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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
1
Movimento Plano Geral
Um movimento plano geral pode ser considerado
como a soma de uma translação e de uma rotação:
Movimento geral = Translação + Rotação
Movimento de um corpo decomposto em uma
translação e uma rotação:
Velocidade absoluta e relativa:
/B A B Av v v
:Bv velocidade absoluta do ponto B.
:Av translação da placa com A.
/ :B Av velocidade relativa associada à rotação da placa
ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em
A e de orientações fixas. Denotando por :
/ :B Ar vetor de posição de B em relação a A:
/B Ar B A
k : velocidade angular em relação aos eixos de
orientações fixas.
/ /ˆ
B A B Av k r
/ˆ
B A B Av v k r
Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.
Observe que:
//
B AB A B A
vv v tg v l
l
/
/
coscos
A AB A
B A
v vv
v
cos
Av
l
Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como
pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em
uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura),
teremos:
Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.
/A B A Bv v v
Observe que:
/ / / /A B B A A B B Av v v v l
O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de
referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada
a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que
a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é
a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos
é medida pela derivada temporal do ângulo :
d
dt
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
2
Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade
angular de um corpo rígido animado de movimento plano
é independente do ponto de referência.
A maior parte dos mecanismos mecânicos constam
não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando
tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los
considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo,
esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a
mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser
feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em
constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se
os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento
relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade
relativa das partes em contato.
Análise do movimento
Qr OQ Q O
Pr OP P O
Q Pr QP P Q
OQ QP OP
Q P P QQ P Q Pr r r r r r
Aplicando a derivada em relação ao tempo:
Q PQPdrdrdr
dt dt dt
P Q Q Pv v v
Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo
que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então:
QPQ Pv r
Logo:
P Q QPv v r
Vetor aceleração:
O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada
temporal do vetor aceleração: dv
a v adt
PQ QP
dv da a v r
dt dt
Q
QP
dv da r
dt dt
Q QP
QP
dv drda r
dt dt dt
Identificando os termos:
QPP Q
dvdva a
dt dt
ˆ ˆˆ
d ed d d dee
dt dt dt dt dt
Se e for um vetor constante: ˆ
0de
dt . Assim:
d
dt
QP
P Q QP
dra a r
dt
Ou
P Q
da a P Q P Q
dt
Aplicando o Teorema de Poisson:
d
P Q P Qdt
P Qa a P Q P Q
Resumo: Movimento no plano: 1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do
movimento.
2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal
ao plano de movimento.
3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular,
e esta, tem a direção do eixo de rotação:
ˆ ˆd
e edt
4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular;
e esta tem a direção do eixo de rotação:
ˆ ˆd
e edt
5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em
função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada
por:
P Q QP P Qv v r v v P Q
6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em
função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada por:
P Q P QQP QP QPa a r r r P Q r
P Qa a P Q P Q
Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC)
x
z
y
P Q
O
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
3
Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, pode-
se utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de
Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC).
Considera-se a existência de um eixo de rotação num dado
instante, e a interseção deste, com o plano de movimento é o
ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. Todos
os pontos do sólido, no instante considerado, descrevem
trajetórias circulares com centro no CIR.
A propriedade fundamental do CIR é de possuir
velocidade nula:
0ICv
O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser
associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do
mesmo.
Utilizando a relação de velocidades:
P Q QP QPv v r r P Q
Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos:
0
P CIRv v P CIR
Pv P CIR
Norma:
A norma da velocidade em P será dada por:
Pv P CIR sen
P CIR d : é a distância entre o ponto P o CIR.
: é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de
rotação. Se = 90° → sen90°=1. Logo: Pv d
Direção:
Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto
vetorial: Pv (reta que une e )Pv P CIR
Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a
velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao
vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:
A velocidade angular e a velocidade do ponto
Av são conhecidas
Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma
linha perpendicular a Av em A, onde a distância de A para o IC
é dada por:
A
A IC
vr
Note que o IC está a direita de A e vA causa uma
rotação com velocidade angular horária em torno de IC.
As direções de e A Bv v são conhecidas.
Constroem-se duas linhas a partir de A e B,
perpendiculares às direções de e A Bv v , respectivamente. O
cruzamento dessas linhas fornece o IC.
A magnitude e a direção das velocidades de dois
pontos e A Bv v são conhecidas:
Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de
triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então:
A
A IC
vr
: distância de A ao IC.
B
B IC
vr
: distância de B ao IC.
Podem ocorrer dois casos:
A IC B ICr r d B IC A IC
d r r
Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
4
0.8 m
z x
y
B
A
Bv
300
0.8 m
z x
y A
300
B
Av
1200
600
300
600
Exemplos resolvidos:
Livro Unip
1. (3.01– pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem
comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades apoiadas
em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra,
desloca-se para a direita, com velocidade constante vA = 3.5
m/s. No instante ilustrado, quando o ângulo entre a barra e o
plano é de 300, pedem-se:
(a) a velocidade do ponto B.
(b) a aceleração do ponto B.
Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo
de rotação: CIR ou IC.
3.54.375
0.8
AA A CIR
A CIR
v radv r
r s
3.5B BB CIR
mv r v
s
Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido:
P Q P QQPv v r v v P Q
B A B AABv v r v v B A
Achando as coordenadas dos pontos:
, e ,A A B BA x y B x y
00.8 cos30 0.692A Ax x m ; 0Ay m
0Bx m ;00.8 30 0.4B By sen y m
0.692;0 e 0;0.4A B
ˆ ˆ0.7 0.4AB
r B A i j
k
B A ABv v r
ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4Bv i k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4B
j i
v i k i k j
ˆ ˆ3.5 0.4 0.7Bv i j
Decompondo a velocidadeBv :
0 0ˆ ˆcos60 60B B Bv v i v sen j
Comparando as relações:
0
00
cos60 3.5 0.4 0.7
6060 0.7
B
B
B
vv
senv sen
0
0
0.7cos60 3.5 0.4
60sen
0.404 3.5 0.4 0.404 0.4 3.5
3.54.375
0.8
rad
s
0 0
0.7 0.7 4.3753.54
60 60B B B
mv v v
sen sen s
Cálculo da aceleração em B:
P Qa a P Q P Q
B Aa a B A B A
Como a velocidade é constante:
0AA A
dva a
dt
ˆd d
edt dt
ˆ ˆdk k
dt
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.7 0.4 4.38 4.38 0.7 0.4Ba k i j k k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0.7 0.4
ˆ ˆ ˆˆ ˆ4.38 4.38 0.7 4.38 0.4
B
j i
j i
a k i k j
k k i k j
ˆ ˆ0.7 0.4
ˆ ˆ ˆ4.38 3.066 1.752
Ba j i
k j i
ˆˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 4.38 3.066 4.38 1.752B
ji
a i j k j k i
ˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 13.43 7.67Ba i j i j
ˆ ˆ13.43 0.4 7.67 0.7Ba i j
Porém, sabemos que:
600
600
CI
R
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
5
A B
Bv
0.56m
B
Bv
Pv
0.24m d
e2
0 0ˆ ˆcos60 60B B Ba a i a sen j
ˆ ˆ0.5 0.866B B Ba a i a j
Comparando, teremos:
0.5 13.43 0.4
0.866 7.67 0.7
B
B
a
a
Resolvendo o sistema:
0.5 0.7 0.866 0.4 13.43 0.7 7.67 0.4B Ba a
0.35 0.3464 9.401 3.068B Ba a
2
12.4690.6964 12.469 17.9
0.6964B B B
ma a a
s
13.43 0.50.5 13.43 0.4
0.4
BB
aa
8.95
2
13.43 0.5 17.69 4.4811.2
0.4 0.4
rad
s
2. (3.02 –pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2,
tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário, com
velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no
sentido horário com velocidade angular constante AB = 13
rad/s. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e2;
(b) a aceleração do ponto de contato entre as
engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.
Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo.
A velocidade do ponto B:
1. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B.
2. Possui sentido para baixo, pois a rotação da barra AB é
horária.
3. Possui intensidade dada por: B ABv AB
1 2 0.32 0.24AB R R AB
0.56AB m
13 0.56 7.28B B
mv v
s
Engrenagem e1:
CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de
rotação.
Velocidade do ponto P:
1. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P.
2. tem sentido para baixo, pois a rotação de e1 é horária.
3. tem intensidade dada por:
1 1 16 0.32 5.12P e P P
mv R v v
s
Engrenagem e2: Com o engrenamento dos dentes: não há
escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das duas
engrenagens são iguais.
Velocidades dos pontos da engrenagem e2:
Seu centro: 7.28B
mv
s .
Do ponto de engrenamento: 5.12P
mv
s
CIR de e2: A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas
velocidades dos ponto B e P , entretanto, é mais trabalhoso
que o usual, pois as linhas ortogonais à essas velocidades são
coincidentes e não definem o CIRe2.
A velocidade do ponto P pode ser expressa por:
2 2P e ev PCIR
A velocidade do ponto B pode ser dada por:
2 2B e ev BCIR
2 2
5.125.12P e ev d
d
2
7.28 0.24B ev d
1.2288
5.127.28 0.24 7.28 5.12 0.24 5.12d d d
d
2.16
1.22880.569
7.28 5.12d d m
29e
rad
s
2
ˆ9e k
Aceleração do ponto P:
A B
x
y
z
CIR
x
y
z
CIRe
2
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6
A aceleração do ponto P será expressa em função da
aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B
(pertence à barra AB). Utilizando:
P Qa a P Q P Q
B A AB AB ABa a B A B A
Como o ponto A é fixo:
0Aa
Vetor velocidade angular da barra AB:
Horário e constante: ˆ13AB k
Vetor aceleração angular da barra AB:
0ABAB AB
d
dt
Vetor B-A:
Módulo: 0.56mDireção: eixo x: i
Sentido: de A para B: ˆ0.56B A i
ˆ ˆ ˆ0 0 13 13 0.56Ba B A k k i
ˆ
ˆ ˆ ˆ13 13 0.56B
j
a k k i
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ13 7.28 94.64B B
i
ma k j a i
s
Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da
engrenagem e2:
2 2 2P B e e ea a P B P B
2ˆ94.64B
ma i
s
2
2 2 2
ˆ9 0e
e e e
dk
dt
O vetor P-B:
possui módulo igual à distância de P e B: 0.24m;
direção do eixo x: i
sentido é de B para P: ˆ0.24P B i
2
0
ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P ea i P B k k i
ˆ
2.16
ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P
j
a i k k i
ˆ
ˆˆ ˆ94.64 9 2.16P
i
a i k j
2ˆ ˆ ˆ94.64 19.44 75.2P P
ma i i a i
s
3. (pag.76) – A barra AB, gira com freqüência
constante f = 954.96 rpm no sentido horário. O cursos C está
vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante
considerado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra CB;
(b) a velocidade do cursos C;
(c) a aceleração do cursor C.
Barra AB:
O vetor velocidade angular da barra AB:
Tem intensidade:
954 60
2 100AB AB
radf
s
Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com
sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).
ˆ100AB
radk
s
O ponto A é o CIR:
A velocidade do ponto B é:
ˆ100 0.09 9B AB B B
mv r v v j
s
A aceleração do ponto B é:
B A AB AB ABa a B A B A
0 CIRAa
y
z
x
B
A
0.56m Bv
B P
e2
x
y
z
150 mm
A
300 mm
90 mm
A
90 mm
B
B
y
x z
Bv
CIR
C
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7
0 CIR ABAB AB
d
dt
ˆ0.09B A i
0 0
ˆ ˆˆ ˆ0.09 100 100 0.09B A ABa a i k k i
ˆ
ˆ ˆ ˆ100 100 0.09B
j
a k k i
2ˆ ˆ ˆ900 900B B
ma k j a i
s
Barra BC:
2 2 20.15 0.3 0.09 0.0225 0.26BCIR BCIR BCIR m
934.64
0.26B BC BC BC
radv BCIR
s
34.64 0.15 5.2C BC C C
mv CCIR v v
s
ˆ5.2C
mv i
s
Aceleração no ponto C:
C B BC BC BCa a C B C B
Vetor aceleração angular:
ˆBC BC k
Vetor: 0.26;0.15 0;0C B
ˆ ˆ0.26 0.15C B i j
Vetor ˆ34.64BC k
ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆ ˆ34.64 34.64 0.26 0.15
C BCa i k i j
k k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆˆ ˆ34.64 34.64 0.26 34.64 0.15
C BC BC
j i
j i
a i k i k j
k k i k j
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆ34.64 9 5.196
C BC BCa i j i
k j i
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆˆ ˆ34.64 9 34.64 5.196
C BC BC
ji
a i j i
k j k i
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ311.76 180
C BC BCa i j i
i j
ˆ ˆ900 311.76 0.15 180 0.26C BC BCa i j
ˆ ˆ588.24 0.15 180 0.26C BC BCa i j
ˆC Ca a i
2
588.24 0.15 180692.31
180 0.26 0 0.26
C BC
BC BC
BC
a rad
s
588.24 0.15C BCa
2
103.84
588.24 0.15 692.31 484.15C C
ma a
s
4. (pag.76) – Um carro apresenta rodas traseiras com
diâmetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com aceleração a
= 6.5 m/s2. No instante ilustrado, a velocidade do auto é v = 140
km/h. Sabendo que não ocorre escorregamento entre as rodas e
o piso, pedem-se:
(a) a velocidade do ponto A;
(b) a velocidade do ponto B;
(c) a aceleração do ponto A;
150 mm
A
300 mm
90 mm B
C
y
x z
Cv
Bv
CIR
Ponto A
Ponto B
x
y
z
y A
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8
CIR: a origem do sistema de coordenadas como o
ponto C de contato da roda.
0 OCIR C
vv v OCIR
R
140 3.6 ˆ103.7 103.70.75 2
radk
s
A Cv v OA
ˆˆ ˆ38.89 0.375Av i k j
ˆ
ˆˆ ˆ38.89 0.375A
i
v i k j
ˆ38.89 0.375Av i
ˆ77.78A
mv i
s
B Cv v CB
ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375Bv i k i
ˆ
ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375B
j
v i k i
ˆ ˆ38.89 38.89Bv i j
ˆ ˆ38.89 38.89B
mv i j
s
2238.89 38.89 55 198B B B
m kmv v v
s h
ˆˆ6.5C AC ACa i k
ˆ0.375A C j
C C AC AC ACa a A C A C
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
A ACa i k j
k k j
ˆ
ˆ
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
A AC
i
i
a i k j
k k j
ˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ103.7 38.8875
A ACa i i
k i
ˆ
ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ103.7 38.8875
A AC
j
a i
k i
ˆ ˆ6.5 0.375 4032.63
NT
A AC
aa
a i j
Buscando outro ponto para completar a aceleração
do ponto A: (CIR).
Observe que no instante que o ponto da borda toca o
solo, pára instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posição a
trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da
borda, ou seja, é onde o ponto da borda inverta o seu movimento
e desta forma pode-se garantir que possua apenas aceleração
vertical; no instante que o ponto toca o solo, transforma-se no
CIR, e apresenta aceleração vertical:
ˆCIR CIRa a j
Assim:
CIR Ca a CIR C CIR C
ˆ103.7 k
ˆˆ6.5Ca i k
ˆ0.375CCIR CIR C j
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
CIRa i k j
k k j
ˆ
ˆ
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
CIR
i
i
a i k j
k k j
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ6.5 0.375 103.7 38.8875CIR
j
a i i k i
ˆ ˆ6.5 0.375 4032.6CIRa i j
CIR
Cv
Av
x 0,0
B
Bv
CIRa
y
x z
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
9
2
6.56.5 0.375 0 17.33
0.375
rad
s
ˆ ˆ6.5 0.325 17.33 4032.63Aa i j
2ˆ ˆ13 4033A
ma i j
s
5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira com
velocidade angular constante = 75 rad/s, no sentido horário.
Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante ilustrado,
pedem-se:
(a) a velocidade do pistão;
(b) a aceleração do pistão.
B Av v AB
ˆ ˆ0 75 0.025Bv k j
ˆ
ˆ ˆ ˆ0 75 0.025 1.875B B
i
v k j v i
B A AB AB ABa a B A B A
0 é cteAB AB
ˆ ˆˆ ˆ0 0 0.025 75 75 0.025Ba j k k j
1.875 ˆ
ˆ ˆ ˆ75 75 0.025B
i
a k k j
ˆ ˆ75 1.875Ba k i
ˆ140.625Ba j
C B BCv v BC
0.08;0 0;0.025BC C B
ˆ ˆ0.08 0.025BC i j
ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BCv i k i j
ˆ ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i k i k j
ˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i j i
ˆ ˆ1.875 0.025 0.08C BC BCv i j
ˆ ˆ0C Cv v i j
ˆ1.875 0.025 1.875
0.08 0 0
C BC C
BC BC
v v i
C B BC BC BCa a C B C B
ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025 0 0C BCa j k i j C B
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BC
j i
a j k i k j
ˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BCa j j i
ˆ ˆ0.025 0.08 140.625C BC BCa i j
ˆ ˆ0C Ca a i j
0.025
0.08 140.625 0
C BC
BC
a
2
2
ˆ0.025 1757.81 43.945
140.6251757.81
0.08
C C
BC BC
ma a i
s
rad
s
6. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
B
A
C
25 mm
80 mm
ˆ75AB k
B
A
25 mm
z x
y
z x
y Bv
B C
80 mm
ˆBC BC k
Bv
Cv
A
B C
D z x
y
0.18 m
0.20 m
0.12 m 0.12 m
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
10
Barra AB: Colocando o eixo 0 em A:
B A ABv v AB
0; 0.18 0,0AB B A
ˆ0.18AB j
ˆ ˆ ˆ0 5 0.18 0.9B Bv k j v i
^
Barra BC:
C B BCv v BC
0.24; 0.18 0; 0.18BC C B
ˆ0.24BC i
ˆBC BC k
ˆˆ ˆ0.9 0.24C BCv i k i
ˆ
ˆˆ ˆ0.9 0.24C BC
j
v i k i
ˆ ˆ0.9 0.24C BCv i j
Barra DC:
C D CDv v CD
0.12; 0.38 0.24; 0.18CD D C
ˆ ˆ0.12 0.20CD i j
ˆ ˆ ˆ0 0.12 0.20C CDv k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.2C CD CD
j i
v k i k j
ˆ ˆ0.2 0.12C CD CDv i j
Logo:
0.2 0.9
0.12 0.24
CD
CD BC
0.9
0.2
0.12 0.124.5
0.24 0.24
CD
BC CD BC
ˆ4.5
ˆ2.25
CD
BC
radk
s
radk
s
7. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
Barra AB:
B A ABv v AB
ˆ0.35AB B A AB j
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.35 0.35 8 2.8B AB B Bv k j v i v i
Barra BC:
C B BCv v BC
0.12;0.25 0;0.35BC C B
ˆ ˆ0.12 0.1BC i j
ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BCv i k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BC BC
j i
v i k i k j
ˆ ˆ2.8 0.1 0.12C BC BCv i j
A
B
z x
y
0.18 m
ˆAB AB k
Bv
A
B C
D
z x
y
0.18 m
0.20 m
0.12 m 0.12 m
A
B
C D
z x
y
0.10 m
0.25 m
0.12 m 0.25 m
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
11
Barra CD:
C D CDv v CD
0.37;0.25 0.12;0.25CD D C
ˆ0.25CD i
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j
2.8 0.1 0
0.12 0.25
BC
BC CD
2.8 ˆ280.1
0.12 ˆ28 13.440.25
BC BC
CD CD
radk
s
radk
s
8. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
Barra AB:
B A ABv v AB
0.25; 0.12 0;0
ˆ ˆ0.25 0.12AB B A AB i j
ˆ ˆ ˆ0 8 0.25 0.12Bv k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ8 0.25 8 0.12B
j i
v k i k j
ˆ ˆ0.96 2Bv i j
Barra BC:
C B BCv v BC
0.25; 0.2 0.25; 0.12BC C B
ˆ ˆ0 0.08BC i j
ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BCv i j k j
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BC
i
v i j k j
ˆ ˆ0.96 0.08 2C BCv i j
Barra CD:
C D CDv v CD
0.45; 0.12 0.25; 0.12CD D C
ˆ0.2CD i
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.2 0 0.2C CD C CDv k i v i j
0.96 0.08 0
0.2 2
BC
CD
0.96 ˆ120.08
2 ˆ100.2
BC BC
CD CD
radk
s
radk
s
9. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade
angular AB = 10 rad/s, no sentido anti-horário. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra BC;
(b) a velocidade angular da barra CD.
Barra AB:
B A ABv v AB
0; 0.35 0;0
ˆ0.35AB B A AB j
ˆ ˆ0 10 0.35Bv k j
ˆ3.5Bv i
Barra BC:
C B BCv v BC
0.12; 0.45 0; 0.35BC C B
ˆ ˆ0.12 0.1BC i j
ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BCv i k i j
A
B
C D
z x
y
0.08 m
0.25 m
0.12 m
0.20 m
A
B
C D
z x
y
0.35 m
0.25 m
0.10 m
0.12 m
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
12
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BC BC
j i
v i k i k j
ˆ ˆ3.5 0.1 0.12C BC BCv i j
Barra CD:
C D CDv v CD
0.37; 0.45 0.12; 0.45CD D C
ˆ0.25CD i
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j
3.5 0.1 0
0.25 0.12
BC
CD BC
3.5 ˆ350.1
0.12 ˆ35 16.80.25
BC BC
CD CD
radk
s
radk
s
10. A barra AB, gira com frequência constante f
=954.96 r.p.m. No sentido horário. Pela articulação, a barra BC
encontra-se articulada à barra AB e ao curso C, que está
vinculado à uma haste horizontal fixa, e desta forma, desloca-
se apenas na horizontal. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra CB;
(b) a velocidade do cursor C.
(c) a aceleração do cursor C.
Barra AB:
15.916
954.96954.96
60f rpm Hz
ˆ2 100rad
f ks
B A ABv v AB
0.07; 0.07 0;0
ˆ ˆ0.07 0.07AB B A AB i j
ˆ ˆ ˆ0 100 0.07 0.07Bv k i j
ˆ ˆ7 7Bv i j
Barra BC:
C B BCv v BC
0.25;0.12 0.07; 0.07BC C B
ˆ ˆ0.32 0.19BC i j
ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BCv i j k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BC BC
j i
v i j k i k j
ˆ ˆ7 0.19 0.32 7C BC BCv i j
7 0.19
0.32 7 0
C BC
BC
v
7 ˆ21.8750.32
ˆ7 0.19 21.875 2.84
BC BC
C C
radk
s
mv v i
s
B A AB AB ABa a B A B A
0AB f é constante.
ˆ ˆ ˆ ˆ100 100 0.07 0.07Ba k k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ100 7B
j i
a k k i k j
ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700B B
ji
a k j i a k j k i
ˆ ˆ700 700Ba i j
C B BC BC BCa a C B C B
ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BCa i j k i j
ˆ ˆ ˆ ˆ21.875 21.875 0.32 0.19k k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BC
j i
a i j k i k j
ˆ7 4.15625 ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i
k k i k j
ˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BCa i j j i
ˆ7 4.15625 ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i
k k i k j
A
B
C
450
z x
y
0.25 m
0.07 m
0.32 m
0.12 m
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
13
ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j
ˆˆ
ˆ ˆˆ ˆ153.125 21.875 4.15625ji
k j k i
ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j
ˆ ˆ153.125 90.9179i j
ˆ ˆ700 153.125 0.19 700 90.9179 0.32C BC BCa i j
ˆ ˆ546.875 0.19 609.082 0.32C BC BCa i j
ˆ ˆ0C Ca a i j
609.082 0.32 0
546.875 0.19
BC
C BCa
2
2
361.642
609.082 ˆ1903.380.32
546.875 0.19 1903.38 908.5
BC BC
C C
radk
s
ma a
s
11. Uma polia com raio R = 350 mm, é arrastada
através de seu centro A, por uma haste que desloca-se
horizontalmente a partir do repouso, com aceleração constante
ah = 45 mm/s2. A polia apoia-se em uma esteira e não escorrega
em relação à mesma. A esteira desloca-se com velocidade
constante ve = 100 mm/s. Para o instante em que a haste alcança
a velocidade vh = 250 mm/s, pedem-se:
(a) a velocidade angular da polia.
(b) a aceleração angular da polia,
O ev v
ˆˆ ˆ0.25 0.35h O Ov v Oh i v k j
ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.35i i i
0.15ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.350.35
i i i
ˆ0.43 k
e Oa a e O e O
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.43 0.43 0.35e Oa a k j k k j
ˆˆ ˆ0 0.35 0.43 0.1505Oa i k i
ˆ ˆ0 0.35 0.064715Oa i j
ˆ ˆ0.35 0.064715Oa i j
h Oa a h O h O
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.045 0 0.35 0.35i k j k k j
2ˆ ˆ ˆ0.045 0.35 0.35 0.35 0.045i i j
2
0.0450.1285
0.35
rad
s
12. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem
respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A
engrenagem e1é fixa e permanece parada. A haste AB, gira no
sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. Pedem-
se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e2;
(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as
engrenagens que pertence à engrenagem e2.
B A ABv v AB
ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i
ˆ7.28Bv j
1 2e eP Pv v Ponto de engrenamento.
222eP B ev v BPe
2 22 2
ˆ ˆ ˆ7.28 0.24 7.28 0.24e eP e P ev j k i v j
2 2 2
7.287.28 0.24 0 30.33
0.24e e e
rad
s
B A AB ABa a AB AB
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i
ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j
1 11eP A e ea a AP AP
2 2 2 2 22eP B e e e e ea a BP BP
22
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.24 30.33 30.33 0.24eP B ea a k i k k i
22
ˆ ˆ0.24 220.778eP B ea a j i
22
ˆ ˆ ˆ ˆ94.64 0.56 0.24 220.778eP ea i j j i
22
ˆ ˆ94.64 220.778 0.56 0.24eP ea i j
22
0
ˆ ˆ126.13 0.56 0.24eP ea i j
ev
R
ha
O z x
y
z x
y
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
14
13. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem
respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com
velocidade angular e1 constante. A haste AB, gira no sentido
horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. A engrenagem
B não gira em torno de si mesma, ou seja, apresenta-se em
translação. Pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem e1;
(b) a aceleração do ponto P, de contato entre as
engrenagens que pertence à engrenagem e2.
B A ABv v AB
ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i
ˆ7.28Bv j
111eP A ev v APe
11
ˆ ˆ0 0.32eP ev k i
11
ˆ0.32eP ev j
22 22
ˆ7.28 0e eP B e Pv v BPe v j
2
ˆ7.28ePv j
11 2
ˆ ˆ0.32 7.28e eP P ev v j j
1 1
7.2822.75
0.32e e
rad
s
B A AB ABa a AB AB
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i
ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j
1 1 1 1 11eP A e e e e ea a AP AP
1 10 é constantee e
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ22.75 22.75 0.32 165.62e eP Pa k k i a i
14. A barra AB de comprimento L = 20 m, é
articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada
de 300 em relação ao horizonte. A barra AB é empurrada pelo
disco de raio R = 4 m, que se move em translação com
velocidade constante v = 5 m/s, para a esquerda. No instante
ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da haste;
(b) a velocidade do ponto B da haste.
Colocando a origem em A:
2.5
cos 90 30 5 0.5v v sen
30
2 15
R Rtg AC
tgAC
0.2679
414.92
15AC AC
tg
CC AC AC
vv AC
AC
2.50.167
14.92AC AC
rad
s
20 0.167B AB Bv L v
3.349B
mv
s
R
B
A
L
v
z x
y
z x
y
R
B
A
L
v /2
z x
y
cos 90v C
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
15
15. Na figura ilustrada, o disco gira em torno do eixo
fixo, definido pela articulação A, no sentido horário, com
aceleração angular constante = rad/s2. No instante ilustrado,
a velocidade angular do disco é = 2 rad/s, e o ângulo é =
300. Fixado ao disco, um pino P, desliza na ranhura vertical de
um dispositivo, que desloca-se apenas na horizontal, limitado
por uma guia fixa. O movimento deste dispositivo é transmitido
a um pistão. A distância do ponto A ao pino P é, R = 0.2 m.
Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade do pistão;
(b) a aceleração do pistão.
2 0.2 1.256P P P
mv R v v
s
20.2 0.6283
P P PT T T
ma R a a
s
22
22 0.2 7.895
P P PN N N
ma R a a
s
cos30 1.256 0.866istão istãoP P Pv v v
1.0877istãoP
mv
s
O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é
90°.
P
180 90 90
30 60
Como a aceleração do pistão está na direção x:
co cossistão P PP T Na a a
cos30 7.895 cos0.62 03 68istãoPa
0.544123 3.9475istãoPa
2ˆ3.403
istãoP iam
s
3.16 O rolamento ilustrado, tem sua capa externa
fixa, enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo
também fixo, com freqüência f = 3600 rpm. As esferas do
rolamento são idênticas entre si, apresentam raio R = 0.0025
me, rolam sem escorregar, apoiadas em ambas as pistas. A pista
interna possui raio Ri = 0.0125 m. Pedem-se:
(a) a velocidade linear do centro das esferas;
(b) a velocidade angular das esferas.
2A i A iv R v f R
376.99
36002 0.0125 4.712
60A A
mv v
s
ˆ4.712Av j
A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento com
a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar. Logo:
0iP iv v OP
0ˆ
iPv v k R i
0 0
ˆ
ˆ ˆi iP P
j
v v R k i v v R j
0ˆ ˆ ˆ4.712 4.712
iP Av v j j v R j
Já no ponto externo da esfera de rolamento, que está
em contanto com a esfera fixa, sua velocidade é nula:
0eP ev v OP
0 0
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0eP
j
v v k R i v R k i
0ˆv R j
Substituindo {2} em {1}, teremos:
R
A
P z x
y
R
A
P
z x
y
Pv
PTa PNa
90
cosPTa cos
PNa
x
Ri
R
Ri
R
B
A
z
x y
P
e
Pi
O
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
16
0ˆ ˆ4.712 j v R j
ˆ ˆ ˆ4.712 j R j R j
ˆ ˆ4.712 2 2 4.712j R j R
4.712 4.712942.4
2 2 0.0025
rad
R s
ˆ942.4rad
ks
0ˆv R j
0ˆ942.4 0.0025v j
0ˆ2.356
mv j
s
17. O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado
em superfície horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade
constante 0.04Cv m s . A barra AB, de comprimento L =
0.3 m, é acionada pelo disco, através da articulação B, e mantém
seu extremo A, em contato permanente com a superfície
horizontal. A articulação B, dista 0.1 m, do centro C do disco.
Para o instante ilustrado, quando = 300, pedem-se:
(a) a velocidade angular da barra AB;
(b) a velocidade do ponto A da barra.
B Cv v CB
; cosB CB sen CB
0.1 30 ;0.1 cos30B sen
ˆ ˆ0.05 0.0866CB i j
B Cv v CB
Da figura: 90 90 30
60
60 0.2590.3
BH BHsen sen BH
AB
0.1495
0.259 0.25960
60
BHtg tg OH
tgOH OH
OP OH PH OP OH CB sen
0.1495 0.1 30OP sen
0.0995OP
90 90 30CP R
tg tgOP OP
60 60 0.0995 1.732R
tg R OP tg ROP
0.172R
P Cv v CP
ˆˆ ˆ0 0.04 0.172i k j
ˆ
ˆˆ ˆ0 0.04 0.172
i
i k j
0.040.2325
0.172
rad
s
B Cv v CB
ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.0866Bv i k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.2325 0.0866B
j i
v i k i k j
ˆ ˆ ˆ0.04 0.01162 0.020135Bv i j i
ˆ ˆ0.060135 0.01162Bv i j
B
A
0.3 m 0.1 m
C
B
A
0.3 m 0.1 m
C
90°- α
α
H O P
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
17
; cosx y x y
CB sen
A A A A AB PH A R
; 0.3 cos60 0.1 cos30 ; 0.1645x yA A A
; 0.063; 0.1645x yA A A
0.063; 0.1645 0.05;0.0866BA A B
0.113; 0.2511BA
ˆ ˆ0.113 0.2511BA i j
A B BAv v BA
ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BAv i j k i j
ˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BA BAv i j j i
ˆ ˆ0.060135 0.2511 0.01162 0.113A BA BAv i j
ˆ ˆ0A Av v i j
0.060135 0.2511
0.01162 0.113 0
A BA
BA
v
0.060135 0.2511 0.1 0.035
0.011320.100
0.113
A A
BA BA
mv v
s
rad
s
18. Um carretel constituído por cilindros de raios R1
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que este
ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:
(a) a aceleração do ponto A, do carretel;
(b) a aceleração do ponto B, do carretel.
A velocidade no ponto D é a mesma, no instante
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois
o fio não escorrega.
A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:
B Cv v CB
0;0 0; 0.09 0; 0.12A B C
0; 0.09 0; 0.12CB B C CB
ˆ0.03CB j
ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.03 0.09 0.03i k j i i
0.090.09 0.03 3
0.03
rad
s
TB Da a
1 2
0.450.45 5
0.09
radR
s
T NB B Ba a a
2
1 1ˆ ˆ
Ba R i R j
2ˆ ˆ0.45 0.81B
ma i j
s
0; 0.09 0;0AB B A AB
ˆ0.09AB j
Aplicando a semelhança entre os triângulos:
2
2 1
0.12
0.12 0.09T T
A A
B B
a R a
a R R a
0.124 4 0.45
0.03 T
T
AA B A
B
aa a a
a
ˆ1.8Aa i
D
B
A R2
R1
z x
y
C
Aa
TBa 2R 1R
2 1R R
CIR
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
18
19. Um carretel constituído por cilindros de raios R1
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que este
ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:
(a) a aceleração do ponto A, do carretel;
(b) a aceleração do ponto B, do carretel.
A velocidade no ponto D é a mesma, no instante
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois
o fio não escorrega.
A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A:
B Cv v CB
0;0 0;0.09 0; 0.12A B C
0;0.09 0; 0.12CB B C CB
ˆ0.21CB j
ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.21 0.09 0.21i k j i i
0.090.09 0.21 0.428
0.21
rad
s
TB Da a
1 2
0.450.45 5
0.09
radR
s
T NB B Ba a a
2
2
1 1
0.428 0.09
ˆ ˆBa R i R j
2ˆ ˆ0.45 0.017B
ma i j
s
Aplicando a semelhança entre os triângulos:
2
2 1
0.12
0.12 0.09T T
A A
B B
a R a
a R R a
0.12 4 40.45
0.21 7 7T
T
AA B A
B
aa a a
a
ˆ0.26Aa i
20. Um pequeno automóvel, tem rodas dianteiras
com diâmetro 0.45 m e traseiras com diâmetro 0.60 m e
desloca-se em translação com aceleração constante a = 4.7 m/s2.
No instante considerado, a velocidade do mesmo é 20 m/s (72
km/h). Considerando-se que não ocorra escorregamento entre
as rodas e o piso, para o instante descrito, pedem-se:
(a) a velocidade angular da roda dianteira;
(b) a velocidade angular da roda traseira;
(c) a velocidade do ponto superior da roda dianteira;
(d) a velocidade do ponto superior da roda traseira;
(e) a aceleração do ponto superior da roda traseira.
2
2ss
v Rv v
v R
D B
A R2
R1
z x
y Aa
TBa
2R
1R
2 1R R CIR
C
ˆ20v i
2R
R
R CIR
sv Ta
a
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
19
40s
mv
s
22s
s
a Ra a
a R
2
2 4.7 9.4T T
ma a
s
No C.I.R.:
0CIR
vv v R
R
2088.89
0.45 2D D DR R R
D
v rad
R s
2066.67
0.60 2T T TR R R
T
v rad
R s
N Ta a a
2ˆ ˆ9.4 66.7 0,3a i j
ˆ ˆ9.4 1333.3a i j
2 2
29.4 1333.3 1333,4
ma a
s
21. Um tambor de raio R = 0.45 m, é acionado
através de uma corda enrolada no mesmo, com o intuito de fazê-
lo subir um degrau de altura 0.25 m. No instante em que o
tambor perde contato com o plano horizontal, o topo do tambor
tem velocidade vC = 0.15 m/s. Não ocorre escorregamento entre
o tambor e o degrau. Para o instante descrito, pedem-se:
(a) a velocidade angular do tambor;
(b) a velocidade do centro do tambor.
Nesse instante, o centro instantâneo de rotação é o
ponto P: logo:
2 2 0.45 0.25 0.65SC R h SC SC
2 2
CP SC SP
cos cosOS R h
R R
0.45 0.25cos cos 0.444
0.45
arccos0.444 63.61
SPsen SP R sen
R
0.45 63.612SP sen
0.4031SP
2 2
CP SC SP
2 20.65 0.4031CP
0.764CP
0.4010.6169
0.65
SPtg tg tg
SC
0.6169 31.67arctg
C
C CP
CP
vv r
r
0.150.196
0.7648
rad
s
0.196 0.45 0.09m
v R v vs
22. No arranjo ilustrado, os cursores A e B, estão
articulados aos extremos A e B de uma barra, e desta forma fica
garantido que a distância entre os mesmos não se altera. Os
cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que
limitam seus movimentos, desta forma, ao cursor A só é
permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido
deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à vertical.
O cursor A, desloca-se na vertical, subindo, com velocidade
constante vA = 2 m/s. Para estas condições, pedem-se: (a) o CIR
– Centro instantâneo de rotação da barra AB;
(b) a velocidade angular da barra AB;
(c) a velocidade do cursor B.
CIR = B
AA AB
AB
vv r
r
20.2
10
rad
s
h
F R
h
F
R S
B
P
C
O
Cv
Av
A B
045 10m
z x
y
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
20
0Bv
23. A roda ilustrada possui raio R = 0.2 m, gira com
velocidade angular = /2 rad/s no sentido horário e seu centro
se desloca com velocidade vC = 0.2 m/s para a direita. Pedem-
se:
(a) o CIR da roda;
(b) determinar se a roda escorrega ou não;
(c) a velocidade do ponto de contato com o piso.
CC
vv r r
0.2
2r
Para o CIR no ponto de contato, sem derrapar:
0.21
0.2
CC
v radv r
r s
0.1273r
0.2 0.1273 0.073CIR CIRr R r r m
Como 1 < , a roda irá derrapar...
24. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A engrenagem E1 é fixa, ou seja, mantém-se
estacionária. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que
passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no
sentido horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E3;
(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que faz
contato com a engrenagem E2;
(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que faz
contato com a engrenagem E2;
30 0.688 20.64B ABC A B B B
mv r r v v
s
1 2 3
ˆ2 30 1.168 35.04C ABC E E E C C
mv r r r v v j
s
2
0 0 0PA A ev v
ˆ30 0.688 20.64B AB AB B B
mv r v v j
s
2 22EP B E Ev v BP
2 2
ˆˆ ˆ ˆ0 20.64 0.288 20.64 0.288E Ej k i j
2 2
20.64 ˆ71.660.288
E E k
2 2 32 3E EP B E E Ev v BP
2 3
ˆˆ ˆ20.64 71.66 0.288E EPv j k i
2 3 2 3
ˆ ˆ ˆ20.64 20.638 41.28E E E EP Pv j j v j
3 2 32 3E EP C E E Ev v CP
3
ˆˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j k i
3
ˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j j
z x
y
Cv
R
z x
y
30
B C
A
CIR
0.688
0.4 0.288m
0.480
0.288 0.192m
Bv Cv
2EPv 2 3E EPv
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
21
3 3
41.28 35.0432.5
0.192E E
3
ˆ32.5E
radk
s
2 22EP B E Ev v BP
C A ABC ABC ABCa a AC AC
ˆ ˆ ˆ0 0 30 30 1.168Ca k k i
ˆ1051.2Ca i
3 2 3 3 3 2 32 3E EP C E E E E E E Ea a CP CP
2 3
ˆ ˆˆ ˆ1051.2 32.5 32.5 0.192E EPa i k k i
2 3
ˆˆ ˆ1051.8 32.5 6.24E EPa i k j
2 3
ˆ ˆ1051.8 202.176E EPa i i
2 3 2ˆ849.624
E EP
ma i
s
25. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que passa
pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no sentido
horário. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo, ou seja,
apresenta movimento de translação. Para o instante ilustrado,
pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E1;
(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que faz
contato com a engrenagem E2;
(d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que faz
contato com a engrenagem E2;
2C ABC AC C ABC A B Cv r v r r r
1.1618
30 0.4 2 0.288 0.192 35.04C Cv v
ˆ35.04C
mv j
s
3 3 3 23 2
0E EE P C E E Ev v P
3 2E EP Cv v
B ABC AB B ABC A Bv r v r r
30 0.4 0.288Bv
ˆ20.64B
mv j
s
2 2 32 3E EP B E E Ev v BP
22 3
ˆˆ ˆ20.64 0.288E EP Ev j k i
22 3
ˆ35.04 20.64 0.288 35.04E EP Ev j
2 2
20.64 35.04 14.4
0.288 0.288E E
2
ˆ50E
radk
s
2 2 12 1E EP B E E Ev v BP
2 1
ˆˆ ˆ20.64 50 0.288E EPv j k i
z x
y
30
B C
A
CIR
0.688
0.4 0.288m
0.480
0.288 0.192m
z x
y
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
22
2 1ˆ
ˆˆ ˆ20.64 50 0.288E EP
j
v j k i
2 1
ˆ ˆ20.64 14.4E EPv j j
2 1
ˆ6.24E EP
mv j
s
2 1 1 2
ˆ6.24E E E EP P
mv j v
s
1 1 21 2E EP A E E Ev v AP
1
ˆˆ ˆ6.24 0 0.4Ej k i
1 1
6.24ˆ ˆ6.24 0.40.4
E Ej j
1
ˆ15.6E
radk
s
0
0
B A ABC ABC ABCa a AB AB
ˆ ˆ ˆ30 30 0.688Ba k k i
ˆ619.2Ba i
2 2 3 2 2 2 32 3E EP B E E E E E E Ea a BP BP
2 3
ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288E EPa i k k i
2 3ˆ
ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288E EP
j
a i k k i
2 3
ˆ
ˆˆ ˆ619.2 50 14.4E EP
i
a i k j
2 3 2ˆ1339.2
E EP
ma i
s
26. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que passa
pelo ponto A, com velocidade angular = 2 rad/s, no sentido
horário. A engrenagem E1 é fixa e permanece estacionária. Para
o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade angular da engrenagem E2;
(b) a velocidade angular da engrenagem E3;
2 0.4 2.5137B ABC A B B B
mv r r v v
s
ˆ2.5137B
mv j
s
2 2 12 1E EP B E E Ev v BP
22 '1
ˆˆ ˆ0 2.5137 0.1E EP Ev j k i
2
ˆ ˆ0 2.5137 0.1 Ej j
2
2.5137
0.1E
2
ˆ25.1E
radk
s
3 3 23 2E EP C E E Ev v CP
2C ABC A B Cv r r r
2 0.3 2 0.1 0.1 0.1 3.77C C
mv v
s
ˆ3.77C
mv j
s
2 2 32 3E EP B E E Ev v BP
2 3
ˆˆ ˆ2.5137 25.1 0.1E EPv j k i
2 3
ˆ ˆ2.5137 2.5E EPv j j
2 3
ˆ5.0137E EP
mv j
s
2 3 3 2E E E EP Pv v
3 3 23 2E EP C E E Ev v CP
z x
y
2
B C
0.3m 0.1m
A
0.1m 0.1m
1E 2E
3E
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
23
3
ˆˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1Ej j k i
3
ˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1 Ej j j
3 3
5.0137 3.7712.34
0.1E E
rad
s
3
ˆ12.34E
radk
s
27. Uma viga de comprimento 4.0 m, é abaixada por
intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e B.
No instante em que se aplicam os freios ocorre um problema, e
cada extremidade é desacelerada de forma diferente, desta
forma, a extremidade A desacelera com aceleração aA = 3.0
m/s2 enquanto a extremidade B desacelera com aB = 5.0 m/s2.
Pedem-se:
(a) a aceleração angular da viga;
(b) a aceleração do ponto médio da barra.
A Ca a CA CA
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2A ca a j k i k k i
2
ˆ3
ˆ ˆ2 2A c
j
a i a j
B Ca a CB CB
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2B ca a j k i k k i
2
ˆ5
ˆ ˆ2 2B C
j
a i a j
2 2
0
2 5 4 0.5
2 3
C c
C
m rada a
s sa
2 2ˆˆ4 0.5c
m rada j k
s s
A
4 m
B
z x
y
v
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
24
Exercícios – Livros: Kraige, B.J. e Hibbeler
1. Determine as relações entre as grandezas angulares
do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar
no chão em termos de suas grandezas lineares, velocidade e
aceleração do seu centro, o ponto O indicado na figura.
Observe que o deslocamento linear s do centro O da
roda é igual ao arco de comprimento C A . Adotamos a origem
do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda
com o chão.
Relações:
x r
0v r
0a r
Da figura, observe que:
r
x s r sen x r sen
cos cosr
y s r y r
Para obter as velocidades, faremos as derivadas com
respeito ao tempo:
cosdx dr d d
x sen rdt dt dt dt
cosx r sen r
00
1 cosv
x r sen r
0 1 cosx v
Analogamente:
0y v sen
Para a aceleração, derivamos as velocidades.
Encontra-se:
2
0 1 cosx a r sen
2
0 cosy a sen r
ˆ ˆCv x i y j
ˆ ˆCa x i y j
No instante de contato (demonstre):
= 0. 2 ˆ0C Cv a r j
2. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias
mostrados. Se vA = 2 m/s para baixo, determine a velocidade de
B no instante que = 450.
B A ABv v r
0 00.2 45 ,0 0,0.2 cos45AB ABr B A r sen
2 2ˆ ˆ0.2 0.22 2
ABr i j
ˆ ˆ0.1 2 0.1 2ABr i j
ˆB A ABv v k r
ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2Bv j k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2B
j i
v j k i k j
ˆ ˆ0.1 2 2 0.1 2Bv i j
Mas: ˆB bv v i
10 2 0.1 2 20.1 2
22 0.1 2 0 10 20.1 2
b b
b
mv v
v s
rad
s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
25
2. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a
superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s,
horizontal. Determine a velocidade do ponto A do cilindro. O
cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de
15 rad/s.
A B BAv v r
ˆ2B Cv v i
0.5,0 0, 0.5BA BAr BA A B r
ˆ ˆ0.5 0.5BAr i j
ˆ15 k
ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 0.5Av i k i j
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 15 0.5Av i k i k j
ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i
ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i
ˆ ˆ9.5 7.5A
ftv i j
s
2 29.5 7.5 12.1A A
ftv v
s
7.538.2
9.5
y
x
A
A
varctg arctg
v
012.1 38.2A
ftv
s
Solução: Análise escalar:
0
045
45A B BA BA
BA
r rv r sen r
r sen
015 10.6
45A B A B
r ftv v
sen s
A B BAv v v
02 10.6 cos 45 9.6x x x xA B BA A Ax
v v v v v
00 10.6 45 7.5y y x yA B BA A Ay
v v v v sen v
3. O colar C está se movendo para baixo com uma
velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra
CB nesse instante.
O movimento de C para baixo causa uma rotação no
sentido anti-horário da barra CB.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
26
B C CB CBv v r
0.2,0 0,0.2CBr B C
ˆ ˆ0.2 0.2CBr i j
ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j
ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2
j i
Bv j k i k j
ˆ ˆ ˆ0.2 0.2 2 2B Bv i j v i
0.2 2 210
0.2 2 0 0.2
rad
s
4. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem
escorregar, com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3
m/s. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante
representado.
Solução 1: Geométrica-escalar:
A O A Ov v v
A velocidade angular no ponto A é a mesma que no
ponto C da periferia:
0
310
0.3
radv r
s
0 0.2 10 2AO AO AO
mv r v v
s
2 2 2 2 cos60A O OAO AOv v v v v
2 2 2 213 2 2 3 2 19 19
2A A A
mv v v
s
Veja como foi aplicada a lei dos co-senos:
2 2 2 2 cosa b c b c 2 2 2 2 cosb a c a c
2 2 2 2 cosc a b a b
2 2 2 2 cos 180b a c a c
cos cos cos sen sen
1 0
cos 180 cos180 cos 180sen sen
cos 180 cos
2 2 2 2 cosb a c a c
Solução 2: Vetorial:
A O A Ov v v
ˆ3Av i A O
0 0
0.2
cos30 ; 30 0.1732;0.1A r r sen A
ˆ ˆ0;0 0.1732 0.1O A O i j
ˆ10 k
ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 0.1Av i k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 10 0.1A
j i
v i k i k j
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 1.732 1 4 1.732A Av i j i v i j
2 24 1.732 19A A
mv v
s
19 23.4A
mv
s
α
a
b c
a
c
b
180°-
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
27
5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre
a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro
A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar:
(a) a velocidade angular da engrenagem,
(b) as velocidades da cremalheira superior R e do
ponto D da engrenagem.
Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior,
seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da
circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da
engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a
direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0),
escrevemos:
1Ax r
1 1A
A
dx dr v r
dt dt
1
1.28
0.150
Av rad
r s
ˆ ˆ8rad
k ks
O rolamento é decomposto em dois movimentos: um
de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste
centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem
deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto
P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade:
P APv r APr P A
Aqui PAr é o vetor de posição de P em relação a A.
Assim, a velocidade da cremalheira superior é a
velocidade do ponto B:
R B B A ABv v v v v
B A ABv v r
ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 0.8
i
Bv i k j
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B
mv i i v i
s
Velocidade do ponto D:
D A ADv v r
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15
j
Dv i k i
ˆ ˆ1.2 1.2D
mv i j
s
2 21.2 1.2 2.88 1.7D D
mv v
s
tan 1 45
ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D
m mv i j v
s s
Resumindo:
08 /
1.2
0.15
AC A
rad s
vv v AC
R
R B Av v v AB
ˆˆ ˆ1.2 8 0.1R Bv v i k j
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2R B B
mv v i i v i
s
D Av v AD
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.2 8 0.15 1.2 1.2D Dv i k i v i j
(c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a direita
e sua velocidade 1.2 m/s para a direita, determine a aceleração
angular da engrenagem e as acelerações dos pontos B, C e D da
engrenagem.
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
28
Ponto x(m) y(m)
A 0 0
B 0 0.1
C 0 -0.15
D -0.15 0
Vetores
ˆ0.15C A j
ˆ0.1B A j
ˆ0.15D A i
C Aa a C A C A
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j
ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 1.2Ca i i k i
ˆ ˆ3 0.15 9.6Ca i j
33 0.15 0
0.15TCa
2ˆ20 20
radk
s
Cálculo das acelerações nos pontos;
D Aa a D A D A
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Da i k i k k i
ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Da i j k j
ˆ ˆ ˆ3 3 9.6Da i j i
ˆ ˆ12.6 3Da i j
2 2
212.6 3 12.95D D
ma a
s
0313.4
12.6
y
x
D
D
aarctg arctg
a
212.95D
ma
s ⦨13.40
B Aa a B A B A
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.1 8 8 0.1Ba i k j k k j
ˆˆ ˆ ˆ3 2 8 0.8Ba i i k i
ˆ ˆ5 6.4Ba i j
22
25 6.4 8.12B B
ma a
s
06.452
5
y
x
B
B
aarctg arctg
a
28.12B
ma
s ⦫520
C Aa a C A C A
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j
ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Ca i i k i
ˆ9.6Ca j
29.6C
ma
s
090
29.6C
ma
s 900
6. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma
velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no
sentido horário. Determinar para a posição da manivela
indicada na figura:
(a) a velocidade angular da biela BD.
(b) a velocidade do pistão P.
1 1002000 2000
60 3f rpm f Hz f Hz
2002 209.45
3
rad radf
s s
0.0762 209.45AB AB ABv r v
015.95 50AB
mv
s
Movimento da Biela BD:
Aplicando a lei dos senos:
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
29
40 400.0762
0.0762 0.203 0.203
sen sen sensen
0.241 0.241 13.96sen arcsen
Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela
se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o
movimento de BD:
Movimento plano de BD= Translação + rotação
D B DBv v v
Fazendo o diagrama vetorial dessa relação:
53.9 50 76.1
D DB Bv v v
sen sen sen
15.9 15.950
53.9 50 76.1 76.1
D DBDB
v vv sen
sen sen sen sen
12.5DB
mv
s
76.1°
15.953.9 13.2
76.1D D
mv sen v
sen s
Utiizando o CIR:
40B
90D
13.95
53.95B
76.05D
8
76.05 53.95 50
BC CD BD
sen sen sen
10.14 8.44BC CD
628.13 10.14B BD BDv BC
62BD rad s
43.6D BD Dv CD v m s
7. A barra AB de 0.2 m de comprimento está presa a
uma roda de 0.1 m de raio que gira no sentido horário a 30 rad/s
quando = 600. Determine a velocidade angular da barra BC e
da roda nesse instante.
B AB ABv r
0 0ˆ ˆ ˆ30 0.2 cos60 0.2 60Bv k i sen j
0 0ˆ ˆˆ ˆ30 0.2 cos60 30 0.2 60Bv k i sen k j
ˆ ˆ3 5.196Bv j i
ˆ ˆ5.196 3Bv i j
C B BC BCv v r
ˆˆ ˆ ˆ5.196 3 0.2C BCv i j k i
ˆ ˆ5.196 0.2 3C BCv i j
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
30
15
5.196
ˆ ˆ ˆ5.196 0.2 3
3
0.2
C
C BC
BC
mv
sv i i j
rad
s
Na polia com centro em D:
ˆˆ ˆ5.196 0.1C D C Dv r i k j
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ5.196 0.1 5.196 0.1
i
D Di k j i i
5.1960.1 5.196 51.96
0.1D D D
rad
s
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
31
Av 15
ABv
Bv
90
75°
30°
Exercícios 1. Um automóvel se desloca para a direita a uma
velocidade constante de 72.4 km/h. Se o diâmetro da roda é
0.559 m, determine as velocidades dos pontos A, B C D e E à
margem da roda.
72 20A A
km mv v
h s
| | | |C A B A D A E Av v v v r
0.5590.2795
2 2
Dr r r m
|
|
2071.55
0.2795
C A
C A
v radv r
r s
| 20 20 0C A C A C Cv v v v v
|D A D Av v v
ˆ ˆ ˆ20 20 cos30 30Dv i i sen j
ˆ ˆ20 20 cos30 20 30Dv i sen j
ˆ ˆ37.32 10Dv i j
2 2 2 237.32 10 38.63D x y D D
mv v v v v
s
1015
37.32D Darctg
2. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos
ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.
No instante mostrado, = 40° e o pino
em B se move para cima e para a esquerda, com uma velocidade
constante de 6 polegadas/s.
Determinar
(a) a velocidade angular da haste,
(b) a velocidade do pino A.
R B B A ABv v v v v
90 75 15
B AB Av v v
sen sen sen
90 40 75 15 40
B AB Av v v
sen sen sen
50 75 55
B AB Av v v
sen sen sen
55 556 6.412
50 50A B A A
sen sen inv v v v
sen sen s
75 756 7.57
50 50AB B AB AB
sen sen inv v v v
sen sen s
ABv l
7.57
20
ABv
l
0.378rad
s
cos cossen sen sen
cos cossen sen sen
3. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos
ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras
mostradas. No instante mostrado, = 30 ° e o pino em A se
move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.
Determinar:
(a) a velocidade angular da haste, (b) a velocidade do
pino no final B.
4. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades da
haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies
mostradas.
Sabendo que uma roda se move para
a esquerda, com uma velocidade constante de 1.5 m/s,
determinar:
(a) a velocidade angular da haste;
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
32
(b) a velocidade da extremidade B da haste.
5. Um colar se move para cima, com uma velocidade
constante de 1,2 m/s no instante mostrado quando =25°.
Determinar:
(a) a velocidade angular da haste AB;
(b) a velocidade de B.
6. O Colar B se move para baixo para a esquerda com
uma velocidade constante de 1.6 m/s. No instante indicado
quando = 40 °, determinar:
(a) a velocidade angular da haste AB;
(b) a velocidade de A. Gola.
6. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo
dispositivo está esquematizado, os raios das engrenagens A, B,
C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90
mm. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no
sentido horário e a engrenagem interna central A possui
freqüência 150 rpm no sentido horário, determine:
(a) a velocidade angular de cada engrenagem.
(b) a velocidade angular da aranha formada pelas
engrenagens B, C e D conectadas entre si.
180
2 2 E E E
rpm
radf
s
240
2 8 A A A
rpm
radf
s
Engrenagem E: (externa)
6 90 540E E E E E
mmv r v v
s
Engrenagem A:
8 30 240H A A H H
mmv r v v
s
Engrenagem B:
H E Bv v BE
ˆˆ ˆ ˆ240 540 60Bi i k j
ˆ
ˆˆ ˆ240 540 60 B
i
i k j
ˆ ˆ300 60 60 300B Bi i
300 ˆ5 60
B B
radk
s
B H Bv v HB
Hv
A
A 30Ar mm
B
Hv
30Br mm
H
H
E
Bv B
30Br mm
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
33
E
A B
E
A
B
a b 0 1
2
3
2v
ˆˆ ˆ240 5 30Bv i k j
ˆ
ˆˆ ˆ240 150B
i
v i k j
ˆ ˆ240 150Bv i i
ˆ390B
mv i
s
Velocidade angular das engrenagens planetárias:
5 5 5 B C D
rad rad rad
s s s
150 150 150 B C Df rpm f rpm f rpm
Spider:
BB S S S
S
vv r
r
390
60S
ˆ6.5 S
radk
s
195 sf rpm
7. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo
dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior,
os raios das engrenagens A, B, C e D são iguais a 3 in (3
polegadas). (1 in = 2.54 cm = 1 feet/33). Sabendo que a
engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no
sentido horário e a engrenagem E está estacionária, determine
a aceleração do dente da polia E em contato com:
(a) a engrenagem A;
(b) a engrenagem E.
Engrenagem Velocidade
A 1 Av a
Spider 2 sv a b
B 2 1 Bv v b
3 2 Bv v b
E 3 2 Ev a b
2
2
2
E Aa b av
2
2
E A
B
a b a
b
2
2
E A
S
a b a
a b
10
5E S A
8. A barra AB, ilustrada, gira com velocidade
angular constante = 7 rad/s, no sentido horário. O cursor C
desloca-se sobre barra horizontal fixa, no instante ilustrado:
(a) qual a velocidade do ponto B, em m/s ?
(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?
(c) qual a velocidade do ponto C, em m/s ?
(d) qual a aceleração do ponto C, em m/s² ?
9. As barras ilustradas, AB, BC e CD, são
articuladas entre si. A barra AB gira no sentido horário com
velocidade angular AB = 15 rad/s.
Qual a velocidade angular da barra CD, em rad/s ?
10. No instante ilustrado, a barra AB gira com
velocidade angular, AB = 7 rad/s, no sentido horário, e
aceleração angular nula. O cursor C tem seus movimentos
limitados por haste fixa. Para o instante ilustrado, encontre:
(a) a velocidade do ponto B, em m/s;
(b) a aceleração do ponto B, em m/s²;
(c) a velocidade angular da barra BC;
(d) a aceleração do ponto CB, em m/s²;
Bv S
60Sr mm
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
34
11. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si
conforme ilustrado. A barra AB gira com velocidade angular
constante AB = 6 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado:
(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
(b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ?
12. A barra AB, gira com freqüência constante f =
954,96 r.p.m. no sentido horário. O cursor C está vinculado a
uma haste horizontal fixa, para o instante configurado:
(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
(b) qual a velocidade do cursor C, em m/s ?
12. No arranjo ilustrado, o disco AB gira com
velocidade angular constante, AB = 9 rad/s, no sentido horário.
O cursor C tem seus movimentos limitados por haste fixa.
(a) Qual a velocidade do cursor C, em m/s ?
(b) Qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
13. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si,
conforme ilustrado. A barra CD, tem velocidade angular
constante = 5 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado, encontre:
(a) a velocidade angular da barra AB, em rad/s;
(b) a velocidade angular da barra BC, em rad/s.
14. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si,
conforme ilustrado. A barra AB, tem velocidade angular
constante = 3 rad/s, no sentido horário. Para o instante
ilustrado, encontre:
(a) a velocidade angular da barra BC, em rad/s;
(b) a velocidade angular da barra CD, em rad/s.
15. A engrenagem A gira com uma 120 rpm
no sentido horário. Sabendo-se que a velocidade angular do
braço AB é 90 rpm no sentido horário, determinar a velocidade
angular correspondente da engrenagem B.
16. O braço AB do sistema anterior gira com 42 rpm
no sentido horário. Determinar a velocidade angular necessária
de engrenagem A para os quais
(a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm horário,
(b) o movimento da engrenagem B é uma translação curvilínea.
17. O Braço AB gira com = 20 rad/ s no sentido
horário. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é
estacionário, determinar:
(a) a velocidade angular da engrenagem B,
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
35
(b) a velocidade do dente de engrenagem localizado
no ponto D.
18. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma
angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. Dois discos de
fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço, como
mostrado. Sabendo que os discos rolam sem escorregar em
superfícies de contato, determinar, para cada caso, a velocidade
angular de (a) do disco A, (b) do disco B.
Caso 1:
Caso 2:
19. Sabendo que a manivela AB gira com frequência
de 160 rpm, no sentido anti-horário, determinar a velocidade
angular da haste e o BD e a velocidade de gola D quando: (a)
= 0°, (b) = 90 °.
20. No sistema de motor mostrado, l = 160 mm e b =
60 mm. Sabendo que a manivela AB gira com uma frequência
constante de 1000 rpm no sentido horário, determinar a
velocidade do pistão P e a velocidade angular da haste de
ligação quando (a) = 0°, (b) = 90°.
21. Uma cremalheira reta repousa sobre uma
engrenagem de raio r e está ligada a um bloco
B, tal como mostrado. Denotando por D velocidade angular
da engrenagem D e por o ângulo formado pela cremalheira e
a horizontal, determine expressões para a velocidade do bloco
B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de r,
, e D.
22. Um automóvel viaja para a direita a uma
velocidade constante de 48 km /h. Se o diâmetro de uma roda é
de 22 cm, determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E do
aro da roda.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
36
22. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a
esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Sabendo-se que a
distância AD é de 50 mm, determinar a velocidade da gola e a
velocidade angular da haste AB quando
(a) = 0°, (b) = 90 °.
23. Para a engrenagem mostrada, derivar uma
expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e
mostrar que C é independente do raio da engrenagem B.
Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades
angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A,
respectivamente.
24. Num dado instante, um cilindro de raio r possui
velocidade angular e aceleração angular , ambas no sentido
horário, como mostra a figura:
Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G
são dadas por ( o cilindro não escorrega):
Ga ˆGa r i
ˆ
Gv r i
25. O rolete A move-se com velocidade contante vA
= 3 m/s; determine a velocidade angular da barra AB e a
velocidade do rolete B, vB.
Para a engrenagem mostrada, derivar uma expressão
para a velocidade angular C de engrenagem C e
26. A roda rola sem escorregar com uma velocidade
angular de = 10 rad/s. Determine a velocidade do ponto B no
instante mostrado.
27. Determine a velocidade angular do carretel. O
cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na
plataforma P.
28. Se a manivela OA gira com velocidade angular
de =12 rad/s,determine a velocidade do pistão B e a
velocidade angular da barra AB no instante mostrado.
29. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura
horizontal com velocidade de 60 ft/s, determine a velocidade
angular da barra BC no instante mostrado.
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
37
30. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s.
Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. A
cavilha move-se ao longo da fenda.
31. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira fixa
B com uma velocidade angular = 4 rad/s. Determine a
velocidade da cremalheira C.
32. Suponha, no problema anterior, que a
engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. A cremalheira
B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira
C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. Determine a
velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro.
33. Uma engrenagem repousa numa cremalheira
horizontal. Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e
num dado ponto A, tangente ao núcleo, ela é puxada para a
direita com velocidade constante de 2 ft/s. Determine a
velocidade do centro da engrenagem C.
34. Determine a velocidade angular da engrenagem
e a velocidade de seu centro no instante mostrado.
35. Determine a velocidade do ponto A mostrado no
instante considerado.
36. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado
num sistema de transmissão automática de um automóvel,
considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a
engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5
rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e
do eixo A.
37. O pistão P move-se para cima com velocidade de
300 in/s. Determine a velocidade angular do virabrequim AB no
instante considerado. Encontre a velocidade do centro de
gravidade G.
Bv
Cv
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
38
38. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no
mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3
rad/s, o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira
da bicicleta com o solo. Determine a velocidade do ponto A.
39. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4
rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no instante
considerado.
40. A engrenagem D gira no sentido anti-horário
com velocidade angular D = 5 rad/s, enquando a barra AB gira
com velocidade angular no sentido horário de AB = 10 rad/s;
determine a velocidade angular da engrenagem C.
41. Um sistema de transmissão automática consiste
de 3 engrenagens A, B e C, montados num portador D,
conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem
externa F (Sol). Pelo controle ao qual o sistema gira e quais
engrenagens recebem a potência, a transmissão automática
pode alterar a velocidade do carro e a direção. Se o portador
está girando no sentido anti-horário, com velocidade angular
D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido horário
com velocidade angular F = 10 rad/s, determine a velocidade
angular das engrenagens e da engrenagem externa (Sol). O raio
das engrenagens planetas (A, B e C) são 45 mm e da
engrenagem Sol 75 mm.
42. A grande bola de rolamento gira para a
esquerda com velocidade no seu centro de 0.9 m/s. No
mesmo instante, a esfera interna central gira no sentido
anti-horário com frequência de 240 rev/min. Determine a
velocidade angular de cada uma das esferas.
= 10.78 rad/s ⤸
0s ev v S O
0I iv v I O
P x(m) y(m)
O 0 0
I 0 0.1/2 =0.05
s 0 0.2/2=0.1
C 0 -0,25/2=-0.125
2402 2
60I If
S
I
C
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
39
8 25.13I
rad
s
25.13I
radk
s
0C ev v C O
0.9 0.125C ev i k j
0.9 0.125C ev i i
0.125 0.9 0 0.125 0.9C e ev i i
0.90.125 0.9
0.125e e
7.2e
radk
s
0.9 7.2 0.1
0.9 25.13 0.05
s
I
v i k j
v i k j
0.9 0.72 1.62
0.9 1.2565 2.1565
s s
I I
v i i v i
v i i v i
s Iv v S I
1.62 2.1565 0.05i i k j
1.62 2.1565 0.05i i i
0.5365 0.05i i
0.05 0.5365 0.5365
10.730.05
rad
s
10.73
radk
s
↻
43. (Cap. 16 Hibbeler) O trem de engrenagens
epicicloidal é accionado por a ligação rotativa DE, que
tem uma velocidade angular:
DE = 5 rad/s.
Se a engrenagem de anel F está fixa, determinar
as velocidades angulares de engrenagens A, B e C.
Ponto x(m) y(m)
D (Centro fixo)
0
0
b (Centro da engrenagem B)
0
0.09
E (Centro da engrenagem C)
0
0.16
PCF contato entre engrenagens
C e F
0
0.19
PCB contato entre engrenagens
C e B
0
0.13
PBA contato entre engrenagens
B e A
0
0.05
Barra ED:
E D DEv v E D
0 5 0.16Ev i k j
0.8E
mv i
s
b D DEv v b D
0 5 0.09bv i k j
0.45b
mv i
s
Engrenagem C:
CFP E C CFv v P E
0 0.8 0.19 0.16Ci i k j
0 0.8 0.03 Ci i
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
40
0.80.8 0.03 0
0.03C C
26.67C
radk
s
↺
CBP E C CBv v P E
0.8
0.8 26.67 0.13 0.16CBP
î
v i k j
1.6CBP
mv i
s
Engrenagem B:
CbP b B Cbv v P b
0.04
0.45 0.13 0.09CbP B
i
v i k j
0.45 0.04CbP Bv i
1.6 0.45 0.04 0.45 0.04 1.6B Bi i
1.150.04 1.6 0.45
0.04B B
28.75B
radk
s
BAP b B BAv v P b
1.15
0.45 28.75 0.05 0.09BAP
i
v i k j
0.7BAP
mv i
s
Engrenagem A:
BAP D A BAv v P D
0.05
0 0.05 0BA
A
P A
i
v i k j
0.05 0.7BAP Av i i
0.05 0.7A
0.7
0.05A
14A
radk
s
↺
44. Os colares A e B estão pino-conectados com a
barra ABD e podem deslizar-se ao longo de suas extensões. No
instante mostrado, a velocidade de A é 0.9 m/s para a direita.
Determine: (a) a velocidade angular da haste ABD; (b) a
velocidade do ponto D.
Ponto x(m) y(m)
A 0 0
B
0.3 sen600
0.26
0.3.cos600
0.15
D
0.6 sen600
0.519
0.6 cos600
0.3
B A ABDv v B A
0.9 0.26 0.15Bv i k i j
0.9 0.26 0.15Bv i j i
0.9 0.15 0.26Bv i j
0 0cos60 60B B Bv v i v sen j
0
0
0.9 0.15 cos60
0.26 60
B
B
v
v sen
0
0 0
0.9 0.15 0.9 0.150.26 60
cos60 cos60Bv sen
00.26 0.9 0.15 60tg
0
0
0.9 60
0.26 0.15 60
tg
tg
3rad
ks
↺
0
0.9 0.15 3
cos60Bv
0.9B
mv
s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
41
D A ABDv v D A
0.9 3 0.519 0.3Dv i k i j
0.9 1.52 0.9Dv i j i
1.56D
mv j
s
⭡
45. No esboço simplificado de um rolamento de
esferas ilustrado, o diâmetro da pista interna A é de 60 mm
e o diâmetro de cada bola é de 12 mm. A pista externa B
é estacionária enquanto a pista interna tem uma
velocidade angular de 3600 rpm. Determine (a) a
velocidade do centro de cada bola, (b) a velocidade
angular de cada bola, (c) o número de vezes por minuto
cada bola descreve um círculo completo.
AP iv P C
36002
60i k
376.99i
radk
s
↺
376.99 0.03APv k i
11.31AP
mv j
s
B ee
P O e Bv v P O
B ii
P O e Bv v P O
Ponto x(m) y(m)
C 0 0
BeP
0.03+0.012
0.042
0
BiP
0.03 0
O 0.03+0.006
0.036
0
0.042 0.036 0.006B Be e
P O e P O ev v k i v v j
0 0.006 0.006O e O ev j v j
0.03 0.036 0.006B Bi i
P O e P O ev v k i v v j
11.31A Bi
P Pv j v
11.31 0.006O ej v j
11.31 0.006 0.006e ej j j
11.31 0.012 ej j
11.31
0.012e
942.5e
radk
s
150 90002
ee ef f Hz rpm
0.006 942.5Ov j
5.65O
mv j
s
46. Sabendo que a manivela AB gira sobre o
ponto A com uma velocidade angular constante de 900
rpm no sentido horário, determine a aceleração do pistão
P quando θ = 60 °.
148.3 m/s2w.
Ponto x(m) y(m)
A 0 0
B
005.sen600
0.0433
005.cos600
0.025
D
0 0.05.cos600+0.15.cos
0.1686
50 60 150sen sen
05060 0.2887
150sen sen sen
00.2887 16.78arcsen
9002 94.248
60AB AB
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
42
A
D
Pv
S
94.248AB
radk
s
B A ABv v B A
94.248 0.0433 0.025Bv k i j
2.3562 4.081Bv i j
B A AB AB ABa a B A B A
94.248 94.248 0.0433 0.025Ba k k i j
94.248 2.3562 4.08Ba k i j
384.53 222.07Ba i j
2444.04B
fta
s
⦫300
Haste BD:
D B BDv v D B
0.433 0.1436D B BDv v k i j
0.1436 0.433D B BD BDv v i j
2.3562 0.1436 0.433 4.081D BD BDv i j
2.35622.3562 0.1436 0
0.1436BD BD
16.41BD
radk
s
↺
D B BD BD BDa a D B D B
0.0433 0.1436D B BDa a k i j
16.41 16.41 0.0433 0.1436k k i j
0.1436 0.0433D B BD BDa a i j
16.41 2.3565 0.71k i j
0.1436 0.0433D B BD BDa a i j
11.6527 38.67i j
384.53 11.6527 0.1436 222.07 38.652 0.0433D BD BDa i j
372.975 0.1436 260.717 0.433D BD BDa i j
372.975 0.1436 0BD
372.975
0.1436BD
2597.31BD
radk
s
260.717 0.0433 2597.31Da j
2148.3D
ma j
s
47. No sistema de engrenagens planetárias
mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é 3 pol e o
raio da engrenagem exterior E é 9 polegadas. Sabendo que
a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de
150 rpm no sentido horário e que A engrenagem externa
E é estacionária, determine a magnitude da aceleração do
dente da engrenagem D que está em contato com:
(a) Engrenagem A, (b) Engrenagem E.
1502 2
60 60
AA A
f
15.708A
radk
s
A
P
S
D
PE
Engrenagem A:
15.708 3P A Pv R v
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
43
D
Pv
S
D
Pv
Da
47.124P
inv
s
Engrenagem D:
P
D
PE
0 2E D D P Dv v R v R
Logo:
22
AP D A Dv R R
7.854D
radk
s
↺
Spider:
S
Sa
2DC S Dv R R
2 2
D AS S
3.927S
radk
s
Aceleração: 2 2 22 3.927 2 3s s s sa AD a R
292.528
CS D
ina a
s
Engrenagem D:
Dente T em contato com a engrenagem A:
Movimento plano: Translação com D + Rotação sobre D
A
T
D
PE
T D Tra a a
292.528T D Ca D T
292.528 7.854 3 92.528 185.056Ta
292.528T
ina
s
Dente da engrenagem D em contato com a
engrenagem E:
Movimento plano: Translação com D + Rotação sobre D
E ED D D ra a a
292.528ED D Ca D E
292.528 7.854 3 92.528 185.056EDa
2277.6
ED
ina
s
48. O braço AB tem uma velocidade angular
constante de 16 rad/s no sentido anti-horário.
No instante em que θ = 90 °, determine a aceleração (a)
do rebordo D, (b) do ponto médio G da barra BD.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
44
15.124 (a) 242 in/s2 z. (b) 403 in/s2 d 72.58.
15.125 694 in/s2 z.
49. No sistema de engrenagens planetárias
mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é 3 pol e o
raio da engrenagem exterior E é 9 polegadas. Sabendo que
a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de
240 rpm no sentido horário e que A engrenagem externa
E tem frequência de 180 rpm no sentido horário,
determine a velocidade angular:
(a) das engrenagens B, C e D,
(b) da Spider.
50. refaça 48 para o instante em que θ = 60°.
51. Sabendo que a manivela AB gira sobre o
ponto A com uma velocidade angular constante de 900
rpm no sentido horário, determine a aceleração do pistão
P quando θ = 90 °.
Ponto x(m) y(m)
A
B
D
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 02 – 2° Bimestre
45
52. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado
num sistema de transmissão automática de um automóvel,
considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a
engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5
rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e
do eixo A.
Ponto x(m) y(m)
S,A 0 0
sS
0 0.08
iS
0 -0.08
P 0 0.12
sP 0 0.16
iP 0 0.08
Engrenagem S:
5S
radk
s
sS S S Sv v S S
0 5 0.08sSv k j
0.4sSv i
Braço A:
A A k
P A Av v P A
0 0.12P Av k j
0.12P Av i
Engrenagem Menor centrada em P:
P P k
sP P P Sv v P P
0.12 0.04sP A Pv i k j
0.12 0.04sP A Pv i
iP P P iv v P P
0.12 0.04iP A Pv i k j
0.12 0.04iP A Pv i
Engrenagem R:
0R k
0sPv
0.12 0.04 0A P
0.04 1
0.12 3A P A P
Como:
i sP Sv v
0.12 0.04 0.4A P i i
0.12 0.04 0.4A P
Logo:
0.12 0.04 0.4
1
3
A P
A P
10.12 0.04 0.4
3P P
0.04 0.04 0.4P P
0.40.08 0.4
0.08P P
5P
radk
s
1 1
53 3
A P A
5
3A ;
1.67
5
3A
radk
s
↺
53. O rolete da figura possui velocidade vA = 6 ft/s
para a direita. Determine a velocidade angular da barra e a
velocidade do canto C mostrado.
P x(ft) y(ft)
A tg600 = 4/xA
xA=4/tg600=2.31
0
B
0 4
C
-(6 cos600- 4/tg600) = -0.69 6 sen600 = 5.2
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46
C Av v C A
6 3 5.2Cv i k i j
6 5.2 3Cv i j
B Av v B A
6 2.31 4Bv i k i j
6 2.31 4Bv i j i
6 4 2.31Bv i j
V B⦪600
0 0cos60 60B B Bv v i v sen j 0
0
cos60 6 4
60 2.31
B
B
v
v sen
0.5 6 4
0.866 2.31
B
B
v
v
12 8Bv
0.866 12 8 2.31 10.392 6.928 2.31
10.39210.392 9.268 1.12
9.268
rad
s
1.12rad
ks
↺
6 5.2 3Cv i j
6 5.2 1.12 3 1.12Cv i j
0.176 3.36Cv i j
2 20.176 3.36 3.4ft
C C sv v
V C⦪0
03.3687
0.176arctg
54. Num dado instante, o topo A da barra tem a
velocidade e a aceleração mostradas. Determine a aceleração
angular da barra e a aceleração do ponto B da barra.
55. Num dado instante, o ponto A da barra tem
aceleração aA = 4 ft/s e velocidade vA = 6 ft/s, ambas para a
esquerda.
Determine a aceleração angular da barra e a
aceleração do ponto B topo da barra.
21.47
radk
s
↺
224.9B
fta j
s
56. Sensores de velocidade são colocados nos pontos
A, B e C de um satélite no instante mostrado, situados no plano
xy. Sabe-se que, nesse instante, os sensores mediram:
2xA
ftv
s ; 0.333
xB
ftv
s ; 2
yC
ftv
s
Mostre que a velocidade angular do satélite vale
0.583rad
ks
↻ e a velocidade do ponto B vale:
1.53B
ftv
s
e ⦩77.480
B Av v B A
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre
47
57. Se a engrenagem anel D gira no sentido anti-
horário com velocidade angular:
5D
radk
s
↺
e o braço AB gira no sentido horário com velocidade angular:
10AB
radk
s
Determine a velocidade angular da engrenagem C.
P
P x(ft) y(ft)
A 0 0
B
0.375 0
P
0.5 0
B A ABv v B A
0 10 0.375Bv k i
3.75Bv j
Engrenagem anel D:
P A Dv v D A
0 5 0.5Pv k i
2.5Pv j
Engrenagem C:
P B Cv v P B
3.75 0.5 0.375P Cv j k i
3.75 0.125P Cv j
3.75 0.125 2.5C
0.125 2.5 3.75C
6.250.125 6.25
0.125C C
50C
radk
s
↺
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