragem para atingir o meu objetivo.
Ao proí. Wagner, pela dedicação, orientação, paciência e principalmente por
acreditar em mim.
Aos meus pais, João e Ana, pela oportunidade de estudo, preocupação, apoio,
incentivo e amor.
Aos meus irmãos, João Paulo, Carlos Fernando e Matheus, pela força.
À minha amada Fabrícia, pela paciência, dedicação, amor e incentivo.
Ao meu primo Mário, pela admiração e incentivo.
Aos amigos de mestrado, em especial Silvia, Ricardo e Claudemir, pela amizade
e companheirismo.
Aos professores Eduardo, Janete, Valdir e José Gaspar pela disposição em me
ajudar nas horas que precisei. E a todos que de uma forma ou de outra contribuíram para a realização deste
trabalho.
Resumo
O objetivo deste trabalho é aplicar a teoria quase-linear de T. Kato para
mostrar existência e unicidade de soluções para o problema de Cauchy associado a equação
de Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev.
Abst rac t
The purpose of this work is to apply the quasi-linear T. Kato's theory
to show existence and uniqueness of solutions of the Cauchy problem associated to the
Korteweg-de Vries equation in Sobolev space.
Sumário
Introdução 1
1 Prel iminares 3
2 Os Espaços de Sobo lev em R" H
3 Existência e Unic idade de Soluções para a K d V 25
Referências Bibl iográficas 35
í
Introdução
No capítulo 1, enunciamos conceitos e resultados conhecidos que serão essenciais
nos outros capítulos. Entre eles, destacarn-se a transformada de Fourier e suas pro-
priedades, a desigualdade de Holder, a generalização da desigualdade de Young e
uma consequência do teorema de Arzelá-Ascoli.
No capítulo 2, ciamos ênfase aos espaços de Sobolev de tipo L2, isto é, enuncia-
mos e demonstramos vários resultados, como por exemplo, o lema de Sobolev e o
lema de Rellich. Além disso, frisamos que em certas situações os espaços de Sobolev
formam uma álgebra de Banach.
Finalmente, 110 capítulo 3, enunciamos algumas definições da teoria de semi-
grupos e aplicamos a teoria quase-lmear de T. Kato para mostrar existência e uni-
cidade de soluções da equação de Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev.
1
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo definiremos vários conceitos e apresentaremos algumas notações
e resultados que serão necessários para o desenvolvimento deste trabalho.
Definição 1.1. Seja u G L ^ R " ) . A transformada de Fourier de u é a função
ú : Rn —> C dada por
ú ( 0 = (27T)-"/2 [ u[.r)t (1.1) VR"
onde x = (xux2l • • • , xn), Ç = . • • , £ R n e
IL
J=I
é o produto interno usual em R n .
Teorema 1.2. A transformada de Fourier de u 6 Ll(Rn) é uma função contínua,
limitada e satisfaz a desigualdade
IMIí/*. < (2tt) ~n/2\\u\\ rj.
Em particular, a aplicação u i—>• u é um operador limitado de Ll{Mn) em L°°(Mn)-
Além disso, vale o lema de Riemann-Lebesgue, isto é,
lim ú ( 0 = 0. Ií|->oo
Demonstração: Veja [II] página 303.
3
Teorema 1.3. (Desigualdade de Hõlder) Sejam u G L?{Rn) e v G L'(Rn) onde
l < p < oo e + -q = 1- Então uv G L^R") e
|uv| dx < |MUp|M|/,<;-
Demonstração: Veja [B] página 56.
Definição 1.4. Sejam u,v G L^M"). A convolução de u e v, denotada por u * v, é
definida por (u * <u)(.x) = / u(x - y)v{y)dy.
. / I R "
Teorema 1.5. (Desigualdade de Young) Sejam u G Ll(Rn) , v G L p (R n ) e
1 < P < oo. Então u * v G Lp(Rn) e
||U * v\\lp < ||«||L1 \\V\\LP.
Demonstração: Veja [II] página 306.
Teorema 1.6. Sejam u,v G L l ( R n ) . Então
Demonstração: Veja [II] página 308.
Definição 1.7. Seja a = (n-,.n:. , a ; i) uma n-upla de inteiros não negativos.
Chamamos a um multi-indice. Se a é um multi-índice e x = (xux2, • • • ,xn) G R"
escreveremos
|q | = ^ ctj = «i + .. . + a J U
.7 = 1
a! = «i!O2! . . . an\,
,.C> _ ,r.ai a2 a„ X — Xj X2 ••••'•n
dxJ \dX2J \dXn
4
Definição 1.8. 0 espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescentes),
denotado por S(Rn) ; é a coleção das u : Wl —> C tais que
u G C°°(R"), e
IM|í>,/9 = SUP I xad^u(x) I < oo xeE"
para todo par de rnulti-índices a,j3.
Vale observar que 5(R") é um, espaço métrico completo quando munido da distância
, , M v - 1 i i ^ - d o ) \ ( L 2 )
Observação 1.9. {<f>m} Ç S{Rn) converge a <j> G S(Rn) \\(prn - <j>\\a,p ^ ^ 0
para todo par de rnulti-índices a,/3.
Definição 1.10. Dados um espaço métrico X, um espaço vetorial normado Y e
uma aplicação u : X —>Y, o suporte de u é, por definição, o fecho do conjunto
{x G X ; u{x) ^ 0}.
Def inição 1.11. C0°°(Rn) é o conjunto das funções C°°(Mn) com suporte compacto.
Observação 1.12. C£°(R") Ç 5(RTl) Ç U>(R") para todo p G [1, oo]. Além disso,
estas inclusões são densas se p G [1, oo). (Veja [B] página 71)
Teorema 1.13. Seja u G 5(R"). Então ú G S{W) e valem as fórmulas
(_0i a i ( .x°u)A(O = (a°t i ) (0-
Demonstração: Para o caso n = 1 uma prova bem detalhada pode ser vista em
[II] págma 195 e para o caso geral veja [F] página 21.
Teorema 1.14. Sejam u G Lp(K"),P e [1, oo] e </> e 5(R r í)- Então u*<j>e C°°(Rn)
e dn(u * 0) = IÍ * {d"(j)) para todo rnulti-índice a.
Demonstração: Veja [F] página 17.
5
Definição 1.15. Seja u G S(Rn) . A transformada inversa de Fourier de u é
a função ú : R" —> C dada por
ú(x) = (2n)'^2 / i t »
Observação 1.16. O.s resultados anteriores válidos para a transformada de Fourier
também valem para a transformada inversa. Ern particular, o teorema 1.2.
Teorema 1.17. Sejam u, v G S{Rn). Então valem as fórmulas
ulr) = ú{-x), x G R",
(ú)v = u= (ú)\ (1-3)
Demonstração: Veja [F] página 23.
Corolário 1.18. Sejam u, v G S(Wl). Então valem as fórmulas
(„ * ?;)v(x) = (2T , ) n ' 2 u{x)v{x) , x G R n ,
( « * 5 ) ( 0 = ( 2 7 T ) b / 2 M A ( 0 , í e r .
Demonstração: Consequência imediata dos teoremas 1.6 e 1.17.
Teorema 1.19. Seja S{Rn) munido da distância (1.2). Então A : 5 (R") S(R")
e um isomorfismo no sentido de espaços métricos, isto é, é vrijetiva, sobre, contínua
com inversa contínua.
Demonstração: Para o caso n = 1 veja [II] página 201. Tal demonstração pode
ser estendida para o caso geral.
Observe que a t ransformada de Fourier não pode ser definida em L 2 (R n ) através
da fórmula (1.1) uma vez que a integral que ali aparece não faz sentido em geral se
u G L2 (R"). Por exemplo, a função
{0, se x G ( - o o , l ]
x se x G (1, oo)
6
pertence a L2(R). mas não a L\R). Porém, utilizando a identidade de Parseval,
isto é, \\U\\L2 = \\u\\L2 V u G S(Wl) (Veja [II] página 314), podemos verificar que
tanto a transformada de Fourier quanto sua inversa podem ser estendidas como
operadores lineares de L 2 (R n ) em si próprio satisfazendo a identidade de Parseval.
Em particular, se u G L 2 (R n ) , dada uma sequência {u n } em S(Rn) convergindo a u
em L2(R") definimos
ú = lim ún , u = lim ún (1-4) n-> oo n—>00
onde o limite deve ser interpretado no sentido L2. Combinando (1.3) e (1.4) segue
que (ú)v = u = (ú)A para u G L 2 (R n ) . Assim,
Teorema 1.20. A transformada de Fourier
A : L 2 (R n ) —> L2(R")
•a 1—> u
definida corno a única extensão da transformada em S(Rn) a L2(Rn) é um operador
unitário. Sua inversa é a transformada inversa v.
Definição 1.21. O conjunto das distribuições temperadas, denotado por S'{R"); é
o dual topológico de 5 (R n ) , isto é,
S'(Rn) = { T : S(Rn) —> C ; T linear contínuo}.
Além disso, vamos adotar a seguinte notação:
u{i>) = ueS'(Rn), Rn).
Em particular, se u G LP{W) com 1 < p < 00, definindo
(u,i>) = í a(x)cix)dx. 'ij:eS{R"), •mn
temos que u G 5"(R'1).
Definição 1.22. A derivada dau de u G S'{Wl) é definida por
Definição 1.23. A transformada de Fourier de u G S'{Rn) é definida por
(U,íj) = (u , í> , i p e S ( E n ) (1.5)
e a transformada inversa por
(ÍV0) = M ^ ) , e 5 ( R n ) - ( L 6 )
Teorema 1.24. Seja u G S'{Rn). Então ú e u definidas por (1.5) e (1.6) são
distribuições temperadas. Além disso, (ú)v = u = {ú)A e a aplicação u h—>• ú é
contínua com inversa contínua.
Demonstração: Para o caso n = 1 veja [II] página 212. Tal demonstração pode
ser estendida para o caso geral.
Definição 1.25. A coleção das funções ernC°°{Wl) de crescimento lento, denotada
por Q(R"), é a colaça,o das 0 G C°°(En) tal que para todo multi-índice a existe uma
constante Ca e um inteiro não negativo Na satisfazendo
\tTHx)\<Ca(l + \4Yn
para todo x G Rn com jx| suficientemente grande.
Teorema 1.26. Sejam 0 G Q(Kn) e u G S'(Rn). Então:
(i) -ip G S{Rn), então 0-0 G S{Rn). Além disso, a aplicação 0; i—> 0'0 é contínua
de S^K71) em si próprio.
(n) O funcional linear (pu definido por
(0U/0) = (u,M>), '0e5(R")
é um elemento de S'{M.n), chamado o produto da distribuição temperada u com
a função <p.
(in) Valem as fórmulas
0a ú = H ) H ( X % ) A
nde xa u (resp. Çaú) denota o produto da função <f>(x) = Xa (resp. 0(0 = Ça)
com a, distribuição u (resp. ú).
o
Demonstração: O item (i) é consequência da regra de Leibnitz e do fato que <p
cresce menos que um polinómio e 0 decresce mais rápido que o inverso de qualquer
polinómio 110 infinito. A segunda parte segue do item (i), enquanto (iii) é con-
sequência imediata do item (ii) e do teorema 1.13.
Teorema 1.27. A função x \—> |x|A definida em W1 - {0} é integrável em uma
vizinhança de zero se, e somente se, A > - n e integrável fora de uma vizinhança de
zero se, e somente se, X < —n.
Demonstração: Veja [F] página 11.
Teorema 1.28. (Generalização da Desigualdade de Young) Sejam (E,a,/j.)
um espaço de medida, 1 < p < oo e C > 0 uma constante. Suponhamos que
K é uma função mensurável em E x E tal que JE\K(x,y)\dn(x) < C Vx G E,
fE \K(x, y)\d/i(y) <CVyeEeue LV(E). Então a função Tu dada por
Tu(x) = f K(x,y)u(y)dn{y)
está bem definida q.t.p. e pertence a LP(E). Além disso,
\\Tu\\L1> < C\\u\\LP.
Demonstração: Veja [F] página 13.
Definição 1.29. Seja X Ç K". Urna aplicação u : X —> Km diz-se Lvpschitziana
quando 3 C > 0 tal que V x, y G A\ tem-se |u(x) - u(y)\ < C\x - y|.
Definição 1.30. Sejam X , Y espaços métricos. Um conjunto E de aplicações
u : X —> Y diz-se eqúicontínuo no ponto a e X quando V e > 07 3 5 > 0 tal que
dlr.u) < 5 em X implique d(u{x),u(a)) < £ em Y, V u G E. Se E é eqiiicontínuo
em todos os pontos de X, diz-se. simplesmente que E é eqiiicontínuo.
O resultado seguinte é consequência do teorema de Arzelá-Ascoli.
Teorema 1.31. Toda sequência eqúicontinua e pontualmente limitada de aplicações
uk : Rn —> Rm possui uma subseqúência que converge uniformemente em, cada parte
compacta de K".
Demonstração: Veja [LI] página 247.
9
10
Capítulo 2
Os Espaços de Sobolev em Rn
0 objetivo principal deste capítulo é definir e apresentar alguns resultados rela-
cionados com os espaços de Sobolev de tipo L2. Tais espaços serão importantes no
desenvolvimento do último capítulo.
Definição 2.1. Seja s 6 R. Os espaços de Sobolev (de tipo L2) em Rn são os
seguintes subconjuntos de S"(Rn)-'
H"(Rn) = {u e S'(Rn) ; (1 + |£ |2) s / 2ú e L2(R")}.
O espaço Hs(Wl) é de Hilbert quando munido do produto interno
(u,v) s = f (1 • ^VoiiiriLXlí-J I R "
A norma correspondente é, evidentemente,
i iuii2= í (i + m\m\2d{. J K"
De maneira equivalente, podemos definir Hs(Rrí) como sendo o completamento de
S(W) com relação à norma
IM|S = ||As'ÍÍ||/;2
onde As : —> 5(E") é 0 °Perador lvnear d('fimdo Por
(Asu)A(0 = (i + k l 2 ) s / M O -
Observemos que As+t = ASA'' para todo s, t £ R.
11
Propos ição 2.2. Sejarn s,t G R. Entõ,o:
(i) Hs(Rn) C H^W1) se s>t e esta inclusão é contínua e densa.
(u) (Hs(Rn))A = L2(W\(l + \tfydO-
(iu) 0 dual topológico de Hs(Rn), isto é, a coleção de todos os funcionais lineares
contínuos de Hs(Rn) em C, é isometricamente isomorfo a H's{Rn).
(iv) S(Rn) Ç Hs{Rn) para todo s G R e esta inclusão é densa.
Demons tração : Veja [II] página 337 e [S] página 15. •
A proposição 2.2 mostra em particular que os elementos de Hs(R"), s > 0, são
funções de quadrado integrável pois neste caso H'{Rn) Ç H°{R") = L2(Rn)- Se
s < 0, os elementos de H"{Rn) definem funcionais lineares contínuos em H^(Rn),
portanto em S(Rn), assim os elementos de f/ s '(R r i) são distribuições temperadas.
Agora veremos uma caracterização para os espaços de Sobolev.
Teorema 2.3. Sejam k inteiro positivo e s G R. Então u G H*{Rn) se, e somente
se dau G Hs~k(Rn) para |a| < k, onde as derivadas são calculadas no sentido das
distribuições. Além disso, as normas
IMI, e E ( 2 - 1 }
|o|<fc
são equivalentes.
Demons tração: Pelo teorema 1.26(iii), temos:
(,dau)A = {i)MC'à, u G 5"(Rn). (2-2)
Além disso,
i r i = i c • • • c i < a + i e i 2 r / 2 • • • ( ! + k i 2 ) Q b / 2 = t 1 + k i 2 ) h / 2 ( 2 - 3 )
Bc>0 tal que (1 + \Z\2)k/2 < * £ (2'4)
\ a \ < k
12
Então, se u G Hs{R"), \a\ < k, pela proposição 2.2(n), (2.2) e (2.3) temos que
Jr"
< í (í + i e n ^ í í i + i e i 2 ) " 7 2 ) 2 ! ^ ) ! 2 ^
= [ (i + \z\2Y\m\2dt<oo. •JRn
Isto implica que
\\cTu\\s.k < |H|., (2.5)
e d" a k ir A (R")-
Reciprocamente, se &>u G i / ' , _ f c(Rn) , | a | < k, pela proposição 2.2(ii), (2.2) e
(2.4) temos que
(i + m x o \ 2 d z = [ ((i + m k , 2 n i + \z\2y-k\m\2ds
<
= c V / {i + \z\2y-kWu)*{ç)\2dç<oo
\a\<k
onde C = c2dk e dk uma constante que depende do número de termos da soma
EW<* l ^ f . Portanto,
IMI, < c 1 ' 2 Y , l l ^ l l - * ( 2 ' 6 )
\«\<k
e u G H"{RM). Segue das desigualdades (2.5) e (2.6) que as normas em (2.1) são
equivalentes. m
Corolário 2.4. Seja k inteiro positivo, Hk(Wl) é o espaço das u G L 2 (R n ) cujas
derivadas (no sentido das distribuições) d°u G L2(R") para | a | < k, e as normas
ll-IU e £ | |ô%) |U a \ a \ < k
são equivalentes.
13
É interessante observar que para s suficientemente grande, os elementos de
H*{Rn) são funções contínuas e, em certos casos até diferenciáveis. Mas precisa-
mente, valem os seguintes resultados:
Teorema 2.5. (Lema de Sobolev) Sejas > n /2 . Então Hs(R") Ç CUR7 1) , onde
C'oo(Rn) é o espaço das funções continuas de R n em C que tendem a zero quando
|xI -> oo. Além disso, vale a desigualdade
Demonstração: Vamos mostrar que se u G HS{W") e s > n/2 então u é uma
função integrável. Temos que
uma vez que a integral no último membro da desigualdade é finita devido à hipótese
a > n/2. Com isso, pelo Teorema 1.2, u é contínua e vale o lema de Riemann-
Lebesgue, isto é,
Portanto, HS{W) Ç CUR'1)- •
Corolário 2.6. Seja s > k + n/2, k G N. Então i / s (R" ) Ç C*(R") , onde C£,(R")
é o espaço das funções de classe Ck de R" em C tais que as próprias funções e suas
derivadas até ordem k tendem a zero quando |x| —oo.
Demonstração: Seja u G //•"(R") tal que .s > A; + n/2 , A; G N. Pelo teorema
2.3, dau G Hs~k(Wl), | a | < k. Visto que s - k > n /2 , pelo teorema 2.5,
&*u G C U R r i ) , |r>:| < A;, ou seja, u G CkJR"). •
Corolário 2.7. Seja u G Hs{Rn) V s G R. Então u G C £ ( R n ) , onde C£(Rn) é o
espaço das funções de classe C°° de R" em C tais que elas e suas derivadas de todas
as ordens tendem a zero quando |ir| —> oo.
u\\l°o < C||u||.„
onde C > 0 é urna constante.
lirri u(x) = 0
14
Para enunciar o próximo resultado, definiremos a aplicaçao restrição como sendo
R : S(Rn) —^ S{R'lk) dado por Ru{y) = u(y, 0), y G R"~k.
Teorema 2.8. A aplicação restrição R estende-se a uma aplicação limitada de
H*(Rn) para H"-W2]{Rn-k) se s > k/2.
Demonstração: É suficiente mostrar que | | R u \ \ s ^ k / 2 ) é dominado por \\u\\s para
u G S(K"), pois S(Rn) é denso em //S(M"). Seja v = Ru. Com isto, temos que
Hv) = JXk Hv, De fato, pelo teorema de Fubini,
v(y) = u{y,0)
= ( 2 T T ) - ^ .' Mk •/ R
ev'ryú(r)) Ç)dr}d£,
= (2tt)-" /2 / eiri'y / ú(r], Ç)dÇdr]. J \it"-k Juk
Tomando (%) = JRk ú(7],Ç)dÇ, vale a seguinte igualdade:
v(y) = Õ(y).
Portanto,
Hri) = 0(v).
Com isso, usando a desigualdade de Hólder, temos:
\v(v)\2 - ! / u(rhí)dí|
u KA'
< (},(//, o r ( i + M + 10 T ^ (i + \v\ + 10 U Kk
Estabelecendo 1 + |//|2 = a2 e | 0 = r, o segundo fator da última expressão é igual a
> r<x> (a2 + r2)~srk~ldr = a' / (1 + /"') \// w/c
./ o ./o
onde é uma constante dada pelo volume da esfera unitária em Rk centrada na
origem (as duas integrais são iguais pela mudança de variável r at). Pelo teorema
1.27 a última integral é finita quando s > k/2, assim
)(//)|2 < c , , : ( i + \V \2)WV-' / Kr/,ora + \n\2 +
ou
l«fa) |2( l + M 2 r ( f c / 2 ) < Cs.k í |w(r/,OI2(l + \v\2 + Kl2)sdÇ
onde Cs,k > 0 é uma constante que depende somente de s e k. Integrando ambos os
lados com respeito a r/, concluímos que
M l (k/2) < CsAMÍi-
•
Agora mostraremos um lema técnico que nos será útil.
Lema 2.9. Para todo r] £ R n e. s £ R, tem,os:
(l + (l + \ri\2) ' s <2^(1 +
Demonstração: Claramente temos que
Kl < - v\ + M o. K | 2 < 2 ( K - r / | 2 + |r/|2).
Assim,
l + | í r < 2 ( l + K - r / | 2 ) ( l + |r/|2). (2.7)
Sc ò' > 0, basta elevar ambos os lados de (2.7) a potência .s. Se s < 0, basta elevar
ambos os lados de (2.7) a potência - s com £ e r/ trocados. •
Na proposição abaixo veremos que a multiplicação de funções de S(Rn) por
elementos de H*(Rn) está em HS{R").
Propos ição 2.10. Se </> £ S(R r í), então a aplicação u i—<pu em S(Rn) estende-se
a urn operador limitado em Hs(Rn) para todo s £ R.
Demonstração: Isto é equivalente a mostrar que u i—> iV((f)A~su) é limitado em
H°{Wl) = L 2 (R n ) para s £ R. Entretanto,
(A'0A_í«)a(O = (i + K I 2 ) 5 / 2 ( M ^ ) A ( 0
= (27r)-n/2(l + | í | ' 2 r / 2 ( 0 * ( A - « ) A ) ( O
= (27r)-"/2(l + K|2) s / 2 I fà-ri)(l + \Ti\2)-a,2*(v)dv J Rn
- í (2^rn'2(\ + iei2r/20(e - MI + M2)-̂ )̂̂ ,. J iR"
16
Definamos A'(Ç, r/) = (2TT)-"/2(1 + |£ | 2 ) s / 2 <fe - v)( 1 + \v\'2)~s/2- Pelo lema 2.9,
\K(tv)\ < (27r)"n/22lsl/2(l + | ^ - 7 7 | 2 ) H / 2 | f e - » 7 ) | .
Logo, JRn \K(Ç, rj)\d£ e JK,„ |/v (Ç, são limitados por
( 2 ^ ) - " / 2 2 l ^ 2 í ( l - f | £ | 2 ) l s | / 2 | < M £ M ./R»
que é finito, pois c/> decresce rapidamente no infinito. A afirmação segue do teorema
1.28. •
Enunciaremos agora mais um lema técnico que nos será de grande utilidade.
Lema 2.11. Para iodo G M" e s G M, existe urna constante Cs > 0, indepen-
dente de £ e 7i, tal que
KI + K I 2 R / 2 - ( I + M 2 Y / 2 I < ca\ç - v m + L E I 2 ) ^ + A + M 2 ) ^ ] -
Demons tração : Veja [F] página 250. •
Para o próximo lema usaremos a seguinte notação: [A,B] = AB - BA.
Lema 2.12. Dado s G R, existe urna constante C > 0 tal que para todo (f) G S(K'1)
f; u G H*"l{Rn),
|| [As, 4>}u ||o < C||(^|||.s d M I , 1-
D e m o n s t r a ç ã o : Estabelecendo u = A ' " s u , devemos mostrar que W .€ H°{Rn),
|| [ A ' \ 0 ] A L ^ | |0 < C | M | M + » , 2 | M I O -
Entretanto,
[A'", 4>]!\}~sv = As(f)A]~sv - (f)Alv.
Assim,
([A-% 0 ] A ' \ - ) A ( 0 = (A'V/>A1~,'ÍV)A(£) - ( 0 A ' W ) A ( O =
= (1 + K I Y W - ^ N O - ( 2 T T ) ( A 1W ) A ) ( 0
= (27T) " / 2 Í(1 + | t f y r 2 ( j > * ( A 1 - s v ) A ) ( 0 - / - + \v\2Y/2Hv)dri [ J M"
= / (27r)"n/2[(l + - r])(l + | r / | 2 ) ^ - fá ~ V){ 1 + \ri\2Y/2}Hv)dri J IR"
= í (271) "/2(l + \ r f n m ~ '/)[(! + lí|2)s/2 - (1 + \v\2y/2}Hv)dr]. i s »
17
Estabelecendo rj) = ( 2 ^ ) - / 2 ( l + M 2 ) ^ - + |Ç|2)'5/2 - (1 + \v\2) ' / 2],
pelos lemas 2.9 e 2.11 temos:
\K(^ rl)\ < (27i)-n'2m - - '/l[(l + líl2)^^1 + I + 1]
< C 1 ( 2 7 r ) - " / 2 2 ^ i | 0 ( í - v M - r/|[(l + - r / | 2 ) ^ + 1]
< c 2 m - r i m + v \ 2 ) u ^ •
Logo, jR„ \ K ( ^ r i M e fR„ são limitadas por
m i 2 ( i + ití2)N+nj2^ 1 /2
(1 + Kl T n t % 1/2
Cs II 0111., s | + n + 2
e a afirmação segue novamente do teorema 1.28. •
Proposição 2.13. Dado s G R, existe urna constante C > 0 tal que para todo
ó e S(Wn) e u e Hs{Rn),
Il0u||, < (sup |0(.T)|)||-;í!|s + c | |0 | | jS |+ n h 2 |MI . -L-
Demonstração: Pelo lema 2.12 temos:
||<H|, = \ \ A s M \ o = - tAS> < IIMsm||o + II [A's, (f>]u ||o
< (sup 10(.x) | ) 11 A S ' U | | o A C11011 |,s j + n + 2 1111 s — 1
= (sup |0(:/;)|)|M|.S + C | |0 | | | , | l „ + 2 | | " | | , - i -se IR"
Vejamos a seguir dois resultados que serão essenciais para demonstrar o próximo
teorema que será utilizado no capítulo 3.
Lema 2.14. Sejam è./d) € S(R") reais. Então existe C > 0 tal que
IIMIIw < C { | | 0 | U I H I h + I H I w W / I }
para todo s > 0 onde
= M\l>
18
Demonstração: Seja v = (pi'. Logo v = (27r)~7l/"20 * 'ip- Como
para. todo par ?/ G W\ segue que
•) R"
< CJ n(\Ç - v\" + \v\'MZ - v)Mfl)\dri
< + MO)
onde
^ = ( | . H 0 | ) *
V2 = 101 :
Pelo teorema 1.2 temos que,
'"i||o < II l-nAllolml/,' =
Logo,
= 11 l -NIo < +W2II0 < ^{11^110 + IK2II0}
Lema 2.15. Sejam </>,•& G 5(R") reais. Então
II [As, 0]'0||o < C{| |V0|U| |0; | | , -1 + | |V0||. ,-i | |V|U}
•para todo s > 1.
Demonstração: Seja v = [A\0]'0- Então,
= (27r)-"/2 jR , l(A(04 ' - A(r/)'5)0(£ - 77)̂ (77)̂ 77
a ( O = (i + \ o 2 y / 2
19
Utilizando o lema 2.11, obtérn-se
|£.(0I <C,{As-l(hg) + hAs-lg}A(0
M O = k i w o i , m = \ m \
Logo,
IMIo < C.dlA^^MIIo + ll^-^llo}
< C x d l ^ l l ^ i + ll/ll lL-ll&ll.-l}-
Aplicando o lema 2.14 e usando o fato que \\.\\l°° < C2IMU, temos
||7;||o < C { | | / i | U | M | , - i + | | / i | | a - i N U }
onde usamos as relações \\h\\s = || \\h\\A = | |V0|U, IM|S = \\4>\\s c \\g\\A = \\ip\U-
Isto conclui a demonstração do lema. •
Teorema 2.16. Sejam u, v G S(Rn) reais e s > 1 + n /2 . Então existe C v n > 0 tal
que || [ A v o l l o ^ c v i M U I M I ,
onde D = d" com |c*| = 1.
Demons tração : Basta tomarmos (p - v e i/j = Du no lema 2.15 e notar que
l | . | U < c s | | . | U .
O próximo resultado nos diz que Hs(Rn) é uma álgebra de Banach sempre que
s > n /2 .
Teorema 2.17. Seja s > n /2 , s G R. Então, Hs(Rn) é uma álgebra comutativa
cm relação à operação multiplicação de funções ponto a ponto, isto é, para quaisquer
u,v,w G Hx{R") a a G C, ternos:
u • V G Hs{Rn),
U • V — V • u,
20
(u + v) • w = u • W + 'U • w
e
a(u • v) = (era) • v.
Além disso, a operação aeima é uma aplicação bihnear contínua de Hs(Rn) xHs(Rn)
em Hs(R") na topologia da norma, ou seja, existe uma constante Cs<n > O tal que
| | w u | | s < C s , n | H U | i ; | | s , Vu, v G Hs(Rn).
Demonstração: Veja [S] página 20. •
Vejamos agora uma versão localizada dos espaços de Sobolev.
Definição 2.18. Seja í ] C i " um aberto. Definimos Hq(Q) como sendo o fecho de
C0°°(S1) em Hs(R").
Quando O é limitado, os espaços H ^ Q ) tem uma interessante propriedade de
compacidade: O lema de Rellich. Antes, veremos outro lema que será útil na de-
monstração deste.
Lema 2.19. Sejam íl limitado, s G R e {uk} é uma sequência em tal que
ih/c||s < C < oo, para todo k. Então existe uma subseqúência {ukj} que converge
em Hl(R") para todo t < s.
Demonstração: Seja 0 G C0°°(R") tal que <f)(x) = 1, Vx G Í2. Então uk - <puk e,
assim úk = (27r)~n/20 * úk. Pelo lema 2.9 c pela desigualdade de Hõlder, temos:
(i + iei2y/2Moi < (27T)-"/2 / (i + \t\2y/2m - v)\Mv)\dri Jun
= (2TT)-"/2 í (i + iei2)'s/2(i + \v\2rs/2m - vw + \v\2r/2\Mn)\dv J K"
< (27T) - " / ' 2 / 2 l - s l / 2 ( l + | Ç - r / | 2 ) l s ' / 2 | 0 ( í - r / ) | ( l + | r / | 2 ) ^ 2 | à A : ( / / ) | ^
< (27r)-"/ a2l s l / '2 | |0 | |N |K| | s
e para j - 1, 2,. .. , n, como
õmo = *ukm
pela mesma razão anterior,
(1 + K|2)' s /2 |9 /UA:(0I < (27r)-»/22H/2 | |x^| |H | |u f c | | f l .
21
Como ||'ufc||s < C, VA;, temos
^ ( O I ^ Í Z ^ - ^ ^ I I ^ I I h í i + IÇI2)-872
e
\djúk{Ç)\ < (27r)-n/22H/2C||x^||w(l + |£|2)"'/2
para todo k,j. Deste modo, as sequências {úk} e {djúk} são uniformemente limi-
tadas em compactos de R". Segue do teorema do valor médio que as úk's são Lips-
chitzianas em compactos de R n e isto implica que a sequência {úk} é eqiiicontínua em
compactos de R". Então, o teorema 1.31 nos garante que existe uma subseqiiência
{uk ]} que converge uniformemente em cada subconjunto compacto de R". Com isso,
afirmamos que {ukj} converge em / / t (R n ) ,V í < s.
De fato, Vi? > 0,
\\ukl-ukx= í (i + i e r ^ K c o - ^ í o r ^ JW
(I + k h w o - M O I 2 ^ líl <R
J\Z\>R
< (1 + sup |ú f c i(0 - ^ - ( 0 1 2 í |Ç| <H J\Ç\<R
+ (I + R2Y-S I + J\t\>R
< (1 + n y ^ ^ n lwnRn sup |ú f c i(0 - uk] (Ol2
\ Í \ < R
+ (l + /?2)t-'||ufci
onde wn = nR~n fmRd£- Dado e > 0, como t-s < 0 e \\uki-ukj\\s < 2C, podemos
escolher R, suficientemente grande, de modo que a segunda parcela na última ex-
pressão seja menor que s/2.\/i,j. Mas então podemos escolher i,j, suficientemente
grande, de modo que a primeira parcela seja também menor que e /2, pois {ú k ]}
converge uniformemente em compactos de R™. Logo, {itfc} é de Cauchy em H^W 1 )
para t < s, e como este é completo, temos que {ukj} converge em Hl{Rn) para t < s.
Teorema 2.20. (Lema de Rellich) Sejam t < s e íl limitado. A inclusão
Hq(Q) —> Hq{Ç}) é compacta.
22
Demonstração: Seja { u k } uma sequência limitada em H q ( Í I ) . Para cada k, escolha
uma sequência {u3k} em convergindo para uk em H s ( R n ) . Podemos assumir
que
IKII* < 2\\uk\\s,Vj, k.
Assim, {u'k.} ê limitada em H " ( R n ) . Sendo t < s, pelo lema 2.19 alguma subseqiiência
de {uk} é convergente em //'(IR"). Então para j , k pertencentes a esta subseqiiência,
temos:
11 Uj - Uk\\t < II Uj - Xí) 111 + 11 u] - uk 111 + 11 ukk - uk 111
< || Uj - u]:||4. + || Uj - uk || s + || Ukk - Uk ||,,
e a expressão à direita tende a zero quando j , k oo. Logo, {uk} é de Cauchy
em H l ( R n ) , que é Hilbert e, portanto converge em H ' ( R n ) . Com isto temos que a
inclusão — > f l ^ í l ) é compacta. •
23
24
Capítulo 3
Existência e Unicidade de
Soluções para a KdV
Neste capítulo apresentaremos algumas definições da teoria de semi-grupo, enun-
ciaremos o teorema de existência e unicidade da teoria quase-linear de T. Kato e
aplicaremos este para mostrar existência e unicidade de soluções da equação de
Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev de tipo L2.
Definição 3.1. Seja X um espaço de Banach. Uma família a um, parâmetro
T(t), t e M, de operadores lineares limitados de X em X é um, C0 grupo (ou
grupo fortemente contínuo) se:
(i) T(0) = I,
(u) T(t + s) = T{t)T{.h), V t, s (E R,
(in) l im t_>0T(t)x — x, V x e A'.
De maneira, análoga, definimos C() semi-grupo para t > 0.
Definição 3.2. O gerador infinitesimal A de um C0 grupo ( C0 semi-grupo)
T(Í), Í É R (t>0), é definido por
T(t)x — x d .4./; = hm — ^ = — | t ; 0 t-> o t at
quando o limite existe. O domínio de A, denotado por D (A), é o conjunto de todos
os elementos x <G X tais que o limite existe ( no caso de C0 semi-grupo, considere
t - > o ^
25
Considere o problema de Cauchy para a equação de evolução quase-lmear
dfu + A{t,u)u = 0, 0 <t<T, u(O) = 0, (3-1)
onde A(t,u) é um operador linear para cada t, G [0,T] e cada u G X.
Hipótese (X). Suponhamos X e Y espaços de Banach reais, reflexivos com Y
contido em X contínua e densamente e S um isomorfismo de Y sobre X tal que a
norma em Y é escolhida de modo que S seja uma isometria, isto é,
W\\Y = \\S<I>\\x-
Hipótese (A.l). Suponha que para cada (t,y) G [0 ,T] x W, onde W ê uma bola
aberta em Y centrada em y0, tem-se A(t,y) G B(V, X) no sentido que
ÍYÇD(A(t,y)) V(t, y) G [0, T] x W
(^(i,!/) B(F, X)
Além disso, suponhamos que V y G W fixo, a aplicação t G [0, T] i—> A(t,y)
pertence a C([0, T]; B(V, X)) e V t G [0,T] fixo, a aplicação y e W A(t, y) é de
Lipschitz 110 sentido que
||v4(/,, y) - A(í,z)||B(v,a-) < Anlly -
onde /i] > 0 é uma constante.
Hipótese (A.2). Suponhamos que A{t.,y)y0 G K para todo (t,,y) G [O,!1] x W e que
vale
||A(/vy)yo||r </ i2 , í G [ 0 , T ] , ? y G W
onde /í2 > 0 uma constante.
Hipótese (A.3). Suponha que para cada (t,y) G [0, T] x W, -Ã(t,y) gera um C0
scmi-grupo tal que
||e-s^(í'y)||B(A-) < s G [0,oo) e (3 G IR
( isto é, A{t,y) G G(X, 1,(1), notação de T. Kato).
Hipótese (A. l). Suponhamos que para cada (t,y) G [0,T] x W tem-se
SA(t,y)S~l = A(t,y) + B(t,y)
B{t,y)e B (A) , \\tí{t,y)\\B{X) < ^
26
onde /i3 > 0 é uma constante. A igualdade em (3.2) deve ser entendida no sentido
estrito, isto é,
x G D{A(t,y)) & S~lx G D{A{t,y)) e A(t,y)S~lx G Y.
Com isto, temos o teorema de existência e unicidade da teoria quase-linear de T.
Kato.
Teorema 3.3. Suponhamos que as hipóteses ( X ) , ( A . 1 ) - ( A 4 ) estão satisfeitas. Se
(j) ç W, então (3.1) tem urna única solução
para algum T' G (0,T].
Demonstração: Veja [K3] e [12] página 48. •
Passemos agora a uma aplicação deste a Equação de Korteweg-de Vries em es-
paços de Sobolev de tipo L2. Para isso, considere o seguinte problema de Cauchy:
í d,u + 0]u + uõxu = 0 , / > o , X- G R ( K d V ) ^ 3 )
u(0, x') = 4>(x)
Teorema 3.4. Seja s > 3/2, s G R. Para cada <p G H*{R), existem T > 0
(dependendo somente de \\<p\\s) a uma única solução u para (3.3) tal que
U G C([0,T]; H s m n a u t o , n H * - 3 ( R ) ) .
Afim de demonstrar o teorema 3.4 faremos preliminarmente uma transfor-
mação, a saber,
u{t) = P{t)v{t) (3-4)
onde P{t) : HS{R) —• HS{R) ê um operador linear definido por
27
Notemos que P( í ) , t G R, forma um Cn grupo unitário em H*{R).
De fato, se 0 G / / " (R) , então
(P(O)0) A (O = = 0 ( 0 = ( /0 ) A (O-
Isto implica que P(0) = I. Do mesmo modo,
= e^(P(s)(pr(0 = (P(t)P(sW(0
ou seja, P{t + s) = P{t)P(s). E finalmente, como
todo te R, (1 + \í\2y\(e^34> - m ) I2 < 4(1 + Kl2)'WOI2 e L\R, dÇ), pelo
ou seja, P(t) é unitário.
A seguir, mostraremos que o gerador infinitesimal de P(t), t G R, é o operador
linear -d3x : Hs y\R) —* //'S'(R) definido por
De fato, se (p G / / • , + 3(R), temos:
e para todo í t K, U + KI J (P ~ YVvÇ/l -
teorema da convergência dominada, segue que
lim ||P{t)<f> - cA||, = 0
Além disso,
m<p\\i = / ( i + ifi2)ie*,fJntei2dí
í { 1 + 1 e n C - ^ - - ' e m m J IR
28
Observemos que:
(i) Para cada Ç e R fixado, ^ ^ " —> 0 q u a n d o t
(ii) Pelo teorema, do valor médio, 3t0 G R tal que
](,ue rioç3| < = \e\\t\ => I ^ H < lí3!-
L 0 g 0 ) - < C 1 / 2K 3 | , Ví G R. Portanto,
1 - ^ 3 i 2 ( i + i f H i ^ í o i 2 < c \ e \ 2 ( i + \ t \ 2 r \ m \ 2
< C{i + \tf)s+3m)\2eLl{R,dÇ).
Com isto, pelo teorema da convergência dominada, temos
|| + dl(f)\\s —> 0 quando t 0.
Observações:
1. P(t)L(dx) = L{dx)P(t), onde L{dx) = EÍLo akdx c o m a* constante para todo
k G {0,1, 2,. .. ,N}, isto é, P(t) comuta com um operador diferencial linear
com coeficientes constantes.
2. Substituindo (3.4) em (3.3) produziremos, como veremos abaixo, uma equação
de evolução quase linear para v = v(t) que apresenta apenas uma derivada de
primeira ordem em relação a variável x. Isto nos possibilita trabalhar em um
espaço maior, como veremos. Vejamos os cálculos:
( c U ) A ( 0 = = =
= ^\dxv)A(0 = (P(t)dxu)A(0 =» dxu = P(t)dxv,
analogamente,
( ^ U ) A ( 0 = ( P ( t ) d r V ) A ( í ) d3rU = P(t)dlv,
e finalmente,
dtU = (dtP(t))v + P{t)d,v = -%P(t)v + P(t)dtv = P(t)dtv - P(t)Õ3xv.
29
Assim, ficamos com o seguinte problema de Cauchy:
— + A(t,v)v = 0, u(0) = (3-5) dt
onde A(t,y) = yP{t)dx é um operador linear definido em HS{R), s > 3/2, que só
depen de de t > 0 e y G IP^R), s > 3/2, e tem a seguinte propriedade:
Lema 3.5. Seja s > §. Se (t,y) G [0,T] x W, onde W = {y G H°(R) ; ||y||s < R},
temos que
(A(t, 0)„ > 0 G C0°°(R). (3-6)
Demonstração: De fato,
— (A(t, y)4>, <p)o = -(P(-t)P(t)yP(t)dx(t>A)o = -(P(t)ydxP(t)(t>, P(t)j>)o
= -{P{t)ydx^iP)0 = - í P{t)ydTip.'ipdx (4> = P(t)<f>)
= - f (P(t)y)dx^dx = I P(t)dxy%-d,x J K 1 -/K Z
^ c II I I I I / " ' ' C R < — sup ||y||s||V 2 < — I L / . I I 2
Portanto,
iiynsiiriiu — o L yÇ-W L
(A(t,y)(f>,<l>)Q> ~^\\P(tWo = -PUWl
onde /3 = ^ > 0.
Note que o lema 3.5 é válido também para (f) G HS{R), s > 3/2, pois C^°(K) é
denso neste espaço.
Passemos agora a verificação do teorema 3.3 para o problema de Cauchy (3.5).
No que segue, considere X = L2{R) ,Y = HS{R) ,s > 3/2 e y, z G W, onde
W = {y G HS{R) ; \\y\\s < R}. Deste modo, é claro que Y está contido contínua e
densamente em X. Além disso, 5 = (1 - d*)"'2 : Y X definido por
^ = ( ( l + |Ç|2r/2í)v,
é um isomorfismo de Y em A" e de fato uma isometria, pois
\\<í>\\s = \\S(f>\\0-
30
Com isso, fica provado a hipótese (X).
Como, para cada (í, y) G [0, T] x W, D{A{t,;//)) = Y, a demonstração da hipótese
(A.l) se resume ao seguinte lema:
L e m a 3 .6 . Valem, as seguintes afirmações:
(i) A(t,y)eB(Y,X), (í, y) G [0, T] x W.
(ti) Para cada yeW fixo, t G [0,T] i—> A(t,y) pertence a C([0, T]; B(Y, X)).
(in) \\A{t,y) - A(l, Z)\\B(Y,X) < HÍWV ~ 1̂1o, onde > 0 e urna constante.
D e m o n s t r a ç ã o : Para (t,y) G [0,T] x W fixados e </> G Y, temos que
\\A{t,y)<f>\\0 = \\yP(t)dx(f)\\Q<\\P(t)dx<l>\\^\\y\\o
< C\\P(t)dx<t>\\s , i l ? y | | o < C | | 0 | U | y | | o ,
isto é, A(t,y) G B(Y, X). Portanto (í) esta demonstrado. Quanto a (ii), observe que
\\A{t, y)4> - A(to, y)(f)\\o = \\yP{t)dx<l> - yP{t0)dx(f>||o < I I y ( P ( t ) - P(to))dx<l>\\0
< I \ ( P ( t ) - PíkMlMlo = c\\(P(t) - P(toM\s-
Como P{t) e um C0 grupo, temos que limt.+t() ||A{t.,y)(f> - A(t0,y)4>||o —> 0. Isto
encerra a demonstração de (ii). Para finalizar, vejamos que vale (iii).
De Fato,
| | ( / i ( í , y ) A(t,zM\» = | | 0 ; - z)P{t)dAb < \\PmM^\\y - * l l o
< C\\P{t)dx(t>\\,-i\\y - z | | o < C\\(p\\s\\y - z\\0.
Isto implica que | |A{t, y) - A(t, z)\\B{Y,x) < f'i\\y ~ z||o- •
Observe que W é uma bola centrada em y0 = 0. Isto implica que a hipótese
(A.2) é satisfeita trivialmente.
Vejamos agora que a hipótese (A.3) 6 satisfeita.
L e m a 3.7. Para cada (t,y) G [0,T] x W, -A{t,y) gera urn C0 serni-grupo tal que
|KS / 1 ( 1 ' ? ; ) | |B(.Y) < A s e [0, oc) e P G R . (3-7)
31
Demons tração : Vejamos que o operador -A{t,y) é fechado. Para isto, seja {<K}
uma sequencia em V tal que 0 n 0 na norma Y e -A{t,y)4>n ->• 0> na norma X .
É claro que 0 G F e como .s - 1 > 1/2,
||,í/; + / i ( t , y )0 | | o < ||-(/; + ,4(í, y)07i||o + I! - A(t,y)<f>n + A(t,y)(l>||0
< | | - 0 + A(t, y ) 0 n | | o + || - dxP{t){(f>n - 0 ) I U - | | y | ! o
< ||'0 + ;í/)0„||o + C | | 0 n — 0||s-
Fazendo n -> oo, concluímos que -A(t,y)<j> = W- Portanto, -A{t,y) é fechado.
Agora, verificaremos propriedades do operador linear (-pi - A(t,y)) : Y >• X.
Observe que pelo lema 3.5,
((/3 + A( t ,y) '0 ,0) o > 0,
Assim, dados 0; G Y e A > 0, temos que
||(A + fi + A(í, y)) 0j|o||'0!lo > |((A + /i + A(t, y))ip, V;)o|
> + +
> AII^IIS,
ou seja, ||(A + /3 + y ) ) - 0 | | o > MH'\\o- Isto é equivalente a dizer que (—(51 - A(t, y))
é dissipativo ( Veja [P] página 14). Além disso, como
| | . 4 ( 7 , , y ) ' 0 | | d = í \yP(tWA2dx< | | y | | ^ | | 5 x 0 | l o Jr
< CM\1\H€<C2U\\1
onde C2 - CSR2 > 0 é uma constante, segue que
| | ( - / i - A(t, y))-0||o < PW\\o + \\A{t, ,y)'0||o < + CUII-
Mas o operador linear [SI : V —>• X gera um C0 semi-grupo em X. Logo, pela
teoria de perturbação de semi-grupos ( Veja [P] página 84, corolário 3.5), - A ( t , y )
gera um C0 semi-grupo que satisfaz (3.7). •
Finalmente, verificaremos que vale a hipótese (A.4)
32
Lema 3.8. Para cada (t,y) G [O,T] x W temos
SA{t,y)S~l = A{t,y) + B{t,y)
B(t, y) G B ( X ) , | |B(Í,Y)| |B(A-) <
onde fj.:i > O é uma constante.
D e m o n s t r a ç ã o : Observe primeiramente que se 0 € D{A{t,y)) = K, então existe
uma única '0 e * tal que (1 - = 0- Logo,
A(t,y)S~1(l> = yP(t)dxS~^
= yP{t)dxS-2ip {(f> = S~xip)
mas (1 - e / Í 2 ' (R) , Portanto, y P ^ R O - ^ ^ 0 G ^ P o i s V é
uma álgebra de Banach. Isto implica que o operador SA{t,y)S~l : Y ^ X esta
bem definido. Segue então que
.s'. //).s" 'o = Sul^luK-S ''o
= y)4> + SyP(t)dxS~l4> - yP(t)dxSS^4>
= A(t, y)(f> + B(t, y)(j),
onde B{t,y) = [S, yP(t)dx}S~l. Agora c preciso mostrar que B(t,y) G B ( X ) .
Para isso note que
B(t,yW = [S,yP(t)dx]S-^ = S{yP(t)dxS-^)-yP(t)d^
= [S, y]dxP(t)S- V + y - W C O S " 1 - ydxP(t) 0
= [ 5 , . ' / / ; , / ' • ; / ! > ' V + ydxP{t)i> - ydxP{t
para toda 0 G C0°°(R). Logo, pelo teorema 2.16,
| | £ ( í , y ) 0 l | o = || [ S , z / l ^ P ^ S - ^ l l o
= | | [ S , y ] < M l o { * = P ( t ) S - i 1 > )
< C. V i | | y | | , | |0IU
= Z1:! II'011 o 33
onde = C U M I , < C o m o é e m S G g U e q U e
\B{t, u)\\b{x) <
D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 3.4: Verificadas as hipóteses (X), (A.1)-(A.4) para
o problema de Cauchy (3.5), o teorema 3.3 garante que existe uma única solução
, £ C ( [ 0 , n n n c u [ 0 , n v ) , T e (0,T], para o problema (3.5). Visto que
v(t) = P(t)v(t) e P{t), i G M, forma um Cn grupo unitário, então existe uma única
solução u e c ( [ 0 , T l ; H ' ( R ) ) n C l ( [ 0 I r ] ; f f - 3 ( R ) ) . s > 3 / 2 ' P a r a 0 p r o b l e m a d e
Cauchy (3.3). Isto encerra a demonstração do teorema.
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Referências Bibliográficas
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