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Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
Prof. Marly Fernández
1. Conceptos Básicos.a. Estado.
El conjunto más pequeño de variables, x1(k), x2(k),...,xn(k), tales que el conocimiento de sus valores en un instante inicial ko y el de las entradas u(k), para k≥ko, determinan totalmente el comportamiento futuro del sistema, esdecir para k > ko. b. Variables de Estado. Son las variables que forman el conjunto de estado.c. Vector de Estado.
Es el vector que tiene por componentes las variables de estado:
d. Espacio de Estado.Es el espacio n-dimensional, cuyos ejes de coordenadas son las variables de estado.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(
)()(
)(
kx
kxkx
k
n
M2
1
x
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
Prof. Marly Fernández
2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado.
Consideremos un sistema discreto lineal e invariante de entrada-salida única, definido por la siguiente ecuación en diferencias:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(
)()(
)(
)()(
)(
1
12
1
ky
nkyky
kx
kxkx
kx
nn
MM
)()()()( kuankybkybky n 01 1 =−++−+ K
)()()()( nkuakybnkybnky n +=++−+++ 01 1 K
La ecuación en diferencias, es de orden n, ya que podría escribirse:
Luego existen n variables de estado que, desplazadas en el tiempo, se escriben como:
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
Prof. Marly Fernández
2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado.En el instante de muestreo siguiente, el valor de las variables de estado sería:
)()(
)()(
)()(
)()(
kykx
kykx
nkykx
nkykx
n
n
=+
+=+
+−=+
+−=+
−
1
11
21
11
1
2
1
L
)(kx2=)(kx3=
)(kxn=)()()()( kxbkxbkxbkua nnn 12110 −−−−= − K
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
ku
akxkx
kxkx
bbbbkxkx
kxkx
n
n
nnnn
n
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
−
−−
−
0
1
2
1
121
1
2
1
0
00
0000
01000010
11
11
LL
L
L
LLLLL
L
L
L
Forma Matricial
Forma Vectorial)()()( kkk HuGxx +=+1
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
Prof. Marly Fernández
2. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas.
La salida del sistema puede expresarse como:
[ ] )(
)(
)()(
)( kua
kx
kxkx
bbbky
n
nn 02
1
11 +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−= − ML
Forma Vectorial
)()()( kkk DuCxy +=
Forma Matricial
En forma general, estas ecuaciones representan la ecuación de estado y la ecuación de salida del sistema:
)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kkk DuCxy +=
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
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2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado
∆T
G
Cu(k) +
+
x(k+1)H
x(k) y(k)
u(k) vector de entrada o control (m x 1)y(k) vector de salida (r x 1)x(k) vector de estado (n x 1)G matriz de estado (n x n)H matriz de entrada (n x m)C matriz de salida (r x n)
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
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3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicasLa función de transferencia pulso de un sistema discreto puede representarsecomo:
i. Forma Canónica Controlable (FCC)
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
k
kxkx
kxkx
aaaakxkx
kxkx
n
n
nnnn
n
u
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
−
−−
−
10
00
0000
01000010
11
11
1
2
1
121
1
2
1
LL
L
L
LLLLL
L
L
L
nn
nn
zazazazbzbzbb
zUzY
−−−
−−−
++++++++
=L
L2
21
1
22
110
1)()(
nn
nn
zazazazczczcb
zUzY
−−−
−−−
+++++++
+=L
L2
21
1
22
11
0 1)()(
[ ] )(
)(
)()(
)( kb
kx
kxkx
ccck
n
nn uy 02
1
11 +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−= − ML
Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados
Prof. Marly Fernández
3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas
ii. Forma Canónica Observable (FCO)
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
k
babbab
babbab
kxkx
kxkx
aa
aa
kxkx
kxkx
nn
nn
n
n
n
n
n
n
u
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
−−
−
−
−
011
022
011
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
100000
001000
11
11
LL
L
L
LLLLL
L
L
L
nn
nn
zazazazczczcb
zUzY
−−−
−−−
+++++++
+=L
L2
21
1
22
11
0 1)()(
[ ] )(
)(
)()(
)( kb
kx
kxkx
k
n
uy 02
1
100 +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
L
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3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas
iii. Forma Canónica Diagonal (FCD)
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
k
kxkx
kxkx
pp
pp
kxkx
kxkx
n
n
n
n
n
n
u
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
−−−
11
11
000000
000000
11
11
1
2
1
1
2
1
1
2
1
LL
L
L
LLLLL
L
L
L
nn
nn
zazazazczczcb
zUzY
−−−
−−−
+++++++
+=L
L2
21
1
22
11
0 1)()(
[ ] )(
)(
)()(
)( kb
kx
kxkx
AAAk
n
n uy 02
1
21 +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
L
n
n
pzA
pzA
pzAb
zUzY
−++
−+
−+= L
2
2
1
10)(
)(
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3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas
iv. Forma Canónica de Jordan (FCJ)
nn
nn
zazazazczczcb
zUzY
−−−
−−−
+++++++
+=L
L2
21
1
22
11
0 1)()(
[ ] )(
)(
)()(
)( kb
kx
kxkx
AAAk
n
n uy 02
1
21 +
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=M
L
n
n
m
mmmm pz
Apz
Apz
ApzA
pzAb
zUzY
−++
−+
−++
−+
−+=
+
+− LL
1
1
11
1
2
1
10 )()()(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
k
kx
kxkx
kxkx
p
pp
pp
kxkx
kxkx
n
m
m
n
m
n
n
u
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
++−
1
11
00
00000
000000000
0001000001
11
11
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
M
M
M
M
LL
MMMMMMMM
LLL
LL
MMMMMMMM
LL
LL
L
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4.Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempo discretas.
4.1 Método Recurrente.Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:
Se puede encontrar la solución de estas por una evaluación consecutiva dandovalores a k :
)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kkk DuCxy +=
k x(k+1)0 x(1)1 x(2)2 x(3)� � �
)()( kk HuGx +
)()( 00 HuGx +
)()()()()( 10011 2 HuGHuxGHuGx ++=+
)()()()()()( 210022 23 HuGHuHuGxGHuGx +++=+
Esta serie puede escribirse como:Con esto la ecuación de salida es:
∑−
=
−−+=1
0
10k
j
jkk jk )()()( HuGxGx [1]
)()()()( kjkk
j
jkk DuHuGCxCGy ++= ∑−
=
−−1
0
10 [2]
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4. Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempodiscretas. 4.1 Método Recurrente.Matriz de Trasición de Estado.La solución de la ecuación de estado homogénea se puede escribir como:
)(kΦ es una matriz única, conocida como matriz de transición de estadoque tiene las siguientes propiedades:
)()()()()()(
kkkkk
k
k
GΦΦGΦΦGΦIΦ
=+===−= −−
1 0 1
Las ecuaciones [1] y [2], escritas en función de la matriz de transiciónde estado serán:
∑−
=−−+=
1
010
k
jjjkkk )()()()()( HuΦxΦx
)()()()()()( kjjkkkk
jDuHuΦCxCΦy +−−+= ∑
−
=
1
010
)()()()()( 0 1 xΦxGxx kkkk =⇒=+
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4. Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempodiscretas. 4.2 Método de la transformada Z.
Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:
Se toma la transformada Z en ambas ecuaciones y luego se procede a antitransformar en Z para obtener la solución. La ecuación de estado será:
Así la ecuación de salida está dada por:
En este caso definiremos la matriz de transición de estado como:
[ ]zzZk 11 −−− −== )()( GIGΦ k
[ ] [ ] )()()()()()( kzzZzzZk DuHuGICxGICy +−+−= −−−− 1111 0
)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kkk DuCxy +=
[ ] [ ])()()()()()()()()()(
)()()()(
zzZzzZkzzzzz
zzzzz
HUGIxGIxHUGIxGIX
HUGXxX
1111
11
00
0
−−−−
−−
−+−=
−+−=
+=−
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5. Matriz de Función de Transferencia Pulso. Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:
Se toma la transformada Z en ambas ecuaciones y haciendo condiciones inicialesnulas, X(0)=0:
F(z) es la matriz de función de transferencia pulso y se pude calcular como:
La ecuación característica del sistema se puede escribir:
)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kkk DuCxy +=
[ ] )()()()()()(
zzzzzz
UDHGICYHUGIX
+−=
−=−
−
1
1
[ ] )()()()( zz
zz FDHGIC
UY
=+−= −1
DGI
HGICF +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=zzadjz )()(
0=− GIz
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6. Discretización de las Ecuaciones de Estado en tiempo continuo.Sea el sistema en tiempo continuo LTI,representado por las siguientes ecuaciones de estado:
Las ecuaciones discretas son:
Finalmente:
)()()( ktt BuAxx +=&
)()()( ttt DuCxy +=
)()()()()( kTTkTTTkT uθxΦx +=+)()()( kTkTkT DuCxy +=
[ ] TtsT =−− −= 11 )()( AIΦ L
ττ
ττ
d
dTTT
T
B
Bθ
∫∫Φ=
−Φ=
0
0
)(
)()(
TeT AG =)(
( )( ) BAI
BH1A
A
−−=
= ∫T
T
e
deT 0
λλ)(
)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kTkTkT DuCxy +=
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