vecteurs aléatoires
Post on 08-Oct-2015
82 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Dpartement de Mathmatiques et Informatique
Abdelhamid El Mossadeq Professeur lEHTP
-
A. El Mossadeq Mai 2008
-
TABLE DES MATIRES
1.Vecteursalatoires 12.Fonctionderpartition 23.Lesmargesdunvecteuralatoire 34.Vecteursalatoiresdiscrets 45.Vecteursalatoiresabsolumentcontinus 56.Oprationssurlesvecteursalatoires 9
6.1.Lasommededeuxalasdiscrets 96.2.Lasommededeuxalascontinus 106.3.Changementdevariables 13
7.Lesmoments 148.Densitsdeprobabilitconditionnelle 189.Esprancemathmatiqueconditionnelle 1910.Ladroitedergression 2011.Convergencedesvariablesalatoires 22
11.1.Convergencepresquepartout 2211.2.Convergenceenprobabilit 2211.3.Convergenceenloi 2211.4.Convergenceennormedordrep 2311.5.Comparaisondesconvergences 23
12.Loifaiblesdesgrandsnombres 2413.Thormecentralelimite 25
13.1.Casdelaloibinomiale 2813.2.CasdelaloidePoisson 28
14.Exercices 30
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. Vecteurs Alatoires
Dnition 1Un vecteur alatoire n dimensions, ou une variable alatoire n dimensionsest un ala dni sur un espace probabilis (; T ;P ) valeurs dans (Rn;BRn),o BRn est la tribu des borliens de Rn.
Soit i, 1 i n, la ieme projection de Rn sur R, et posons :Xi = i X
Pour tout borlien B 2 BR on a :X1i [B] = (i X)1 [B]
= X1 1i [B]= X1
Ri1 B Rni
donc X1i [B] est un vnement de T .Il en rsulte que pour tout i, 1 i n, lapplication :
Xi : (; T ;P ) ! (R;BR)est une variable alatoire une seule dimension dnie sur (; T ;P ).La donne dun vecteur alatoire n dimensions X quivaut donc la
donne de n variables alatoires une dimension X1; :::; Xn qui sont ses
composantes.
On note :
X = (X1; :::; Xn)
et pour tout ! 2 on a :X (!) = (X1 (!) ; :::; Xn (!))
Si lon dsigne par Pi la loi PXi de la variable alatoire Xi, alors pour tout
1
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
borliens B 2 BR on a :Pi [B] = P
X1i [B]
= P
X1
Ri1 B Rni
= PXRi1 B Rni
= P [X1 2 R; ::; Xi1 2 R; Xi 2 B;Xi+1 2 R; :::; Xn 2 R]
2. Fonction de Rpartition
Si a = (a1; :::an) est un lment de Rn, on pose :
(a) = f(x1; :::xn) 2 Rn j x1 < a1; :::; xn < ang
Dnition 2Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn), un vecteur alatoire.On appelle fonction de rpartition de X, la fonction relle F dnie pour tout xdans Rn par :
F (x) = PX [ (x)]
On a alors :
F (x) = PX [ (x)]
= P [X 2 (x)]= P [X1 < x1; :::; Xn < xn]
pour tout x = (x1; :::xn) dans Rn.
2
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
3. Les Marges dun Vecteur Alatoire
Dnition 3Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur (; T ;P ) :Les n marges de PX sont les lois Pi des variables alatoires Xi, 1 i n:
Proposition 1Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur (; T ;P ), F sa fonctionde rpartition et Fi la fonction de rpartition de Xi:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :
F (x1; :::; xn) =
nYi=1
Fi (xi)
Preuve 1Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn :
P [X1 < x1; :::; Xn < xn] =
nYi=1
P [Xi < xi]
donc, si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn :
F (x1; :::; xn) =
nYi=1
Fi (xi)
3
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
4. Vecteurs Alatoires Discrets
Dnition 4Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn), un vecteur alatoire.On dit que X est discret si X () est dnombrable et T = P ().
La loi PX de X est alors une loi discrte. Elle est entirement dnie par
les probabilits lmentaires p (x1; :::; xn), o (x1; :::; xn) parcourt X () :
Puisque pour tout i, 1 i n :Xi () = i X ()
donc Xi () est dnombrable et par consquent X1; :::; Xn sont toutes des
variables alatoires discrtes.
Proposition 2Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire discret:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 X () on a :
p (x1; :::; xn) =
nYi=1
pi (xi)
4
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Preuve 2Les variables alatoires :
X1; :::; Xn : (; T ;P ) ! (R;BR)sont indpendantes si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 X () :
P [X1 = x1; :::; Xn = xn] =
nYi=1
P [Xi = xi]
donc, si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn :
p (x1; :::; xn) =
nYi=1
pi (xi)
5. Vecteurs Alatoires AbsolumentContinus
Dnition 5Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire.On dit que X est absolument continu si sa loi de probabilit PX possde unedensit relativement la mesure de Lebesgue sur Rn, cest dire, il existe unefonction positive et intgrable f telle que lon ait pour tout a 2 Rn :
F (a) =
Z(a)
f (x1; :::; xn) dx1:::dxn
o F est la fonction de rpartition de X.f est appele alors la densit de probabilit de X.
5
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Remarque 1La condition :
PX [Rn] = 1
se traduit par : ZRnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn = 1
Remarque 2Toute fonction :
f : Rn ! Rpositive, intgrable telle que :Z
Rnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn = 1
est la densit de probabilit dune loi de probabilit unique.
Proposition 3Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire absolument continu densit de prob-abilit f .La variable alatoire Xi, 1 i n, a pour densit la fonction fi dnie pourtout xi 2 R par :
fi (xi) =
ZRn1
f (x1; :::; xn) dx1:::dxi1dxi+1:::dxn
6
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Preuve 3Remarquons tout dabord que la fonction fi ainsi dnie est une densit deprobabilit.En eet,fi est positive, intgrable et on a :Z
Rfi (xi) dxi =
ZRnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn
= 1
Dmontrons maintenant que cest la densit de probabilit de la variable alatoireXi.Pour tout a 2 R on a :Pi (]1; a[) = PX
Ri1 ]1; a[ Rni
=
ZRi1]1;a[Rni
f (x1; :::; xn) dx1:::dxn
=
Z a1
ZRn1
f (x1; :::; xn) dx1:::dxi1dxi+1:::dxn
dxi
=
Z a1
fi (xi) dxi
Il en rsulte que fi est bien la densit de probabilit de la variable alatoire Xi.
Proposition 4Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire de densit de probabilit f dont lesmarges X1; :::; Xn admettent les densits f1; :::; fn:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :
f (x1; :::; xn) =
nYi=1
fi (xi)
7
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Preuve 4(i) Supposons que pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :
f (x1; :::; xn) =
nYi=1
fi (xi)
Alors, pour tout a = (a1; :::; an) 2 Rn :P [X1 < a1; :::; Xn < an] = PX [ (a)]
=
Z(a)
f (x1; :::; xn) dx1:::dxn
=
nYi=1
Z ai1
fi (xi) dxi
=
nYi=1
P [Xi < ai]
donc les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes.
(ii) Rciproquement, supposons que les variables alatoires X1; :::; Xn soient
indpendantes.
La fonction :
Rn ! Rn(x1; :::; xn) 7! f1 (x1) :::fn (xn)
est positive, intgrable et vrie :ZRnf1 (x1) :::fn (xn) dx1:::dxn =
nYi=1
ZRfi (xi) dxi
= 1
donc cest une densit de probabilit.
8
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Dautre part :
PX [ (a)] = P [X1 < a1; :::; Xn < an]
=
nYi=1
P [Xi < ai]
=
nYi=1
Z ai1
fi (xi) dxi
=
Z(a)
f (x1) :::f (xn) dx1:::dxn
On en dduit que cest la densit de X = (X1; :::; Xn), do pour tout
(x1; :::; xn) 2 Rn :
f (x1; :::; xn) =
nYi=1
fi (xi)
6. Oprations sur les Vecteurs Alatoires
6.1. La Somme de Deux Alas Discrets
SoientX et Y deux variables alatoires discrtes dnies sur un espace probabilis
(; T ;P ) :Dterminons la loi de la variable alatoire :
Z = X + Y
Puisque X () et Y () sont des ensembles dnombrables, alors Z () est lui
mme un ensemble dnombrable, et par consquent, Z est une variable alatoire
discrte.
9
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Posons :
I(k) = f(x; y) 2 X () Y () j x+ y = kgAlors :
P [Z = k] =X
(x;y)2I(k)P [X = x; Y = y]
6.2. La Somme de Deux Alas Absolument Continus
Proposition 5Soient X et Y deux variables alatoires telles que le couple (X; Y ) admette unedensit f .Alors la variable alatoire X + Y possde une densit fX+Y dnie pour toutu 2 R par :
fX+Y (u) =
Z +11
f (x; u x) dx
Preuve 5La fonction :
R ! Ru 7!
Z +11
f (x; u x) dx
est une densit de probabilit puisquelle est positive , intgrable et vrie :Z +11
Z +11
f (x; u x) dxdu =
ZR2f (x; u x) dxdu
=
ZR2f (x; y) dxdy
= 1
Dmontrons que cest la densit de la variable alatoire X + Y .
10
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Pour tout t 2 R, dsignons par D (t) le domaine de R2 :
D (t) =(x; y) 2 R2 j x+ y < t
alors :
PX+Y (]1; t[) = P [X + Y < t]= P [(X; Y ) 2 D (t)]=
Z +11
Z tx1
f (x; y) dy
dx
=
Z +11
Z t1
f (x; u x) dudx
=
Z t1
Z +11
f (x; u x) dxdu
Il en rsulte que la densit de probabilit de X + Y est la fonction fX+Y dniepour tout u 2 R par :
fX+Y (u) =
Z +11
f (x; u x) dx
Remarque 3Si X et Y sont de plus indpendantes alors :
fX+Y (u) =
Z +11
f (x; u x) dx
=
Z +11
fX (x) fY (u x) dx
fX+Y nest autre, dans ce cas, que le produit de convolution de fX et fY :
fX+Y = fX fY
11
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Exemple 1Soient X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent des lois expo-nentielles de paramtres et respectivement :
fX (x) =
expx si x > 00 si x 0
fY (y) =
expy si y > 00 si y 0
Calculons la densit de probabilit de la variable alatoire :
Z = X + Y
On a :
fX+Y (u) =
Z +11
f (x; u x) dx
=
Z +11
fX (x) fY (u x) dx
=
8 0
(i) si = alors :
fX+Y (u) =
8 0
=
0 si u 02u exp (u) si u > 0
12
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(ii) si 6= alors :
fX+Y (u) =
8>>>:0 si u 0
exp (u)Z u0
exp ( )xdx si u > 0
=
8>>>:0 si u 0
[exp (u) exp (u)] si u > 0
6.3. Changement de Variables
Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur un espace de proba-
bilit (; T ;P ) de densit de probabilit f:Considrons une transformation S :
Rn ! Rnx 7! y = S (x)
telle que :
(i) S est une transformation bijective
(ii) S est continment direntiable
(iii) le Jacobien DS de S est non nulle.
Proposition 6La densit fSX de S X est donne pour tout x 2 Rn par :
fSX (y) = fXS1 (y)
D1S Preuve 6Cest le thorme de changement de variables dans une intgrale.
13
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
7. Les Moments
Dnition 6Soient (; T ;P ) un espace probabilis et :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire P -intgrable dni sur cet espace.On appelle esprance mathmatique de X, ou moyenne de X, quon note E [X],le vecteur :
E [X] =
2664E [X1]
:
:
E [Xn]
3775
Proposition 7Soit :
X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire P -intgrable et :
g : (Rn;BRn; PX) ! (R;BR)une variable alatoire PX-intgrable.Alors :
E [g X] =ZRng (x) dPX
Preuve 7On a :
E [g X] =Z
g XdP =ZRng (x) dPX
daprs le thorme de transfert de mesure.
14
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Il rsulte de cette dnition que :
(i) si X = (X1; :::; Xn) est un vecteur alatoire discret alors :
E [g X] =X
(x1;:::;xn)2X()g (x1; :::; xn) p (x1; :::; xn)
(ii) si X = (X1; :::; Xn) est un vecteur alatoire absolument continu de
densit f alors :
E [g X] =ZRng (x1; :::; xn) f (x1; :::; xn) dx1:::dxn
Dnition 7SoientX et Y deux variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P )de carrs intgrables.On appelle covariance de X et Y , note Cov [X; Y ], le rel :
Cov [X; Y ] = E [(X E [X]) (Y E [Y ])]X et Y sont dites non corrles si leur covariance est nulle.
En dveloppant, la covariance de X et Y scrit aussi :
Cov [X;Y ] = E [(X E [X]) (Y E [Y ])]= E [XY XE [Y ] E [X]Y + E [X]E [Y ]]= E [XY ] E [X]E [Y ]
Proposition 8SoientX1; :::; Xn n variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P ).
1. Si X1; :::; Xn sont indpendantes alors :
E
"nYi=1
Xi
#=
nYi=1
E [Xi]
15
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
2. Si les variables alatoires Xi et Xj sont indpendantes alors elles sont non
corrles.
3. Si (a1; :::; an) 2 Rn alors :
V
"nXi=1
aiXi
#=
nXi=1
nXj=1
aiajCov [Xi; Xj]
4. Si X1; :::; Xn sont deux deux non corrles alors :
V
"nXi=1
aiXi
#=
nXi=1
a2iV [Xi]
Preuve 81. Si X1; :::; Xn sont indpendantes alors :
P(X1;:::;Xn) = PX1 ::: PXndo :
E
"nYi=1
Xi
#=
ZRnx1:::xndPX1:::dPXn
=
nYi=1
ZRxidPXi
=
nYi=1
E [Xi]
2. Si Xi et Xj sont indpendantes alors :
E [XiXj] = E [Xi]E [Xj]
do :
Cov [Xi; Xj] = 0
Xi et Xj sont donc non corrles.
16
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
3. On a :
V
"nXi=1
aiXi
#= E
24 nXi=1
aiXi E"
nXi=1
aiXi
#!235= E
24 nXi=1
ai (Xi E [Xi])!235
= E
"nXi=1
nXj=1
aiaj (Xi E [Xi]) (Xj E [Xj])#
=
nXi=1
nXj=1
aiajCov [Xi; Xj]
4. Si X1; :::; Xn sont deux deux non corrles alors :Cov [Xi; Xj] = 0 si i 6= jCov [Xi; Xj] = V [Xi] si i = j
do :
V
"nXi=1
aiXi
#=
nXi=1
a2iV [Xi]
Dnition 8SoientX = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire n dimensions et Y = (Y1; :::; Ym)un vecteur alatoire m dimensions dnis sur un espace probabilis (; T ;P ).1. On appelle matrice des covariances de X et Y , la matrice :
E(X E (X))t (Y E (Y )) = [Cov [Xi; Yj]]
2. On appelle matrice des variances et covariances de X, la matrice :
X = E(X E (X))t (X E (X)) = [Cov [Xi; Xj]]
17
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
8. Densit de Probabilit Conditionnelle
Dnition 9Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires de densit f , et notons fX et fYles densits marginales de X et Y respectivement.Soit x 2 R tel que fX (x) soit non nulle.On appelle densit conditionnelle de Y relativement [X = x], la fonctionfY (: j x) dnie pour tout y 2 R par :
fY (y j x) = f (x; y)fX (x)
Proposition 9Pour tout x 2 R, telle que fX (x) soit non nulle, la fonction fY (: j x) dniepour tout y 2 R par :
fY (y j x) = f (x; y)fX (x)
est une densit de probabilit.
Preuve 9En eet, fY (: j x) est positive , intgrable et :Z
RfY (y j x) dy = 1
fX (x)
ZRf (x; y) dy = 1
Remarque 4On dnit de manire analogue la densit conditionnelle de X relativement [Y = y] par :
fX (x j y) = f (x; y)fY (y)
pour tout y 2 R, telle que fY (y) soit non nulle
18
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
9. Esprance Mathmatique Conditionnelle
Dnition 10Soient (X; Y ) un couple de variables alatoires discrtes dnies sur un espaceprobabilis (; T ;P ) :On appelle esprance mathmatique conditionnelle de Y relativement [X = x],lorsquelle existe, le nombre rel :
E [Y j X = x] =Xy2Y ()
yP [Y = y j X = x]
Lapplication :
x 7! E [Y j X = x]est appele aussi la courbe de rgression de Y en X:
Dnition 11Soient (X; Y ) un couple de variables alatoires absolument continues de densitf , et dsignons par fY (: j x) la densit conditionnelle de Y relativement X:On appelle esprance mathmatique conditionnelle de Y relativement [X = x],lorsquelle existe, le nombre rel :
E [Y j X = x] =ZRyfY (y j x) dy
Lapplication :
x 7! E [Y j X = x]est appele aussi la courbe de rgression de Y en X:
19
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Proposition 101. Si g est une fonction mesurable, alors :
E [E [g Y j X = x]] = E [g Y ]2. Si X et Y sont indpendantes, alors :
E [g Y j X = x] = E [g Y ]
Preuve 10Admis
10. La Droite de Rgression
Dnition 12SoientX et Y deux variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P )et possdant des variances non nulles.On appelle coe cient de corrlation linaire, ou coe cient de Pearson, le nombre dni par :
=Cov [X; Y ]
[X] [Y ]
Proposition 111. 1 12. = 1 si et seulement si il existe a > 0 et un rel b tels que : Y = aX + b:
3. = 1 si et seulement si il existe a < 0 et un rel b tels que : Y = aX + b4. = 0 si et seulement X et Y sont non corrles.
20
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Preuve 11Cette proposition dcoule de lingalit de Scharwz.En eet :
jCov [X; Y ]j =Z
(X E [X]) (Y E [Y ]) dP
Z
(X E [X])2 dP 12Z
(Y E [Y ])2 dP 12
[X] [Y ]do la proposition.
Dnition 13On appelle droite de rgression de Y en X, la droite dnie par lquation :
[X] [y E [Y ]] = [Y ] [x E [X]]
Dnition 14La droite scrit aussi :
y = ax+ b
o :
a =Cov [X; Y ]
V [X]
b = E [Y ] aE [X]
Remarque 5On dnit dune manire analogue la droite de rgression de X en Y :
[Y ] [x E [X]] = [X] [y E [Y ]]
21
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
11. Convergence des Variables Alatoires
11.1. Convergence Presque Partout
Dnition 15Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;P ) :On dit que (Xn)n2N converge vers X presque srement ou presque partout ausens de la probabilit P (P -p.s ou P -p.p), sil existe A 2 T , P [A] = 1, telleque Xn (!) converge vers X (!) pour tout ! 2 A:
11.2. Convergence en Probabilit
Dnition 16Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;P ) :On dit que (Xn)n2N converge en probabilit vers une variable alatoire X dniesur (; T ;P ) si pour tout " > 0 on a :
limn!1P [jXn Xj > "] = 0
11.3. Convergence en Loi
Dnition 17SoitXn, n 2 N, une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;Pn) de fonction de rpartition Fn et soit X une variable alatoire dniesur un espace probabilis (; T ;P ) de fonction de rpartition F:On dit que (Xn)n2N converge en loi vers Xsi Fn (t) converge vers F (t) en toutpoint t de continuit de F .
22
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
11.4. Convergence en Norme dOrdre p
Soit Lp (; T ;P ) lespace des variables alatoires X telles que jXjp soit in-tgrable et dsignons par k:kp la norme :
kXkp =Z
jXjp dP 1p
Dnition 18Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur L
p (; T ;P ) et X unevariable alatoire de Lp (; T ;P )On dit que (Xn)n2N converge en norme dordre p vers X si :
limn!1 kXn Xkp = 0
11.5. Comparaison des Convergences
Convergence presque sre Convergence k:k2
+ +
Convergence en probabilit (= Convergence k:k1
+
Convergence en loi
23
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
12. Lois Faibles des Grands Nombres
Proposition 12Soit :
X : (; T ;P ) ! (R;BR)une variable alatoire admettant une moyenne et une variance nie non nulle2.Si (X1; :::; Xn) est un n-chantillon de variable parente X, alors pour tout " > 0on a :
limn!1P
1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " = 0
Preuve 12Posons :
Mn =1
n(X1 + :::+Xn)
on a :
E [Mn] = E [X]
V [Mn] =V [X]
n
Daprs lingalit de Bienaym-Tchebychev :
8" > 0 : P [jMn E [Mn]j > "] V [Mn]"2
do :
P
1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " V [X]n"2
et par consquent :
limn!1P
1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " = 0
24
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Proposition 13Soient A 2 T et X = A:La frquence
1
n(X1 + :::+Xn) darrive de A en n preuves indpendantes
converge en loi vers P [A].Cest la loi des grands nombres de Bernouilli
Preuve 13Si X = A, A 2 T , alors :
E [X] = P [A]
do le rsultat.
13. Thorme Centrale Limite
Proposition 14Soit :
X : (; T ;P ) ! (R;BR)une variable alatoire admettant une moyenne et une variance nie non nulle2 et soit (X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X.La variable alatoire : p
n
1
n(X1 + :::+Xn) E [X]
converge en loi vers une variable alatoire normale centre rduite.
Preuve 14Dmontrons que la fonction caractristique n de la variable alatoire :
pn
1
n(X1 + :::+Xn) E [X]
25
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
converge vers la fonction caractristique de la variable alatoire normale centrerduite, savoir :
N (t) = exp12t2
Dsignons par la fonction caractristique de la variable alatoire X E [X] :Comme :
pn
1
n(X1 + :::+Xn) E [X]
=
nXi=1
Xi E [X]pn
alors :
n (t) =
t
pn
nEt comme est deux fois continment direntiable, alors :
(0) = 1
0 (0) = 000 (0) = 2
puisque :
(k) (0) = ikE [X]
Il en rsulte, daprs la formule de Taylor, que :
t
pn
1 t
2
2n
do :
lnn (t) = n ln
t
pn
n ln
1 t
2
2n
1
2t2
On conclut que :
limn!1n (t) = exp
1
2t2
26
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Remarque 6Posons :
Mn =1
n(X1 + :::+Xn)
Mn est la moyenne empirique du n-chantillon.On a : 8>>>:
E [Mn] = E [X] =
V [Mn] =V [X]
n=2
nDaprs le thorme centrale limite, la variable alatoire centre rduite associe la moyenne empirique Mn :
Mn pn
converge vers une variable alatoire normale centre rduite.En consquence, pour n assez grand, la loi de Mn peut tre rapproche par la
loi normale N;2
n
:
Mn N;2
n
Remarque 7Posons :
Sn = X1 + :::+Xn
On a alors : 8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
converge en loi vers une variable normale centre rduite, et par consquent, pourn assez grand, la loi de Sn peut tre rapproche par la loi normale N
n; n2
:
Sn Nn; n2
13.1. Cas de la loi binomiale
Soit X une variable de Bernouilli de paramtre p, 0 < p < 1, et soit
(X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X.
La variable alatoire :
Sn = X1 + :::+Xn
est donc une variable binomiale dordre n et de paramtre p : B (n; p). Deplus on a : 8 0, etsoit (X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X:
28
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
La variable alatoire :
Sn = X1 + :::+Xn
est donc une variable de Poisson de paramtre n : P (n). De plus :8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
14. Exercices
Exercice 1Soit (; T ;P ) un espace de probabilit, et A et B deux vnements de cet espacetels que :
P [A] = P [A j B] = 12P [B j A] = 1
4Soient X et Y les variables alatoires indicatrices de A et B respectivement.
1. X et Y sont elles indpendantes ?
2. X et Y ont-elles une mme loi de probabilit ?
3. Calculer :
PX2 + Y 2 = 1
, P
X2Y 2 = XY
Solution 1On a :
X = A et Y = B
1. Puisque :
P [A] = P [A j B]on en dduit que les vnements A et B sont indpendants.
Il en rsulte que les variables alatoires X = A et Y = B sont aussi
indpendantes.
2. Comme :
P [A] 6= P [B]les variables alatoires X et Y ne suivent pas la mme loi de probabilit.
30
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(a) Puisque :X2 + Y 2 = 1
= [(X; Y ) = (1; 0)] [(X; Y ) = (0; 1)]
et vu lindpendance de X et Y , on a :
PX2 + Y 2 = 1
= P [(X;Y ) = (1; 0)] + P [(X; Y ) = (0; 1)]
= P [X = 1]P [Y = 0] + P [X = 0]P [Y = 1]
= P [A]PB+ P
AP [B]
=1
2
(b) On a X2 = X et Y 2 = Y
=) X2Y 2 = XY
et par consquent :
PX2Y 2 = XY
= 1
Exercice 2On considre un couple (X; Y ) de variables alatoirs prenant les valeurs (i; j)dans f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g avec les probabilits indiques sur le tableau :
YX 0 1 2 3
0 0:1 0:2 0:1 0:1
1 0:1 0:0 0:0 0:1
2 0:1 0:0 0:2 0:0
1. Dterminer les probabilits marginales de X et Y .
2. X et Y sont elles indpendantes ?
3. Calculer les esprances mathmatiques de X et Y ainsi que leurs variances.
31
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
4. Former les tableaux des probabilits conditionnelles de X relativement Y et
de Y relativement X:
5. Dterminer la distribution de probabilit de la variable alatoire :
U = XY
et calculer lesprance mathmatique de U:
6. Dterminer la droite de rgression de Y en X et tracer son graphe.
Solution 21. On ajoute au tableau initial une ligne et une colonne sur lesquelles on indique
les lois marginales de X et de Y qui sont dnies par :
PX (i) = P [X = i]
=
2Xj=0
P [X = i; Y = j] ; i 2 f0; 1; 2; 3g
et :
PY (j) = P [Y = j]
=
3Xi=0
P [X = i; Y = j] ; j 2 f0; 1; 2g
do le tableau :
YX 0 1 2 3 PY
0 0:1 0:2 0:1 0:1 0:5
1 0:1 0:0 0:0 0:1 0:2
2 0:1 0:0 0:2 0:0 0:3
PX 0:3 0:2 0:3 0:2 1
32
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
2. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :
P [X = 1; Y = 1] = 0
alors que :
P [X = 1] 6= 0et :
P [Y = 1] 6= 0
(a) On a :
E [X] =3Pi=0
iP [X = i] = 1:4
EX2=
3Pi=0
i2P [X = i] = 3:2
V [X] = EX2 E [X]2 = 1:24
(b) de mme :
E [Y ] =2Pj=0
jP [Y = j] = 0:8
EY 2=
2Pj=0
j2P [Y = j] = 1:4
V [Y ] = EY 2 E [Y ]2 = 0:76
(a) La loi conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout (i; j) 2f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g par :
P [Y = j j X = i] = P [(X;Y ) = (i; j)]P [X = i]
33
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do le tableau :
YX 0 1 2 3
01
31
1
3
1
2
11
30 0
1
2
21
30
2
30
(b) La loi conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout (i; j) 2f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g par :
P [X = i j Y = j j] = P [(X;Y ) = (i; j)]P [Y = j]
do le tableau :
YX 0 1 2 3
01
5
2
5
1
5
1
5
11
20 0
1
2
21
30
2
30
3. Posons :
U = XY
Dsignons par I (k) lensemble :
I (k) = f(i; j) 2 f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g j ij = kgAn de dterminer les valeurs k prises par la variable alatoires U , et les
ensembles I (k) correspondants, il serait plus judicieux de former le tableau
34
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
du produit de X et Y :
YX 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 4 6
Alors la loi de probabilit de U est dnie par :
P [U = k] =X
(i;j)2I(k)P [(X; Y ) = (i; j)]
do :
k 0 3 4
PU (k) 0:7 0:1 0:2
Lesprance mathmatique de U est donne par :
E [U ] = 0 P [U = 0] + 3 P [U = 3] + 4 P [U = 4]= 1:1
4. Dterminons dabord la covariance de X et Y :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= E [U ] E [X]E [Y ]= 0:02
Dterminons maintenant les coe cients a et b de la droite rgression de Y en
X :
y = ax+ b
35
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
On a :
a =Cov [X; Y ]
V [X]= 1
62et
b = E [Y ] aE [X] = 5162
do la droite rgression de Y en X :
y = 162[x 51]
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
x
y
y = 162[x 51]
Exercice 3On considre un sac contenant sept billes blanches et trois billes noires duquelon eectue deux tirages sans remise.Soit X la variable alatoire dont la valeur est :
? 0 si le premier tirage donne une bille blanche? 1 si le premier tirage donne une bille noire.
Soit Y la variable alatoire dont la valeur est :
? 0 si le second tirage donne une bille blanche? 1 si le second tirage donne une bille noire.
36
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple (X;Y ) et indiquer sur ce
tableau les lois marginales de X et Y:
2. Dterminer la matrice des variances et covariances de (X; Y ) :
3. X et Y sont elles indpendantes ?
4. Dterminer la droite de rgression de Y en X et tracer son graphe.
Solution 31.
Tableau des lois conjointe et marginales de X et Y
XY 0 1 PX
042
90
21
90
7
10
121
90
6
90
3
10
PY7
10
3
101
X et Y suivent une mme loi de probabilit, cest la loi de Bernouilli de
paramtre p =3
10.
2. On a :
EXk= E
Y k=
1Xi=0
ikP [X = i] =3
10
do :
V [X] = V [Y ] = EX2 E [X]2
=21
100
37
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Aussi, on a :
E [XY ] =
1Xi=0
1Xj=0
ijP [X = i; Y = j]
=1
15
do la covariance de X et Y :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= 7
300
La matrice des variances et covariances de (X; Y ) est dnie par :
(X;Y ) =
24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]
35
=
2666421
100 7300
7300
21
100
377753. Puisque la covariance de X et Y est non nulle, on en dduit que X et Y ne
sont pas indpendantes.
4. Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X :
y = ax+ b
On a :
a =Cov [X; Y ]
V [X]= 1
9et
b = E [Y ] aE [X] = 13
38
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
do la droite rgression de Y en X :
y = 19[x 3]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-0.2
0.2
0.4
0.6
x
y
y = 19[x 3]
Exercice 4Un sac contient n jetons numrots de 1 n, n 3:On en tire successivement trois, sans remise.On appelle X la variable alatoire gale au plus grand des trois nombres lus surles trois jetons tirs, et Y la variable alatoire gale celui des trois nombres lusdont la valeur est intermdiaire entre les deux autres.Dterminer les lois de probabilit de X et Y ainsi que leurs esprances math-matiques.
Solution 4Soit Ji,1 i 3, la variable alatoire gale au numro port par le ieme jetontir.
(i) On a :
X = sup (J1; J2; J3)
39
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
et pour tout k 2 f3; 4; :::; ng :[X = k] = [J1 = k; J2 < k; J3 < k] [J1 < k; J2 = k; J3 < k]
[J1 < k; J2 < k; J3 = k]et comme :
P [J1 = k; J2 < k; J3 < k] = P [J1 < k; J2 = k; J3 < k]
= P [J1 < k; J2 < k; J3 = k]
=(k 1) (k 2)n (n 1) (n 2)
on en dduit :
P [X = k] = 3P [J1 = k; J2 < k; J3 < k]
= 3(k 1) (k 2)n (n 1) (n 2)
Lesprance mathmatique de X est :
E [X] =
nXk=3
kP [X = k]
=3
4(n+ 1)
(ii) Soit S3 le groupe des permutations de f1; 2; 3g.Pour tout k 2 f2; 4; :::; n 1gon a :
[Y = k] =M2S3
J(1) = k; J(2) < k; J(3) > k
Or pour tout 2 S3 :
PJ(1) = k; J(2) < k; J(3) < k
=(k 1) (n k)n (n 1) (n 2)
40
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
donc :
P [Y = k] = Card S3PJ(1) = k; J(2) < k; J(3) > k
= 6
(k 1) (n k)n (n 1) (n 2)
Lesprance mathmatique de Y est :
E [Y ] =
n1Xk=2
kP [Y = k] =(n+ 1)
2
Exercice 5Soient X1; :::; Xn n variables alatoires indpendantes.Chacune de ces variables prend les valeurs 1 et 1 avec une probabilit gale 1
2pour chacune de ces valeurs.
Soit :
Zn = X1 + :::+Xn
Quelle est la probabilit pour que la variable alatoire jZnj soit minimum ?
Solution 5(i) Si n est pair gal 2k, alors la valeur minimum prise par jZnj est 0; de plus :
P [jZnj = 0] = P [Zn = 0]
= C (2k; k)
1
2
k 1
2
2kk= C (2k; k)
1
2
2k(ii) Si n est impair gal 2k+1, alors la valeur minimum prise par jZnj est 1; de
plus :
[jZnj = 1] = [Zn = 1] [Zn = 1]
41
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
P [jZnj = 1] = P [Zn = 1] + P [Zn = 1]
= C (2k + 1; k + 1)
1
2
k+11
2
k+ C (2k + 1; k)
1
2
k 1
2
k+1= 2C (2k + 1; k)
1
2
2k+1et nalement :
P [jZnj = 1] = C (2k + 1; k)1
2
2k
Exercice 6On jette n ds parfaitement quilibrs:Soit Mn la variables alatoire gale la moyenne des points obtenus.
1. Calculer lesprance mathmatique et la variance de Mn:
2. Dterminer n pour que lcart-type de Mn soit strictement infrieur 0:01:
Solution 6Dsignons par Di, 1 i n, la variable alatoire gale au point amen par leieme d.D1; :::; Dn sont indpendantes et suivent une mme loi de probabilit : la loi estuniforme sur lensemble f1; 2; 3; 4; 5; 6g :
P [Di = k] =1
6; k 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g
Pour tout i, 1 i n, On a :E [Di] =
7
2ED2i=91
6V [Di] =
35
12
Puisque :
Mn =1
n
nXi=1
Di
42
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
et vu que les variables alatoires D1; :::; Dn sont indpendantes et suivent unemme loi de probabilit alors :
E [Mn] = E [Di] =7
2
V [Mn] =1
nV [Di] =
35
12nAinsi :
[Mn] 102 =) n 3512104
=) n 29167
Exercice 7On considre le systme dquations :
u + 2v = 5
Xu + Y v = Z
o X, Y et Z sont trois variables alatoires indpendantes de lois respectives :8>>>>>>>:8i 2 f1; 3; 5; 7; 9g P [X = i] = 1
5
8j 2 f2; 4; 6; 8; 10g P [Y = j] = 15
8k 2 f1; :::; 10g P [Z = k] = 110
Quelles sont les probabilits pour que le systme ait :
1. une innit de solution ?
2. aucune solution ?
3. une solution unique ?
4. Quelle est la probabilit que le systme admette la solution unique (1; 2) ?
43
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 7Considrons les vnements :
S1 : le systme admet une innit de solutions
S2 : le systme nadmet aucune solution
S3 : le systme a une solution unique
S4 : le systme admet la solution unique (1; 2)
et posons :
= f1; 3; 5; 7; 9g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g
1. Le systme admet une innit de solutions si et seulement si :
X
1=Y
2=Z
5
donc si et seulement si :
(X; Y; Z) = (1:2:5)
do :
P [S1] =1
card
=1
250
2. Le systme nadmet aucune solution si et seulement si :
X
1=Y
26= Z5
Posons :
S21 = f(1; 2; k) j k 2 f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10gg
S22 = f(3; 6; k) j k 2 f1; :::; 10gg
S23 = f(5; 10; k) j k 2 f1; :::; 10gg
44
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
alors :
P [S2] =card S21card
+card S22card
+card S23card
=9
250+10
250+10
250
=29
250
3. Le systme admet une solution unique si et seulement si :
Y 2X 6= 0Posons :
S31 = f1g f4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g
S32 = f3g f2; 4; 8; 10g f1; :::; 10g
S33 = f5g f2:4; 6; 8g f1; :::; 10g
S34 = f7g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g
S35 = f9g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10galors :
P [S3] =card S31card
+card S2card
+card S33card
+card S34card
+card S35card
=40
250+40
250+40
250+50
250+50
250
=22
25
4. Le systme admet la solution unique (1; 2) si et seulement si :8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
donc, si et seulement si :
(X:Y:Z) 2 f(1; 4; 9) ; (3; 2; 7) ; (5; 2; 9)gdo :
P [S4] =3
250
Exercice 8Soit X1; :::; Xn des variables alatoires indpendantes qui suivent une mme loide probabilit telle que :
8i 2 f1; :::; ng :
P [Xi = 1] = P [Xi = 1] = 1
o est un paramtre rel appartenant ]0; 1[ :Pour tout k, 1 k n, on pose :
Yk =
kYi=1
Xi
1. Calculer lesprance mathmatique de Yk:
2. En dduire la loi de probabilit de Yk:
3. Dterminer les valeurs de pour lesquelles les variables Y1; :::; Yn sont deux
deux non corrles.
Solution 81. Puisque les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes alors :
E [Yk] = E
"kYi=1
Xi
#
=
kYi=1
E [Xi]
= (E [X1])k
46
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Or :
E [X1] = 1 P [X1 = 1] + (1) P [X1 = 1]= 2 1
do :
E [Yk] = (2 1)k
2. Puisque la variable alatoire Yk ne prend que les valeurs 1 et 1 alors :E [Yk] = 1 P [Yk = 1] + (1) P [Yk = 1]
= 2P [Yk = 1] 1do :
P [Yk = 1] =1
2(E [Yk] + 1)
=1
2
1 + (2 1)k
et par consquent :
P [Yk = 1] = 12
1 (2 1)k
En rsum, la loi de probabilit de Yk,1 k n. est donne par :8>>>>>:
P [Yk = 1] =1
2
1 + (2 1)k
P [Yk = 1] = 1
2
1 (2 1)k
3. Remarquons dabord que les variables X21 ; :::; X
2n sont indpendantes.
Soit alors i et j des entiers de f1; :::; ng, et sans perte de gnralits, supposonsi < j :
47
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
E [YiYj] = E
" iYk=1
Xk
! jYk=1
Xk
!#
= E
" iYk=1
X2k
! jY
k=i+1
Xk
!#
=
iYk=1
EX2k! jY
k=i+1
E [Xk]
!
= (E [X1])ji
= (2 1)ji
puisque pour tout k, 1 k n, on a :EX2k= 1
Dautre part :
E [Yi]E [Yj] = (2 1)i+j
Ainsi, les variables alatoires Yi et Yj sont non corrles si et seulement si :
E [YiYj] = E [Yi]E [Yj]
donc, si et seulement si :
(2 1)ji = (2 1)i+j
Si :2 1 6= 0
alors :
(2 1)2i = 1ce qui est impossible puisque =2 f0; 1g :
48
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Si :2 1 = 0
alors :
=1
2En rsum, les variables alatoires Yi et Yj sont non corrles si et seule-
ment si :
=1
2
Exercice 9Soit (Xn)n1 une suite de variables alatoires indpendantes qui suivent toutesla mme loi de Bernouilli de paramtre p, 0 < p < 1:On dnit la suite (Yn)n1 par :8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 9Xn, n 1, suit la mme loi de Bernouilli de paramtre p, donc :
P [Xn = 0] = 1 pP [Xn = 1] = p
de plus : E [Xn] = p
V [Xn] = p (1 p)
1. Dmontrons par rcurrence sur n, n 1, que :
Yn =
nXk=0
k (Xnk m)
Pour n = 1, on obtient :Y1 = X1 m
donc, la relation est vraie.
Supposons que pour tout n, n 1, on a :
Yn =
n1Xk=0
k (Xnk m)
Alors :
Yn+1 = Yn +Xn+1 m
=
"n1Xk=0
k (Xnk m)#+Xn+1 m
=
n1Xk=0
k+1 (Xnk m) +Xn+1 m
50
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Yn+1 =
nXk=1
k (Xn+1k m) +Xn+1 m
=
nXk=0
k (Xn+1k m)
do la relation.
2. On a :
E [Yn] = E
"n1Xk=0
k (Xnk m)#
=
n1Xk=0
k (E [Xnk]m)
= (pm)n1Xk=0
k
=
8>>>:n (pm) si = 1
1 n1 (pm) si 6= 1
et :
V [Yn] = E
"n1Xk=0
k (Xnk m)#
=
n1Xk=0
2kV [Xnk]
= p (p 1)n1Xk=0
2k
=
8>>>:np (p 1) si jj = 1
1 2n1 2 p (p 1) si jj 6= 1
51
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
3. Puisque les variables X1; :::; Xn sont indpendantes alors :
Cov [Xi; Xj] = 0 ; i 6= jdo :
Cov [Yn; Yn+s] = Cov
"n1Xi=0
iXni;n+s1Xj=0
jXn+sj
#
=
n1Xi=0
n+s1Xj=0
i+jCov [Xni; Xn+sj]
Or :
Cov [Xni; Xn+sj] =
0 si i 6= j sV [Xni] si i = j s
=
0 si i 6= j s
p (1 p) si i = j sdo :
Cov [Yn; Yn+s] =
8>>>>>>>>>>>:
np (1 p) si = 1
(1)s np (1 p) si = 1
1 2n1 2
sp (p 1) si jj 6= 1
Exercice 10Soit Xet Y deux variables alatoires indpendantes valeurs dans f1; 0; 1gtelles que : 8>:
P [X = 1] = p1 0 p1 12
P [X = 1] = p2 0 p2 12
et :
P [Y = 1] = P [Y = 0] = P [Y = 1]
52
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. Dterminer la loi de
S = X + Y
2. On dnit la variable alatoire Z par :
Z =
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
P [S = 0] = P [X = 1; Y = 1] + P [X = 0; Y = 0] + P [X = 1; Y = 1]=
1
3
P [S = 1] = P [X = 0; Y = 1] + P [X = 1; Y = 0]
=1 p13
P [S = 2] = P [X = 1; Y = 1]
=p23
En rsum :
k 2 1 0 1 2
P [S = k]p13
1 p23
1
3
1 p13
p23
(a) On a :
P [Z = 1] = P [X + Y = 0]
= P [S = 0]
=1
3
do :
P [Z = 2] = P [X + Y 6= 0]= 1 P [X + Y = 0]=
2
3
En rsum : 8>>>>>:P [Z = 1] =
1
3
P [Z = 2] =2
3
54
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(b) On a :
EZ2
= V [Z] + (E [Z])2
= 11
Dautre part :8>>>>>:E [Z] = 1P [Z = 1] + 2P [Z = 2] =
1 + 223
EZ2
= 21P [Z = 1] + 22P [Z = 2] =
21 + 222
3
do :8>>>>:1 + 223
= 3
21 + 222
3= 11
=) (1; 2) 2 f(1:4) ; (5:2)g
Exercice 11Soit X une variable alatoire possdant une moyenne et une variance 2, etsoit (X1; :::; Xn) un n-chantillon issu X:Dterminer lesprance mathmatique et la variance de la variable alatoire :
M =1
n
nXk=1
Xi
Solution 11Notons dabord que pour tout i 2 f1; :::; ng on a :
E [Xi] = E [X] =
V [Xi] = V [X] = 2
55
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
E [M ] = E
"1
n
nXk=1
Xi
#
=1
n
nXk=1
E [Xi]
=
et :
V [M ] = V
"1
n
nXk=1
Xi
#
=1
n2
nXk=1
V [Xi]
puisque les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes. Il sen suit que :
V [M ] =2
n
Exercice 12Soient X1; :::; Xn des variables alatoires indpendantes de fonctions de rparti-tion F1; :::; Fn respectivement.On considre les variables alatoires :8
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Solution 121. Notons FU et FV les fonctions de rpartition des variables alatoires U et V
respectivement.
(a) Pour tout u 2 R on a :FU (u) = P [U < u]
= P [max (X1; :::; Xn) < u]
= P [X1 < u; :::; Xn < u]
=
nYk=1
P [Xk < u]
=
nYk=1
Fk (u)
(b) Pour tout v 2 R on a :FV (v) = P [V < v]
= P [min (X1; :::; Xn) < v]
= 1 P [min (X1; :::; Xn) v]= 1 P [X1 v; :::; Xn v]
= 1nYk=1
P [Xk v]
= 1nYk=1
(1 P [Xk < v])
= 1nYk=1
[1 Fk (v)]
2. dsignons par f1; :::; fn les densits de probabilit deX1; :::; Xn respectivement
et par fU et fV les densits de probabilit de U et V respectivement.
57
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(a) Pour tout u 2 R on a :
fU (u) =d
duFU (u)
=
nXi=1
fi (u)
24Yk 6=i
Fk (u)
35(b) Pour tout v 2 R on a :
fV (v) =d
dvFV (v)
=
nXi=1
fi (v)
24Yk 6=i(1 Fk (v))
353. Dsignons par F et f la fonction de rpartition et la densit de probabilit de
X respectivement.
On a alors :
F1 = ::: = Fn = F
f1 = ::: = fn = f
Il en rsulte que :
(a) pour tout u 2 R on a :FU (u) = [F (u)]
n
et :
fU (u) = nf (u) [F (u)]n1
(b) pour tout v 2 R on a :FV (v) = 1 [1 F (v)]n
et :
fV (v) = nf (v) [1 F (v)]n1
58
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Exercice 13Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires admettant une densit f , et dsignonspar fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.Posons :
D (X; Y ) =(x; y) 2 R2 : f (x; y) 6= 0
D (X) = fx 2 R : fX (x) 6= 0gD (Y ) = fy 2 R : fY (y) 6= 0g
1. Montrer que :
D (X; Y ) D (X)D (Y )2. Montrer que si les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors :
D (X; Y ) = D (X)D (Y )
Solution 13Dsignons par fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.
1. Pour tout (x; y) 2 R2 on a :f (x; y) = fX (x) fY (y j x) = fY (y) fX (x j y)
Il en rsulte que si :
f (x; y) 6= 0alors :
fX (x) 6= 0 et fY (y) 6= 0et par consquent :
D (X;Y ) D (X)D (Y )
59
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
2. Si les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors pour tout (x; y) 2R2 on a :
f (x; y) = fX (x) fY (y)
et par suite :
f (x; y) 6= 0() fX (x) 6= 0 et fY (y) 6= 0do :
D (X; Y ) = D (X)D (Y )
Exercice 14Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires absolument continues admettantune densit f telle que :
8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)Montrer que les variables alatoires X et Y suivent une mme loi de probabilit.
Solution 14Dsignons par fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.Pour tout x 2 R on a :
fX (x) =
ZRf (x; y) dy
=
ZRf (y; x) dy
= fY (x)
do le rsultat.
60
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Exercice 15On considre les alas X1; :::; Xn dnis sur un espace probabilis (;T; P ) valeurs dans un espace probabilisable (E ;B).La loi de (X1; :::; Xn) est dite symtrique si lon a pour tout A1 2 B; :::; An 2 Bet toute permutation de f1; ::; ng :
P [X1 2 A1; ::; Xn 2 An] = PX1 2 A(1); ::; Xn 2 A(n)
1. Montrer que si la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique, alors pour tout k dans
f1; :::; ng, les k-marges de (X1; :::; Xn) suivent la mme loi.2. Montrer que si (X1; :::; Xn) est un n-chantillon dala parent X alors la loi
de (X1; :::; Xn) est symtrique.
3. On eectue n tirages successifs, avec remise, dans une urne et on dsigne par
Xi, 1 i n, le rsultat du ieme tirage.Montrer que la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.
Solution 15Notons que pour toute permutation de f1; ::; ng et pour toutA1 2 B; :::; An 2B on a :
P [X1 2 A1; ::; Xn 2 An] = PX(1) 2 A(1); ::; X(n) 2 A(n)
1. Soit k 2 f1; :::; ng, et considrons la k-marge (i1; :::; ik), et posons :
fik+1; ::; ing = f1; ::; ng fi1; ::; ikgSoit la permutation de f1; ::; ng telle que :
(ik) = k
Soit A1 2 B; ::; Ak 2 B et posons :Aj = E ; k + 1 j n
On a :
61
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
P [Xi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak]
= PXi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak; Xik+1 2 E1; ::; Xin 2 E
= P
Xi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak; Xik+1 2 Ak+11; ::; Xin 2 An
= P
X1 2 A(1); ::; Xk 2 A(k); X(ik+1) 2 A(k+1)1; ::; X(in) 2 A(n)
= P
X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak; X(ik+1) 2 Ak+11; ::; X(in) 2 An
= P
X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak; X(ik+1) 2 E1; ::; X(in) 2 E
= P [X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak]
Il en rsulte que toute les k-marges de (X1; :::; Xn) ont la mme loi.
2. Soit (X1; :::; Xn) un n-chantillon dala parent X
(X1; :::; Xn) sont donc n alas indpendants qui suivent tous la mme loi
que lala X, do pour tout A1 2 B; ::; An 2 B et toute permutation 2 f1; ::; ng on a :
P [X1 2 A1; :::; Xn 2 An] =nYi=1
P [Xi 2 Ai]
=
nYi=1
P [X 2 Ai]
=
nYi=1
PX 2 A(i)
=
nYi=1
PXi 2 A(i)
= P
X1 2 A(1); :::; Xn 2 A(n)
donc la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.
62
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
3. On suppose que les tirages sont eectus avec remise.
Dans ce cas, (X1; :::; Xn) un n-chantillon dala parent X, o X reprsente
le rsultat obtenu lorsquon eectue un tirage de lurne. Il en rsulte, daprs
la question prcdente, que la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.
Exercice 16Soit F la fonction de rpartition dun couple de variables alatoires (X; Y ) :
F (x; y) =
(1 ex) (1 ey) si x 0 et y 00 si x < 0 ou y < 0
1. Calculer la densit f de (X; Y ) :
2. Quelles sont les densits marginales de X et Y:
3. X et Y sont elles indpendantes ?
4. Quelle est la fonction de rpartition de Z = X + Y ?
Solution 16On a :
F (x; y) =
(1 ex) (1 ey) si x 0 et y 00 si x < 0 ou y < 0
1. En tout point (x; y) 2 R2 f(0; 0)g on a :
f (x; y) =@2
@x@yF (x; y)
=
exp (x+ y) si x > 0 et y > 00 si x < 0 ou y < 0
2. Puisque la densit f du couple (X; Y ) est symtrique :
8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)donc les variables alatoires X et Y ont une mme loi de probabilit.
63
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(a) On a :
fX (x) =
ZRf (x; y) dy
=
8>>>:0 si x 0Z +10
exp (x+ y) dy si x > 0
=
8 0et donc :
fY (y) = fX (y)
=
0 si y 0expy si y > 0
(b) Les variables alatoires X et Y sont indpendantes puisque pour tout
(x; y) 2 R2 :f (x; y) = fX (x) fY (y)
3. Dterminons dabord la densit de :
Z = X + Y
On a :
fZ (z) =
ZRf (x; z x) dx
=
8 0
=
0 si z 0z expz si z > 0
64
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Ainsi, la fonction de rpartition FZ de Z est :
FZ (z) =
Z z1
fZ (t) dt
=
8>>>:0 si z 0Z z0
t exp (t) dt si z > 0
=
8 0
Exercice 17Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires de densit de probabilit :
f (x; y) =
8 0
0 ailleurs
1. Dterminer la constante K:
2. Calculer la matrice des variances et covariances de (X; Y ) :
3. X et Y sont elles indpendantes ?
4. Dterminer la droite de rgression de Y en X et tracer son graphe.
5. Calculer les densits de probabilit conditionnelles de Y relativement X, et
de X relativement Y:
Solution 17Soit D le domaine limit par le triangle de sommets (0; 0) ; (0; 1) et (1; 0).Ladensit du couple (X; Y ) est dnie par :
f (x; y) =
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Le domaine D
1. On a :
1 =
ZZR2f (x; y) dxdy
= K
ZZD
dxdy
= KA (D)
=K
2
do :
K = 2
2. Puisque la densit f du couple (X; Y ) est symtrique :
8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)donc les variables X et Y suivent une mme loi de probabilit.
(a) On a :
fX (x) =
ZRf (x; y) dy
66
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
do :
fX (x) =
8>>>:Z 1x0
2dy si x 2 ]0; 1[
0 si x =2 ]0; 1[
=
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
V [X] = EX2 E [X]2
=1
18= V [Y ]
(c) On a :
E [XY ] =
ZZR2xyf (x; y) dxdy
=
ZZD
2xydxdy
=
Z 10
Z 1x0
2xydy
dx
=1
12
do :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= 1
36
(d) La matrice des variances et covariances de (X;Y ) est dnie par :
(X;Y ) =
24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]
35
=
266641
18 136
136
1
18
37775
3. Puisque la covariance de X et Y est non nulle, on en dduit que X et Y ne
sont pas indpendantes.
68
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
4. Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X :
y = ax+ b
On a :
a =Cov [X; Y ]
V [X]= 1
2et
b = E [Y ] aE [X] = 12
do la droite rgression de Y en X :
y = 12[x 1]
-2 -1 1 2
-0.75-0.50-0.25
0.250.500.751.001.251.501.75
x
y
La droite de regression deY en X
5. Calculons les densits de probabilit conditionnelles de Y relativement X,
et de X relativement Y:
(a) Pour tout x 2 ]0; 1[, la densit conditionnelle de Y relativement [X = x]est donne par :
fY (y j x) = f (x; y)fX (x)
69
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
fY (y j x) =
8>>>:1
1 x si y 2 ]0; 1 x[
0 si y =2 ]0; 1 x[(b) Pour tout y 2 ]0; 1[, la densit conditionnelle deX relativement [Y = y]
est donne par :
fX (x j y) = f (x; y)fY (y)
=
8>>>:1
1 y si x 2 ]0; 1 y[
0 si x =2 ]0; 1 y[
Exercice 18Un triplet de variables alatoires (X; Y; Z) a une loi conjointe qui admet unedensit de probabilit f telle que :
X suit la loi uniforme sur lintervalle [0; 1] dont la densit est note fX Y admet une densit de probabilit conditionnelle relativement la variableX telle que :
fY (y j x) =8
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. Donner lexprssion de f:
2. Quelles sont les lois marginales de Y et Z ?
3. Quelle est la loi conditionnelle de (X; Y ) relativement Z ?
4. On pose : 8 0
et :
D(X;Y ) =(x; y) 2 R2 j 0 x 1 ; x < y
1. Pour tout (x; y; z) 2 R3 on a :
f (x; y; z) =
fX (x) fY (y j x) fZ (z j x; y) si (x; y; z) 2 D0 si (x; y; z) =2 D
do :
f (x; y; z) =
(y x)2 exp (1 + z) (y x) si (x; y; z) 2 D0 si (x; y; z) =2 D
(a) La densit f(X;Y ) du couple (X; Y ) est donne par :
f (x; y) = fX (x) fY (y j x)
=
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
fY (y) =
ZRf (x; y) dx
=
Z inf(1;y)0
(y x) exp (y x) dx
(i) si y 2 ]0; 1[ alors :
fY (y) =
Z y0
(y x) exp (y x) dx= 1 (1 + y) expy
(ii) si y 2 ]1;+1[ alors :
fY (y) =
Z 10
(y x) exp (y x) dx= [(e 1) y 1] expy
(iii) En rsum :
fY (y) =
8>>:0 si z 0Z 10
Z +1y
(y x)2 exp (1 + z) (y x) dydx si z > 0
=
8>>>:0 si z 0
2
(1 + z)3si z > 0
72
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
2. Calculons la densit conditionnelle de (X; Y ) relativement Z.
Pour tout z 2 ]0;+1[ on a :
f(X;Y ) (x; y j z) = f (x; y; z)fZ (z)
=
8>:1
2(y x)2 (1 + z)3 e(1+z)(yx) si (x; y) 2 D(X;Y )
0 si (x; y) =2 D(X;Y )(a) Le changement : 8:X = X
Y = X + U
Z =V
ULe Jacobien de cette dernire transformation est :
1 0 0
1 1 0
0 vu2
1
u
=1
u
do, la densit du triplet (X;U; V ) est donne par :
f(X;U;V ) (x; u; v) = fx; x+ u;
v
u
jJ j
=
8 0 ; v > 0
0 ailleurs
73
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(b) Calculons les densits marginales fU et fV de U et V respectivement :
fU (u) =
ZZR2f (x; u; v) dxdv
=
8>>>:0 si u 0Z 10
Z +10
u exp (u+ v) dvdx si u > 0
=
8 0et :
fV (v) =
ZZR2f (x; u; v) dxdu
=
8>>>:0 si v 0Z 10
Z +10
u exp (u+ v) dudx si v > 0
=
8 0
Il en rsulte que pour tout (x; u; v) 2 R3 :f (x; u; v) = fX (x) fU (u) fV (v)
les variables alatoires X, U et V sont donc indpendantes.
74
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Exercice 19Soit (X; Y; Z) un triplet de variables alatoires telle que :
X admette une densit marginale :
fX (x) =
8>>>:0 si x 0
x3
6expx si x > 0
Y admette une densit de probabilit conditionnelle relativement [X = x]telle que :
fY (y j x) =
8>>>:3y2
x3si 0 < y < x
0 ailleurs
Z admette une densit de probabilit conditionnelle relativement [(X; Y ) = (x; y)]telle que :
fZ (z j x; y) =
8>>>:2 (y z)
y2si 0 < z < y
0 ailleurs
1. Dterminer la loi conjointe du triplet (X; Y; Z) :
2. Dterminer la loi de probabilit conditionnelle du couple (X; Y ) sous lhypothse
[Z = z] :
3. Dterminer la loi de probabilit conditionnelle de la variable alatoire X sous
lhypothse [Y = y; Z = z].
4. On pose : U = X + Y
V = X Y(a) Quelle est la loi du couple (U; V ) ?
(b) Quelles sont les lois conditionnelles de U et V ?
(c) U et V sont-elles indpendantes ?
75
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 19Posons :
D =(x; y; z) 2 R3 j 0 < z < y < x
1. Pour tout (x; y; z) 2 R3 on a :
f (x; y; z) =
8>:0 si z 0Z +1z
Z xz
(y z) expxdydx si z > 0
=
8 0do, la densit conditionnelle de (X; Y ) relativement Z.est dnie pour
tout z 2 ]0;+1[ par :
f(X;Y ) (x; y j z) = f (x; y; z)fZ (z)
=
8
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
3. Calculons la densit marginale f(Y;Z) du couple (Y; Z) :
f(Y;Z) (y; z) =
ZRf (x; y; z) dx
=
8>>>:Z +1y
(y z) expxdx si 0 < z < y
0 ailleurs
=
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
est la transformation :
X =1
2(U + V )
Y =1
2(U V )
Le Jacobien de cette dernire est :1
2
1
2
1
212
= 1
2
do pour tout (u; v) 2 R2:
f(U;V ) (u; v) = f
1
2(u+ v) ;
1
2(u v)
jJ j
=1
16(u v)2 exp1
2(u+ v)
(b) Calculons les densits marginales fU et fV de U et V respectivement :
fU (u) =
ZRf(U;V ) (u; v) dv
=
8>>>:0 si u 0Z u0
116 (u v)2 exp12 (u+ v) dv si u > 0
=
8>:0 si u 0
1
16
hu2 4u+ 8 8 expu
2
iexpu
2si u > 0
78
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
et :
fV (v) =
ZRf(U;V ) (u; v) du
=
8>>>:0 si v 0Z u0
116 (u v)2 exp12 (u+ v) du si v > 0
=
0 si v 0expv si v > 0
Do, les densits conditionnelles de U relativement V et de V relative-
ment V sont dnies par :
fU (u j v) =f(U;V ) (u; v)
fV (v)
=
8>:1
16(u v)2 exp1
2(u v) si 0 < v < u
0 ailleurs
et :
fV (v j u) =f(U;V ) (u; v)
fU (u)
=
8>>>:1
16
(u v)2u2 4u+ 8 8 expu2
expv2
si 0 < v < u
0 ailleurs
(c) Les variables alatoires U et V ne sont pas indpendantes car :
fU (u j v) 6= fU (u)
79
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Exercice 20Soient X et Y un couple de variables alatoires normales indpendantes demoyennes et 0, et de variances 2 et 02 respectivement.
1. Quelle est la densit de probabilit du couple (X; Y ) ?
2. On pose : 8>>>>>:U =
X
V =X 00
(a) Quelle est la densit du couple (U; V ) ?
(b) U et V sont-elles indpendantes ?
3. On considre la variable alatoire Z dnie par :
Z =U
V
(a) Dterminer la densit de probabilit du couple (U;Z) :
(b) En dduire la densit de Z:
4. Dterminer la densit de probabilit de la variable alatoire :
T = X + Y
Solution 20On a :
fX (x) =1
p2exp 1
22(x )2 ; x 2 R
fY (y) =1
0p2exp 1
202(y 0)2 ; y 2 R
80
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. La densit f du couple (X; Y ) est dni pour tout (x; y) 2 R2 par :f (x; y) = fX (x) fX (x)
=1
20exp1
2
"x
2+
y 00
2#(a) La transformation inverse de la transformation :8>>>>>:
U =X
V =Y 00
est : 8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do :
fU (u) =
ZR
1
2exp1
2
u2 + v2
dv
=1
2exp1
2u2ZRexp1
2v2dv
=1p2exp1
2u2
(ii) Puisque la densit f(U;V ) du couple (U; V ) est symtrique, donc pour
tout v 2 R on a :fV (v) = fU (v)
=1p2exp1
2v2
(c) Les variables alatoire U et V sont indpendantes puisque pour tout
(u; v) 2 R2 :f(U;V ) (u; v) = fU (u) fV (v)
2. La transformation inverse de la transformation :8>:U = U
Z =V
Uest : 8
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
do la densit f(U;V ) du couple (U; V ) :
f(U;Z) (u; z) = f(U;V ) (u; uz) jJ j=
juj2exp1
2u21 + z2
pour tout (u; z) 2 R2.Il en rsulte que la densit fZ de Z est donne pour tout z 2 R.par :
fZ (z) =
ZRf(U;Z) (u; z) du
=
ZR
juj2exp1
2u21 + z2
du
=1
(1 + z2)
Cest la densit de probabilit de la loi de Cauchy.
3. La densit de probabilit de la variable alatoire :
T = U + V
est dnie pour tout t 2 R.par :
fT (t) =
ZRf(U;V ) (u; t u) du
=
ZR
1
2exp1
2
u2 + (t u)2
du
=1
2pexpt
2
4
cest la densit de la loi normale N (0; 2).
Exercice 21Soient X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent une mme loide probabilit dont la densit est dnie par :
f (t) =1
t2; t 1
83
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
1. On pose : 8>:U = XY
V =X
Y(a) Quelle est la densit de probabilit du couple (U; V ) ?
(b) U et V sont-elles indpendantes ?
2. Dterminer les lois marginales de U et V .
3. Dterminer la densit de probabilit et la fonction de rpartition de la variable
alatoire :
Z =pU
Solution 211. Pour tout t 2 [1;+1[ on a :
fX (t) = fY (t) =1
t2
Puisque les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors la densit f
du couple (X;Y ) est dnie pour tout (x; y) 2 R2 par :f (x; y) = fX (x) fY (y)
do :
f (x; y) =
8>>>:1
x2y2si (x; y) 2 [1;+1[ [1;+1[
0 si (x; y) =2 [1;+1[ [1;+1[(a) Linverse de la transformation :8>:
U = XY
V =X
Y
84
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
est la transformation : 8>>>:X =
pUV
Y =
rU
V
Son Jacobien J est :
J =
pv
2pu
pu
2pv
1
2puv
pu
2pv3
= 1
2v
La densit f(U;V ) de (U; V ) est dnie pour tout (u; v) 2 R2 par :
f(U;V ) (u; v) = f
puv;
ru
v
jJ j
Et comme le domaine D(U;V ) o la densit f(U;V ) de (U; V ) est non nul
est donne par :
D(U;V ) =
(u; v) 2 R2 j u 1 ; 1
u v u
85
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
on en dduit que la densit f(U;V ) de (U; V ) est dnie :
f(U;V ) (u; v) = f
puv;
ru
v
jJ j
=
8>:1
2u2vsi (u; v) 2 D(U;V )
0 (u; v) =2 D(U;V )(b) Les domainesDU etDV o les densits fU de U et fV de V sont non nulles
correspondent respectivement la 1ere projection et la 2eme projection
de D(U;V ) do :
DU = [1;+1[et :
DV = ]0;+1[Et comme :
D(U;V ) 6= DU DVdonc, les variables alatoires U et V ne sont pas indpendantes.
2. Calculons les densits marginales fU de U et fV de V respectivement.
(a) On a :
fU (u) =
ZRf(U;V ) (u; v) dv
=
8>>>:0 si u < 1Z u1u
1
2u2vdv si u 1
=
8>>>:0 si u < 1
lnu
u2si u 1
86
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(b) On a :
fV (v) =
ZRf(U;V ) (u; v) du
=
Z +1sup(v; 1v)
1
2u2vdu
(i) si 0 < v 1 alors :
fV (v) =
Z +11v
1
2u2vdu
=1
2
(ii) si v 1 alors :
fV (v) =
Z +1v
1
2u2vdu
=1
2v2
En rsum :
fV (v) =
8>>>>>>>>>>>>>:
0 v 0
1
20 < v 1
1
2v2v 1
(a) On a :
Z =pU () U = Z2
do :du
dz= 2z
87
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
La densit fZ de Z est dnie pour tout z 2 R :
fZ (z) = fUz2 dudz
=
8>:0 si z < 1
4
z3ln z si z 1
(b) La fonction de rpartition FZ de Z est dnie pour tout z 2 R par :
FZ (z) =
Z z1
fZ (t) dt
=
8>>>:0 si z 1Z z1
4
t3ln tdt si z 1
=
8>>>:0 si z 1
1 1 + 2 ln zz2
si z 1
Exercice 22Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires dont la densit de probabilit estdnie par :
f (x; y) =
8>>>:Kpxy
si x > 0 ; y > 0 ; x+ y < 1
0 ailleurs
1. Dterminer la constante K
2. Dterminer les lois marginales et conditionnelles de X et Y:
3. X et Y sont-elles indpendantes ?
4. Dterminer la droite de rgression de Y en X:
88
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Solution 22Posons :
D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; y > 0 ; x+ y < 1
Pour tout (x; y) 2 D on a :
f (x; y) =
8>>>:Kpxy
si (x; y) 2 D
0 si (x; y) =2 D1. Calculons la constante K :
ZZR2f (x; y) dxdy =
Z 10
Z 1x0
Kpxydy
dx
= K
Do :
K =1
2. Puisque la densit f de (X; Y ) est symtrique, donc X et Y suivent une
mme loi de probabilit.
(a) La densit marginale fX de X est donne par :
fX (x) =
ZRf (x; y) dy
=
8>>>:0 si x =2 ]0; 1[Z 1x0
1
pxydy si x 2 ]0; 1[
=
8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(b) La densit marginale fY de Y est donne par :
fY (y) = fX (y)
=
8>>>:0 si y =2 ]0; 1[
2
r1 yy
si y 2 ]0; 1[
(c) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout
y 2 ]0; 1[ par :
fX (x j y) = f (x; y)fY (y)
=1
2px (1 y) si 0 < x < 1 y
(d) La densit conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout
x 2 ]0; 1[ par :fY (y j x) = fX (y j x)
=1
2py (1 x) si 0 < y < 1 x
3. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :
f (x; y) 6= fX (x) fY (y)
(a) On a :
E [X] =
ZRxfX (x) dx
=
Z 10
2
x
r1 xx
dx
=1
4= E [Y ]
90
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
et :
EX2
=
ZRx2fX (x) dx
=
Z 10
2
x2r1 xx
dx
=1
8= E
Y 2
do :
V [X] = EX2 E [X]2
=1
16= V [Y ]
(b) On a :
E [XY ] =
ZZR2xyf (x; y) dxdy
=
Z 10
Z 1x0
1
xy
1pxydy
dx
=1
24
do :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ] = 148
(c) Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X.
On a :
a =Cov [X; Y ]
V [X]= 1
3et
b = E [Y ] aE [X] = 13
91
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do la droite rgression de Y en X :
y = 13[x 1]
-2 -1 1 2 3
-0.5
0.5
1.0
x
y
La droite de regression de Y en X
Exercice 23Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires dont la densit de probabilit estdnie par :
f (x; y) =
8>:K sin
2(2x+ y) si x > 0 ; y > 0 ; 2x+ y < 1
0 ailleurs
1. Dterminer la constante K
2. Dterminer les lois marginales X et Y:
3. X et Y sont-elles indpendantes ?
4. Calculer la matrice des variances et covariances de X et Y:
5. Dterminer la droite de rgression de Y en X
6. Calculer la densit conditionnelles deX relativement Y et de Y relativement
X.
92
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Solution 23Posons :
D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; y > 0 ; 2x+ y < 1
DX =
x 2 R j 0 < x < 1
2
DY = fy 2 R j 0 < y < 1g
Le domaine D
On a :
f (x; y) =
8>:0 si (x; y) =2 D
K sin
2(2x+ y) (x; y) 2 D
1. On a :ZZR2f (x; y) dxdy =
Z 12
0
Z 12x0
K sin
2(2x+ y) dy
dx
=2K
2
do :
K =2
2
93
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
2. Calculons les densits marginales fX et fY de X et Y respectivement :
fX (x) =
ZRf (x; y) dy
=
8>>>>>>>:0 si x =2
0;1
2
Z 12x0
2
2sin
2(2x+ y) dy si x 2
0;1
2
=
8>>>>>>>:0 si x =2
0;1
2
cos x si x 20;1
2
et :
fY (y) =
ZRf (x; y) dx
=
8>>>:0 si y =2 ]0; 1[Z 1
2 (1y)
0
2
2sin
2(2x+ y) dx si y 2 ]0; 1[
=
8>:0 si y =2 ]0; 1[
2cos
2y si y 2 ]0; 1[
3. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :
f (x; y) 6= fX (x) fY (y)
94
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(a) On a :
E [X] =
ZRxfX (x) dx
=
Z 12
0
x cos xdx
= 22
et :
EX2
=
ZRx2fX (x) dx
=
Z 12
0
x2 cos xdx
=2 + 8
42
do :
V [X] = EX2 E [X]2
= + 1
2
(b) On a :
E [Y ] =
ZRyfY (y) dy
=
Z 10
2y cos
2ydy
=1
2E [X]
= 24
95
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
et :
EY 2
=
ZRy2fY (y) dy
=
Z 10
2y2 cos
2ydy
=1
4EX2
=2 + 8
162
do :
V [Y ] = EY 2 E [Y ]2
=1
4V [X]
= + 1
42
(c) On a :
E [XY ] =
ZZR2xyf (x; y) dxdy
=
ZZD
2
2xy sin
2(2x+ y) dxdy
=
Z 12
0
Z 1x0
2
2xy sin
2(2x+ y) dy
dx
= + 2
2
do :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]=
1
8232 + 12 4
96
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(d) La matrice des variances et covariances de (X;Y ) est dnie par :
(X;Y ) =
24 V [X] Cov [X;Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]
35
=
26664 + 1
21
8232 + 12 4
1
8232 + 12 4 + 1
42
377754. Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X :
a =Cov [X; Y ]
V [X]=32 + 12 48 ( + 1)
et
b = E [Y ] aE [X] = 24
32 + 12 48 ( + 1)
22
do la droite rgression de Y en X :
y =32 + 12 48 ( + 1)
x+ 24
32 + 12 48 ( + 1)
22
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
La droite de regression de Y en X
97
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(a) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout
y 2 ]0; 1[ par :
fX (x j y) = f (x; y)fY (y)
=
8>>>>>>>>>:sin
2(2x+ y)
cos
2y
si 0 < x >>>>:
2
sin
2(2x+ y)
cos xsi 0 < y < 1 2x
0 ailleurs
Exercice 24Soit X une variable alatoire qui suit la loi normale centre rduite et Y unevariable alatoire, indpendante de X, qui prend ses valeurs dans lensemblef1; 1g telle que :
P [Y = 1] = p
o p 2 ]0; 1[.Dterminer la loi de probabilit de :
Z = XY
98
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Solution 24Notons FZ la fonction de rpartition de Z et FX celle de X.On a :
[Z < z] = [X > z; Y = 1] [X < z; Y = 1]donc :
FZ (z) = P [Z < z]
= P [X > z; Y = 1] + P [X < z; Y = 1]= P [X > z]P [Y = 1] + P [X < z]P [Y = 1]
et comme X suit une loi normale centre rduite, alors :
P [X > z] = P [X < z]do :
FZ (z) = (1 p)FX (z) + pFX (z) = FX (z)Il en rsulte que Z suit la loi normale centre rduite.
Exercice 25Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires dont la densit de probabilit estdnie par :
f (x; y) = K si x > 0 ; x2 + y2 < 1
1. Dterminer la constante K
2. Dterminer les lois marginales X et Y:
3. X et Y sont-elles indpendantes ?
4. Calculer la matrice des variances et covariances de X et Y:
5. Dterminer la droite de rgression de Y en X
6. Calculer la densit conditionnelles deX relativement Y et de Y relativement
X.
99
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 25Posons :
D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; x2 + y2 < 1
On a :
f (x; y) =
8>>>>:0 si x =2 ]0; 1[Z p1x2p1x2
2
dy si x 2 ]0; 1[
=
8>:0 si x =2 ]0; 1[
4
p1 x2 si x 2 ]0; 1[
et :
fY (y) =
ZRf (x; y) dx
100
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
fY (y) =
8>>>>>:0 si y =2 ]1; 1[Z p1y20
2
dx si y 2 ]1; 1[
=
(0 si y =2 ]1; 1[2
p1 y2 si y 2 ]1; 1[
3. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :
f (x; y) 6= fX (x) fY (y)
(a) On a :
E [X] =
ZRxfX (x) dx
=
Z 10
4
xp1 x2dx
=4
3
et :
EX2
=
ZRx2fX (x) dx
=
Z 10
4
x2p1 x2dx
=1
4
do :
V [X] = EX2 E [X]2
=92 64362
101
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
(b) On a :
E [Y ] =
ZRyfY (y) dy
=
Z 11
2
yp1 y2dy
= 0
et :
EY 2
=
ZRy2fY (y) dy
=
Z 11
2
y2p1 y2dy
= EX2
=1
4
do :
V [Y ] = EY 2=1
4(c) On a :
E [XY ] =
ZZR2xyf (x; y) dxdy
=
ZZD
2
xydxdy
=
Z 10
"Z p1x2p1x2
2
xydy
#dx
= 0
do :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ] = 0Les variables alatoires sont non corrles mais ne sont pas indpendantes.
102
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
(d) La matrice des variances et covariances de (X;Y ) est dnie par :
(X;Y ) =
24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]
35
=
2666492 64362
0
01
4
377754. Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X :
y = ax+ b
On a :
a =Cov [X; Y ]
V [X]= 0
et
b = E [Y ] aE [X] = 14
do la droite rgression de Y en X :
y =1
4
(a) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout
y 2 ]1; 1[ par :
fX (x j y) = f (x; y)fY (y)
=
8>>>:1p1 y2 si 0 < x >>:1
2p1 x2 si
p1 x2 < y < p1 x2
0 ailleurs
Exercice 26Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires indpendantes suivant toutes lesdeux la mme loi uniforme sur lintervalle [2; 1].Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire :
T = inf (X; Y )
Solution 26Notons FX , FY et FZ les fonctions de rpartition de X, Y et Z respectivementet fX , fY et fZ leurs densits respectives.On a :
FX (u) = FY (u)
=
u+ 2
3
[2;1] (u) + [1;+1[ (u)
= F (u)
et :
fX (u) = fY (u)
=1
3[2;1] (u)
= f (u)
104
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Puisque :
T = inf (X; Y )
alors :
P [T t] = P [X t; Y t]= P [X t]P [Y t]= [1 F (t)]2
do :
FT (t) = P [T < t]
= 1 [1 F (t)]2
=
"1
1 t3
2#[2;1] (t) + [1;+1[ (t)
Il en rsulte que :
fT (t) = F0T (t)
=2
9(1 t)[2;1] (t)
Exercice 27Un appareil lectrique fonctionne avec trois piles Pi, i 2 f1; 2; 3g :La dure de vie de la pile Pi est une variable alatoire Xi: Les trois variablesalatoiresX1,X2 etX3 sont indpendantes et suivent une mme loi exponentiellede paramtre , > 0:Lappareil sarrte de fonctionner ds que deux piles sont uses.Soit T la variable alatoire reprsentant le temps de onctionnement de lappareillectrique.Dterminer la loi de probabilit de T et calculer son esprance mathmatique etsa variance.
105
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 27Soit F et f la fonction de rpartition et la densit de probabilit de la loi expo-nentielle de paramtre .On a :
F (t) =
0 si t 0
1 expt si t 0
f (t) =
0 si t < 0
expt si t > 0
1. Dsignons par FT et fT la fonction de rpartition et la densit de probabilit
de T respectivement.
Puisque :
[T < t] = [X1 < t;X2 < t;X3 t] [X1 < t;X2 t;X3 < t] [X1 t;X2 < t;X3 < t] [X1 < t;X2 < t;X3 < t]
et puisque X1, X2 et X3 sont indpendantes alors :
FT (t) = P [T < t]
= 3 [F (t)]2 [1 F (t)] + [F (t)]3
= [F (t)]2 [3 2F (t)]= [1 expt]2 [1 2 expt] ; t 0
do :
fT (t) = 6 [1 expt] exp2t ; t > 02. On a :
E [T ] =
ZRtfT (t) dt
=
Z +10
6t [1 expt] exp2tdt
=5
6
106
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
ET 2
=
ZRt2fT (t) dt
=
Z +10
6t2 [1 expt] exp2tdt
=19
182
do :
V [T ] = ET 2 E [T ]2
=13
362
Exercice 28Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires admettant une densit de probabilitf(X;Y ) dnie par :
f(X;Y ) (x; y) =
8 0
0 sinon
o K est une constante.
1. Dterminer la constante K:
2. Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?
3. Pour (k; s) 2 N2, calculer E XkY s.4. En dduire la covariance de X et Y:
Que constate-t-on ?
5. On pose : 8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Solution 28Posons :
D(X;Y ) =(x; y) 2 R2 j jxj y et y > 0
On a alors
DX = fx 2 R j fX (x) 6= 0g= R
et :
DY = fy 2 R j fY (y) 6= 0g= ]0;+1[
o fX et fY sont les densits marginales de X et Y:
1. On a :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy = K
Z +10
Z yy
y2 x2 exp (y) dxdy
= K
Z +10
exp (y)Z y
y
y2 x2 dx dy
=4K
3
Z +10
y3 exp (y) dy= 8K
Do :
K =1
82. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :
D(X;Y ) 6= DX DY3. Pour (k; s) 2 N2 on a :
EXkY s
=
ZZR2xkysf(X;Y ) (x; y) dxdy
=1
8
Z +10
ys exp (y)Z y
yxky2 x2 dx dy
108
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Or : Z yyx2k+1
y2 x2 dx = 0
et : Z yyx2ky2 x2 dx = 2Z y
0
x2ky2 x2 dx
=4y2k+3
(2k + 1) (3 + 2k)
do :
EX2k+1Y s
= 0
et :
EX2kY s
=
1
2 (2k + 1) (3 + 2k)
Z +10
y2k+s+3 exp (y) dy
=(2k + s+ 3)!
2 (2k + 1) (3 + 2k)
4. En particulier, on a :
E [X] = 0
et :
E [XY ] = 0
do :
Cov [X; Y ] = 0
On costate que les variables alatoires sont non corrles mais ne sont pas
indpendantes.
(a) Le changement : 8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
quivaut : 8>>>>>:X =
1
2(U V )
Y =1
2(U + V )
Le Jacobien de cette transformation est :
J =
1
212
1
2
1
2
=1
2
Daprs le thorme de changement de variables, la densit f(U;V ) du couple
(U; V ) est donne par :
f(U;V ) (u; v) = f(X;Y )
u v2
;u+ v
2
jJ j
=
8>>>:1
16uv exp(u+ v)
2si u > 0 et v > 0
0 sinon
(b) Les fonctions :
fU (u) =
8>:1
4u expu
2si u > 0
0 si u 0et :
fV (v) =
8>:1
4v expv
2si v > 0
0 si v 0sont des densits de probabilits. Ce sont les densits marginales des
variables alatoires U et V:
110
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
En outre, pour tout (u; v) 2 R2 on a :f(U;V ) (u; v) = fU (u) fV (v)
Il en rsulte que les variables alatoires U et V sont indpendantes.
Exercice 29Soit h une fonction positive dnie sur ]0;+1[ et soit H la fonction dnie pourtout x, x > 0, par :
H (x) =
Z x0
h (t) dt
On dsigne par h la fonction dnie pour tout x, x > 0, par :
h (x) =
Z +10
h (t) exp (tx) dt
Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires de densit de probabilit :
f(X;Y ) (x; y) =
8 0 et y > 0
0 sinon
1. Dterminer la constante K:
2. Dterminer les densits marginales de X et Y:
3. Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?
4. On suppose que pour tout x, x > 0, on a :
h (x) = x
(a) Calculer la covariance de X et Y .
(b) Que constate-t-on pour = 1 ?
Solution 29Posons :
D =(x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0
111
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
D1 =(x; y) 2 R2 j 0 < y < x
D2 =(x; y) 2 R2 j 0 < x < y
On a :
D = D1 [D2Puisque la densit f(X;Y ) du couple (X;Y ) est symtrique :
8 (x; y) 2 R2 : f(X;Y ) (x; y) = f(X;Y ) (y; x)alors :
P [(X; Y ) 2 D1] = P [(X;Y ) 2 D2]de plus, X et Y suivent la mme loi de probabilit.
1. On a :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy =
ZZD1
f(X;Y ) (x; y) dxdy +
ZZD2
f(X;Y ) (x; y) dxdy
= 2
ZZD1
f(X;Y ) (x; y) dxdy
= 2
Z +10
Z +1y
h (x y) exp (x) dxdy
Eectuons le changement :
t = y xon obtient alors :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy = 2
Z +10
Z +10
h (t) exp [ (y + t)] dtdy
= 2
Z +10
exp (y)Z +1
0
h (t) exp (t) dtdy
= 2
Z +10
exp (y) dy Z +1
0
h (t) exp (t) dt
=2
h ()
112
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
Do :
K =
2 h ()
2. La densit marginale de X est dnie pour tout x 2 R par :
fX (x) =
ZRf(X;Y ) (x; y) dy
Donc, pour tout x, x > 0, on a :
fX (x) =
Z x0f(X;Y ) (x; y) dy +
Z +1x
f(X;Y ) (x; y) dy
fX (x) =
2 h ()
Z x0h (x y) exp (x) dy +
Z +1x
h (y x) exp (y) dy
Eectuons dans la premire intgrale le changement :
t = x yet dans la deuxime le changement :
t = y xon obtient :Z x
0h (x y) exp (x) dy = exp (x)
Z x0h (t) exp (t) dt
= exp (x)H (x)et :Z +1x
h (y x) exp (y) dy = exp (x)Z +10
h (t) exp (t) dt= h () exp (x)
et nalement :
fX (x) =
2 h ()[H (x) + h ()] exp (x)
113
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
En rsum, la densit marginale de X est dnie par :
fX (x) =
8>>>:0 si x 0
2 h ()[H (x) + h ()] exp (x) si x > 0
do la densit marginale de Y :
fY (y) =
8>>>:0 si y 0
2 h ()[H (y) + h ()] exp (y) si y > 0
3. On constate que les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes
puisque :
f(X;Y ) (x; y) 6= fX (x) fY (y)4. Si pour tout x, x > 0, on a :
h (x) = x
alors tout x, x > 0 :
H (x) =x2
2et :
h () =1
2
Aussi on a :
f(X;Y ) (x; y) =
8>>>:
2jx yj exp [max (x; y)] si x > 0 et y > 0
0 sinon
114
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
et :
fX (x) =
8>>>:0 si x 0
2 + 2x2
4
exp (x) si x > 0
(a) Calculons la covariance de X et Y .
(i) On a :
E [X] =
ZRxfX (x) dx
=
4
Z +10
x2 + 2x2
exp (x) dx
En eectuant le changement :
u = x
on obtient :
E [X] =1
4
Z +10
2u+ u3
exp (u) du
=2
(ii) On a :
E [XY ] =
ZZR2xyf(X;Y ) (x; y) dxdy
=
ZZD1
xyf(X;Y ) (x; y) dxdy +
ZZD2
xyf(X;Y ) (x; y) dxdy
= 2
ZZD1
xyf(X;Y ) (x; y) dxdy
=
Z +10
y
Z +1y
x (x y) exp (x) dxdy
Or, en eectuant le changement :
u = x y
115
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
on obtient :Z +1y
x (x y) exp (x) dx = exp (y)Z +10
u (u+ y) exp (u) du
=
y
2+2
3
exp (y)
do :
E [XY ] =
Z +10
y
y
2+2
3
exp (y) dy
=4
4
et par suite :
Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]=
41 24
(b) Si :
= 1
alors :
Cov [X; Y ] = 0
bien que les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes.
Exercice 30Soit X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent la mme loiexponentielle de paramtre :On pose :
Z = X2 Y
116
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
1. Dterminer la loi de probabilit de Z:
2. On considre le polynme :
P (t) = t2 2Xt+ YCalculer la probabilit pour que les racines de P soient complexes.
Solution 30La densit de probabilit de la loi exponentielle de paramtre ; > 0; est dniepar :
f (x) = exp (x)X et Y tant indpendantes, donc la densit du couple (X; Y ) est donne par :
f(X;Y ) (x; y) = f (x) f (y)
= 2 exp [ (x+ y)]
1. Considrons le changement :8
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
Daprs le thorme de changement de vatiables, on a :
f(U;Z) (u; z) = f(X;Y )p
u; u z jJ j=
1
2pufp
uf (u z)
Pa ailleurs, limage par cette dernire transformation du domaine :
D (X; Y ) =(x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0
est le domaine :
D (U;Z) =(u; z) 2 R2 j u > 0 et z < u
do :
f(U;Z) (u; z) =
8>>>:2
2puexp [ (pu+ u z)] si (u; z) 2 D (U;Z)
0 si (u; z) =2 D (U;Z)Dterminons la densit de probabilit de Z :
fZ (z) =
ZRf(U;Z) (u; z) du
=
8>>>>>>>:2
2
Z +10
1puexp [ (pu+ u z)] du si z 0
2
2
Z +1u
1puexp [ (pu+ u z)] du si z > 0
Or : R 1puexp
pu+ u z du =exp
z + 14
Rexp
h4 (2
pu+ 1)
2i dup
u
118
-
Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq
et en eecuant le changement :
t =
r
2
2pu+ 1
on obtient :Z1puexp
pu+ u z du =r2exp
z +
1
4
Zexp
t
2
2
dt
do :
fZ (z) =
8>>>>>>>>>>>:
32p2exp
z + 14
Z +1p 2exp
t
2
2
dt si z 0
32p2exp
z + 14
Z +1p
2 (2pz+1)
exp
t
2
2
dt si z > 0
Dsignons par la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite :
(x) =1p2
Z x1exp
t
2
2
dt
alors :
fZ (z) =
8>>>>>>>>>>>:
p
32
1
r
2
!!exp
z + 14
si z 0
p
32
1
r
2(2pz + 1)
!!exp
z + 14
si z > 0
2. Posons :
0 = X2 Y = Zles racines de P sont complexes si et seulement si :
Z < 0
119
-
A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires
do, la probabilit pour que les racines de P soient complexes est :
P [Z < 0] =
Z 01
fZ (z) dz
=p
32
1
r
2
!!exp
4
Z 01exp (z) dz
=p
1
r
2
!!exp
4
Exercice 31Soit une densit de probabilit dnie sur R+ telle que les intgrales :
=
Z +10
t (t) dt
et :
2 =
Z +10
(t )2 (t) dtexistent et soient nies.On dnit la fonction par :
(x; y) =
8>>>: (x+ y)
x+ ysi x > 0 et y > 0
0 sinon
1. Montrer que est la densit de probabilit dun couple (X; Y ) de variables
alatoires.
2. Montrer que X et Y ont la mme loi de probabilit.
3. Pour (k; r) 2 N N; calculer E XkY r, puis en dduire le coe cient decorrlation de X et Y:
120
-
Vecteurs A
top related