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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL
CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR
MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM
SESION # 12
“Integrales segunda parte”
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Método de sustitución trigonométrica
El método de sustitución trigonométrica sirve para resolver integrales en los que sus integrandos tienen ciertas
expresiones algebraicas tales como: 𝑎2 − 𝑏2𝑢2, 𝑎2 + 𝑏2𝑢2, 𝑏2𝑢2 − 𝑎2.
Para: Sustituir: Se obtiene: Triangulo asociado:
𝑎2 − 𝑏2𝑢2𝑢 =
𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑧
𝑑𝑢 =𝑎
𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑑𝑧
𝑎 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑧 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑧
𝑎2 + 𝑏2𝑢2𝑢 =
𝑎
𝑏𝑡𝑎𝑛 𝑧
𝑑𝑢 =𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧
𝑎 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 = 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝑧
𝑏2𝑢2 − 𝑎2𝑢 =
𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑐 𝑧
𝑑𝑢 =𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
𝑎 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑧
𝑎 𝑏𝑢
𝑎2 − 𝑏2𝑢2𝑧
𝑏𝑢
𝑎𝑧
𝑎
𝑏𝑢𝑏2𝑢2 − 𝑎2
𝑧
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
29. Identificar el triangulo correspondiente a la
sustitución trigonométrica que resuelve la
integral:
න𝑥2
𝑥2 − 25𝑑𝑥
Solución: Empleamos la 3ra forma de sustitución
trigonométrica.
𝑥2 − 25
5
𝑥
𝜃
30. En la 𝑑𝑥
𝑥2−16al sustituir 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧
el radical es igual a:
Solución: Empleamos la 3ra forma de
sustitución trigonométrica.
4 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 4𝑡𝑎𝑛 𝑧
La integral se puede escribir:
න𝑑𝑥
𝑥2 − 16= න
4𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
4𝑡𝑎𝑛 𝑧
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧𝑑𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
32.Al usar el método de sustitución
trigonométrica en 𝑑𝑥
4−𝑥2, el
cambio de variable que se aplica es:
4 − 𝑥2
𝑥4
𝜃
Solución: Empleamos la
1ra forma
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑧
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
31. Determinar el resultado de la
integralන
𝑥3
𝑥2 − 4𝑑𝑥
Solución: aplicando
𝑥2 − 4
2
𝑥
𝑧
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 𝑧𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑧
න𝑥3
𝑥2 − 4𝑑𝑥 = න
2𝑠𝑒𝑐 𝑧32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1
8න𝑠𝑒𝑐4 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 1 𝑑𝑧
Empleamos la sustitución:
න2𝑠𝑒𝑐 𝑧
32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1= න
2𝑠𝑒𝑐 𝑧32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧
2𝑡𝑎𝑛 𝑧
8න 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 1 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 𝑑𝑧 + 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧
Para (1) hacemos el cambio de variable: 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑧
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧
(1) (II)
න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶Para (1I) empleamos:
8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 𝑑𝑧 + 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑢2𝑑𝑢 + 8 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶
8න𝑢2𝑑𝑢 + 8 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶 = 8𝑢
3
3
+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 =8𝑡𝑎𝑛3 𝑧
3+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶
Factorizando:
8𝑡𝑎𝑛3 𝑧
3+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶 = 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧
3 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧)
3+ 𝐶
𝑡𝑎𝑛 𝑧 =𝑥2 − 4
2
8𝑥2 − 4
2
23 +
𝑥2 − 42
3+ 𝐶 =
𝑥2 + 8 𝑥2 − 4
3+ 𝐶
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34. Resolver mediante trigonométrica
න𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 36
Solución: Empleando el 2do triangulo
𝑥 = 6𝑡𝑎𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
න𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 36= න
6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
6𝑡𝑎𝑛 𝜃 6𝑠𝑒𝑐 𝜃
න6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
6𝑡𝑎𝑛 𝜃 6𝑠𝑒𝑐 𝜃= 6න
𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃
1
6න𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃=1
6න
1𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑑𝜃 =1
6න
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝜃 =
1
6න𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑑𝜃
1
6න𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑑𝜃 =
1
6𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 𝐶
න𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 36=1
6𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 𝐶
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
FRACCIONES PARCIALESEl método de fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones mas simples, lo que permite
descomponerse en fracciones parciales. Una función 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑥
𝑄 𝑥de forma racional se puede descomponer como:
Caso I. Factores lineales distintos
Caso II. Factores lineales iguales
Caso III. Factores cuadráticos distintos
Caso IV. Factores cuadráticos iguales
𝐴
𝑎𝑥 + 𝑏
𝐴1𝑎𝑥 + 𝑏
+𝐴2
𝑎𝑥 + 𝑏 2+⋯+
𝐴𝑛𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+𝐴2𝑥 + 𝐵2
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2+⋯+
𝐴𝑛𝑥 + 𝐵𝑛𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛
A cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 del denominador
le corresponde un factor:
A cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏, repetido “n” veces en el
denominador le corresponde “n” factores de la forma:
A cada factor cuadratico 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 del denominador
le corresponde un factor:
A cada factor cuadratico 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, repetido “n” veces
del denominador “n” factores de la forma:
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
33. Al resolver la integral 5𝑥+30
𝑥2−3𝑥+2𝑑𝑥 por fracciones
parciales, ¿Cuáles son los valores de las constantes A
y B?
Solución:5𝑥 + 30
𝑥2 − 3𝑥 + 2=
5𝑥 + 30
𝑥 − 2 𝑥 − 1=
𝐵
𝑥 − 2+
𝐴
𝑥 − 1
5𝑥 + 30 = 𝐵 𝑥 − 1 + 𝐴 𝑥 − 2Se sustituyen las raíces de las fracciones:𝑥 = 1
5 1 + 30 = 𝐵 1 − 1 + 𝐴 1 − 20
35 = −𝐵 ⇒ 𝐵 = −35
𝑥 = 2
5 2 + 30 = 𝐵 2 − 1 + 𝐴 2 − 2
0
40 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 40 ∴ 𝐴 = −35, 𝐵 = 40
35. Al descomponer la integral 𝑥−1
𝑥2−3𝑥−4𝑑𝑥 en fracciones parciales, para
resolverla, estas quedan como:
𝑥 − 1
𝑥2 − 3𝑥 − 4=
𝑥 − 1
𝑥 − 4 𝑥 + 1=
𝐴
𝑥 − 4+
𝐵
𝑥 + 1
Solución:
37. Describir las integrales que son el resultado de descomponer en
fracciones parciales la siguiente integral indefinida:
න𝑘
𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓𝑑𝑥
𝑘
𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓=
𝐴
𝑥 + 𝑑 2 +𝐵
𝑥 + 𝑑+
𝐶
𝑥 + 𝑓
Solución: Son dos términos lineales y uno de ellos es repetido por lo que
se escriben dos términos del factor al cuadrado
න𝑘
𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = න
𝐴
𝑥 + 𝑑 2𝑑𝑥 + න
𝐵
𝑥 + 𝑑𝑑𝑥 + න
𝐶
𝑥 + 𝑓𝑑𝑥
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39. La siguiente integral se puede resolver
usando el método de fracciones parciales.
Escribir los denominadores que completen
la expresión:
න8𝑥
𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 = න8
_______𝑑𝑥 +න
8
_______𝑑𝑥
Solución:
8𝑥
𝑥 − 1 2 =8
𝑥 − 1 2 +8
𝑥 − 1
Es un termino lineal al cuadrado por lo que
se escriben dos términos, uno de ellos al
cuadrado
41. Descomponer en fracciones parciales
la integral:
න𝑑𝑥
𝑥 + 3 3
Solución:
Es un termino lineal al cubo por lo que
se escriben tres términos, el inicial al
cubo1
𝑥 + 3 3 =𝐴
𝑥 + 3 3 +𝐵
𝑥 + 3 2 +𝐶
𝑥 + 3
Por lo que la integral se puede expresar
como:
න𝐴
𝑥 + 3 3𝑑𝑥 +න
𝐵
𝑥 + 3 2𝑑𝑥 + න
𝐶
𝑥 + 3𝑑𝑥
38. Resolver la integral:
න𝑥
1 − 𝑥 2 𝑑𝑥
Solución:𝑥
1 − 𝑥 2 =𝐴
1 − 𝑥 2 +𝐵
1 − 𝑥
Se sustituyen la raíz 𝑥 = 1𝑥 = 𝐴 + 𝐵 1 − 𝑥
1 = 𝐴 + 𝐵 1 − 10 𝐴 = 1
𝐵 = −1
න𝑥
1 − 𝑥 2𝑑𝑥 = න
𝑑𝑥
1 − 𝑥 2−න
𝑑𝑥
1 − 𝑥
න𝑥
1 − 𝑥 2𝑑𝑥 =
1
1 − 𝑥− 𝑙𝑛 1 − 𝑥 + 𝐶
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40. Resolver la integral definida:
න1
4 𝑥
𝑥 + 1 4 𝑑𝑥
Solución: resolvemos con fracciones parciales
𝑥
𝑥 + 1 4 =𝐴
𝑥 + 1 4 +𝐵
𝑥 + 1 3 +𝐶
𝑥 + 1 2 +𝐷
𝑥 + 1
𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 + 1 2 + 𝐷 𝑥 + 1 3 (∗)
𝑥 = −1Evaluando en:
−1 = 𝐴 + 𝐵 −1 + 1 + 𝐶 −1 + 1 2 + 𝐷 −1 + 1 30 0 0
∴ 𝐴 = −1
Derivando (*) y evaluando en: 𝑥 = −1
1 = 𝐵 + 2𝐶 𝑥 + 1 + 3𝐷 𝑥 + 1 2 (∗∗)
1 = 𝐵 + 2𝐶 −1 + 1 + 3𝐷 −1 + 1 2 (∗∗)00
∴ 𝐵 = 1
Derivando (**) y evaluando en:
0 = 2𝐶 + 6𝐷 𝑥 + 1 (∗∗∗) ∴ 𝐶 = 0Derivando (***) y evaluando en:
𝑥 = −1
𝑥 = −1
0 = 6𝐷 ∴ 𝐷 = 0La integral se escribe como:
න1
4 𝑥
𝑥 + 1 4𝑑𝑥 = −න
1
4 1
𝑥 + 1 4𝑑𝑥 +න
1
4 1
𝑥 + 1 3𝑑𝑥
න1
4 𝑥
𝑥 + 1 4𝑑𝑥 =
1
3 𝑥 + 1 3−
1
2 𝑥 + 1 2
4
11
3 4 + 1 3−
1
2 4 + 1 2−
1
3 1 + 1 3−
1
3 1 + 1 2=
1
3 ∙ 53−
1
2 ∙ 52−
1
3 ∙ 23−
1
2 ∙ 22
1
3 ∙ 53−
1
2 ∙ 52−
1
3 ∙ 23−
1
2 ∙ 22=
1
375−
1
50−
1
24−1
8= −
13
750− −
1
12=
33
500
න1
4 𝑥
𝑥 + 1 4 𝑑𝑥 =33
500
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
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36. Resolver la integral 𝑥2−6𝑥−11
𝑥3+3𝑥−𝑥−3𝑑𝑥 por fracciones
parciales.
Solución: 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 = 𝑥 + 3 𝑥 + 1 𝑥 − 1
න𝑥2 − 6𝑥 − 11
𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = න
2𝑑𝑥
𝑥 + 3+න
𝑑𝑥
𝑥 + 1−න
2𝑑𝑥
𝑥 − 1
𝑥2 − 6𝑥 − 11
𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3=
𝐴
𝑥 + 3+
𝐵
𝑥 + 1+
𝐶
𝑥 − 1
𝑥2 − 6𝑥 − 11 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 1 + 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶 𝑥 + 3 𝑥 + 1
Evaluando en: 𝑥 = −3
−3 2 − 6 −3 − 11 = 𝐴 −3 + 1 −3 − 1 + 𝐵 −3 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶 −3 + 3 𝑥 + 10 0
16 = 8𝐴 ⇒ 𝐴 = 2Evaluando en: 𝑥 = −1
−1 2 − 6 −1 − 11 = 𝐴 −1 + 1 −1 − 1 + 𝐵 −1 + 3 −1 − 1 + 𝐶 −1 + 3 −1 + 1
0 0
−4 = −4𝐵 ⇒ 𝐵 = 1Evaluando en: 𝑥 = 1
1 2 − 6 1 − 11 = 𝐴 1 + 1 1 − 1 + 𝐵 1 + 3 1 − 1 + 𝐶 1 + 3 1 + 1
0 0
−16 = 8𝐶 ⇒ 𝐶 = −2
න𝑥2 − 6𝑥 − 11
𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 2𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶
Aplicando propiedades de los logaritmos
2𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 2𝑙𝑛 𝑥 − 1 = 𝑙𝑛 𝑥 + 3 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 2
𝑙𝑛 𝑥 + 3 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 2 = 𝑙𝑛𝑥 + 3 2 𝑥 + 1
𝑥 − 1 2
න𝑥2 − 6𝑥 − 11
𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = 𝑙𝑛
𝑥 + 3 2 𝑥 + 1
𝑥 − 1 2+ 𝐶
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Cálculo de áreas
El área bajo una curva es el principal argumento en el desarrollo del concepto de integral. El área bajo la
curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos
de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.
lim𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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42. Determinar el área bajo la curva:
3𝑥2 − 5𝑥 + 1 en el intervalo de [1,2]
Solución:
න1
2
3𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 −5
2𝑥2 + 𝑥
2
1
2 3 −5
22 2 + 2 − 1 3 −
5
21 2 + 1
8 − 10 + 2 − 1 −5
2+ 1 = − −
1
2=1
2
න1
2
3𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 =1
2
43. Hallar el área descrita por:
න0
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
Solución:
Debemos observar como es
la gráfica de la función cos(x)
La función cos(x) pasa de
positiva a negativa en𝜋
2por
lo que debemos separar en
dos intervalos para calcular el
área.
න0
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = න0
𝜋2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 − න
𝜋2
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0 𝜋
න0
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜋
2− 𝑠𝑒𝑛 0 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
0 01 1
En esta parte el área tendrá signo negativo
por lo que se multiplica por menos para que
se sume
න0
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 1 = 2
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44. El valor de la integral definida: 0
𝜋
4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥
es: Solución:
න0
𝜋4𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥
0
𝜋
4
𝑡𝑎𝑛𝜋
4− 𝑡𝑎𝑛 0 = 1
න0
𝜋4𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 1
47. Calcular el área de: 312
𝑥 − 3𝑑𝑥
Solución:න3
12
𝑥 − 3𝑑𝑥 = න3
12
𝑢12𝑑𝑢 =
𝑢32
32
𝑢 = 𝑥 − 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
න3
12
𝑥 − 3𝑑𝑥 =2
3𝑥 − 3 3
3
12
න3
12
𝑥 − 3𝑑𝑥 =2
312 − 3 3 −
2
33 − 3 3 =
2
312 − 3 3 =
2 × 27
3= 18
0
න3
12
𝑥 − 3𝑑𝑥 = 18𝑢2
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45. Calcular el área que se forma entre las curvas:
𝑥3 − 𝑦 − 1 = 0𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
Solución: Podemos escribir :𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1
Resolviendo:
𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥1 = 0, 𝑥1 = 1, 𝑥1 = −1
Como se observa en la gráfica podemos expresar el área como la suma
de dos áreas a partir de la diferencia de dos funciones dependiendo cual
es la función que esta arriba:
𝐴 = න−1
0
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +න0
1
𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴 = න−1
0
𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 +න0
1
𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥 =𝑥4
4−𝑥2
2+
𝑥2
2−𝑥4
4
−1,0 0,1
𝐴 = 0 −−1 4
4−
−1 2
2+
1 2
2−
1 4
4− 0 =
1
4+1
4=1
2
𝐴 =1
2𝑢2
1
41
4
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Longitudes de arco
La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta
que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo
más pequeño posible.
𝐿 = න𝑎
𝑏
1 +𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
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46. Seleccionar la integral que representa la longitud
de arco de la curva 𝑦 = 𝑥2 desde el punto 1,1 al
punto 2,4
Solución: 𝑦 = 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
La longitud de la curva se puede representar como:
𝑠 = න1
2
1 + 2𝑥 2𝑑𝑥
𝑠 = න1
2
1 + 4𝑥2𝑑𝑥
𝑃𝑖 1,1
𝑃𝑓 2,4
49. Hallar la longitud de arco de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = 9Solución:
La forma mas sencilla de resolver el problema es calcular el perímetro
de la circunferencia empleando la expresión: 𝑃 = 2𝜋𝑟 Donde r=3.
𝑃 = 2𝜋 3 = 6𝜋
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDASolidos de revolución
Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana
alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie
exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.
Método de discos: Método de arandelas:
Método de capas
cilíndricas:
𝑉 = 𝜋න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 2𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋න𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 2𝑑𝑦
El volumen del sólido de
revolución obtenido al girar, sobre
el eje "x", esta dado por:
El volumen del sólido de
revolución obtenido al girar, sobre
el eje “y", esta dado por:
Este método consiste en hallar el volumen
de un solido generado al girar una región
entre dos curvas.
𝑉 = 𝜋න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋න𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 2 − 𝑔 𝑦 2 𝑑𝑦
El método implica considerar los
elementos rectangulares de área paralelos
al eje de revolución, después cuando un
elemento de área se gira alrededor del eje
de revolución se obtiene una capa
cilíndrica.
V = 2πන𝑎
𝑏
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
V = 2πන𝑎
𝑏
𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
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48. Seleccionar la integral que representa el
volumen del solido que se genera al girar la
región plana:
𝑅: ൝𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 27𝑥
Solución:
𝑥3 = 27𝑥 ⇒ 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 3
𝑉 = 2𝜋න0
3
𝑥 27𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥
50. Calcular: 012𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥 si:
න0
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 4 න0
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −1
න0
1
2𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 2 4 − 3 −1 = 11
Solución:
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