vežbe3: analiza spregnutih konstrukcija prema …...cs jednaka je zbiru dilatacije skupljanja usled...
Post on 20-Jan-2020
15 Views
Preview:
TRANSCRIPT
OSNOVE SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA školska2019/2020
Vežbe3: Analiza spregnutih konstrukcija prema teoriji elastičnosti
Određivanje vrednosti skupljanja i tečenja betona kod spregnutog nosača
Primer 1:
U poprečnom preseku spregnutog nosača, koji je dat na skici, deluje normalna sila N i moment
savijanja M. Odrediti napone u karakterističnim tačkama (1-5) preseka za vreme t=to i t→∞.
a) Koristiti algebarsku vezu EM metode za σ-ε za beton
b) Prema Evrokodu 4
Podaci:
N = -2000 kN M = 6000 kNm
Betonski deo preseka:
Ec0 = 32 GPa φ = 3.4 εcs= - 330 x10-6
Čelični nosač i armatura:
Ea = Es = 210 GPa
Primer 2:
Za spregnuti nosač poprečnog preseka prikazanog na slici, odrediti:
a) vrednost koeficijenta tečenja za t=∞, tj. φ(∞, t0)
b) vrednost koeficijenta tečenja za t=90 dana, tj. φ(90, t0)
c) vrednost dilatacije skupljanja za t=∞, tj. εcs(∞)
d) vrednost dilatacije skupljanja za t=90 dana, tj. εcs(90)
Klasa betona C25/30
Vrsta cementa 32.5N
Relativna vlažnost: element u unutrašnjosti objekta RH=50%
Starost betona u trenutku opterećenja: t0 = 28 dana
Početak sušenja betona: ts = 3 dana
PRIMER 1 - REŠENJE:
BETONSKA PLOČA:
površina:
sopstveni moment inercije:
odstojanje težišta betonske ploče od gornje ivice betonske ploče:
ČELIČNI PROFIL:
površina:
položaj težišta od gornje ivice profila:
odstojanje težišta profila od gornje ivice ploče:
sopstveni moment inercije čeličnog profila:
ARMATURA:
površina:
težište armature od gornje ivice betonske ploče:
SPREGNUT PRESEK t=t0
bezdimenzionalni koeficijent redukcije:
redukovana površina preseka:
površina idealizovanog preseka:
težište idealizovanog preseka u odnosu na gornju ivicu betonske ploče:
moment inercije idealizovanog preseka:
NAPONI U TRENUTKU t=t0
_____11 o
io
o
io
oa z
I
M
A
N
2
2
22 11.3)72.27(92.8627156
106000
14.1689
2000
cm
kNz
I
M
A
No
io
o
io
oa
___________
111222 a
co
io
o
io
o
cc
nz
I
M
A
N
n
2
2
55 73.0)72.51(92.8627156
106000
14.1689
2000
56.6
11
cm
kNz
I
M
A
N
no
io
o
io
o
cc
2
2
32 53.3)72.33(92.8627156
106000
14.1689
2000
cm
kNz
I
M
A
No
io
o
io
os
2
2
41 50.4)72.47(92.8627156
106000
14.1689
2000
cm
kNz
I
M
A
No
io
o
io
os
EM METODA: vreme t
Fiktivne sile:
𝑁𝜑 = 𝑁 + 𝑛𝑠 =
𝑀𝜑 = 𝑀 + 𝑚𝑠 =
EM METODA: naponi u trenutku t usled TEČENJA
211 37.11)25.119(7.590095535.841 cm
kNz
I
M
A
N
iia
2
2
22 18.10)75.67(7.5900955
105.6800
35.841
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iia
2222 35.0)18.10(875.28
111
cm
kN
nz
I
M
A
N
na
tiitc
2
2
55 45.0)75.91(7.5900955
105.6800
35.841
2000
875.28
11
cm
kNz
I
M
A
N
n iitc
2
2
33 88.10)75.73(7.5900955
105.6800
35.841
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iis
2
2
44 49.12)75.87(7.5900955
105.6800
35.841
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iis
EM METODA: naponi u trenutku t usled SKUPLJANJA
211 73.0)25.119(7.590095535.841 cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
sa
2
2
22 64.3)75.67(7.5900955
101378
35.841
1728
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
sa
2
62,22 11.0)10330(10273.7)64.3(
875.28
11
cm
kNE
ncseffca
tc
209.0)610330(210273.7
)75.91(7.5900955
2101378
35.841
1728
875.28
1
,5
1
5
cm
kN
cseffcEz
iI
sm
iA
sn
tnc
2
2
33 77.3)75.73(7.5900955
101378
35.841
1728
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
ss
2
2
44 10.4)75.87(7.5900955
101378
35.841
1728
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
ss
EC4 METODA: naponi u trenutku t usled TEČENJA
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐0
1 + 𝛹 ∙ 𝜑=
𝑛𝑡𝑐 =𝐸𝑎
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓=
𝐴𝑖 = 𝐴𝑎 + 𝐴𝑠 +𝐴𝑐
𝑛𝑡𝑐= 823.46𝑐𝑚2
𝑒𝑖 =𝐴𝑎 ∙ 𝑒𝑎 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑒𝑠 +
1
𝑛𝑡𝑐∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑒𝑐
𝐴𝑖= 93.48𝑐𝑚2
𝐼𝑖 = 𝐼𝑎 + 𝐴𝑎 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑎)2 + 𝐴𝑠1 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠1)2 + 𝐴𝑠2 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠2)2 +
1
𝑛𝑡𝑐∙ [𝐼𝑐 + 𝐴𝑐 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑐)2] = 5783880𝑐𝑚4
𝑁 = 𝑁0 = −2000 𝑘𝑁
𝑀 = 𝑀0 − 𝑁0 ∙ 𝑒 = 𝑀0 − 𝑁0 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑖0) = 6000 − (−2000) ∙ (93.48 − 51.72) ∙ 10−2 =
6835.15 𝑘𝑁𝑚
211 46.1152.117578388046.823
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iia
2
2
22 64.10)48.69(5783880
1015.6835
46.823
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iia
2222 34.0)64.10(10.31
111
cm
kN
nz
I
M
A
N
na
tciitcc
2
2
55 43.0))48.93(5783880
1015.6835
46.823
2000(
10.31
11
cm
kNz
I
M
A
N
n iitcc
2
2
33 35.11)48.75(5783880
1015.6835
46.823
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iis
2
2
44 0.13)48.89(5783880
1015.6835
46.823
2000
cm
kNz
I
M
A
N
iis
EC4 METODA: naponi u trenutku t usled SKUPLJANJA
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐0
1 + 𝛹 ∙ 𝜑=
𝑛𝑡𝑠 =𝐸𝑎
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓=
𝐴𝑖 = 𝐴𝑎 + 𝐴𝑠 +𝐴𝑐
𝑛𝑡𝑠= 974.28𝑐𝑚2
𝑒𝑖 =𝐴𝑎 ∙ 𝑒𝑎 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑒𝑠 +
1
𝑛𝑡𝑐∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑒𝑐
𝐴𝑖= 93.48𝑐𝑚2
𝐼𝑖 = 𝐼𝑎 + 𝐴𝑎 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑎)2 + 𝐴𝑠1 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠1)2 + 𝐴𝑠2 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠2)2 +
1
𝑛𝑡𝑠∙ [𝐼𝑐 + 𝐴𝑐 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑐)2] = 6637364.5𝑐𝑚4
Fiktivne sile u preseku usled skupljanja:
𝑛𝑠 = 𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝜀𝑐𝑠 = 11.15 ∙ 102 ∙ 7200 ∙ 10−4 ∙ (−330 ∙ 10−6) = −1728 𝑘𝑁
težište betonske ploče u odnosu na težišnu osu y: 𝑧𝑐 = −68.87𝑐𝑚
𝑚𝑠 = 𝑛𝑠 ∙ 𝑧𝑐 = −2649.2 ∙ (−68.87 ∙ 10−2) = 1824.4 𝑘𝑁𝑚
211 86.013.1305.663736428.974 cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
sa
2
2
22 28.4)87.56(5.6637364
104.1824
28.974
2.2649
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
sa
2
62,22 14.0)10330(1015.11)28.4(
83.18
11
cm
kNE
ncseffca
tsc
2
622
,55 11.0)10330(1015.11)87.80(5.6637364
104.1824
28.974
2.2649
83.18
11
cm
kNEz
I
m
A
n
ncseffc
i
s
i
s
tsc
2
2
33 45.4)87.62(5.6637364
104.1824
28.974
2.2649
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
ss
2
2
44 83.4)87.76(5.6637364
104.1824
28.974
2.2649
cm
kNz
I
m
A
n
i
s
i
ss
PRIMER 2 - REŠENJE:
Beton klase C25/30 → fck =25MPa 𝑓𝑐𝑑 =25
1,5= 16.67 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐𝑚 = 31 𝐺𝑃𝑎
Koeficijent tečenja
a) određivanje vrednosti koeficijenta tečenja za t=∞, tj. φ(∞, t0)
obim dela preseka izloženog vazduhu (sušenju):
površina betona
nominalna dimenzija poprečnog preseka betonskog elementa (mera za brzinu i intenzitet
procesa isušivanja betona):
Konačna vrednost φ(∞, t0) se određuje sa slike, za ℎ0=200 mm, RH = 50 %, t0=28 dana, C25/30 i
cement 32.5N:
φ(∞, t0)=2.6
b) određivanje vrednosti koeficijenta tečenja za t=90 dana, tj. φ(90, t0)
koeficijent tečenja se određuje kao (EC2, ANNEX B)
φ(t, t0)= φ0∙β(t, t0), gde je
φ0 nominalna vrednost koeficijenta tečenja
β(t, t0) koeficijent kojim se uzima u obzir vremenski razvoj deformacije tečenja, počev od
trenutka nakon opterećivanja (za t0=0, β(t, t0)=0; za t=0, β(∞, t0)=1); izraz za izračunavanje je
dat kasnije
Nominalna vrednost koeficijenta tečenja φ0 određuje se na osnovu izraza:
φ0= φRH∙β(fcm) ∙ β(t0) gde je
φRH faktor kojim se uzima u obzir uticaj relativne vlažnosti na nominalnu vrednost
koeficijenta tečenja
fcm = fck + 8MPa = 33 MPa je srednja čvrstoća betona. Dakle, u posmatranom
primeru je
𝜑𝑅𝐻 = 1 +1 − 50/100
0.1√2003 = 1.855
β(fcm) је faktor kojim se uzima u obzir uticaj čvrstoće betona na nominalnu vrednost
koeficijenta tečenja
𝛽(𝑓𝑐𝑚) =16.8
√𝑓𝑐𝑚
=16.8
√33= 2.925
β(t0) је faktor kojim se uzima u obzir uticaj starosti betona u trenutku opterećivanja
betona na nominalnu vrednost koeficijenta tečenja
𝛽(𝑡0) =1
(0.1 + 𝑡00.20)
U ovom izrazu, uticaj tipa cementa na nominalnu vrednost koeficijenta tečenja se može uzeti
u obzir uzimanjem modifikovane starosti betona 𝑡0:
gde je α koeficijent koji zavisi od vrste cementa (α= -1 za klasu cementa S, α= 0 za klasu
cementa N i α= 1 za klasu cementa R); 𝑡0,𝑇 je starost betona u trenutku opterećivanja
modifikovana uticajem temperature na početku opterećivanja. Ovaj uticaj povišene ili smanjene
temperature (u rasponu od 0 do 80°C) na zrelost betona može se uzeti u obzir na sledeći način:
gde je Т(Δti) temperatura u °C u periodu vremena Δti, a Δti je broj dana kada je temperatura bila
T. U našem primeru, usvojeno je 𝑡0,𝑇 = 𝑡0 = 28 dana, pa je modifikovana starost betona
𝑡0 = 28 ∙ (9
2+281.2 + 1)0
=28 dana ≥ 0.5
U konkretnom primeru, vrednost faktora β(t0) je
𝛽(28) =1
(0.1+280.2)=0.49
Konačno, nominalna vrednost koeficijenta tečenja je
φ0= φRH∙β(fcm) ∙ β(t0)=1.855∙2.925∙0.49=2.66
Koeficijent kojim se uzima u obzir vremenski razvoj deformacije tečenja β(t, t0) određuje se na
osnovu izraza:
gde je:
t starost betona u posmatranom trenutku (u danima)
βH koeficijent koji zavisi od relativne vlažnosti i nominalne dimenzije poprečnog
preseka:
U konkretnom primeru je:
𝛽𝐻 = 1.5[1 + (0.012 ∙ 50)18] ∙ 200 + 250 = 550 < 1500
𝛽(90,28) = [(90 − 28)
(550 + 90 − 28)]
0.3
= 0.503
Konačno, koeficijent tečenja se pri starosti betona od 90 dana iznosi
φ(t, t0)= φ0∙β(t, t0)=2.66∙0.503=1.34
što je približno polovina konačne vrednosti koeficijenta tečenja.
Deformacija skupljanja
c) određivanje vrednosti dilatacije skupljanja za t=∞, tj. εcs(∞)
Ukupna dilatacija skupljanja εcs jednaka je zbiru dilatacije skupljanja usled sušenja εcd i sopstvene
(autogene) dilatacije skupljanja εca:
εcs= εcd + εca
Konačna vrednost dilatacije usled sušenja εcd, ∞=kh∙ εcd, 0
gde se vrednost εcd, 0 može očitati iz tabele (za betone spravljene od cementa klase N, tabela je
preuzeta iz EC2)
ili sračunati preko izraza
U primeru je:
𝛽𝑅𝐻 =
𝜀𝑐𝑑,0 =
Koeficijent kh zavisi od nominalne dimenzije preseka h0 i može se odrediti na osnovu tablice
Dakle, u našem primeru, h0=200mm pa je kh=0.85. Konačna vrednost dilatacije skupljanja usled
skupljanja iznosi
εcd, ∞=
Konačna vrednost sopstvene dilatacije skupljanja εca je jednaka:
𝜀𝑐𝑎(∞) = 2.5(𝑓𝑐𝑘 − 10)10−6 =
Ukupna konačna vrednost dilatacije skupljanja iznosi:
εcs(∞)=
d) određivanje vrednosti dilatacije skupljanja za t=90 dana, tj. εcs(t)
Ukupna dilatacija skupljanja u trenutku t određuje se kao:
εcs(t)= εcd(t) + εca(t)
Vrednost dilatacije usled sušenja εcd(t) određuje se kao
𝜀𝑐𝑑(𝑡) = 𝛽𝑑𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) ∙ 𝑘ℎ ∙ 𝜀𝑐𝑑,0
𝛽𝑑𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) =(𝑡 − 𝑡𝑠)
(𝑡 − 𝑡𝑠) + 0.04√ℎ03
gde je ts starost betona, u danima, kada počinje isušivanje betona; obično se uzima da se poklapa sa
krajem negovanja betona. U ovom primeru je:
𝛽𝑑𝑠(90,3) =(90−3)
(90−3)+0.04√2003=0.435
𝜀𝑐𝑑(𝑡) = 0.435 ∙ 0.85 ∙ 5.12 ∙ 10−4 = 1.89 ∙ 10−4
Autogena dilatacija skupljanja je:
𝜀𝑐𝑎(𝑡) = 𝛽𝑎𝑠(𝑡)𝜀𝑐𝑎(∞)
𝛽𝑎𝑠(𝑡) = 1 − 𝑒𝑥𝑝(−0.2 ∙ 900.5) = 0.85
𝜀𝑐𝑎(∞) = 3.75 ∙ 10−5
𝜀𝑐𝑎(90) = 0.85 ∙ 3.75 ∙ 10−5 = 3.19 ∙ 10−5
Ukupna dilatacija skupljanja u trenutku t određuje se kao:
𝜀𝑐𝑠(𝑡) = 1.89 ∙ 10−4 + 3.19 ∙ 10−5 = 2.209 ∙ 10−4
top related